（基础数学专业论文）特征2上special代数s（31）的表示.pdf

摘要 模李代数及其表示理论，无论就其理论的完整性还是就其应用的广泛性来说，都足一 个非常重要的数学分支在国内外有许多数学家在这方面作了大量的研究工作，取得了 大量成果，使得它得到了迅速的发展 对c a r t a n 型李代数表示的研究已有不少的结果，例如，在 3 】中，张禾瑞确定了w i t t 代数w ( 1 ，1 ) 的不可约模在【4 ，5 ，6 】中，沈光宇利用混合积在域f 的特征p 3 的条件下 确定了l = x ( m ，n ) ，x = w ，s ，h 的阶化不可约模( x i l 。= 0 和x l l 。= o ) 和滤过不可约 模( x l l 。= o ) 在【7 ，8 】中，胡乃红确定了k ( m ，n ) 的阶化不可约模和滤过不可约模h o l m e s 和张朝文在【9 ，l o ，1 1 】中利用限制李代数的概念和诱导模，在域f 的特征p 3 的条件 下，确定了l = x ( m ，1 ) ，x = w ，s ，h ，k 的特征标高度为0 和1 的不可约模 在【1 2 1 中，f e l d v o s s 和n a k a n o 确定了w i t t 代数w ( t ，1 ) 的投射不可分解模和c a f t a n 不 变量在 1 3 】中，舒斌和蒋志洪推广了f e l d v o s s 和n a k a n o 的工作，确定了z a s s e n h a u s 代数 w ( 1 ，n ) 的投射不可分解模和c a f t a n 不变量在 1 4 】中，h o l m e s 和n a k a n o 确定了l = x ( m ，1 ) ， x = w ，s ，h ，k 的限制投射不可分解模( 即特征标高度小于0 ) 和c a r t a n 不变量在【1 5 】 中，舒斌推广了h o l m e s 和n a k a n o 的结论，确定了l = x ( m ，n ) ，x = w ，s ，h ，k 的特征 标高度小于0 的投射不可分解模和c a f t a n 不变量【1 6 】给出了特征为2 的代数闭域上的 广义w i t t 代数w ( 2 ，1 ) 的特征标高度小于等于0 的投射不可分解模和c a f t a n 不变量 不难看出，我们已有的这些结果大多是在域f 的特征p 3 的条件下得到的在模李 代数表示理论中，由于小特征数域的特殊性，对于小特征数域上的李代数表示的研究较 难处理，目前已经知道的结果较少本文将讨论特征p = 2 的代数闭域上的s p e c i a l 代数 s ( 3 ，1 ) 的特征标高度小于等于0 的不可约表示和投射表示 第一部分，首先利用c a r t a n 型李代数的三角分解和既约包络代数u ( l ，x ) 的基来确定 了u ( l ，x ) 中的极大向量的形式然后利用不可约模中极大向量的条件确定生成极小左理 想的极大向量，从而确定了u ( l ，x ) 的极小左理想应用这种方法，给出了特征p = 2 的 代数闭域上的s p e c i a l 代数s ( 3 ，1 ) 的特征标高度小于等于0 的不可约模同构类的代表元以 及它们的维数 第二部分，利用【1 6 1 的结果和n a k a n o 给出的b g g 互反性，并通过研究不可约8 ( 3 ，1 ) 模限制为w ( 2 ，1 ) 模的分解模式，给出了s p e c i a l 代数s ( 3 ，1 ) 的特征标高度小于等于0 的 所有投射不可分解模同构类的代表元和c a r t a n 不变量 关键词：既约包络代数，极大权向量，特征标，极小左理想，广义v e r m a 模，b g g 互反 性，投射不可分解模，c a f t a n 不变量，不可约表示，投射表示 a b s t r a c t v m o d u l a rl i ea l g e b r a sa n dt h e i rr e p r e s e n t a t i o n si so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tb r a n c h e si nm a t h e m a t i c s f o rt h ep e r f e c t i o no ft h e i rt h e o r ya n dt h eu n i v e r s a l i t yo ft h e i ra p p l i c a t i o n m a n ym a t h e m a t i c i a n sh a v e d o n eal o to fr e s e a r c h e s t h e yh a v eg o t t e nm a n ya c h i e v e m e n t s ，a n dh a v em a d et h i st h e o r yd e v e l o p r a p i d l y t h e r ea r em a n ya c h i e v e m e n t sf o rr e p r e s e n t a t i o n so fg r a d e dl i ea l g e b r a so fc a r t a nt y p e f o ri n s t a n c e ， i n 【3 】，z h a n gh e r u ih a dd e t e r m i n e da l lt h es i m p l em o d u l e so ft h ew i t ta l g e b r aw ( 1 ，1 ) i n 【4 ，5 ，6 】，b y u s i n gm i x e dp r o d u c t ，s h e ng u a n g y uh a sd e t e r m i n e dt h es i m p l eg r a d e dm o d u l e sa n dt h es i m p l ef i l t e r e d m o d u l e sf o rl = x ( m ，n ) ，x = w ，s ，hu n d e rt h ec o n d i t i o nt h a tc h a r a c t e r i s t i co ft h eb a s ef i e l di s l a r g e rt h a n3 h un a i h o n g ，i n 【7 ，8 】，h a sd e t e r m i n e dt h es i m p l eg r a d e dm o d u l e sa n dt h es i m p l ef i l t e r e d m o d u l e sf o rg ( m ，n ) u n d e rt h ec o n d i t i o nt h a tc h a r a c t e r i s t i co ft h eb a s ef i e l di sl a r g e rt h a n3 h o l m e s a n dz h a n gc h a o w e n ，i n 【9 ，1 0 ，1 1 ，h a v ed e t e r m i n e dt h es i m p l em o d u l e sf o rl = x ( m ，1 ) ，x = w ， s ，日，k ，i nt h ec a s et h a tt h eh e i g h to ft h ec h a r a c t e r si sn o tl a r g e rt h a n0a n dc h a r a c t e r i s t i co ft h eb a s e f i e l di sl a r g e rt h a n3 f o l d v o s sa n dn a k a n o ，i n 【1 2 ，h a v ed e t e r m i n e da l lt h ep r o j e c t i v ei n d e c o m p o s a b l em o d u l e sa n dt h e c o r r e s p o n d i n gc a r t a ni n v a r i a n t sf o rt h ew i t ta l g e b r aw ( 1 ，1 ) s h ub i n a n dj i a n gz h i h o n g ，i n 【l a ， h a v ed e t e r m i n e da l lt h ep r o j e c t i v ei n d e c o m p o s a b l em o d u l e sa n dt h ec o r r e s p o n d i n gc a r t a ni n v a r i a n t sf o r t h ez a s s e n h a u sa l g e b r aw ( i ，n ) h o l m e sa n dn a k a n o ，i n 【1 4 ，h a v ed e t e r m i n e dt h er e d u e dp r o j e c t i v e i n d e c o m p o s a b l em o d u l e sa n dt h ec o r r e s p o n d i n gc a r t a ni n v a r i a n t sf o rl = x ( m ，1 ) ，x = w ，s ，h ，k s h ub i n ，i n 1 5 ，h a sd e t e r m i n e dt h er e d u e dp r o j e c t i v ei n d e c o m p o s a b l em o d u l e sa n dt h ec o r r e s p o n d i n g c a r t a ni n v a r i a n t sf o rl = x ( m ，n ) ，x = w ，s ，h ，k i n 【1 6 ，w a n gw e i j i aa n dl ij i n gh a v ed e t e r m i n e d a l lt h ep r o j e c t i v ei n d e c o m p o s a b l em o d u l e sa n dt h ec o r r e s p o n d i n gc a f t a ni n v a r i a n t sf o rt h ew i t ta l g e b r a w ( 2 ，1 ) i nt h ec a s et h a tt h eh e i g h to ft h ec h a r a c t e r si sn o tl a r g e rt h a n0a n dc h a r a c t e r i s t i co ft h eb a s e f k l d i 82 m o s to ft h er e s e a r c ha c h i e v e m e n t sa r eo b t a i n e di nt h ec a s eo ft h ec h a r a c t e r i s t i co ft h eb a s ef i e l db e i n g l a r g e rt h a n3 h o w e v e r ，w h e nt h ec h a r a c t e r i s t i co ft h eb a s ef i e l di sl e s st h a n5 ，t h er e s e a r c hb e c o m e s m u c hm o r ec o m p l i c a t e da n dt h er e l a t e dr e s u l t sa r el i m i t e d i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h ei r r e d u c i b l e r e p r e s e n t a t i o n sa n dt h ep r o j e c t i v er e p r e s e n t a t i o n so ft h es p e c i a la l g e b r as ( 3 ，1 ) w h e nt h eh e i g h to ft h e c h a r a c t e r si sn o tl a r g e rt h a n0a n dc h a r a c t e r i s t i co ft h eb a s ef 造l di s2 i nt h ef i r s tp a r t ，w ed e t e r m i n et h em a x i m a lw e i g h tv e c t o r so ft h es p e c i a la l g e b r as ( 3 ，1 ) b yu s i n g i t st r i a n g u l a rd e c o m p o s i t i o na n dt h eb a s i so fi t sr e d u c e de n v e l o p i n ga l g e b r a t h e n ，b yc o n s t r u c t i n gt h e m a x i m a lw e i g h tv e c t o r sw h i c hg e n e r a t et h em i n i m a ll e f ti d e a l s ，w ed e t e r m i n et h em i n i m a ll e f ti d e a l so ft h e r e d u c e de n v e l o p i n ga l g e b r a a p p l y i n gt h i sm e t h o d ，w ed e t e r m i n ea l lt h es i m p l em o d u l e so ft h es p e c i a l a l g e b r as ( 3 ，1 ) w h e nt h eh e i g h to ft h ec h a r a c t e r si sn o tl a r g e rt h a n0a n d c h a r a c t e r i s t i co ft h eb a s ef i e l d i s2 i nt h es e c o n dp a r t ，w ed e t e r m i n ea l lt h ep r o j e c t i v ei n d e c o m p o s a b l em o d u l e so ft h es p e c i a la l g e b r a s ( 3 ，1 ) w h e nt h eh e i g h to ft h ec h a r a c t e r si sn o tl a r g e rt h a n0a n dc h a r a c t e r i s t i co ft h eb a s ef i e l di s2 k e yw o r d s ：r e d u c e de n v e l o p i n ga l g e b r a ，m a x i m a lw e i g h tv e c t o r ，c h a r a c t e r ，m i n i m a ll e f ti d e a l ， g e n e r a l i z e dv e r m am o d u l e ，b g gr e c i p r o c i t y , p r o j e c t i v ei n d e c o m p o s a b l em o d u l e ，c a r t a ni n v a r i a n t ，i r r e - d u c i b l er e p r e s e n t a t i o n ，p r o j e c t i v er e p r e s e n t a t i o n 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 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的不可约模 在【1 2 】中，f e l d v o s s 和n a k a n o 确定了w i t t 代数w ( 1 ，1 ) 的投射不可分解模和c a f t a n 不 变量在【1 3 】中，舒斌和蒋志洪推广了f e l d v o s s 和n a k a n o 的工作，确定了z a s s e n h a u s 代数 w 0 ，n ) 的投射不可分解模和c a f t a n 不变量在【1 4 】中，h o l m e s 和n a k a n o 确定了l = x ( m ，1 ) ， x = w ，s ，h ，k 的限制投射不可分解模( 即特征标高度小于0 ) 和c a r t a n 不变量在【1 5 1 中，舒斌推广了h o l m e s 和n a k a n o 的结论，确定了l = x ( m ，n ) ，x = w ，s ，日，k 的特征 标高度小于0 的投射不可分解模和c a r t a n 不变量【1 6 】给出了特征为2 的代数闭域上的 广义w i t t 代数w ( 2 ，1 ) 的特征标高度小于等于0 的投射不可分解模和c a r t a n 不变量 在限制李代数表示理论中，由于小特征数域的特殊性，对于小特征数域上的李代数 表示的研究较难处理，目前已经知道的结果较少本文将讨论特征p = 2 的代数闭域上的 s p e c i a l 代数s ( 3 ，1 ) 的不可约表示和投射表示 本文分为两大部分，第一部分研究s p e c i a l 代数5 ( 3 ，1 ) 的不可约表示：首先利用c a r t a n 型李代数的三角分解和x 既约包络代数u ( l ，x ) 的基来确定了u ( l ，x ) 中的极大向量的形 式然后利用不可约模中极大向量的条件确定生成极小左理想的极大向量，从而确定了 第一章绪论 2 u ( l ，x ) 的极小左理想第二部分研究了s p e c i a l 代数s ( 3 ，1 ) 的投射表示：利用 1 6 1 的结果 和n a k a n o 给出的b g g 互反性，并通过研究不可约s ( 3 ，1 ) 模限制为w ( 2 ，1 ) 模的分解模 式，给出了s p e c i a l 代数s ( 3 ，1 ) 的特征标高度小于等于0 的所有投射不可分解模同构类的 代表元和c a f t a n 不变量 第二章s ( 3 ，1 ) 的不可约表示 2 1t ( s ( 3 ，1 ) ，x ) 的极大权向量 设n n ，m = ( m l ，m ，1 ) n ”，记f ：= r m = ( p t m l ，p m 。一 a = ( a 1 ，8 2 ，口。) ，b = ( 6 l ，b 2 ，6 n ) z ”如果对所有1si n 有 果a b 并且a b ，则记a b 定义i m i = 銎。仇i a 丁m ) ， 为； 甄( 馆，m ) 是以 z ( a l a a ( n ，m ) ) 为基张成 设a ( n ， 的f 一向 z c a ，z c b ，= ( a ：b ) z c 丑+ ，其中( a ：b 1 ，p m n 一1 ) 设 a t b i ，贝u 记a b ；如 m ) = a = ( 口1 ，a 2 ，a 。) i o 量空间2 【( 札，m ) 的乘法定义 = i f l = 1 ( 伽 = ( 刚三吼1 u - 且对于a 圣a ( n ，m ) 定义茹( a ) = 0 则嗄( n ，m ) 是一个交换的结合代数对 虑 马d e r f 2 t ( n ，m ) ，其中岛z ( 8 ) ：= 茁( 4 叫) ，白= ( 6 1 ，j ，矗，j ) ；则根据 套1 五功i 五2 t ( n t m ，i = 1 ，2 ，n ， 歹【1 ，n ) ， 【l 】，w ( n ，m ) = ，m ) ) 是( n ，m ) 的导子代数的子代数，它有基b w = 缸( a 反i osa 它的李乘积为 扛c a ，。t ，z c b ，。，= a + b 。一鼠) x ( a + b - c i ) d j _ _ ( a + b b 一勺) z b + b q ，。t c 2 ， 设】：= f - s p a n x ( a ) d t i i a i = j + 1 ) ，则彤。i 叟1 w t , l 是阶化李代数对于 歹定义映射d i j 如下。 其中，迓( 礼，m ) 令s ( 亿，m ) ：= 2 【( n ，m ) 一w ( n ，m ) ，hd j ( f ) d i 一现( ，) d j ， f s p a n d i j ( $ ) l f 2 l ( n ，m ) ，1 w ( n ，m ) 的z 一分次的李子代数，分次为； 下面假设f 是特征p = 2 的代数闭域 s ( 竹，m ) i l = s ( 他， ， l = s ( 3 ，1 ) t j n ) ，则s ( n ，m )是 n w ( n ，m ) 【j f 上的s p e c i a l 代数( 这里 1 = ；( 1 ，1 ，1 ) ) ，贝0l 有基： d 2 3 ( $ 5 t + 5 a ) ，d l a ( x e x + 。) ，d 2 3 ( x e + 。) ，d 1 2 ( x 2 ) ，d 1 2 ( x e x ) ，d 1 3 ( x ) ， d 1 2 ( z 。l + 。2 ) ，d 1 3 ( 茁。l + 。3 ) ，d 1 3 ( 茹5 2 + 3 ) ，d 1 2 ( x e x + c a ) ，d 1 2 ( = e 2 + e z ) ，d 2 3 ( x 6 1 + 5 2 + 5 3 ) ，0 1 3 ( z e a + e 2 + e a ) ，d 1 2 ( 矿，+ c 。+ c a ) ) 为了书写方便起见，我们将它们分别记为y l ，抛，y a ，y 4 ，y 5 ，粕，h a ，h 2 ，z l ，z 2 ，z 3 ，z 4 ， z 6 ；并且对于a = ( 口1 ，0 2 ，0 3 ，a 4 ， 表示计- 珐2 呈a 可：4 谚可苫6 ，用h b 表示 ) ，b = ( 6 l ，b 2 ) ，我们将用z a 表示 2 ，h 2 2 3 名；1 名尹皆4 学z 言6 ，用y a 并考 m 是 第二章s ( 3 ，1 ) 的不可约表示 4 根据【1 1 l 是一个限制李代数，由公式( 2 1 1 ) 可以推出v l p l = 0 = z 掣，t = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ； ，= h i ，i = 1 ，2 令l 一= 1 7 - s p a n x ，珈，驰，姒，s ，5 ，驰) ；l + = n s p a n z a ，石2 ，z 3 ，z 4 ，z 5 ，粕) ；t = f s p a n h l ，h 2 ，则l 具有三角分解l = l o t o l + ，由公式( 2 1 1 ) 可以推出t 和p 都是l 的 限制子代数并且i t ，l 1 萨 设m 是一个l 一模，a t ，令m x ：= 扣m i h = 入( ) ，v h t ) m x 中的元素称为 ( 权入的) 权向量对于非零元 - m i x ，如果矿t ，= 0 ，则称为( 权入的) 极大向量 对于x l + ，设u ( l ) 是厶的普遍包络代数，并且让，( x ) 是由 扩一z 纠一x ( z ) p i z l ) 生 成的【，( l ) 的理想，则, 4 l ，x ) ：= c r ( l ) i ( x ) 称为l 的x 一既约包络代数由u ( l ，x ) 的定义 可以看出特征标为x 的二一模范畴与u ( l ，x ) 一模范畴是等同的 由于t 和l 士都是己的限制子代数，所以u ( l 士，x b ) 和u ( r ，x i r ) 存在，并且可以自然地 看作u ( lx ) 的子代数，由【l 】1 的引理1 9 7 可以推出；t ( l + ，x l l + ) 有基 z a i o as1 ) ，u x l t ) 有基恤b i osbsl ，u ( l 一，x k ) 有基 y c l 0sc 1 ) ，并且 t ( l ，x ) = u ( l + ，xj l + ) ( lx l r ) u ( l 一，x l l 一) ( 2 1 2 ) z a h b y c i o a ，b ，c 1 是( 厶) 的基由此推出u ( l ，) ( ) 作为自由u ( l + ，x i l + ) 一模具有基 恤b y 。i osb ，cs1 ) 当) ( 的高度小于等于0 时，则x ( 魂) = 0 ，i = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ；x ( b ) = 0 ，歹= 1 ，2 ， 因此在u ( l ，x ) 中，石= 0 ，碍= h j 由于h = h i ，所以如果口是某个u p ( lx ) - 模的权为 x ( et ) 的权向量，则x ( h i ) 2 = x ( h i ) ，所以x ( h t ) = 0 或者1 因此权入只有四种情况； ( a ( 1 ) ，入( 2 ) ) = ( o ，o ) ，或者= ( o ，1 ) ，或者= ( 1 ，o ) ，或者= ( 1 ，1 ) 引理2 1 x l 并且h t ( ) 0 如果t ，u ( l ，x ) 是极大权向量，则 n j 当入= ( 1 ，1 ) 目寸，t ，= z 1 h l h 2 y ( y l ，如，y a ，驰，y 5 ，珈) ； 俐当入= ( 0 ，1 ) 时，t i ；z 1 ( h t + 1 ) h 2 y ( y l ，y z ，怕，纵，y 5 ，蛐) ； 俐当入= ( 1 ，0 ) 日于，t ，= z l h i ( h 2 + 1 ) y ( u l ，秒2 ，驰，y 4 ，驰，蜘) ； 似j 当a = ( 0 ，0 ) 时，口= z 1 ( h i + 1 ) ( h 2 + 1 ) y ( u l ，y 2 ，y a ，纵，y 5 ，y 6 ) ， 这里f ( u l ，y 2 ，y 3 ，舛，y 5 ，y 6 ) 可以是y 1 ，y 2 ，蜘，y 4 ，y s ，珈的任意多项式， 证明：设口( 厶x ) 是极大向量，由于 z a h b y c i o a ，b ，c 1 ) 是u ( 厶) ( ) 的基，所以可以设 口= o b ，。1g b 。( 二l ，纫，幻，魂，。5 ，z 6 ) a b y 。，这里g b ，。( z l ，勿，名3 ，魏，硒，) 是名l ，砘，z 3 ，名4 ，名5 ，。6 的多项 式由于勘是极大向量，所以对于i ；1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ， 0 = 盈口= 缸如，c ( z l ，。2 ，z 3 ，魏，z 5 ，名8 ) h b y 。= 名t 如，c ( z l ，z 2 ，幻，钆，z 5 ，z 6 ) h b y 。 0 s b ，c sl 0 s b ，c s l 第二章s ( 3 ，1 ) 的不可约表示 5 由于u ( l ，x ) 是自由让( 二+ ，厶+ i x ) 一模并且它的基为 h b y 。i osb ，c l ，所以z i g b ，。( 名i ，z 2 ，诒， z 4 ，铂，硒) = 0 ，这里0 b ，cs1 因此跏。( z l ，勿，z , 3 ，z 4 ，z 5 ，孙) 是u ( 己+ ，l + i x ) 的左积分元，根 据【1 7 1 的定理3 6 ，仳( 二+ ，l + i x ) 的左积分元为g z l ，这里q f ，所以对于0 b ，c 1 ，存在 o o 。f 使得g b , c ( z l ，名2 ，诒，名4 ，z 5 ，z 6 ) = c b ，。z 1 因此t ，可以写成 t ，= z 1 c b ，。h b y e = z 1 9 c ( h l ，h 2 ) y 。， o b c 1o e s l 这里g c ( h l ，h 2 ) 是h 1 ，h 2 的多项式由于 ；= b ，j = 1 ，2 ，所以可以设g c ( h i ，h 2 ) = a l ，。h x h 2 + 眈，。h 1 + 0 3 ，c h 2 + a 4 ，c 这里口1 c a 2 ，c ，0 3 ，c a 4 c f 为待定常数 当( a ( 1 ) ，入( 2 ) ) = ( 1 ，1 ) 日寸，h i v = h i t 1 ( a l ，。h l h 2 + a 2 ，。h i + a 3 ，。h 2 + a 4 ，。) y 。= t j ，i = 1 ，2 由 公式( 2 1 1 ) 可以得h i u = 7 1 h i ( a t , c h x h 2 + a 2 ，。h i + a 3 ，。h 2 + a 4 ，。) y 。，于是 z 1 ( 0 1 ，c h l h 2 + c 2 ，c h i + 口3 ，c h 2 + a 4 ，c ) y 。= 薯1 h _ l ( a l ，c h x h 2 + 口2 ，c h i + 口3 ，c h 2 + 1 1 4 ，c ) y 。 由于 z a h b y c i o a ，b ，c 1 ) 是u ( l ，x ) 的基，所以( 口1 。h l h 2 + a 2 , e h l 十口3 。h 2 + a 4 ，。) = ( a l , c h l h 2 + a 2 , c h x + n 3 ，c h 2 + a 4 , c ) 由此推出口2 i c = 口3 。= a 4 ，。= 0 ，因此g c ( h t ，h 2 ) = a 1 ，。h l h 2 所 以u = z l h l h 2 o c 1 口1 ，c y 。= z l h l h 2 y ( m ，y 2 ，y 3 ，y 4 ，可5 ，管6 ) 类似的可以推出； 当a = ( 1 ，0 ) 时，t ，= z l h i ( h 2 + x ) y ( y l ，y 2 ，3 ，姒，佻，佻) ； 当入= ( 0 ，1 ) 时，t ，= z 1 ( h i + 1 ) h 2 f ( u l ，y 2 ，的，驰，y 5 ，舶) ； 当入= ( 0 ，0 ) 时， = z 1 ( h i + 1 ) ( 2 + 1 ) l ( u t ，耽，蜘，纵，y 5 ，伽) 一 注l 为了书写方便，我们记t ，l = z l h l h 2 ，v 2 = z 1 ( h 1 + 1 ) h 2 ，珊= z 1 h i ( h 2 + 1 ) ，现= z 1 ( h i + 1 ) ( 2 + 1 ) 并且对于z = 1 ，2 ，3 ，4 ，我们将称元素仇，为具有仇形式的极大向量，这里，是 y 1 ，y 2 ，班，蜘，y 6 的多项式 2 2s ( 3 ，1 ) 的特征标高度为0 的不可约模 在 9 】里，h o l m e s 给出了一个判别特征标高度小于1 的模是否是不可约模的一个法 则： 引理2 2 ( 【9 】的引理3 1 ) 设x 工+ 并且a t ( x ) o g i ，n 一= 0 o g i ；b + = g oo + ，b 一= g oon 一 令t 是g 的极大环面，且tcg o 我们知道u ( g ) 和缸( g o ) 不可约模都可用于= h o mz p ( t o ，z p ) 参数化，其中乃是t 的一组基的z p 一张成设入于，v ( a ) 是( g ) 不可约模，尹( a ) 是其 投射包，y ( a ) 是u ( a o ) 不可约模，p ( 入) 是其投射包令士平凡地作用在y ( a ) ，p ( a ) 上， 可以把y ( 入) ，p ( 入) 看成( b 士) 模 考虑广义v e r m a 模 v 苗o j ( 入) ；“( g ) 。( b 士) p ( 入) ；v 窖i ( 入) = 缸( g ) o 。( b 士) y ( 入) 设y 是一个有限维左g 模，对，v ，o g ，m v ，通过定义作用( f ，) ( m ) = 一f ( t 仇) ， v = h o m f ( v , f ) 也是左g 模易见如果y 是不可约模，则v 也不可约 1 5 第三章s ( 3 ，1 ) 的投射表示 设b 是g 的限制子代数，y 是白模，令 d ( t l ( g ) o 。( b ) v ) = ( u ( g ) o 。( b ) v + ) + 引理3 1 ( 1 9 1 的定理1 3 ，6 ) 对入，p 亍，有伊( 入) ：巧4 ，- 叮( p ) 】= 【d 嚎( p ) ：v ( x ) 1 引理3 2 ( 【1 9 】的定理1 3 7 ) 如果u ( g o ) 是对称代数，对入，p 于，有垆( a ) ：k 寿( p ) 】- 【d ( p ) ： 1 ，( a ) 】 3 2s ( 3 ，1 ) 的特征标高度为一1 的c a f t a n 不变量 我们在二上重新定义z 分次，l 一7 = f s p a n y 6 ，二一5 = f - s p a n y 5 ，l 一4 = f - s p a n y 4 ，l 一3 = f - s p a n v 3 ，厶一2 = f - s p a n y 2 ，l 一1 = f - s p a n v l ，l o = f - s p a n h i ，h 2 ，l 1 = f s p a n z l ，l 2 = f - s p a n z 2 ，l 3 = f - s p a n z 3 ，l 4 = f - s p a n z , ，l 5 = f - s p a n z s ，l r = f - s p a n z t ； 厶= 0 ，对i 一1 ，一2 ，一3 ，一4 ，一5 ，- 7 ，0 ，l ，2 ，3 ，4 ，5 ，7 令l 一= f - s p a n y 1 ，y 2 ，拈，v 4 ，y 5 ，y 6 = o 未7 “l + = f - s p a n z l ，z 2 ，z 3 ，z 4 ，z 5 ，铂) = o j ：1 厶，t = f - s p a n h l ，h 2 = l o ，则l 具有三角分解l = l ot ol + ，容易看出t 和庐都是l 的 限制子代数并且口，l 士】庐l o = t 还是二的极大环面，这使得我们可以用y 士( a ) 表 示( 入) = k 募( a ) 缸( s ( 3 ，1 ) ) 的不可约表示可以实现为y 一( o ，o ) ，v 一( o ，1 ) ，v 一( 1 ，1 ) ，v 一( 1 ，0 ) 的唯一不可约商 模s l ( o ，o ) ，s - i ( o ，1 ) ，s 一1 ( 1 ，1 ) ，s 一1 ( 1 ，o ) s 一1 ( h ，入2 ) 对应的投射包记为p _ 1 ( 入1 ，入2 ) ，入1 ，入2 z 2 由第二章的定理2 1 1 ：d i m r s _ 1 ( 0 ，0 ) = 1 ，d i m f s 一1 ( 1 ，0 ) = 6 4 ，d i m f s 一1 ( 1 ，1 ) = 6 ，d i m f s l ( o ，1 ) = 1 4 ，直接计算可知乳l ( o ，o ) 型n l ( o ，o ) ，豇l ( 1 ，o ) + 垒豇l ( 1 ，o ) ，豇l ( 1 ，1 ) + 笪l ( 1 ，1 ) ，s 一1 ( o ，1 ) + 垡 s x ( o ，1 ) 对于a = ( a l ，6 2 ，a 3 ，a 4 ，a 5 ，口6 ) ，我们将用z 8 表示名? 霹2 露s 霹4 名詈s 露a 引理3 3 最高权为( o ，0 ) 的广义v e r m a 模的合成因子状态是【v 一( o ，o ) 】= 1 2 1 5 一l ( o ，o ) 】+ 4 s 一1 ( 1 ，1 ) 】+ 2 s x ( o ，1 ) 】 证明： 广义v e r m a 模v 一( o ，0 ) 有一组基 z 8 圆训a n 6 ；0 a l 这里h i = 0 ，鲫口= o ，i = 1 ，2 ；j = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 经计算，它有合成列。 “( l ) ( z 1o 口) u ( l ) ( z 2 2 3 2 4 2 5 2 6o 口) u ( l ) ( z 2 2 3 2 4 z s z 6o ) + u ( l ) ( z l z 3 2 4 z s z 6pt ，) u ( l ) ( z 4 z s z 6o 口) u ( l ) ( z 4 z s z 6o 口) + u ( l ) ( z l z 4 z s u ) u ( l ) ( z 4 z s z 6 固t ，) + u ( l ) ( z l z 4 2 5o 口) + u ( l ) ( z 2 2 4ot ，) u ( l ) ( z 4 z s z 6o 口) + u ( l ) ( z l z 4 2 5ot ，) + u ( l ) ( z 2 2 4 圆) + u ( l ) ( z 2 2 3 2 4 2 5ou ) 第三章s ( 3 ，1 ) 的投射表示 u ( l ) ( z 4 2 5 2 6o ”) + u ( l ) ( z l z 4 2 5 ) + t ( l ) ( 钇魂 t ，) + u ( l ) ( z 2 2 3 2 4 2 5o ) + u ( l ) ( z l z 3 2 4 圆口) u ( l ) ( z 2 2 4 2 5ou ) u ( l ) ( z 2 2 4 2 5qu ) + u ( l ) 0 1 名2 名3 2 5 。6o ) u ( l ) ( z 2 2 4 2 5 圆t ，) + u ( l ) ( z l z 2 2 3 z s z 6o 钉) + u ( l ) ( z l z 3 z s z 6 圆u ) u ( l ) ( z 2 z s z 6ou ) + u ( l ) ( z l z 3 z s z 8 圆 ) u ( l ) ( z 2 2 6 z eot ，) + u ( l ) ( z l z 3 z s z e t ，) +