（基础数学专业论文）多连通域上的解析函数空间及其算子.pdf

多连通区域上的解析函数空间及其算子 基础数学专业 研究生王晓峰指导教师曹广福 摘要：自从b r o w nt t o l m a s 将t o e p l i t z 矩阵用函数论的语言重新描述之后， ft o e p l i t z 算子的研究受到人们广泛的关注。或许由于它与函数论，控制论 多学科有着重要和深刻的联系，人们在各种不同的方向上作了推广，包括单 l 的8 e r g m a n 空间与高维复空间上的h a r d y 空间与g e r g m a n 空间等多种情形。 自位圆上的h a r d y 空间与b e r g m a n 空间以及高维复空间中单位球上的h a r d y 日与b e r g m a n 空间情形。关于t o e p li t z 算子的研究很大程度上得益于这些空 e 的再生核理论，而在其他一些空间，如一般区域上的b e r g m a n 空间情形，人 自以写出再生核的具体表达式，因而其再生核的应用受到很大限制，事实上在 2 的区域乃至流形上，t o e p i t z 算子理论远不象单位圆和单位球情形那样丰 特别是复平面内一般区域包括圆环上的t o e p i t z 算子的研究尚不多见，且 成系统的理论。 函数空间上的另一类重要算子之一是复合算子。由于这类算子与函数论有着 s 的联系，而且许多函数论问题都可以通过复合算子转换成相应的算子论问 因而逐渐受到人们的重视。有关这类算子的研究大体上可以分为有界性，紧 谱性质，代数性质( 如正规性，亚正规性) 等几个方面。然而与t o e p l i t z 算 eh a n k e 算子相比，复合算子理论远不是很成熟，待解决的问题还有很多。 本文从四个方面研究t o e p l i t z 算子与复合算子的性质。 一、一般区域及r j e m a n n 面上的t o e p l i t z 算子与复合算子。 1 、m i h a il a 在e 2 8 中提出：是否开r i e m a n n 面间映射诱导的复合算子可逆可 诱导映射可逆? 本文首先给出了这一问题的一个否定回答，同时对一些特 向r i e m a r m 面给出了这一问题的正面回答，主要证明了：( 1 ) 对于两个开 m a n n 面之间的解析映射，若初始空间是单连通双曲型r ie m a n n 面，则这个映 t 逆的充要条件是它诱导的复合算子可逆。( 2 ) 从圆环到开r i e m a n n 面的解析 t 可逆的充要条件是它诱导的复合算子可逆。( 3 ) 从去掉无限个洞的圆盘到 m a n n 面的解析映射，若它诱导的复合算子是f r e d h l a m 算子，则这个映射是 寸。 2 、研究了r i e m a n n 面上平方可积解析一形式空间上的t o e p l it z 算子的性质， 日了：( 1 ) 圆环b e r g m a n 空间上具有本性有界符号的t o e p i t z 算子生成之代 数在该空间上全体有界线性算子空间中弱术稠密。( 2 ) 若r i e m a n n 面上平方可积 解析一形式空间的维数不小于1 ，则具有解析符号的t o e p l i t z 算子的谱等于其 符号函数值域的闭包。( 3 ) 若r i e m a n n 面上平方可积解析一形式空间的维数等于 无穷，且符号函数的值在紧集之外充分小，则对应的t o e p l i t z 算子是紧算子。 ( 4 ) 去掉无限个洞的圆盘上平方可积解析一形式空间上以连续函数为符号的 t o e p li t z 算子若是f r e d h t o n 算子，则它的指标等于这个函数相对于原点的拓扑 度。( 5 ) 复平面中非空有界连通开子集上由具有连续符号的t o e p i t z 算子生成 的c 一代数之导子值域包含在紧算子代数中。 二、圆环上的d i r i c h l e t 空间及其算子。 本章主要证明：1 、符号在c 。( 吖) 中的t o e p l i t z 算子的本性谱等于符号 函数在m 边界上的本性值域。符号在c 1 ( m ) 中的t o e p l i t z 算子生成的c 十代 数l 的交换子理想c 就是d i r i c h l e t 空间的紧算子理想k 。且l k 同构于m 边 界上的连续函数空间。 2 、符号在+ c 。( 吖) 中t o e p l i t z 算子的本性谱等于符号函数在m 边界上 的本性值域。 3 、若符号在c l ( m ) 中的t o e p l i t z 算子是f r e d l o m 算子，则它的指标等于 符号函数相对于原点的拓扑度。 4 、圃环d i r i c h l e t 上的有界正算子是s h a t t e n1 类算子的充要条件为它对 应的圆环b e r g m a n 空间算子在特定测度下绝对可积。 三、n 维复空间上d i r i c h l e t 空间上的t o e p l i t z 代数。 我们证明：1 、每个符号在c 1 ( b 。) 中的t o e p l i t z 算子生成的c 一代数的自同 构都会诱导n 维复单位球边界上连续函数空间以一个拓扑度为l 的同胚自映射为 符号的复合算子；反之亦然。 2 、符号在c 1 ( 口。) 中的t o e p l i t z 算子生成的c 丰一代数的对偶空间中的元素 是一个乘法线性泛函的充要条件为存在1 3 维复单位球上的赋值泛函与之对应。 四、d i r i c h l e t 空间上t o e p l i t z 算子的g a l e r k i n p e t r o v 方法。 1 、渐近可逆问题。( 1 ) 符号在c i ( d ) 中的t o e p l i t z 算子可逆，则渐近可 逆。 2 、g a l e r k i n p e t r o v 方法。( 1 ) 渐近有限元法收敛当且仅当有限元法收敛。 ( 2 ) d jr i c h l e t 空间中元素的相关投影列与正常投影之差收敛到零。 3 、具体的g a l e r k i n - - p e t r o v 方法。( i ) 以单位圆内的任意圆环内接正多边 形的定点为对应点列。则( 三。，只) 方法收敛当且仅当圆环的圆心为原点。( 2 ) 在 开线段( a ，b ) 上选取配置点列使( 0 ，只) 方法收敛，则( a ，b ) 是单位圆盘的直 径。 关键词：r i e m a n n 面t o e p l i t z 算子 复合算子 d j r i c h l e t 空间 g a 】e r kjn p e t r o v 方法 a n a l y t i cf u n c t i o ns p a c e so nm u l t i c o n n e c t e dd o m a i n a n dt h o s e o p e r a t o r s m a j o r ：p u r em a t h e m a t i c s s u p e r v i s e t ：g u a n g f u c a o d o c t o r a l c a n d i d t e ：x i a o f e n g w a n g a b s t r a c t ：s i n c eb m w n - h a l m o s r e e x p r e s s e dt o e p l i t z m a t r i xj nt e r m so f f u n c t i o nt h e o r y , c l o s ea t t e n t i o nh a sb e e np a i dt ot h e s t u d yo ft o e p l i t zo p e r a t o r p r o b a b l y , b e c a u s eo f i t sc l o s ea n di m p o r t a n tc o n n e c t i o nw i t hc o n t r o lt h e o r y ，f u n c t i o n t h e o r ya n do t h e rb r a n c h e so fs c i e n c e ，i t sh a sb e e ns p r e a di nm a n yd i f f e r e n td i r e c t i o n s ， i n c l u d i n gt h es i m p l ev a r i a b l eb e r g m u ns p a c e ，h a r d ys p a c ea n db e r g m a ns p a c eo n s e v e r a lv a r i a b l ec o m p l c xs p a c e ，e t c i nt h es i t u a t i o no fh a r d ys p a c ea n db e r g m a n s p a c eo n u n i t ed i s c ，h a r d ys p a c ea n db e r g m u ns p a c eo nu n i t eb a l lo fs e v e r a lv a r i a b l e c o m p l e xs p a c e ，t h es t u d yc o n c e r n i n gt o e p l i t zo p e r a t o r sg r e a t l y b e n e f i tf r o mt h e t h e o r yo fr e p r o d u c t i v ek e r n e li nt h e s es p a c e s ，h o w e v i no t h e rs p a c e s ，s u c ha st h e s i t u a t i o ni nb e r g m a ns p a c eo fs o m eg e n e r a ld o m a i n s ，i ti sv e r yd i f f i c u l tt ow r i t eo u t t h ec o n c r e t ee x p r e s s i o n ，t h e r e f o r e ，t h ea p p l i c a t i o no fr e p r o d u c t i v ek e m e li sg r e a t l y l i m i t e d i nf a c t ，i ng e n e r a ld o m a i na n dm a n i f o l d , t o e p l i t zo p e r a t o rt h e o r yi sm u c hl e s s r i c ht h a nu n i t ed i s ca n du n i t eb a l i p a r t i c u l a r l y , t h e r em e r e l yi sl i t t l es t u d yo f t o e p l i t z o p e r a t o ro fg e n e r a ld o m a i ni n c l u d i n ga u n u l u s ，a n df u r t h e r m o r e ，t h es y s t e m a t i ct h e o r y h a sn o tb e e nd e v e l o p e d o n eo fo t h e ri m p o r t a n to p e r a t o ri nt h ef u n c t i o ns p a c e si sc o m p o s i t i o no p e r a t o r b e c a u s et h i sk i n do f o p e r a t o rh a s n a t u r a lr e l a t i o nt of u n c t i o nt h e o r y ，a n dw h a t sm o r e ， m a n yp r o b l e m sc o n c e r n i n g f u n c t i o n t h e o r y c a l lb e c h a n g e d i n t o c o r r e s p o n d i n g p m b l e m sc o n c e r n i n go p e r a t o rt h e o r yb y m e a n so f c o m p o s i t i o no p e r a t o r , i m p o r t a n c e h a sg r a d u a l l yb e e na t t a c h e dt oi t t h es t u d i e sc o n c e r n i n gt h i sk i n do f o p e r a t o rr o u g h l y c a nb ec l a s s i f i e da sb o u n d e d n e s s ，c o m p a c t n e s s ，s p e c t r u m ，a l g e b r a i cp r o p e r t i e s ( s u c h a sn o r m a l i t ya n ds u b n o r m a l i t y ) a n ds oo n h o w e v e r , c o m p a r e dw i t ht o e p l i t zo p e r a t o r a n dh a n k e lo p e r a t o r , c o m p o s i t i o no p e r a t o rt h e o r yi sf a rf r o mm a t u r i t y ，s t i l lw i t hm a n y p r o b l e m s l os o l v e ， i nt h i sp a p e r , w ew i l ls t u d yt o e p l i t zo p e r a t o ra n dc o m p o s i t i o no p e r a t o ra sf o l l o w 1 t o e p l i t zo p e r a t o ra n dc o m p o s i t i o no p e r a t o ro ng e n e r a ld o m a i na n dr i e m a n n s u r f h c e ， ( 1 ) m i h a i l aa s k e di n 【2 8 ：d o e st h ei n v e r t i b i l i t yo ft h ec o m p o s i t i o no p e r a t o r i n d u c e db ya m a pb e t w e e no p e nr i e m a r ms u r f a c e si m p l yt h ei n v e r t i b i l i t yo f t h e m a p ? i nt h i sp a p e r , t h ep r o b l e mw a sn e g a t i v e l ya n s w e r e d f i r s t l y f u r t h e r m o r e ，i ns o m ep a r t i c u l a rr i e m a r ms u r f a c e s w eg o tp o s i t i v ea n s w e tf o r t h ep r o b l e m w ep r o v e da sf o l l o w ( a ) s u p p o s ema n dn a l eo p e nr i e m a n n s u r f a c e s ，i fmi sas i m p l yc o n n e c t e dh y p e r b o l i cr i e m a n ns u r f a c e pi sa j l a n a l y t i cm a pf r o mm t o n ，t h e np i si n v e r t i b l ei fa n d o n l y i ft h e c o m p o s i t i o no p e r a t o r i n d u c e d b yp i s i n v e r t i b l e ( b ) s u p p o s ep i sa n a n a l y t i cm a pf r o m a na n n u l u st oa no p e nr i e m a n ns u r f a c e t h e n 口i s i n v e r t i b l ei fa n d o n l yi ft h ec o m p o s i t i o no p e r a t o ri n d u c e db y pi si n v e r t i b l e ( c ) s u p p o s epi sa na n a l y t i cm a pf o r mt h ed i s cr e m o v e di n f i n i t eh o l e st oa r i e m a n ns u r f a c e ，t h e c o m p o s i t i o no p e r a t o ri n d u c e db ypi s f r e d h o l m o p e r a t o r , t h e npi sai n j e c t i o n ( 2 ) t h ep r o p e r t i e so ft o e p l i t zo p e r a t o r so nt h es p a c eo fs q u a r e i n t e g r a b l e a n a l y t i c1 一f o r m so nr i e m a r ms u r f a c ei ss t u d i e d w ep r o v ea sf o l l o w ( 舢t h e a l g e b r a t h a ti sg e n e r a t e db y t o e p l i t zo p e r a t o mw i t he s s e n t i a lb o u n d e ds y m b o l o fb e r g m a n s p a c eo na n n l l l u si sd e n s ew i t hr e s p e c tt ot h ew e a ks t a rt o p o l o g y i nt h es p a c eo fa l lb o u n d e dl i n e a ro p e r a t o r so nt h eb e r g r a a ns p a c e ，( b ) i ft h e d i m e n s i o no ft h es p a c eo fs q u a r e i n t e g r a b l ea n a l y t i c1 - f o r m so nr i e m a n n s u r f a c ei sn o ll e s st h a n 1 ，t h e nt h es p e c t r u mo ft h et o e p l i t zo p e r a t o rw i t h a n a l y t i cs y m b o li se q u a lt ot h ec l o s eh u l lo ft h er a n g eo ft h es y m b o lf u n c t i o n ( c ) i ft h ed i m e n s i o no ft h es p a c eo fs q u a r e - i n t e g r a b l ea n a l y t i c1 - f o r m so n r i e m a n ns u r f a c ei s e q u a lt oi n f i n i t e ，a n dv a l u eo ft h es y m b o lf u n c t i o n i s e n o u g hs m a l lo u t s i d et h ec o m p a c ts e t s ，t h e nt h et o e p l i t zo p e r a t o ri sc o m p a c t o p e r a t o r ( d ) i ft h et o e p l i t zo p e r a t o rw i t hc o n t i n u o u ss y m b o lo f t h es p a c eo f s q u a r e - i n t e g r a b l ea n a l y t i c 1 - f o r m so nt h ed i s cr e m o v e di n f i n i t eh o l e si s f r e d h o l mo p e r a t o r , t h e nt h ei n d e xo ft h et o e p l i t zo p e r a t o ri st h et o p o l o g y d e g r e eo fs y m b o lf u n c t i o nw i t hr e s p e c tt oo r i g i n ( e ) s u p p o s egi sab o u n d e d ， o p e n ，e o n n e c t e & n o n e m p t ys u b s e to fc ( c o m p l e xp l a n e ) ，j ( g ) i st h ea l g e b r a g e n e r a t e db yt o e p l i t zo p e r a t o r sw i t hc o n t i n u o u ss y m b o lo ng 巧i sal i n e a r d e r i v a t i o no nj ( g ) ，t h e nr a n g eo fji sc o n t a i n e di nt h ec o r r e s p o n d i n ga l g e b r a o f c o m p a c to p e r a t o r s 2 t h ed i r i c h l e ts p a c e so na n n u l u sa n dt h o s eo p e r a t o r s w e p r o v e d a sf o l l o w ( 1 ) t h ee s s e n t i a ls p e c t r u mo ft o e p l i t zo p e r a t o rw i t hs y m b o li nc 1 ( m ) i s e q u a lt ot h ee s s e n t i a lr a n g eo fs y m b o lf u n c t i o no nt h eb o u n d a r yo fm t h e c o m m u t a t i v ei d e a lo f c + - a l g e b r ag e n e r a t e db yt o e p l i t zo p e r a t o rw i t hs y m b o l i nc ( m ) i st h ei d e a lo fc o m p a c to p e r a t o ro nd i r i c h l e ts p a c e a n dl ki s i s o m o r p h i ct oc ( a m ) ( 2 ) t h ee s s e n t i a ls p e c t r u mo ft o e p l i t zo p e r a t o rw i t hs y m b o li nh ? + c - fm ) i se q u a lt ot h ee s s e n t i a lr a n g e o f s y m b o lf u n c t i o no n t h eb o u n d a r yo f m ( 3 ) i ft h et o e p l i t zo p e r a t o rw i t hs y m b o li nc 。( m ) i sf r e d h o l mo p e r a t o r t h e nt h ei n d e xo ft h eo p e r a t o ri s e q u a lt ot h et o p o l o g yd e g r e eo ft h es y m b o l f u n c t i o nw i m r e s p e c tt oo r i g i n ( 4 ) ab o u n d e d ，p o s i t i v eo p e r a t o ro na n n u l u si ss h a t t e n - 1o p e r a t o r si fa n do n l y i ft h ec o n c e m i n g b e r g m a ns p a c eo p e r a t o ri sa b s o l u t e l yi n t e g r a b l ew i t hr e s p e c t t ot h em e a s u r e 3 t o e p l i t za l g e b r ao f d i r i c h l e ts p a c eo nt h en l i m e n s i o n c o m p l e xs p a c e ， ( 1 ) t h ea u t o m o r p h i s mo fc + 一a l g e b r ag e n e r a t e db yt o e p l i t zo p e r a t o r sw i t h s y m b o li nc 。( b 。) w i l li n d u c eac o m p o s i t i o no p e r a t o rw i t hs y m b o lf u n c t i o n w h i c hi sah o m e o m o r p h i s mo fn - d i m e n s i o nc o m p l e xb a l la n dh a st o p o l o g y d e g r e el ；c o n v e r s e l y i n v e r s ep r o p o s i t i o ni sc o r r e c t ( 2 ) s u p p o s em i st h em u l t i p l i c a t i v el i n e a rf u n c t i o n a ls p a c eo nj ( c ) ，t h e nf o r a r b i t r a r y 庐i n ( j ( c 。) ) + ，庐i si nm i fa n do n l yi ft h e r ee x i s t s o n l y 0 8 s u c ht h a t 咖= 口：。e ，w h e r e 串：i s a m u l t i p l i c a t i v e l i n e a r f u n c t i o n a ld e f i n e db y 九( ，) = ，( 2 ) ，v f c ( 7 1 ) ，z i san a t u r a lm a pf r o mj ( c 。) t oj f c 。) 瓜 4 t h eg a l e r k i n p e t r o vm e t h o do f t o e p l i t zo p e r a t o r o nd i r i c h l e ts p a c e ( 1 ) t h ep r o b l e mo fa s y m p t o t i ci n v e r t i b i l i t y ( a ) i ft o e p l i t zo p e r a t o rw i t h s y m b o li n c - 【百1 i si n v e r t i b l e ，t h e ni ti sa s y m p t o t i ci n v e r t i b l e ( 2 ) g a l e r k i n - p e t r o vm e t h o d ( a ) t h ea s y m p t o t i c f i n i t ee l e m e n tm e t h o d c o n v e r g e s i fa n do n l yi ft h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o dc o n v e r g e s ( b ) t h e s e q u e n c eo fp r o j e c t i o n sa s s o c i a t e do f t h ee l e m e n t si nd i r i c h l e ts p a c ei s 中。) t h e n i | 中。一el i + 0 ( 3 ) t h ec o n c r e t eg a l e r k i n - p e t r o vm e t h o d ( a ) i f t h ec o l l o c a t i o np o i n t sa l et h e r e , i c e so far e g u l a rn - a n g l ei n s c r i b e di nf2 z1 i z - a 1 2 r i nu n i t ed i s c ，t h e n t h em e t h o d ( 屯，只) c o n v e r g e si f a n do n l yi f t h ep o i n tai nr i so r i g i n c o ) i f t h ec o l l o c a t i o np o i n t sa r ec h o s ei no p e nl i n es e g m e n t ( a b ) ，w h e r ea ，bi si nt s u c h t h a t ( l 。，只) c o n v e r g e s ，t h e n ( a ，b ) i s ad i a m e t e ro f t h eu n i t ed i s c k e yw o r d s ：r i e m a n ns u r f a c e ，t o e p l i t zo p e r a t o r , c o m p o s i t i o no p e r a t o r , d i r i c h l e ts p a c e ，g a l e r k i n - p e t r o vm e f f l o d 前言 自从b r o w n h o t m a s f l 将t o e p l i t z 矩阵用函数论的语言重新描述之后，关 于t o e p l i t z 算子的研究受到人们广泛的关注，有关论著可见f 2 j 一，或许 由于它与函数论，控制论等许多学科有着重要和深刻的联系，人们在 各种不同的方向上作了推广，包括单变量的b e r g m a n 空间与高维复空间 上的h a r d y 空间与b e r g m a n 空问等多种情形在单位圆上的h a r d y 空间与 b e r g m a n 空间以及高维复空间中单位球上的h a r d y 空间与b e r g l n a n 空间情 形关于t o e p l i t z 算子的研究很大程度上得益于这些空间上的再生核理 论，而在其他一些空间，如一般区域上的b e r g m a n 空间情形，人们难以 写出再生核的具体表达式，因而其再生核的应用受到很大限制，事实 上在一般的区域乃至流形上，t o e p l k z 算子理论远不象单位圆和单位球 情形那样丰富特别是复平面内一般区域包括圆环上的t o e p l i t z 算子的 研究尚不多见，且未形成系统的理论 函数空间上的另一类重要算子是复合算子由于这类算子与函数论 有着天然的联系，而且许多函数论问题都可以通过复合算子转换成相 应的算子论问题，因而逐渐受到人们的重视有关这类算子的研究大 体上可u 分为有界性，紧性，谱性质，代数性质( 如正规性，亚正规性) 等几个方面( 参见【2 5 】一 2 9 】) 然而与t o e p t i t z 算子及h a n k e l 算子相比，复合 算子理论远不是很成熟，待解决的问题还有很多 本文从四个方面研究t o e p l i t z 算子与复合算子的性质，主要研究一 般区域及r i e m a n n 面上的t o e p l i t z 算子与复合算子同时还讨论了圆环上 的d i r i c h l e t 空间及其t o e p l i t z 算子，对c n 中单位球上的t o e p l i t z 算子代数 进行了初步的讨论此外，还利用g a l e r k i np e t r o v 方法研究了d i r i c h l e t 空 间上t o e p l i t z 算子的渐进性质 第一章r i e l l q l ；u l n 西上的b e r g n 一空间及其算予 设吖与是两个r i e m a n n 面，p ：肼_ + ，是m 到的解析映射( n ，“) 表示m 上的局部坐标，其中n 是从m 上区域到复平面c 中的圆盘 的懈析同胚若，：- + c 连续可微，则定义 口 d 。( ，) _ 兰( ，。o _ 1 ) o n = a ( ，。o 。1 ) 。d d 6 ( ，) = 羔( ，。( 2 - 1 ) o a = 5 ( ，。口1 ) 。a 给定”上的局部坐标( a ，巩) 与 t 上局部坐标( 口，岵) 且满足p ( ) c ，令 舳口表示复合映射口。p 。口- ：a ( ) _ 卢( 岵) m 上的0 - 形式，是m 上的连续复值函数。m 上的1 形式是定义在 m 上的微分形式u 川在m 的局部坐标( ) 下有形式，。如+ 矿出，其中 尸9 a 是局部坐标n 的复值函数，且在局部坐标变换下保持形式不变， 即若( 卢，) 是另一个局部坐标且n 。，则 ( ，) 口9 声( 卢一1 ( = ) ) = ( d ) 口( o ) c 归( 矗) d 卢( 口) d 声( 丘) ( 卢一1 ( 。) ) ( ，) “9 。( 卢一1 ( z ) ) v ze 卢( u 。ne 冶) ， 上式中的2 2 阶矩阵是变换卢。，的j a r o b i a n 矩阵记为妇。一t 。m 上的 2 一形式是定义在m 上的微分形式n ，n 在m 的局部坐标( n ，u 。) 下有形式 为，。如 d 匹，其中，。是局部坐标n 的复值函数，且在局部坐标变换下保 持不变即 ，8 ( 口一1 ( z ) ) = d e t 如。一，( z ) ，。( 声一1 ( z ) ) ，v z 卢( u n n ) 一个微分形式称为可测，若系数函数( 在局部坐标系下表示这个微 分形式的函数) 相对每个局部坐标是l e b e s g u e 可测的r i e m a n n 面m 上所 有可测i - 形式的集合为 * ( m ) 在胪( ) 上可以自然定义线性运算使其 成为复线性空间对k 一形式u 舻( m ) 与m 的局部坐标( n ，) u 。表示将 u 限制在巩上由a 产生的回拉即= n ( u l 乩) 对1 一形式u ：产妇+ 旷d d ，定义其共轭算子为w = 一i 广d a + i 9 。d a 记 a i , o ( a f ) = u 1 ( 扩) lu = ，。d 。，v q ) 。，1 ( ) = 扣ea 1 ( m ) iu = 扩施，v n ) 1 = a l , o 。a o ，显然是一个线性空间上面的a i , o ( m ) 中的一形式不含 共轭部分，所以称为做解析一形式，且 1 ，。( m ) 称为解析一形式空间 以下的结果是熟知的： 定理( 3 6 1p , 2 9 ) r i e m a n n 面肘上可测1 一形式空间与解析1 一形式空间中满 足 f m f 舷= u a o ( o 。 j m 的1 一形式构成h i l b e r t 空间，分别记为 ) 与 ；。( m ) 这两个空间上定 义的内积是 = 厶州讶 1 j 。( 加与 ；( m ) 上的复合算子 设m 与均是r i e m a n n 面且p ：m - + n 是解析映射对任意0 。( ) ( 或 j ( _ ) ) ，定义复合算子g ( u j - 矿( “，) ，即微分形式u 的回拉 h a r d y 空间h ：( d ) 上复合算子可逆性研究开始于f 2 5 o h a t o r i1 2 6 ，g f c a o 与s h s u n 【3 0 】在2 ( 风) 的情形证明了与【2 5 】类似的结果其中鼠是c n 中 的单位球在其它空间情形，b o u r d o n1 3 1 j ，s i n g h 与v e l u c h a m yf 3 2 j 证明了与 类似的结果h i r o y u k it a k 晦 3 3 1 考虑了g ( x ) 与l r ( x ) 上的f r e d h u l m 加 权复合算子，其中x 是一个有某些规范性质的集合，如区间或月n 中的 球1 0 a n am i h a i l a 在 2 8 1 中讨论了r i e m a n _ n 面上复合算子的可逆性并提 出以下问题 问题：是否开r i e m a n a 面间映射诱导的符合算子可逆就可以得到诱 导映射可逆? 本节主要围绕这一同题展开讨论 1 ! 。( m ) 与 ( 肘) 上的复合算子 定理l 设p ：m _ 是r i e m a n l r 面m 与r i e m a n n 瓦n 之间的解析映 射若对任意的。，e 玩。磷。与碟。是线性无关的， 其中k m 。是z 点处的赋值泛函，则对任意的缌柝映射p ：m n ，只要 o ： ! 。( ) _ 幢。( m ) 可逆，则p 是单射 定理2 设m 与是开r i e r n o a n n 面，若 f 是单连通双啦型r i e m ；m n 面 ，p 是m 与之间的解析映射，则下列各命题等价： ( 1 ) g 是l 舟e d h o | m 算子 ( 2 ) q 是可逆算子 ( 3 ) q 是酉算子 ( 4 ) p 是可逆的 定理3 设m = d 酝( r 0 = = h + 一k m ， 故可以令 m = ( 厶州硬) 如 记l * ( m ) 为m 上所有有界可测函数构成的空间，妒l 一( m ) ，则显然 有妒。= 妒尸d o , + 御。d o a ；i m ) 定义 ，。( ) 上的t o e p l i t z 算子为 昂u = 尸) = ( 厶伽 露) 出( v u 性1 。( m ) ) 1 妒称为咒的符号 定理6 设m = dd 。( o o ，存在紧集kc m 使得 则已是紧的 定理1 4 设m 是c 中由单位圆盘去掉有限个互不相交的闭圆盘得到 的开r i e m a n n 面对任意1 p c ( 聊，如果是f r e d h o m 算子，则有 i n d t w = 一d e g r e e ( 妒m ，0 ) 其中d e g r e e ( m ，o ) 表示妒相对于0 的拓扑度 定理1 5 设m 同定理1 1 ，a u t ( j ( m ) ) 是，( 吖) 的自同构群则对任意n e a u t ( j ( m ) ) 、存在一h o m e o ( o m ) ，使得对任意 d m 有d e g m ( a ， ) ，且 f a f 一1 = c 0 其中i t j ( m ) k ( m ) ，a ( m ) = 陋( t ) ，咖( = ) = 。 d e g r e e ( 蜘，a ) ( ) 反之，如果一h o m e o ( o m ) 满足对任意 o m 有d e g r e e ( a