（基础数学专业论文）复金兹堡朗道型方程解的定性分析.pdf

中文摘要 复金兹堡一朗道( g i n z b u r 9 一l a n d a u ) 型发展方程是在力学、物理学以及其他领 域中用来描述非线性系统的一个简化数学模型本文主要讨论三种类型的复金兹堡 朗道发展方程 在第二章中，我们研究了复系数的复金兹堡朗道方程 饥= n 让一( p + i v ) l u l 2 + ( o t + 泐a u ，( $ ，d q ( o ，t ) 根据方程解的存在条件，通过先验估计讨论解连续依赖于方程中的控制系数“屿口 我们在第三章中主要讨论关于p l a p l a c i a n 复金兹堡一朗道方程 地= 纰一似+ 川2 “+ ( 口+ 泐，p ，力q x ( 0 ，力 在满足一定的条件下方程的解连续依赖于参数口+ i u 最后，在第四章中，考虑一类复金兹堡朗道型方程 砘= ( 口一i ) a u + ( c + 翻9 f ( t ，p 。牡) ，( ，t ) q x ( 0 ，刃 运用特征值和特征函数，推导出在初值满足一定条件下，方程的解在有限时间内爆 破，并将方程中的某些参数趋于零时得到与相应非线性薛定谔方程类似的结果 关键词：复金兹堡- 朗道型方程；连续依赖；p l a p l a c i a n ；爆破 ! l a b s t r a c t t h e t i m e - d e p e n d e n tc o m p l e xg i n z u r g - l a n d a up a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nh a s b e e nu s e dt os i m p l i f i e dm o d e l p h e n o m e n a i nan u m b e ro fd i f f e r e n ta n 啪i n p h y s i c s m e c h a n i c sa n do t h e ra r e a s i nt h i sd i s s e r t a t i o nw ed i s c l l s st h r e et y p e sc o m p l e x g i n z u r g - l a n d a ue q u a t i o n s i nc h a p t e r2 ，w ef i r s td i s c u s st h ec o m p l e x g i n z u r g - l a n d a ue q u a t i o n s t t = m 一( p + l ，) m 1 2 u + ( 口+ i # ) z x u ，扛，舌) q ( o ，刃 ， a c c o r d i n gt ot h ec o n d i t i o n st h a ts o l u t i o n se x i s t ，w ed e r i v eap r i o re s t i m a t e st h a t i n d i c a t et h a ts o l u t i o n sd e p e n dc o n t i n u o u s l yo ns o m ep a r a m e t e r si nt h eg o v e r n i n g d i f f e r e n t i a le q u a t i o np ，口 s e c o n d l y ，i nc h a p t e r3 ，c o n t i n u o u sd e p e n d e n c e o nam o d e l l i n gp a r a m e t e ri s e s t a b l i s h e d f o r s o l u t i o n s o f a p r o b l e m f o r a c o m p l e x g i n z u r g - l a n d a u e q u a t i o n w i t h p - l a p l a d a n i nc h a p t e r4 ，t h ec o m p l e x g i n z u r g - l a n d a ut y p ee q u a t i o ni sc o n s i d e r e d ： t t = ( a i ) a u + ( c + d ) f ( ，p ；u ) ，扛，t ) q x ( o ， t h r o u g ht h ef i r s te i g e n v a l u ea 0 a n dt h ec o r r e s p o n d i n gf i r s te i g e n f u n c t i o n ( z ) 0 ，w eo b t a i nas e r i e so fg r o w t he s t i m a t e so ft h es o l u t i o n sf o rt h ec o m p l e xg 缸5 u 学 l a n d a u t y p ee q u a t i o ni nf i n i t et i m e b ym e a n 8 o ft h ee s t i m a t e s ，w e i n v e s t i g a t et h e b l o wu pp r o p e r t i e so ft b es o l u t i o n si nf i n i t et i m e f u r t h e r m o r e ，i ti sc o i n c i d e dw i t h 8 0 m er e s u l t so ft h en o n l i n e a rs c h r o d i n g e re q u a t i o nw h e n8 0 m ep a r a m e t e r si nt h e c o m p l e xg i n z u r g - l a n d a ut y p ee q u a t i o nt e n dt oz 啪 k e y w o r d s ：c o m p l e x g i n z u r g - l a n d a u t y p e e q u a t i o n zp - l a p l a d a n ；d e p e n d e n c e ； b l o w - u p 致谢 在这里，我首先衷心感谢导师高洪俊教授，他宽广的知识面、严谨的治学态度 以及一丝不苟的工作精神给我留下了十分深刻的印象，也给了我很大的触动三年 来，高洪俊老师始终如一地、耐心地指导我，让我一步一步地了解学科的发展方向 和内容，本文是在他的悉心指导下完成的除此之外，高洪俊老师在工作和生活上也 给予了我无微不至的关怀 在研究生学习阶段，方锦暄老师、张吉慧老师和杨作东老师课上课下的精心指 导，为我论文的完成奠定了基础，特此向他们表示由衷的感谢 同时，感谢我院为我们提供良好的学习环境，感谢学院领导、研究生部的老师 给了我多方面的关怀和帮助 此外，学长陈友朋、刘其林、陈玉娟，学友朱安友、张慧等也给了我诸多帮 助，在与他们的学习交流过程中，我受益匪浅 最后，感谢我的父母和爱人，感谢他们对我无比关心、理解和支持l 林琳 2 0 0 6 年3 月 第1 章引言 1 1 复金兹堡一朗道方程 很多非线性动力系统比较复杂，很难分析因此，用简单模型解决特殊领域的问 题显得尤为重要复金兹堡一朗道( g i n z b u r g l a n d a u ) 型发展方程就是在力学、物 理学以及其他领域用来描述非线性系统的一个简化数学模型它具有十分丰富的物理 背景和内涵，如对流问题、化学反应的湍流、非平衡系统的相位迁移、流体动力系 统的不稳定性以及超导中的涡旋问题等，具体参见文【1 】、【l o 当空间维数n = 1 时，古典意义下的金兹堡朗道方程即为 t t ；( 口+ i a ) a u 一( 6 + i ) l u l 2 u ， ( 1 1 ) 当某一控制参数r 属于系统不稳定的临界点风的不稳定领域时，金兹堡- 朗 道方程通常用来描述在这种波动扰动模式下的非线性发展情况该方程是由 n a v i e r s t o k e s 方程经过尺度变换推导而出的金兹堡一朗道方程以及它多种形式 的非线性项的变形已经被得到广泛的研究起初人们主要讨论它的初值或齐次边界问 题，对于一维空间中的非齐次边值情况，当口卢 0 或吲 怕6 时，文【8 】得到了 整体解的存在性、唯一性以及适定性；后来，文【1 3 】研究了n + 1 维复金兹堡- 朗 道方程的非齐次狄利克雷边值问题，并得出方程( 1 1 ) 整体解存在唯一的一般条件： 控制参数满足一1 一譬 娟l 罢一譬i 众所周知，稳定性的讨论在偏微分方程中具有较强的实际意义方程系数在允许 范围内变化或方程本身适当变形来讨论方程的稳定性，通常称为结构稳定它不同于 连续依赖于初值的稳定性，具体可参阅文【2 】、1 3 、【6 1 和阴不过，所有这些稳定 性估计都基于这样一个事实：当方程中的系数或边值的小扰动乃至方程本身的微小 变动时对方程的解的变化情况因此，研究模型本身的连续依赖性问题是基本的、 必要的，并且从某种意义上对讨论方程的稳定性具有重大作用( 见【4 1 ) 在本文的第 二，三章中，通过一个向前时间问题的先验的解，讨论了两种类型的复兹堡一朗道 1 南京师范大学硕士学位论文 2 方程的解分别连续依赖于模型参数 我们还发现，金兹堡一朗道方程与非线性薛定谔方程有着密切的关系令( 1 1 ) 中 口= b = 0 ，金兹堡朗道方程即转变成薛定谔方程 t t = i a a u 一妒川2 ( 1 2 ) 那么，当a ，b 趋于零时，金兹堡朗道方程的解札在适当空间下的范数是否趋向于 薛定谔方程解u 的范数? 在文【5 】中，作者分别考虑了在能量空间中复金兹堡一朗道 方程柯西和周期边值问题的渐近行为；文【1 8 】讨论了在b e s o v 空间中复金兹堡朗 道方程柯西问题的渐近性在本文的第四章中，我们考虑了一类复金兹堡- 朗道型方 程 t k = ( o i ) x u + ( c + l d ) f 似，d ；“) ，( z ，) q x ( 0 ，t ) 其中非线性项f 为实的，在非线性项f 和初值满足一定的条件下，方程的解在有限 时问内爆破，并将某些控制参数趋于零时得到与非线性薛定谔方程类似的结果 1 2 内容安排 在第二章中，我们首先给出一些基本概念和一些引理，下面主要考虑复金兹堡一 朗道型方程 t t a u 一( u + i u ) l u l 2 t + ( 口+ i f l ) h 牡，( z ，t ) q x ( 0 ，t ) ， ( 1 3 ) 在文【1 9 】中作者已经得到方程( 1 3 ) 的解连续依赖于参数p + 以我们通过l i s k e v i e h - p e r e l m u t e r 不等式( 文【1 5 1 ) ，根据复金兹堡一朗道型方程解的存在条件，推导出方 程的解也连续依赖于参数p ，碍口 在第三章中，讨论关于p l a p l a c i a n 复金兹堡一朗道方程 t t = 口一+ i l ，) l u l 2 t + ( o t + i f l ) ，p ，t ) q x ( o ，即， ( 1 4 ) ，算子不同于a 算子，它为非线性算子，对讨论解的连续依赖性带来了一定的困 难尽管如此，我们推导出问题( 1 4 ) 的解仍然连续依赖于方程中的控制参数p + 伽， 南京师范大学硕士学位论文 3 如果解存在并且参数满足0 o ，p 0 通过算子对应的第一特征值a 0 和相应的第一特征函数( 霉) 0 ，我们推导出这类复金兹堡朗道型方程解的一些估 计，进一步得出在初值满足一定的条件下方程的解在有限时间内爆破如果将方程中 的某些系数趋向于零时，原方程即转化为非线性薛定谔方程，得到与文【2 1 】类似的 结果 第2 章关于复金兹堡朗道方程 解的连续依赖性 2 1 预备知识 文1 2 0 研究了实系数的复金兹堡一朗道方程解的连续依赖性： 砘= 仳一b l u l 2 t + c a u ，扛，t ) q ( 0 ，t ) ， 其中b 0 ，方程的解连续依赖于参数b 本章主要讨论复系数的复金兹堡朗道方程解的连续依赖性： l 地= o , u 一( p + i l ，) l u l 2 t + ( q + i z ) h u ，0 ，t ) q ( 0 ， ， t = t h ， ( z ，t ) 6 l q ( o ， ( 2 1 ) l 让( z ，0 ) = t l o ( z ) ， z q ， 其中i = ，j ，参数n ，卢为实数，口 0 ，| f 0 ，h 1 ( a a ( o ，刃) ，且 为一复值函数当q d ，p ，p ，l ，为某一空间变量函数时，通过小的改动可以得到类 似的结果为简便起见，在分析过程中我们视它们为常数文【1 9 】推导出方程( 2 1 ) 的解连续依赖于参数p + 咖我们将利用l i s k e v i c h p e r e l m u t e r 不等式，得出当 印 0 ，ms 、瓢，u o l 2 ( f 1 ) 时，该方程的解同时连续依赖于参数“ua 整篇文章中记i l u l i = ( 厶l u l 2 ) ，先给出一个重要引理： 引理2 1 ( o k a z a w a 和y o k o t a ) 设日为复h i l b e r t 空间，定义内积( ，) 和范数l j j | j j r ，p ( 1 ，o 。) ，则对于任意 非零而7 0 h 且o 伽，我们有 幽鬟嵩艄s丽tp-21re(1lzll瘩- 1 乞一0 叫0 f 2 t ，名一姊一2 、历一。 一一7 证明过程见文【1 4 】或【1 5 】 4 南京师范大学硕士学位论文 5 2 2 解连续依赖于参数z ，q ， 设札和钉为方程( 2 1 ) 中有相同边界和初值条件但分别满足不同系数p l + 饥，口1 + 妒和他+ 讹，劬+ 印的两个解令 一t 一弘a = ，l 一助，s = n 一屹， i - = 口l o ，则 1 , 3 t = 口叫一( 他+ i u 2 ) c l u l 2 t 一i v l 2 t ，) 一( a + i 8 ) i 钍1 2 u + r a u + ( a 2 + i 1 3 ) a w ，( 2 3 ) 在方程( 2 3 ) 两边同乘以面并在q 上积分得： 毗， ) = n 1 1 t o l l 2 一沁+ 咧协i i 帕幻) ( 2 4 ) 一( a + 诂) ( i 钍j 2 t ， ) + r ( a u ，伽) + ( q 2 + i p ) ( 伽，1 正，) ， 在方程( 2 , 4 ) 两边取实部，即转化为 ；磊d 岫1 1 2 = 口1 1 伽1 1 2 一r e 她+ i 屹) z ( 1 u 1 2 u i 勘i 猢面出+ r e r z 岫如 一r e ( a + i s ) l u l 2 础一r e ( o e 2 + i t ，) l l w l l 2 取p = 4 ，当0 齑s 钷时，由引理1 知，r e ( 坳+ t 屹) 厶( m 2 一i v i 2 竹) 面如0 因此 ；面d 忡1 1 2s 口i l w l l 2 + 厢z m 1 3 i l 如 + h i w , l l w o l a z r e ( o 屹+ i o ) l l v w l l 2 a m 2 十、丙r ：f i 训3 i 叫l d 霉 + i r l c ( e ) l v t 1 2 d 霉+ i r l c i v w l 2 如一r e ( a 2 + t 所i i v 埘0 2 冬a l i w l l 2 + 、页i 干i t 1 3 i 加i 口幻+ c i r i i v u l 2 如 j 0 j n n i l w l l 2 + 3 丽上( m 4 + 扣1 4 ) 如+ c f r i 上f 讥i ， 其中e = 盟2 1 , - i 令7 0 ) = l i , o l l 2 ，我们有 爰f 7 ( t ) 2 叼+ 6 厢上( i u i 4 + 扣1 4 ) 如+ 2 c i r if i v , z 1 2 如， 南京师范大学硕士学位论文6 由g r o n w a l f 不等式，得 祀) e 2 邯厢r 上i i1 4 ) d x d 倒r lr 上胁1 2 d z d o e 2 ( 1 u l d z d o ( 2 5 ) ，7 ( t ) “( 6 叉r 干7 4 + 4 + 2 c | 7 - l i v u 2 ( 2 5 ) j 0 ，nj 0j n 为了说明( 2 5 ) 是我们的连续依赖性结果，只要估计出名厶i w l 2 出西，名矗k 1 4 d x d c 和后厶m 4 如即可为此，我们先给出辅助函数妒( 为t ) ，使得 妒= 0 ， 扛，t ) q ( 0 ，刁 妒睾t l 口，( $ ，t ) a q ( 0 ，t ) 考虑恒等式 r z m 一妒) ( 嘞一0 面+ - 一i n ) i u l 2 豇一( n ，一够) 面d z 嘶；。， ( 2 6 ) 在方程( 2 ，6 ) 两边同时取实部，由格林公式可知 ；厶l 牡2 d x + p ，厶i 仳1 4 d x d e + a l 厶i 讹1 2 如西 + 5 厶f 吲l 仳o l 蕊竺绻嚣磊法等胁l 蜊+ 厶陆l i ；f ( z ，o ) l 如+ 片厶蚓i 妒c i 出必+ i o i 后厶吲如必 + ( p 1 + i n l ) 名矗m 3 l 妒l 如+ r e ( m 一妒) 后j 舳罄础 利用c a u c h y 不等式和y o u n g 不等式，我们有： l i 钏妒i 如；z m l 2 如+ 上2 如， ( 2 8 ) l i 砺i i 妒( 甄0 ) i 出互i 上l 蛳1 2 如+ ；z l 妒( 毛0 ) | 2 如， ( 2 9 ) r 加妣必互1 r 加i 似+ ；r 从1 2 城 r 上蚓酬出武s 互山1 ，! i 印出必+ ；r z m 2 如配 ( 2 m ) 南京师范大学硕士学位论文 7 o l , 卵m 如必蹿3 o 加4 删+ 扣r 加4 娥( 2 1 刁 篡o f l l ：高髫麓蒜d s o ，p 0 ，h 1 ( ( 0 ，d ) ，u o l 2 ( q ) 且为一 复值函数由于。算子不同于算子，为非线性算子，这给我们的估计带来了一 定的困难尽管如此，我们推导出问题( 3 1 ) 的解仍然连续依赖于方程中的控制参数 p + 伽，如果解存在并且参数满足o 学警野，川怕胁1 p 2 3 2 解连续依赖于参数p + i u 设“和口为方程( 3 1 ) 中有相同边界和初值条件但分别满足不同系数p 1 + l n 和 助+ i 吻的两个解令t ，= u t ，a = p l 一舰，r = 魄一屹，我们有 t 吨；删一( p l + i v l ) l u l 2 “+ ( 助+ i 地) l 口1 2 t ，一( o t + f 1 ) ( z x p t ，一p t ) ( 3 2 ) 在方程( 3 2 ) 两边同乘以面并在q 上积分得： l d r ， 1 0 ) = 。 1 t o u 2 一( ( _ + v t ) c l u l 2 t 一h 1 2 u ) ，叫) ( 3 3 ) 一( q + i 7 ) i v l 2 t ，动一( 口+ 泐( p t ，一，t ，埘) ， 其中 一( m + i u l ) ( 1 u 1 2 t 一i 口1 2 ”) ，1 2 一( o t 十i 卢) ( 一一， ) ， 1 0 南京师范大学硕士学位论文 1 1 记 0 1 = r e ( 阻1 2 t 一i t ，j 2 弘t 正i ) ，n = i m ( i , - 1 2 t 一扣1 2 t ，t l ，) 由引理2 1 ，取p = 4 ，我们有桀去= 瓶，从而只要假设0 1 等锯，就有 r e = p l m u l n 0 由于 ( a p v a p u ，“一郇) =( d i v ( i w , l - 2 v v i v 牡1 9 2 v u ) ，t 一口) ( i v u l 一v u 1 w 1 9 v v ，v u 一川 口+ 坑 兵甲 o = i c e ( i v - i - 2 v u i 勋r 2 跏，v 牡一乳) ， b = k i ( i v 牡r 2 v u i v 叫p _ 2 v v ，v u v 据引理2 1 ，我们有兽鸟基假设o 暑髻哥，i s j r e 2 - - - - o , o c 一够0 因此，我们通常假设os 等s 倜见文【1 2 】) ，0 警名野 在( 3 3 ) 式两边取实部得： ；面d 怕0 2 = 口1 1 , - 1 1 2 一r e 一r e d + 订) ( 扣1 2 t ) ，w ) 卜，i c e 疋 s 口。伽i j 2 + 、页i 干虿i v l 3 l 叫l 如 j n 口。钳0 2 + 3 、j 雨( 1 1 4 ( b + i 1 4 d z ) j nj n 令7 ( t ) = i 陋1 1 2 使得 差 7 ( t ) s2 唧+ 6 厮z ( m 4 + 川4 ) 如， 由g r o n w a u 不等式，我们有 ， 7 ( t ) 6 、殍耳孑i e 2 耐( i 钍1 4 + m 4 ) d 谢e ( 3 4 ) 一o ，0 南京师范大学硕士学位论文 1 2 为了估计名厶m 4 出武和名厶m 4 出必，仍然需要辅助函数妒( z ，t ) ( 在第二章已经 介绍过) 满足 妒= 0 ， ( 霸t ) q ( 0 ，? ) ， 妒= ， ( $ ，d a f t ( 0 ，刃 考虑以下恒等式； z z 一妒) ( 啄一而+ ( u i - u 1 ) l 牡1 2 百一 一 卢) 乒) 如必= 。， ( 3 5 ) 在( 3 , 5 ) 式两边取实部，利用格林公式有 也就是 ；矗h 2 出一；厶i 坳1 2 出一n 厶m 2 出d ( + p 1 名厶i 钍1 4 如武一r e 一柳后厶( t 一妒) ，沈d c = r e 厶豇妒如一r e 厶嘞妒和，o ) 出一r e 后厶嗽出必 一口r e 名厶霸砂c b 必+ i r e 名厶m 2 “祝b 西 + n h 露厶i 1 2 u c d z d ( ， ( 3 6 ) ；厶j u j 2 出+ 胁名厶川4 如必 辜擞o + i ) l d 训x 铉鬣甚罕篙i a ll 妒l d z , g + 厶l 痂i i j f ，p ，+ 名丘j 面l i 畎j 如d ( + l n i 片厶i + 似- + h i ) 石厶i - 1 3 i 妒l d z 必+ r e ( a 一徊) 露厶( 一妒) ，弛必 由格林公式和y o u n g 不等式得： r e ( 口一泐j ：厶( “一妒) ，面幽域 = 一l i e 一柳名厶( i v 训，一i v u l p - 2 v 豇v 妒) 如必 一一口j = 矗f v i p 如必+ r e ( 口一锄层厶l v r 2 v 面v 妒如西 一a 名厶i v “f ，如必+ 孑? 万名厶( 勖i v “l ，+ g 0 2 ) i v 妒1 2 ) 出战 = 詈名矗i 砜i ，如必+ 0 名厶j v 妒j 2 出武， ( 3 8 ) 南京师范大学硕士学位论文 1 3 其中如= 南且1 p 2 把第二章中的( 2 8 ) 一( 2 1 2 ) 和( 3 8 ) 代入( 3 7 ) 式，则存在芷常数吼k l ，k 使得 厶f u l 2 出+ 口譬厶f 钍f 4 如西 主端d x 黜麓掩畿翟 ， + 如厶m 2 + 如露厶i 呶1 2 出必+ 厶i 妒1 4 出必 ”“ + j ：丘2 出必+ 后厶i v 妒1 2 如必 由第二章引理2 2 知，如果函数妒( z ，t ) 满足 妒= 0 ，p ，t ) q ( 0 ，刃 那么 妒= ，扛，力锄x ( 0 ，刃 ( g 一1 ) 厶f v 妒1 2 如+ ；一吼i 鐾1 2 d a = 厶吼i v t 妒1 2 d s 一岛$ 正譬妒如 ( 3 1 0 ) 文 2 0 1 已得出空间维数d 2 时，厶l v 妒1 2 d x 和露厶i v 妒l ：如必均有界运用 p o i n c a r e 不等式，我们得出： 一 zm 2 出c ( 厶j 砂j 2 幽+ fl v 妒1 2 出) c t li , p 1 2 d 8 + 岛厶i 妒1 2 如， ( 3 1 1 ) 也就是 z 加2 删“i ( 小| 2 d s 西+ c s z 厶唧1 2 如必 根据s o b o l e v 嵌入定理，当d s4 对，j 5 r 1 ( o ) 一( n ) ，从而 fi , p 1 4 d x c b ( i 妒1 2 幽) 2 + 钎( l 气妒i 。d s ) 2 ， n ，j a n ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 南京师范大学硕士学位论文 1 4 娥一步 f 加僦s 匈r ( 小| 2 如科+ o r z ( 厶俐2 删2 ( 3 1 4 ) 我们可以根据名厶m 2 出必类似估计出j oy i 妒c 1 2 如d ( 的有界性，也就是 f z 2 似臼f 厶2 如西+ 臼o 。厶i 呶i 2 如( 3 1 5 ) 由( 3 1 1 ) 一( 3 1 5 ) ，( 3 9 ) 式转化为 上i u l 2 d x _ 4 k l f o z m 2 出必+ 尸( 铣 ( 3 1 6 ) 其中尸( t ) 有界运用g r o n w a l l 不等式： z 肌2 d z d k f o t p e 蛳p 。必( 3 1 7 ) ( 3 9 ) 即为 z 上m 4 如饥f op ( o e 撕( t - c ) d ( + 加p ( t ) ( 3 1 8 ) 同理， r 加4 出必r e 矧h 蚧7 4 q ( 班 ( 3 1 9 ) 其中饥，饥为正常数，且q ( t ) 为依赖于初值的有界项 于是，将( 3 1 8 ) ，( 3 1 9 ) 式代入( 3 4 ) 式，我们有 ，7 0 ) 6 f f _ e 缸m 启尸( o e 4 向州必+ 他p ( t ) ( 3 2 0 ) + j ：q ( e ) 1 ( t - ( ) 必+ q ( t ) ) 以上不等式表明问题( 3 1 ) 的解连续依赖于方程中的控制系数p + i v 于是我们得到下面的定理： 定理2 设1 p 2 ，牡为方程( 3 1 ) 的解，q 为r “中的有界星形区域如果空间 维数2 d 4 ，t 0 驴( q ) ，日1 ( 舰( o ，刁) ，并且o 0 我们将通过构造适当的积分函数，推导出方程( 4 1 ) 的解在有限时间内的增长估 计，进一步得出在初值满足一定的条件下方程的解在有限时间内的爆破性质首先给 出两个重要引理： 引理4 1 在区域q 上，如果函数( z ) 满足 + a 妒= 0 ，( z ，t ) q ( o ，t ) ， ( 4 3 ) 庐= 0 ，扛，磅触( 0 ，刃， ( 4 4 ) 那么存在第一特征值a 0 和对应的第一特征函数咖( z ) 0 ( x q ) 满足( 4 3 ) 和 ( 4 4 ) ，并且厶咖0 ) 出一1 引理4 2 令缸= 札( t ，) ，我们有 心i - l i e - a t = + 面i ， ( 4 5 ) 南京师范大学硕士学位论文1 6 i u i _ ；1 e - 谢u - 秒面 具体证明过程参见文 9 1 、 2 1 1 4 2 爆破解 设t = t ( t ，。) 为方程( 4 1 ) 的解，令 j ( o = ：上【e ”牡u + e c 州m 翻0 ) 如， 其中a 和( z ) 为引理4 1 中的第一特征值和相应的第一特征函数； 则 l ，( t ) = 厶【0 一) a e “一) 知t + ( n + i ) a e 扣+ o 舢剜妒d 茁 + i 厶f e ( 4 一m 地+ e ( 。卅) 知面】d z 因为 厶t t 妒如= f n a - i ) x u + ( c + i d ) f ( u ，仇u ) 1 ( z ) 如 = ( - a + i ) 厶a u c d x + ( e + i d ) f n f ( u ，d u ) d z ， 从而 ( a - i ) z 撒= 一z 地纰+ ( c + 旧上f 纰， 在( 4 i o ) 式两边同时取共轭，我们有 ( 口+ t ) f n a e 西d x = 一z 魂妒如+ ( c 一纪) 上f 纰 将( 4 1 0 ) ，( 4 1 1 ) 代入( 4 8 ) 可知： ( 4 6 ) ( 4 7 ) ( 4 8 ) ( 4 9 ) ( 4 1 0 ) ( 4 n ) ，( t ) ； f n ( d s i n a t + c e o s a t ) e 以f c a z ；怕巧万s i n + a r c t a n5 ) 厶啤 + 口+ i 见t 1 1 一纰， 南京师范大学硕士学位论文 1 7 其中 _ e - a a t ，( 纠， 从而( 4 1 8 ) 式转化为 假设 从而 7 ，。) m e 础( d s i n 魁+ c c o s a t ) e - a ( 1 却知i j ( t ) 1 1 + ， = 1 m 。a p a t ( d s i n m + c c o s a t ) l j ( t ) 1 1 + 0 加) = ；z ( 均纰= ；上舭如 。， | ，( t ) o t 【o ，刁，t s 姜一；咖； 避一步有， 器等e 础( d s i n a t + c c o s m 在( 4 2 1 ) 式两边关于t 进行积分，那么 删d ， 其中 a = 卷藩【( c 一删枞一似+ a p c ) c o s 卅 舍 则 f ( t ) ；1 一，( o ) 9 a ， f ( o ) 一i 0 ， ( 4 1 9 ) ( 4 2 0 ) ( 4 2 1 ) ( 4 2 2 ) 币mp丽(d+apc)(423)a2)x2 ( 1 + 矿 。”。 ( 4 2 4 ) 南京师范大学硕士学位论文 1 9 f ( - - ；一x 1 僦觚i c ) = l 一器一”叫) 厕+ d + 酬 而i 两2 商( 1 + 丽f a 葡2 ) x 丽p ( 4 四 函数f ( t ) 为一连续函数，由介值定理可知，至少存在一点p ( 0 ，i 一 a r c t a n5 ) 使 得 另一方面 进一步有 ，( r ) = 0 上蚓如= 加纰 ；f al e - 说u + 一i 拙 ：i 上( e 一+ 佝批l = e 一枷i ，0 ) i 型! 二竺；。 一f 1 一，f 0 1 ，a 1 ； l 驴：( ，m 。如) ( 厂l i 如) 一；厂l 砷i 如 j qj nj n 兰! ! 至二竺= ! 盆幽：塑! 二! 一 ( 1 一，( o ) p a ) ； 由( 4 2 6 ) 可知，存在p 使得 。 烁删胪n ) 2 ( 4 2 6 ) 南京师范大学硕士学位论文 于是我们得到以下定理： 定理3 设a ，c ，d 为正常数，非线性项f 满足( 4 2 ) 式，当u o = 伽( z ) 满足 邢) ；z 妒如 硒而器菇) l ， 那么存在p ( 0 ，i 一 a r c t a n ) 使得 t 。l i m p | i 训i 胪( n ) 2 o 。 设札= u ( t ，z ) 为方程( 4 1 ) 的解，如果令 州= ；z 【e x t f i _ e ( a - o 舢洲z ) 如， 那么有以下结论成立： 定理4 记t o = a r c ! t a n ，当= ( 。) 满足 啪) = ；i r a j ( e ( a - o x t 。( 眦o d z 一面= 端线 那么存在p ( t o ，妻+ 删鲫：) 使得 t 跺p ( n ) 2 证明：由( 4 2 7 ) 知 ( 4 2 7 9 厂( t ) = ；厶【一( c + 锄e ( o o + ( c 一卸e ( 。+ t ) 魁】f 纰 = ；厶( d c o s 射一c s i n , x t ) e “t f c d x 一；顿葡5 s i n ( 沁一a r c t 锄! ) e 嘲厶【七1 i t 1 1 + a + l d , u 1 1 】纰 ( 4 2 8 ) 南京师范大学硕士学位论文 其中a r c t a , n d a t 7 r + a r c t a n ，即t o t e - 枷i 删， 从而( 4 2 9 ) 转交为 y c t ) m e - 础( d c o s a t c s i n a t ) l j ( t ) 1 1 押 0 由于 ij ( t o ) 0 ，； 所以 ，( t ) o ，t 【t o mt 姜+ 妻砌蛐： 并且 ( t ) 虿m e 一删( c s i n a t d c o sa t ) s 0 ) 1 押 o 在t o ，刀上对上式进行积分得： f 丽s ( t o ) 丽， “2 9 ) ( 4 3 0 ) ( 4 3 2 ) ( 4 3 3 ) 南京师范大学硕士学位论文 2 2 其中 只要 即 a 一卷蒜f ( _ d 一删如州c 一删c o s 妇 一尝蒜【( - d a m ) 8 i n a t o 一( c - a m ) 删c o s 训 一互i i j j 而l 【一d 一8 一删。0 8 a t o j 用s ( t ) 代替( 4 2 4 ) 式中的a ( o ， 蜓+ 1a n 批，一笔需丽( e - 咿+ 1 ) 面蕊等冀杀币庀 ，( 如) 型! = 竺= ；。 一f l s f 0 1 p a ) ；7 ( 4 3 5 ) “3 6 ) 一 ，4 南京师范大学硕士学位论文 2 3 田( 4 3 6 ) 知足埋4 也得让 定理5 设口 c ，d ，c 1 ，饧为正常数，非线性项f 满足( 4 2 ) 式， 1 0 当o l d 饧c 时，u o = 咖( 功满足 邢) ；上撕r 咖+ 饧h n u o ) 如 并且 邢川面石礤甄高等等等丽焉丽疙 那么存在p ( o ，i 一 砌姐署i 溉- - 9 2 ) 使得 t l 廿i ml 阻i l p ( n ) 2 o o 2 0 当c l d c 2 c 时，记岛= a r c c 她嚣筹，u o = 蛳如) 满足 j ( 。) = ，詈上e “q 帆如+ 1 m f n e ( a - i ) 。庐饥o d z 并且 邢) - 菇面帮焉筹羔荪疙 那么存在p ，i + a r c t a n 鬈鼎) 使得 ， 。蜾删即) 2 o o - 证明：先考虑情形1 0 设t = t ( t ，z ) 为方程( 4 1 ) 的解，令 类似可得 ) = 鲁z f e ( 州) + e ( 。一) 虹词西( z ) 如+ 垒4i ，n 【e 州) 蚝一e ( 4 一”叫( z ) 如， ?( 4 s t ) 南京师范大学硕士学位论文2 4 一警d 枷 鬲万= 石矛了下i 干面严咖( 射+ 8 r c t 如2 ) ( 厶l u l c d z ) 1 押， 其中0 a t 7 r 一8 r r t a nc l d c 2 c ，即0 o ， t 【o ，卅，t 获7 1 ( 4 4 1 ) ) 焉， a 一万研m p e 而- * v x t 【( c a d + c l c - 印( o l d - c 2 c ：) ) s i n a t 一( c l d c 2 c + 印( c z d + e l c ) ) 啷卅+ m p l ( c l d 而- c 币2 c + 再a p 丽( c 2 d 广+ c l c ) ) ，( 要一碱锄等i 恕- - e 2 ) 一-f(c蠡ld c a ca p 一( c 。d 孑粤 一+ + c l c ) ) 】 ， l 置 南京师范大学硕士学位论文 只要 邢川鬲丙碌瓤未券赛杀i 丽疙 同理可知存在p ( o ，量一 蜘鬟篙) 使得 j i m 丁叫i 庐( o ) 对定理情形2 0 ，当o l d c 2 c 时，由( 4 3 7 ) 式知 f ( t ) 一警酽m ( c 2 c - c a d ) s i n a t 一( c l c + c 2 d ) c o s m ( 厶i u l c d z ) 1 忉 一警娟万i 丽耳面丽s i n 似一a r c t a n 嚣鬻 ) c oi 札i 拙) m ， 其中a r c t a n 盟c 2 趔c - c l d a t 丌+ 耐a n 怠捌，即t o t ( 渺， 南京师范大学硕士学位论文26 那么存在p ( 0 ，蠡) 使得 l i m pi l u i i l 2 i n ) 2 定理4 变为当u o = t 0 ( z ) 满足 即) = ；上龇如 - r i u r n ，r e v i e wo fm o d e m p h y s d s ，6 5 ( 1 9 9 3 ) ：8 5 1 1 0 8 9 【1 1 】e v a n sl c ，p a r t i a l