（基础数学专业论文）带有对流项的退化拟线性抛物方程组解的整体存在和非整体存在性.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 本文主要研究了有界区域q 上如下具有d i r i c h l e t 零边值、退化的拟线性抛物方程组 u t = v ( 牡口v ) + c 1 让口一1 1 w 1 2 + o 矿 仇= v ( v p v v ) + c 2 v f l 一1 1 w 1 2 + 阮g 解的整体存在和非整体存在性，并说明了p q 一( 口+ 1 ) 够+ 1 ) 的符号以及区域和对流项的 大小对解的整体存在与非整体存在起着决定性的作用当p c 一( q + 1 ) ( f l + 1 ) 0 ，对大初值无非平凡的整体正 解而对临界情形p q 一陋+ 1 ) ( p + 1 ) = 0 ，区域及对流项的大小对整体解的存在与否有着 重要影响 值得注意的是，以往证明解的整体存在和爆破问题用上、下解的方法比较常见，即 通过构造整体有界的上解或爆破的下解证明解是整体存在或爆破的在本文中我们没有 利用上、下解方法，而是通过构造含有解的比值形式的积分辅助函数来得到解的上下界 估计，从而研究解的整体存在和爆破问题 关键词：退化抛物方程组；对流项；整体存在；非整体存在；上下界估计 g l o b a le x i s t e n c ea n dn o n e x i s t e n c ef o rs o m ed e g e n e r a t ea n dq u a s i l i n e a r p a r a b o l i cs y s t e r mw i t hc o n v e c t i o n a b s t r a c t t h ea u t h o rd i s c u s s e st h ed e g e n e r a t ea n dq u a s i l i n e a rp a r a b o l i cs y s t e m t 上t = v ( t 正a v u ) + c l t 正a 一1 i v u l 2 + n 矿 仇= v ( 护勋) + c 2 v z 一1 i v v l 2 + b u q w i t hc o n v e c t i o na n dd i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n si nab o u n d e dd o m a i nq a n ds h o w st h a tt h e g l o b a le x i s t e n c ea n dn o n e x i s t e n c ed e p e n dc r u c i a l l yo nt h es i g no ft h ed i f f e r c e n c ep q 一( a + 1 ) ( p + 1 ) ，t h ed o m a i nqa n dt h ec o n v e c t i o nt e r m w eo b t a i nt h eg l o b a le x i s t e n c ef o ra n ys m o o t hi n i t i a l v a l u e sw h e np q 一( q + 1 ) ( f l + 1 ) o i nc r i t i c a lc a s ep q 一( q + 1 ) ( 卢+ 1 ) = 0 , t h e s i z eo ft h ed o m a i na n dc o n v e c t i o nt e r mp a l yas i g n i f i c a n tr o l ei nt h ee x i s t e n c eo rn o n e x i s t e n c e o fg l o b a ls o l u t i o n s i nt h i sp a p e r ，w ee s t i m a t et h ei n t e g r a lo far a t i oo fo n es o l u t i o nt ot h eo t h e r ，r a t h e rt h a n c o n s t r u c tap a i ro fs u p e r - s u bs o l u t i o n s ，t oo b t a i nl o w e ra n du p p e rb o u n d sf o rt h es o l u t i o no f ( 3 1 1 ) t h i sm e t h o ds h o w ss u c c e s s f u li np r o v i n ge x i s t e n c ea n db l o w u pp r o b l e m s k e yw o r d s ：d e g e n e r a t ep a r a b o l i ce q u a t i o n ；c o n v e c i o n ；g l o b a le x i s t e n c e ；g l o b a ln o n e x i s - t e n c e ；l o w e r u p p e rb o u n d se s t i m a t e i i 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究工 作所取得的成果尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外，本 论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请学位 或其他用途使用过的成果与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在 论文中做了明确的说明并表示了谢意 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任 学位论文题目：查过盗逝鼬显化挫婆遂挝邈参盛纽蜒面壹基盔盔垂i i 整垡箱否，k 作者签名：挑般一喘等年丘月骅日 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间论 文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅学校有权保 留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将本学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印、或 扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 学位论文题目： 作者签名： 导师签名： 革角盘壶 醯淄匕拟鸯选蚴塞篮癣面盘丛蕉煎垄韭辫否，k 妇虹日期：掣年上月毕日 趣垂、主日期：盟年l 月兰l 日 大连理工大学硕士学位论文 1 前言 本章主要通过列举若干实际模型来介绍本文所研究问题的实际背景，并阐述了相关 问题的发展现状，最后对本文的结构安排加以概述 1 1 引言 偏微分方程的兴起已经有两百多年的历史了，它作为一个多侧面，多应用的学科， 描述许多物体的物理或是机械的行为，如弦的震动等现象因此在二十世纪以前，人们多 是直接联系着具体的物理或几何问题来讨论各种偏微分方程( 包括线性和非线性的) 早 在1 9 0 0 年，h i l b e r t 在巴黎的国际数学家大会上提出了著名的2 3 个问题，其中第1 9 、 2 0 、2 3 问题均涉及了如何系统地研究偏微分方程的边值问题这就形成了现代偏微分 方程理论的萌芽现今偏微分方程已经成为一个与数学其他分支联系紧密的学科，微分 几何、复分析、调和分析、代数理论等学科都与其有密切的关系，它们也成为研究偏微 分方程的工具。现在，偏微分方程特别是非线性偏微分方程，已成为数学乃至整个自然 科学中活跃而重要的研究领域随着数学工作者以及其他学科的工作者的努力，数学在 理论和方法上取得了很大的进步数学工作者及其他学科工作者各显其能充分利用现代 数学工具解决复杂的非线性问题 近些年来，在生物学、生态学、生物化学及物理、工程等传统学科的研究领域中，各 种非线性抛物型和椭圆型偏微分方程( 组) 得到了很广泛的应用，尤其是二阶非线性抛物 型和椭圆型偏微分方程( 组) ，通常都有明确的实际背景，其研究日益受到科学工作者的重 视并逐渐取得了许多有价值的成果其中人们对抛物方程( 组) 解的爆破性理论产生了极 大的兴趣，爆破理论与其它各个领域之间的关系( 例如：化学反应堆、量子力学、流体力 学、湍流流量等) 越来越受到广大学者的关注 1 2 模型举例 为进一步介绍抛物型方程( 组) 的实际背景，下面列举若干经典模型： 1 带有对流项的退化拟线性抛物方程组解的整体存在和非整体存在性 1 生态方崔( 群体增长，传梁病，病虫詈等) 一o 优u - a u + u m ( u ，t ，) + t f ( 牡( z ，s ) ，t ， ，s ) ) 幽 o 仉v _ a v + v n ( 仳，口) + t c ( u ( z ，s ) ，秽( z ，s ) ) 如 2 神经传导的h o d g k i n - h u x l e y 方程 u t = 乱z z + i ( u ，w l ，w 2 ，w k ) w i 产p t j ( u ) w j + 吼( u ) a = 1 川2 一，七) j = l 3 燃烧方程 豢= k 1 t + q 他e x p ( 一旦r t )疣一1 一趴 7 窑= 鲍n - - 7 , 7e x p ( 一刍) 一= f o z 1 f l i y t l i 一一 疣 一一 r 、r t 7 4 b e l o u s o v - z h a b o t i n s k i i 反应的n o y e s - f i e l d 方程 豢：三r v + u ( 1 - - t i - - v v ) + 象 窑= m 秽一阮”+ 象 5 b r u s s l a t o r 方程 尝：n a u + a 一( b + 1 ) u 斗u 2 v a 瓦2 n 一【d + 斗 豢“舢+ 砒叫2 其他例如渗透方程、液晶方程、反应器动力学方程、超导方程，反映生命现象的众多 数学模型，污染问题中出现的对流扩散方程等等，也都可以归于更复杂的抛物方程( 组) 1 3 发展现状 当今，为了解决复杂的非线性问题，各种现代数学工具各显其能然而，人们发现， 对非线性问题的研究不存在一劳永逸的统一工具和方法；非线性问题的极端复杂性，直 接反映了自然现象的极端复杂性例如，对非线性抛物方程组来说，非线性可以来自反应 项、对流项、扩散项( 高阶项) 、边界项，以及经由它们所形成的各种不同的耦合关系所 有这些各不相同的非线性项都有可能导致解的奇性的产生：解在有限时刻内的b l o w - u p 、 e x t i n c t i o n 、q u e n c h i n g ( 导数b l o w - u p ) 等，分别对应于( 固体燃料) 爆炸、( 种群) 灭绝、( 金 2 大连理工大学硕士学位论文 属) 淬火等现象上述四种非线性间的相互作用，加之各分量之间的非线性耦合作用( 竞 争、互惠、交叉扩散等) ，使得产生( 或消除) 奇性的规律性极其复杂( 通常还和空间维数 及区域的几何性质有关系) 本论文的目的，就是研究一类具有非线性对流项和退化性的 抛物方程组到目前为止，对于带参数的非线性项( 非线性反应项、非线性扩散项、非线 性对流项、非线性边界流) 的反应扩散方程组考虑较少：对于本文所涉及的含有耦合的 反应项和非线性对流项的这类反应扩散方程组研究的主要问题就是系统在什么条件下有 整体解或爆破解以及在临界情形非线性对流项和区域是如何影响整体解的存在性的 近年来，关于退化抛物方程( 组) 解的整体存在与爆破问题已经引起了许多学者的关 注和研究，下面我们就阐述一下关于这类问题已有的部分结果 王在【9 】中讨论了如下具有d i r i c h l e t 零边值的抛物方程组 ru t5u p ( a u + a v ) ， v t ：俨( 秒+ 阮) ， ( 1 3 1 ) 、 并给出了解整体存在的充要条件，即当且仅当a b a i 时，解是整体存在的其中a 1 是 一在区域q 上的主特征值随后d e n g 、李和谢在【4 中将( 1 3 1 ) 的妒和口q 推广为更 一般的函数 ( 乱) 和f 2 ( v ) ，也得到了相同的结果 在 1 0 】中，李等人又给出了如下具有d i r i c h l e t 零边值的强耦合的抛物方程组 ru t = w ( a u + 口珏) ， 仇：札g ( 口+ 的) ， ( 1 3 2 ) 、 解整体存在的充要条件，即当且仅当) i 1 m i n a ，6 时，解是整体存在的 对于具有d i r i c h l e t 零边值的退化抛物方程组更一般的讨论我们可以参见陈的【2 1 ， r 毪：u a v z a u + a u p v q ， u t ：u 口 7 口+ b u r 秽s ， ( 1 3 3 ) 对于带有对流项的抛物方程( 组) 解的整体存在与爆破问题，至今的研究成果相对较 少于在 6 一文中研究了如下退化的抛物方程 fu t = v ( 铭a v u ) + c l u o r - - 1 1 w 1 2 + c 2 u d + 1 + ，( 铭) ，t 0 ，z q ， 让( z ，t ) = 0 ，t 0 ，z a q ， ( 1 3 4 ) 【让( z ，0 ) = 咖( z ) 0 ，x q 及其一般情形 fu t = v ( g ( u ) v u ) + ( u ，v u ) + ，( 珏) ，t 0 ，z q ， 乱( z ，t ) = 0 ，t 0 ，z a q ， ( 1 3 5 ) 【u ( z ，0 ) ；咖( z ) 0 ， z q 3 带有对流项的退化拟线性抛物方程组解的整体存在和非整体存在性 ( 其中g ( o ) = 0 ) 解的整体存在与爆破问题，并对( 1 3 4 ) 的爆破情形，还给出了爆破时间 的估计 在 7 】中，刘对带有如下非线性对流项的抛物方程组 ( z ，t ) q ( 0 ，t ) ， 翻茎裂器0 q 3 q ( z ，t ) a q ( ，t ) ， 、 7 z q 给出了解的整体有界和有限时刻爆破的条件 通过上面的的介绍，我们可以看出关于退化的抛物方程( 组) 解的性质已成为非线 性抛物方程( 组) 领域的研究热点之一受文献 2 ，6 ，7 】的启发，本文将研究一类带有非 线性对流项，并在边界退化的抛物方程组解的整体存在与非整体存在性，探索( 3 1 1 ) 解 的整体存在与非整体存在的条件，并给出对流项在临界情形对解的整体存在与爆破所起 的作用 1 4 本文内容介绍 本文的研究对象是一类具有耦合反应项，并在边界退化的拟线性抛物方程组： z q ，t 0 ， z q ，t 0 ， 写锄，亡 0 ， z q ， 其中q 是r 中的有界区域( n 1 ) ，具有光滑边界弛，q ，p ，p ，q ，口，b 0 ，且1 + q - - c 1 0 ，1 + p + c 2 0 初始值也( z ) 锘( q ) ，也( z ) 0 ，a 也( z ) a 育 0 于q t ，记q t = q ( 0 ，t ) ，s t = 0 f tx ( 0 ，t ) 定义2 1 1 爆破若存在常数t ( 0 0 范围内的实值函数，g 为连续函数，那么我们在c 1 空间内对于 ， 0 ，考虑系统： 地= a u + ， ，口) ，v t = 秒+ g ( u ，口) 若满足厶( 缸，移) 0 ，且9 u ( u ，t ，) 0 ，则我们称此系统为全耦合的：反之则称之为完全非耦 合的 5 抛物方程组的预备知识 f 面我们引入本文中常用的一个基本不等式 2 1 2 基本不等式 引理2 1 1 ( y o u n g 不等式) 设。和b 为正实数，p ，q 1 ，且石1 + 虿1 = 1 ，则有 。6 一a p + 一b q a p + b q 特别地，当p = q = 2 时，有 口6 三n 2 + 移 称之为c a u c h y 不等式 引理2 1 2 ( 带e 的y o u n g 不等式) 设p ，q 1 ，且石1 + 百1 = 1 ，则对任意5 0 ，有 口6 e a p + 一b q 2 2 基于最大值原理的比较原理 本节我们给出在抛物型方程( 组) 中经常使用的一些基本原理和方法 2 2 1 最大值原理 极值原理和比较原理是抛物方程( 组) 的理论基础，由于这些原理在研究问题时经常 使用，故在此我们不加证明的给出极值原理和比较原理的几种形式 假定( 2 2 1 ) 中，是+ 三是一致抛物的，且满足a i j ，b i ，c c ( o r ) ，a o = 叼t ( i ，j = 1 ，n ) 则有如下极值原理成立 定理2 2 1 ( 弱极值原理) 假设u ( x ，t ) c 2 , 1 ( q t ) nc ( o r ) ， ( i ) 当c 三0 ，u t + l u 0 ( 0 ) 时，有m a x 国t u = m a x s t u ( w a n q t 让= m i n s t u ) ( i i ) 当c 0 ，让t + l u o ( 0 ) 时，有m a x 旬ru m a x s tu ( m _ ；n o t 乱一m a x s t 让) 定理2 2 2 ( 强极值原理) 假设u ( x ，t ) c 2 , 1 ( 0 t ) nc ( o r ) ，f l 是连通区域， ( i ) 当c 兰0 ，u t + l u o ( 0 ) 且存在( x o ，t o ) o r ，使得u ( x o ，t o ) = m 蛳t u ( n l i n o t 让) ，则 t 正三c 于q 0 ( i i ) 当c 0 ，让t + l u 0 ( 0 ) 且存在( x o ，t o ) o r ，使得u ( x o ，t o ) = m a x 0 t 乱o ( m 【i n o t u 0 ) ，则u 三c 于q t o 有了强极值原理作为基础，我们就可以给出解决实际问题时常常用到的比较原理 6 大连理工大学硕士学位论文 2 2 2 比较原理 ( 1 ) 单个方程的比较原理 考虑如下的方程 p u = 弛+ 三让= ( x ，t ，牡) ，( z ，) q t ， b u = 9 ( x ，t ) ，( z ，t ) s t ，( 2 2 1 ) t l ( z ，0 ) = ( z ) ，z q ， 其中l u = 一乙：1 a i j ( z ，t ) u 郴j + 警1b i ( x ，t ) u 铂a i j = 吩i ( t ，歹= 1 m ) ，三一致椭圆， 关于仳是c 1 的，关于z ，t 是h s l d e r 连续的 定理2 2 3 假设u ，u c 2 , 1 ( q t ) nc ( o r ) ，若满足 p u f ( x ，让) 2p v s ( x ，t ，副) ， ( z ，t ) q t ， b u b v ， ( z ，亡) s t ， t 正( z ，0 ) v ( x ，0 ) ， z q ， 则有u ( x ，t ) v ( x ，亡) 于q t 又若u ( z ，0 ) v ( x ，0 ) 于q ，则u ( x ，t ) v ( x ，) 于q t ( 2 ) 方程组的比较原理 考虑如下方程组 o 疣u _ a + l i 让i = p ， 1 ，牡2 ) ， p ，t ) q 幻 b i u 产吼( z ，) ，( z ，t ) & ， ( 2 2 2 ) u i ( x ，0 ) = 咖t ( z ) ， z q ， 其中l i u = 一器k = ln 5 2 ( z ，t ) u 勺2 。+ 冬1 哆( z ，t ) u 即厶一致椭圆，b i = n i 鬻+ b i u i ， 关 于吻u i ) 是c 1 的，关于z ，t 是h s l d e r 连续的， ，歹= 1 ，2 定理2 2 4 假设 关于u j ( j i ) 拟单调增，且满足 o 况u _ a + 厶啦一y i ( x , t , u l , u 2 ) 警+ l i v i - f i ( x , t , v l , v 2 ) ，( 训) b i 让t b i v i ，( z ，t ) s t ， u i ( x ，0 ) 之v i ( x ，0 ) ， z q ， 则有u i ( x ，t ) 2v i ( x ，t ) 于q t 又若u t ( z ，0 ) v i ( x ，0 ) 于q ，则u i ( x ，t ) v i ( x ，) 于q t ，i 为 拟单调减的情况类似可得，i ，歹= 1 ，2 注：以上所讨论的极值原理和比较原理都是在方程一致抛物假设的基础上，然而对于带 有齐次d i r i c h l e t 边界条件的抛物方程阻，上述正性引理的一致抛物条件可以替换为 乙：1 6 白0 ，结论仍然成立 7 抛物方程组的预备知识 比较原理是本文的理论工具，将贯穿于本文各章节 8 大连理工大学硕士学位论文 3 解的整体存在 3 1 问题简介 从本章开始，我们主要讨论如下一类具有对流项的退化的拟线性抛物方程组： fu t = v ( 钆q v ? 2 ) + c 1 乱a 一1 i v ? 2 1 2 + a v p ， z q ，t 0 ， 砚= v ( 护v ) + c 2 口肛1 i v 秽1 2 + 阮9 ， z 1 2 , 亡 0 ， ( 3 1 1 ) i 缸( z ，t ) = v ( x ，t ) = 0 ， z a q ，t 0 ， lu ( z ，0 ) = 妒1 ( z ) ，v ( x ，0 ) = 2 ( z ) ， z q ， 其中q 是r 中的有界区域( n 1 ) ，具有光滑边界锄，p ，p ，q ，a ，b 0 ，且1 + q + c 1 0 ，1 + p + c 2 0 初始值也( z ) 锘( 西) ，晚( z ) 0 ，t ( z ) 溯 0 ， 翰= v ( k ( ) v ) + c 2 v z 8 - 1 i w d 2 + 口u g ， z 1 2 , t 0 ， ( 3 1 2 ) lu e ( z ，t ) = ”e ( z ，t ) = ， z a q ，t 0 ， lu e ( z ，0 ) = 1 ( z ) + e ，( z ，0 ) = 2 ( z ) + e ， z q 其中e 是大于零的任意常数， 骆他) = f m a x ( u ，e ) 】a k ( ) = m a x ( v 。，e ) 】p 由经典抛物理论和极值原理，问题( 3 1 2 ) 存在古典解( u 。，) c 1 ，o ( f i o ，疋) ) c ic 2 1 ( q ( 0 ，正) ) ，且札。，秒。e ，其中疋o 。是( 3 1 2 ) 解的最大存在时间从而在( 3 1 2 ) 中，实际 上有 班( 乱e ) = u e p ，h c 池) = v e 口 由文献 6 】，我们知道单个方程解的非负性及比较原理是正确的，同样可得出方程组( 3 1 1 ) 解的非负性和比较原理我们先来看下面的引理 带有对流项的退化拟线性抛物方程组解的整体存在 引理3 1 若8 1 e 2 ，则在s 2 【0 ，正1 ) 上满足( u c 2 ( z ，t ) ，2 ( z ，t ) ) 他。( z ，亡) ，1 ( z ，t ) ) ，且 正。霉。 证明：设让= l u 锄 移= v e l 一牡2 ，0 = r 札1 + ( 1 一r ) 2 ，t 7 = r y e l + ( 1 一r ) 2 g ( 心) = 片9 ( 1 - ) 打，日( t ，) = ：；ih ( r ) d r 毗= 【g ( 也e 1 ) 一g ( 2 ) 】+ b ( u 印1 ，v u e ，) 一6 ( 2 ，2 ，v u 。2 ) = 【z 1 万dg ( r 。+ ( 1 一r ) ：) 咖】 + f 0 1 b ( r u e l + ( 1 一r ) 。，r ，+ ( 1 一r ) v e 2 , r v u e l + ( 1 一，) v u 。：) 咖 _ 【z 1 卵炒u 】+ 0 1 姒，v 岫u + z 1 以o , r , v o ) 咖叫1 v b ( 0 , r , v o ) 打v 牡 = z 1 夕( 口) 咖 a u + 2 f 0 1v g ( p ) 咖v u + f o x a g ( 口) 办珏 + z 16 ：( 0 , r , v o ) 咖让+ 0 1 ( o , ，, v o ) 咖 + 1v b ( o , ，7 , v o ) 咖v 心 同理可得， 仇= z 1 ( 口) 咖a v + 2 f 0 1v h ( p ) 咖v 钞+ f 0 1 a h ( 口) 咖钞 + z 1 吒( p ，叩，v 口) 打钐+ 0 1 吒( 口，叩，v 口) 咖牡+ z 1v c ( o , ，1 , v o ) 咖v 口 且 让( z ，0 ) = 秒p ，0 ) = 1 一e 2 0 ， z q t 正( z ，t ) = v ( x ，t ) = e 1 一e 2 0 ，亡 0 ，z a q 由极值原理( 让，口) 0 证毕口 由引理3 1 ，( 挑，) 一( 仳，移) ，且( u ，口) 就是问题( 3 1 1 ) 的一个古典解在本文中，我们假设 a 1 = a 1 ( q ) 是区域q 上的第一特征值， 妒+ 入1 妒= 0 ，妒i o n = 0 其中妒是第一非负特征函数 3 2 研究结果 在以下部分中，我们将陆续证明有关( 3 1 1 ) 的一些结论以往证明解的整体存在和 爆破问题用上、下解的方法比较常见，即通过构造整体有界的上解和爆破的下解证明解 1 0 大连理工大学硕士学位论文 是整体存在或爆破的在本文中我们不用上、下解方法，而是通过构造含有解的比值形 式的积分辅助函数得到解的上、下界估计来研究解的整体存在和爆破问题 定理3 1 若p 口 0 ， 使得 u ( x ，t ) + 口( z ，t ) c o e 胁 p = r p b ( 1 t f l - i - c 2 ) 蠢= = ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) i l j 当入1 p 时，( 3 1 1 ) 的解对任意初值整体存在，且| c o ，m 0 ，使得( 3 2 1 ) 式成立 3 3 定理证明 足理3 1 让i ! j j ；由特征值对区域的连续性( 见【13 j ) ，对仕葸p ( 0 ，a 1 ) ，我1 门口j 以我剑一个 区域d q ，使得q 的边界a q 也含于d 的内部，且满足 a 妒1 + ( 入1 一p ) 妒1 = 0 ，妒1 i o d = 0( 3 3 1 ) 其中妒1 是第一标准化特征函数则在q 上矽1 ( z ) 0 对任意实数m ，n 0 ，定义函数鼽( t ) ，锄( t ) 如下： 螂，= 上篇如，础，= 上鬻出 慨3 其中常数七，l 0 ，其值待定( 3 3 2 ) 的第一式两端对t 求导，并将( 3 1 1 ) 的第一个方程 代入，分部积分得 螂) = 钆上万, u n - - 1 v 小。v u ) + e l u , a - 1 i v u l 2 + n v p d x n ( n - 1 - c 1 ) 上等l v 砰如 ( 3 3 3 ) 伽2 上并v u v 舭佃z 可u n - a v p 为了估计f 3 3 3 1 ，我们运用下面恒等式 妒1 2 1 v u l 2 = 1 妒1 v u k u v , 1 1 2 + 2 南u 妒1 v u v 妒1 一惫2 u 2 l v 妒1 1 2( 3 3 4 ) 1 1 带有对流项的退化拟线性抛物方程组解的整体存在 将( 3 3 4 ) 代入( 3 3 3 ) ，从而( 3 3 3 ) 可化为 必( t ) = 一n ( n - 1 - c a ) f n 铲一2 + a 妒1 h + 2 c z v u k u v 妒1 1 2d x 叫2 后( n - 1 - e 1 ) 一圳上订u n - - 雨l + a v u v 妒1 如 埘n ( n - 1 - c 1 ) f f l 并i v 坩i 如+ 帆上万u n - l v p 如 ( 3 3 5 ) 一后n ( n - 2 - 2 c 1 ) 上订u n - 而l + “, v u v 矽如 + 七2 n ( n - 1 - c 1 ) f f l u n 4 - o ti v 妒- 1 2 出+ 口礼上万u n - l v p 出 对( 3 3 5 ) 的第二式的第一项分部积分并且应用( 3 3 1 ) ，得 篇v u v 妒。 如i k n “”叫1出= 而1z 石晶v u n + a v 妒，如 = k n + l f q 并l v 坩i 如一击上一u n + a 龇出( 3 3 6 ) = 一k n + l f q 篙l v 卅i 出+ 杀上筹如 将( 3 3 6 ) 代入( 3 3 5 ) 的第二式，得 如( t ) 一元k 了n i ( n - 2 - 2 c z ) ( k n + 1 ) 一七( n + q ) ( 乱一 1 - c 1 ) 】上一, u n - c - a l v 坩i 如 ：二羹：二一1-2一k(2lc+1)a(a+1一cl三：刍(c笨a+1)d(zka+-nn2；巷妒。i。dz c 3 3 7 ， 一是 礼 ) 】+ ) ) 正品i v 坩出 。 一而k nc n - 2 - 2 c i ) ( 卜力上等如坳上等如 选取合适的盯 1 ，使得， a 2 p q ( q + 盯) ( p + 盯) 取0 o ( 3 。3 。1 3 ) 绷如n ( 南) 由啡) + 垫半型上嘉u 掣如( 3 3 “) 取0 i 0 ，使得 入1 一p p( 3 3 2 1 ) 七=南，z=坐。志，kn=11 c l p 1 c 2 m ( 3 3 2 2 ) + q + + + 、 7 注意到对任意0 t o m + 口 。 。 注意到u ，。在q 【o ，刁上的有界性，从而对充分大的礼，( 3 3 2 8 ) 可化为 g n 鼽7 ( t ) + 名字7 ( t ) 2 竹岛n 秒n ( t ) + 丁2 k n z 挚( t ) ( 3 3 2 9 ) 与( 3 3 2 0 ) 类似，我们仍可以得到( 3 2 1 ) ，定理证毕口 一1 c 岛 f | q 南 q =芈 q =辫 岛 且 4 解的非整体存在 4 1 研究结果 本章我们将给出问题( 3 。1 1 ) 的爆破结论 定理4 1 若瑚= 陋+ 1 ) ( f l + 1 ) ， 1 + o e + c i = i + 夕+ c 2 ，且满足如下条件： f6 ( 1 + q + c 1 ) 尘去半】赫，女，果p q + 1 一槲c 1 ) 【赤】南，如果p 0 ，使得 ( 入1 + 4 p ) ( 1 + p ) 0 ，定 义函数k ( t ) ，“j m ( t ) 如下： ) = 上糕地州；厶端出 ( 4 2 3 ) 1 7 带有对流项的退化拟线性抛物方程组解的非整体存在 其中常数k ，l 0 ，其值待定与( 3 3 3 ) 类似，我们有 哪) - - n 上坐u n + l 阿v 让) j r c l u a - 1 i v uj 2 + a 矿】出 应用( 3 3 4 ) ，我们有 = 一n ( n + 1 + c 1 ) 上啬 + 脯上石妒而1 k n - 1 v 牡 k n 丽i 乳1 2d , z v 妒2 出上豁如 哪) - - n ( n + l + c 1 ) 上鬈l 妒2 v u - k u v 例2 如 一七n ( n + 2 + 2 c 1 ) 厶妒i 而2 k n - 1v u v 妒。如 + 后2 n ( n + i + c 1 ) d 一上窑出 矿+ a 妒1 七2 对( 4 2 5 ) 的第二项分部积分，并应用( 4 2 2 ) 得 定义 一上五) 而2 k n - 1v u v 妒2 如 k n 1 礼一q k n 1 住一a v 妒2 1 2 出 ( 4 2 4 ) ( 4 2 5 ) f d ) 2 k n - 2 惭一击上磐跳出 ( 4 2 6 ) 五一) 2 k n - 2j v 划2 如+ 娑上譬如 忌：j l ! 竺 ! q - 4 - 11 - 4 - n + c 1 1 - 4 - q + c 1 z = 高- 4 - - 4 - c 2 1p 1 + p - 4 - c 2 q q 如( 3 3 2 5 ) ，将( 4 2 6 ) 代入( 4 2 5 ) ，得 ，z m = k n ， 坝冁一墨驯七( 1 + a + c 1 ) - 1 】”。+ 1 ) ( k o t - - 2 ) 】上面3 2 k n - 2 l v 例。如 +k n ( n + 2 + 2 c 1 ) ( 入1 - 4 - p ) n q 上筹出上窑如 一七n p 上一移2 k n - 2i v 剀2 出一。n 上筹出。 + 坠# 掣上i 筹出一三2 咖上i 鍪如 7 l 一1n t 上“一u nt 正“一“ 1 8 ( 4 2 7 ) 大连理工大学硕士学位论文 同理得 蝴t ) - - l m p 上面妒2 t , 万“- 2i v 妒2 1 2 出一b m d 妒2 z m u q 如 + t m ( m + 2 + - 2 c 2 ) ( a 1 + 2 p ) f d 黔出一三2 帅上 m p 一一 。7 n 由y o u n g 不等式，得 ( 札一1 ) n ：- 1 ) n q c l 一1 矿希c 1 嚣u