（基础数学专业论文）关于可拓扑生成lf拓扑空间“l好的推广”性质的讨论.pdf

西北大学硕士学位论文 摘要 本文主要是在已有的一些可拓扑生成l f 拓扑空间关于在r l o w e n 意义下 “l 一好的推广 性质的前提下，进一步证明了其它“l 一好的推广 性质，从而全 面系统的研究了可拓扑生成l f 拓扑空间“l 一好的推广”性质，以便进一步丰 富和发展可拓扑生成l f 拓扑空间的基本理论。全文内容共分为六章： 第一章介绍了可拓扑生成l f 拓扑空间的研究背景与现状； 第二章介绍了可拓扑生成l f 拓扑空间的基本理论及其在r l o w e n 意义下 “l 一好的推广 性质的定义； 第三章反例说明了连通性不是r l o w e n 意义下“l 一好的推广 性质： 第四章在已知第一可数性，可分性，准l i n d e l o f 性是r l o w e n 意义下“好 的推广的前提下，又将结果推广到l 模糊格上，即证明了他们又都是r l o w e n 意义下“l 一好的推广 性质，同时又证明了f r e c h e t 性和序列式性也是r l o w e n 意义下的“l 好的推广性质；而第二可数性本文只证明了部分结论，还有待以 后进一步的讨论； 第五章在已知瓦分离性，五分离性，疋分离性，五分离性，乙j 分离性，s 瓦 分离性，s 瓦分离性是r l o w e n 意义下的“l 好的推广 的情况下，本章又证明 了瓦分离性，s 五分离性，s l 分离性，五分离性也是r l o w e n 意义下的“l 好 的推广 性质； 第六章在己知超f 紧性，良紧性，强f 紧性，f 紧性都是r l o w e n 意义下的 “l 好的推广”性质和仿紧性是r l o w e n 意义下的“好的推广的情况下，提出 问题且总结全文。 关键词：可拓扑生成l f 拓扑空间；“l 一好的推广”性质；连通性；可数性； 分离性；紧性。 西北大学硕士学位论文 d i s c u s so f l - g o o dg e n e i a l i z a t i o n p r o p e r t i e so fl f t 1 0 p o l o g i c a l s p a c e sg e n e r a t e db yac s p1 0 p o l o g y a b s t r a c t i nt h i s p a p e r ，h a v i n ga l r e a d yb e e nl 【1 1 0 w ns o m e “l 9 0 0 dg e n e r a l i z a t i o n p r o p e r t i e su n d e rt h er l o w e nm e a n i n gi nl j ft o p o l o g i c a ls p a c e sg e n e r a t e db yac r i s p t o p o l o g y ，o t h e r “l 9 0 0 dg e n e r a l i z a t i o n ”p r o p e n i e sa f ef u n h e rp r o v e d l g o o d g e n e i a l i z a t i o n ”p r o p e r t i e so fl ft o p o l o g i c a ls p a c e sg e n e r a t e db yac r i s pt o p o l o g ya i c s t u d i e do v e r a l l 柚ds y s t e m a t i c a l l y ，i n0 r d e rt 0e n r i c ha n dd e v e l o p m e n tf u n h e rt h e b a s i ct h e o r i e so fl ft o p o l o 百c a ls p a c e sg e n e r a t e db ya 酮s pt o p o l o g y n em i n c o n t e n t0 ft h ep a p e ri sd i s c u s s e da sf b n o w s ： t h ef i r s tc h a p t e r ，i nw h i c ht h er e s e a r c h i n gb a c k g r o u n da n dp r e s e n tc o n d i t i o n o fl ft o p o l o 舀c a ls p a c e sg e n e r a t e db yac r i s pt o p o l o g ya r ei n t r o d u c e d ； i i lt h es e c o n dc h a p t e f ，t h eb a s i ct h e o e s柚dt h ed e f i n i t i o n 0 f “l 9 0 0 d g e n e r a l i z a t i o n ”p r o p e r t i e su n d e r t h er l o w e nm e a n i n gi n t o p o l o g i c a ls p a c e s g e n e r a t e db yac r i s pt o p o l o g yi si n t r o d u c e dc o m p l e t e l y ； s i m u l t 锄e o u s l y c 0 衄e c t e d n e s si s n o tl 9 0 0 d g e n e r a l i z a t i o n p r o p e n i e s u n d e r t h er k w e nm e 锄i n gi sp r o v e d b yac o u n t e r c x 锄p l ei nt h et h i r dc h a p t e r ； n ef o u n hc h a p t e r i nw h i c hh a v i n ga l r e a d yb e e nl 【n o w nt h ef i r s tc o u n t a b l i t y ， s e p a r a b i l i t y 卸ds t a n d a r dp r o p e n i e so nu n d e l o fa r e “9 0 0 dg e n e r a l i z a t i o n ”u n d e rt h e r l o w e nm e 柚i n g ，柚dw h i c hi se x p 柚d e ds u c c e s s f u l l yo nt h el f u z z yl a t t i c e ，a no f t h e ma r e “i ，g o o dg e n e r a l i z a t i o n”p r o p e n i e su n d e rt h er l 0 w e nm e a n i n g ，i nt h e m e a n t i m e ，f r e c h e ta n do r d e rs p a c e sa r e “l 广g o o dg e n e r a l i z a t i o n ”p r o p e n i e su n d e r t h e r b w e nm e 锄i n gi sp r o v e d ；b u tt h ec o n c l u s i o no nt h es e c o n dc o u n t a b l i t yi sp r o v e d p a r t l yi nt h i sp a p e r a l s ow h i c hi sd i s c u s s e df u n h e ri nt h ef u t u r e ； i nt h ef i f t hc h a p t e r ，h a v i n ga l r e a d yb e e nk n o w nt o ， t l ，t 2 ，t 3 ，t 3 5 ，s t 2a n d s t 3s e p a r a b i l i t yi s “i ，g o o dg e n e r a l i z a t i o n p r o p e n i e su n d e rt h er i 乃w e nm e a n i n g ，a t t h es a m et i m e ，t 4 ，s t l ，s t 4 ，t 3 s e p a r a b i l i t yi s l - g o o dg e n e r a l i z a t i o n p r 叩e 九i e s l j 两北大学硕士学位论文 u n d e rt h er l o w e nm e a n i n g ； i l lt h es i x t h c h a p t e r h a v i n ga l r e a d y b e e nl ( i l o w n u l t m f u z z y n c o m p a c t n e s s ，s t r o n gf 锄df c o m p a c t n e s sa r c “i ，9 0 0 dg e n e r a l i z a t i o n p r o p e r t i e s ， a n dp a r a c o m p a c t n e s s i s 酽l o dg e n e r a l i z a t i o n p r o p e r t y ap r o b l e mi sp u tf 0 聊a r da n d t h ef h l lt e x ti ss u m m a r i e d k e y w o r d s ：l ft o p o l o g i c a ls p a c e sg e n e r a t e db yac r i s pt o p o l o g y ，“l 9 0 0 d g e n e r a l i z a t i o n ”p r o p e n i e s ，c o n n e c t e d n e s s ，c o u n t a b l i t y s e p a r a b i l i t y c o m p a c t n e s s i i i 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名： 砸勉鲤 指导教师签名：遣鱼! ：垄一 学位论文作者签名： 碰垒趣缴 指导教师签名：馑! ( ! 丝一 7 以年6 月) 7 日7 口口扩年易月侩日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除了文中特别加以 弛和致谢的地方外，本论文不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而 使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者虢矾加寡 功孵月l y 日 西北大学硕士学位论文 1 1 研究背景与现状 第一章绪论 继确定性随机性两个阶段以后，1 9 6 5 年，z a d e h 教授建立了模糊集理论【1 】【5 1 ， 奠定了模糊数学理论和应用的基础，数学开始进入过去的禁区：模糊性的研究。 这一研究是以复杂系统的控制为契机，又经计算机问题的有力推动下展开的针对 在多变量、非线性的大系统中遇到的复杂性与精确性、模糊性与确定性形成的尖 锐的矛盾而展开的。美国著名的控制论专家指出，为了对整个问题的描述有意义， 我们必须在准确与简明之间取得平衡，从而开创性地提出了模糊集合的概念。模 糊集合的提出正是为了用比较简单的方法，对复杂系统作出合乎实际的处理，因 此模糊集合除了在自动控制、系统分析、知识描述、图像识别等应用领域取得了 巨大的成功之外；由于模糊数学拓广了经典数学的数学基础集合论，摈弃了 “排中律，建立在模糊集合论基础之上的各种数学结构便应运而生，经过海内 外学者的共同努力，几十多年来，在拓扑学、分析学、代数学等领域都取得了可喜 的进展。特别是模糊拓扑将值域推广到具有逆序对合对应的完全分配格上，从而 提出了l f 拓扑【6 l - 【1 0 l ，l f 拓扑学发展到今天已经有诸多的分支，有着丰富的结果 和方法，已成为近代纯粹数学的重要支柱，它的方法和结果日益渗透到分析、代 数、几何、计算甚至物理学等各个领域。其中拓扑生成与非拓扑生成l f 拓扑空 间就是一个分支。 多年来，r k l w e n 主要致力于对非拓扑生成l f 拓扑空间( n o n t o p o l o g i c a l ) 的研究【1 1 1 - 1 1 5 1 ，我们知道：x 上的每个l f 拓扑6 毫无例地总是由某适当的分明拓 扑空问上的一部分l 值下半连续函数所构成，而所谓6 是可以拓扑生成的只不过 是指6 由全部这种l 值下半连续函数所构成而已，由此可见对下半连续函数以及 对可拓扑生成l f 拓扑空间研究具有某种广泛性。王国俊教授已在文献【1 0 】中对可 拓扑生成l f 拓扑空间关于r l o w e n 意义下“l 一好的推广 部分性质给出证明， 还有些性质有待研究分析，正是基于此，本文对可拓扑生成l f 拓扑空间关于 r l o w e n 意义下“l 一好的推广”性质展开了讨论。 两北人学硕十学位论文 1 2 本文研究工作与安排 本论文的结构和主要研究内容如下， 第一、二章，介绍了可拓扑生成l f 拓扑空间的研究背景与现状及其基本理 论。 第三章，在已知连通性( 见文献【1 0 】，1 1 6 1 1 8 1 ) 是r l 0 w e n 意义下“好的推广” 的前提下，本章证明了连通性不是r l o w e n 意义下“l 一好的推广 ，并给出了反 例。 第四章，在已知第一可数性，可分性，准l i n d e l o f 性( 见文献【1 0 】，【1 9 】【刎) 都 是r l o w e n 意义下的“好的推广”的情况下，本章证明了他们又都是r l o w e n 意义下“l 一好的推广性质；同时证明了f r e c h e t 性和序列式性也是r l o w e n 意义下的“l 好的推广性质；而第二可数性本文只证明了部分结论，还有待 以后进一步的讨论。 第五章，在已知瓦分离性，五分离性，瓦分离性，五分离性，五j 分离性，s 互 分离性，s 五分离性( 见文献【1 0 】，【2 5 】。【3 0 1 ) 是r l o w e n 意义下的“l 好的推广 的 情况下，本章证明了l 分离性，s 五分离性，s 瓦分离性，乙分离性也是r l o w e n 意义下的“l 好的推广打性质。 第六章，在己知超f 紧性，良紧性，强f 紧性，f 紧性( 见文献1 1 0 】1 3 1 】- 【3 5 】) 都是r l o w e n 意义下的“l 广好的推广和仿紧性是r l o w e n 意义下的“好的推广” 的情况下，本章提出了问题，仿紧性是r l o w e n 意义下的“l 好的推广”吗? 总 结全文且对今后的研究工作提出了一些建议。 2 西北大学硕士学位论文 第二章可拓扑生成l f 拓扑空间的基本理论 2 1 可拓扑生成l f 拓扑空间的定义 定义2 1 1 1 0 1 设l 是格，a l ， ( i )a 称素元，若对l 的任意元x 与y ，当x ) ，s a 时，有xs a 或ys a ； ( i i )a 称交既约元，若对l 的任意元石与 ，当x y = a 时，有z = a 或y = a ； ( i i i )a 称余素元，若对l 的任意元x 与y ，当a s 工vy 时，有a sx 或a sy ； ( i v )a 称并既约元，若对l 的任意元x 与y ，当a = xvy 时，有a = z 或a = y 。 定义2 1 2 1 0 1 设l 是格，a l ，a 称分子，若a 是非零的并既约元；称l 是 分子格，若l 是完全分配格；称l 是f 格，若l 是具有逆合对应的分子格。 定义2 1 - 3 1 0 1 设( x ，) 是分明拓扑空间，l 是f 格，a ：x _ l 是映射， 如果：v a l ， x x l a ( x ) s a ) ，这里，表示( x ，厂) 中的全体闭集之族， 则称a 为x 上的l 值下半连续函数。 结论2 1 4 1 0 1 设( x ，) 是分明拓扑空间，l 是f 格，以( ，) 表示x 上 的全体l 值下半连续函数之集，则， ( i ) x 上的每个在l 中取常值的函数属于吡u ) ； ( i i ) 若a ，b ( ，) ，则彳 b 魄( ，) ； ( i i i ) 若ac ( ，) ，则v a 吡( ，) 。 定义2 1 5 1 0 1 设( x ，j ) 是分明拓扑空间，l 是f 格，则q ( ，) 是x 上的 l f 拓扑，叫作，在上生成( 或诱导) 的拓扑，( r ，q ( ，) ) 叫作由( x ，) 拓扑生成( 或诱导) 的l f 拓扑空间。当l = 【0 ，1 】时，( ，吡u ) ) 叫作由( x ， ，) 拓扑生成( 或诱导) 的f 拓扑空间。 2 2 可拓扑生成l f 拓扑空间的基本性质 结论2 2 1 1 0 1 设( x ，) 是分明拓扑空间，l 是f 格，e 是x 的子集，则 e j 当且仅当吡u ) ，这里：x l 是e 的特征函数。 结论2 2 2 3 6 1 设4cx ( t t ) ，a cx ，则： 钯42 善以；奄42 台托；九2 ( 甄) 西北人学硕士学位论文 结论2 2 3 1 0 1 设l 是f 格，x 是非空集，卢cr ，如果v = 1 且对非空 有限交运算关闭，则r 上有唯一的l f 拓扑6 使是6 的基，称6 为由卢生成的 l f 拓扑。 结论2 2 4 1 0 1 设( ，吡u ) ) 是分明拓扑空间( x ，) 生成的l f 拓扑 空间，则卢= ，l g ，r u 构成吡u ) 的一个拓扑基。 2 3 可拓扑生成l f 拓扑空间r l o w e n 意义下“l 好的推广”性质的介绍( 见 文献f 1 0 1 1 1 1 】，【1 5 】) 若p 是可拓扑生成l f 拓扑空间( r ，魄u ) ) 的某种性质，当且仅当( x ， ，) 也具有性质p ，那么称性质p 是可拓扑生成l f 拓扑空间r l o w e n 意义下“l 一 好的推广性质；若上述情况仅在l = o ，1 特例时成立，称性质p 是可拓扑生成 f 拓扑空间r l o w e n 意义下“好的推广 性质。 4 两北人学硕+ 学位论文 3 1 基本定义及其性质 第三章连通性弟二早】壬迎。l 土 定义3 1 1 设( ，6 ) 是l f 拓扑空间，a ，b r ，如果彳一 b = a b 一= o ， 则称l f 集a 与b 是隔离的；如果不存在异于0 的隔离集b 和c 使a = bvc ， 则称l f 集a 是连通集；特别当最大l f 集1 是连通集时，称( r ，6 ) 是连通空 间。 结论3 1 2 呷1 设( r ，6 ) 是l f 拓扑空间，则下列条件等价， ( i )( p ，6 ) 不是连通空间； ( i i ) 存在两个非0 闭集a ，b 使avb = 1 ，a b = o ； ( i i i )存在两个非0 开集a ，b 使a vb = 1 ，a b = o 。 结论3 1 3 加1 连通性是“好的推广性质，即l = 【0 ，1 】，x 是非空集合， ( r ，吡u ) ) 是分明拓扑空间( x ，) 生成的f 拓扑空间，( r ，吡u ) ) 是连通空间当且仅当( x ，) 是连通空间。 3 2 问题的提出 由结论3 1 3 【1 0 】，连通性是r l o w e n 意义下“好的推广 性质，那么我们很 自然的想连通性是r l o w e n 意义下“l 一好的推广性质吗? 本文正是基于此在如 下3 3 小节讨论以上问题并给与证明。 3 3 本文主要结论及其证明 定理3 - 3 1l 是f 格，x 是非空集合，( r ，吡( ，) ) 是分明拓扑空间( x ， ，) 生成的l f 拓扑空间，( r ，吡( ，) ) 是连通空间辛( x ，) 是连通空间； 但是( x ，) 是连通空间，推不出( r ，吡( ，) ) 是连通空间。 证明若( x ，) 是不连通空间，由结论3 1 2 ，( x ，) 中有非空开集e ， f 使euf = x ，enf = 囝，令a = 尬，b = 烁，由结论2 2 1 ，a ，b 吡( ，) 且 avb = v 所= u ，= = 1 ，a b = 施 诉= 旎n ，= z 。= 0 ，而尬= 0 营e = f 2 j ； 所= 0 营f = f 2 j 因为e ，f 非空营施0 ，诉o ，由结论3 1 2 ，( ，q ( ，) ) 不是连通空间，所以定理成立。 气 西北大学硕十学位论文 反例设x 是非空分明集，l = o ，a ，b ，1 ) 是菱形格，这里0 a 1 ， 0 0 ，那么a s b ； “毒 若a s b ，任意z s u p p a 营0 o ，石s u p p a ，b s u p p a ；当x s u p p a 时，a ( z ) o ，而由a 的定义a ( x ) = 1 ， x b ，s u p p a b ；总之b = s u p p a ；( i i ) 若b = s u p p a ，x b 营a ( x ) 0 即x 喏b 营 a ( x ) = 。，又因为z 曰( x ) = 三二茎尝，所以a ( x ) sz 口( x ) 即a s z 占。 西北大学硕士学位论文 结论4 3 1 1 设( r ，6 ) 是l f 拓扑空间，e m ( r ) ，s = s ( n ) ，n d ) 是r 中的分子网，则， ( i )如果任意p ，7 一( e ) ，s 最终不在p 中营s 呻e ； ( i i )如果任意p ，7 一( e ) ，s 经常不在p 中等s e ； ( i i i )如果任意p ，7 一( e ) ，a p 营e 是a 的附着点。 证明( i ) “乍 显然；“辛 任意q ，7 ( p ) ，存在p ，7 ( e ) 使得q s p ，因 为s 最终不在p 中，所以s 最终不在q 中，否则矛盾，s e ； ( i i ) “乍 显然；“号 任意q ，7 0 ) ，存在p ，7 一 ) 使得q sp ，因为s 经常不在p 中，所以s 经常不在q 中，否则矛盾，s e ： ( i i i ) “乍显然；“j 任意q ，7 ( p ) ，存在p ，7 0 ) 使得qs p ， 因为 a p ，所以a q ，否则矛盾，则e 是a 的附着点。 命题4 3 1 2l 是f 格，x 是非空集合，( r ，魄v ) ) 是分明拓扑空间( x ， ，) 生成的l f 拓扑空间，若( x ，) 是第二可数空间，且l 是具有性质t 的 f 格，则( r ，魄( ，) ) 是第二可数空间；若( r ，吡u ) ) 是第二可数空间， 则l 是具有性质t 的f 格。 证明第一部分，设( x ，) 是第二可数空间，且l 是具有性质t 的f 格，设卢= g 1 ，g 2 ，g 3 ，) c ，为，的可数基，由结论4 3 1 ，砟= ，ig j ， l ，i ，j = 1 ，2 ，3 ， c 魄( ，) ，且显然i 鳓is ，这里表示有理数集q 的 基数。下证是( r ，吡u ) ) 的基： 对任意的a 吐u ) ，由结论4 3 1 ，存在厂0 l ，g o i ，使得a = ，因 为卢是( x ，) 的可数基，且l 是具有性质t 的f 格，所以厂0 = 尚，g o = 兰g j ， q 5 ，q 6c q ，所以a = ，0 2 尚z 兰g ，= 磁啄枷，由a 的任意性：魄( ，) 中”l q 由 础o l q 6 ，q 矗 。 任意元可表示为中一些元之并，所以是( r ，魄u ) ) 的可数基，那么( ， q ( ，) ) 是第二可数空间。 第二部分，设( r ，吡( u 厂) ) 是第二可数空间，由结论4 3 1 ，不妨设 御= ，ig j ，l ，i ，j = 1 ，2 ，3 ，) cq u ) 为吡u ) 的可数基，对 1 2 西北大学硕士学位论文 任意的r l ，g ，由结论4 3 1 ，厂吡u ) ，又因为是吃( u ，) 的可数基， 所以，2 矗= 尚z 兰6 i ，l ，g ，q 3 ，q 4 c q ，由结论4 3 2 ， r = v ，g = ug i ，所以l 是具有性质t 的f 格。 砬l 。i 龟瓯i 命题4 3 1 3 设l 是任意格，则l 是完全分配格当且仅当l 可同构表示为集 格。 证明“乍 设l 可同构表示为集格，则存在x 为非空集合，与同构映射妒： l _ 昂( x ) c p ( 均，昂( x ) 为幂集格p ( x ) 的完备子格，由文献1 0 1 ：p ( 为是完全 分配格，由结论4 3 5 ，昂( x ) 是完全分配格，又因为妒是同构表示，由定义4 1 5 ， 和结论4 1 3 ，任意q ，l ，存在6 ：f ，昂( x ) ，使得q ，j = 驴。1 ( 包，) ， 会昌；口f ，) = 会尚9 一魄2 驴4 9 岂6 ：1 2 妒1 ，越 9 包炉，亩 台伊。1 6 ：f ，( 舻，屯山拗r ) ，由定姗6 ，l 是完全分配格； “辛 设l 是完全分配格，由结论4 1 7 ，l 可同构表示为集格。 命题4 3 1 4 若l 是f 格，则l 具有性质t 。 证明设l 是f 格， 由命题4 3 1 3 ，存在同构映射驴：l 一昂( 彳) c p ( x ) ， 晶( x ) 为幂集格p ( x ) 的完备子格，又由结论4 3 5 ，昂( x ) 是完全分配格，对任意 的a l ，驴( a ) 昂( x ) c p ( x ) ，而p ( x ) 是x 的幂集格，显然存在h ( a ) = 日1 ( a ) ， 日2 ( a ) ，h 3 ( a ) ) c 驴( a ) 昂( x ) 使得ve ( a ) = 驴( a ) ，由结论4 3 6 ， 卢( a ) = 妒1 ( h 。( a ) ) ，驴1 ( h ：( a ) ) ，驴1 ( 日，( a ) ) ) c l 且卢( a ) 是可数集，v 卢( a ) = a ， 由定义4 3 3 ，l 具有性质t 。 命题4 3 1 5l 是f 格，x 是非空集合，( ，吡( ，) ) 是分明拓扑空间( x ， j ) 生成的l f 拓扑空间，k m ( r ) ，任意p ，7 一( _ ) 当且仅当p = ，0 ，存 在，o l ，g o ，( 由结论4 3 1 ) g 0 是石的开邻域且a r o 。 证明 “ 设p ，7 一( x ) ，则p 吡u ) 且_ p 营p 。吡( ，) 且 a p ( x ) 营p 吡u ) 且a 。尸( 石) ，由结论4 3 1 ，存在，o l ，g 0 ，使得 西北大学硕士学位论文 尸= r oz 赢 争p = cr o 名镜，= v z 矗，且p c x ，= 乞三主爱，p c z ，= 三喜爱因 为a p 。( x ) 得a r 0 ，所以p ( x ) 0 即x g o ，又因为g 0 ，所以g o 是x 的 开邻域； 乍”设p 。吡( ，) 且p = ，存在r 0 l ，g o ，g 0 是x 的开邻域且 a r o ，则尸( x ) = 苫二喜爱且p 吡( ，) ，a ，0 营a 。，因为x g 。， 尸( x ) = ，又因为a 。r 0 = p ( 石) 营a p ( x ) 营h p ，所以p 矿( _ ) 。 命题4 3 1 6 设( ，6 ) 是l f 拓扑空间，x x ，a r ，h m ) ，则： _ 是a 的附着点营b = x xi 矗s a ) = 【x xia ( x ) a 】- 石。 证明“号设矗是a 的附着点，任意取p 叩一( k ) ，由结论4 3 1 1 ，a p ， 则必存在五x ，当as a ( 薯) 时，a ( 薯) p ( 毛) ，事实上若不然，任意石x ， as a ( x ) j a ( x ) s p ( z ) 而as a ( z ) 营hs a s p ，这与p ，7 一( _ ) 矛盾，那么取 满足上述条件的薯，由命题4 3 1 5 ，p ，7 一( 矗) 营尸= r o ，存在厂0 l ，g o ， ( 由结论 4 3 1 ) g 0 是z 的开邻域且a，o 因为 钺彬盹) “) 纠”( 咖忙耄主爱所以有薯g o ，而徊 且g 0 是x 的任意开邻域，所以b = z xi _ s a ) = x xla ( x ) 之a ) x ； “仁设b c x 且b x ，取a r 使得b = 石xia ( x ) a 】，下证是a 的附着点：由命题4 3 1 5 ，任意p 叼一( 而) 营p = r o ，存在，0 l ，g 0 ，( 由 结论4 3 1 ) g 0 是z 的丌邻域且a r o ，因为b x 且g 0 是石的开邻域，则存在 b 即a ( _ ) 2a 使得g o ，p ( 薯) = 营p ( 薯) = 厂o 。a ，所以a ( 薯) p ( ) ， 说明a p ，由结论4 3 1 1 ，矗是a 的附着点。 命题4 3 1 7 设( r ，6 ) 是l f 拓扑空间，x x ，a ，h m ( p ) ， b = x xl _ s a ) = x xia ( 石) a ，4 = 。，x ：。，而。，) 是a 中的分 子，勘是在t 点取值a 的l f 点，b 中点列岛= x 。，x ：，黾) x ，t b ， 西北火学硕士学位论文 i = 1 ，2 ，3 则，对任意h m ( r ) ，4 一h 兮晶呻x 。 证明“# 设_ z ，由命题4 3 1 5 ，任意p ，7 一( _ ) 营p = ，0 ， 存在l ，g o i ，( 由结论4 3 1 ) g 0 是x 的开邻域且a 厂o 又因为& = 而，z ：， 州_ z 所以存在n ，孙n 时，矗g 0 尸b h 舭) 书嚣所 以尸( 毛) = r 0 又因为a 营a = 尸( 矗) 营a p ( _ ) 等。p ，所以a 最 终不在p 中，由结论4 3 1 1 ，4 呻而； “j ”设4 _ _ ，取石的任意开邻域g 0 ，且令p = r o ，r 0 l ，r o 。a 由命题4 3 1 5 ，营p ，7 ( _ ) ，因为4 _ 黾，所以由结论4 3 1 1 ，4 最终不在p 中，即任意i ，当j i 时x n p 营a p ( x ，) 营a p ( x ，) = 忙主墓又因 为a r o ，所以石j g o 而x f = _ ，x 2 ，b ) cb 则_ x 。 定理4 - 3 1 8l 是f 格，x 是非空集合，( r ，吨( ，) ) 是分明拓扑空间( x ， ，) 生成的l f 拓扑空间，若( x ，) 是第二可数空间，则( r ，吡( j ) ) 是 第二可数空间。 证明由命题4 3 1 2 与命题4 3 1 4 定理成立。 定理4 - 3 1 9l 是f 格，x 是非空集合，( r ，吨u ) ) 是分明拓扑空间( x ， ，) 生成的l f 拓扑空间，( r ，吡u ) ) 是第一可数空间当且仅当( x ，) 是 第一可数空间。 证明“仁 设( x ，) 是第一可数空间，由命题4 3 1 5 ，h m ( r ) ， 任意p ，7 一( _ ) 当且仅当尸= ，o ，存在r 0 l ，g 0 ，( 由结论4 3 1 ) g o 是x 的 开邻域且a r 0 ，现在取所有的这样的厂。随p 得变化而变化，令= ，由结 论4 - 3 7 ， 存在某个瓯g l 使得z g 0 ；cg 0 ， 所以 。= ，o ，s ，s 厂0 = p 营( ，) 2p ， 现在取 叩0 = ( r 1 。) i = 厂o l ，g 0 i g 1 ，i _ 1 ，2 ，3 】，显然，7 。是可数集。 下面证明这样取出的吼包含于闭远域：因为任意a 厂o ，所以 = v = ( r o ) a ，事实上若vr 0 芝a ，由a 是分子：存在某个。苫a ，矛盾。 两北大学硕士学位论文 这时 a 或与a 不可比较。当 0 ， 而由a 的定义：a ( 石) = 1 ，( 即一) a ) ( x ) = 即一) ( x ) a ( z ) = ( 爿一) ( z ) 0 所以 z s u p p ( ( 彳一) a ) ，那么：s u p p ( 彳一) ns u p p a s u p p ( ( 彳一) a ) ， 又因为 两北大学硕十学位论文 a 彳。彳2 ( 爿一) 营彳。 a2 ( 彳一) a 由结论4 3 9 ，营s u p p ( ( 爿一) a ) s u p p ( 彳 a ) ，由结论4 3 1 0 ，所以gnb = s u p p ( 彳一) ns u p p a s u p p ( ( 彳一) a ) s u p p ( 彳 a ) = s u p p o = 彩，所以gnb = 囝，这与b 一= x 相矛盾，所以假设不成 立，彳一= 1 ，那么( r ，吡u ) ) 是可分空间； “号”设( r ，吡u ) ) 是可分空间，则有a r ，使得 彳l = m i n i 妒0 妒cm ( r ) ，v 妒= a ，i 彳is 且彳一= 1 ，令b = s u p p a ，显然l b is ， 下证曰一= x ：假设b 一一x ，任取x x - 口一，因为b 一是闭集营一吡( ，) ，又因 为一c x 户 三二主尝：而c 石，= 。，所以1 c x ，营_ ，所以 一，7 一( _ ) ，由结论4 3 1 0 ，a s s 一号彳一s ，所以_ 彳一，由结论 4 3 8 ，彳一，1 产生矛盾，所以假设不成立，b 一= x ，那么( x ，) 是可分空间。 定理4 3 2 1l 是f 格，x 是非空集合，( r ，魄( ，) ) 是分明拓扑空间( x ， ，) 生成的l f 拓扑空间，( r ，吐u ) ) 是准l i n d e l o f 空间当且仅当( x ，厂) 是i j n d e l o f 空间。 证明“乍设( x ，- ，) 是准u n d e l o f 空间，若9c 吡u ) 且v 驴= 1 ，对 于任意b 妒c 吡u ) ，由结论4 3 1 ，存在l ，g i ，使得b = 托因为v 妒= 1 ， 所以任意x x ，( v 妒) ( x ) = 甚口o ) = ( 兰托) ( z ) = ( 兰) ( z u g io ) ) = 1 营( 占) = 1 a 锄l 匕f。lq 且型g f = x ，令g = g i l i i ，i 是指标集) ，则g 为x 的开覆盖，因为( x ，) 是准l i n d e l o f 空间，由结论4 1 1 5 ，存在x 的可数子覆盖g 0 = g 1 。，g 加， 瓯cg ， 由命题4 3 1 4 ，存在可数个0 l 使得兰02 1 因为 g 。j 营。吡( ，) ，令= 0 。 y ，厂f = 1 ，g f o g 0 ，i = 1 ，2 ，3 】显然 j - i is 缈，下证是妒的子族且覆盖r ：对任意的。托。，因为豆，r = 1 = 兰 且存在某个g j 使得g f 。cg f ，也存在某个i i 使得05 由结论4 3 2 ， 1 7 西北大学硕士学位论文 营。托。s 妒所以是驴的子族；v = vr 。= 工，。飞q 。= 1 如2 1 所以是的可数开覆盖，则( r ，q ( ，) ) 是准“n d e l o f 空间； “专”设( r ，吐u ) ) 是准l i n d e l o f 空间，设g 是( x ，) 的任一族开 覆盖，g = g j li i ，l 是指标集 令= 托ig i g ，i i ，i 是指标集) ，因为 g f ，营托吡( 厂) ，且v = 兰= 乜g2 屁= 1 ，所以是的开覆盖，又 因为( r ，魄( i ，) ) 是准l i n d e l o f 空间，所以存在可数子覆盖：= 。， 地 令g o = g 1 。，瓯，瓯) 因为v 2 二2 乜q = 1 ，所以：= ：g f 。= x ，因 为c 所以g 0 c g ，则g o 是x 的可数子覆盖，那么( x ，) 是准i j n d e l o f 空间。 定理4 3 2 2l 是f 格，x 是非空集合，( r ，吡u ) ) 是分明拓扑空间( x ， ，) 生成的拓扑空间，( r ，吡u ) ) 是f r e c h e t 空间当且仅当( x ，) 是 f r e c h e t 空间。 证明“乍 设( x ，) 是f r e c h e t 空间，任意a ，h m + ( r ) ，若 hs 彳即h 彳一由结论4 1 1 8 ，矗是a 的附着点，由命题4 3 1 6 ，营b = x x l h5 a ) = x xl a ( x ) 2a z ，因为( x ，) 是f r e c h e t 空间，所以b 中 有点列风= 毛，吃，岛) 呻石，五b ，i _ 1 ，2 ，3 ，取 = ，x 2 丑，码 ，) ， h 是在薯点取值a 的l f 点，因为葺b ，所以a ( t ) 之a 营s a 即是a 中 的分子，由命题4 3 1 7 ，4 一h ：则( p ，吡u ) ) 是f r e c h e t 空间； “号 设( r ，吡u ) ) 是f r e c h e t 空间，任意x x ，b c x ，若b x ， 由命题4 3 1 6 ，取a r 使得b = x xia ( x ) a ，h 是a 的附着点，因为( r ， 吡u ) ) 是f r c c h e t 空间，所以存在4 = ，x ：。，黾 ，) 是a 中的分子， 是在毛点取值a 的l f 点，i - 1 ，2 ，3 s a 营a ( 葺) 芑a 所以b 且4 - _ ， 由命题4 3 1 7 ， = _ ，x 2 ，b ) cb 且- x ，所以( x ，) 是f r e c h e t 空间。 定理4 3 2 3l 是f 格，x 是非空集合，( r ，吡( ，) ) 是分明拓扑空间( x ， 西北大学硕士学位论文 ，) 生成的l f 拓扑空间，( r ，吡u ) ) 是序列式空间当且仅当( x ，- ，) 是序 列式空间。 证明“乍 设( x ，) 是序列式空间，若a q ( ，) ，任意a 中分子序 列4 = 砘，镌 ，锄，) _ ，嘞是在而点取值a 的l f 点，i = 1 ，2 ，3 即 s a 斧a ( 毛) 芑a ，下证h a 营as a ( x ) ：因为a 吡( ，) 兮彳魄u ) ， 所以b = 石xia ( 石) a 】= x xi 彳( x ) ga 】- ，由命题4 3 1 7 ，4 = 五。， 屯a ，b a ，) 呻h 民= ，弓) 一x ，而b ，i = 1 ，2 ，3 ，又因 为( x ，) 是序列式空间，x 营z b ，所以a ( x ) 芑a ，所以a 包含