（基础数学专业论文）变参数动力系统的一些性质.pdf

中文摘要 动力系统的核心问题是轨道的渐近性质或拓扑结构，但只有那些具有某种回复性的 点的轨道才是重要的，因而对回复性的研究构成了动力系统研究的基础：同时，拓扑传递 性、初值敏感依赖和混沌从不同的侧面反映了系统的复杂性本文在原有的回复性、拓 扑传递性、初值敏感依赖和混沌基础上，对它们进行了推广，扩展了动力系统的研究范 围，使其扩展后的研究更能反映系统的内在本质，为日后的应用奠定了理论基础论文的 具体内容如下： 第一章，简要介绍了动力系统发展过程，本文写作背景和主要结果 第二章，在变参数动力系统的基础上给出了其子系统的定义：并在上述系统中给出 了- n 映射的周期点、回复点、非游荡点、一极限点和几乎周期点的定义：初步研究了 上述定义的各自性质及它们之间的关系 第三章，在上述系统中给出了一列映射的拓扑新传递、拓扑传递、拓扑强传递和拓 扑共轭的定义：研究了一列映射的拓扑共轭的基本性质，得到了一些主要结果：证明了在 底空间是紧致度量空间、一列映射是满映射并且两两可交换的条件下拓扑新传递和拓扑 传递是等价的：还证明了几个与拓扑共轭相关的结论 第四章，在上述系统中给出了一列映射的初值敏感依赖、初值强敏感依赖和混沌集 的定义：同时又对一列映射的初值敏感依赖进行了推广，提出了该系统下一个一敏感 1 系数的概念：证明了在局部连通空间中土是系统( z 一的一个一敏感系数：又证明 一l 、。 了一列映射的混沌集蕴涵一列映射对初始条件具有强敏感依赖性 最后，我们总结了这篇论文的主要结果和创新，以及有待进一步展开的研究 关键词 连续映射，紧致度量空间，拓扑传递，拓扑共轭，初值敏感依赖 a b s t r a c t ( 英文摘要) t h ec o r ei s s u e so fd y n a m i c a ls y s t e ma l et h ea s y m p t o t i cn a t u r eo ft h eo r b i to rt o p o l o g i c a ls t r u c t u r eo ft h eo r b i t b u to n l yt h o s ew i mt h eo r b i to ft h ep r o p e r i t i e so f r e c o v e r ya l ei m p o r t - a n t t h e r e f o r e ，t h es t u d yo ft h ep r o p e r i t i e so fr e c o v e r yc o n s t i t u t e st h ef o u n d a t i o no fd y n a m i c m s y s t e m a tt h es a m et i m e ，t o p o l o g i c a lt r a n s i t i v i t y ，s e n s i t i v ed e p e n d e n c eo ni n i t i a lv a l u ea n dc h a o sr e f l e c tt h ec o m p l e x i t yo ft h es y s t e mf r o md i f f e r e n ta s p e c t s t h i st h e s i sp r o m o t e st h eo r i g i n a lr e p l y ，t o p o l o g i c a lt r a n s i t i v i t y ，s e n s i t i v ed e p e n d e n c eo ni n i t i a lv a l u ea n dc h a o so nt h eb a - s i so ft h e ma n de x t e n d st h es c o p eo fd y n a m i c a ls y s t e m ，w h i c hb e r e rr e f l e c tt h ei n t r i n s i cn a t u r - eo ft h es y s t e ma n dl a yat h e o r e t i c a lf o u n d a t i o nf o rt h ef u t u r ea p p l i c a t i o n t h ec o n t e n t so ft h i st h e s i sa l ea sf o l l o w c h a p t e r1b r i e f l yi n t r o d u c e st h ed e v e l o p m e n tp r o c e s so fd y n a m i c a ls y s t e m ，t h eb a c k - g r o u n da n d t h em a i nr e s u l t so ft h i st h e s i s c h a p t e r2p u t sf o r w a r dt h ed e f i n i t i o no fs u b s y s t e mo nt h eb a s i so fv a r i a b l ep a r a m e t e r sd y n a m i c a ls y s t e m i nt h ea b o v ed y n a m i c a ls y s t e m ，i tg i v e so u tt h ed e f i n i t i o n so fp e r i o d i c p o i n t s ，r e c o v e r i n gp i o n t s ，缈- l i m i tp o i n t sa n d a l m o n s tp e r i o d i cp o i n t so fas e q u e n c eo f m a p s m e a n w h i l e ，i tp r e l i m i n a r yr e s e a r c h e st h ep r o p e r i t i e so ft h ea b o v ed e f i n i t i o n sa n dt h er e l m i o n s h i p sb e t w e e nt h e m c h a p t e r3 ，i nt h ea b o v es y s t e m ，g i v e so u tt h ed e f i n i t i o n so ft o p o l o g i c a ln e wt r a n s i t i v i t y ，t o p o l o g i c a lt r a n s i t i v i t y ，t o p o l o g i c a ls t r o n gt r a n s i t i v i t ya n dt o p o l o g i c a lc o n j u g a t eo fas e q - u e n c eo fm a p s ，s t u d i e sb a s i cp r o p e r t i e so ft h ea b o v et o p o l o g i c a lc o n j u g a t e ，a n do b t a i n ss o m e m a i nr e s u l t s ，p r o v e st o p o l o g i c a ln e wt r a n s i t i v i t ya n dt o p o l o g i c a lt r a n s i t i v i t ya r ee q u i v a l e n tu - u n d e rac o m p a c tm e t r i cs p a c e ，as e q u e n c eo ff u l lm a p sa n di n t e r c h a n g e a b l ew i t he a c ho t h e r ， a n dt h a ts o m ec o n c l u s i o n sa s s o c i a t e dw i t ht o p o l o g i c a lc o n j u g a t e i nc h a p t e r4 ，i nt h ea b o v es y s t e m ，t h ed e f i n i t i o n so fs e n s i t i v ed e p e n d e n c eo ni n i t i a lv a l - u e ，s t r o n gs e n s i t i v ed e p e n d e n c eo ni n i t i a lv a l u ea n dc h a o ss e to fas e q u e n c eo fm a p s a r ep u t f o r w a r d ；m e a n w h i l e ，s e n s i t i v ed e p e n d e n c eo ni n i t i a lv a l u eo fas e q u e n c eo fm a p si sp r o m i t e - d ，a n dt h ec o n c e p to fn s e n s i t i v ef a c t o ri sa l s op r o p o s e d ；t h a ta tt h el o c a lc o n n e c t e ds p a c e n ：! 生- 一1 i san - s e n s i t i v ef a c t o t , a n dac h a 。t i cm a p c 。n t a i n i n gs t r 。n gs e n s i t i v ed e p e n d e n c e o ni n i t i a lv a l u eo fa s e q u e n c eo fm a p si sp r o v e d t h i st h e s i sf i n a l l ys u m m a r i z e st h em a i nr e s u l t sa n di n n o v a t i o n ，a sw e l la ss o m ef u r t h e r 卜 e s e a r c h k e y w o r d s c o n t i n u o u sm a p p i n g ，c o m p a c tm e t r i cs p a c e ，t o p o l o g i c a lt r a n s i t i v i t y , t o p o l o g i c a lc o n j u g a t e ， s e n s i t i v ed e p e n d e n c eo ni n i t i a lv a l u e 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 保密论文待解密后 学位论文作者签名 山。7 钐嘶 指导教师签名： 一年b 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学位论文作者虢告酞乎 山。p 叫日 西北大学硕士学位论文 第一章绪论与预备知识 1 1 动力系统的发展简述 在1 9 世纪末，人们认识到很多非线性微分方程根本没有显式解，为了解决这一问题， 法国数学家h p o i n c a r e 于1 8 8 1 - 1 8 8 6 年间在连续发表的论文微分方程所确定的曲线 中创立了微分方程定性理论或者称为微分方程的几何理论这一理论不通过微分方程的 显式解而直接研究解的几何和拓扑性质 1 他通过一些具体的例子阐述了自己的许多 思想这些思想成为当今混沌动力系统学科的开端特别需要指出的是，h p o i n c a r e 意识 到一个确定性系统可以明显地出现随机性态即混沌到了2 0 世纪初，由于非线性振动等 实际课题之间的联系，非线性动力系统的研究取得了令人瞩目的进展尤其是 g d b i r k h o f f 继续h p o i n c a r e 的工作并发现了很多不同类型的长期极限行为，其中包 括极限集和极限集 2 他的工作总结在( d y n a m i c a ls y s t e m s ) ) 中，而动力系统一词 则源于此书由于g d b i r k h o f f 等数学家将经典微分方程所定义的动力系统抽象为拓扑 动力系统，使得这一学科在理论上得到了进一步的发展 3 从而使得动力系统成为2 0 世 纪最富有成就的一个数学分支，并取得了丰硕的成果，并且成为了现代非线性科学的一 个非常重要组成部分同时动力系统不仅是非线性科学的研究对象，更是研究非线性“复 杂性”的一个有力工具，其理论与方法已经广泛渗透与应用于物理学、化学、生物 学、人口学和天体力学等众多学科领域 4 - 1 8 一个拓扑动力系统是由拓扑空间及其上的连续自映射所构成的系统设是一个拓 扑空间，映射中( ，z ) ：月卜，如果对任意l ，2 月，x ：x ，有 ，) ( o ，z ) = z ， 功( + ，习= ( 彳，( 弓，习) ， 则称( ，力为集合z 上的一个流如果( ，力连续，则我们也常称( ， 力为定义在 上的一个拓扑动力系统 1 9 该系统研究的问题大致可以分为两大类型：一类是孤立地讨论由个自映射生成的 动力系统的动力性状，即长时间的形态：另一类则是把一个动力系统看做是p ( ( z 上全体连续自映射的集合) 的一个点，研究诸如在微小扰动下动力性状的改变与此同时， 第一章绪论与预备知识 从2 0 世纪6 0 年代以来，随着计算机计算能力的不断提高，计算机渐渐成为了非线性动 力系统研究的一个重要工具1 9 6 3 年，e l o r e n z 用一台计算机研究模拟大气湍流运动的 非线性方程时，他发现初始条件的细微变化可以在相对短的时间里导致非常不同的后果， 这一性质被称为是对初始条件的敏感依赖性，或称为“蝴蝶效应”他把这一现象形象地 解释为澳大利亚的一只蝴蝶拍动下翅膀就会在一个月后影响到美国的天气不过直到 2 0 世纪7 0 年代e l o r e n z 的工作才被更注重理论的数学界所熟知到目前为止，借助计算 机来研究非线性动力系统已经取得了很多成果，在这一过程中，非线性科学发现了两个 极端的现象：一是具有内秉的对称和保守性质的孤立子：另一个是在耗散系统中发现了 奇怪吸引子和混沌近来又发现了一批从孤立子可以演化为混沌现象的非线性演化方程， 从而推动了无穷维动力系统的研究，与有穷维动力系统不同的是，它研究空间上的混沌 现象，而后者仅研究时间上的混沌现象但是，二者却有惊人的联系 拓扑动力系统研究一般的连续系统在纯粹的意义下研究动力系统最基本的概念和 最广泛的共性在2 0 世纪6 0 年代，斯梅尔( s s m a l e ) 利用h p o i n c a r e 首创的思想从 拓扑和几何的角度睐重新审视微分方程的性质，并在1 9 6 7 年发表了一篇影响深远的 综述性论文 2 0 尤其是他构造出来的“斯梅尔马蹄”，这是一个简单的数学模型，在拓 扑动力系统广泛应用之中最富思想性和影响最为深远 2 2 在1 9 6 4 年，苏联科学家沙可 夫斯基( s a r k o v s k ii ) 发现了一个相当完美的结果，指出厂的周期点的周期呈现出相当 整齐的规律性 2 3 这个结果揭示了自牛顿以来被研究不下三百余年的一元连续函数的 一个奇妙、深刻但也很初等的性质直到1 9 7 7 年斯捷凡( p s t e f a n ) 纠正了原文若干不 妥之处，用英文重新介绍出来为止 2 4 随后，很多作者致力于简化和改进沙可夫斯基定 理的证明，并取得了一定的成果 2 5 ，2 6 ，2 7 ，2 8 此前，在1 9 7 5 年，华人李天岩在美国马里 兰大学攻读博士期间与其导师j y o r k e 发表了一篇震动学术界的论文 2 9 ，即“周期三 蕴涵混沌”一文，第一次从数学上提出了混沌的精确定义，开启了数学混沌研究的先河 与此同时，一类被通称为“混沌的复杂现象在包括物理、理学、天文、化学乃至生物 等几乎所有自然学科甚至人为学科中被普遍发现，并掀起了一场研究混沌的热潮，历久 不衰时至今日，人类科学史上没有哪一个概念或理论能与“混沌”相比，把如此众多的 学科和领域联系在一起，成为它们的共同语言随后，l i - y o r k e 定理也很快的被推广了 3 0 ，3 1 ：同时，人们围绕着回复点集、非游荡集、一极限集、拓扑混合和拓扑熵等以 及与混沌相关的问题做了大量工作，取得了很多研究成果 3 2 4 7 除了l i - y o r k e 意义 西北大学硕士学位论文 f 混沌之外，尚有多种混沌的定义其中较为常见的是9 e v a n e y 混沌【5 1j 紧接看，人们对 d e v a n e y 混沌也给予不少的研究和推广 5 2 ，5 3 ，5 4 ，5 5 3 ，进步扩展了混沌的研究范围 1 2 预备知识 为了更好地了解拓扑动力系统中一些基本定义和性质，同时也为后面与我们推广的 定义和性质作比较，我们列出了其相关的定义和性质： 定义1 2 1 【2 2 1 设z 为紧致度量空间，：hz 为连续映射则称( z 力为一个离 散拓扑动力系统，简称动力系统或紧致系统称为紧致系统( z 刀的底空间 下面的定义都是在紧致系统( z 刀条件下定义的 定义1 2 磐2 2 1 如果紧致子集x oc z 对不变，即“以) c 五，则把在上的限 制卅k ：以寸以所生成的紧致系统( z 卅) 或卅局，称为( z 刀或的子系统 对每一点z z ，z 在作用下生成的轨道 五( 习，尸( 力， ，记作砌( z ) 定义1 2 3 f 2 2 1 对于z z ，如果存在正整数厅，使得厂( z ) = z ，则把z 叫作的周期 点：并把使得尸( z ) = z 成立的最小正整数，7 叫作它的周期 的全体周期点的集合，记作尸( ) 周期为1 的周期点叫作不动点，的全体不动点的集合记作，( ) 定义1 2 4 【2 2 1 对于z z ，如果存在正整数递增序列刀，使得l 山i m 。( 力= z ：或等价 地，对任意的s 0 ，存在厅 0 ，使得尸( 力( z ，s ) ，则把z 叫作的回复点 的全体回复点的集合记作启( 刀 定义1 2 5 1 2 z ! 对于z 如果存在s 0 ，使得对任意的正整数刀，都有 尸( ( 五) ) n ( 五) = o ，则把z 叫作的游荡点：如果z 不是的游荡点，即对每一个 s o ，存在正整数刀，使得”( ( 五s ) ) n ( 五s ) a ，则把z 叫作的非游荡点 的全体非游荡点集记作q ( 力 定义1 2 d 2 2 1 对于z ，如果存在正整数递增序列仍，使得! 姥( 力= 少，则把点 第一章绪论与预备知识 少叫作z 的山一极限点；并称z 的全体一极限点的集合为j 的0 2 一极限集，记作 ( z ，门。 定理1 2 1 瞰1 设z ，则( 以) 是朋拘非空闭子集 定理1 2 2 【2 2 1 设jez ，则( ( 门) = ( 五) = 0 2 沙7 ( z ) ，) ，v i 0 定理1 2 3 眦1 设z z ，则z 月( ) ，当且仅当z ( 五刀 定义1 2 7 i 2 2 1 叫作拓扑传递的，如果存在x e x ，使得o r b ( x ) = z ，即z 的轨道在x 内处处稠密 定理1 2 4 【2 2 1 设m = ，即是在上的则下述条件是等价的： ，) f 是拓扑传递的： 谚若acj 闭，且( a ) ca ，则a = 或a 在内无处稠密： 动若占c 开，且厂1 ( 甸c z ，则z = 1 2 j 或占在中处处稠密： 们对任意非空开集6 r e ：z ，c ，存在厅 0 ，使得厂”( z ) n v 0 ： d对任意非空开集l r cz ，矿cx ，存在y i 0 ，使得尸( n a ； 功集合 z 卅丽= 却是的一个处处稠密的瞑一型集 定义1 2 8 t z 2 1z e 称为厂的几乎周期点，如果对任意s 0 ，存在 0 ，使得在任 何连接的( 按自然顺序) 个整数之中总有某一个刀满足尸( 砷矿ks ) ，这里( 五s ) 是指z 的以s 为半径的球形邻域把的几乎周期点记作彳( 刀 定义1 2 9 【2 2 1 设( z ) 和( 只曲都是紧致系统如果存在同胚映射乃：z h ，使得 纱= 砂，则称映射与箩是拓扑共轭的记作= 引理1 2 1 2 2 1 设i = e ，则尸= ，v n 0 定理1 2 5 t 2 2 1设= 占，且乃：h 腥从到箩的拓扑共轭又设z j 若哆为递 增序列，使得l 山i m 。尸( 力= 焉j ，则l 。i r n 。矿( 石( z ) ) = 儿，且乃( 而) = 粥 西北大学硕士学位论文 定理1 2 6 【2 2 1 设= 可，且乃：寸y 是从到g 的拓扑共轭则1 ) 乃( 尸( 刀) = ，( 纠， 2 ) 力( 尸( ) ) = 尸函) ， 3 ) 乃( 月( 门) = 月( 箩) ， 4 ) 乃( q ( ) ) = q ( 曲， 5 ) 后( 彳( 刀) = 彳( 种 定义1 2 10 【2 2 】如果存在6 0 ，使得对任意z z 和工的任意邻域以，存在少以和 后 0 ，满足( 厂( z ) ，( 少) ) 6 ，则称厂对初值敏感依赖，6 称为敏感常数 定义1 2 1 1 1 2 i 若存在s o o ，使得对任意z j 及6 o ，存在：c o ，y o 口( z ，6 ) 及任意 髟以，存在k k ，满足( ( 气) ，( 凡) ) - e 。则称在j 上对初始条件具有敏感依 赖性，。称为敏感常数 定义1 2 1 2 【s 】给定整数2 ，如果存在a 0 ，使得空间中的任意一个非空开集 中都有个点x l , 恐，“，对于某一个刀0 ，有 m i n ( 厂( ) ，尸( 乃) ) i 1 2 ，奶，力九， 则称九为系统( z 力的一个一敏感系数系统( z 力的所有n 一敏感系数的上确界，记 作a n “称为这个系统的n 一临界敏感系数 定理1 2 7 i 4 5 】如果是局部道路连通空间且对初值敏感( 即存在九) ，则对每一 2 ，以另葺，亦即方j 是系统( z 刀的一个一敏感系数 定义1 2 1 3 1 5 6 】设人cx r f ( a ) c 八，人中有无穷个的周期点，这些周期点在人 中稠密，又有一个稠于人的的非周期轨道，则称人是的个混沌集 1 3 本文的写作背景和主要结果 离散动力系统可以描述生物、电子、信号处理及其他社会中出现的问题，它们可以 分为一维、低维、无限维现有大量文献对它们的性质进行了研究，如混沌、稳定、分形、 第一章绪论与预备知识 随机变量模拟、振动、i 司步及控制等混沌是非线性系统中出现的一种确定、类似随机 的现象，它在随机变量模拟、保密通讯、信息隐藏、数字水印、流体混合及神经网络分 析等问题中都有重要应用因此如何构造混沌系统是其应用的基础 5 5 目前用l i y o r k e 和d e v a n e y 提出的离散混沌定义来研究离散动力系统的成果已有 很多 2 9 ，4 9 ，5 0 ，5 1 可以看出，这些成果只是讨论了含有固定参数映射的混沌现象例 如，一维动力系统： x n + i = ( ，) ：刀= o ，1 ，2 ，z i ( 1 ) 其中，| u 为固定参数我们把这个式子称为( 1 ) 式 及其特殊情况下的l o g i s t i c 混沌系统： 靠= ( 1 一艺) ：y - - _ o ，1 ，2 ，z = 【o ，1 】， 为固定参数这些都在许多文献中被引用 但对于更普遍的变参数离散系统： x n + 。= 占( p 。，) = ( 厅+ 1 ，巧) ，7 = o ，1 ，2 ，( 2 ) 其混沌理论和应用研究在文献中却很少见尽管对系统( 2 ) 的振动、稳定、伪随机等 性质已经有诸多研究显然，系统( 1 ) 是系统( 2 ) 的一种特殊情况由此，文献 5 4 首次给 出了将研究系统( 1 ) 的混沌理论推广为研究系统( 2 ) 的混沌理论 设和彳是实数集r 的子集若系统( 2 ) 的函数箩满足：对任意n = o ，l 2 ，都有 k 。= g d xl 卜- - i ，心彳，则设厶。( z ) = 占( j l l 。，z ) ，z 和刀= o ，l ，2 ，因此，系统( 2 ) 可 以唯一决定一列定义在上的函数彳，石，z 于是，为了研究系统( 2 ) 的混沌理论，文 献 5 4 首次给出了一列映射的混沌定义，对系统( 2 ) 的混沌理论进行了探讨，且构造出了 几个这类混沌系统，开辟了一条研究变参数混沌理论的新思路文献 5 5 在此基础上继 续对变参数离散混沌系统进行了深入的研究，又构造出了几个新的变参数离散混沌系统 现将有关的概念及定理简介如下： 设( z 刃是一个度量空间，石：z h z ，后= 1 ，2 ，对任意而， 五= 彳( x o ) ：恐= 石( 玉) ：靠l = 厶l ( ) 刀= 0 ，1 ，2 ， 西北大学硕士学位论文 则称序列口( 而) = ) 二。为这列映射 z ) 二。在点而的轨道 5 5 为简易起见，对任意z j ，记石( 力= z ：历卅( 力= 厶。( 石( 力) ，刀= 0 , 1 ，2 ， 由此可见，在轨道口( 而) = ) 二。中，有艺= 乞( 而) 定义1 3 1 肼1 设( z 力是一个度量空间，彳：j h ，是一列映射，后= 1 ，2 ，若对某 点x o x ，轨道口( 气) = 二。是周期序列，即存在正整数夕，使得对任意刀= 0 , 1 ，2 ，都 有，= ，则称而为这列映射，= z ) 二。的周期点，尸为该点的周期若而是，= z ) 二。 的周期为夕的周期点，且。艺，k = l ，2 ，尸一1 ，则称而为，= z ) 二的质周期点或最 小正周期点，尸为而的质周期或最小正周期 定义1 3 2 【驯若对任意两个非空开子集u c ，c ，都存在一个正整数后，使得 石( n f 2 j ，则称该映射序列尸= z ：。在z 上具有传递性 定义1 3 3 1 5 4 i 若存在常数6 0 ，对任意点x ：x 及该点的任意领域g ，在g 内总存在 一点少和一个正整数后，使得4 z ( - ) ，z ( 力) 6 ，则称尸= z 二在上具有对初值的 敏感依赖性 定义1 3 4 1 设( z 力是一个度量空间，z ：彤卜( n - - i ，2 ，) 是一列映射这列 映射尸= z ) 二。或由它构成的离散系统。= 厶。( ) ，而z ，刀= 0 , 1 ，2 ，当满足尸在 j 上具有传递性，在z 中的的所有周期点组成的集合是j 的稠密子集，在上具 有对初值的敏感依赖性时，称其为在推广的d e v a n e y 意义下是混沌的 定义1 3 萝5 5 1 设( z 力和( 只动是两个度量空间若乃：j y 是一一映射，且乃和其 逆映射矿1 都是连续或一致连续，则称别黾从( z 力到( 只孑) 的一个同胚或一致同胚 定义1 3 6 ” 设，= z ) 二是度量空间( z 刀上的一列映射，g = ：= l 是度量空间 ( 只刁上的一列映射若乃：z h ，是同胚映射或一致同胚，且乃( z ( z ) ) = 舅( 乃( z ) ) ，对一 切z j 和刀= 0 , 1 ，2 ，则称，= z 二与a 。胁。是乃共轭或力致共轭的 定理1 3 1 【5 4 1 设尸= z ) ：。与仃= 品) ：。分别是度量空间( z 力和( 只刁上的两列 第一章绪论与预备知识 映射，且它们是乃一致共轭的其中，乃：j hy 是一致同胚则尸= z ) 二。在推广的 d e v a n e y 意义下是混沌的，当且仅当g = 晶) 二。在推广的d e v a n e y 意义下是混沌的 定理1 3 2 1 设( z 功是一个度量空间，历是一个正整数，并设：h 脘一个 在d e v a n e y 意义下的混沌映射定义j 上一列映射如下： 彳= f ：石= = 以= ：厶i = ；厶2 = = 厶斛i l = 后= o ，1 ，2 ， 其中，表示上的恒等映射则映射尸= z ) 二在推广的d e v a n e y 意义下也是混沌的 通过以上对背景的分析和对文献 5 4 ，5 5 的工作简述，我们发现变参数动力系统就 是在度量空间上的一列连续自映射生成的更一般的动力系统，而文献 5 4 在理论上只是 对与d e v a n e y 混沌相关的概念进行了推广这种推广显然是合理的：不过，若要在理论上 对离散动力系统的一些概念及性质进行推广并深入研究的话，需对底空间或一列映射加 强条件这也是对原有理论的一种推广显然，这种推广也是合理的现将本文的主要结 果综述如下： 在第二章，我们在变参数动力系统基础上给出了其子系统的定义：并在上述系统中 给出了一列映射的周期点、回复点、游荡点、非游荡点、一极限点和几乎周期点的定 义：研究了推广后一列映射的不动点集、周期点集、回复点集、非游荡点集、c o 一极限集 和几乎周期点集的各自性质及它们之间的关系 在第三章，我们在上述系统中给出了一列映射的拓扑新传递、拓扑传递、拓扑强传 递和拓扑共轭的定义：研究了一列映射的拓扑共轭的基本性质，得到了一些主要结果： 证明了在底空间是紧致度量空间、一列映射是满映射且两两可交换的条件下拓扑新传递 和拓扑传递是等价的：还证明了几个与拓扑共轭相关的结论 在第四章，我们在上述系统中给出了一列映射的初值敏感依赖、初值强敏感依赖和 混沌集的定义：同时又对一列映射的初值敏感依赖进行了推广，提出该系统下一个一 敏感系数的概念：证明了在局部连通空间中上是系统( 彤门的一个一敏感系数：又 一l 、 7 证明了一列映射的混沌集蕴涵一列映射对初始条件具有强敏感依赖性 西北大学硕士学位论文 2 1引言 第二章回复性和几乎周期点 回复性作为动力系统的一个重要性质，它已是学习和研究动力系统的基础我们知 道，动力系统的核心问题是点的轨道的渐近性质或拓扑结构，只有那些具有某种回复性 的轨道才是重要的本章对回复性和几乎周期点进行了推广，并对各自的一些性质及之 间的关系进行了初步的讨论因为扩大了它们的研究范围，所以它们各自的性质及之间 的关系也受到了一些影响但还是得出了一些与之有关的结论 2 2 回复性： 设( z 印是一个度量空间，石：j h z 是一列连续映射，其中，后= 1 ，2 ，对任意点 h x 。 五= 彳( x o ) ：五= 石( 而) ：靠i = 厶。( x b 刀= o ，1 ，2 ， 则称序列o , - b ( x 0 ) = 二。为这列映射，= z ) 二。在点而的轨道 为简易起见，我们把石( 后= 1 ，2 ，) 两两可交换记作，= 彳) 二。两两可交换a 同时， 对任意的z x ，记 石( 力= z ：z + 。( 力= 五( 石( 力) ：历1 = ( z 。刀一= 斤1o 。f 1 ：n = 0 ，1 ，二，2 一 定义2 2 1 设是一个度量空间，尸= 彳) ：。是上的一列连续自映射，则我们称 ( z 刁为变参数动力系统称为变参数动力系统( z 刁的底空间 定义2 2 2 设( z 一是一个变参数动力系统如果子集五c 对，= 彳) ：。是不 变的，即石( 五) c 以，b = l ，2 ，则把映射序列尸= 彳 ：。在五上的限制映射 z l 气：以一x o ，后= l 川2 所生成的变参数动力系统( z z i 怕) 或( z 卅) ，称为( z 刁的子系统 引理2 2 i 设( z 刀为变参数动力系统如果子集也c 朋于，= z ：不变， 9 第二二章回复性和几乎周期点 则屏( x o ) c - x o ，后= 1 2 一 证明用归纳法即可证明结论成立 下面的工作都是在( z 刁为变参数动力系统下展开的，除非另有说明 定义2 2 3 若对于而j ，轨道o r b ( x o ) = 二是周期序列，即存在正整数尸，使 得对一切n = o ，1 , 2 ，都有z 印( 而) = 巧( 而) ，则称而为这列映射尸= z ) 二的周期点并 把使得z 切( 而) = 巧( 而) 成立的最小正整数尸叫作它的周期，记ml x 0 1 ，= z 二。的全体周期点的集合，记作尸( 刁 尸= z 二。周期为i 的全体周期点集合，记作彳( 刃 定理2 2 1 设尸= 彳) 二。在肚是两两可交换的若而是尸= z 二的周期点，则以 也是，= z ) 二。的周期点其中，k = l ，2 ， 证明 设而是尸= z ) 二的周期点，则存在尸以，使得只+ ，( 而) = g ( x o ) ，其中， 刀= 0 , 1 ，2 ，由，= 彳) ：。两两可交换，则 历叩( ) = ，( 屏( 而) ) = 历( 最尸( 而) ) = 名( z ( 而) ) = z ( 历( 而) ) = 巧( ) ， 其中后= 0 , 1 ，2 ，刀= o ，1 ，2 ，这就证明了砟是，= z ) 二的周期点 定理2 2 2 设z x 是e - - , , i 。的周期点且l 爿= 矿若乃( 功= z ，则9 p 证明首先由周期点定义知q p 设夕= q + 肼，其中后以而所= o 或历以且 o 时， t u 据序列极限的定义知，l i m = z 用z + 。作用于上式的两端，并由鼻+ 。连续性可 知， 切最- ( ) = 最- ( 力：再由巧( 叼，可得z 卅( ) = ，所以! ，i m 。= 最。( 力由紧致 度量空间中序列极限的唯一性可以得到，z + 。( 力= z ，n = 0 ，1 ，2 ，于是x e 彳( 一，从而 ( 石( 一) c 石( 刁，故彳( 刁是的一个闭子集 定义2 2 4 对于z z ，如果存在正整数递增序列哆，使得l i m 。( 力= z ：或等价地， 对任意s o ，存在厅 0 ，使得巧( 力( 五) ，则把z 叫作，= z ) 二。的回复点 显然，回复性是周期性的推广我们把，= z ) 二。的全体回复点的集合记作刀( 叼 定义2 2 5对于z ，如果存在s 0 ，使得对任意正整数刀，都有 石( 以五s ) ) n 以五) = a ，则把石叫作，= z ) 二。的游荡点：若z 不是，= z ) 三= 。的游荡 点，即对任意s o ，存在正整数厅，使得z ( 以五s ) ) n ( 五s ) a ，则把，叫作，= z ) 二。 的非游荡点 定理2 2 7 ，= z ) 二。的游荡点的集合是朋拘一个开子集 第_ 章回复性和几乎周期点 证明设游荡点集合为人对于任葸z a ，则存在s 0 ，使得对任惫正整数，7 ，都有 巧( 以五s ) ) n 以五s ) = g 又对任意的少v ( x ) g ) ，存在6 o ，使得( 彤6 ) cv ( x , 8 ) ：于 是对任意正整数厅，有z ( 以只6 ) ) c 巧( 以而s ) ) 成立，所以z ( 以乃6 ) ) n 少( 月6 ) = a 于 是少人，因此y ( x , 6 ) c a 故人是的一个开子集 因而，= z ) 二。的非游荡点的集合是朋勺一个闭子集，叫作尸= z ) 二的非游荡集， 记作q ( 一 定理2 2 8 彳( 一c 尸( 刁cq 刁cq ( 刁 证明 由定义2 2 3 和定义2 2 4 可以直接看出彳( 一c 尸( 叼c 月( 刁故只须证明 月( 一c q ( 印 对任意z 刀( 一据尸= z ) 二。的回复点的等价定义可知，对任意 o ，存在n o ， 使得z ( 力r ( x , s ) ：又由于z v ( x ，) ，所以z ( 力z ( ( 五s ) ) 从而 巧( 以五s ) ) n ( 五s ) a 于是，z q ( 一所以刀( 刁c q ( 刁 定理2 2 9 设尸= z ) 二在上是两两可交换的则彳( 刁，尸( 刁，刀( 刁，q ( 刁对 ，= z 二是不变的 证明 1 ) 对任意z 彳( 刁，即对于任意n o ，都有石+ 。( 力= z 由于，= 石) ：。连续 且两两可交换，所以用彳作用于上式两端得， z + ( 力) = z ( 最。( 力) = 彳( 力 故z ( 力彳( 刁，从而z ( 矸( 叼) c 耳( 刁，k = l ，2 ， 2 1 证法同1 3 ) 对任意的少z ( 刀( 刁) ，k = l ，2 ，存在歹r ( 8 ，使得少= z ( 力：又对于任意的 s 0 ，因为彳连续，所以存在6 0 ，使 西北大学硕士学位论文 石( ( 五6 ) ) c ( 习，g ) = ( 彤g ) 由z 刀( 力，于是对z 的邻域v ( x , 8 ) ，存在刀 0 ，使得z ( 力( 工6 ) 由尸= z ) 二。两 两可交换。因此 乞( 力= 鼻( 石( 力) z ( ( 五6 ) ) c 以z ( 力，) = 以彤s ) 从而少月( 刁，故z ( 刀( 印) c 启( 刁，k = 1 ，2 ， 4 ) 对任意少彳( q ( 一) ，k = l ，2 ，存在z q ( 一，使得少= 石( 力：对z ( z ) 任 意邻域( z ( z ) ，s ) ，由彳连续性，所以力1 ( ( z ( z ) ，s ) ) 是石的任意邻域据定义2 2 5 ， 存在正整数刀，使得 z ( 万1 ( ( 彳( 力，s ) ) ) n 石1 ( ( 石( 力，s ) ) a ， 所以用石( 后= l ，2 ，) 作用于上式，并由，= z ) 2 是两两可交换的可得， z ( 以彳( 力，s ) ) n 以z ( 力，s ) 3z ( 彳( 力1 ( ( 彳( 力，s ) ) ) ) n 彳( 万1 ( 曩石( 力，s ) ) ) = 彳( z ( 力1 ( 少( 彳( z ) ，s ) ) ) ) n 彳( 力1 ( ( 彳( z ) ，s ) ) ) 3 彳( z ( 石( 以彳( 刁，s ) ) ) n 万1 ( ( 彳( 砷，) ) ) a 所以少q ( 刁故z ( q ( 刁) cq ( 刁，k = l ，2 ， 推论2 2 1 设，= z ) 二。在上是两两可交换的则对任意刀o ，都有 1 ) 巧( 彳( 刁) c 彳( 即， 2 ) 巧( 尸( 刁) c 尸( 叼， 3 )