（基础数学专业论文）广义拓扑中若干问题的研究.pdf

摘要 拓扑学的中心问题是研究拓扑不变量广义拓扑作为拓扑的推广，具有拓扑中 的一些好的性质，同时也对拓扑学的理论作了一定的拓广研究广义拓扑一般用广 义开集替换开集的方法近年来，许多拓扑学者采用此方法研究广义拓扑，得到一 些很好的结果 序列开集是一种特殊的广义开集本文用序列开集替换开集的方法引入序列 可膨胀空间、序列仿紧性及s e q 紧性，得到了它们的一些刻画，讨论了它们的一些 性质，并且给出它们之间的关系 本文分为三章 第一章，我们介绍相关的背景知识 第二章，我们引入序列可膨胀空间的概念，给出了它的一些性质，主要结果是： 定理2 4 3 若x 的任一序列开覆盖有局部有限开加细，则石是序列可膨胀 空间 定理2 4 4 完备映射保持序列可膨胀性 第三章，我们引入序列仿紧空间的概念，给出了它的一些性质，并且进一步探 究序列仿紧性与s e q 紧性之间的关系，其主要结果是：定理3 3 7 ，定理3 3 9 ，定 理3 4 4 关键词：完备映射：序列连续映射；序列闭映射；序列局部有限集族；序列可膨 胀空间；序列仿紧空间：s e q 紧空间；s e q 正则空问 a bs t r a c t t h ec e n t r a lq u e s t i o no ft o p o l o g yi st oe s t a b l i s ha n ds t u d yt o p o l o g i c a li n v a r l a n t s g e n e r a l i z e dt o p o l o g ya st h ep r o m o t i o no ft o p o l o g yp o s s e s s e ss o m en l c et o p o l o g l c a l c h a r a c t e r i z a t i o n s m e a n w h i l e ， i te x t e n d sb a s i ct o p o l o g i c a lt h e o r y t h e r e s e a r c h m e t h o do fr e p l a c i n go p e ns e t sw i t hg e n e r a l i z e do p e ns e t si su s u a l l ye m p l o y e d t os t u d y g e n e r a l i z e dt o p o l o g y i nr e c e n ty e a r s ，t h ea b o v e m e t h o di se x t e n s i v e l ya p p l l e di nt h e f i e l do fg e n e r a l i z e dt o p o l o g yb ys o m et o p o l o g i s t s ，a n dt h e yo b t a i ns o m e n l c er e s e a r c h f i n d i n g s s e q u e n t i a l l yo p e ns e t i sak i n do fg e n e r a l i z e do p e ns e t i nt h i sp a p e r ，w e i n t r o d u c es e q u e n t i a l l ye x p a n d a b l es p a c e s a n ds e q u e n t i a l l yp a r a c o m p a c t n e s s a n d s e q c o m p a c t n e s sb ym e a n so ft h em e t h o do f r e p l a c i n go p e ns e t sw i t hg e n e r a l l z e d o p e ns e t s ，a n dg i v es o m ec h a r a c t e r i z a t i o n so f t h e ma sw e l la st h er e l a t i o n sw i t ht h e m t h i sp a p e ri sp a r t e di n t ot h r e ec h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n dk n o w l e d g e o fr e l a t e d i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h ec o n c e p to fs e q u e n t i a l l ye x p a n d a b i e s p a c e s ，锄dg i v cs o m et h e i rc h a r a c t e r i z a t i o n s ，t h em a i n r e s u l to b t a i n e di nt h es e c o n d c h a p t e ra sf o l l o w s t h e o r e m2 4 3i fe v e r ys e q u e n t i a l l yo p e nc o v e ro f x h a sal o c a l l yf i n i t eo p e n r e f i n e m e n t t h e nx i ss e q u e n t i a l l ye x p a n d a b l e t h e o r e m2 4 4p e r f e c tm a p p i n g sp r e s e r v es e q u e n t i a le x p a n d a b i l i t y i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ei n t r o d u c e t h ec o n c e p to fs e q u e n t i a l l yp a r a c o m p a c ts p a c e s ， g i v es o m et h e i rc h a r a c t e r i z a t i o n sa n ds h o wt h a tt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e ns e q u e n t i a l l y p a r a c o m p a c t n e s sa n d s e t 一c o m p a c t n e s s t h em a i nr e s u l t s o b t a i n e di nt h et h i r d c h a p t e ra sf o l l o w s ，t h e o r e m3 3 7 ，t h e o r e m3 3 9 ，t h e o r e m 3 4 4 k e y w o r d s ：p e r f e c tm a p p i n g s ；s e q u e n t i a l l y c o n t i n u o u sm a p p i n g s ；s e q u e n c e c l o s e dm a p p i n g s ；s e q u e n t i a l l yl o c a l l yf i n i t ec o l l e c t i o n s ；s e q u e n t i a l l y e x p a n d a b l es p a c e s ；s e q u e n t i a l l yp a r a e o m p a e ts p a c e s ；s e q c o m p a c t s p a c e s ；s e q 。r e g u l a rs p a c e s 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担 作者签名：言0 衬￥ 蜀期：毋年r 月l f 日 学位论文版权使用授权书。 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅 本入授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复钊手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 l 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密瞄 ( 请在以上相应方框内打“) 作者签名：毒】诧苫 导师躲每了舀丸 日期：2 d d 擘年r 月，否日 日期。砷年f 胃f 5 日 1 1研究背景 第一章绪论弟一早珀 下匕 拓扑学的中心问题是研究拓扑不变量广义拓扑作为拓扑的推广，具有拓扑中 的一些好的性质，同时也对拓扑学的理论作了一定的拓广研究广义拓扑一般用广 义开集替换开集的方法近年来，许多拓扑学者采用此方法研究广义拓扑，得到一 些很好的结果 彳c s 6 s z 6 r 在2 0 世纪9 0 年代以来，一直致力于研究广义拓扑的基本理论在 1 9 9 7 年，彳c s d s z d re 1 1 以一类广泛的集值函数为基础定义了y 开集，统一了前人对口 开集”、半开集3 1 、开集4 1 和准开集5 1 的定义，即，取y = i c ，c i ，i c i ，c i c 的y 开集分别 对应于准开集、半开集、口开集和开集( 这里f ，c 分别为内部、闭包算子) ：在2 0 0 2 年，彳c s d s z i t r t 卅又给出了对某个集值函数y r ( x ) 定义的y 开集生成原空间中所 有的广义拓扑的方法；在2 0 0 3 年，彳c s 6 s z d t7 】用厂开集代替开集的方法导入厂连通 空间的概念，y 连通性质也是一种拓扑性质，具有可遗传性，但以往文献中对可积 性没做研究：在2 0 0 4 年，彳c s d s z d re 8 1 用广义开集替代开集的方法刻画了广义拓扑 的分离性公理，它们对于下述几个最简单的分离性公理7 o 、互、互、墨、岛9 】的重 要结论依然成立：在2 0 0 5 年，a oc s 石s z 6 r t 1 给出口开集、半开集、开集和准开集 对应于广义拓扑的广义开集的刻画及相关特性的研究，并指出，对诸如此类的广义 开集生成的广义拓扑的刻画是一项很有趣的研究：在2 0 0 7 年，彳c s 6 s z 6 r 【i l 】借助 u r y s o h n 引理n 2 1 给出了正规的广义拓扑相关性质的刻画 总之，广义拓扑的引入丰富了拓扑空间的基本理论，这方面的研究成果当数 a c s d s z f i r 在2 l 世纪初的上述工作 序列开集0 3 1 是一种广义开集，在处理序列问题时比普通开集更方便近年来 有不少拓扑学者致力于用序列开集代替普通开集的方法来研究一些拓扑性质 在2 0 0 2 年，彳凡如以和l ed o n n e i 1 利用序列开集的概念引进了序列连通空 间，并把连通度量空间的连续象精确为序列连通空间；在2 0 0 5 年，黄琴【1 5 】利用序 列开集是一种，开集，对序列连通空间0 4 1 给出了新的刻画，证明了序列连通性具有 可数可积性，并提出问题：序列连通性是否具有任意可积性? 可膨胀性作为一种分离性质，是1 9 5 8 年m k a t 百t o v 【1 6 1 在研究局部有限覆盖的 扩张问题时给出的x 称为可膨胀空问，若x 的任一局部有限的闭集族有局部有 限的开扩张近年来，拓扑学者通过利用广义闭集族替代可膨胀空间中闭集族的方 法，引入了几种广义拓扑空间，推广了这种分离性质 2 0 0 4 年，尼r 彳一刎侈7 】用半闭集族替代闭集族的方法给出了j 一可膨胀空 间的定义及相应拓扑性质的刻画并得到了如下结论： ( 1 ) 极不连通的【l s l 半正则空间【1 9 】是可膨胀的当且仅当它是s 一可膨胀的 ( 2 ) 某一空间是j 一可膨胀的充分条件是，空问中任一半开覆盖有局部有限的 开加细 2 0 0 8 年，s l j i a n g 和形h s u n 【2 0 l 证明了zw m 空间【2 1 】是可膨胀的并指出 口一可加的s y m w g t 2 2 1z 空间是仿紧的，从而解决了c h r i sg o o d 的两个问题【2 3 】【2 2 1 同 时他们也研究了j 一可膨胀空间【1 7 1 的一些性质，并从覆盖的角度给出了极不连通 的s 一可膨胀空间的刻画，主要结果如下： ( 1 ) 某一空间是s 一可膨胀性的当且仅当这一空间是可膨胀的且空间中的任 一s 一局部有限集族是局部有限的 ( 2 ) 某一极不连通空间是s 一可膨胀的，当且仅当对此空间中的任一具有 仃一s 一局部有限加细的半开覆盖有局部有限的半开加细 本文第二章将利用序列闭集族替代可膨胀空间中的序列闭集族的方法给出了 序列可膨胀空间的定义及相应性质的刻画并证明完备映射保持序列可膨胀性此 外指出了序列可膨胀空间的任一开覆盖有局部有限的开加细 仿紧性是紧性的重要推广1 9 4 4 年，zd i e u d o n n d l 2 4 1 利用加细和局部有限集族 【2 5 】的概念，引入仿紧空间称为仿紧空间，若x 的每一开覆盖有局部有限开加细 紧性与仿紧性是拓扑空间中两种重要的覆盖性质近年来，拓扑学者通过利用广义 开覆盖替换紧空间或仿紧空间中的开覆盖的方法引入了几种广义拓扑空间从而 推广了这两种覆盖性质 2 0 0 6 年，k l 彳z o u b i t 2 6 i 引入了s 一仿紧空间，并作为一类广义仿紧空间给 出了此空间一些基本性质的刻画，以及s 一仿紧空间与其它一些空间之间的关系 主要结果如下： ( 1 ) 若空间中的任一开覆盖有局部有限的半开加细，此空间即为s 一仿紧空 间 ( 2 ) 在正则空间中，若某一空间是s 一仿紧的，当且仅当空间中的每一开覆盖 有局部有限的正则闭加细 ( 3 ) 某一空间中的开闭子空间是a s 一仿紧的，当且仅当这一子空间是s 一仿 紧的 2 0 0 7 年，黄琴 2 7 1 讨论了拓扑空间的s e q 紧性，研究了s e q 紧空间的刻画及s e q 紧子集的性质，并给出序列闭映射的等价刻画和s e q 紧映射的定义，进而研究映射 与s e q 紧性的关系 2 0 0 8 年，黄琴，蔡兰芳【2 s 】给出了两个广义分离公理s e q z 与s e q 正则定义，研 究了它们的刻画与基本性质，证明了它们是拓扑不变性、遗传性、有限可积的最 后给出它们与s e q 紧性的关系 本文第三章就是用同样的方法引入序列仿紧空间，并且进一步讨论s e q 紧性 与序列仿紧性之间的关系 1 2 预备知识 本文约定：不预先假设空间满足任何分离性公理，映射是连续的满映射 本文未定义的概念可见文献 2 9 设x ，l ，是拓扑空间，给出本文涉及的定义及引理 定义1 2 1 设映射厂：x 寸y ( 1 ) 厂称为闭映射m 】，若，是x 的闭子集，则f ( f ) 是y 的闭子集 ( 2 ) 称为紧映射1 3 l 】，若y y ，则叫( y ) 是x 的紧集 ( 3 ) 厂称为完备映射【3 1 1 ，若厂是闭映射且任一厂_ ( j ，) 是x 的紧子集 ( 4 ) 称为序列连续映射吲，若对任一x x ，k ) 是收敛于x 的序列，则 f ( x 。) ) 是收敛于f ( x ) 的序列 ( 5 ) 厂称为序列闭映射】，若对任一序列闭集vcx ，则f ( v ) 是】，的序列闭 集 ( 6 ) 厂称为s e q 紧映射1 ，若对任一yey ，f 卅( y ) 是x 的s e q 紧集 显然，s e q 紧映射是紧映射并且，在序列空间中，s e q 紧映射与紧映射等价，序 列闭映射与闭映射等价 定义1 2 2 设x 是拓扑空间，p 是x 的子集 ( 1 ) 若 ) 是x 中收敛于工的序列，称 是终于p 的1 3 1 ，若存在m n ，使得 ：刀m ) u x ) c p ( 2 ) p 称为x 中点工的序列邻域【1 3 l ，若任一收敛于工的序列终于p ( 3 ) p 称为x 的序列开集【1 3 1 ，若p 是它的任一点的序列邻域 ( 4 ) 尸称为x 的序列闭集 1 3 1 ，若工尸是x 的序列开集 显然，开集是序列开集，闭集是序列闭集，并且序列开集的任意并是序列开集， 序列闭集的任意交是序列闭集 3 3 1 ( 5 ) x 称为序列空间 1 3 l ，若x 的任一序列开集是x 的开集 ( 6 ) x 称为可膨胀空间n 6 1 ，若 c ) 们 是x 的局部有限闭集族，则存在x 的局 部有限开集族 吮) 口“，使得cc 虬 ( 7 ) x 称为仿紧空间 2 4 1 ，若x 的每一开覆盖有局部有限的开加细 定义1 2 3 设p 是空间x 的子集族p 称为x 的局部有限集族 2 5 1 ，若对于任一 工x ，存在x 中的邻域u 使得u 仅与p 中有限个元相交 定义1 2 4 设狮口y 是空问x 的覆盖，称砌日细v 或翻是y 的加细，若对于任一 3 u “存在v y 使得ucv 若甜加细y 且“的每一元是x 的开( 闭) 子集，则称甜是v 的开( 闭) 加细 引理1 2 51 3 4 1 若由j p 的点组成的x 的收敛序列的极限点在p 中，则尸是x 的 序列闭集 6 1 引理1 2 6 3 4 1 设函数f ：x y 对于acx ，bcy ，那么厂1 ( b ) ca 当且仅当 bc y f ( x a ) 引理1 2 7 【2 7 1 映射f ：x _ y 是序列闭映射当且仅当对任一y y 及x 中包含 厂_ 1 ( y ) 的任一序列开集u ，存在序列开集vcy 使得y v 且厂1 ( y ) cu 引理1 2 8f 3 5 1 设x 是一个拓扑空间，彳是x 的序列开集( 序列闭集) ，ycx ， 则彳n 】，是子空间】，的序列开集( 序列闭集) 4 2 1引言 第二章序列可膨胀空间 可膨胀性作为一种分离性质，是1 9 5 8 年m k a t g t o v f i6 】在研究局部有限覆盖的 扩张问题时给出的x 称为可膨胀空问，若x 的任一局部有限的闭集族有局部有 限的开扩张近年来，拓扑学者通过利用广义闭集族替代可膨胀空间中闭集族的方 法，引入了几种广义拓扑空间，推广了这种分离性质2 0 0 4 年，ky a l z o u b i 【l7 】用 半闭集族替代闭集族的方法给出了半可膨胀空间的定义及相应拓扑性质的刻画 序列闭集是一种特殊的广义闭集，本章是利用序列闭集族替代可膨胀空间中的序 列闭集族的方法，给出了序列可膨胀空间的定义及相应性质的刻画 2 2定义及相关引理 定义2 2 1 设x 是集合，acx ，集值映射厂：p ( x ) 专p ( x ) 是单调映射， ( 1 ) 若a 匕r ( a ) ，则称彳为7 开集 1 1 ：厂开集的余集称为工的厂闭集0 1 ： ( 2 ) 令巳彳= n ，：f 是x 中的厂闭集，acf ) ，称c ，彳为a 的厂闭包7 1 显然，x 的7 开集的并仍是厂开集，c r a 是x 的7 闭集：开集是序列开集，序列 开集是，开集因此，序列开集具有厂开集所具有的性质 下面我们给出相关的定义及结论 定义2 2 2 1 3 5 1 对于空间工，acx ，x 的所有包含a 的序列闭集的交称为a 的序列闭包，记为c , a 引理2 2 3 【2 7 1 对于空间x ，acx ，j x ，则了q a 当且仅当对石的任一序列 邻域u ，满足u 。n 彳0 定理2 2 4 设f ：x 寸y 是闭映射( 或紧映射) ，且z 是序列空间，则是序列 闭映射( 或s e q 紧映射) 证明设厂是闭映射，u 是x 的包含f 一( 夕) 的任一序列开集对任一y y ，由 于x 是序列空间，则u 为x 的开集因为厂为闭映射，所以存在】，的开集y ，使得 y v 且厂一( 矿) c u 由引理1 2 7 ，厂为序列闭映射 设厂为紧映射，对任一y y ，f 1 0 ) 为x 的紧集对任一 x 厂- 1 ( 少) ， 设圪为x 的序列开集，且工圪，则 匕：戈f 川o ) ) 5 为f 1 ( y ) 的序列开覆盖由于z 是序列空间，则 屹：x f 一( 少) ) 为 厂1 ( y ) 的开覆盖于是存在有限个点 五，x n f 叫( j ，) ， 使得 厂1 ( 少) cu ：= 。圪；， 则 ( 屹。：1 i 甩) 为 形：工f 叫( j ，) ) 的有限子覆盖，所以。1 ( y ) 为x 的s e q 紧子集故为s e q 紧映射 2 3 序列局部有限集族 定义2 3 1 厂= 只：口f ) 称为空间z 的序列局部有限集族，若对任一工x ， 存在x 的序列开集u ，使得x u 且u 仅与集族厂的有限个元相交 显然，空间x 的任一局部有限集族是序列局部有限的 不难证明，若x 是序列空间，则厂= c ：口f ) 是x 的序列局部有限集族当且 仅当芦是x 的局部有限集族 引理2 3 2 设j r = e ：口f ) 是空间x 的序列局部有限集族，则 u 口。r q e = c j ( u 口。r e ) 证明显然，u 。e rc j cc q ( u 口。r 只) 往证，u 口。rq c 3 q ( u 口。r ) 设j 正u 口e r c j e ，由集族厂的序列局部有限性知，存在x 的序列开集屹，使得 x e 匕，则圪仅与尸的有限个元相交，记为 兄。，c 只 则 屹n e ，0 0 = l ，刀) 由 x 薯u 口e r 乞c = x 仨u ：= l c j 兄， 则 x u = 。q e 。 为包含x 的序列开集那么 彬= 圪n ( x u ：，g c ；) 是包含x 的序列开集，且睨与u 厂不相交，即 x 仨c ，( u 尸) ， 则 c , ( u t ) cu 。r q 疋 从而u 口。rq e = q ( u 。r 疋) 不难证明以下命题 命题2 3 3 设空间x ，4 ，bcx ， ( 1 ) 若彳为开集，则彳n b = 0 当且仅当彳n b = o ( 2 ) 若a 为序列开集，则彳n 曰= 0 当且仅当a i c , b = 0 引理2 3 4 空间x 的集族厂= e ：口f ) 是序列局部有限集族，当且仅当 q 厂= c i 疋：口f ) 为x 的序列局部有限的序列闭集族 证明必要性设厂= 疋：口r ) 是x 的序列局部有限集族，则对任一工x ，存 在工的序列开邻域u ，使得以仅与集族歹的有限个元相交于是存在 口缸l ，口。) ， 使得对任一 口f 慨，) ，玑n 疋= f l ， 则 c c x q 那么对任一 口f 娩，口。) ， 有 q 瓦cq 一虬) = x u 因此 q 疋n q = f 1 所以 c j 厂= 奴e ：口r ) 为序列局部有限的序列闭集族 充分性设 c i 厂= 缱c ：口r ) 为序列局部有限集族，则对任一z x ，存在x 的序列开集以，使得工虬且以仅 与c 。月拘有限个元相交而对任一口f ， e c q c ， 因此u 。仅与尹的有限个元相交那么集族 厂= e ：口r ) 7 是x 的序列局部有限集族 由序列连续映射的定义，及连续映射是序列连续映射【3 2 1 不难证明，映射f ：x y 是序列连续映射，当且仅当若【厂是y 的序列开集，则 1 ( u ) 是x 的序列丌集 定理2 3 5 序列连续映射逆保持序列局部有限集族 证明设厂：x 斗y 为序列连续映射， 厂= 只：口f ) 为y 的序列局部有限集族往证， 厂1 ( 厂) = 矿。1 ( c ) ：口f ) 为空间x 的序列局部有限集族对任一x x ，存在y y ，使得 工f 1 ( y ) 对于y y ，存在y 的序列开邻域q ，使得仅与确勺有限个元相交，记为 e l 一，c ， 则 n 只，o ，忙1 ，刀 所以， 厂1 ( q n 只，) = 厂1 ( u ) n f 。1 ( e ，) o 而当 口f 翰，口。 时， u ，n e = 0 ， 则 厂1 ( ) n 厂1 ( e ) = o 因而 厂1 ( q ) 仅与 厂_ 1 ( 厂) 的有限个元相交又因为厂为序列连续映射， 厂( ) 为x 的序列开集，且 x f 1 ( q ) ， 所以 厂1 ( 厂) 为x 的序列局部有限集族 定理2 3 6 设f ：x 一】，是序列闭的紧映射，若厂= c ：口f ) 是x 的局部有限 集族，则厂( 厂) = 厂( c ) ：口f ) 是y 的序列局部有限集族 证明对任一z f 1 ( y ) ，y y ，因为厂是x 的局部有限集族，所以存在x 的丌 集u ，使得工虬且u ，仅与厂的有限个元相交，因此集族 虬：x f 叫( y ) ) 是一( y ) 的开覆盖因为厂为紧映射，所以 厂1 ( y ) 为紧子集，则存在有限个点 五，毛厂叫0 ) ， 使得 厂1 ( y ) c u u x i = u 对任一f 1 ，力) ，存在 l 【r 】。， 使得对任一 口f l ， 玑nc = 0 则对任一 口f u 2 l e ， ( u ：l 。u ) n e = 0 那么u 仅与尹的有限个元相交而厂又是序列闭映射，则由引理1 2 7 ，存在】，的序 列开集y ，使得 y v 且厂1 ( y ) cu 因此y 仅与厂( 厂) 的有限个元相交，所以 - 厂( 厂) 是y 的序列局部有限集族 用同样的证明方法，我们可以得到下列定理 定理2 3 7 设f ：x 寸y 是序列闭的s e q 紧映射，若厂= c ：口f ) 是x 的序列 局部有限集族，则厂( 厂) = u ( c ) ：口f ) 是】，的序列局部有限集族 2 4 序列可膨胀空间 定义2 4 1 空间x 称为序列可膨胀的，若对x 的任一序列局部有限集族 厂= 以：口f ) ，存在z 的局部有限开集族乡= ( g 口：仃f ，使得对任一 口f ，ccq 9 由引理2 3 4 可知，序列可膨胀空间等价于：若对x 的任一序列局部有限的序 列闭集族厂= e ：口r ) ，存在局部有限开集族9 = q ：口f ) ，使得对任一 口r ，ec 瓯 显然，序列可膨胀空间是可膨胀空间 不难证明以下定理 定理2 4 2 若x 是序列空间，则x 是可膨胀空间当且仅当x 是序列可膨胀空 间 下面给出序列可膨胀空1 8 j 的覆盖性质 定理2 4 3 若x 的任一序列开覆盖有局部有限开加细，则x 是序列可膨胀空 间 证明设厂= e ：口r ) 是空间x 的序列局部有限序列闭集族对任一 【r 】如 定义 = x u 乞：口仨) 我们可得： ( 1 ) 对任一【r 】。，是序列开集( 引理2 3 2 ) ： ( 2 ) 对任一【r 】。，仅与确有限个元相交 对任一x x ，存在z 的序列邻域以，使得玑仅与厂的有限个元相交，于是存 在 ，r ， 使得 虬n 只0 所以对任一 口r 缸l ，) ， 有 以n c = 0 取 = 缸i 一，口。 ， 则 工 因此 y = ： r 】埘) 为x 的序列开覆盖 对任一x x ，存在x 的序列开集圪，使得工匕且圪仅与芦的有限个元相交， 记为 1 n c ( i ) ，e ( 。) 设 = 口( 1 ) ，口( 以) ) ， 则 石 由假设，v 有局部有限开加细 w = ：五人) 对任一口f ，令 虬= u w w ：n 只o ) ， 则对任一口f ， ec 且虬是开集为证x 是序列可膨胀空间，只需证 b = ：口f 是局部有限集族对任一工x ，则存在彳的开集u ，使得 x u l 且虬仅与w 的有限个元相交即存在 丑，五人， 使得 un = 0 ， 其中 名a “，丸人) 由w 加细y 知，对任一 ，f = l ，刀，存在 届【r 】“， 使得 c 而对任一 口f 层， n e = o 则对任一 口r 屏， n e = o 所以当 名 ， ) 时，对任一 口r u 一| l 届， n c = 0 不妨假设，存在 口f u ：l 屈， 使得 un 0 那么存在元人，使得 un 0 且 nc a ， 所以 见 丑，以) 而 。n 只= 0 ， 口f u 翟i 屈，f = l ，疗， 这与假设矛盾所以对任一 口f u = = l 屈， 玑n 虬= 0 ， 因此u 。仅与“的有限个元相交，于是艉局部有限集族故j 是序列可膨胀空间 定理2 4 4 完备映射保持序列可膨胀性 证明设f ：x - oy 为完备映射，x 是序列可膨胀空间令 歹= c ：口r ) 是空间y 的序列局部有限集族，由定理2 3 5 ， 厂叫( 厂) = f 。1 ( e ) ：口f ) 为x 的序列局部有限集族因为x 是序列可膨胀空间，所以存在x 的局部有限开 集族 够= ( g 口：口r ) ， 使得对任一口r ，有 厂( e ) c q 对任一口f ，置 圪= y f ( x g 口) 则对任一口r ，圪是】，的开集且 ec 圪( 据引理1 2 6 ) 往证，y 的子集族 y = 圪：口r ) 是局部有限开集族设y y ，对任一 1 2 z f 。1 ( y ) ， 存在x 的开邻域u ，使得虬仅与乡的有限个元相交，因此 虬：z f q ( y ) ) 是厂。1 ( y ) 的开覆盖因为厂为紧映射，所以 厂- 1 ( y ) 为x 的紧集，则存在有限个点 西，毛f 1 ( y ) ， 使得 厂1 ( y ) c u ：= 。虬；= u 又因为是闭映射，所以存在】，的开集圪，使得 y 0 且f 。1 ( _ ) c u 对任一i ( 1 ，万) ，存在 l 【r 】。， 使得对任一 口f l ， 玑ng 口= a 则对任一 口f u 各l e ， u n 瓯= 0 那么【，仅与9 的有限个元相交又因为对任一口r ， 厂1 ( 圪) c q ， 所以对任一 口f u 乞l l ， f 。1 ( 圪) n 厂1 ( ) = 0 则 圪nk = 0 ， 口f u = = l l 所以 石f 叫( 圪) ， 且 f 。1 ( 圪) 仅与有限个1 厂1 ( 圪) 相交，则圪仅与有限个圪相交，所以y 为】，的局部有限开集族因此，】，是序列可膨 胀空间 1 3 定理2 4 5 设厂：x y 是序列闭的紧映射，若y 是序列可膨胀空间，则x 是 可膨胀空间 证明设3 r = e ：口f ) 为x 的局部有限集族，则由定理2 3 6 ， 厂( 厂) = 厂( e ) ：口f ) 是】，的序列局部有限集族由于】，是序列可膨胀空间，则存在y 的局部有限开集族 9 = q ：口r ) ， 使得对任一口f 有 厂( c ) cq 则 c f 。1 ( 厂( 兄) ) c 厂1 ( 瓯) 因为 - 1 ( q ) ：口r ) 为x 的局部有限的开集族所以x 是可膨胀空间 推论2 4 6 序列闭的s e q 紧映射逆保持序列可膨胀空间 推论2 4 7 若x 为紧空间，y 为序列可膨胀空间，且x 】，为序列空间，则 x x y 为序列可膨胀空间 证明因为x 是紧空间，由文献 3 6 中定理3 3 1 ，自然投射 i t r ：x x 】，专y 为完备映射而 x y 为序列空间，由定理2 2 4 ，则万，为序列闭的紧映射由定理2 4 5 ， x y 是序列可膨胀空间 下面给出序列可膨胀空间的遗传性质 定理2 4 8 若x 为序列可膨胀空间，则x 的每个开闭子空间为序列可膨胀空 间 证明设】，为序列可膨胀空间( x ，r ) 的开闭子空间，令 尸= c ：口r ) 是子空间 ( 】，f i r ) 的序列局部有限集族对任一z x 若工y ，则存在y 的序列开集彳，使得工a 且 a 仅与厂的有限个元相交因为y 为开集，所以存在x 的序列开集彳，使得 a = a n y ， 则彳为x 的序列开集：若工正y ，因为】，为闭集，所以 x y 1 4 为x 的开集，从而为x 的序列开集由于 x x y ， 而 x y 与厂的元不相交，则厂为x 的序列局部有限集族因为x 为序列可膨胀空问，所以 存在x 的局部有限开集族 夕= g 口：口r ) ， 使得对任一口f ，有 c c q 置 9 = g 口n y ：口f ) ， 则夕是y 的局部有限开集族，并且对任一口f ， cc 瓯n 】， 因此子空间( y ，r i ，) 是序列可膨胀空间 1 5 3 1引言 第三章序列仿紧性与跚紧性 仿紧性是紧性的重要推广1 9 4 4 年，j d i e u d o n n 各利用加细和局部有限集族【2 5 】 的概念，引入仿紧空间1 x 称为仿紧空间，若x 的每一开覆盖有局部有限丌加细 紧性与仿紧性是拓扑空间中两种重要的覆盖性质近年来，拓扑学者通过利用广义 开覆盖替代紧空间或仿紧空间中的开覆盖的方法，引入了几种广义拓扑空间从而 推广了这两种覆盖性质序列开集是一种特殊的广义开集2 0 0 7 年，黄琴通过利 用序列开覆盖替代紧空间中的开覆盖的方法，引入了s e q 紧空间田】本章就是用同 样的方法引入序列仿紧空间，并且进一步讨论s e q 紧性与序列仿紧性之间的关系 3 2相关定义及引理 设x ，y 是拓扑空间，给出本文涉及的定义及引理 定义3 2 1 空间x 称为s e q 正则的【2 8 1 ，若x x ，ac 工且工叠a ，则存在不相 交的序列开集u ，y 使得x u 且ac 矿 定义3 2 2 空间x 称为f e e b l y 紧的【3 7 1 ，若x 的任一局部有限开集族是有限 的 定义3 2 3 每一个空间( x ，f ) 可重新定义一个拓扑 仃f ：0 仃f 当且仅当0 是( x ，f ) 的序列开集，空间( x ，c r f ) 称为( x ，f ) 的序列闭包拓扑空间弘1 ， 简记为耐 引理3 2 4 【2 7 1 s e q 紧空间的序列闭集是s e q 紧的 引理3 2 5 【2 7 】序列连续映射保持s e q 紧性 引理3 2 6 局部有限集族是闭包保持集族 引理3 2 7 3 4 1x 是可数紧空间当且仅当工的局部有限集族是有限的 引理3 2 8 【2 8 】空间x 是s e q 正则的。当且仅当对任一j x 及z 的开邻域u ， 存在序列开集y ，使得x vcc 。ycu 引理3 2 9 设f ：x - - y 是闭映射( 或紧映射) ，x 是序列空间，则厂是序列闭 映射( 或s e q 紧映射) 证明设厂是闭映射，【厂是石的包含 厂- 1 0 ) 的任一序列开集对任一y y ，由于x 是序列空间，则u 为x 的开集因为厂为闭 1 6 映射，所以存在】，的开集v ，使得 y v 且厂1 ( y ) c u ， 由引理1 2 7 ，为序列闭映射 设为紧映射，对任一y y ， 厂1 ( y ) 为x 的紧集对任一 x f 叫( j ，) ， 设圪为彳的序列开集，且x 圪，则 圪：x f 。1 ( j ，) ) 为厂。1 ( j ，) 的序列开覆盖，由于x 是序列空间，则 圪：工厂1 ( y ) ) 为厂一( j ，) 的开覆盖，于是存在有限个点 而，f - 1 ( y ) ， 使得 则 为 f 。1 ( 少) c 怩。， 圪 i s i s 刀， 圪：z 厂1 ( y ) ) 的有限子覆盖，所以厂。( y ) 为x 的s e q 紧集故为s e q 紧映射 引理3 2 1 0 【拍】逆紧映射保持局部有限集族 引理3 2 1 1 【拍1 设x 是紧空间，y 是拓扑空间，则x y 到y 上的投射p 是闭 且紧映射 证明设f 是x y 的闭集，p ( f ) 是f 在】，上的投影设 y o 叠p ( f ) ， 因为f 闭于 x y 所以对任一x o x ， 对任一工x ，存在工的开邻域 及y o 的开邻域 使得 q cx c y ， ( u ，) n f = o ， 1 7 虬) 硝 形成x 的开覆盖因为x 是紧空间，所以 存在有限子覆盖 置 则巧。是甄的开邻域，且 印3 难x u ，【，而，u h ) = n ：。k 蛐， ( xx ) i qf = o 因此 巧。np ( f ) = a ， p ( f ) 是】，的闭集，所以是闭映射又因为对任一y y ， x y 的紧子空间 叫( y ) = x o ，) 同胚于紧空间z ，所以厂是紧映射综上可知，是闭且紧映射 引理3 2 12 1 3 9 1 设x 是正则空间，则x 是仿紧空间当且仅当x 的每一开覆盖 具有局部有限加细 3 3 序列仿紧空间 定义3 3 1 空间x 称为序列仿紧的，若石的每一序列开覆盖有局部有限开加 细 显然，序列仿紧空间是仿紧的特别是在序列空间中，序列仿紧空间与仿紧空 间等价 下面讨论序列仿紧性与s e q 正则性的关系 定理3 3 2s e q 正则的序列仿紧空间是正规空间 证明设x 是s e q 正则的序列仿紧空间，彳，b 是x 的不相交的闭集由x 的 s e qi e 贝s 性，对任一x b ，存在x 的序列开集q ，k 使得 ac 以，工v j 且 因而 玑n 圪= f 1 x - b u 圪) 聪矗。 为x 的序列开覆盖由x 的序列仿紧性，存在局部有限开加细 1 8 彬) 脚 置 s i = p ：s s ，形c 圪对某些工曰成立) ， 则 彳n 彬= o0 s 1 ) 且 bcu 郇彬 由引理3 2 6 ， u 硝。彬= u ，哂呢 因此 u = x u 脚吃 是x 的开集再令 v = u ，。a 形。而， 则有 彳cu ，bcv ，且unv = 0 因此x 是正规空间 由于正则空间是s e q 正则的，所以用同样的证明方法，可得下面推论 推论3 3 3 正则的序列仿紧空间是正规空间 定理3 3 4 设x 是砭的序列仿紧空间，则x 是s e q 正则空间，也是正规空间 证明设p 是空间x 的序列闭集，x o x 且x o 叠p 对任一工p ，因为x 是正 的，所以存在工的开邻域虬使得 x o 正玑， 记 v = 虬：z p ) u x p ) ， 则v 是x 的序列开覆盖因为x 是序列仿紧空间，所以存在局部有限开集族w 咖细 让记 w o = s t ( p ，w ) ， u o = x w o ， 则 pc r ：o ，x o u o ，且n u o = 0 ， 所以x 是s e q 正则空间由定理3 3 2 ，因此x 是正规空间 用同样的方法，可得下面定理 定理3 3 5 设x 是瓦的序列仿紧空间，则工是正则空间，也是正规空间 1 9 证明由推论3 3 3 易证 众所周知，仿紧空间具有闭遗传性，那么序列仿紧空间具有怎样的遗传性呢? 下面就来探讨序列仿紧空间的遗传性 定理3 3 6 序列仿紧空间x 的丌闭子空间是序列仿紧的 证明设，是仿紧空间x 的开闭子集， y = 圪：口人) 是关于子空间f 的任一序列开覆盖对子空间f 的任一序列开集 圪( 口a ) ， 存在序列开集 虬c x 使得 圪= 虬n f 置 “= ( ：口人) ， 则集族 “u 石一，) 是x 的序列开覆盖由x 的序列仿紧性，于是 “u x f 存在局部有限开加细 ) 易知 n f ) 是关于f 的开覆盖且加细所以f 是序列仿紧空间 定理3 3 7 设集族厂= 乞：口人) 是空间x 的局部有限即开且闭覆盖，且对任 一口人，c 是x 的序列仿紧子空间，则x 是序列仿紧的 证明设“= ：曰) 是j 的任一序列开覆盖，由已知c 是开集对任一 口人，置 “口= “n c ， 则“口是乞的相对序列开覆盖再由c 的序列仿紧性，存在乞的相对序列开覆盖 y 口加细翻口，且y 口在疋中局部有限因为只是即开且