（基础数学专业论文）幂零轨道fq有理点的个数.pdf

堋j | f i f j i f i f | f f | | j i f f j | i i f f i i f f j i f f 舢 y 19 0 3 0 6 2 d i s s e i r c a t i o nf b r m a s t e rd e g r e e ，2 0 l l c o l l e g ec o d e ：1 0 2 6 9 r e g i s t e rn u m b e r ：5 1 0 8 0 6 0 l o l 7 眈s 矿劬切口聊以z 踟溉雕匆 c o u n t i n gn u m b e r o ff 目一r a t i o n a lp o i n t so f n i l p o t e n to r b i t s d e p a n m e n t ： m a t h e m a t i c s m a j o r ： s u b j e c t ： p u r em a t h e m a t i c s r e p r e s e n t a t i o nt h e o r ) ro fl i ea l g e b r a s u p e r v i s o r ： f b i ns h u n a m e ：h a o c h a n g a p r i l ，2 0 1 1 s h a n g h a i 学位论文原创性声明 郑重声明：本人里交的学位论文幂零轨道b 一有理点的个数，是在华东师范 大学攻速够由博士( 请勾选) 学位期间，在导师的指导下进行的研究工作及取得的 研究成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过 的研究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并 表示谢意 作者签名： 学位论文授权使用声明 幂零轨道匕一有理点的个数系本人在华东师范大学攻读学位期间在导师指 导下完成的硕妇博士( 请勾选) 学位论文，本论文的研究成果归华东师范大学所有 本人同意华东师范大学根据相关规定保留和使用此学位论文，并向主管部门和相关机 构如国家图书馆、中信所和“知网送交学位论文的印刷版和电子版；允许学位论文 进入华东师范大学图书馆及数据库被查阅、借阅：同意学校将学位论文加入全国博 士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇编出版，采 用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文 本学位论文属于( 请勾选) ( ) 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部 或“涉密学位论文+ 。 于年月日解密，解密后适用上述授权 u 2 褓茎= ：阜翩躲前 日期：泣尘鱼：兰日期：丝型：生 木“涉密”学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委员会审定过的学 位论文( 需附获批的华东师范大学研究生申请学位论文“涉密”审批表方为有效) ，未经上述 部门审定的学位论文均为公开学位论文此声明栏不填写的，默认为公开学位论文，均适用上述授 权) 常浩硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 蝴弘题卿脚扰磁 主席 溯儇江参短留铱忻勿赙 z 一：功，a 杉- 砭 上卜口妒k 渗 汐i ，p 纠饧健4 铨吓订、，7 ri c j 弋r 黝鼋副獬稀讳黍呔暑 | 又 摘要 g 是域七= 如上的典型群，分别是a ，e g d 型，是对应的标准的f 曲e n i u s 映射本文中，我们将清楚地探究g 中所有幂零轨道在特征大于2 的情况下的 巳一有理点的个数i d ，l ，并且给出具体的算法和公式，同时我们也给出一些例子去 验证我们的公式 关键词：典型群，幂零轨道，f 协b e n i u s 映射，有理结构，有理点 a b s t r a c t mgb eac l a s s i c a lg r o u po f t y p ea ，b ，c ，0 rd0 v c r 足= w h e r e 留i s a p o w e r 0 f 也e p 血n ec h a r a c t 商s t i co f 足，a n df as t a i l d a r df 衲e n i u sm o r p h i s mo ng w h i c hc 锄b ed e f i n e d n 籼a u y0 ng = l i e ( g ) i nm i sp a p e r ，w ec l e 砌yi n v e s t i g a t e t 1 1 en u 出r0 f 玛一m t i o n a l p o i n t s 妙lf o ra 1 1i l i 枷t e n t0 r b i t si n gu n d e rm ea 由0 i n ta c t i o n0 fg w h c n 也cc h 撒c 。s n c 0 f 七i sb i g g e rm 觚2a n dg i v ea c o n c f e t ea l g o 甜眦觚df o r m u l af o r 旷l ，a l s ow eg i v es o m e e x a i n p l e st 0c h e c ko 眦f o 珊l u l a k c vw o r d s ：c l a s s i c a lg r o u p s ，n i 枷t e n t0 r b i t s ，f r 6 b e n i u s 撇p ，训0 n a ls 仇l c m r e ，r a n o n a j p o i i i t s 1 引言 目录 2 基础知识 2 1 仿射簇上的b 一有理结构 2 2 典型群的幂零轨道 3 中心化子的结构 1 4 4 幂零轨道上的f m b e n i 吣映射 6 4 1 抽象的有理点的计算公式 6 4 2 h o l t - s p a l t c n s t e i n 公式的证明 8 5 幂零轨道有理点的计算 9 5 1标准i l i u s 映射9 5 2 n o n s p l i t 的情况 9 5 3 a ( 的的结构与取的维数问题 1 l 5 4 瓯的结构和对分支群a ( 两的分析 1 4 5 5 幂零轨道d 的有理点计算的细致公式1 6 5 6 定理5 1 2 具体的算法1 8 6 一些具体的例子1 9 6 1 a 型轨道有理点公式的具体化及例子a 3 1 9 6 2 c 3 所有幂零轨道有理点个数 2 0 6 3 d 型中1 ，g 秽删册的情况及功的所有幂零轨道有理点个数 2 2 参考文献 致谢 2 5 2 7 1 引言 对于有限域上代数群和李代数的理论，已经有了丰富的结果( 参见【3 】，【4 】，【1 4 】， 【1 5 】，【1 6 】，【1 7 】，【1 8 】，【1 9 】，【2 l 】，【2 3 】) ，f 幻b e i l i u s 映射，在素特征理论中是一个重要 的工具，l e h r e r 【1 9 】，k a w 柚a l ( a 【2 3 】用f r o b e n i u s 映射去研究有限单李代数上不变函 数的f 0 u 妇变换，得到了一系列结果特别的，k a w a i l a l 【a 【2 3 】给出了一个关于李代 数幂零轨道d 有理点的公式，但是公式本身用来计算有理点个数的可行性不大 h 0 l t s p a l t e n s t e i n 在1 9 8 5 年( 参见【8 】) 给出一个计算幂零轨道有理点的一般公式，但 对于具体的计算仍然不够明确舒斌教授等在【3 】中具体研究了典型单李代数幂零轨 道d 的b 一有理结构，并给出了所有具有b 一有理结构的幂零轨道 对于定义在f 4 上的簇x ，f 是相应的l l i u s 映射，显然的是x = u ，而 m ：= i i 与w | e i l 猜想有着密切的联系，同时对于l a ，i 有一个类似于k f s c h e t z 不动 点定理的公式，即所谓的g m t h e n d i e c k s 缸氍ef o r m u l a ，这些对于构造李型有限群的表 示有着重要的作用( 参见【1 8 】) 可以看到对于簇的有理点计算是有重要意义的，本文 在前面文章的基础上，对典型群，即s 以n ，d ，s d ( 2 m + l ，足) ，s 烈2 m ，幼，s d ( 2 m ，七) ，分别 是a ，ec d 型相应的李代数g = l i e ( g ) 为5 i ( n ，七) ，5 0 ( 2 m + l ，七) ，5 p ( 2 m ，七) ，5 d ( 2 朋，d ， 在，是标准n i u s 映射时，对于具有f 口一有理结构的幂零轨道，即f 稳定的幂零轨 道d ，给出一个具体的i d ，i 的计算公式( 定理5 1 2 ) 和相应的算法( 5 6 ) ，并给出具体的 例子( 6 1 ，6 2 ，6 3 ) 去验证我们的公式 堡奎堕堇奎兰堡主笙窒量雯塾堕堡二宣堡皇塑全塾 2 基础知识 2 1 仿射簇上的r 一有理结构 定义2 1 设，舅) 是一个仿射代数簇，七= 翦是的代数闭包，g = 矿是给定的一个 素数p 的幂态射，：x _ x ，对于代数同态p ：贸- 贝如果下面的条件满足，我们 就称( 咒舅) 是定义在b 上的， ( a ) p 是单射并且p ( 舅) = 卯， ( b ) 对于每个，舅，存在整数小1 使得( p ) 小= ， 这样，我们就称伏，贸) 具有一个b 一有理结构，称之为对应的f r o b e i l i u s 映射进 一步我们令x ，：= 石xl ，( 力= 工) ，有时候也记为x ( 峨) ，称之为x 上的易一有理点， 是一个有限集，f 是一个双射在定义2 1 中很容易看出p 诱导出一个定义良好的映 射矿：贸_ 舅使得洲= ( p ) 一1 护) ，矿称为算术眦i l i u s 映射，它满足下面的性质： ( a ) 映射矿：贝- 舅是b 一代数同态，满足旷( 们= 俨旷，口七，贝， ( b ) 对于每个，贝，存在整数册l 使得矿= ， 对于算术i l i u s 映射矿，我们有下面的性质， 命题2 2 ( 【9 】，4 1 3 ) 设( x ，网是一个定义在匕上的仿射代数簇，是对应的f r o b e l l i u s 映射令凡：= ，舅i 烈力= 门= - 厂贝ip = 尸 ，那么凡是贸的有限生成的 一子代数，且自然映射凡吨尼_ 贸是一个代数同构 对于疋的子簇y ，如果，( ncy ，那么我们就称y 是，稳定的事实上y 是f 稳 定的当且仅当f ( 功= y ( 参见【9 】，4 1 5 ) 对于仿射代数群g ，其上的i l i u s 映射是 一个代数群同态，同时在考虑群的簇结构时它也是簇的i l i u s 映射( 定义2 1 ) 对 于代数群的b 一有理点g ，= g gi ，( g ) = g l ，称之为有限代数群 2 2 典型群的幂零轨道 设y 是一个代数闭域七上的有限维向量空间( 我们总假设c h 缸七) 2 ，c h 缸( 助= 2 时对于正交群和辛群幂零轨道是不同于c h 呱助 2 时的，参见【1 2 】，【1 3 】) ，g 是 2 堡奎堕堇奎堂堡主迨窒墨雯塾堕垦二查堡皇塑全墼 g l ( y ) 的闭子群，g = l i e ( g ) 我们把g 看成g i ( y ) 的子代数，因此伴随作用定义 为a d ( g ) ) = 蚰，g ，其中g g ，x g ( 参见【l 】p 7 3 ，l e m m ab ) 定义伴随轨道： 仇= a d ( g ig g ；x 在g 中的中心化子：鲰= z gl 【z 圈= o ) ；x 在g 中的中 心化子为：g x = k gla d ( g ) x = 捌考虑x g 是幂零的，j o r d 柚典范型的理论告诉 我们，存在y 的一组基，使得x 在这组基下的矩阵是j o m 觚典范型，如此便存在正整 数，i 和一组整数函，如，4 和向量v l ，屹，y ，使得 1 ，fl1 f r o j 0 ) ，有时也记为【l 九，2 吃，3 乃，】，这里 r i = l j 1 吨= 吼显然疗= 奶= 西 睑li = l 对于正交群，上面我们的g = d ( 功，当我们考虑g 。= s d ( y ) 时，具有相同分划万 的两个幂零元不一定属于同一个g 。一轨道，有个称之为w 删恍n 的例外，准确的说 我们有下面的两个命题， 命题2 5 ( 【2 】，1 1 2 ) 设x g = l i e ( g ) = l i e ( g 。) ，如果存在j l g 且d e t ( ) = 一1 ，使得 a d ( j 1 ) ( 的= x ，那么x 的g 。一轨道等于x 的g 一轨道如果上述的| l 不存在，那么x 的 g 一轨道是两个不同的g 。一轨道的并 3 华东师范大学硕士论文 幂零轨道一有理点的个数 命题2 6 ( 【2 】，1 1 2 ) 设x r g = l i e ( g ) = l i e ( g 。) 是具有相同分划的幂零元，如果分 划丌= ( d i 如4 o ) 至少有一个西是奇数，那么五r 属于相同的g 。一轨道 从上述的命题中可以看出，如果，l = d i m ( y ) 是奇数，那么每个，l 的分划7 r 都至少 会出现一个奇数的磊，那么g 一幂零轨道和g 。一幂零轨道是一致的，然而在以= d i m ( 是偶数时，对于w 删伽n 的分划，就会有g 一轨道是两个不同的g 。一轨道的并( 参见命 题6 1 ) ，为了方便起见，对于典型群，我们总假设y 的维数分别为厅，2 ，l + l ，2 m ，2 m ，对 应的典型群即s l ( 刀，七) ，s d ( 2 m + l ，助，s p ( 2 m ，七) ，s d ( 2 m ，七) ，分别是a ，口，e d 型 3 中心化子的结构 首先设g = g l ( ”，g = g i ( 功，取x g 是幂零元对应于x 的分划7 r 仍然记 为：( 函蟊4 o ) = 【1 九，2 ，2 ，3 乃，】，设，l = d i mk 回顾一下疗= 啦存在 ，l ，1 ，y ，使得 il f r ，0 j i o d d 暑l m n g x ( o ) 兰兀5 p ( ，七) 兀5 。( ，七) ，如果s = 一1 j l o 摹 l ：善c v e n 类似于引理3 1 ，我们将给出g x 的分解令o = g g xig ( y ( m ) ) = h m ) ，v m l ，我 们有如下的结果： 引理3 2 ( 【2 】，3 8 ) 如果g = g l ( 叻，那么g 同构于所有的g l ( 厂f ，七) 的直积，如果g 是 正交群，那么有 白兰兀d ( 几，助几 s p ( b ，幼， 置l ：jo 埘j l e 啪 如果g 是辛群。那么 c x 兰兀s p ( b ，幼兀d ( b ，七) j l o d d覃l ；se v e n 且所有的情形均有l i e ( o ) = 鲰( o ) 5 下面我们看一下中心化子的幂幺部分，首先我们仍然考虑g = g l ( ，令 ) = 兮y ( 七) ，p = g g l ( ”ig ( m ) = y ( m ) ，、，锄z l ，l = g g l ( 功ig ( y ( m ) ) = 七肌 y ( m ) ，v 聊z l ，事实上我们有p = l ，其中坼是尸的幂幺根基，l 是p 的l e v i 子群 再设c k = g 以y ) xn 厶如r = g l ( y ) xnl ，尸，我们有下面的结果： 引理3 3 ( 【2 】，3 1 0 ) g l ( 叻x 是子群白与正规子群蛾的半直积，且所有的子群是连通 的并且含在尸中 如果g 是辛群或者是正交群，仍然考虑伊埘) = 0 七) ，设p = g gig ( 弘m ) = 七肼 证卅) ，v m z ，l = g gig ( y ( m ) ) = y ( m ) ，v ，竹z ) ，( ，_ = g gl ( g 1 ) ( 小) c p m + n ，v m z l ，对于魄= g n g l ( y ) x = g n g i ( y ) x ，有c x = g x n l ，再令取= g x n 坼 ，我们有， 引理3 4 ( 【2 】，3 1 2 ) g x 是子群q 与正规子群如的半直积，所有的子群含在p 中，且 子群败是连通的 注：对于引理3 3 ，3 4 中的如，均有l i e ( 戤) = o g x ( m ) 小 0 4 幂零轨道上的f r o b e n i u s 映射 4 1 抽象的有理点的计算公式 下面的章节中，我们总假设口= 矿是给定的一个素数p 的幂p 2 ，f 覃是留个元 素的有限域，忌= 虬是的代数闭包对于任意的整数玎l ，是包含在七= 或中 b 唯一的域扩张f 是g 的一个的f 幻b e i l i u s 映射 首先我们介绍一下f r o b e m u s 映射f 的基本性质，f 是g 的具有有限不动点的满 态射，即g ，= 塘gif 国) = g l 是一个有限群，f 可以自然地诱导到李代数g = l i e ( g ) 上去，仍然记为f ，对于g g ，x g 有f 的= f ( g ) ，( 鄹( 参见 3 】，l e m m a2 1 2 ) ，事 实上我们可以选取标准的f r o b e i l i u s 映射固定g 的c h e 讪e y 基对于g 中的任何一个 幂零轨道d ，由于考虑的是标准的i l i u s 映射，故所有的轨道都有一个f 一有理结 构( 参见【3 】，l e 衄l l a5 8 ) 我们有下面的结果 6 命题4 1 ( 【9 】，p r o p o s i t i o n4 3 2 ) 设g 是连通仿射代数群，g 可迁的作用于一个g 一簇 天上，是x 上的f r o b e n i u s 映射，且与，相容，即，7 ( g 曲= ，( g ) f 7 ( 劝那么 ( a ) 集合x ，= 协疋i 尸( 曲= 工 是非空的， ( b ) 设勋，如果托在g 中的稳定化之瓯是g 的连通子群，那么g ，可迁的 作用于x 上 将上述命题应用到李代数g 的幂零轨道d 上面，可以看出存在x o ，考虑x 在g 中的稳定化子戗，仍按3 4 中的记号，把g x g ；记为a ( 的由于x o f ，我们有 f ( g x ) g x ，( g 曼) g ；，f 的作用自然诱导到a 上 定义4 2 设日是一个群，是一个群同态，：日一日，如果对于口，日，存在c 日 使得= r 1 口，( c ) ，我们就说口，口是f 一共轭的，用日1 ( e 王d 表示日上，一共轭类的 集合 仍然考察一个幂零轨道d ，x d ，的存在性由命题4 1 ) ，对任意的y ，存 在g g 使得y = g x 我们有g x = 】，= f ( 功= ，( g = ， ) ，( 的= ，心) x ，因此 g 一1 ，( g ) g x 记典范映射g x a ( 的= g x g ；为口ha ，那么g 一1 f ( g ) a ( 鄹，给一个 元素y 矿，n a ( 的，如果说存在g g 使得y = g x 并且口= g 一1 f ( g ) ，那么我们就说 y 与口是关联的。记为y 口 定理4 3 ( 【9 】，m o f e m4 3 5 ) 上述定义的关联一诱导了一个从g ，在矿上的轨道类 到集合日1 ( ea ) ) 的双射 注：自然映射h 1 ( ， g x ) _ 日1 ( e a ( 嗣) 事实上是一个双射 结合上面的结果，对于幂零轨道d ，x 矿，将a 简记为a ，我们得到下面的一 个重要的公式， = 口厄，觑i n 厄，晶 ， 口日l ( j e a )n 日1 ( f ) 其中兄c ，对应于口a 的f 一共轭类，即兄一口h o l t 强ds p a l t e n s t e i n 给出了 另外的一个公式。 定理4 4 ( 参见【8 】，p r o p o s i t i o n1 ) 沿用上文中的记号，我们有 = 由委晶 ， 7 竺查堕堇盔兰堕主笙窒墨雯塾堕堡二查型盛塑全塑 4 2 h o l t - s p a l t e n s t e i n 公式的证明 对于上文中的公式( 4 2 ) 我们将给出一个证明，首先我们需要下面的l 柏g s t e i n b e 培定理 定理4 5 ( 【7 】，1 0 ) 设g 是一个连通仿射代数群，f 是具有有限不动点的g 的满自同 态，那么映射z ：ghg 一1 ，国) 是g 的满态射 我们已经知道i g ，艺i = 碟= 晶，对于瓯，我们有瓯= _ 毋哦，毋 是g 关于它的单位连通分支g 曼的陪集代表元，人是指标集，因此从集合上看 ( 瓯) ，= _ ( g 之) ，很容易验证对于满足玎1 f 瞎f ) g 芄的舒，毋g 芄才能具有一个 f 一有理结构对于玎1 f ( 9 1 ) g 免，在g 乞上应用l a i l g - s t e i n b e 唱定理，可以得到存在 胁g 乏使得瑰f ( f ) 1 = 町1 ，( ) ，如此我们便可以建立一个映射， 妒：g f g 免一g 芄， g h f 1 ) ， 对于元素蹦b g 乞) ，那么，国却= g ，= ，簖1 聊因此，( 酊1 炉= ，( 酊1 ) ，) = f ( 酊1 ) f ( 玎1 ) 黝，= 酊1 弘再回到玎1 f ( g f ) g 乞事实上等价于舀= 瓦丽= ，回a ( 乜) ，考察f 作用在a ( 五) 上，记k a 阮) ) ，i 为a ) 中，一稳定点的个数，这样 我们就有下式： i ( g 也) ，i = l ( a 陇) ) ，( g 乞) ，i 所以， = 礁厄，伊到= 口e 厄，晶= 4 e 厄，丽揣岛= 由萎品 注：上述的论证中我们有时候用口日1 ( e a ) 和口a ，在不引起混淆的情况下， 我们总是用如此的记号 8 5 幂零轨道有理点的计算 5 1 标准f r o b e n i u s 映射 我们仍然是考虑典型群的情况，域七= 或，设g 是下列的典型群，即 g = s 以甩，七) s d ( 2 ，l + l ，助 s p ( 2 m ，七) s d ( 2 m ，d 令b ：= 既( 七) ng ，：= m ( 助ng ，：= 以( 七) ng ，日：= 瓦( 七) ng ，其中既( 七) 是 g l ( n ，七) 中所有的上三角矩阵构成的子群，m ( 七) 是g “ ，七) 中所有的单项阵构成的子 群，仉( 七) 是g l ( 玎，七) 中对角线上都是1 的上三角矩阵构成的子群，瓦( 七) ：= 玩( 七) n m ( 七) 是g “，l ，七) 中所有的对角项阵构成的子群，那么e 形成了g 的分裂的删一对( 参 见【9 】，d e f i n i t i o n1 6 1 3 ) ，并且曰，以日都是连通群，d i m ( u ) = z ( 帅) ，w o 是w i e y l 群中的最 长元 首先我们考虑g l ( ，l ，七) 上标准的融i l i u s 映射，记为凡，准确地说 f - 0 ：( 孑l ( n ，七) g “，l ，动， ( 叼) 一( 口0 ) 对应的有限群记为g “，l ，屹) = g 以n ，七) ，0 ，已经知道，i g l ( n ，b ) l = 砂1 7 2n ( 矿一1 ) ， 类似的我们记，s 以n ，屹) = s l ( n ，幼，o ，s d ( 2 m + l ，) = s d ( 2 m + l ，足) 凡，s p ( 2 m ，f 鼋) = s p ( 2 m ，幼凡，sd ( 2 m ，) = sd ( 2 m ，七) ，o 5 2 n o n - s p l i t 的情况 对于g j 乙伽，幼，我们考虑其上的另外一个映射， y ：g l ( ，l ，七) g 以n ，d ， g 卜啄1 ( 矿) - 1 ，l o 9 堡查堕堇奎掌堡主迨窒量雯塾堕垦二查堡皇塑全塑 其中，l o = o o1 o 1o ；0o 1 0o 。仃表示矩阵的转置 很容易去验证y 是代数群的同态，并且与标准的i l i u s 映射凡是交换的，尹 是恒等映射令p ：= 凡oy ，注意到f 仍然是g l ( ，l ，d 上的f r o b e l l i u s 映射我们来考 察f 7 对应的有限代数群，很容易看出( f ，) 2 是关于f 乒的标准1 1 i u s 映射，因此有 g l ，七) p g l ( ，l ，峰) ，同时把凡限制到g l ( ，l ，屹：) 上，我们得到一个2 阶的自同态， 记为gh 雷，因此我们得到 g l ( 刀，七) = g u ( 咒，b ) ：= g g 以咒，) j 矿，1 0 9 = ，1 0 g u ( n ，峨) 称之为关于伽定义的h e n i l i t i 觚型的酉群 类似于如上的构造，对于正交群s d ( 2 m ，动，考虑矩阵 k io o0 0 o10 ol0 o oo0 厶一l d ( 2 ，l ，妨 事实上正规化s d ( 2 m ，七) ，设r 是由矩阵的共轭所定义的s d ( 2 ，l ，七) 的自同构，并 且有r o 凡= 凡o l 我们又获得了s d ( 2 m ，助上的另外一个f 如b e i l i u s 映射，仍记为尸， ，：s d ( 2 m ，助js d ( 2 m ，d ， g 卜1 凡( g ) 记s d - ( 2 职f 口) ：= s d ( 2 ，l ，七) ，称之为，l d 玎一印胁正交群 下面我们给出有限典型群的阶数( 参见【9 】，t a b l e4 1 ) ，即 i g l ( n ，屹) i = 扩一1 7 2 ( g 一1 ) ( 矿一1 ) ( 矿一1 ) ( 矿一1 ) ， i g u ，b ) i = 矿研一1 7 2 ( 口+ 1 ) ( 矿一1 ) ( 矿+ 1 ) ( 矿一( 一l y ) ， i s p ( 2 m ，屹) i = 矿萨( ( 矿一1 ) ( 矿一1 ) ( 毒拥一1 ) ， 1 0 i s d ( 2 m + l ，屿) l = 矿2 ( 留2 一1 ) ( 矿一1 ) ( g 抽一1 ) ， 晦d ( 2 m ，屹) i = 矿肌一1 ( 矿一1 ) ( 矿一1 ) ( q 抽一1 ) ( 矿一1 ) ， 晦d - ( 2 m ，) i = 矿沏- 1 ( 矿一1 ) ( 矿一1 ) ( 尹一1 ) ( 矿+ 1 ) 5 3 a ( 的的结构与熙的维数问题 接下来我们看一下商群g j ) | f g ；的结构因为g x 皇q 戥且戤是连通的，故 g x g ；盘q g ，把g x g ；记为a ( ，我们仍然用s = 1 ，一1 分别表示正交群和辛群， 则我们有下面的结论， 命题5 1 ( 【2 】，3 1 3 ) g k g 量皇( z 2 z ) 口，其中， i l 乃 o ，fo d d l ，如果= 1 ； il ii 厂f o ，fe v e n ) i ，如果s = 一1 我们考虑幂零轨道0 x 伊，f 是标准的l l i u s 映射，对于y g x ，x = f ，( = ，的= ，= x ，因此f 可以作用到戗上，由引理3 3 ，3 4 ，我们可以看 出g x 皇q 蛾，通过( 【1 0 】，p 2 5 0 ，1 7 ) 我们知道q ，戢均定义在r 上( 定义2 1 ) ，因 此我们很容易得到下面的引理。 弓i 理5 2 i ( g x ) ，i = l ( i e x ) f 0 ( r x ) ，1 再回到g 的结构上去，从引理3 2 前面的说明可以看出，q 的结构是由一个单态 射鳅( 0 ) _ g i ( 肘1 ) g i ( ) g i ( 坞) 所决定，事实上是将任意的g q 限制到子 空间旭= j 毒，砒上去考虑因此白有理点的个数就是其同构的群( 引理3 2 ) 的有 理点的个数从幂零轨道的求和公式上看，日1 ( e a ( 的) 结构是需要我们了解的 引理5 3 f 在a ( 嗣上的作用是平凡的，即任意口a ( 嗣，( 口) = 口 证由于我们只是考虑典型群，对于a 型，我们考虑g l ( n ，足) 的情况，当考察幂零轨道 的时候与s l ( n ，助是一致的，a ( 的= g x g ；，g x 是连通的( 引理3 3 ) ，因此a ( 鄹本身就 是个平凡群，对于正交群和辛群，通过引理3 2 ，可以看到白是一些定义在上的正 交群和辛群的直积，因此q 上不会改变其关于g 的陪集类，故f ( 口) = 口，a a ( 的口 l l 堡查堕垄奎兰塑主迨塞蔓雯塾堕堡二鱼堡皇塑全塑 由上面的两个引理，再根据命题5 1 ，我们知道a = a ( 是a b e l 群，故日1 ( e a ) = a ( 参见 1 0 】，a 咖1 1 a 巧2 8 ) ，因此公式( 4 1 ) 可以改写为 伊i = 萎伊i = 萎搞 c 5 m 对于任意的口a ，乜，从命题5 1 下面的注记中可以看出 d i m ( g x ) 一d i m ( c k ) = d i m ( 鲰) 一d i m ( g x ( o ) ) = d i m ( r x ) 而整个的证明是与轨道的代表元选取没有关系的，故所有的氏具有相同的维数 d i m 眠) = d i m ( 风) = d i m ( 鲰) 一d i m ( g x ( 0 ) ) 且所有的哦都是连通幂幺群( 参见【2 】， 【1 1 】) 下面我们对幂幺群给出一些有用的结果，回顾一下，一个代数群被称为幂幺群是 说它的所有元素是幂幺的( 参见【l 】，1 7 5 ) 对于幂幺群我们有下面重要的定理， 定理5 4 ( 【9 】，n e o f e m4 2 4 ) 设是一个连通幂幺代数群，具有一个喝一有理结构， n i u s 映射，：u u ，那么有，l u ，l = 口d i m ， 通过上面的讨论。由于所有的氏具有相同的维数d i m 俾) = d i m ( g x ) 一 d i m ( g x ( 0 ) ) ，结合定理5 4 这样我们就进一步得到改进的幂零轨道有理点的公式 命题5 5 公式( 5 1 ) 可以改进为， 妙i = 善l g ，咒i = 委器 c 5 力 由于d i m ) = d i m ( g x ) 一d i m ( g x ( o ) ) ，这就使得我们有必要去计算d i m ( 鲰) ，事实 上d i m ( g x ) 就是轨道的余维数，我们有下面的公式， ( 咖扣( g i ( 一；：毛争 其中s = 1 ，一1 分别表示正交群和辛群，而对于一般线性李代数的情况，前面已经给出， d i m g i ( = ( 飞) 2 = n + 2 ( 磁 1 2 堡奎堕堇奎兰塑迨塞蔓雯塾堕垦二查堡皇塑全塑 结合上面的两个式子我们很容易的看出( 参见 2 】，3 2 ) ： m m c 小扣c m 喜c 磁净l 西删i 回顾一下，对于典型李代数的维数，我们有 d i m g i ，d = 聆2 ，d i m 5 d ( 2 册+ l ，七) = 2 册2 + 研， d i m 5 “2 ，l ，助= 加2 + m ，d i m 5 0 ( 2 m ，幼= 2 肌2 一m 前文中我们已经知道，如果g = g l ( n ，那么鲰( o ) 就同构于所有g i ( 几，助的直积，并且 妇( o ) 兰几5 。( 几 j l ：jo d d g x ( o ) 兰兀5 p ( b ， 岿l ：jo 翻 ，七) 几“b ，七) ，如果= 1 ， d l ：je 啪 妨兀5 。( 以，d ，如果= 一1 j l ：jc 啪 这样对与g 中的幂零元x ，对应的分划7 r = 汹如4 0 ) = 【l 九，2 也，3 乃，】，经过上面的分析，我们很容易得到下面的引理 引理5 6 如果代数群g = g 从y ) ，那么 d i m ( 麟) = d i m ( 功+ 2 ( f 一1 ) 西一乓 如果= 1 正交群的情况下，那么 c 胁扣功+ 喜”蜘扣西删j 一。邑僻叫肛。量锄碡尼 如果s = 一1 辛群的情况下，那么 渤鼢扣c ”+ 喜c 肿扣面删l 一。邑醒圳肛。量锄醒叫亿 1 3 堡查堕堇奎兰堡主笙窒墨雯塾堕堡二查堡塞塑全塑 5 4 魄的结构和对分支群a ( 的的分析 固定一个幂零轨道d ，x d ，对于任意的口a ，艺d ，我们要看对应的氏在 f r o b e n i u s 映射，下有理点的情况，由于对于g 以y ) 的情形时，a = a ( 的是一个平凡群， 因此我们只需要去考虑正交群和辛群的情况，即s = 1 ，一1 的情况，首先我们回顾一下 命题5 1 的结果， i i n o ，fo d dl i ，如果s = 1 ； i l ，f o ，fe v e n l ，如果= 一1 由此我们给出a 中元素的一个参数化， g = d ( 功，f 厄s = 1 时：令是对应于奇数s 的a 的一个生成元，那么任意的 口a 可以唯一的写成口= 兀毋 g = s p ( y ) ，f 幺s = 一1 时：令孱是对应于偶数s 的a 的一个生成元，那么任意的 口a 可以唯一的写成口= 兀髓 由于我们考虑的是连通代数群，对于上述g = d ( ”情况我们要限制到g = s d ( y ) 上去考虑，有引理3 3 ，3 4 我们知道，g x 皇g 心且如是连通的，令g g ，d e t ) = 一1 ，那么g = g 7ug g 7 ，因此从集合上看g x = g u ( 妒7 ) x ，由于取是连通 的，所以取cg 羔，o 中对应于偶数s 的群也是连通的，从定理4 3 的注记中可以看出， 实际上我们仅需要考察日1 ( eg 0 ) ，通过上面我们知道是选取d e t = 1 的元素，因此我 们有下面的引理 引理5 7 对于群g = 伙功以及它的单位连通分支g ，= s 伙功，其相应的a ，= a = g g ，对于元素口a 7 ，自然的口7 a = a ( 的= g x g 呈，且当口，表示成= 兀。硭 的形式时，有k 三0 ( i i 川2 ) 这样对于典型群b ，c ，d 型，a = g x g 量我们有下面的性质 命题5 8 ( 1 ) g 是曰，d 型时，任意给定的口a 可以唯一的写成， 口= 兀。，其中屯兰o ( m ) d2 ) ， j l ：jo 甜 ( 2 ) g 是c 型时，任意给定的口a 可以唯一的写成 口= 兀成 j l ：je 啪 1 4 下面我们考虑对于给定的口a 考察氏在f r o b e n i u s 映射，下有理点个数 i ( 氏) ，i ，对于a 型，我们总是考虑g = g ( 功，我们已经知道中心化子是连通的，并且 有下面的b 一同构：c i 一丌g l ( r f ，七) ( 参见【l o 】，e 一8 5 ，c o r o l l a 叫1 8 ) ，因此l c l 的计 算式容易的而对于g = 伙y ) ，我们有q ( 岛) 兰 兀 d ( 臃，匕) 兀 s p 仉，f 口) ，对 于g = s p ( 功，我们有g ) 垒 兀 d ( ，b ) 兀 s p ( 以，匕) ，这里鬼表示s p l i t 或 者是n - s p l i t 型( 参见【1 0 】，e - 9 5 ，2 2 5 ) ，而我们知道无论是哪一种型都会对应于一个 口a ，我们需要下面的引理去说明 引理5 9 如果，是d ( 2 肌，七) 上标准的l l i u s 映射，并且存在9 0 d ( 2 肌，七) 使 得骺1 ，( g o ) = ，那么，是g o d ( 2 m ，七) 酝1 上n 伽s p l i t 的f f 6 b e n i u s 映射其中和 n o n - s p l i t 是在5 2 中所定义 证我们可以看到f 将勘d ( 2 ，l ，七) 聒1 中的每一个元素g o 熠i 1 映到，( 踟) ，c 酝1 ) ，由 于聒1 ，0 0 ) = ，所以f o ) ，) ，0 i 1 ) = 踟f 坍，( ) ，) 密踮1 ，比较5 2 中n o n - s p l i t 的定义， 我们即可得到结论口 由上述分析以及引理，我们可以看到对于选定幂零轨道d ，x 矿，虽然c x 不一 定同构于一个均为s p l i t 情形的群，但是我们从能够通过共轭作用将其变成s p l i t 型，也 就是使得上述分析中的鬼均对应于s p h t 的情形，如此我们便可以选取新的轨道代表 元x d 使得c k 均同构于s p h t 情形我们对于正交群和辛群，需要下面的分类讨论， ( a ) g = 伙叻时，由命题5 8 ，口=n砖，我们简记为口= ( 岛，岛，乜，) 其中 岛= 1 ，o ，很容易看出对于每个生成元口i ，我们可以选取3 2 节的作为代表元，这样 对于k = 1 的吼实际上引起了白中的对应于d ( 几，d 的一个共轭，使得，限制到氏 中以是偶数的部分变成了一个n o n - s p l i t 的情型 例：d i m ( n =