（应用数学专业论文）arch类模型及其在时间序列分析中的应用.pdf

摘要 自从2 0 世纪7 0 年代以来，由于宏观环境的变化，使得国际、国内金融市 场发生了深刻的变革，金融市场的波动日益加剧，金融风险明显增大。度量金 融波动、刻画和分析金融波动的特征，对于认识和掌握金融市场波动的规律和 结构具有重要意义。而金融波动的度量和分析，必须借助于科学的方法和工具 来实现。 在金融风险的研究中很重要的一个领域就是量测金融风险的波动性。本文 所研究的这种波动性指的是资产收益的方差随着时间不断变化，这在计量经济 学中称之为异方差问题。许多高频的金融时间序列都具有异方差现象。对于波 动性的量测( 即有异方差的量测) ，主要有两种模型方法；其一是a r c h 模型族 的量测方法，它包括e n g l e ( 1 9 8 2 ) 的a r c h 模型、b o l l e r s l e v ( 1 9 8 6 ) 的g a r c h 模型以及在此基础上提出的其他扩展模型；另一种方法就是s v ( s t o c h a s t i c v o l a t i l i t y ) 模型。 论文系统的介绍了a r c h 模型、g a r c h 模型和a r c h 模型的多种拓展形式， 并分析了这些模型的性质特征。本文主要做了以下几方面工作：一、系统地阐述 了自回归条件异方差模型族的产生背景、统计特性：二、详细的介绍了a r c h 模 型和g a r c h 模型的参数估计与模型的假设检验：三、通过对江苏省g d p 时间序列 模型的建立，研究a r c h 类模型的应用问题，通过多种模型的计算与分析比较， 间接验证了a r c h 类模型的实用性与逶用性。 关键词：时间序列，a r c h 模型，g a r c h 模型，参数估计 a b s t r a c t s i n c et h e1 9 7 0 si n2 0 t hc e n t u r y , w i mt h em a c r o c c o n o m i ce n v i r o n m e n tc h a n g e d , i n t e r n a t i o n a la n dd o m e s t i cf i n a n c i a lm a r k e t sh a d e x p e r i e n c e dp r o f o m l d 缸a n s f o m a t i o i lf m a n e i a lm a r k e tv o l a t i l i t ya n df i n a n c i a lr i s l 【sh a dm c r e a s e de l e a r l y n i si m p o r t a n tt 0m 汕= r s t a n da n dm a s t e rt h el a wa n ds t r u c t u r eo ff l u e t u a d o mi nt h e f i n a n c i a lm a r k e t st h a th o wt 0 圮a s u r et h ef i n a n e i a lf l u e t u a t i o ma n a l y z ea n dd e p i c t t h ee h a r a e m i s t i e so ff i n a n c i a l v o l a t i l i t y a n dt l a cm e a s u r e m e n ta n da n a l y s i so f f m a n e i a lv o l a t i l i t ym u s tb er e a l i z e dt h r o u g h 妣n t i f i em e t h o d sa n dt o o l s m e a s u r i n gt h ev o l a t i l i t yo ff t n a z a e i a lr i s ki s f i l li m p o r t a n tf i e l d i nf l l 3 a n c c v o l a t i l i t yi nt h ea r t i e l ei st h ev a r i a n c eo f 鹪s e tr e t u 1 = n w l l i c hv a r i e s 谢吐lt i m eg o i n g a n dt h i si sa l s oc a l l e dh e t e r o 鹳e d a s t i e i t yi ne c o n o m e t r i c s m a n yh i g h - f r e q u e n c y f i n a n e i a lt i m es e r i e sa p p e a rh e t e r o s c e d a s 虹c t h e r e 娥t w om e t l a o d so fm e a s u r i n g v o l a l i l i t y ：o n ei sa l 配hm o d e l s ，i n c l u d i n ga r c h ，g a r c ha n do 也盯e x t e n d e d m o d e l s t h eo 也e ro n ei ss vm o d e l t h e s et w om o d e l sh a v eb e e nw i d e l ya p p l i e di n m o d e l i n ga n dr e 鲫c ho f e c o n o m i cf i d d ，e s p i a l l yo f f i n a n e i a lm a r k e t s mt h i sp a p e r , a r c hm o d e l g a r c hm o d e la n do 血c re ) 【t e n d e dm o d e l sa m 臼o d u c e di nd e t a i la n dt h e i rp f o p e r t i e sa n dc h a r a c t e r i s t i c sa r ea n a l y z e d t h em a j o r w o r kd o n ei nm ya r t i e r ：s y 吼既啮畦c a l l ye l a b o r a t i n gt h eb a c k 掣d 眦d ，s t a t i s t i e a l p r ；o p e r t i e so fa u t o r c g r e s s i v ee o n d i d o n a lh t 船e d a s 吐c i 锣m o d e lc o m m u n i f i e s ；t l a e e s t i m a t eo fp a r a m e t e ra n dt h eh y p o 也e s i st c s to f 日托a r c ha n dt h eg a r c hm o d e l a m 灯o d u e e di nd e t a i l e d ；w i 也t h ee s t a b l i s ho f t h et i m es e r i e sd a t ao fg d po fj i a n g s up r o v i 撇，m v e s t i g a t et h ea p p f i e a t i o no ft h ea r c hm o d e l ，谢也t h ea n a l y s i sa n d c a l c u l a t i o no fk i n d so fm o d e l s ，v a l i d a t et h ep r a c t i e a b i l i t ya n da p p l i c a b i l i t yo ft h e a r c hm o d e li n d i r e c t l y k e yw o r d s ：t i m es e r i a l s ；a r c hm o d e l ；g a r c hm o d c l ；p a r a m e t e re s t i m a d o n 学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以。求实、创新。的科学精神从事研究工作 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究 成果 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构 已经发表或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示 了谢意 作者签名：茎至掐 日期：望ls 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京信息工程大学有关保留，使用学位论文的规 定，学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论 文的电子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复错 并允许论文进入学校图书馆被查阕；有权将学位论文的内容编入有 关数据库进行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密 的学位论文在解密后适用本规定 作者签名：查至丝 日期：纽：笠 第一章绪论 1 1 引言1 l 在分析经济时间序列过程中经常见到这样的现象，一个平稳零均值的时间序列显然平 稳的，但其方差的变化呈现一定的规律性，这就是较大的方差族往往后面跟着另一个较大 的方差族。在进行时间序列模型分析后，也往往发现所得的残差项虽然是不相关的，但残 差项的平方或绝对值却呈现较为显著的相关性，这说明残差项的二阶矩或绝对值之间存在 关系。 在实证研究中，如在投资分析和投资风险分析时也存在不确定性分析问题。比如一般 股票的收益率往往同该种股票的风险有关，风险具有较大的不确定性。如何使用风险的不 确定性规律来改进对股票收益率的预测显然是一个非常有意义的问题。于是，如何度量并 模拟这些不确定性，并利用其进行经济分析和改进模型就成为一个重要的课题a r c h 模 型提供了一种解决这类问题的办法。 a r c h ，g a r c h 模型及其各种改进，为金融学的定量分析研究提供了强有力的工具， 从而在金融学的研究中发挥了重要的作用。首先，a r c h 的出现，使统计学家找到了一种 能较为准确的刻画金融时间序列数据特征的模型，它能反映我们在现实中观测到的金融时 间序列数据的许多特征，如波动的聚集性，宽尾分布，收益率的不相关性等。众所周知， 市场有效性假设是现代金融理论的基石而对市场有效性假设进行检验时，面l 临的最重要的 批评即“联合检验”问题：我们在对市场有效性假设进行检验时。首先必须构造一个。均衡 条件下资产的正常定价模型”，再根据该模型确定“正常”的证券价格。然后再去检验现实 中的证券价格波动是遵循模型的假设。如果发生偏离，偏差是否达到足以使人持续赚取超额 利润的程度。因此，如果模型被拒绝，我们将不能分别是拒绝市场有效性假设还是拒绝“均 衡条件下资产的正常定价模型”。在8 0 年代以前，一般用古典的随机游动模型来刻画“均 衡条件下资产的正常定价模型”，而如前所述，古典的随机游动模型并不能准确的反映金融 时闻序列数据的许多特征。因此，a r c h 能大大的改进“联合检验”的问题。 其次，a r c h 模型及其改进在分析金融时间序列数据的“波动性”上发挥了重要作用。 b o l l e r d e v ( 1 9 9 1 ) 认为金融学中心的讨论问题之一是对波动性的讨论，金融时间序列数据的 波动往往是由于市场情况发生变化从而使金融资产的风险发生了变化。因此，从分析波动 性中，我们能对金融风险的现象与本质有更深刻的认识。而关于a r c h 大部分工作也集 中在该领域。 a r c h 在经济学领域上也有重要的意义。一些人认为，舢屺h 的产生，可能是由于 一些相对简单的因素引起的。例如，在一般的线性c a p m 模型中，如果误差项的模型参 数是随机变量，则资产价格将出现a r c h 效应。而在金融市场中。连续的随机信息冲击 也会导致资产价格将出现a r c h 效应上述工作实际上反映了一个共同的思想：通过对 一些相对简单的经典经济学模型进行适当的改造就能解释现实中复杂的数据。这实际上提 醒我们，经济上复杂的现象可能是由非常简单的行为所形成的。因此，我们在经济学研究 中应该注意这种“合成”效应。 1 2a r a i 模型的研究进展1 删 自e n g i 1 9 8 2 ) 提出a r c h 模型以来，a r c h 模型得到很大的发展。b o t l e r s l e v ( 1 9 8 6 ) 又提出了g a r c h 模型。b o l l e r s l e v ( 1 9 8 7 ) ，v 提出了t a r c h 模型。实践中大多数金融数据 序列的收益分布较正态分布而言。有高峰厚尾特征，而g a r c h 模型有助于刻画这种现象 由于g a r c h 模型假定条件方差是过去残差平方的函数，因此残差的符号不影响波动。即 条件方差对正的价格变化和负的变化的反应是对称的。实践中，研究人员发现，当坏消息 出现时，波动趋于增大，当好消息出现时，波动趋于减小。g a r c h 模型不能解释这种现 象。为了刻画消息的不对称影响，n e l s o n ( 1 9 9 1 ) 提出了指数g a r c h ( e g a r c i - i ) 模型 g l o s t e n , j a g a m a t h a n & r u n k l e ( 1 9 9 3 ) 通过引入了一个“哑”变量提出了g j r 模型。 d i n g , g r a n g e r & e n g l e ( 1 9 9 3 ) 考虑到了杠杆效应通过引入非对称参数又提出了有偏幂 a r c h ( a f a r c h 膜型。 最近几年，g a r c h 类模型在实际应用中得到广泛的应用，如：金融资产收益模型研究， 虽然平稳的基于正态分布的g a r c h 模型比正态分布有更高的峰度，但实证研究发现对金 融收益数据利用g a r c h 模型进行建模后的残差仍有相当的峰度，为弥补其不足，在某些 文献中对于g a r c h 的更新采用了厚尾分布，常用的分布有t 分布、广义误差分布( o e d ) 2 ( n e l s o n , 1 9 9 0 ) 混合正态分布、g r a m - c h a r f i e 型分布、广义t 分布、广义有偏t 分布、正态 p o l s s o n 混合分布和正态对数正态混合分布。只是近来稳定分布被应用于资产收益的条件异 方差建模。在诸多分布中，稳定分布是令人头痛的，因为它在一般场合下没有显式表示密 度函数和累积分布函数，但同时它又是最吸引人的，因为它是唯一一个具有吸引场的分布 族，即独立同分布随机变量的和收敛到稳定分布。另外稳定分布的四个参数分别代表了位 置、刻度、峰度、偏度。因此它能较灵活地反映了经济或金融时间序列收益( 或残差) 分布 中的峰态或偏性。在实际应用中，基于有偏稳定分布的( 3 a r c h 模型比基于对称t 分布的 ( 3 a r c h 类模型更适合。 1 3 本文的思路和结构 为了深入仔细地对时问序列的异方差性进行分析研究并预测，本文在国内外己有的研 究基础之上，对a h c h 类模型进行较为详细的分析预测研究，并对几种模型在实际应用中的 优劣进行讨论。 论文的第一章介绍了论文的研究背景及意义，并从国内外的研究进展说明了本文的研 究的必要性和实用性，并阐述了本文的主要工作。 第二章对a r c h 模型进行了详细的阐述，重点讨论了a r a i 模型参数的最大似然估计与 模型的假设检验。 第三章介绍了g a r c h 模型，详细介绍了g a r c h ( 1 ，1 ) 模型以及g a r c h 回归模型的参 数估计与假设检验。 第四章介绍了a r c h 模型的几种拓展形式。 第五章结合江苏省g d p 时间序列的应用问题，建模与分析比较，间接验证了g a r c h 模 型的实用性与适用性。 第六章进行了总结和讨论。 3 第二章a r c h 模型 2 1 引言1 鼬2 4 l 众所周知，对金融市场价格变化不确定性的研究已成为现代金融研究的核心问题之一， 而通常人们是用随机变量的二阶矩即方差来描述和度量这一不确定性，但传统的金融计量 模型假设随机变量方差是不变的，即在不同的时期方差保持一个常数。随着金融理论的发 展，大量研究表明许多金融商品的时间序列数据的方差的观测值具有随时闻变化的特点： 诸如股票价格、通货膨胀率、利率和外汇汇率等的方差经常表现出随时间变化的特点。早 在6 0 年代，曼德尔布罗特( v 随n d e l b r o t ，1 9 6 3 ) 曾观察到许多金融随机变量的分布具有厚 尾性，其方差也是不断变化的。更具有意义的是他发现在方差变化的过程中，幅度较大的 变化相对集中在某些时段里，而幅度较小的变化相对集中在另一些时段里。例如：昨天的 股票价高，今天的股票价格方差就大。而且在方差变化的过程中，存在着一种积聚的现象， 即大幅度变化后紧接着大幅度变化，小嘱度变化后紧接着小幅度变化，说明某段时期内比 其他时期更富有波动性 传统统计量模型往往采用期望值为零，且服从独立同分布的假设，如线性回归模型 a r m a 模型等；或至多是由外生变量影响所形成的异方差假设，已不能客观和准确地描述 金融市场上价格和收益随时间而变化的行为，于是许多金融学家和经济学计量学家开始尝 试用一些二阶乃至更高阶矩随时间变化的模型来定量地描述各种经济和金融行为美国著 名经济学家恩格尔( s n g l e1 1 f 1 9 8 2 ) 教授率先提出了能准确地反映观测值方差随时间变化的 自回归条件异方差( a u t o r e g r e s s i v ec o n d i t i o n a lh e t e r o s c e d a s t i c i t y ) 模型，即a r c h 模型，并 因此于2 0 0 3 年获得诺贝尔经济学奖。a r c h 模型一经提出便成为一种最受欢迎的非线 性金融时间序列模型。b o l l e 稿l e v 于1 9 8 6 年将a r c h 模型拓广为广义自回归条件异方差 模型g a r c h ( g 锄啪l i z e da r c h ) ，n e l s o n 于1 9 9 0 年提出了指数g a r c h t e x p o n e n t i a lg a r c h ) 模型，此后还有诸多学者对g a r c h 模型进行改进，提出了均值 g a r c h ( g a r c h m ) 模型，方差无穷g a r c h ( h g a r c h ) 模型，非整数次积分 g a r c h ( f r a c t i o n a l l yi n t e g r a t e dg a r c h ，f i g a r c h ) 模型等。这些模型适用于具有积聚性 丑- 及方差波动性特点的时间序列数据的回归分析及预测。实践证明，此类模型族在实际应用 中取得了令人满意的效果。 2 2 自回归条件异方差( a r c h ) 模型的定义7 1 堋 自回归条件异方差过程( a r c h 过程) 在文献中有多种不同的定义方法。以下介绍的是 基于思格尔在1 9 8 2 年提出的定义。 一个随机变量有p 阶的自回归表示形式a r ( p ) ，如果： x = , 8 0 七9 吊t 4 + p 2 x t l + + p c - p + 8 t ( 2 1 ) 其中，饵 为独立同分布的白噪声过程，且有占 ) = 0 ，d ( q ) = c r 2 。 i l ( p ) 过程( 2 1 ) 是一稳定过程，它的特征多项式：1 一届孑一屈：2 - 局矿= o 所有的撮都在单位圆外 若有一随机过程如 ，它的平方岛2 服从a r ( q ) 过程： 毛2 = + l + + 蠢g + 仇 ( 2 2 ) 其中 碾) 独立同分布，且有e ( 聃) = 0 ，d ( 仇) = a 2 ，t = 1 ，2 ，则称编 服从q 阶的 a r c h 过程，记作蜀一a r c h 国) 由于随机变量彳的非负性，给定变量蠢。，蟊的值，白噪声过程概 的分布是受 约束的，因为它显然应满足：7 , 2 嘞；t = l ，2 ，为确保 ) 为一稳定过程，假设( 2 2 ) 式的特征方程； 1 一啦：一啦：2 矿= 0 的所有的根都在单位圆外若a o o ， 叩= 1 ，2 ，g ) 成立，以上条件等价于吒+ 嘞+ + l 这样若岛一脚那么目的无条件方差，= 娴2 鬲鲁i 为一常数 a r c h 模型的一个重要特点是给出了计算时间序列的条件方差的方法，每一时刻r ，a r c i t 过程的条件方差是过去的随机干扰的函数，可由递推公式计算。 5 为进一步研究彳五c 日( g ) 过程的性质。以下将岛一a 屁c h ( g ) 表示为：岛= 百q 并假设“) 独立同分布， 她) t 0 d “) = 1 。j i j 有表达式 吩= 嘞+ 嘶矗+ 嘞蠢2 + + 矗，显然，在任何时刻，b 的 条件期望为：e ( b l 山，) = 虿e ( v r ) = o ， 条件方差为：层( 母l 乓一，“) = 扛e ) = 皿 以岛= 瓦v l 代入( 2 2 ) ，则有：魂谚= 吃+ 仇，从而可将( 2 2 ) 式中的随机干扰琅表示为：仇= 研- 1 ) ，这进一步表明，尽管仇有无条件方差五2 ，但 它的条件方差是时间的函数，因为 砰= e 研f 1 ，) = 碍e ( 谚一1 ) 2 2 3a r c h 模型参数的最大似然估计 a r c h 过程最通常的应用，是在回归模型： y l = x ：p + s ( 2 3 ) 中，假设弓一4 五c 日( g ) - 为方便起见，一般假设”的前q 个观察值已知，并记为 y - - g + i ，y 一口+ ，y o ，估计所用数据为) ，l ，) ，2 ，j ，r 。模型( 2 3 ) 中的t 为已知的回归变量， 其中可以包括滞后的y ，值乓服) a a r c h ( q ) 过程，可表示为：q = 百h 其中， _ i ：i = 铴+ q 蠢1 + 蠢， 以下首先讨论h 服从标准正态分布时，艘c 日国) 过程参数的最大似然估计，v f 服从 非正态分布的情况在稍后讨论。 将) ，i 和x t 以及它们的滞后值列在向量z 中： - 6 - r = 咒，) ，f - l ，一，咒，y - q “，爿，蔓。 ， 根据模型( 2 3 ) 的构造，随机干扰与，墨l 相互独立给定t 和 的值，随机变量) ，服从正态分布，并有条件密度函数： 舭聃南唧铲) 其中： = 嘞+ q ( 一矗历2 + 口2 【趾2 一t 2 历2 + + ( 一如历2 艿= ，吼， ， 毛( ) = 1 ，( ) ，f - i 一】“) 2 ，劬，一，卢) 2 将参数和万列入向量占，使得：口= 箬 回归模型( 2 3 ) 的条件对数似然函数为： r 上( 印= w ( y , l x , ，；口) i i l ；一丢l n ( 知) 一；壹i n ( ) 一i 1 2 以一| f 厶 扭l删， ( 2 4 ) ( 2 5 ) 参数目的最大似然估计谷使上( d 在口= 多获极大值。对三( 口) 求关于目的一阶微分，并令 卯) = 幽簪型删有警= 和) 忡) 可表魏坤) _ - ；驾笋弓傍笃乎一亟豺 由于 垫= ! 翘l a 口 a o ，。一j 脚2 卯 a ( y ，一j i 所2 a 6 = r b - 7 ( 2 6 ) 塑： 0 0 a ( 口o + 骞丐毛 ：f - 2 委q 乓叫蔫_ l 毛( 所j 所煸忡) ：型嗜型 咔i - 耳# ) ； 1 计嘲 因此，可将对数似然函数三( 口) 对参数护的微分表示成 警堋= 和) = 越( 印 8 8 a l ( e ) 8 8 = 嘲 = 斗“，阮小移 ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) 参数向量目的最大f 以然估计争为勰警= o 的解，使得工( 国在口= 谷时取极大值。这最优化问题可由数值计算方法解决。以下介绍 的是恩格尔在1 9 8 2 年提出的算法。 由( 2 9 ) 式，子向量皿( 刃可表示为： 删= 三孝悟一- ) 警一圭孝播 = 粪悟一毒( 刮扣 ( 2 1 0 ) 整理后，又得： ( 印。壹薯 町- 一圭q 确( 岛一k 脚= 壹而肼， ( 2 1 1 ) 州i州- t i l l 上式在以后的计算中很有用，会经常用到对 ( 求关于的微分后，将( 2 6 ) 式和( 2 7 ) 8 式中等和嚣的表达式代入，确 鬻=三砉等l等参卜三2争智l互h,2 l2 一t 鬻一喜簪一喜管茜8 国f 铬8 p l t堆a p a 图p 急毽急臻a p 给定t 和】，- 1 的值， 和t 都为非随机变量。由于 占( q k ，) = o ；e ( 彳l 薯，】：一。) = 啊 立即可计算上式的条件期望： e 船h ) = 一丢粪挚喜等一粪争2 以此可定义相应确印的信息脯如= 一；e 【0 鄹2 l ( e ) bz - i 根舭7 ) 式中的黼确警；- 2 委吁等 由于5 和钆在f ，时不相关，所以信息矩阵可由下式一致的估计： 址；粪- - , 睁22 骞碑碱) 将薯提到括弧外，做适当整理后，上式可等价地表示为： 厶：昙妻一咖 j 上式与( 2 i i ) 式一样，在以下的计算中经常用到 接下来对子向量是( 臼) 做类似的处理。根据( 2 9 ) 式 卅警= 三浆一) 警一荟r 面1 万0 f 2 9 ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 由c z 。t ，式，可知：等：。因此：是= ： 备r1 i 9 2 2一p 警 a 占：彳i 槐 l 刁d 对屯( 曰) 求关于的微分，得： 警= 等2 粪警址8 8 悟十1 2 砉悟_ 1 ) 瓣 掰a 彬智掰 1 i ；ij 智【鱼la 国 自于苦= o ；笋- o 毗等等- 0 ，从而可将( 嘲啪册简慨 8 2 l ( 0 ) ：一三互曼堕垒2 必 a 茹 2 智趣 a 8a j 将相应于的信息矩阵记做峥一；e 舞窘k ，) 黝定薯和z - i 时 有e ( # k ，) = 鱼，又根据( 2 7 ) 式，有曼专笋= 刁( 力，因此，信息矩阵厶有一致估 i 5 = 面i 丢i z t c a ) z t t 别慵 ( 2 1 4 ) 综合以上讨论，就可以构造计算参数口和8 的最大参数估计的迭代公式队上标i 表示 相应的统计量在第i 步迭代时的值，p “和扩1 有递推关系 肚声+ 阿b 等秒小阿b 警) 将( 2 i i ) 式至( 2 1 4 ) 式中的结果代入上式，可得雪。“和彦“的递推计算公式为 伊1 = 夕+ ( 壹碱谚) 1 ( 壹毒柏护。伊+ ( 圭：，掳扩泓) ，- 连x 彳一 f ) 屈) ( 2 1 5 ) 拉ii i埘 埘， 这里，和珥的表示式由( 2 1 1 ) 和( 2 1 3 ) 给出 用以上两式对多和彦作递推计算首先用最小二乘法从回归模型) ，= x + 岛中得到 l o 的估计值和估计残差，并将它们对应为迭代计算的初始值矿和秽o = 1 ，2 ，乃；其次计 算出估计值彦。和砰：最后将初始值代入( 2 1 5 ) 中的两个迭代公式，即可得估计值矽1 和伊 不断重复上述过程，直到达到预先给定的收敛准则为止 以迭代方法得到的估计值西和彦是一致估计，在一定的准则条件下，有 正态的极限分布： 压0 a 一i 啼n a 矗) ；矗o 一! 一n | ；) 【2 1 6 ) 以上迭代方法的一个重要特点，是不需对未知参数和j 作联合估计，最大似然估计夕 和彦分别由( 2 ，1 5 ) 中的方程迭代计算得到，这样就简化了计算过程，但又不降低估计的效 率和精确度这种对多和彦作分别计算的方法并不是在任何情况下都可行的一般来说，由 联合方法得到的西和彦是最优的只有在以下条件满足时，由( 2 1 5 ) 式分别迭带取得的估 计值彦和彦才是等价最优的： 一；e 船b ) _ o m 不难证明，上述条件对一r 明白) 模型成立 以上讨论基于假设岛= 压q 有独立的正态分布事实上，当样本量t 足够大时，根据 中心极限定理，以上的计算方法在作适当修改后仍能适合非正态分布的情况。只要这时 e ( h k ，) = o ：e ( ，f k ，) = l 成立换言之，非正态分布的v f 并不影响占= p 7 ，争 ，极限分布的正态性，只是此时的正态 分布有不同的协方差矩阵： 亍( 舀一刃o ( o ，d 。s ：d 。1 ) ( 2 1 8 ) 若随机干扰e 服从正态分布时，矩阵d 和s 之问出现差异，这差异可用来修正估计值 p 和彦的标准差，使得在样本有限时提高估计的精确度 2 4a r c h 模型的假设检验 如果回归模型_ y ：= 工+ 岛中的随机干扰项b 服从彳卫c 日国) 过程，那么单独对作 最小二乘估计是不合理的。最优的估计方法是用( 2 1 5 ) 中的两个公式，经不断迭代，计 算出估计值西和彦。但是迭代计算一般比较复杂，有较大的计算量。为了避免不必要的计 算量，般在计算前对岛是否服从艘c 日国) 模型作假设检验a 随机变量岛 9 的, 4 r c h 效 应集中在条件方差啊的各参数上若在吩中，吼= 嘞一= = 0 ，那么曩= 铴为一 常数，因此岛为一独立的白噪声过程。这时对儿= 工+ 岛中的作最小二乘估计不仅计 算简单，而且是最优的估计a 但只要q ，中的任何一个q 不为零，蜀就服 , a a r c h 过程。以下用拉格朗日乘数法( l m ) 假设原检验峨= 嘶= 吻一= = o ，其相应的备 选假设为丑j ：存在某一q 0 ，1 s f s g 。由于删检验只需计算检验统计量在原假设风成 立时的值，因此检验a r c 日假设最简易的方法 u i 检验需计算对数似然函数( 刃对参数万的一阶和二阶偏微分。根据上节中的计算 他们分别为： 警= 矧纠掣一砉壶蔷 a 艿 2 智【趣j 8 6 智2 呜8 艿 j ! ：! ! 垒堕：一三篓曼墼垒2 曼垫! 垒2 a 国f2 舞k8 5a6 l 信息觫扣；e 船协。卜一讯 i 5 = 蒜呱阮恻旧 - 1 2 - 以口的估计值占代入( 刃的一阶和二阶偏导，并记，f 和z ( 声) 为曩、蜀和刁( 刃 在原假设风成立时的值则有： = 岛= 吾窆，酽= 巴，刃( 夕) = 1 ，e 。2 一，蟊 1t l 愿里b 为y l 珂墨作凹j h 明佰订厩左四此仕原假仅厩且蜩，伺 警= 击粪悟一p 面 五= 赤妻却锹衙 这样，就可以构造检验风：= = - = = 0 的l m 检验统计量： 即乎警瑚号争 在a o 成立时，统计量f 有z 2 ( g ) 极限分布。 分别定义矩阵z o 和向量厂。为： z 0 _ - 防( 夕) ，之西”，z ( 硝 ，。= ( 丢一- ，( 鲁一 ， 丢一- 可将检验统计量善写成矩阵形式孝= 圭厂o ，z 。g ，。，蛹毋华= 2 样一姗喇黼撇最弘r 盥考掣 统计量掌+ 的表达式表明，善的值可由辅助的回归模型计算而得。若以向量厂。对矩阵 z o 作回归：厂。：zo f ，所得的拟合优度r ：为：帮：兰：堡垒：2 ：竺! ：，显然： ，0 ，o - 1 3 - f = t r 2 。综上所述，检验统计量善的值可由两个简单的回归得到： ( 1 ) 以) ，对t 作回归，得残差q ，吃，白，= 睾露； 1i i i ( 2 ) 构造厂f 。= 鲁叱? 洒l 矗州乙 。断对。( 历作回j 目，得回归的 拟合优度r 2 1 4 第三章g a r c l t 模型 当人们发现a r c 模型无法表达。某些情形中自相关系数消退很慢”这一信息，而且 在实际应用中对完全自由的滞后分布的估计常常导致对非负约束的破坏时，巴拉斯拉夫 ( b o l l e r s l e v ，1 9 8 6 ) 提出了更一般性的a r c h 模型( g e n e r a l i z e da r m ) ，即g a r c h 模 型。模型是广义自回归条件异方差模型( g e n e r a l i z e da u t o r e g r e s s i v ec o n d i t i o n a l h e t e r o s k e d a s t i c i t y ) 的简称，该模型是用过去的方差和过去方差的预测值来预测未来方 差的自回归条件异方差时间序列模型，其中异方差指方差随时间变化而变化，即具有易变 性：条件性表示了对过去临近观测信息的依赖：自回归则描述了预测值与过去观测之间的联 系。它在对时间序列波动性的解释和建模上具有较强的优势，因而有着极其广泛的理论和 实用价值。 假设在a r c h ( q ) 过程，岛。百q 中，n 独立同分布，且有h ( o ，1 ) ， t = 1 ，2 ，r 。令a r c h f - t 程的阶数q o o ，条件异方差| l j i 可表示为：噍= a o + 石( 上) 砰， 这里，r ( 工) 为无穷阶滞后多项式： 石( 工) = 乃 j - l 它可表示成两个有限阶滞后多项式的商： 删= 器= 再a l l + 巧a 2 l 2 而+ + a q l q ( 3 ，1 ) ( 3 2 ) 其中，滞后多项式( 1 一户) ) 的特征方程：1 - p i z - p 2 2 2 岛：7 = o 的根都在单位圆之 外。利用( 3 2 ) 式可将鬼改写成： 曩= 毛+ 向k l + 岛鬼2 + + 岛k ，+ 嘶矗+ 吃蠢2 + + 蠢口 ( 3 3 ) 其中的常数项毛为：岛= ( 1 一n 一岛一一辟) 嘞 1 5 由( 3 3 ) 式中 定义的4 r c 日过程毛= 百k 称为广义的a r c h 过程，简称为 g a r c h ，记为岛一g a r c h ( r ，口) 显然，当，= 0 时，岛一a r c h ( q ) ；当，= q = 0 ， e 为一白噪声过程将( 3 1 ) 和( 3 3 ) 式比较，可以得到系数巧和岛、之同的关系为： 卜善n - 1 乃汕一，鼋i1 2 1 ，簟 铲1 i = q + 1 ， l 磅巧_ ” l j - 1 这里，n = m i n r ，i - 1 1 。以下的定理给出了g a 孟c h ( ，窜) 过程是稳定过程的充要条件 定理3 1 ：由( 3 3 ) 中的鱼定义的g a r c h ( r ，q ) 过程是稳定的随机过程，并有 e ( 岛) = o ，d ( 岛) = 知( 1 一口( 1 ) 一p ( 1 ) ) - 1 和c o v ( 日，岛) = o o d 的充分必要条件为： 口( 1 ) + p ( 1 ) o ，a o ，啦o 根据 定理3 1 鼻一g a r c h ( i ，1 ) 是稳定过程的充要条件为向+ 岛 1 - 1 6 - 在有些应用中，不仅要求岛一g a r c h ( 1 ，1 ) 是稳定过程，还要求它有高阶距以下定 理给出岛存在2 所阶矩的充要条件 定理7 2 ：g a r c h ( 1 ，1 ) 过程( 3 4 ) 具有2 m 阶距的充分必要条件为 砌脚哟= 薹卧相 ，- 0 j ， ( 3 5 ) 这里，m 为一正整数；蟊= 1 ，弓= 1 7 ( 2 j - 1 ) ，j = 1 ，2 ，a 而且，毛的2 埘阶阶矩满足递 推公式： 肿m 匡相矿，护( ：0 l ( p a q , n ) 卜觚q 村1 ， 证明：由于砰”；f 谚。，v t 一 ，( o ，1 ) ，所以下列关系成立： e ( 矿) = 兀( 2 j 一班魄) = 以矿) k 可由二项式公式展开为k = ( + 岛 - 1 + 矗) ” = 薹 ：卜黝 1 w l 。| 州 t - 1 一t - t 上式中的螭7 程项有条件期望：e ( 磕7 硌i 墨。，坛：) = d ，。n 1 因此，以彬l 礼。) = 薹雅。巴 霹“喜力硝叫卅 令q = 矽，矽一，曩 ，由上式可得e ( 坼f ，- 2 ) = 6 + c 珥其中， 向量，c 为肼肼阶上三角矩阵，其对角元素为 鹏m 。= 砉g ) 弓d w z ，拼 由此可计算在给定j ：时，向量坼的条件期望为 ( 3 6 ) b 为肌维常数 ( 3 7 ) e ( u ，i 】i ) = ( ，+ c + c 2 + + c 。- 1 ) b + c t u t 4 其中，c ，c 为矩阵c 的乘幂。令k 一，上式存在极限的充要条件为c ，哼0 ，这 等价于矩阵c 的所有特征值都在单位圆内。由于c 为三角阵，其特征值等于它的对角元素， 所以对j = 1 ，2 ，肘，有( n ，0 1 不难验证，上式意味着( a ，啊，i - 1 ) 1 ，因此( n ，嘶，帕 1 足以保证岛的2 m 阶距存 在。定理证毕 3 36 a r a i 回归模型的参数估计 与a r c h 过程一样，g a r c h 过程最常见的应用也是在回归分析中。以下考虑 g a r c h 回归模型： y t = x ：8 + 81 ；g i = 瓜v i ：岛+ 窆岛啊。+ 杰啦钆，v i n ( 0 ，1 ) ( 3 8 ) 的参数的最大似然估计。令 毛= 1 ，矗，也，l op 如，k ， ， 艿= ，嘶，a ，岛 ， 占= 8 f 可将g a r c h 模型( 3 8 ) 的对数似然函数表示为 r_ 1r 1r 三( 刃= x l , ( 0 ) = - 专l n ( 2 z ) 一寺衄如) 一寺彳茚1 ，i l o ，_ lt = l 先x c l ( e ) 求关于万的一阶和二阶微分，得： 业8 8 = 三2 耖鲁唼一d 组。， 智笳、鬼 7 1 8 - 等= 喜滢一j 、石al f i l 一_ 1 鲁卜三喜矿嚣等等 其中： 鲁吲胁喜岛等 与4 且c 日国) 模型的( 2 7 ) 式相比，上式中的( 砩a 回多了第二 、善rn ( 3 1 0 ) 蒯e 馐( 利古巴茸1 孙托 = o ，眦一一蚴埘 相应于嬲的信黼卜吾e 裟慨 c 就可得到一致的估 计。 再对三( 力求关于的一阶和二阶微分，得： 可a l ( a ) = 喜洲+ 净掰棚 韶= 一粪阿1 薯一三喜矿嚣参睁一嘻矿锅参+ 喜晤一t 参巴矿剀 舯嚣= 之薹哺 喜辟等 与4 r 凹型眦7 ) 式枇( a h , a p ) 中矧骞磅等) 这嘎 由于曩对和万的一阶偏导中包含了自回归项嘻日和( 喜岛等，估计 a r c h q ) 模型的迭代公式不再适用。以下介绍的算法基于丑日：明算法，细节请参阕 b e r n d t 。b 1 l a l l ，r e h a l la n dh a u s m a n ( 1 9 7 4 ) 。 1 9 - 以伊+ 1 表示参数口：【，占丁在第f + i 步迭代时的估计值，工( 力：壹l n “( 口) ) ，扩可 由下式： a 陲訾警 - 1 喜警 计算。这里，( a l n ( 厂，) a 口) 表示一阶微分在伊的值； 为一步长变量在给定的方向向 量下，它使似然函数三够) 取极大值。方向向量可由一t 维的单位向量卜，l r 对 a “) 加口窖= l ，2 ，- - ，) 作回归而得 由于参数口和艿的分离性，估计值西“和彦“1 可由下列公式分别计算： 伊砂十五陲背 - 1 喜警 护甜+ 五陲孵建警 由以上算法得到的迭代估计台：f 夕一，争 是一致的估计。当r ，占有正态的极限 分布：亍( 务一口) ! 一( o ，狐一) 其中，f = 一e ( a 2 1 丑( z ) a 6 b ) 当g t r c 胃过程q = 瓦h 中的随机干扰b 有非正态的分布时，迭代公式( 3 1 1 ) 也 能适用，只要这时有 以岛l 】，- 1 ) = o ，e ( # 1 i z 。) = 1 ，e ( g 矿i l ：d ) 五f 迭代估计每：f 声，彦，- f 仍有正态的极限分布： f ( 毋一p ) ! 一( 0 ，f 。1 f m 一) 其中，f = e ( 8 l n z ) a 口旧l n u ) a ) 。当k 一( o ，1 ) 时，f f f - 2 0 3 4g a r c h 模型的假设检验 q = g a r c h ( r ，g ) 模型 y t = 邶+ e t s t = 蕊i v 。k - n ( 0 m _ j j ：毛+ 窆岛_ i ：i ，+ 羔钆：班 可用2 4 节讨论的检验方法，对参数8 作假设检验。一般地。可将参数j 分解为 j = 【，噬f ，将 表示成： = z 占= 毛焉+ 荔，最，用拉格朗日检验法对原假设 风