（基础数学专业论文）螺形映照与线性不变族.pdf

河南大学硕士学位论文 摘要 本文对多复变数c n 空间中的双全纯螺形映照与线性不变族的秩进行了研究 全文共分三章：第一章，我们简要介绍了本文常用的一些定义和记号，以及本 文的主要结果；第二章，我们在c n 空间中的单位球b n 上，利用螺形映照的参数 表示，证明了一种推广的r o p e r - s u f f r i d g e 算子保持螺形性；第三章，讨论了单位多 圆柱扩上线性不变族的秩 本文的结果是对已有结果的深入研究和推广，得到了一些全新的内容，从而使 我们对多复变数c n 空间中的双全纯映照有了更深入的认识 关键词：螺形映照，参数表示，线性不变族 河南大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s w es t u d ys p i r a l l i k em a p p i n g sa n dl i n e a ri n v a r i a n t e 觚l i l yo fb i h o l o - m o r p h i cm a p p i n g si nc 巴 t h ew h o l et h e s i sc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ei n t r o d u c es o m e n o t a t i o n s ，d e f i n i t i o n sa n dt h em a i nr e s u l t so ft h e s i sb r i e f l y ；i nc h a p t e rt w o ，w eu s et h e p a r a m e t r i cr e p r e s e n t a t i o no fs p i r a l l i k em a p p i n g s t oo b t a i nan e wm e t h o df o rp r o v i n gt h a t ao p e r a t o rk e e pt h ep r o p e r t i e so fs p i r a l l i k em a p p i n g s ；i nc h a p t e rt h r e e ，w ed i s c u s st h e o r d e ro fl i n e a ri n v a r i a n t ef a m i l i e si nt h eu n i tm u l t i c y l i n d e r t h em a i nr e s u l t so ft h i st h e s i sa r eb a s e do nt h ek n o w nr e s u l t s ，b u te x t e n da n d i m p r o v et h e m s ow eh a v ead e e pr e a l i z a t i o na b o u tt h eb i h o l o m o r p h i cm a p p i n g si n c 珏 k e y w o r d s ：s p i r a l l i k em a p p i n g s ，p a r a m e t r i cr e p r e s e n t a t i o n ，l i n e a ri n v a r i a n t e f a m i l i e s i i 关于学位论文独立完成和内容创新的声明 本人向河南大学提出硕士学位中请。本人郑重声明：所呈交的学位论文是 本人在导师的指导下独立完成的，对所研究的课题有新的见解。据我所知，除 文中特别加麒说明、标注和致谢的地方外，论文中不包括其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包括其他人为荻得任何教育、科研机构的学位或证书而 使用过的材料。与我一同工作的同事对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。，专：i ：。， ，j jx j i j j ? ；j ； 尹 1 i ，| j 学住中喜人i ( 学位毒羔作者) 三二龛至虚壅 0 ? j j i j i | | jr 一一。“ ， ，叶、- 、。i 。f一，：0 jj j i 2 ，o 知年多月，日 ， ”t ， ?；ri - v，i ，o j 一 ?、。参j j ? 一7 ? 、j j i。、| _ ? 7 。jj ? j ：j 。j | ? j 皇j j 。一。，- j 。i ? ? ；：z ，：乏，。一，。 ，一，、。1 ，j ： ， i 。， 。，t 毫，关于学位论文著作权使用授权书若 j - 一7 毫，h ，：j 一：to，。j 一 ? ，? 本人经河南大学审核批准授予硕士学位。作为学位论文的作者，本人完全 了解并同意河南大学有关保留、使用学位论文的要求，即河南大学有权向国家 图书馆、科研信息机构、数据收集机构和本校图书馆等提供学位论文( 甄质文 本和电子文本) 以供公众检案、查阅。本人授权河南大学出于宣扬、展览学校 学术发展和进行学术交流等目的，可以采取影印、缩印、扫描和拷贝等复制手 段保存、汇编学位论文( 纸质文本和电子文本) 。 ( 涉及保密内容的学位论文在解密后适用本授权书) 学位获得者( 学位论文作者) 釜名：习筝垃 2 0 o 年多月f 日 学位论文指导教师签名：三匆! 垣餮 2 0f 口年莎月r 目 第一章预备知识 1 1引言 单复变数几何函数论是复分析中一个重要组成部分，其历史源远流长，内容非 常丰富多复变数理论源于单复变，但它们之间有着许多本质的差别 1 9 3 3 年，h c a f t a n 曾指出在单复变中成立的b i e b e r b a c h 猜想在多复变数的双 全纯映照中是不成立的他同时指出单位圆盘上单叶函数的增长定理和掩盖定理 对多复变数双全纯映照也不再成立，他建议研究凸映照、星形映照和其它重要的双 全纯映照类h c a r t a n 之后，不少数学工作者致力于这个领域的研究，但总的来说 进展不大直到最近二十年，国内外不少学者，如龚升，t j s u f f r i d g e ，王世坤，余 其煌，郑学安，刘太顺等，关于单位球，单位多圆柱，典型域以及有限维b a n a c h 空间中的单位球上凸映照和星形映照的研究取得了许多丰富而优美的结果详细可 参见【g o n 9 1 】，【g o n 9 2 】 对于双全纯映照的子族，螺形映照的研究也出现了大量的结果 g u r l 】， s u n 】 1 9 9 8 年刘浩得到了多复变空间c n 中单位球上的螺形映照的参数表示【l i u l 】2 0 0 4 年 刘浩，张志平和卢克平将螺形映照的参数表示推广到了有界平衡拟凸域 l i u - z h a n g - l u l ，这些都是对螺形映照的参数表示在不同域上的研究由于我们对螺形映照子 族的性质知道的很少，所以对它们的研究一般都借助于定义，比如一般都是运用 定义来证明r o p e r - s u f f r i d g e 算子及其推广保持螺形性而在本文我们则给出了不 同于r o p e r - s u f f r i d g e 的一种新算子，运用螺形映照的参数表示来证明这种算子保持 螺形性 单复变数不变族的理论是c h p o m m e r e n k e 首先提出来的，龚升和郑学安将这 些理论推广到多复变数的齐性域上 g o n g - z h e n g l 】，有很多映照族都是不变族，例 如单位多圆柱上的双全纯映照所构成的映照族，单位多圆柱上的局部双全纯映照所 构成的映照族，以及双全纯凸映照所构成的映照族等等都是线性不变族刘浩将不 变族的理论推广到多复变空间的单位球上【l i u 2 】，推广了p o m m e r e n k e 在单位圆盘 】 河南大学硕士学位论文 上建立的不变族理论，并且进一步讨论了单位球上线性不变族的秩，单叶半径以 及线性不变族极值映照的齐次展开式的三次项系数，建立三次项系数和二次项系数 的一些关系式而本文研究了中单位多圆柱上双全纯映照的线性不变族的秩 1 2 定义及记号 为了叙述方便起见，我们首先给出全文最常用的一些符号及基本概念 在本文中，我们用c 表示复平面d = 名c ：l z i 1 表示c 中的开单 位圆盘，o d = z c ：= 1 ) 表示d 的边界c n 表示n 维复欧氏空间，对 y z = ( 名1 ，) ，伊，记i = 厩，用b ( n ，p ) = 【名c n ：l 乃一哟1 2 0 ，名b n o ) ) ， a f , = 【危：如( o ) = j ) ， 朋= 【a 竹n ：入m o ) ， 朋k 厶n m ：2 入m a m ) 设qc 是包含原点的域，用日( q ) 表示从域( 连通开集) q c n 到俨的全 纯映照的全体，特别地，d 上的全纯函数的全体记为h ( d ) ；称映照，日( q ) 是 q 上的局部双全纯映照，如果j a c o b i 矩阵 j a 加( 差) 。 在每一点z q 非奇异；称，是q 上的双全纯映照，如果逆映照，一1 存在，且在 ，( q ) 上全纯；称，为q 上的正规化全纯映照，如果，h ( u ) 且满足s ( 0 ) = 0 ， g a o ) = j ，其中i 表示单位矩阵；口( z ) 日( q ) 称为s c h w a r z 映照，如果口( o ) = 0 ， 且口( q ) cq 河南大学硕士学位论文 设u n 表示俨中的单位多圆柱，即u 竹= ( ( 名1 ，z n ) ：i 勺l 0 ，使得q b n ( o ，r ) ， 则称q 为有界的若对任意的z q ，0 r 1 ，都有r z q ，则称q 为相对于 原点的星形域；若对任意的z q ，口r ，都有e i 8 z q ，则称q 为圆型域 定义1 2 2 设q 是c n 中包含原点的域，如果f ( o ) = 0 ，( n ) 是俨中相对 于原点的星形域，则称，是q 上的星形映照；如果f ( a ) 是中的欧氏凸域，则 称，是q 上的凸映照 域q 上正规化双全纯星形映照的全体记为( q ) ，正规化双全纯凸映照的全体 记为k ( n ) 下面给出与定义1 2 2 等价的星形映照的定义 河南大学硕士学位论文 定义1 2 3 s u f 】如果，日( 伊) 为正规化双全纯映照，且 e - t f ( z ) ( b n ) ，t 0 ，名b n ， 则称f ( z ) 为b n 上的星形映照 1 9 7 5 年，k r g u r g a n u s 给出了多复变数螺形映照的定义 定义1 2 4 g 叫 设，：b 他一妒是正规化双全纯映照，a m ，如果存在 h ，使得 j j ( z ) 九( z ) = a ，( z ) ， 则称( z ) 为b 付上相对于a 的螺形映照 易证以( 0 ) = a 1 9 7 7 年，s u f f r i d g e 给出了螺形映照的另一形式的定义 定义1 2 5 【s u f 】设，h ( b n ) 是正规化双全纯映照，a m ，如果对任意 的t 0 ，名b n 都有 e - a t f ( z ) ，( b 佗) 成立，则称，( 名) 为相对于a 的螺形映照当a = e - z p ，( 一号 p 考) 时，则称， 是为b n 上的口型螺形映照 当卢= 0 时，定义1 2 5 中的p 型螺形映照即为单位球b n 上的星形映照 单位球b 佗上正规化双全纯p 型螺形映照的全体记为& ( b n ) 关于线性不变族，龚升和郑学安给出了下面的定义： 定义1 2 6 g o n g - z h e n g 域q 上的一个正规化全纯映照族莎称为线性不变 族( 简称不变族) ，如果满足：若v ，莎，o 妒经正规化后仍属于莎，对所有 妒a u t ( s 2 ) 都成立 1 9 9 9 年，刘浩给出了b n 上线性不变族的定义： 定义1 2 7 l i u 2 】b n 上的一个全纯映照族莎称为线性不变族( 简称不变族) ， 如果满足下面的条件： ( i ) 对任意的，罗，( z ) 是b n 上t 内i e 规化( 即f ( o ) = 0 ，j f ( o ) = i ) 局部 双全纯映照； 4 河南大学硕士学位论文 ( i i ) 对任意的，莎和任意的西a u t ( b n ) ，有码【门庐 1 3 本文主要结果 本文主要在c n 中的单位球b n 上用螺形映照的参数表示来证明r o p e r s u r f r i d g e 算子保持螺形性同时本文还研究了c n 中的单位多圆柱上双全纯映照的线性不变 族的秩，推广了单位圆盘上不变族秩的理论主要包含以下的定理 在第二章中利用螺形映照的参数表示法证明了推广的r o p e r s u r f r i d g e 算子 在单位球上保持螺形性 定理2 2 1设a = ( h ) n n 为可逆矩阵，b 0 ，b l ，b 2 ，k 矿，且满足 幻k = 玩，一互7 r p 互7 r ，若办是d 上相对于e 一妒幻的螺形函数，则 砟，= ( 掣) h ，j 卉= ，f ，趔z jp ) 7 是bn上相对于a的螺形映照，其中a：e一徊bm。，b：(茎詈 幂函数取分支使得( 掣) k 卜小”，肌 砟，= ( 化m ( 掣) ( 掣) h ) - 是单位球b n 上的p 型螺形映照，其中一羞 p 蓦，【o ，l 】且f ( z 1 ) 0 ，幂 函数取分支使得 ( 掣) 、。乩瑚 m 在单位多圆柱上，关于双全纯映照的线性不变族的秩，有下面的结论 5 河南大学硕士学位论文 定理3 2 1 设莎是u n 的一个线性不变族，口是它的秩，则 一缈。s u p s u psup。(p+黼圳waeuw e o uz a e 。a i t u )，) 口= ii a + i i 藻等爵j 垂。( o ) l l ， ，。尹 n n l l njj 其中v = ( 击，瓦0 ，一，丢) 是复梯度算子 推论3 2 1设口是u n 上的不变族莎的秩，f 莎，a 扩，则 忙学黼蚓组 推论3 2 2设q 是u 竹上的不变族伊的秩，f 箩，= r 0 ，z b n 【o ) ， + = 危：j h ( o ) = j ) ， 另外，记 m = 厶竹：入m o ) ，m k 【如n 朋：2 a m 入m ) 在单复变中，函数类由形如h ( z ) = p ( 名) z ( i z i 0 ，且正实部函数p ( z ) 满足 l i u - z h a n g - l u l 】： 瑚酬o ) 酬鲣瑚r e p ( 0 ) 0 ， 这说明h ( u ) 由于y jc z j ) 是p 型螺形函数，因此， 3 h j ( z j ) ，使 形( 乃) ( 勺) = e - j f a z j ) ， 即 h j ( z j ) = e p b 【形( 勺) 一1 乃( 勺) ， 其中俐 詈 又由于 ( z f ) 是正规化的双全纯函数，因此 由于 b ( 乃) l 勺 l ：岿0 e 一徊【髟( 乃) 一1 乃( 乃) l = = ：- - - - - - - - - - - - 二二- - - - - - - - - - - - - - - - 一i 乃 i 勺：o = e 川幻掣l 。名 l n = e - i s b j ， 凰( u ) 全u i h ：( u ) ， 圳小垒lb ( 劬( 札) ) 忡) 全等铲，3 = 1 ， 咖) 全1 付7 k = l ( 警z k ) 哪， 毋( t ) 全 ( ) ， 1 4 河南大学硕士学位论文 于是 从而 当i 歹时， 即 u = o g j ( u ) l u ：o = 0 ， 瓠帮j=l j j 、一， a q e 一_ 0 b j j = l = e - i a b i ， u = o a a u ) = o a 凰i o u ii t ：o 嘭( u ) i u ：。+ 百o h m ( u ) e 一印玩 l 掣i u = o = 差酬+ 掣l = 。 a 甄 a 嘶 e - i 卢b i ，i = j ， 0 ， i j 鱼o 坚u lu：。：(e一；6。e一三62 l ni： 1 5 o 0 e - i a b n 河南大学硕士学位论文 综上所述，再利用引理2 2 2 可以得出f ( z ) 是b n 上的相对于a 的螺形映照 推论2 2 1设，是单位圆盘d 上p 型螺形函数，则 北，= ( 化儿( 掣) 优一，( 掣) 伽) 7 是单位球b n 上的p 螺形映照，其中一蓦 p 詈，竹【o ，1 1 且f ( z 1 ) 0 ，幂函 数取分支使得 ( 掣) l 。乩瑚，s ， 证明：在定理2 2 1 中，设b = j ，则有h = 1 ，取 j = l a：。入巧，：厂兰、， 办( 巧) = ，歹= 2 ，佗，其中 = 1 ，2 ，礼) 是行向量，且h i = ( 1 ，0 ，0 ) ，a i = ( 竹，0 ，1 一，0 ) ，【0 ，1 】，i = 2 ，n ， 则f ( z ) = ( f ( z 1 ) ，( 掣) 他名。，( 掣) 饥z o ) 7 是单位球伊上的卢螺形映照 1 6 第三章线性不变族 3 1 引言 刻划不变族的一个重要的量是不变族的秩首先p o m m e r e n k e 建立了单位圆 盘上的不变族理论，龚升和郑学安将这些理论推广到多复变数的齐性域上，并给 出了c 礼中域q 上线性不变族的定义： 域q 上的一个正规化全纯映照族罗称为线性不变族( 简称不变族) ，如果满足 ：v ，罗，o 妒经正规化后仍属于矿，对所有妒a u t ( q ) 都成立 2 0 0 0 年，刘浩在单位球b n 上给出了不变族的定义 b n 上的一个全纯映照族莎称为线性不变族( 简称不变族) ，如果满足下面的 条件： ( i ) 对任意的，罗，s ( z ) 是b n 上的正规化( 即f ( o ) = 0 ，j s ( o ) = i ) 局部 双全纯映照； ( i i ) 对任意的，罗和任意的垂a u t ( b n ) ，有珏 ，】莎 关于单位球b n 上线性不变族的秩，刘浩证明了下面的结论： 设莎是b n 上一个不变族，q 是它的秩，则 一一s u p s u ps 咖u p 。( 字a + 篆描圳， 归缈口咿伽a b 。l l 丁”瓦砺商山口( u ) p j 其中v = ( 玉，去，去) 是复梯度算子 下面讨论在u 竹上不变族的秩 定义3 1 1 g o n g - z h e n g 】单位多圆柱u n 上的一个全纯映照族夕称为线性不 变族( 简称不变族) ，如果满足下面的条件： ( i ) 对任意的，庐，s ( z ) 是u n 上的正规化( 即，( o ) = 0 ，j s ( 0 ) = i ) 局部 双全纯映照： ( i i ) 对任意的，莎和任意的垂a u t ( u n ) ，有【卅夕 1 7 河南大学硕士学位论文 定义3 1 2 设莎是u n 上一个不变族，定义 为不变族莎的秩，其中 一缈s u p 删s u p 出r ( 象c 叫归，少删，。pl 赢奶) 知”，= ( k = 喜0 2 y i 胁l 伽， 8 1 ， 伽= ( w l ，w n ) ，f ( z ) = ( ( z ) ，厶( z ) ) 7 若qcc n 为域，0 q ，( z ) ：q _ c n 为q 上的正规化全纯映照，则f ( z ) 在 z = 0 处有t a y l o r 展开式： 化) ：们) + 乃( 。) z + 三21 堕d z 2 ( 。) z 2 + ， 容易看出，由定义3 1 2 所定义的口是对，( z ) 的t a y l o r 展开式的第二次项系数取 迹，故也可称q 为线性不变族的迹阶 3 2本文的主要结果 关于u n 上不变族的秩有如下的结论 定理3 2 1 设莎是扩上的一个不变族，q 是它的秩，则 口=，su。p罗口suup。，psuapu。(a+ii粼j毒。c。，叫7)， c 3 2 ， 归膨制。删c ，。l 卜+ 瓦黼如叫) ， ( & 2 ) 其中v = ( 击，毫，去) 是复梯度算子 为证明定理3 2 1 ，我们需要以下引理 引理3 2 1设( z ) 日f ( u n ) 为正规化的，则 其中叫c n 打d 口2 z f 。( 0 ) ( ”) ) = v ( d e 矧硼叫枷， ( 3 3 ) 1 8 河南大学硕士学位论文 证明：直接计算可得 o d e t j i ( z ) 一：= 8 z j 由于如( 0 ) = i ，故 乃z ) = 8 h o z l 0 2 o z l o i o z l 0202 o z lo z j o z 礼o z i a 如 o z l 8 l n o z l 于是( 3 3 ) 式得证 + + 0 2 a 0 1 a 8 h o z l a ，2 o z l a 、 瓦l a ，2 i 莩 o i 1 瓦 + 8 h o z l a a 铲h铲钝 o z l o z jo z r 8 z j 8 l n o z l a a 8 f 2 o z 铲 r乎 n o z l o z 38 z n 8 z j o i a 否0 2 1 1 一一+ 否0 z 。2 a 1 2 乃i ：。+ + 丽0 2 i i z = o a 一一a z 2 a 乃i ：o 。 a 2 h a 乃 砉箍 1 9 河南大学硕士学位论文 根据喇= ( 一1 篙嚣，篙蒜) ，有 南( e 呜i a j 一- 觋z 7 ( 2 “如同 a j l 2 - 1 ， 易求得如。( z ) 所以 列= 瞻拦斋i 由( 1 1 ) 和( 3 4 ) 得到 ( 3 4 ) 恤t j t 垂m c z ) l = ( 重d 薪) 龉渊 _ 5 ， 引理3 2 2 设箩是扩上的一个不变族，莎，则对任意的w c n ，有 t r , e n d 名o 。t s 】( 。) ( 叫，) ) = ( 2 五+ ! 耄渊j 毒。( 。) ) 们7 ( 3 6 ) 成立 证明：由引理3 2 1 ，得到 打( 警( 0 ) ( 町) ) = v ( 妣乜肿) ) 伽t - 0 利用( 1 1 ) 式可得 v d e t j t , 。【，】( 名) 乙 = ( v d e t j s ( 西口( z ) ) ) 妣如。( 名) ( d e t j f ( 圣。( o ) ) ) ( d e t j 圣。( o ) ) 一1 l 。 + ( v 妣如。( z ) 妣乃( 圣口( z ) ) ) ( d e t j f ( e 9 a ( o ) ) ) ( d e t j 垂。( o ) ) 一1 乙 = ( v d e t 乃( 圣。( z ) ) ) ( 如t 以( 圣口( o ) ) ) 一1 l 石：。+ ( v 如t 如。( 名) ) ( 如t 如。( o ) ) 一1 1 名：。 = 鬻圳 + ( c f e t - ，毒。( 。) ) 一1 ( i _ 二= _ c f e t - 7 ：垂。( z ) ，i _ 二= - c f e t t 7 毒。( z ) ) ：；。 = 黼圳+ ( 。z a r l 隔，矧 = 鬻删+ 统 河南大学硕士学位论文 所以有 打、( 舻n d z 0 2r s l - ( 。) ( 伽，) ) = ( 2 五+ 黼如。( 。) ) 叫， 定理3 2 1 的证明：根据( 3 6 ) 式，结合不变族秩的定义，可以导出 忙黼圳h = 以警c 叫i 口 对任意的切o u n 成立于是我们有 另一方面， ，su莎p。suup。加suap矿。i西+122d垒e兰tj!f趔(#ga(o)如。(。)加7l口缈。眇删，。lr + _ 如d ( 0 ) h ” ，su。p罗口suup。supweou。l五+!z；a嬲et,jfk w aj 毒。( 。) 豇，穸口【，nl ， j 膨叫s u p s u pe o u 。忪篆- - 糍器d o ( 。， w i l膨叫。if + 一k 姒叫0 ) ji 胆o = 缈s u p 俐s u p 出r ( 篆c 叫l 这样就证明了定理3 2 1 以上可以看作是对单位多圆柱上的线性不变族的秩的一个刻化 推论3 2 1设q 是u n 上的不变族莎的秩，罗，口u 竹，则 忙半黼蚓舛 证明： 根据定理3 2 1 ，设叫：鲁，即可证明 1 0 l 推论3 2 2设口是u n 上的不变族莎的秩，穸，h = r 1 ，于是 2 叼 ( 1 一1 2 1 2 ) d e t 以( 名) l q2 d 9 瑚 2 1 河南大学硕士学位论文 证明：设z 2 付，其中y 。吾，由推论3 2 1 可得 f 丽0 2 叼 ( 1 邛1 2 ) 妣驰) 】| = i 百= 了蒜 ( 一2 r ) d e t 乃( 名) + ( 】= 一i r y l 2 ) 昙( d e t 乃( z ) ) ， = i 南1r y l + 黼d e t j s可，li l 2 。 ( 圣o ( o ) ) fl = l 高- - i i - 1鬻detjs手i = l - - - - - - ，- - - - - - ；- - - - - - - 一一i i r 2 。 ( 圣a ( o ) ) rl = 南悟弘1 ，鬻刮 = 击惜一妒川2 ，黼h z t = 击悟弘1 蝴i 鬻h 2 a s 丁_ = 了 珂i - 瓦网坦天- - j - r 从0 到r 积分艮i j 日j 由推论3 2 2 可得到下面的偏差定理 推论3 2 3 设o t 是u n 上的不变族莎的秩，莎，i z i = r 1 ，则 制搿蚰州i 割筹 i f f n ：根据推论3 2 2 ，有 刊叼剖l o g c 1 制膨j a 列咖渊， 忉黼邮制) d e t 删z 叼辫， 辩( i - h 2 ) i d e 州i 麟， 滞( 1 - ) ( 1 仆1 ) i d e 州i 麟， 有上式就可得到 矧描i d e t 删剖耩 河南大学硕士学位论文 盾 推论3 2 4设o z 是u n 上的不变族莎的秩，则a 1 证明： 若o z 1 ，则当z 趋于u n 的边界时，i d e t j f ( z ) i _ o 。，这就导出了矛 河南大学硕士学位论文 参考文献 d i e l 】d i e u d o n n ej ，f u n c t i o n so fm o d e r na n a l y s i s ，n e wy o r k ：a c a d e m i cp r e s s ，1 9 6 0 【f e n g - l i u f e n gs h u x i a ，l i ut a i s h u n ，t h eg e n e r a l i z e dr o p e r - s u f f r i ee x t e n t i o no p e r a t o r ，a c t am a t hs c i 2 8 b ( 1 ) ( 2 0 0 8 ) ，6 3 - 8 0 【g o n 9 1 g o n gs h e n g ，c o n v e xa n ds t a r l i k em a p p i n g s 饥s e v e r a lc o m p l e x v a r i a b l e s ，k l u w e ra e a d e n e ep u b l i s h e r s ，1 9 9 8 【g o n 9 2 】g o n gs h e n g ，b i h o l o m o r p h i cm a p p i n g si ns e v e r a lc o m p l e xv a r i a i a b l e s ，c o n t e m p o r a r y m a t h e m a t i c s ，1 4 2 ( 1 9 9 3 ) ，1 5 4 8 【g o n 9 3 】g o n gs h e n g ，t h eb i e b e r b a c hc o n j e c t u r e m , i n t e r n a t i o n a lp r e s sc o m p a n y , 1 9 9 9 【g o n g - l i u 】g o n gs h e n g ，l i ut a i s h u n ，f a m i l yo f s t a r l i k em a p p i n g s 倒，c h i n a n n o f m a t h ，2 3 ( a ) ，3 ( 2 0 0 2 ) ，2 7 3 - 2 8 2 【g o n g - z h e n g g o n gs h e n g ，z h e n gx u e a n ，d i s t o r t i o nt h e o r e my o rb i h o l o m o r p h i cm a p p i n g si nt r a n s i t i v ed o m a i n ail m lli n t e r n a t i o n a ls y m p o s i u mi nm e m o r yo fh u al u o k e n g ，i i ，s p r i n g e r v e r l a g ，1 9 9 1 ，1 1 1 - 1 2 2 【g u t 】g u r g a n u sk r ， 圣一l i k eh o l o m o r p h i c u n c t i o n s 饥c na n db a n a c h s p a c e s ，t r a n s a m e rm a t hs o c ，2 0 5 ( 1 9 7 5 ) ，3 8 9 - 4 0 6 h a m - k o h - l i e 】h h a m a d a ，g k o h r ，p l i e z b e r s k i ，圣一l i k eh o l o m o r p h i cm a p p i n g so n b a l a n c e dp s e u d o c o n v e xd o m a i n s ，c o m p l e xv a r i a b l e s ，3 9 ( 1 9 9 9 ) ，2 7 9 2 9 0 l i u l 】l i uh a o ，o ns p i r a l l i k em a p p i n g si ns e v e r a lc o m p l e xv a r i a b l e s ，c h i n q u a r t j o f m a t h ，1 9 9 9 【l i u 2 】l i uh a o ，l i n e a ri n v a r i a n t ef a m i l yo fb i h o l o m o r p h i cm a p p i n g s 饥t h eu n i t eb a l l , c h i n a n n o fm a t h ，2 1 a ，2 ( 2 0 0 0 ) ，1 9 7 - 2 0 6 2 4 河南大学硕士学位论文 【l i u - z h a n g - l u l i uh a o ，z h a n gz h i p i n g ，l uk e p i n g ，t h ep a r a m e t r i cr e p r e s e n t a t i o n1 0 r s p i r a u i k em a p p i n g so | t y p e o 【o nb o u n d e db a l a n c e dp s e u d o c o n c o n v e xd o m a i n s ，a c t a m a t h e m a t i c as c i e n t i a ，2 6 b ，3 ( 2 0 0 6 ) ，4 2 1 4 3 0 l o e l 】k l o e w n e r ，u n t e r s u c h u n g e nf i b e rs c h l i c h t ek o n f o r m ea b b i l d u n g e nd e se i n h e i t - s k r e i s e s ，j m a t h a n n ，8 9 ( 1 9 2 3 ) ，1 0 3 - 1 2 1 【p o r e l 】c h p o m m e r e n k e ，u n i v a l e n tf u n c t i o n s ，v a n d e n h o e c ka n dr u p r e c h ti ng o t t i n - g e n m ，1 9 7 5 【p o m 2 】c h p o m m e r e n k e ，l i n e a r - i n v a r i a n t ef a m i l i e na n a l y t i s c h e rf u n k t i o n e ni 雠 m a t h a n n ，1 5 5 ( 1 9 6 4 ) ，1 0 8 - 1 5 4 l i n e a r - i n v a r i a n t