（基础数学专业论文）脉冲微分方程边值问题和周期解.pdf

曼：塞2 之至兰堡旦墨翌墨翌箜 摘要 本论文主要讨论了价脉冲泛函微分方程的周期边值问题；脉冲积分微分方 程的非线性边值问题i 类脉冲捕食者一食饵生态时滞微分方程正周期解的存在 性，全文共分为四章 第一章简述了脉冲微分方程边值问题与周期解存在性的历史与研究现状。以 及本文的主要工作 第二章研究了一阶脉冲泛函微分方程的周期边值问题 幻t h ，t 【0 司， 七= 1 ，2 ，p ， t 【- t ，0 1 ， 通过利用新的上下解定义及单调迭代方法，得到了周期边值问题最大最小解存 在的条件，推广了文f 2 1 】中的结果 第三章讨论了脉冲积分微分方程的非线性边值可题 ， i ，0 ) = s ( t ，( d ，k 。( ) ，5 k ( ) ) ，t j = 【0 ，卅，t t k ， 烈“) = 矗0 ( “) ) ，七= l ， l 9 ( z ( o ) ，嚣( 刁) = o ， 通过利用单调迭代的技巧和上下解方法获得了这类方程的最大、最小解存在的充 分条件 第四章研究了类脉冲捕食者一食饵生态时游徼分方程正周期解的存在性， 利用m a ：w h i a 延拓定理和拓扑度理论，获得了正周期解的存在性结果。改进和推 广了己有的相应非脉冲微分方程的结果 关键词：脉冲微分方程；边值问题；周期解；不动点；拓扑度 i 啡科辑胍她刊唧训删舻舻一厶缸 鍪兰童塞堡圭耋竺篓塞 a b s t r a c t t h i st h e s i sm a i n l ys t u d i e st h ee x i s t e n c eo fn 虹n i m a la n dm a x i m a ls o l u t i o n s o ft h ep e r i o d i cb o u o d ”yv a l u ep r o b l e mf o rf i r s t - o r d e i m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r - e n t i a le q u a t i o n s ，t h ee x i s t e n c eo fn o n l i n e a rb o u n d a _ r yc o n d i t i o ns o l u t i o n sf o rt h e 辆蠡e g 附刊l 如删壮| e q u a t i o n sw i t hi m p u l s i v e ，a n dt h ee x i s t e n c eo f p o s i t i v ep e r i o d i c s o l u t i o n sf o ri m p u l s i v ep r e d a t o r - p r e ym o d e lw i t hd i s p e r i o na n dt i m ed e l a y s i ti s c o n s i s t e do ff o u rc h a p t e r s 。 i nc h a p t e rl ，w h i c hs e r v e sa st h ei n t r o d u c t i o n ，t h eb a c k g r o u n da n dh i s t o r y o fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sa n dp e r i o d i c t yf o ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r e b r i e f l ya d d r e s s e d a n dt h em a i nw o r ko ft h i sp a p e ri 8g i v e n i nc h a p t e r2 ，b ym e a n so ft h em e t h o do fu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n sa n d t h em o n o t o n ei t e r a t i v et e c h n i q u e ，t h ee x i s t e n c eo fe x t r e m a ls o l u t i o na b o u tt h i s p r o b l e m sa r eo b t a i n 。锄1 er e s u l t si m p r o v es o m er e s u l t si n 担l 】 i nc h a p t e r3 ，t h ee x i s t e n c eo fn o n l i n e a rb o u n d a r yc o n d i t i o ns o l u t i o n sf o rt h e i n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hi m p u l s i v ea r ec o n s i d e r e d b ye m p l o y i n gt h e m o n o t o n ei t e r a t i v em e t h o d ，s o m er e s u l t sa r eg ：i v e n i nc h a p t e r4 ，a ni m p u l s i v ep r e d a t o r - p r e ym o d e lw i t hd i s p e r s i o na n dt i m ed e - l a y sa r em a i n l yc o n s i d e r e d 髓ee x i s t e n c eo f 删讯p e r i o d i cs o l u t i o ni so b t a i u e d w i t ht h eh e l po fm a w h i nc o n t i n u a t i o nt h e o r e m dc o i n c i d e n c ed e g r e et h e o r y k e yw o r d s ：i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；p e - r i o d i cs o l u t i o n ；f i x e dp o i n tt h e o r e m ；c o i n c i d e n c ed e g r e et h e o r y 同等孛力磺士学位论文 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明t 所璺交的学位论文，是本人在导师的指导下，独裁 避行研究工作辨取褥豹成果除文中惑经注赘弓l 尾静海容外，本论文 不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研 究籁毒耋要贡献瓣令久襁集露，垮柱交孛淡裙魂方式椽饔。本入宪 垒意识到本声明的法律结果由本人承揽 学位论文终者签名t 棠飞龋碱年l 咦等瑟 湖南蝇范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关僚整、使尾学像论文鳇规定，弱 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允 许论文被查阅穰借阕本人授权湖南娜范大学可以将本学位论文的全 都或都分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩礤或扫描 筹手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 l 、保密口。在年解密后适用本授权啦 2 ，不稼密瑟 ( 请在以上相应方框内打“，) 孬者签名。 导师签名。 剃瀚粤 m 0 嚣期：螬噼蝴堪曩 日期；舢c 举f p 月己日 一 脉冲微分方程遗值蜘意和周期解 第一章绪论 脉跨常徽分方裰的研究始于= 十世纪六十年代。以前苏联学者v m i l m 蜮瓣 a 。m 弹h k l s 伪先驱麓作为豁霭c 关予脉冲常敷分方程，解的存在佳，唯性以及解 对初值的遗续性，勰的稳怒性，l y 姻t t n 凹方法。边假问题麓的存在与唯性， 搿赣解以及解的动静学行为，分竣理论，板蔽集理论等等，凡乎对应予常微分方 撩研究的所有领域，经过近几十年来的研究。b 经有许多结皋【1 ，3 ，5 ，7 ，1 0 】 囊然箨爰辩学技术牵静许多发瓣过程农经嚣了较长的变化后，由于莱些干 扰，在一定的时刻，状态变薏会发生突变。撼样的发展过程就箍要用脉冲微分方 獠豸塌述苏i 孛擞努方程酶瘦蔗镁城缀广，如蠢动控籍、生；蠡系统、遗传学，经济学 物理学邋信理论镩。众所周知。局期现象普遍存在予目然界巾，特别题在些生 态楱壅中。瘗予麦鼯生态意义蔫要，镪往还簧臻入钌游沦焉麓涎簿雏存狂往，这方 谢已发表t 许多代寝性的文章，周期解一直都是微分方程理论的个羹耍分支，对 麓凝瘿静辑究在理论嚣实辩应露串都是菲常有意义静工律融1 4 ，嚣，2 8 ，嚣，3 噶 同时，由于经典力学，流体力学，势传导糕论化学理论等科学提出了大量的边 镶麓瑟。逡一l 霹瑟鑫舞毯激寒褥鬓了板大静笑注，瑟登泛函簸分方程逡缀秘瑟嚣躲 冲微分方襁遗值同蹶也是当前比较活跃的研究领域之一【5 ，8 ，9 ，1 4 ，1 5 ，1 7 ，1 8 ，1 9 ， 2 0 ，2 l ，2 垂，2 曦。然褥，瘗予实幂l 霉鬻瓣复杂瞧，燕述数学模蘩豹熬跨微分方晷系 统的边值条件可能是线性的，或非线性的，目前研究非线性遗值问题的文章较少 泌，键，嘲 因此。脉冲微分方程边值问题和周期解的研究具有十分黧耍的理论意义和珊 囊塞义 下面简述与举文直接栩藩的几个何题的研究现状。并结合介绍本文的主簧正 嚣 一、脉冲微分方程边位问精 1 。躲冷泛蠡擞努方程豹舞糕逡壤羯嚣 上下解结合单调迭代技巧【2 1 ，2 6 ，3 2 ，3 3 】，不动点定理【6 ，3 4 ，3 5 】，拓扑度方法 强，2 s ，2 9 ，3 镯莓是戮羟羼鲷逡篷舞嚣瓣主妥方法近强年寒，纛苓簿绩会萃调迭莰 1 鬟等掌鸯硬士学蓥论文 方法得到了广泛的应用，农这些成用中，上下爨的艇义教擐厂r 文睁o 】中研巍了下面的筒题 i 一一，8 ，毛鳓) ， 窖( o ) = ( 2 霄) 定义缒上下鼹分别为- i ( t ，卢，风) + 印，0 董i ( t ，a ，m ) 一v a 箕孛 f 0 ， p ( o ) 波p ( 2 7 r ) ， 坳2 泌多a 焖 秘融) ， a = 篓警，m o 为常数 文【2 l 】中研究酶是带脉捧的阕趱t l 一；，( ，。，) ， l 蕾溆) = 矗( 茹( 如) ) ， lz ( 功芏( o ) ， lz 一( 即 简上下解是用酱遁的定义，下解为 l s i ( t ，8 ，哦) ， i a ( 如) 厶 ( “) ) ， l8 ( t ) 一o ( o ) ， l 口( o ) a ( 力 上解酶惫义为 t “，t i o ，列， 蠹一l ，2 ，a t i - r , 0 ， t i t , ，t e 【0 ，刁， k = 1 ，2 ，热 t 卜一o 】， f c t ，反反) ，t t k ，t 1 0 ，司， p ( “) 五c s c t k ) ) ，膏= l ，2 ，p 妒o ) 燃芦( o ) ，t l r 0 】， 声( o ) p ( 霜 2 脉冲镟分方程进值问意和周期解 在文【2 1 】的基础上。本文第二章进一步研究下面的问题 一= f ( t ，岳，) ，t “，t j = f 0 ，刀， 裂翥扛 一t ；。嘉m t ， 卫( t ) = z ( o ) ，卜l0 ， ( 0 ) = z ( 刃 全面的讨论了该伺题的最大，最小解存在的条件，推广了文【2 1 1 中的结果 2 撼冲积分微分方程的非线性边值问息 l 7 年。x u 和n i e 酬】讨论了下面形式的积分微分方程边值问题 = 弛，碱肌( ) ) ，2 j = 【o ，即，( 1 2 ) iz ( o ) = ( t ) ， 。 其中k z = 籍。k ( t ，s ) z ( s ) c f s ，他们利用不动点定理和上下解方法结合单调迭代技 巧。建立了方程( 1 2 ) 的解的存在性结果 同年，u u 3 2 】考虑了如下脉冲边值同题 一( t ) = f ( t ，z ( t ) ，k 0 ( t ) ) ，t j = 【o ，邪，t “， z ( “) ；矗0 ( “) ) ，k = 1 ，p 。 ( 1 3 ) 譬( 0 ) = ( 研 作者首先莉甩徽分中值定理，建立了个比较结果，然后利用上下解方法建立了 ( 1 3 ) 解的存在性定理 2 0 0 4 年s o n g 和z 虹【3 l 】研究如下更般的微分积分方程 一( t ) = ，! l ，2 0 ) k z c t ) , s z ( t ) ) ，j = 【o ，t 】， ( 1 4 ) i 善( o ) = 互( 即， 。 其中s = 詹h ( t ，。) 2 ( 8 ) 出，利用微分中值定理和上下解方法建立了( 1 4 ) 的极值 解的存在性 2 0 0 4 年。h e 2 6 讨论了下列脉冲微分积分方程 i 一( t ) = f ( t ，z ( t ) ，k 0 ( 幻，s k ( ) ) ，t ，= 【o ，t 】，t t h ， z ( t k ) = 0 ( “) ) ，= 1 ，a ( 1 5 ) iz ( o ) = 霉 嚣莓学老礓圭譬毽瓷文 利用脉冲微分不簿式和上下解方法，得到了( 1 5 ) 的极值解的存在性结果 文醐继续章孽论方程( 1 5 ) 翡辫静存程性。瘸耱眯滓徽努不等式，不蠢予文 啪，3 l ，3 2 】的分析擀法，得到了一个新的比较定理，这一定理改进了文f 2 6 ，3 1 ，3 2 】 翡稽应缭榘逶道季l 入薪酶上下辩，结合摹调遥戎穷法，获褥了( 1 萄投篷麓戆 存在性纳果 最：i 蘩l 线经逡瀣条捧瓣疆受翻诲多掺鬻舞美注( 踅1 2 2 - 2 5 ) ，毽其骞琢薛瓣方 程在这方面的研究还很少文【2 2 】考虑了非线性边值同豚； ( t ) 镩，确鬈缸嗡( 沈燃( 鼢。弦，( 1 6 ) lg ( z ( o ) ，z ( t ) ) 一0 受戮意发，本文第三_ 攀讨论了辣淬狡努徼努方穗豹菲缭犍透篷窝趱； i ( t ) 一f ( t ，2 ( t ) ，k z ( t ) ，s ( t ) ) ，j = 【o ，邪，t t k ， a z ( t 女) 一磊囊( t 女) ) ，奄= 1 ，弘( 1 7 ) 9 0 ( o ) ，霉( q ) 一0 ， 迸过上下解方法结合莘诞迭代技巧获褥- f 这类方疆静最大、簸夺解存在懿充分条 件 二、躲漳撼食者一食薅扩散系统歪蜀期瓣豹毒雀缝 目前，生态袋统周期_ 解的存在性碍到了广泛的研究避华来，对乎捕食者一 食饵扩歙装统翡耩究氇零l 起了入翻静兴趣，瘟8 丑g 秘矗强醐讨沦了窳下攘食者 一食饵扩散系统 亳l ( 磅= 鬈l ( h 器) 一吐l ( t ) ( 螃一鑫l ( ) 磅l + 魏( ) b ( 砉) 一j i t ( 甥， 屯0 ) = 【如( t ) 一0 2 ( t ) 现( ) 】十d 2 ( t ) 睁l o ) 一2 2 0 ) 】，( 1 | 8 ) 季国= 爹b 辫一魏国瓤一毽辫妨- a c t ) 盘蠢和) 掣擘+ s ) 删。 作者利用l y a p u n o v 泛函方法，研究了系绂( 1 8 ) 的持久性与正解的全局渐避稳 定缝。 x u ，c h a p l a i n 和d a v i d s o n 2 8 ，考虑如下捕食糟一食饵扩散系统 瓤( 玲= 嚣l 母h 国一趣l 瓤( 辞一斑3 ( t ) # ( 磅】+ 绣( 磅陬( 棼一瓤( 甥， ：b ( t ) = 【r 2 ( t ) 一锄o ) $ 2 ( t ) 1 + d 2 c t ) x t ( t ) 一z c ( t ) l ， ( 1 9 ) 蠹( 磅= 蔌) 【r 3 ( 磅+ 鳓l ( 棼9 1 8 一噩) 一妇辞转一龟麓 4 脉冲擞分方程遮佳期题和罔辩解 作者利用拓扑度理论和i 常肼】d 吖方法得到丁( 1 9 ) 的正周期解的存搬性和周期 筹缒垒悬酝透菝定撬。 文【2 7 】研究如下脉冲捕食者一食饵扩散系统 砉一龟f 磅争l 国一a n ( o x ，( t ) 一8 1 3 国掣麓j + d i ( t ) 弛囝一聋t 考) l ，t 缸， 呓o ) 一【r 2 ( ) 一。丝( t ) 如( t ) 1 + d 2 ( t ) k l o ) 一z 2 ( t ) 1 ，t t k ， 矿磅一爹 _ 强簪) + 8 觏器) 敏( t 一矗) 一a 帮c t ) u ( t 一强麓，t 瓤， a z , ( t k ) = k ( “) ，i 一1 ，2 ，七一1 ，2 ， 拿溆) = y ( t k ) ，蠢一l ，2 ， ( 1 1 0 ) 遴避运蘑每交幽l 不丽的镶诗方法，褥鹫蓉绫( 1 。l 妨雏解毂先验链计，进蔼矮 m t t w h i = 媛拓定理，得到了羝统( 1 1 0 ) 的正周期解的存在性绪果如果没有脉冲 拣动，其的结果比文【2 霹懿相应结皋更为蕊液 下面麓个物种的捕食眷一食饵浆统的芷周勰解的存在性畿文鳓中被t 于论， 嫉国= 瓤秘扛l l 妨一a n ( t ) z l 一船秘狰一a 1 4 c t ) z ( t ) l + 魏国 x 2 ( t 一积l 梵， 蝣( t ) = 搬( t ) k 1 一口盎( t ) 匏( t ) 】+ 1 2 ( t ) 协l o ) 一( t ) 】 薹f ，( 砖= 警( t ) 【一砖妨+ 姆l 转) 瓤8 一) 一船( 舌) 寥( 0 一鑫融( 1 ) ：( 瑚， ( 力= z c t ) - t ，2 ( t ) + d 4 1 ( 0 茹l o 一心) 一n n ( 莒) l ，( t ) 一a 稿o 净 ) 】， ( 1 1 1 ) 謦唾甩拓扑痍理论。文汹9 获得了芷溺期解静存在盼辩分条停 在本文的第四章中，我们讨论t 更广泛的系统t 薪( 力= 掌l ( t ) ( 口1 1 t ) 一a n ( t ) z l ( t ) 一( 1 1 3 ( 幻f ( t 3 一口1 4 ( t ) = ( 瑚+ d l ( 亡) 阮( 磅一( 明，t 蝎( t ) = 勘( t ) 【锄( 莒) 一8 始( 亡) 茹2 ( t ) 】+ d z ( t ) z x ( t ) 一2 ( t ) l ，t t b 矿( 舌) = ( t ) 一6 l ( ) + 衄( t ) 茹l 够一n ) - a = c t ) e ( t 一铀) 一8 科( t ) z 8 一，) 】，t t k ， 一( 亡) = 岩( 亡) f b ( 砖+ 口l l ( t ) 善1 0 一心) 一虚心( t ) 掣o 一) 一珏罅( t ) = o 一酬，t t k ， 她( 溺一墨溆) ，l = l ，2 净一l ，2 ， a 舻( “) 一 髓掣( “) ， = 1 ，2 ， a z ( 乓) 一矗啦z ( ) ，蠹= 1 ，2 ，t - ， ( 1 1 2 ) 耀类篮懿方法霉鬟了歪震蘩舞懿孝农经绩荣。 5 一 脉冲截分方程过值问是和周期解 第二章一阶脉冲泛函微分方程的周期边值问题 本章进步研究下面的问题。 2 1 引言 一= y ( t ，z ，飘) ，t 缸，t j = f o ，刃， 掣葛似动x ：于。等m 仁u ， z ( 0 = z ( o ) ，t 【一l0 】， z ( o ) = z ( 乃 这里，g ( j r d ，固，d = 伽：卜r ，0 】一r ，妒是除了在有限的点i 处。 妒( r ) ，妒( 矿) 存在且妒( r ) = 妒回外的连续函数 ，厶口( 曩固，z ) 一z ( 砖) 一 ( “) ，k = 1 ，2 ，n 0 篇t o t l 如 知 0 ，j ，= ， t l ，屯，知 为常效，对任意的t 【0 ，明，s 【- v , 0 ，x t ( s ) = 岔o - t - 5 ) d 设p v c a , r ) = 缸：j r ；x ( 0 在t “处连续，( 坛) 和g ( t 毒) 存在，且 z ( ) = 善) k p c i c j , r ) = 伽p c ( j , 固：o ) 在t “处连续可微，一( 坛) 和一( 砖) 存在。一( 石) = d ( t k ) 设e = p c ( 【一l 明，固n p g l 似励，满足方 程( 2 1 1 ) 的函数写e 称为( 2 1 1 ) 的解 为了证明比较结果，需要用到下面的引理t 引理2 1 1 1 1 假设 ( f ) 序列 “) 满足0 s t o t l 如 “ ，且熙t i = i ( i t ) n p 伊( j ，r ) 在t “处左连续。七= 1 ，2 ，； ( i i i ) 对七= 1 ，2 ，t 2 t o 均有 毗? 卯o ) m 怕o ) 睁“， ( 2 1 2 ) lm ( t j ) d k m ( t k ) + h ， 其中p , q c ( j ，r ) ，厶0 ，h 为常数。则 嚣肇学力硬士学位论文 r f t r e ( t o ) r 呶档残茏残s ) 幽) + 曩联森e 礤( 痰0 矗萨) g s ) 幽 如( t j c 札l + 。互，。n 嘞e 印( 疋p ( s ) d s ) b k t缸铂tk t j t 撂。1 3 ) 注( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 式中的不等号同时魇向，绪论仍成立，即有 霉l 壤2 。2 缓浚萼l 瑾1 孛国( i o 瀵照，显 ( 越t ) 对七= 1 ，2 ，t t o 均有 | 转) 尹( 辞m 8 ) + q ( o ，t 磊， im ( t + ) d k m ( t k ) 十b k ， 其中鼽g ( f 0 ，硒，矗o ，靠为常效，羹l l m ( ) r e ( t o ) 。h 。或鲫( 是烈s ) 幽) + 叠h 或妒( 菇p ( 印d 口( s ) 幽 缸 ” 。6 t a t + 。互。旦，。嘞e 印( e p ( s ) d s ) k t o “州t k 0 ，工 o 矿p c ( j , 固，叩e 襞嬲鸯下蘑瓣缝暴 定理2 2 1 仳e 是( 2 2 1 ) 的解当且仅当牡p c ( - r , t i ，聊撼下面脉冲 漱毽熬鬃t f - f f oo ( t ，s ) p 伫，t ( r 渺+ 盯( $ ) ) d s 翟街2 一。茹g 氇缸) ( 互囔t | 溉) + 矗国慨) ) 一l k t c t ) ) ，。静，司， i 牡( o ) ， t 卜to ) ， 其中 ， 刚一南 鬈，蓦冀 定瑾2 2 2 方程磐幺1 ) 毒唯謦敕条搏是t 等+ 笔1 夔厶 l ， ( 2 2 5 ) 材e 册一鑫” 。 注。邀里的定理2 2 1 2 2 2 就是文【2 1 l 中的引理2 3 ，引理2 4 ，只是条 锋粒。2 砩式与支羚鹫串熬穗弯苓藏。 嚣莓拳_ 寿饔圭举盈论文 证明设蜀一如p c ( i - 卅，勋：u c t ) 兰t ( 0 ) ，t e 【一钆0 】) ，l s u p l u i ： t f - - 朝 ，剐弱是b a n a e h 空阕 对任意的t 岛。考虑算予f ： ( f 1 4 ) c t ) = - f f c ( t ，s ) ( 岳，缸( r ) d r + 口( 曲) 妇 一c ( t ，t k ) ( l k u ( t k ) + 厶( 霉( 如) ) 岛刁( 如) ) ，t 仨i o ，司， 敬缸嫂 (瓢。)(o)，t6 卜l o ) ， 粥毒( f 珏) 玛。鄂f 玛c 最。 由予f f g ( t ，s ) a s = 矗，吲m a 州xl g ( t ，s ) = 筠，对任意的“， e 岛，t t o ，霉，饔 i ( f u ) ( t ) 一( f ) ( t ) lsn 上g ( t ，5 ) l t ( r ) 一州，) i d r 幽 j vj o t + g ( t ，靠) 玩降( ) 一口( 靠) l 等+ 雨6 , m t 矗p 圾严 i 哪 因此， ”凡一n 4 一 s ，u p f ( 弛) ( t ) 一( 砌) ( t ) l = s u pi ( 飘) ( t ) 一( 脚) ( t ) f t 卜t 卵 蛇【o q 。 丽n t + 晶圭瓤卜谁 羧蔼，雾旌唯一的珏玛，使褥“一f u ，t 麓黪磐程2 2 1 ) 豹嚷磐。 定璩2 2 3 “e 燕( 2 2 2 ) 的解当熙仅当u p g ( 【一_ 邪，r ) 是下面脉冲 积分方擞的勰， f 一口m 曲( 。獭p ) 州s ) ) 幽 缸辫2 一。羞o g 襁妨三睡“溆) + 磊( 封溆) ) 一蹿溆疆t 洚，霜， 箨- 2 - 鸯 【t ( o ) ，t 【一一o ) ， 其中 魄习一南 即e u o - ) , ，篡冀 壁兰茎坌垄墨兰竺望曼翌墨塑苎 注证明与定理2 2 1 类似 定理2 2 4 方程( 2 2 2 ) 有唯解的条件是。 堡m + 刍1 壹“ 1 ( 2 2 7 ) e 船一鲁”“ p “7 对于问题( 2 2 3 ) 。有 定理2 2 5 “e 是( 2 2 3 ) 的解当且仅当“p c ( 【一t 邪，r ) 是下面脉冲 积分方程的解 ff f a ( t ，。) ( 一n i i ，“( r ) d r + 口( s ) ) d | “( 。) = + 0 “e r c ( ，“) ( 一l k u ( i ) + 厶铆( 七) ) + 工七叩( “) ) ，。【0 ，t 1 ， 【u ( o ) ，t 卜r ，o ) ， ( 2 2 8 ) 其中 ， g 瓴泸一1 舯e m ( t - t ，+ ，“蓦冀 证明设u e 是( 2 2 3 ) 的个解。当t 【0 ，卅时，则有 ( 乜( t ) e 肌) 一e 胁u ，( t ) + m e u t u ( t ) = e 胁【一nf t ( s ) 幽+ 盯( t ) 】，( 2 2 9 ) 从0 刭t l 积分上式，得 u ( z ) e 胁l 一“( o ) = fe 协【一u ( r ) 打+ 矿( s ) 】幽， 对t ( t x ，纠，再从t l 到t 积分( 2 2 9 ) 式，得 u 桫= u 秒1 + 抄【一心) d r + ) 】幽 = ( o ) + r 抄卜仁，( r ) 玉+ 口( s ) 】幽 + e 胁1 - l x u ( t 1 ) 1 - 五( 叩( t 1 ) ) + l l o c t l ) 】， 继续做下去。有 缸( t ) e 胁= 缸( o ) + re 胁【- ，u ( r ) d r + 盯( s ) 】d s + e 胁 - - l k u ( t k ) + 厶( 叩( 4 l k r l ( t k ) 霹等掌秀硕士学整瓷交 史于t ( o ) = 狂猡) 得 t ( o ) 一；日c 1r 譬e 确f 一莹，缸( r ) 毋+ 拶( s ) 】幽 + 嗽 r e m t k l 一厶t ( “) + z k ( n c t 女) ) + ，7 ( 枷 将, 4 0 ) 带入上式，于是毒 u ( d 一南 j 芋e m o 卅【一j ：0 ，让( r ) c 鼢+ 盯( s ) 】d s + 嚣一e 材仇一o - 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因而，存农唯的t 岛，使得u f u ，t 辅助方程( 2 2 3 ) 的唯解 类议惫理2 2 5 ，定溪2 2 6 ，粒子海糕 2 2 l 毒) 劈 定理2 2 7 雠e 是( 2 2 4 ) 的解当且仪当 岜 p g ( 【一一刀，研是下面脉冲 积分方程鳃奢艮 f 露筇，) ( - n 嘲m a 删xu , ( o ) 叫d 蠡 似0 2 + 。景f g ( t ，“) ( 一“蛐+ 厶o o ) + 呀) ) ，。【o ，明， l 翰，、 【一t ， 葵孛 雠砖= 南 妒e m i o - t 州) , 麓鐾 定理2 2 8 方程( 2 2 + 4 ) 有唯解的条件是 笪+ 嘉囊厶 1 (22_11)m 1 e 脚一盘1 、 ，1 3 籁等学秀硬圭学位论文 2 3比较缝果 在这酃分里，我们将诞明几个比较结果，它们农箍面的部分中起剥了很重簧 的作雨 定理2 3 1 设m e 满足 lm ? m r a ( t ) + nj 皇，m ( s ) c 1 8 + v m ，t “， a m ( t k ) l k m ( t k ) + k ，蠹一1 ，2 ， ( 2 3 ，1 ) lm ( t ) 一r e ( o ) ， t 【一r ，0 】， 其孛 1 0 ， m ( o ) m ( 研， iv o b ( 妁一m ( o ) l ，m ( o ) o ，k o ，r o ，m o = + 击( 1 - - e - m r ) ) 均为常数，并且 m o ( e m + t ) 董 f t k f i = l ( 1 + “) ，) 2j 瓦夏丽 则m ( t ) o ，t 卜t 列 证明( i ) 当m ( 0 ) m ( 巧噼。由【2 l 】巾的弓l 理2 2 知，绪论成藏 ( i i ) 搬m ( o ) r e ( t ) 时，令! ，( ) 一m ( t ) 一盟t 【m ( ”一m ( 0 ) 】，幻= m a x t ，o ) ， 骝鲈( o ) 一m ( o ) 一“巧，并且当t 0 时，有 ；，( 妨一m y ( t ) 一珐，u ( s ) a s = m ，( t ) 一季【m ( 卵一m ( o ) 1 一m m ( o 一譬i r a ( t ) 一m ( o ) 】 一盛， m 一譬b 一m ( o ) 】) 幽 = m ，( t ) - m m ( o 一盛，m ( s ) d s + 擞三二雹霉丝f m ( 一m ( o ) 1 0 ， 垂 脉冲擞分方糕涟值简惩和周期解 o ) = a m c t k ) l k m ( t k ) 一峄【m ( 卵一r e ( o ) 】= k 掣( “) 鉴t l t 镄跨，v ( 0 = 硝) 一萼g 融一燃国) 】篡m ( 0 一m ( o ) = 擎p ) ，瘗 攘论2 3 1 设一m a x t , 一氛一l ：奄= l ，2 ，爹十l ，辨e 滤是拈3 。1 ) 以及m o ，n 0 , l k o ，r o ，眦= ( r + 击( 1 一e 一撕) ) 均为常数，并麒 觚m 砖躲， 则m ( 0 茎0 ，t f 一明 注t 撩论2 3 1 簿藏莛突终l 】审翦提沦2 1 。 定理盘3 2 设m e 满足 i 耐+ 掣翻慨( 田十，。， m 钕) l m ( t k ) + ， 蠢一l ，2 ，热 ( 2 3 3 ) lm ( 0 = r e ( o ) ，t 卜r ，o 】， 1 0 ，m ( o ) m ( t ) ， l 镪乃一m ( 哟，r e ( o ) m ( 霉， 妒k 0 删，絮黧 v o ；一崖数譬鱼j ，匍一m a x ( t 一 o ) ，而b * 一扛，村 o ， o ，凯2o ，r 侥鑫岛= 一姗鸳隽棠数，磐量 诋垆+ 1 ) 粼m ( 0 馥t 卜霸t i 。 直( t + 计。 2 君。器 1 + 氐) 。幽 一1 5 丞0 。镑 联莓学力硬壬学位莞戈 证明分两种情况， 警m ( o m ( 固嚣孛，设牲一m ) e 一撇，l t 霜，弼鞋e 满足 ( t ) 。： 8 肼啦( s ) ，te ， a u ( “) l k u ( t k ) ，岛= 1 ，2 ，p u ( o = t ) e - 肌，t - r , 0 ， t ( o ) t ( 妨e 胛 缀疆显，炎餐莲程( 磅茎0 ，t j 攀霹+ 如果j 麓结论不成立，那么存在t j ，使得“( t ：) 0 ，分两种情况讨论， 国存在莓j ，嫒褥( ) 0 ，黩黯 点缸0 ；雾0 。 ( 6 ) 存在亡i ，t 主j ，使得t i ( 蜢) 0 ，u ( 甥) 0 矛盾 在( 6 ) 中，设t 嚣= m 默髟ej ：髫( t ) = 一a ，a 0 ，存在某个l 。使褥 亡 0 ，n 0 ，l k 2 0 ，r 0 ，m o ；n e 一脚均为常数，并且 沁躲， 则, n c t ) so t 【一r ，卅 定理2 3 3 设m e 满足 i m s - m r a ( t ) 一z - ，仇( s ) c b t 概，t “。 m ( 缸) - l t r a ( t k ) 一k 加 七= 1 ，2 ，p ， ( 2 3 5 ) im ( 0 = m ( 0 ) ， t 卜1 - ，o 】， 其中 ， ： o ，仇( 0 ) m ( 即， = 0 ， l o m ( o ) 一m ( 刃】， 1 7 m ( o ) m ( 奶， m ( o ) 仇( 乃， 同等学力硕士学位论文 t j ；d = 型壁= = 雩丰坠丝丝，勺= 瑚x ( t l o ) 而z o = 邑山t ，m o ，n o ，0s l t , o ，m o = e 腑( r + 学) 均为常数。并且 n ( 1 一l k ) 2 e m t - - 1 ) 瓦i 。庐- - 1 2 则m ( t ) so ，t 卜- l 习 证明分两种情况， ( 0 当m ( o ) sm ( t ) 时，设t ( t ) = m ( t ) ，t 卜t 卅。则u e 满足 ( ) 一nj 暑，u ( s ) e o 一) d s ，t j ， a u ( t ) - - l k u f f ) ，k = 1 ，2 ，- 一，p ， u 0 ) = u ( 0 ) e 胁，t 卜r ，o l ， u ( o ) u ( t ) e 一胛 很明显，只需证u ( t ) 0 ，t j 即可 如果这结论不成立，那么存在蜡j ，使得t ( 巧) 0 ，分两种情况讨论， ( 存在t ：j 。使得n ( ) 0 ，且对t 正“( t ) o ，t ( t ) 0 ( 6 ) 存在e ，t 主j ，使得t ( ) 0 ，u ( t 1 ) 0 矛盾 在( 6 ) 中设蛄2 瑚x 0 j ：。i n 。j f u ( o = 一a ， 0 ，存在某个i ，使得 t t r o t 件l ，有t ( ) = 一a 或t ( 口) = - a ，我们只考虑u ( t 5 ) = 一a 的情况 ( 牡( 口) = a 的情况类似) 这时。对于s 【一l0 】，t r ，如果t r 0 ，则 t ，( t ) 一nft o ) e m ( t - , ) d s 1 8 壁兰茎2 壅矍兰竺璺墨塞墨塑曼一 l ；二_ _ _ 。2 。2 。