（基础数学专业论文）量子群上的chernweil理论.pdf

中山大学博士学位论文中文摘要 量子群上的c h e r n - w e i l 理论 专业：基础数学 博士生：简润强 导师：m a r cr o s s o 教授朱熹平教授 摘要 在本文中，我们研究了与y a n g b a x t e r 算子相关的三个主题：同态代数 与q 迹，y a n g b a x t e r 代数及余代数的构造和量子b o o 代数，量子拟s h u f f l e 代数。 它们是各自对应的经典对象的量子化，即用y a n g b a x t e r 算子代替原来的转换映 射而得到的结果。 本文分为三章： 第一章：设( v 盯) 是一个带h e c k e 型y a n g - b a x t e r 算子仃的线性空间，并且使 得当i 充分大的时候，我们有d i m 髟( y ) = 1 。我们研究了空间o ：1 e n d s 孝( y ) ， 在其上定义了三种结合代数结构。运用这些代数结构，我们构造了黠( y ) 的 同态映射的q 迹，它是经典迹的q 形变。当赋予o ：l e n d s 耋( y ) 第三种代数结构 时，q 迹是从o ：1 e n d s k ( y ) 到数域的代数同态。我们并证明了q 迹和量子迹只相 差一个常数。 第二章：我们介绍了几种构造y a n g - b a x t e r 代数和y a n g b a x t e r 余代数的方 法，它们包括：带有某些相容性条件的y e t t e r - d r i n f e l d 模，量子s h u f f l e 代数， 还有量子b o o 代数。量子b o 。代数是y a n g b a x t e r 代数和经典b 。代数的推广。 在l o d a y 和r o n c o 的工作的启发下，我们引入了2 一y b 代数的概念，并用它们构造 了量子b 代数。 第三章：利用量子b 代数，并类 = t r o s s o 的量子s h u f f l e 代数，我们量子化了 经典的拟s h u f f l e 代数，并研究了它们的各种性质，包括万有性质，交换性等。 第1 页 中山大学博士学位论文中文摘要 关键词：q 迹，y a n g - b a x t e r 代数，量子s h u f f l e 代数，b o 。一代数，拟量 子s h u f f l e 代数。 第1 i 页 中山大学博士学位论文英文摘要 c h e r n - w e i lt h e o r yo nq u a n t u mg r o u p s m a j o r ：p u r em a t h e m a t i c s n a m e ：r u n q i a n g j i a n s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rm a r cr o s s oa n dp r o f e s s o rx i p i n gz h u a b s t r a c t i nt h i sw o r k , w es t u d yt h r e et o p i c sr e l a t e dt ot h ey a n g b a x t e ro p e r a t o r ：e n d o m o r - p h i s ma l g e b r a sa n dt h eq - t r a c e ，c o n s t r u c t i o n so f y a n g b a x t e ra l g e b r a sa n dy a n g b a x t e r c o a l g e b r a s ，q u a n t u mb o o - a l g e b r a s ，a n dq u a n t u mq u a s i - s h u f f l ea l g e b r a s t h e ya l et h e q u a n t i z a t i o n so f t h ec o r r e s p o n d i n go b j e c t si nt h es e n s et h a tt h eu s u a lf l i pi sr e p l a c e db y ab r a i d i n g t h i sw o r ki sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r s c h a p t e rl ：l e t ( k 仃) b eab r a i d e ds p a c ew i t hab r a i d i n g 盯o fh e c k et y p ea n ds u c h t h a td i m 影( y ) = 1f o rs o m e s u f f i c i e n t l yl a r g ei w es t u d yt h ee n d o m o r p h i s ma l g e b r a 哦：1 e n d s 窖( y ) a f t e rd e f i n i n gt h r e ea s s o c i a t i v ep r o d u c t so nt h i ss p a c e ，w ec o n s t r u c t aq - a n a l o g u eo ft h eu s u a lt r a c e ，c a l l e dq - t r a c e ，f o ra n ye n d o m o r p h i s mo f 磁( y ) t h i s n e wt r a c ei sa na l g e b r am o r p h i s mw i t hr e s p e c tt ot h et h i r dp r o d u c t a n dw es h o wt h a t t h i sq - t r a c ei sj u s tt h eq u a n t u mt r a c eu pt os o m es c a l a r c h a p t e r2 ：w ei n t r o d u c es e v e r a lm e t h o d st oc o n s t r u c ty a n g b a x t e r ( o rs h o r tf o r y b ) a l g e b r a sa n dy a n g b a x t e rc o a l g e b r a s t h e yi n c l u d e ：y e t t e r - d r i n f e l dm o d u l e s 埘me x t r ac o m p a t i b l ec o n d i t i o n s ，q u a n t u m s h u f f l ea l g e b r a sa n dq u a n t u mb o o a l g e b r a s q u a n t u mb o o a l g e b r a sa r eg e n e r a l i z a t i o n so f b o t hy ba l g e b r a sa n db o o a l g e b r a s w e a l s oi n t r o d u c e2 - y ba l g e b r a s ，w h i c ha r em o t i v a t e db yt h ew o r ko fl o d a ya n d r o n c o ， t op r o v i d eq u a n t u mb o o - a l g e b r a s 第1 页 c h a p t e r3 ：u s i n gt h et o o lo fq u a n t u mb o o - a l g e b r a s ，w eq u a n t i z eq u a s i 。s h u f f l ea l g e b r a si nt h es p i r i to f r o s s o sq u a n t u ms h u f f l ea l g e b r a s w es t u d yv a r i o u sp r o p e r t i e s o ft h e s eq u a n t u mq u a s i s h u f f l ea l g e b r a s f o ri n s t a n c e ，t h eu n i v e r s a lp r o p e r t y , t h et o m m u t a t i v i t ya n ds oo n k e yw o r d s ：q t r a c e s ，y a n g b a x t e ra l g e b r a s ，q u a n t u m s h u f f l ea l g e b r a s ，b o o 。 a l g e b r a s ，q u a n t u mq u a s i - s h u f f l ea l g e b r a s 第1 v 页 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包 含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究作 出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识 到本声明的法律结果由本人承担。 一虢绷 日期：为0 c 1 年l 1 月l 。e l 心 中山大学博士学位论文 法文摘要 t h 6 0 r i ed ec h e r n - w e i ls o u sl e sg r o u p e sq u a n t i q u e s d i s c i p l i n e ：m a t h 6 m a t i q u e s n o m ：r u n q i a n gj i a n d i r e c t e u r s ：p r o f e s s e u rm a r cr o s s oe tp r o f e s s e u rx i p i n gz h u ， r e s u m e ：d a n sc et r a v a i l ，n o u s6 t u d i o n st r o i ss u j e t sl i 6 sal o p & a t e u rd ey a n g b a x t e r ：a l - 9 6 b r e sd e n d o r m o r p h i s m e se tl aq - t r a c e ，c o n s t r u c t i o n sd a 1 9 6 b r e sd ey a n g - b a x t e r e td e c 0 9 6 b r e sd ey a n g - b a x t e r , a l g 色b r e sb o oq u a n t i q u e se ta 1 9 6 b r e sd eq u a s i b a t t a g eq u a n - t i q u e s c es o n td e sq u a n t i f i c a t i o n sd o b j e t sf a m i l i e r sc o r r e s p o n d a n t sa ns e a s 曲l ef l i p c l a s s i q u ee s tr e m p l a c 6p a ra nt r e s s a g e c et r a v a i le s td i v i s 6e nt r o i sc h a p i t r e s c h a p i t r el ：s o i t ( k 仃) u ne s p a c ea v e cu nt r e s s a g e 伊d et y p ed eh e c k ee tt e l q u ed i m 砖( y ) = 1p o u rc e r t a i ns u f f i s a m m e n tg r a n di n o u s6 t u d i o n sl a l g 色b r e d e n d o m o r p h i s m e so ：1 e n d s k ( y ) a p r 6 sa v o i rd 6 f i n it r o i sp r o d u i t sa s s o c i a t i f ss u r c e te s p a c e ，n o u sc o n s t r u i s o n su n eq - a n a l o g u ed el a 仃a c ec l a s s i q u e ，a p p e mq - t r a c e ，d e t o u te n d o m o r p h i s m ed e 砖( y ) c e t t en o u v e l l et r a c ee s tu nm o r p h i s m ed el a l g e b r es i o nc o n s i d & el et r o i s i e m ep r o d u i t e tn o u sm o n t r o n sq u ec e r eq - t r a c ee s tp r o p o r t i o n n e l e 矗l at r a c eq u a n t i q u e c h a p i t r e2 ：n o u sp r d s e n t o n sd e sm & h o d e sp o u r c o n s t r u i r cd e sa 1 9 6 b r e sd ey a n g - b a x t e re td e sc 0 9 6 b r e sd ey a n g - b a x t e r i l sc o m p r e n n e n t ：m o d u l e sd ey e t t e r - d r i n f e l d a v e cc o n d i t i o n sd ec o m p a t i b i l i t 6s u p p m m e n t a i r e s ，a l g e b r e sd eb a t t a g eq u a n t i q u e se t a 1 9 6 b r e sb o 。q u a n t i q u e s l a 1 9 6 b r eb o oq u a n t i q u ee s tb n e9 6 n 6 m l i s a t i o nd el a l g e b r e d ey a n g - b a x t e re td el a 1 9 6 b r gb o o n o u s6 9 a l e m e n ti n t r o d u i s o n sl a l g 色b r ed e2 - y b 第v 页 中山大学博士学位论文法文摘要 q u ie s tm o t i v 6 ep a rl e st r a v a u xd el o d a ye tr o n c o i l sf o u m i s s e n td e sa l g 色b r e sb o o q u a n t i q u e s c h a p i t r e3 ：n o u s d 6 f i n i s s o n sl a l g e b r ed eq u a s i - b a t t a g eq u a n t i q u ep a ra 1 9 6 b r e sb q u a n t i q u e s ，d a n sl e s p r i td el a l g 色b r ed eb a r a g eq u a n t i q u ei n t r u d u i t ep a rr o s s o n o u s 6 t u d i o n sd e sp r o p r i 6 t 6 sd ec e sa l g e b r e sd eq u a s i b a r a g eq u a n t i q u e s p a re x e m p l e ，l a p r o p r i 6 t 6u n i v e r s e l l e ，l ac o m m u t a t i v i t 6 ，e t c k e yw o r d s ：q t r a c e s ，a l g 色b r e sd ey a n g b a x t e r , a l g e b r e sd eb a t t a g eq u a n t i q u e s ， a l g e b r e sb o oq u a n t i q u e s ，a l g 色b r e sd eq u a s i - b a r a g eq u a n t i q u e s 第页 中山大学博士学位论文第一章e n d o m o r p h i s ma l g e b r a sa n dq - t r a c e s 第一章e n d o m o r p h i s ma l g e b r a sa n d q t r a c e s 1 1i n t r o d u c t i o n m o r et h a nt w od e c a d e sa g o ，o s b o mi n v e s t i g a t e dt h es p a c e i o e n d 八4 ( y ) o fe n d o m o r p h i s m so ft h ee x t e r i o ra l g e b r ai no r d e rt og i v ea na l g e b r a i cd e s c r i p t i o no fc h e m w e i lt h e o r y ( s e e 【2 2 】a n d 【2 3 】) h ed e f i n e dt h r e ea s s o c i a t i v ep r o d u c t so nt h i ss p a c e t h ef i r s to n ei sj u s tt h ec o m p o s i t i o no fe n d o m o r p h i s m s s i n c et h ee x t e r i o ra l g e b r a i sa l s oac o a l g e b r a , h ed e f i n e dt h es e c o n do n et ob et h ec o n v o l u t i o np r o d u c t a n d t h e nh ec o m b i n e dt h ef i r s tt w oo n e st om a k eo u tt h et h i r dp r o d u c t a s s u m i n gt h a t d i m 八2 ( y ) = 1f o rs u f f i c i e n t l yl a r g ei ，h ec o n s t r u c t e dat r a c ef u n c t i o nb yu s i n gt h e s e c o n dp r o d u c t t h i st r a c eg i v e st h eu s u a lo n ew h e ni ti sr e s t r i c t e do ne n d ( v ) a n d w h e no n ec o n s i d e r st h et h i r dp r o d u c t ，i ti sa na l g e b r am o r p h i s m o nt h eo t h e rs i d e ，a f t e rt h eb i r t ho fq u a n t u mg r o u p s ，m a t h e m a t i c i a n su s ey a n g b a x t e ro p e r a t o r st oq u a n f i z em a n ya l g e b r as t r u c t u r e s i nh i sp a p e r 【7 】，g u r e v i c hs t u d i e d y a n g - b a x t e ro p e r a t o r so fh e c k et y p e ，w h i c hh ec a l l e dh e c k es y m m e t r i e s a n dt h e nh e d e f i n e ds y m m e t r i ca l g e b r a sa n de x t e r i o ra l g e b r a sw i t i lr e s p e c tt ot h e s eo p e r a t o r s ，w h i c h a r ea n a l o g u et ot h eu s u a lo n e s l a t e r , h a s h i m o t oa n dh a y a s h i ( 9 】) ，w a m b s t ( 【2 8 】) d i s c u s s e dt h e s ea l g e b r a sf r o md i f f e r e n ta s p e c t s i n 【2 6 ，ar e m a r k a b l ep r o p e r t yo ft h e q u a n t i z e ds y m m e t r i ca l g e b r ai sd i s c o v e r e d f o rs o m es p e c i a ly a n g b a x t e ro p e r a t o r s ， t h es y m m e t r i co n e ，a sh o p fa l g e b r a ，i si s o m o r p h i ct ot h e u p p e rt r i a n g u l a rp a r t o ft h e q u a n t i z e de n v e l o p i n ga l g e b r aa s s o c i a t e dw i t has y m m e t r i z a b l ec a r t a nm a t r i x i ti si n t e r e s t i n gt oe x t e n do s b o r n st r a c et ot h eq u a n t u mc a s e l e t ( v 仃) b ea b r a i d e dv e c t o rs p a c ew i t hb r a i d i n g 盯o f h e c k et y p e ，a n d 影( y ) b et h ei t hc o m p o n e n to f t h eq u a n t u ms y m m e t r i ca l g e b r a ( y ) b u i l to n ( k 盯) w ea s s u m et h a td i m 掣( v ) = 1 f o rs o m ena n dd i m 砖( y ) = 0f o rk n t h e n ，o nt h ev e c t o rs p a c eo 岛e n d s 善( y ) ， t h ec o n v o l u t i o np r o d u c t ，t h et h i r dp r o d u c t ，a n dt h et r a c ec a nb ec o n s t r u c t e ds t e p - b y - 第1 页 中山大学博士学位论文第一章e n d o m o r p h s ma l g e b r a sa n dq - t r a c e s s t e pf o l l o w i n gt h eo n e si n 2 3 a n dt h i st r a c e ，c a l l e dq t r a c e ，i sa na l g e b r am o r p h i s m w i t hr e s p e c tt ot h et h i r dp r o d u c t s p e c i a l l y , l e tvb et h ef u n d a m e n t a l r e p r e s e n t a t i o no f u q s l n + ia n do t h eb r a i d i n gg i v e nb yt h er m a t r i xo f l d q s t n + 1 t h e noi so f h e c k et y p e a n d ( y ) v a n i s h e sw h e n ii ss u f f i c i e n t l yl a r g e t oo u r s u r p r i s e ，t h eq - t r a c ei nt h i sc a s e h a sa l r e a d ye x i s t e df o rm o r et h a no n ed e c a d e i nt h et h e o r yo fq u a n t u mg r o u p s ，t h e r ei sa l li m p o r t a n ti n v a r i a n tw h i c hg e n e r a l i z e s t h eu s u a lt r a c eo fe n d o m o r p h i s m s i ti st h es o c a l l e dq u a n t u mt r a c e i fci sar i b b o n c a t e g o r yw i t hu n i t1 ，vi sa no b j e c to fca n dfi sa ne n d o m o r p h i s mo fv ，t h e nt h e q u a n t u mt r a c ei sa ne l e m e n to ft h em o n o i de n d ( 1 ) i tc o i n c i d e sw i t ht h eu s u a lt r a c e w h e n c = v e c t ( k ) ( s e e 【15 9 w h e nw e t a k ect ob et h ec a t e g o r yo f f i n i t ed i m e n s i o n a l r e p r e s e n t a t i o n so fu f ( s e e 【16 】) ，t h eq u a n t u mt r a c ei sg i v e nb yt h eu s u a lf f a c ea n dt h e g r o u p l i k ee l e m e n t sk s t h i si saf u n c t o r i a la p p r o a c h a f t e ra l le a s yc o m p u t a t i o n ，w e c a l ls h o wt h a ti ti sap r o p o r t i o no ft h eq - t r a c e s ow e g i v ea m o r ee l e m e n t a r ya p p r o a c h o ft h eq u a n t u mt r a c eo fa t y p e t h i sc h a p t e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s i ns e c t i o n2w e g i v es o m ee s s e n t i a lp r o p e r t i e so fb r a i d i n g so fh e c k et y p ew h i c hw ew i l lu s ei nt h er e s to ft h i sc h a p t e r w e d e f i n et h r e ep r o d u c t so no 墨o e n d s o p ( y ) f o rab r a i d e dv e c t o rs p a c evw i t ha b r a i d i n g 盯o fh e c k et y p ei ns e c t i o n3 i ns e c t i o n4w ec o n s t r u c tt h eq - t r a c eo fo 丝o e n d s o p ( y ) a n dp r o v et h a ti ti sa na l g e b r am o r p h i s mw i t hr e s p e c tt ot h et h i r dp r o d u c t a n dt h e n i ns e c t i o n5 ，w ea p p l yo u rc o n s t r u c t i o n st ot h et h es p e c i a lb r a i d e dv e c t o rs p a c e ( k o r ) ， w h e r evi st h ef u n d a m e n t a lr e p r e s e n t a t i o no f 5 i n + 1a n d 盯i st h eb r a i d i n gg i v e nb y t h er - m a t r i xo f t h i s 4 f _ q 量i i n + 1 一m o d u l e s e c t i o n6c o n t a i n sa no t h e ra p p r o a c ho f t h eu s u a l q u a n t u mt r a c eo f u q - 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t r a c e s t h ec a s eo f p = 1i st r i v i a l w ea s s u m et h a tt h er e s u l th o l d sf o r a ( 七十1 ) = b ( 七十1 ) ( a ( 七 1 1 ) 南+ 1 = ( z ) 。( 死) 1 = 1 t t ，6 k 1 0 1 k + 1 f = 1 七+ 1 z = 1 b 1 ：r z 二一 f = 1 o r l o l + 1 仃岛) o ( w e e s k l e l = 死， w e 6 k + l 死) 叫6 k x l b l 正l s l + 1 叼ko 死 w h e r et h ef i f t he q u a l i t yf o l l o w sf r o mt h ea b o v et w ol e m m a s t h ef o l l o w i n gp r o p o s i t i o np l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nt h ec o n s t r u c t i o no fq - t r a c e i ti sd u et og u r e v i c h ( 【7 】，p r o p o s i t i o n2 4 ) ： p r o p o s i t i o n1 4 f o rk 1w eh a v e p r o o f i ne n d ( v 七) ，w eh a v e 厂。玛 1 i 玛 ( a ( 七) 2 = ( 后) p ! a ( 舢 玛+ 1 ( to1 1 ) a 2 1 ，1 i 歹七一1 ， j ( r l i 一1o1 1 ) ，1 歹 i k 一