（天体物理专业论文）天体物理吸积盘问题的研究.pdf

摘要 两百多年前，天文科学家就开始了对吸积盘的讨论，吸积盘被认为在宇宙中 广泛存在着，但直至最近，这一推断才被观测所证实。吸积盘的研究是天体物理 中的重要问题，本文将从两个方面探讨关于吸积盘的问题，第一个问题是利用反 常粘滞研究薄吸积盘的垂向结构，第二个是吸积盘中波的传播如何转移角动量的 问题。 天体物理吸积盘是具有反常粘滞的流体盘，盘内物质的粘性比通常分子粘性 高许多个数量级。我们利用磁吸积盘一种全新的反常粘滞结果( l i z h a n g 2 0 0 2 ) ，研究了黑洞周围薄吸积盘的静态垂向结构。数值模拟得到了垂向结构上 压力、温度、径向能流和物质密度在不同粘滞数值下的分布，与吸积盘标准模型 ( 口模型) 得到的结果相符合，这说明了l i 和z h a n g 的磁塌缩机制引起的反常粘 滞的有效性。 吸积盘中波的激发和传播能够转移角动量，二维的情况早在1 9 7 9 年 g o l d r e i c h 和t r e m a i n e 和1 9 8 6 年w a r d 的经典文章中讨论过，在这里我们把它 推广到三维的情况。我们运用t a n a k a ，t a k e u c h i 和w a r d 在2 0 0 2 年得到的三维盘 的方程，通过利用傅立叶一厄米( f o u r i e r h e r m i t e ) 展开，得到个二阶的常微 分方程，然后利用g o l d r e i c h 和t r e m a i n e 的经典方法，我们得到了波在林德布 拉德共振区激发的情况和角动量的传输率，把结果退化n - 维的情况，发现结果 与二维的结果是一致的。 关键词：吸积盘、反常粘滞、垂向结构、流体力学、波 a bs t r a c t s i n c ea b o u t2 0 0y e a r sa g o ，a s t r o p h y s i c i s t sh a v es t u d i e dt h ea c c r e t i o nd i s k si nt h e u n i v e r s e ，t h e yt h o u g h tt h a td i s k sa r eu b i q u i t o u si na s t r o p h y s i c s u n t i lr e c e n t l y , t h i s d e d u c t i o nw a st e s t i f i e db yt h eo b s e r v a t i o n s t h es t u d yo na c c r e t i o nd i s k si sv e r y i m p o r t a n ti na s t r o p h y s i c s i nt h i st h e s i s ，w ew i l ld i s c u s st w op r o b l e m so na c c r e t i o n d i s k s o n ei su s i n ga n o m a l o u sv i s c o s i t yt od i s c u s st h es t a t i o n a r yv e r t i c a ls t r u c t u r eo fa t h i nd i s ka r o u n dab l a c kh o l e ，t h eo t h e ri st h ew a v ee x c i t a t i o ni nad i s kb ye x t e r n a l p o t e n t i a l i ti sw e l lk n o w nt h a tt h ea s t r o p h y s i c a la c c r e t i o nd i s k sa r eh y d r o d y n a m i cd i s k s w i t ha n o m a l o u sv i s c o s i t y , t h ev i s c o s i t yo fm a t t e ri nd i s k sr e s u l t si naf a c t o ro fm o r e a m p l i f i c a t i o nt ot h em i c r o s c o p i cv i s c o s i t y u s i n gt h ea n o m a l o u sv i s c o s i t y ( l i & z h a n g 2 0 0 2 ) ，w ed i s c u s st h es t a t i o n a r yv e r t i c a ls t r u c t u r eo fat h i nd i s ka r o u n dab l a c kh o l e t h e s e s t a t i o n a r y v e r t i c a l s t r u c t u r e s ，i n c l u d i n g d i s t r i b u t i o n so ft h e p r e s s u r e ， t e m p e r a t u r e ，r a d i a t i v ee n e r g yf l u x ，m a s sd e n s i t ya n dr a d i a lv e l o c i t i e sa l ee x a m i n e d i t i ss h o w nt h a tt h ec o n s i d e r a t i o no fa n o m a l o u sv i s c o s i t yi sn e c e s s a r ya n dt h er e s u l ti s w e l lc o n f o r m e dw i t ht h e 口s t a n d a r d p r e s c r i p t i o n i t a l s o p r o v e dt h a t t h e a n o m a l o u sv i s c o s i t yi sv a l i d t h ee x c i t a t i o no fw a v e si nd i s k sb ya ne x t e r n a lp o t e n t i a lc a nt r a n s l a t ea n g u l a r m o m e n t u m g o l d r e i c ha n dt r e m a i n ei n1 9 7 9a n dw a r di n1 9 8 6s t u d i e dd e n s i t yw a v e e x c i t a t i o nb ya ne x t e r n a lp o t e n t i a li na2 dd i s k i nt h i sp a p e r , w ew i l ls t u d yt h ew a v e e x c i t a t i o ni na3 dd i s kb ye x t e r n a lp o t e n t i a l s ，b a s e do nt h ef o r m a l i s md e v e l o p e d r e c e n t l yb yt a n a k a ，t a k e u c h ia n dw a r di n2 0 0 2 b yt a k i n ga d v a n t a g eo ff o u f i e r - h e r m i t ee x p a n s i o n ，as e c o n d - o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o nf o rad i s t i n c tm o d ei sa t t a i n e d t h e n ，f o l l o w i n gt h es t a n d a r dt e c h n i q u eu s e db yg o l d r e i c ha n dt r e m a i n ei n1 9 7 9 ，t h e s i m p l i f i e de q u a t i o n sa r es o l v e da n da n a l y t i ce x p r e s s i o n sf o rt h ew a v e se x c i t e da t v a r i o u sl o c a t i o n sa n da s s o c i a t e da u g u l a rm o m e n t u mg a n s f e rr a t ea r em a n i f e s t e d i ti s n o t e dt h a tw h e nw ed r a wi tb a c kt o2 dc o n d i t i o n s ，o u rr e s u l ti st h es a r f l ea st h a tf o rt h e 2 d n o n s e l f - g r a v i t a t i n gc a s e 1 1 k e y w o r d s ：a c c r e t i o nd i s k s ，a n o m a l o u sv i s c o s i t y , v e r t i c a l s t r u c t u r e ， h y d r o d y n a m i c s ，w a v e i i i 学位论文独创性声明 y 9 8 0 3 8 l 本人郑重声明： 1 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究 成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构 已经发表或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示 了谢意。 作者签名：塑亟! ! 日 期：盈蟹：点：! 兰 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆被查阅：有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在 解密后适用本规定。 作者签名： 煎亟鱼 日期：塑! - ：堕 天体物理中吸积盘问题的研究 1 厶j l - 一 日u舌 两百多年前，天文科学家就开始了对吸积盘的讨论，宇宙中许多活动天体， 包括年轻恒星、类星体x 射线源、灾变变星和活动星系核，它们都吸积外围物质， 形成一种绕中心天体旋转的盘结构。 天文学家们通常认为大多数吸积盘可能是一种薄盘，所谓几何薄就是任一处 盘的半厚度h ( r ) = 2 h ( r ) 与从该处至中心轴的垂直距离一矢径r 之比很小，即有 h f r ) r 1 。这样的旋转薄盘处于引力和离心力大致平衡，往往可以看成是一 种开普勒运动。 对于孤立的引力系统，在给定的质量和角动量情况下，容易证明 ( l y n d e n - b e l l p r i n g l e1 9 7 4 ) ：系统的最小能态相应于大部分质量集中于小 尺度的中心体，而大距离上绕转的分子和原子却携带有大部分角动量。因此，在 物质向中心体旋进时，物质不断释放能量进入中心体，同时使角动量向外转移。 物质旋进所释放的引力能有一半变为粒子的轨道动能，另一半则转化为热和辐 射。吸积释放能量的效率是非常高的，约等于吸积物质静质量的6 ，比核聚变 能量转化率高一个量级。如今，吸积盘理论已经广泛地应用于解释密近双星系统、 类星体、活动星系核等天体的高能辐射问题。 但在2 0 世纪7 0 年代，天文物理学家们就意识到，几乎在所有情况下，微观 的粘滞系数所提供的吸积率要比实际所需的吸积率小几个数量级。而如果吸积盘 是湍动的，那么这个有效的粘滞就能提供足够大的吸积率。因为实验表明，湍流 运动的粘滞系数比通常的粘滞系数要大得多。事实上，吸积盘就是湍流盘，这不 是流体力学的结果，而是无处不在的磁场导致的。 天体物理学家还认识到，吸积是由于在开普勒盘的剪切流层有内摩擦所致， 粘滞过程会将吸积物质的引力能转化为内能释放出来，并使角动量向外转移。在 吸积盘吸积过程中，粘滞作用是非常重要的。正因为存在粘滞作用，才使得物体 被吸往中心天体，角动量向外转移。但是由于这种粘滞作用通常是随着湍流而产 天体物理中吸积盘问题的研究 生的，因而具体研究起来非常复杂。1 9 7 3 年s h a k u r a 和s u n y a e v 回避了粘滞过 程的具体研究，引入了一个口参数去描写粘滞，建立了著名的口模型( 又称为吸 积盘标准模型) ( s h a k u r a s u n y a e v1 9 7 3 ) 。矿= c c c , h ，这里 ，粘滞系数，c 。是 声速，是盘的厚度，所以这一模型也被称为口模型。参数口的使用恰恰掩盖了 我们对这种湍流粘滞的无知，y 究竟是温度、密度等物理量的怎样的一种确定的 泛函? 可以说反常粘滞是理解天体物理吸积盘的关键，不知道矿，实际上就无法 确定吸积盘的基态( 未扰态) 的结构( b a l b u s h a w l e y1 9 9 8 ) 。因此天体物理 学家必须认真的研究吸积盘的湍流运动，特别是引起湍流的不稳定性( 李晓卿 2 0 0 2 ) 。 要注意的是，y = 船日是s h a k u r a 和s u n y a e v 提出的假设，而不是从其他理 论推导出来或从实验得出的式子，其正确与否，只能由口模型在天体物理中应用 是否正确来加以检验。事实上口模型在解释许多天文观测现象上起到了很好的作 用，因而o e 模型的建立，有力地推动了吸积盘理论的发展，是具有开创性意义的。 但口模型只是定性的描述粘滞，最近，l i 和z h a n g 利用等离子体动力论分析磁 塌缩不稳定性得到的反常粘滞和反常阻抗是很有意义的( l i z h a n g2 0 0 2 ) 。 t r i m b l e 和a s c h w a n d e n 对此也给予了充分肯定( t r i m b l e a s c h w a n d e n2 0 0 3 ) 。 事实上，最近也有很多文章致力于研究反常粘滞的效果和作用( m a r u t a k a b u r a k i2 0 0 3 ，f r i d m a n2 0 0 3 ，r a y2 0 0 3 ，z h o u l i2 0 0 4 ) 。在z h o u 和l i 的 文章中利用反常粘滞系数研究了年轻恒星周围盘的面密度、温度等物理量的分 布，考虑了反常粘滞，面密度就是半径的递减函数，否则，面密度的分布中会有 一段奇怪的上升曲线。尤其是盘的有效温度随径向方向幂指数递减，如果磁场强 度取某一数值时，递减指数为q = 一1 2 ，其结果符合观测到的辐射流量谱。 在本文中，我们利用磁吸积盘一种全新的反常粘滞结果( l i z h a n g2 0 0 2 ) ， 研究了黑洞周围薄吸积盘的静态垂向结构。数值模拟得到了垂向结构上压力、温 度、径向能流和物质密度在不同粘滞数值下的分布，与吸积盘标准模型( 口模型) 得到的结果相符合，这说明了l i 和z h a n g 的磁塌缩机制引起的反常粘滞的有效 性。 吸积盘中波的产生和传播有利于角动量的转移，增强吸积率。在经典的论文 天体物理中吸积盘问题的研究 中，g o l d r e i c h 和t r e m a i n e ( g o l d r e i c h t r e m a i n e1 9 7 9 ) 研究了二维情况下在 外势影响下波的激发，他们给出了林德布拉德共振区和共转共振区分别在自引力 和非自引力情况下角动量的传输率。此后，他们理论得到广泛的应用和扩展。 m e y e r - v e r n e t 和s i c a r d y ( m e y e r - v e r n e t s i c a r d y1 9 8 7 ) 研究了不同物理情况 下林德布拉德共振区角动量的传输。s h uy u a n 和l i s s a u e r ( s h u y u a n1 9 8 5 ) 研究了非线性的波对共振力矩的影响。已经有很多人研究了外势对三维盘的影 响，l u b o w ( l u b o w1 9 8 1 ) 分析了等温吸积盘垂向共振区中由潮汐力产生的波，指 出了共振区波的转移可以形成自维持的吸积盘的可能性。o g i l i v e ( o g i l v i e2 0 0 2 ) 把l u b o w 的理论推广到了非等温和非线形的情况。l u b o w 和p r i n g l e ( l u b o w p r i n g l e1 9 9 3 ) 研究了吸积盘中三维轴对称波的传输性质。l u b o w 和 o g i l i v e ( l u b o w o g i l v i e1 9 9 8 ) 运用剪切层模型研究了热层盘( t h e r m a l l y s t r a t i f i e dd i s k ) 在林德布拉德共振区波的激发。 虽然已经有了这些研究，但一个简单、统一的理论仍有待发展。我们将要研 究三维的吸积盘在外势影响下波的激发，我们所运用的方程来自最近 t a n a k a ，t a k e u c h i 和w a r d ( t a n a k at a k e u c h i w a r d2 0 0 2 ) 的研究。作为研究的 第一步，我们只考虑线性的情况，利用傅立叶一厄米展开，得到一个二阶的常微 分方程。然后用由g o l d r e i c h 和t r e m a i n e ( g o l d r e i c h t r e m a i n e1 9 7 9 ) 用到的 解方程的方法来解这个二阶的常微分方程。最后，我们得到了波在林德布拉德共 振区激发的情况和角动量的传输率。把结果退化到二维的情况，发现结果与 g o l d r e i c h 和t r e m a i n e ( g o l d r e i c h t r e m a i n e1 9 7 9 ) 得到的结果是一致的，而 且三维的结果应该比二维的结果在天体物理中有着更广泛的应用。 本文第一章主要介绍了吸积盘的基本理论，这是了解吸积盘吸积过程的最基 本的知识。第二章主要介绍了一种全新的反常粘滞，接着主要利用这种全新的反 常粘滞( l i z h a n g2 0 0 2 ) 研究了黑洞周围薄吸积盘的静态垂向结构。数值模拟 得到了垂向结构上压力、温度、径向能流和物质密度在不同粘滞数值下的分布， 与吸积盘标准模型( 口模型) 得到的结果相符合。第三章主要介绍了吸积盘在外势 的影响下波的激发，二维的情况早在1 9 7 9 年g o l d r e i c h 和t r e m a i n e ( g o l d r e i c h t r e m a i n e1 9 7 9 ) 的文章中已经讨论过，在这里我们把它推广到三维的情况，最 后，我们得到了波在林德布拉德共振区激发的情况和角动量的传输率。 天体物理中吸积盘问题的研究 第一章吸积盘的基本理论 1 1 吸积盘吸积的物理过程 考虑一气体星云围绕一中心天体旋转，假设在某一时刻a 、b 两层气体受中 心天体的引力与离心力作用处于平衡状态( 图1 1a ) 。由于粘滞力的影响，b 层气体力图使a 层气体减慢速度，而a 层气体力图使b 层气体加快速度( 图1 1 b ) ，这时a 层气体受到的引力大于离心力，气体有落向中心天体的趋势。而b 层气体受到的引力小于离心力，气体有远离中心天体的趋势( 图1 1c ) 。事实 上大部分气体被吸引落入中心天体( 沿螺旋轨道) ，而很小一部分气体携带着由 内层传递来的角动量，远离中心天体( 图1 1d ) ，由于角动量守恒，内层使外 层加快，即使外层角动量增加。外层使内层减慢，使内层角动量减小。在吸积盘 吸积过程中，大部分物质被吸入中心天体，而角动量被少部分物质携带走，这就 是吸积盘吸积过程中的两个主要物理过程：角动量向外转移和质量向内转移( 杨 兰田刘超1 9 8 6 ) ，下面对这两个物理过程进行理论分析。 oa ) n ) o 。) y 7 f c = f gn j 向内向外 c 曩r j 由 f c f g 、 天体物理中吸积盘问题的研究 首先我们先证明一个定理：对于给定密度分布和总角动量的系统，其最小能 量的运动是均匀旋转( l y n d e n b e l l p r i n g l e1 9 7 4 ) 。 简单证明如下：系统的动能为：r = 丢卜2 y = 毒p 2 西n ，角动量为： h = p ，d m ，转动惯量为：，= r 2 y = j r 2 d m ，根据施瓦西不等式，有 n 2 砌p 2 咖 n 咖 2 = 日2 ，上述等式只有在o c r 时才能成立，于是有 = 咩) r ，这是一种均匀转动。显然r = 丢p 2 锄丢卜，2 咖j 1 了h 2 ，上式中第 二个等式也只有在作均匀旋转情况下才能成立。 从上述情况可以推知，所有处于能量最小的运动状态是均匀旋转运动，我们 通常取转动能量为丢孚，而角速度为旦i 。因此求最小能量问题变为求密度分布 使之为最小值的问题，因为一旦知道p ，从而就求出了j 对于围绕中心天体的轴旋转的吸积盘，其角速度向外递减，而单位质量的角 动量h = r 2 q 是否也向外转移呢( l y n d e n b e l l p r i n g l e1 9 7 4 ) ? 下面我们来讨 论这个问题。 考虑两个质点m 。和m ：所构成的系统，其中任一质点的单位质量的能量为： = i ( v ，2 + v ；) + 吾h 2 r - 2 _ 中( ，z ) = s 。当v ，= v ：= o 及z = o 时，占为最小值( 圆运动) 。 对于给的的r ，最小能量值为：( ) = 1 2 h 2 r2 _ 中( r ，0 ) 。此可以通过解 导( 三 2 ，_ 2 一中( ，。) ) = 。而得到。显然( 矗) = l h 2 - 2 _ _ 垂( 吃，o ) = i 1v 2 一巾，而 。( ) ：堡娑： _ ：q 。现在我们在保持角动量为常数的情况下求出质点系的 d 厅 最低能量。设两质点的角动量分别为j i l l 和h ，则总能量为： e = m l s ( 啊) + m 2 e ( h 2 ) ， 总角动量为：h = m 1 + t n 2 心。 ( 1 1 ) ( 1 2 ) 如果令啊的微分砒。= d h ，则由上式可得m 。d h + m ：c l h ：= 0 即d h 2 = 一堕砌。由 m 2 天体物理中吸积盘问题的研究 ( 1 1 ) 式有 d e = m l ( 啊) d h + m 2 占( ) d 。 ( 1 3 ) 将( 1 3 ) 式代入上式得：扭= 矾砌( 啊) 一占( ) 】2 m 咖咚一参) 啊，即角动量向外转移。 下面我们研究质量转移的问题，已知m = + m 。，即一西= d m 。由( 1 2 ) 式有h = m 1 啊+ m 2 h 2 = h l + 日2 ，即d h l = d ( m l 啊) = 一d ( m 2 ) 。因为 d e = d 【n s ( 啊) + m 2 s ( 吃) 】 = 咖似_ 1 1 1 ) 一争一咖m 7 1 2 卜譬r z 】+ 招。唪一， ( 1 4 ) = 西【( 占( _ 1 1 ) 一啊q 1 ) 一( ( ) 一吃q 2 ) 】+ d h l ( q l q 2 ) - 而且昙( f ( 助一般) = 导( 一j 1v 2 一嘞= 一v ( 害一= n ，昙( o ，即( 1 4 ) 式等 式右端第一项方括号得出得值为负号，又知角动量向外传递，即 d h l 0 ，q l q 2 ，q l - d 2 0 ，所以如果要求d e 0 ，咖 o 说 明质量从m ：传递到，使m 。处质量不断增加。 所以能量是通过角动量的向外转移和质量的向内转移进行释放的。这是吸积 盘最基本的特点。 根据牛顿经典理论，我们考虑一个试验粒子在引力势为垂的大质量物体( 如 恒星，黑洞，星系等等) 周围的轨道运动。我们采用柱坐标( ，砂，z ) ，假设这个 势能是轴对称的：西= 中( r ，z ) ，西( r ，一z ) = 中( r ，z ) ，垂，。( r ，0 ) 0 ，这里下标表示偏微 分。通常我们假定这是质点m 的势能( 或者球对称物体的外势) 为： 中= g m ( r 2 + z 2 ) 。1 ”，这个轨道就是开普勒轨道。这个试验粒子的运动方程就 为：，= 一v 中，这个运动的单位质量能和单位质量角动量为常数，分别为： s = 去v ；+ 中，h = r 2 q ，角动量守恒常常被用来将运动方程化到二维的问题 6 天体物理中吸积盘问题的研究 f = 中，z = 一中等，这里中酊= 零+ 蒡是有效势能。因此= 三( v ，2 + v ：2 ) + 中 假设这个粒子是可以耗散能量的( 例如通过辐射) ，但角动量是守恒的。对 于给定角动量为h 的粒子的最低能量轨道应该是这样一个圆轨道 v r = v ：= o ，z = o ，这里的半径r 应该满足垂哆( ，o ) = 0 。因此o = 中，( r ，o ) 一h 2r 3 和 = 垂( ，o ) + 2 2 r 2 ，这里的f ( r ) 和 ( r ) 是圆轨道在半径r 处的能量和角动量。 注意到这里坐d r = ；h ：d 毋hd 动= 7 h = = q 表示角动量。沿开普勒轨道运行的质 点的势能为： 中酊( r ，o ) = 一g m r + h 2 2 r 2 ，所以可以得到 ：( g m r ) ”，f ：一掣，q ：一g m ) m 。 2 rr 在一个最低能量轨道中够：0 上，取定一个角动量，考虑这个轨道上的一个 小扰动毋，受。运动方程就可近似为茸= 一矿西，如= 一q ：，这里茁( ，) 是q ：( r ) 是 垂直频率，为2 = 中等( r ，o ) ，q ：= 中要( r ，o ) 。 因此茁2 = 垂，( r ，0 ) + 7 3 h 2 = i d ( 7 h 2 ) + 7 3 h 2 = 专警，这也常常被写为 茁2 = 4 q 2 + 2 垃警，所以得到q i = 西，。( r ，o ) 。对于一个质点的势能，我们发现 盯= q ：= q 。这个同约性表明一个圆轨道水平或垂直的振动结果都是一个闭合的 圈，这必是简单的偏心或倾斜的开普勒轨道。 图1 2 圆形开普勒轨道的水平和垂直的扰动。 天体物理中吸积盘问题的研究 1 2 轴对称薄吸积盘模型 天文学家们通常认为大多数吸积盘可能是一种薄盘，薄吸积盘在解释观测资 料方面取得巨大成功，被尊为“标准”盘。其有几点基本假定，首先是盘是几何 薄的，即盘上任意处的垂直向几何厚度h ( r ) 远小于该处到中心天体的距离 r ，h ( r ) r “1 ，但盘是光学厚的，即盘上任意处的垂直向光学厚度7 ( r ) l 。 其次盘在垂直向处于流体静力学平衡状态，但盘绕中心天体旋转，由于引力与惯 性离心力平衡，旋转是开普勒的，即叱。cr _ 1 ”。粘滞造成吸积物质有一很小的向 内移动的速度v ，v ， 。第三，粘滞耗散产生的热是局域平衡的，即热量并 不随吸积物质流向中心，而是沿垂直向转移到盘面并辐射出去。因此，粘滞耗散 的产热率q + 与辐射冷却率q j 相等。最后一点，粘滞应力张量的主要分量是l ， 其值正比于吸积物质流的总压强p ，即乙= 口p ，d 是小于l 的常数。这个比例 关系等价于运动粘滞系数v 可写为： 矿= 织 ，q = p p 为声速。由于常数口 的引入，标准薄盘又称为口盘。 分析表明，描述一个几何薄盘的方程为( 黄克谅2 0 0 5 ) ： = h p 腑= 2 石r z v r 日吲赤) 1 1 2 rc 五s 百4 d r ：一3 g 8 刀m i ，v i “秒2 ， f = _ i f 1 ，= 兰 1 - ( 玉) m 。 j 石r 其中，肪为吸积率，t 为盘的对称面( z = o ) 上的温度，f 为垂直向的光深， 天体物理中吸积盘问题的研究 吸积盘的内半径。对口盘，y = o t c , h ，罗斯兰平均不透明度r 可近似地用k r a m e r s 率：e = 6 6 x 1 0 2 2p 矿”。这样，标准薄盘的各物理量就可写为( 黄克谅2 0 0 5 ) ：5 2 口一5 肪：”( m m 。) 1 4 y - 3 1 4 5 9 c m - 2 ， h ：1 7 l 驴口m 。髓3 1 6 ”( m 蚴”r9 l 。1 8 ，”s c m ， p ：3 1 1 酽a - t r i o m 。1 1 6 l ”( m m 。) 5 8r - i 。1 5 ，8 ，一- “占伽一2 ， l = 1 4 xi 0 4 口“砧3 1 6 1 ”( i i i m 。) “4r 需“f “k ， f = 3 3 a “5 肪：6 5f ”， y = 1 8 x1 0 1 4 口”帕1 3 6 ”( m m 。) ”r1 3 0 4 ，6 7 5 册5 1 v ，= 3 7 x1 0 4 口4 ，5 肪1 3 6 1 0 ( m m 。) 州r l - 0 1 7 4 f 州5c t n s ， 其中， f = 卜( 量) 1 7 2 ，而肪。= 肪( 1 0 1 6 9 s ) 。如果中心天体是恒星，吸 积盘可以到达恒星表面，因此，可取为恒星半径；如果中心天体是黑洞，情 况复杂，在史瓦西黑洞情形，可取为3 5 。 s h a k u r a 和s u n y a e v ( s h a k u r a s u n y a e v1 9 7 3 ) 对标准薄盘的分析还发现， 对固定的m 和肠，盘可以分成三个区域。靠近中心天体的内区，温度较高，辐 射压大于气体压，不透明度以电子散射为主；中部，气体压大于辐射压，不透明 度仍以电子散射为主；外区，气体压大于辐射压，不透明度以自由一自由跃迁为 主。 由于吸积盘是光学厚的，出射辐射近似为黑体辐射( s h e k u r a s u n y a e v1 9 7 3 ， e r a n k & k i n g 1 9 8 5 ) 。因此，辐射流为( 黄克谅2 0 0 5 ) ： = 2 z i c 广o s if 玩( 丁) 砌， 其中，d 为盘到观测者的距离，i 为视线与盘的法线的交角，和分别为盘的 内、外半径。将毋( 丁) 代入后，辐射流为 2 掣。2 d 矿f 面蒜。 “ 2 。 矗e x p 阶矿，丁( r ) 卜1 。 上式中的t ( r ) ，准确地说，应为吸积盘的表面温度。但对几何薄吸积盘，它 9 可用t 代替。将上式代入，就可求出辐射流了。 1 0 天体物理中吸积盘问题的研究 第二章利用反常粘滞研究薄吸积盘 的垂向结构 2 1 坍塌磁流引起的反常粘滞 两百多年前，天文科学家就开始了对吸积盘的讨论，但直至最近，这一推断 才被观测所证实。吸积盘中的粘滞过程会将吸积物质的引力能转化为热能释放出 来，同时，使角动量向外转移。但在2 0 世纪7 0 年代，天文物理学家们就意识到， 几乎在所有情况下，微观的粘滞系数所提供的吸积率要比实际所需的吸积率小几 个数量级。而如果吸积盘是湍动的，那么这个有效的粘滞就能提供足够大的吸积 率。因为实验表明，湍流运动的粘滞系数比通常的粘滞系数要大得多。事实上， 吸积盘就是湍流盘，吸积盘的反常粘滞就直接与强间歇磁元的麦克斯韦应力有关 ( 李晓卿2 0 0 4 ) 。 下面就简单介绍一下反常阻抗和反常粘滞的计算过程。反常阻抗是来自于等 离子体中荷电粒子遭受到低频磁流的散射；通常它是一种低频的直流电阻抗。等 离子体的电导率为( 李晓卿2 0 0 4 ) ( 以k ) = 景( ( 戗k ) 一1 ) ， 其中，( 珊，k ) 是横介电常数。对于自生低频超声速坍塌磁流，v s 叫 ， 这时 啦t 一蔫( t + 等) 小蔫， 这时，电导率就成为 2 逸2 ； 天体物理中吸积盘问题的研究 ；i o ) ，是极大的调制不稳定性增率，而露。是相应的极大波数( l i z h a n g 2 0 0 2 ) ： = k = k 邮( i e o l 2 r k = 厨邪( i e 吖3 。 把它们代入上式，并恢复到有量纲的单位，就得到坍塌的自生磁流散射荷电粒子 引起的反常电导： - - 2 _ 1 3 ( 。0 石”6 ( 扪砩) 邮； 其中，( 砩) 是电场能量i 层1 2 ，8 厅与等离子体粒子的热平衡能量瓦的比值，典型 值为1 0 一。所以，反常阻抗为( l i z h a n g2 0 0 2 ) ： ；杀( 砩) 咖邮驴吃 乩s 1 0 8 ( 封刺谢w 2 ， 这里，和t o 是感兴趣问题中的密度和温度的典型值。 自生的间歇磁流引起的磁粘滞力是： z “= v ，学， 6 瑶=( p 峨i 三磊c 科) ( 2 1 ) 这爪应力在每单位时间内对体积元卉所做的功为( - 普_ 卜由于粘滞耗散 做的功转化为热，使体积元内的熵增加， j = 计划茹= 弦弦 式中的第二个等式是进行了分部积分的结果，其中k 是剪切张量， 天体物理中吸积盘问题的研究 毛陪+ 封 这就意味着广义流“f 孑”- 与f - ) t 2 “一粤”之间存在有线性关系( l i f s h i t z p i t a e v s k i i1 9 8 1 ) f 孑= 巧；。粤= 卵。滩， 其中，7 7 f 诹是动力学系数。上式可以改写成 芎= ( 毒+ 鼍一五3 j 亟i ) x k ) 1 ， c z z ， 式中斗= ( 磊靠+ 瓯如一詈岛瓦) ，而是间歇磁流引起的磁粘滞系数，也就 是反常粘滞。如果令j = - 及= 丘我们就得到了磁粘滞系数和动力学系数之 间的关系： r 。= ， ( 2 3 ) 其中，j 幺并且对重复的( 1 k ) 对不求和。在很多实际情况下，例如天体物 理吸积盘和星系盘，剪切张量的咿成分是主项，因此( 2 2 ) 式成为 慨：，三( 鲁一斗争挈。 弦a ， - ；y n ，从( 2 1 ) 式和( 2 3 ) 式可以得到譬的咿分量 掣：巩三r l 挈l o 对于湍动的横等离激元，泵波具有各种可能的相位。在此情况下，我们可以 假定，在感兴趣的尺度上横等离激元诱发的自生磁场是统计各向n f 生n - ；( ( 棚) 2 ) ( 魍峨) 。 再利用自类似塌缩的终态解( 2 4 ) ，我们就得到了磁流体运动学粘滞系数( d = 3 ) 天体物理中吸积盘问题的研究 l o - 1 2 南制t o j 吖。鲥l o - j 们c 枷口 为了比较，我们用史毕泽( s p i t z e r1 9 6 2 ) 公式求出完全电离的氢等离子体的运动 - ：= z 2 - 。一1 6 店1 z 2 ( 虽 一1 ( 昙 2 ( d 竹2 ，s ) 。 可以验算，对活动星系核的盘，磁粘滞系数要比微观的粘滞系数屹高出8 个 2 2 薄吸积盘的垂向结构与数值计算 2 2 1 辐射模型与基本方程组 所谓辐射模型就是由粘滞引起的能量的耗散是通过辐射( 或对流) 发射出去。 如果盘是光学厚的，那么它的辐射就接近黑体辐射，可以用扩散近似来替代。辐 射能流和温度的梯度有关( s h a k u r a s u n y a e v1 9 7 3 ，s p i t z e r1 9 6 2 ) ： f ：堡竺v r 3 r p 这里的j r 是罗斯兰平均不透明度。一般情况下，理想气体的热能方程是： ，噻一等警才v 川n 其中气体的绝热指数为：，= ( d o l l n n 口p ) ，。热能方程的左边是流体熵的变化率，右 边表示粘滞张量的加热和辐射的冷却。如果吸积盘在热时间尺度上是稳定的，那 么在热能方程中粘滞加热和辐射冷却必须是平衡的：o ：v ( r 掣) ：一墨。v f 的 a ro z 除z 向外的其他成分是很小的，因为在一个薄盘中，很多量垂向的变化要比径向 1 4 天体物理中吸积盘问题的研究 的要大得多。因此，- h ，! r 旦o r 应i ) z 阜2 都可以忽略秫下面，我 们就简单地将c 表示为f 。热能方程中还有很多量都非常小，如： 当地衫( r 一，( f r ) r c p r ) 立r 2 2 2 粤) 2 也可以省略。在具体的计算中 忽略它们可以简化方程但对结果影响不大。 在无磁场情况下，一个开普勒盘垂向结构的组成方程组( o v i l v i e l i v i o 2 0 0 1 ) 为： 警一础，誓= ；， f=一三鱼!塑，譬旦(r2q)=土r2旦or3rp o z d r o r v r 3 旦d 垒r ) r 、， v ， 其中的物理量的定义是这样的：p 是压强，p 是物质密度，q 是开普勒角速度， 即q ：( 掣) - ，2 。f ，一z ，一流、，丁是温度，l ，是动力学粘藉，口是斯蒂芬一r 玻尔兹曼常数，_ i r 是罗斯兰平均不透明度。 除了这些方程以外，我们还需要几个补充方程，如吸积盘的状态方程，不透 明度_ i r 和粘滞i ，的选取。我们采用理想气体方程，p ：塑，这里的是玻尔 m “ 兹曼常数，是平均分子量，m 。是氢原子的质量，幂律谱形式的不透明度 k 2 g l ，这里的q ，x ，y 是常数，在下面，我们采用将采用汤姆孙散射不透 明度( o v i l v i e l i v i o2 0 0 1 ) ( 工= y = 0 ，c 。zo 3 3 c m 2 9 一1 ) 。 因为我们考虑的是薄盘，而且要确保解在动力学尺度上必须是稳定的，所以 在方程组中我们省略了许多项，如径向的压力梯度，径向引力的垂向变量等等。 但是，我们留下的量已经足够我们求得在无磁场情况下径向速度的曲线。 关于里兰掣这一项是非常麻烦的，这一粘滞项是包含在角动量方程中的， o r 因为它的偏微分决定了径向的速度，所以这一项在我们考虑的半径附近可近似地 表示为( o v i i v i e l i v i o2 0 0 1 ) ： 天体物理中吸积盘问题的研究 胪罟，务 这里i t z = p v 彘是垂向积分的动力学粘滞，h 是吸积盘的高度，即半厚度 ( s e m i t h i c k n e s s ) ，f 是不确定的无量纲的函数。 在这个假设下，ol n ( p v ) ：百0i n ( p z ) 一 1 + h 0l ，n 。( p v ) 1 。乓粤旦，这里出现的 0 i nr d i nrd i nzd i nr 旦；：堕和! ：哮可以表示成无量纲的参数，这些我们可以通过著名的无量纲稳 0 i nr0 l n r 态、无磁场的解中得到( s h a k u r a s u n y a e v1 9 7 3 ) 。在无磁场的条件下，这个 式子可以得到盘上径向的速度为( o v i l v i e l i v i o2 0 0 1 ) ： 蚱= 一詈”2 面o i n ( f p z ) 一2 【1 十0 l a n l n ( p z v ) ( 9 汕i n h r “ 这个方程组中的独立变量就是b t ，f ，而其他的相关的量如密度p ，径向速度“， 都可以通过这几个独立变量计算求得。因为方程组的解关于中心盘面应该是对称 的，所以在z = 0 处，满足条件f = 0 。 在吸积盘的上表面，解必须满足大气模型的条件。在光球层z = h 处，气体 是光学薄的，即t = i = 。这里的下标“s ”表示这是一个在吸积盘表面的值。 把上面的方程组进行无量纲化，我们需要先定义一些特定的单位物理量： 吣”阜) - 2 ，3 舞1 6 0 ) - 1 6 , u p2 彘以- q 2 坼= 咖一2 ，= ( 譬) q 2 2u v = q u ；，u ，q 上面出现的u 一可以由= 器每得到，这是由径向能流的定义和汤 姆孙散射不透明度 = y = 0 ，g = 0 3 3 c m 2 9 。1 ) 得到的。还有两个无量纲的参数， 占= 挚，艿= 急，很显然，f 是吸积盘角半厚度的特征长度，占是全部光深的反 转涤席。然后簌们得到矛量纲的量： 1 6 天体物理中吸积盘问题的研究 z = 乙u h ，p = p , u 口， 日= 日。u 日，f = f u ， p = p , u ，t = t u r ， v 2 v u v ，“r5 “r e 0 ， 所以垂向结构的无量纲的方程组就为： 釜一腽豢= 弘， e 一罢鼍一觚， ， = 一兰占以( 1 十2 ) + 3 舡亟警尘 这里 = 面0 1 n ( 仍z ) ，巩= 业b l n z 。 边界条件为 ： e ( o ) = o ，a ( 凰) 2 吉船，犯( 凰) = 正( 见) 4 最后，面密度可归一化为： f 风九= 1 。这些方程有一个唯一的解，但只能通过数值解法得到，当这个解被 找到时，我们还可以得到中心盘面的光深为t = 詈+ ? 舻改= 詈+ 了1 6h j 肛1 “t y d s , o 2 2 2 数值计算结果和讨论 无量纲的常微分方程