（基础数学专业论文）广义orlicz空间的一致凸性.pdf

广义o r l i c z 空间的一致凸性摘要 摘要 b a n a c h 空间的几何性质是空间理论的重要研究内容，而空间的一致凸性是最重 要的几何性质之一本文的主要结果是：讨论了一函数的一致凸性的刻划；对一般 b a n a c h 空间的一致凸的等价性( 1 6 种) 给出了证明；修正了陈述涛关于m u s i e l a k o r l i c z 空间一致凸充要条件的有关定理；本文最主要的工作在于通过完善关于o r l i c z 范数和 重排函数的一些引理，首先获得了严格凸性在赋o r l i c z 范数的o r l i c z - l o r e n t z 空间中的 刻划，在此基础上获得了一致凸性的刻划，证明了- y = o 。时赋o r l i c z 范数的o r l i c z - l o r e n t z 空间的一致凸的充要条件是：( 1 ) 妒a 2 ；( 2 ) i p 一致凸；( 3 如( t ) 正则 本文共分为四章： 第一章，- 函数的一致凸性：由于n 函数的一致凸性与它所成的o r l i c z 函数的 一致凸性关系十分密切，我们首先研究n 函数的一致凸性本文主要对较小变量的 一致凸性展开研究，给出- 函数的一致凸的充要条件，证明了严格凸和一致凸之间 的关系，并且给出一个一致凸的简易判别法 第二章，关于b a n a c h 空间中的一致凸性的等价条件；证明了b a n a c h 空间一致凸 的1 6 个等价命题 第三章，m u s i e l a k - o r l i c z 空间的一致凸性：对于赋l u x e m b u r g 范数的m u s i e l a k - o r l i c z 空间的一致凸性，陈述涛给出了证明，但是其第二个引理的结论有误，本文将 更正这个错误( 使得引理的条件变弱) ，并且修正主要定理的证明 第四章，赋o r l i c z 范数的o r l i c z - l o r e n t z 空间的一致凸性：k a m i n s k a 证明了赋 广义o r l i e z 空间的一致凸性摘要 l u x e m b u r g 范数的o r l i c z l o r e n t z 空间致凸性的等价条件吴从火斤，任丽伟在 1 9 9 9 年为o r l i c z - l o r e n t z 空间提供了赋o r l i c z 范数的一个基本框架，并给出了- y 0 ，m ( o ) = o ，掰( 乱) o ；( 3 ) 溉掣= o u 期掣= + 。o 已经证明m ( u ) 为函数( o r l i c z 函数) 的充要条件为：存在定义在 0 ，+ 。o ) 的函 数p ( u ) ，使得m ( u ) = 月训p ( t ) d t ，这里p ( t ) 是m ( u ) 的右导数，满足： ( 1 ) p ( t ) 右连续， 不减；( 2 ) p ( t ) 0 ，对任意t o ；( 3 ) p ( o ) = o ，1 1 i mp ( t ) = + 。o 设m ( u ) 为一函数，p ( t ) 是m ( 牡) 的右导数，口( s ) 是p ( ) 的右反函数，则称 广义o r l i c z 空间的一致凸性引言 一函数( t ，) = 名叫q ( s ) g s 为g ( u ) 的余函数我们总用m ( u ) ，l v ( v ) 表示一对互余的 一函数，m ( u ) 称为对较大变量( 分别地，较小变量) 满足2 条件：如果存在u o 和 k 1 ，使得当t u o 时( 分别地，u u o 时) ，有m ( 2 u ) k m ( u ) m ( u ) 称为对一切 变量满足2 条件：如果存在k 1 ，使得对一切让0 ，有m ( 2 u ) sk m ( u ) m 满足这 三种2 条件中的任何一种都记为m a 2 如果它的余函数n a 2 ，则称m v 2 以g 表示欧式空间中有界正测度闭集，p m ( u ) 表示u ( t ) 关于m ( u ) 的模，即 腑( u ) = 尼m ( u ( t ) ) d t 则o r l i c z 空间l m 及它的子空间e m 定义如下： l m = = | u ：了入 0 ，p 时( a u ) 0 ，p m ( a u ) 0 ：肋( 妥) 1 ) ， 易得l 勋垒( l m ，j j i l o ) ，l m 垒( l m ，”1 1 ) 为b a n a c h 空间，称为o r l i c z 空间，其中称”旷 为o r l i c z 范数，| i i i 为l u x e m b u r g 范数设 旷= 矿( u ) = i n f k 0 ：p 2 v ( p ( k c l u l ) ) ) 1 ) ， k + + = 尼+ ( 让) = s u p k 0 ：p n ( 忌( 1 乱1 ) ) ) s1 ) ， 对任意缸l m ，t 0 ，有k k ”，令k ( u ) = k m ( u ) = 【k 。，k “】0 ，在 1 】中已证得 七k ( u ) 0 ) 的充要条件为i l u l l 。= 【1 + j 9 m ( 鬼u ) 】 1 9 8 2 年a k a m i n s k a 1 】研究了o r l i c z 空间的一致凸性，证明了赋o r l i e z 和l u x - e m b u r g 范数的o r l i c z 空间一致凸的等价条件，由此导致了关于o r l i c z 空间的大量研究 【2 】 3 】 4 】【5 】，从而也推动了o r n c z 空间应用的发展【6 】 7 【8 】赋l u x e m b u r g 范数的m u s i e l a k - o r l i c z 空间的一致凸性最早由h h u d z i k 9 1 0 给出刻划，吴从析等四人书【7 】给了更 完美的形式 1 9 9 1 年，a k a m i n s k a 1 6 研究了o r l i c z - l o r e n t z 空间的一致凸性，从此 o r l i c z - l o r e n t z 空间的几何性质的研究成果层出不穷( 见【1 2 1 1 3 1 1 4 1 5 ) 早在9 0 年代初期，a k a m i n s k a 得到了赋l u x e m b u r g 范数的o r l i c z - l o r e n t z 空间 的严凸性和一致凸性的刻划【1 6 1 7 1 8 而吴从新，任丽伟在1 9 9 9 年的论文 1 9 】开辟 2 广义o r l i c z 空闯的一致凸性 引言 了另一种范数一o r l i c z 范数下的o r l i c z l o r e n t z 空间的研究框架，定义了o r l i c z 范 数为： i 。= s u p 层，+ ( t ) 矿( t ) w ( t ) d t ， 并给出了7 0 ，u o 0 ，存在6 0 使得对任意牡，口r ，满足l 缸一彭 e m a x ( i 札l ，) e 蛳，总有 m ( 丁u + v ) 鲫卅掣， 则称m 为较大变量上的一致凸( u n i f o r m l yc o n v e x ) 函数 ( 2 ) 若对任意的e 0 ，u o 0 ，存在6 0 使得对任意u ，口r ，满足川u o ，m u o ， i u 一训m a x j 让l ，川) ，总有 m ( 半) 卯卅掣， 则称m 为较小变量上的一致凸函数 ( 3 ) 类似地定义一切变量上的一致凸性 关于对较大变量的一致凸已有很多讨论，显示了它在o r l i c z 函数空间中十分广泛 和重要的作用较小变量的一致凸性主要用于o r l i c z 序列空间本文借用已知成果， 对较小变量的一致凸性展开研究 4 广义o r l i c z 空间的一致凸性一肛函数的一致凸性 定理1 3m 为对较小变量一致凸函数的充要条件为：对任意 0 和任给区间 【口，6 】c ( 0 ，1 ) ，存在6 0 ，使得对任意口陋，6 j ，u ，u r 且满足f t isu o ，msu o 且 i u 一口i m a x l u i ，川) ，总有 m ( a u + ( 1 一a ) 御) ( 1 一占) f a j 订( n ) + ( 1 一a ) m ( u ) 1 证明：充分性取q = 即得 必要性对任意 0 ，a 陋，6 】c ( 0 ，1 ) ，取c 0 满足0 a c 0 ，使得 m ( 口t 上+ ( 1 一q ) t i j = m ( 半) s ( 1 “) 坐4 尝盟 ；1 百- - 一6 瞰( ( 口一c ) 牡+ ( 1 一a + c ) 移) + 肠( ( 8 + c ) 宅+ ( 1 一q c ) 叫 1 x t 二【( a c ) m ( u ) + ( 1 一口+ c ) m ( v ) + ( q + c ) 且彳( u ) + ( 1 一a c ) i 彳扣) 1 = ( 1 一) 陋 彳( t ) + ( 1 一a ) m ( v ) 1 取6 = 占，命题成立，证毕 由于函数是偶的，我们只对变量是正的情形讨论 定理1 4 设m 是一个函数，则下列命题等价： ( 1 ) 对任意a 0 且n 1 ，存在6 ( 口) 0 和u 1 0 ，使得对于任意o a ，让i o ，u 1 】 总 有m ( 芈) ( 1 一占( 口) ) 丝掣； 5 广义o r l i c z 空阎的一致凸性 一d 以函数的一致凸性 ( 2 ) 对任意o ( 0 ，1 ) ，存在6 ( o ) 0 和u 0 0 ，使得对于任意u 【0 ，如】，总有 船( 学) s ( 卜6 ( n ) ) 巡掣； ( 3 ) m 在【0 ，u 0 】上一致凸，即任意e 0 ，存在6 ( 5 ) 0 ，使得当l u u i2 m a x u ，”) ， 总有m ( 字) ( 1 6 ( ) ) 型学； ( 4 ) 对于任意给定的卢【o ，u o ) 和b u o ，则对任意e 0 ，存在j 0 ，当m a x u ，口) b ，0 m i n u ，v ) p ，l t 一口i e m a x u ，u ) ，总有m ( 垒笋) s ( 1 6 ( ) ) 丝垒垒手丝垃； ( 5 ) 对任意m + ，m 2 ，p f 0 ，如) ，b u o ， 0 ，存在占 0 ，当m a x u j ：1 j m ) 6 ，0 m i n u j ：l j m ) p ，m a x | 蛳一叼i 1s ，j m ) 之e m a x 聊：1 j m ) ，总有m ( 去坳) ( 1 6 ( e ) ) 去m ( u j ) 证明：( 1 ) 冷( 2 ) ，显然成立 ( 2 ) 号( 1 ) 对任意a 0 ，若a ( 0 ，1 ) ，已知 若口= l ，m ( 丁u q - u ) = m ( t 工) 1 ，则云1 0 满足掰( 字) ( 1 一d 型学，即m ( 下z - - a u ) ( 1 一型业笋燮 ( 2 ) 寺( 3 ) 对任意 0 ，不妨设t 钉且乱，u 【o ，u o ，对任意u ，设= ( 1 一e ) 缸， 则( 1 一) ( o ，1 ) 由( 2 ) 知，存在6 ( ) 0 使得m ( 挚) ( 1 一巧( e ) ) 驾生字世， 于是对任意t ，满足0s 钉札，则缸一t ，缸一砘= 讹= 1 t i a , x u ，u ) 考虑函数 ，( 移) = 勉( 半) m ( _ u j + 广m 一( v ) ，在f o ，( 1 一) 翻上递增，故s u p，( 口) ：烈l 一) 缸) ：l 一6 ( ) ， o s s 【l - e ) u 所以 掰( 字) s ( 1 一鼯) ) 芈 ( 3 ) 净( 4 ) 对任意e 0 ，根据 i s ，u 的取值分以下两种情况考虑： 6 广义o r l i c z 空间的一致凸性 一函数的一致凸性 若0 u ，usu o ，则由( 3 ) 知，存在6 1 0 ，使得m ( 字) ( 1 5 1 ( ) ) 型掣 若0sm i n u ，幻) 卢 蛳，u o m a x u ，口) b 且i 一v i m a x i t ，u ) 因为m 在 【p ，u o 】中一致凸，从而严格凸，故m 在慨u o 】上非线性，所以在慨6 】上也非线性，从而 有m ( 半) 2 成立时，则它对m 一1 也一定成立，这是证明中的 7 广义o r l i c z 空问的一致凸性 一函数的一致凸性 m - 1m - - 1 m 一1 “向后”部分由于击呦= 土 1 吻+ 击e 嘶】，则 ，= l，= 上，= l m ( 击割= m ( 去隆+ 击割) 鲫叫圳塾掣童割 鲫叫啪掣+ 去“熹剡 所以 等m ( 熹喜郇( - 俐嚎m - - 1 毗) ， mm l _ m _ 。 即 m ( 熹喜绑”非) ) 熹喜咐 综上所述得： m ( 去萎) ( 1 - 5 ( e ) 鬲1 - m ( 呦) ( 5 ) ( 4 ) 在( 5 ) 中取m = 2 即得，证毕 定理1 5 若m 是严格凸函数，那么m 在任何不含0 的有界闭区间上一致凸 证明：对于任何e 0 及不含0 的有界闭区间j ，由于m ( u ) 在j 上严格凸，故函数 在紧集 ( t 上，口) ：i u t 7 i m a x u ，u ) ；u ，u ，) 上的最大值小于1 ，设为1 5 ，所以m ( - v - 笋) ( 1 6 ) 型掣，证毕 定理1 6 若m 是严格凸的函数，且在 0 ，u o 】上一致凸，那么它在任何区间 o ，u 1 】 上也一致凸 8 广义o r l i c z 空间的一致凸性 一函数的一致凸性 证明： ( 1 ) 看u 1 u o ，显然成立 ( 2 ) 若t l u o ，则对任意 0 ，讨论以下两种情况： 若t ，” 0 ，当i u 一可i t ；m a x i t ，u ) 时，有m ( 半) ( 1 5 1 ) m f _ u ) + 厂m 一( v ) 若m a x u ，秒) u o ，则，( 让，t ，) = m ( 警) 型掣 0 ， 使得，( 乱，u ) 1 一而，即 m ( 警) ( 卜而) 巡学绁 令6 = r a i n 5 1 ，如) ，则对任意让，t j 【0 ，u 1 】，总有m ( 半) ( 1 6 ) 趔掣，即m 在 0 ，u 1 】上也一致凸，证毕。 对于- 函数我们给出一个一致凸的简易判别法 定理1 7 设m 是- 函数，如果对每个给定的e 0 ，存在k 1 ，使得p ( ( 1 + ) t ) k p ( t ) ( 0st t o ) ，那么m 是对较小变量的一致凸函数，对一切变量的一致凸性也有 相应的结果 证明：对于给定的e ( 0 ，1 ) ，取k 1 ，使得 p ( ( 1 + ) t ) k p ( t ) ( 0 t t o ) 任取u ，u 满足l u t ，i e m a x l u t ，l v l ) ，不失一般性，设札一口u 刮 0 ，记 妒( t ) = m ( u ) + m ( t ) 一2 m ( 孚) ( 0 t t o ) ， 由于几乎处处有 妒7 ( t ) = m ( t ) 一m ( 孚) 0 ( 0 tst 1 ) ， 故妒( t ) 在【o ，翻上非增，因而 妒( ) m ( 牡) + m ( ( 】一) 珏) 一2 m ( ( 1 一三) 钍) = 也，n 蔗2 m 绯，出 9 广义o r l i c z 空问的一致凸性 一函数的一致凸性 = l 厂( 1 u - 囟。) 一p ( t 一主u ) 】d t e 2 ) u = 囟( ) 一p ( t 一丢u ) 】出 二 ) 一p ( t 一丢) t ) 】d t j o - e 2 ) u 二 j (1一壶功()出cl-。2)u n ( 1 一玄) 阻( t ) 一( 1 一量) m ( u ) 】 i ( 1 一素) 阻( 乱) + m ( u ) 】 移项得 m ( 半) 1 1 一i ( 1 一去) 】( m ( 乱) + m ( t ，) ) ， 即m ( u ) 为一致凸，证毕 1 0 广义o r l i c z 空间的一致凸性=关于b a n a c h 空阅中的一致凸性的等价条件 第二章关于b a n a c h 空间中的一致凸性的等价条件 关于b a n a c h 空问的一致凸性有许多其它定义法，所以归纳和证明其等价性是一个 很有意义的问题 m e g g i n s o n 2 0 】证明了如下完美的序列型的等价命题： 命题2 1 设x 是b a n a c h 空间，则下列条件等价： ( 1 ) x 为一致凸的，即任意e ( 0 ，2 】，存在6 = 占( e ) 0 ，当z ，可s ( x ) 和忙一训e 时，有i j i v x _ 9 2 j l i 1 艿； ( 2 ) 对任何 茁n ) ， 骱) cs ( ，l l z n + 鲰l l _ 2 可推出1 1 一骱j i o ； ( 3 ) 对任何 z 住) ， ) cb ( x ) ，j j 。n + 强l i _ 2 可推出i l z 珏一鲰l j 一0 ； ( 4 ) 对任何 z n ) ， 鲰) cx ，i l $ n i l 一1 ，l l l l _ 1 及i i + l i 一2 可推出l i z n 一0 _ 0 为证一组等价定理，我们先给出二条引理 引理2 2 设x 为大于1 维的赋范空间，若z ，y b ( x ) ，则存在z 】，y l s ( x ) ，满足 t , 1 一y l = z y ，且i l 茁1 + y 1 1 l 1 1 z + 可1 1 证明；设毛可b ( x ) ，但z ，ygs ( x ) ，因为 m = l l x 十t ( x + y ) l l ，i 旧+ t ( x + y ) l l 是t 的连续函数，存在t o 0 使它的值等于1 ，不妨设 知= + t o ( x + y ) s ( x ) ，y o = 耖+ t o ( x + y ) b ( x ) ， 则x o y o = z y ，j z o + 3 oj l 芝ij z + y i i ，所以i ! z o + 3 0 l i = j j z + 爹j j f 2 0 】证明了“若 2 ：0 s ( x ) ，y o b ( x ) ，则存在z 1 ，y l s ( x ) ，使得2 1 一y l = x o y o 且忙1 + y l l l 9 黝+ 铷j | ”，从而得证 引理2 ，3 设x 为大子一维的赋范空间，若x o ，y o s ( x ) ，”黝珈= d ，则对任何 【0 ，卅，存在x l ，讥s ( x ) ，使得忙1 一y 1 | | = e ，且忙l + 可1 i | 1 1 2 0 + y o l l 1 1 广义o r l i c z 空间的一致凸性 二 关于b a n a c h 空闯中的一致凸性的等价条件 证明：当e = 0 时结论显然成立，当s = q 时由引理2 2 知结论成立 设0 e 时，l l 字i | 1 - 6 ； ( 6 ) 任意e ( 0 ，2 】，存在5 = 6 ( ) 0 ，当z ，y s ( x ) 和i i z - v l l = 时，l i 兰笋i l 1 6 ； ( 7 ) 任意( o ，2 】，存在占= 6 ( ) 0 ，当z ，y b ( x ) 和i i x - y l i 时，l i 字i ls1 - 6 ； ( 8 ) 任意( 0 ，2 ) ，存在6 = 6 ( e ) 0 ，当z ，y b ( x ) 和i i z - v l l 时，i i 兰挚i is1 - 6 ； ( 9 ) 任意( 0 ，2 】，存在占= 6 ( e ) 0 ，当z ，y b ( x ) 和l i z - y l i = e 时，i i 警i i 1 - - 6 ； ( 1 0 ) 任意( 0 ，2 】，存在6 = 6 ( e ) 0 ，当z ，可x 和忙一训m 缸刊z i v l l 时， i l 出2 ( 1 6 ) m a x l l x l l ，i l y l l ) ； ( 1 1 ) 任意( 0 ，2 ) ，存在6 = 6 ( e ) 0 ，当z ，可x 和i i x 一训 e m a x l l x l l ， 】时， i l 兰笋| i ( 1 6 ) m a x l l x l l ，l l y l l ) ； ( 1 2 ) 任意e ( 0 ，2 】，存在6 = 6 ( e ) 0 ，当z ，y x 和i i x y l l = m a x 删圳，i l y l i 时， i i 一2 一i ( 1 一占) m a x l l x l l ，l l y l l ) ； ( 1 3 ) 任意( o ，2 】，存在6 0 ，当z ，可x 和i i x 一圳e ma x l l x l l ，i i y l l 时， f l z - - i - 秒l l ( 1 6 ) ( i i z i | - t - l i v l l ) 或者z 0 一1 1 3 , 1 1 i 沁a x l l = l l ，l i v l l ； ( 1 4 ) 任意e ( o ，2 ) ，存在6 0 ，当z ，可x 和忙一圳 e m a x 删z i , 1 1 ) 时， i i x - i - y 0 ( 1 6 ) ( i i z i i - - i - i l y l l ) 或者z l i i l 可6 m a x l l z l l ，l i v l l ； ( 1 5 ) 任意e ( o ，2 】，存在6 0 ，当z ，y x 和i i x y l l = m a x 删z i 可1 1 时， l i x - - i - y i i ( 1 6 ) ( 1 1 = 1 l4 - l i 引i ) 或者z l i 1 1 3 , 1 1 i 占m a x i l z ml l y l i ； ( 1 6 ) 任意e ( 0 ，2 】，存在6 0 ，当z ，y x 和i l y l l m a x 删z4 - 训，i i x y l l 时， 1 2 广义o r l i c z 空问的一致凸性 二 关于b a n a c h 空问中的一致凸性的等价条件 0 z | l ( 1 6 ) ( i i 茁+ v l l + 1 1 2 一钞1 1 ) 证明：( 1 ) 净( 5 ) ，显然成立 ( 5 ) 寺( 1 ) ，任意( 0 ，2 】，设z ，可s ( x ) 且忙一圳，由( 5 ) ，存在6 = 6 ( ) 0 ，当 z ，y s ( x ) 和忙一y i l 时，有i f 兰垃2 “1 - 6 , 从而因 l = - y l l e ，故i f 兰笋| f 1 - l ( 1 ) 号( 6 ) ，显然成立 ( 6 ) 兮( 1 ) ，任意5 ( 0 ，2 1 ，设z ，y s ( x ) 且忙l i ，由引理2 3 ，存在 x l ，y l s ( x ) ，使得i i z l 一y l l i = e ，且忙l + 可10 忙+ 训，由( 6 ) ，存在6 = 6 ( ) 0 ，当 z ，y s ( x ) 和忙一圳= 时，有i l 警l l 1 一最从而i i 字l l l i 丑笋i | 1 一石 ( 7 ) 冷( 1 ) ，显然成立 ( 1 ) 兮( 7 ) ，任意e ( 0 ，2 】，设z ，y b ( x ) 且l i z y i i ，由引理2 2 ，存在 z 1 ，y l s ( x ) ，使得z 1 一y l = z y ，且l i z l + y l i i j i x + 可i i ，由( 1 ) ，存在6 = 占( ) 0 ，当 t 1 ，y z s ( x ) 和忙1 一m l i 时，有l i 星铲i | l 一6 ，从而z ，y b ) 及陋一圳 时，有l l 兰= 笋l i f l 垒专姐i i 1 6 容易证明( 7 ) 兮( 8 ) 兮( 5 ) ，( 7 ) 净( 9 ) 净( 6 ) ，( 7 ) 母( 1 0 ) 兮( 1 ) ，( 9 ) 净( 1 1 ) ( 5 ) ， ( 9 ) 号( 1 2 ) 净( 6 ) 下面证明( 3 ) 辛( 1 3 ) ，若不成立，则存在e 0 ，茁n ，x 使得 0 z n 一鲰i i m a x i i z 。i | ，l i 剪- i i ， i i z n + ! h0 ( 1 一l 扎) ( i i z n 0 + i l ! h f i ) ， 且 n | | 一f i 鼽川 0 ，于是嚣，畿b 僻) ，i i 嚣一畿i l 0 ，且容易计 算( 不妨设i l z n l i = a n ) ”乏+ 釉= 峻 ! ! 二逊剑蚓【2 ! ! 二i 狸塑二i 竺2 2 q n _ 2 1 3 广义o r l i c z 空间的一致凸性 二 关于b a n a c h 空闯中的一致凸性的等价条件 这与( 3 ) 相悖 ( 1 3 ) 净( 1 6 ) ，在( 1 6 ) 中令z = z + y ，y = z 一分即得 易证( 1 3 ) 辛( 1 ) 和( 1 3 ) 穹( 1 4 ) 号( 5 ) ，( 1 3 ) 号( 1 5 ) j ( 6 ) ，证毕 1 4 广义o r l i e z 空间的一致凸性 三 m u s i e l a k o r l i c z 空间的一致凸性 第三章m u s i e l a k - o r l i c z 空间的一致凸性 赋l u x e m b u r g 范数的m u s i e l a k o r l i c z 空间的一致凸性最早由h h u d z 汰 9 j 【1 0 1 给出刻 划，吴从二l l ( 千等四人书【2 1 】给了更完美的形式，但没有对主要部分进行证明，陈述涛 【2 2 】重新给出了证明然而其第二个引理的结论有误，本文将更正这个错误( 使引理的 条件变弱) ，并且修正主要定理的证明 定义3 1 设( ，p ) 是一个无原子测度空间，m ( t ，缸) 为定义在txr 上的函数， m ：t 【o ，+ o 。) 一【o ，+ o 。) 满足， ( 奉) 任意t t ，m ( t ，o ) = 0 ；。熙m ( t ，u ) = + o 。，且对某个 0 有m ( t ，) 0 ，p m ( a z ) 0 ：p m ( 妥) 1 ) ， 它是一个b a n a c h 空间 函数m ( t ，u ) 满足条件t 存在k 1 和t 上的非负可测函数6 ( t ) ，使得矗m ( t ，5 ( t ) ) d t _ e m a x ( ? 2 ，廿) ，m ( t ，字) ( 1 一c ) 丝卫生譬必) ， 令足，。= s u p ? 2 一t ，：( u ，口) e t 若可测函数列 乱( t ) ，( t ) ) 雇1 满足 1 5 广义o r l i e z 空间的一致凸性三 m u s i e l a k - o r l i c z 空闯的一致凸性 ( 1 ) i u ( t ) 一可( t ) i 只，c ( f ) ，t t ( 2 ) ( ”( ) 则我们有； l u ( t ) 一( t ) i m a x 乱( t ) ，嚷( t ) ) 和 m ( t ，掣) ( 1 一c ) 巡丝骘必 证明：在f 0 ，+ o o ) 上选一对稠密集( 吒 ， ，任意七，令条件( 木) 为 i 吒一i m a x r ：，) ，m ( t ，尘笋) ( 1 一c ) 丝塑盟掣， 并且令 以( t ) ) = 臀哟巍 再令( 乱i ( t ) ，嵋( t ) ) = ( r i ( t ) ，鸭( t ) ) ， ( 嚷m m “蝴= 套龆魏 ”巍 卜“l l 噍o j ，叫烈d l 则i ( t ) 一( t ) l b ，c ( t ) ，t t ，只要验证k , o o l i m 。l 札( t ) 一( t ) i r ，c ( t ) ，这是因 为，对于给定的t ，若足，。( ) = o ，则对一切七，j ( ) 一喽蚓= o ；若 最，c ( t ) 0 ，那么存在( 让知，) ，使得l 让知一i 只，。( t ) 且i t 七一i m 觚 u 知，魄 ， 掰( ，兰生掣) ( 1 c ) 型丝鸣必对于每个露，由于m ( ，) 在ne ( t ) ) 上连续 以及【r ) ， r z 】稠密，存在充分接近( u 七，) 的点( r 乞，屹) 【( r ：，z ) ) 使得 i 噍一屹l27 钕一i ，f 屹一嘿 m a ) 【 吃，磁 且 m ( 南华) ( 1 - c ) 坐掣掣型， 于是由 u ( t ) ，( t ) ) 篷1 的定义，当n 时有 f ( 0 一( ) 2i 屹一吃f j 蛾一铅如 因而 恕l u g ( t ) 一( t ) l 最，c ( t ) 注；结论“i u ( t ) 一峨( t ) i e m a x u ( t ) ，嚯( ) )