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算子代数上的局部映射 中文摘要 摘要 本文主要研究算子代数上的局部映射，全文共分四节 第一节介绍了一些基本概念，问题背景和主要研究内容在第二节中我们证明_ 对称的有限维交换子空间格代数上的每个2 一局部自同构是同构，并给出了一个非对称 情形下的反例，从而否定地回答了c r i s t 提出的一个猜想在第三节中我们证明了了一 子空问格代数的含单位元的标准子代效上的每个局部导子是导子第四节研究可乘映 射的可加性我们首先将著名的m a r t i n d a l e 定理推广到不含幂等元的环上，然后应用 这个结果证明了两端点连续的套代数的j a c o b s o n 根上的可乘同构是可加的 关键词；局部同构；局部导子；j s l 代数；c s l 代数；套代数 姓名：谢金海 指导老师；陆芳言 算于代数上的局部映射 英文摘要 l o c a lm a p p i n g so l lo p e r a t o ra l g e b r a s a b s t r a c t t h i st h e s i si sd e v o t e dt ot i l e i n v e s t i g a t i o no fl o c a lm a p p i n g so fo p e r a t o r a l g e b r a s i tc o n s i s t so ff o u rs e c t i o n s i ns e c t i o nl ，w ei n t r o d u c es o m e t e r m i n o l o g ya n d n o t a t i o n ，a n ds u m m a r i z et h eb a c k g r o u n da n dt h em a i nc o n t e n t so ft h i sp a p e r i ti s p r o v e di ns e c t i o n2t h a te v e r y2 - l o c a la u t o m o r p h i s mo fas y m m e t r i cf i n i t ed i m e n s i o n a l c o m m u t a t i v es u b s p a c el a t t i c e a l g e b r ai s a na u t o m o r p h i s m f o rt h en o d s y m m e t r i c c a s e ，w ep r o d u c ea nc o u n t e r e x a m p l ew h i c hn e g a t i v e l ya n s w e r st h ec r i s t sc o n i e c t u r e i ns e c t i o n3 ，w es h o wt h a tal o c a ld e r i v a t i o ni sad e r i v a t i o no nas t a n d a r ds u b a l g e b r a o fa ，一s u b s p a e el a t t i c ea l g e b r aw h i c hc o n t a i n st h ei d e n t i t ，| y f i n a l l y , t h ea d d i r i v i t yo t m u l t i p l i c a t i v em a p p i n g s i ss t u d i e di ns e c t i o n4 w ef i r s te x t e n dt h ef a m o u sm a r tm d a l e s t h e o r e mt ot h er i n gw h i c hn e e dn o tc o n t a i ni d e m p o t e n t s a p p l y i n gt h i sr e s u l t ：w e s h o wt h a te v e r ym u l t i p l i c a t i v em a p p i n gi sa d d i t i v e ，f r o mt h ej a c o b s o nr a d i c a lo fan e s t a l g e b r aa s s o c i a t e dc ot h en e s tw h o s ee x t r e m ep o i n t sa r ec o n t i n u o u s ，o n t oa r t yl t i n g k e y w o r d s 1 0 c a la u t o m o r p h i s m ；l o c a ld e r i v a t i o n ；j s la l g e b r a ；c s la l g e b r a ；n e s e a l g e b r a v r i t t e nb v ：x i ed i n h a i s u p e r v i s e db y ：l uf a n g y a n y6 46 0 49 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权的声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不含其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏 州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作 出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本 声明的法律责任。 研究生签名：挚蹲 日 期：掌j l 吐 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论 文合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论 文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的 保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的 全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名：i 象金：退 日期：! 芏：笙! ! 导师签名：蚴盖 日 期：q 幺圣。驽z 1前言及预备 为叙述方便，先介绍一些基本概念和术语 本文中，设石是b a n a c h 空间，z 4 屉其拓扑对偶，b ( x ) 表示爿上所有有界 线性算子组成的代数，是爿上的恒等算子，z 的“子空间”均指的是“闭线性子 空间” 设是b a n a c h 空间爿的一族闭子空间，称是子空间格，如果 ( 1 ) ( 0 ) ，爿； ( 2 ) 对c 的任一子空间族f 厶e ：i a ) ，总有v _ c a 厶， 诧a l i c ，其中v 表 示子空间的闭线性扩张，a 表示集合交 如果c 是b a n a c h 空间彤，l - _ 的一子空间格，我们用a i g e 表示以c 中每个元素 都为其不变于空间的算予全体所组成的代数，即 a l g ：= reb ( z ) ：t l 己，vl c ， 并称之为相应于的子空间格代数容易看出a l g 含有单位算子，且是弱闭的我 们称4 b ( x ) 是a l g 的标准子代数，如果一连2 ，( ) ，这里，( ) 表示a l g e 中所 有有限秩算子的全体若lec ，定义l 一= v k c ：k 三 和工+ = a ke k gl ) ，并规定( o ) 一= ( o ) ，以= 疋 设z 是b a n a c h 空闻，代数且sb ( 刀) ，令l a l a = ：堤爿的闭予空间，使得 t ( l ) l ，vt 4 称4 是自反的，如果a = a l g l a t a ；对偶地，称z 上的子空间 格是自反的，如果= l a t a l g c 容易证明a l g e 是白反的，因此自反算子代数等 价于子空间格代数在h i l b c r t 空间上，自伴的自反算子代数是v o dn e u m a n n 代数； 反之，任意y o nn e u l n a i h 代数都是自反的 下面我们将介绍几类本文研究的重要的自反算子代数 1 套代数 设是b a n a c h 空间爿上的子空间格如果c 是全序集，则称是个套( n e s t ) ， 并称a l g c 是套代数，此时我们有： l 一= v ( k c ：k cl ， l + = k c ：k l 易见己一l l + 设是h i l b e r t 空间7 - 1 上的套如果l 且l l 一，则称l e l 一为的 原子如果v l e l 一：l c ) = 咒，则称c 为原子套；如果对任意的l 都有 算子代数上的局部映射l 前言及预备 l 一= l ，则称c 为连续套；如果对任意l c 都有d i m lol 一1 则称为极大 套 要了解更多关于套代数的资料，可参考 7 2j s l 代数 虽然有关一子空间格的一些结果早在 3 1 ，3 2 j 已经得到，但是它的定义却在 4 0 】 中才给出并随后在 3 3 ，3 4 】中进行了深入地讨论，我们记 j ( l ) = k c ：k ( o ) ，且k z ) 称c 是戈上的了一子空间格，简称j s l ，如果满足 ( 1 ) v k ：k 了( c ) ) = 龙； ( 2 ) a k ：k 了( c ) = ( 0 ) ； ( 3 ) k v k 一= 爿，vk j ( c ) ； ( 4 ) k a = ( o ) ，v k 了( c ) 称a l g 是了一子空问格代数，简称j s l 代数，如果c 是乒子空问格 可以证明原子b o o l e a n 子空间格是毋子空间格，并且h i l b e r t 空间上交换的了- 子空问格是原予b o o l e a n 格，但并非所有的j 一子空间格都可交换此外，了一子空问 格不一定是分配格，一个非分配j 子空间格的例子是五星格( p e n t a g o n ) j s l 代数t 的结果可应用于原子b o o l e a n 子空间格代数与五星格代数( 参见【2 0 ，3 4 ) 3c s l 代数 设咒是复可分的h i l b e r t 空间，c 是7 f 上的子空间格，我们知道c 中每个闭 子空间l 都对应唯一的正交投影，设为n 对任意l ，m c ，如果有凡n f = n f 吃， 则称c 是交换子空问格，简记为c s l ，相应的a l g c 称为交换子空间格代数，简称c s l 代数 需要注意的是c s l 代数只在i t i l b e r t 空间上有定义，是套代数在h i l b e r t 空间上 的推广 对有限维c s l 代数，有个等价的定义；称复数域c 上的代数a 为n 维c s l 代 数，如果存在n 扎矩阵单位的集合( 如) lj ，它包含所有对角单位矩阵 五0 # 1 ，且 在矩阵的乘法运算下是闭的，使得它们的线性扩张等于a 。有限维c s l 代数也称作 d i g r a p h 代数，在近二十年来已有广泛的研究，可参考【5 ，6 ，8 ，9 ，1 0 ，4 l 】 设张是h i l b e r t 空间，。，f 7 是非零矢量一秩算子z oy 定义为 z ”( 。) = ( z ，) z ，v z 7 2 算子代数上的局部映射 5 1 前言及预备 一般地，设疋是b a n a c h 空问，对于非零元素f z ，f 爿8 ，一秩算子。 ，定义为 z 圆f ( y ) = ，( g ) m ，v y 刀 下面的命题给出了自反算子代数中秩一算子的一个重要特征，它首先由l o n g s t a f r 于h i l b e r t 空间上给出( 参见【3 0 j ) ，事实上它在b a n a c h 空间中仍然成立 命题1 1 如果c 是爿上的子空间格，则秩一算子x o f a l g 当k - & 当存在某个 k j ( c ) ，使得z k 且f 下面我们介绍本文将要讨论的算子代数上的一些局部映射 设a ，b 是两个代数，：a - 9 - 嚣是线性映射称它是保幂等的，如果驴( p ) 2 = 妒( p ) 对任意幂等的p a 成立；称它是同态( 反同态) ，如果4 ) ( a b ) = ( 4 ) 曲( b ) ( 移( 以口1 = ( b ) 妒) ) 对任意的a ，b 且成立i 称它是, l o r d a , n 映射，如果西( ) = 驴) 2 对任 意的a 一4 成立一般地，我们称一个同态双射( 或反同态双射，, j o r d a n 双射) 为同 构( 或反同构，j o r d a n 间构) l a r s o n 与s o u r o u rf 2 3 首先给出了局部同构的概念；线性映射西：4 - - 3 b 称为代 数4 上的局部同构，如果对任意的a a ，都存在同构c a ( 依赖于a ) ：a _ b ，使得 c a ( a ) = ) l a r s o n 与s o u r o u r 证明了口( 石) ( 石是无限维复b a n a c h 空间) 上每个 满线性局部自同构是同构( f 2 3 】t h e o r e m2 1 ) b r e a r 与s e m r l 4 证明此结论在当爿 是实b a n a c h 空间时也成立，他们进而证明如果彤是可分的h i l b e r t 空间，则可去掉 上面结果中要求映射满的假设既然必。( c ) 上的反同构也是局部同构，而同构与反同 构均是j o r d a n 同构，一个很自然的想法是何时局部j o r d a n 同构( 此概念可由局部同 构的定义推广) 是j o r d a n 同构? 他们证明，f ) 为实或复b a n a c h 空闭) 上此猜想 可以实现此外，c r i s t 在【5 】中揭示了有限维c s l 代数上局部同构的结构 设m 是4 双模，5 ：4 叶朋是线性映射称d 是导予，如果对任意的 a ，b 4 ，f _ 5 ( a b ) = 6 似) b + a d ( 口) 局部导子的概念首先由k a d i s o n 在f 1 8 】中给 出：称d 是局部导子，如果对每个a 4 都存在导子“：一4 - - 4m ( 依赖a ) ，使得 6 ( a ) = 以( a ) 容易看出局部导子是保幂等的近来有不少算子代数上局部导子的研 究，证明了在某些条件下局部导子是导子f 3 ，4 ，1 1 ，1 2 ，1 3 ，1 8 ，2 3 k a d i s o n 证明了 从v o nn e u m a n n 代数4 到对偶的a 一双模上范数连续的局部导子是导子在【2 3 】 中，l a r s o n 与s o u r o u r 证明了从b ( x ) 到b ( x ) 的每个局部导子是导子随后, l i n g f 1 2 ，1 3 把此结果进一步推广到一类自反算子代数上，此算子代数的不变子空1 q 格满 足( o ) + ( o ) ，且x 一x b r e a r 与s e r m l 【4 】4 证啊了矩阵代数上的局部导子是导 子( 事实上他们只用到了j ( p ) = g ( p ) p + p 6 ( p ) ，其中p 是幂等的) ，并给出交换半单 算子代数上的局部映射1 前言及预备 b a n a c h 代数上局部导子的刻画本文第三部分将证明如果a 是b a n a c h 空间爿上的 j s l 代数的标准子代数，且含有单位算子，则从一到d ( z ) 上的每个局部导子是导 子 受到局部同构与局部导子的启发，e m r l 在【4 5 】中给出了2 一局部自同构的定义： 代数4 上的映射咖称为2 - 局部自同构，如果对任意一对a ，b a 都存在同构“口， 使得c a b ( 1 ) = 西( a ) 且咖a r ( b ) = 击( b ) s e m r l 证明了如果咒是无限维可分h i l b e r t 空间，则b ( n ) 上的2 一每个局部自同构是同构在f 3 6 中，m o l n d r 进步把这个结 果推广到具有s c h a u d e r 基的b a n a c h 空间上，并给出了一个有限维情形下较简短的证 明c r i s t 在【5 中曾提出了是否有限维c s l 代数上的2 一局部自同构为同构的猜想， 本文将给出明确的回答 2有限维c s l 代数上的2 局部同构 本节，我们将证明对称的有限维c s l 代数上的2 一局部自同构是代数同构，而且 通过一个反例，我们证明在不对称情形下结论未必成立，从而否定地回答了c r i s t 提 出的问题：是否有限维c s l 代数上的2 一局部白同构都是同构以下我们设4 是有限 维c s l 代数，并以a 4 表示4 的指标集，亦即a a = ( ，j ) ：e l i 4 ) 我们称4 是 对称的，如果( i ，j ) a 蕴涵了u ，i ) a 首先，我们归纳一一f2 一局部自同构的一些基本性质，以。卜- 命题可参见m 命题2 1 设代数4 含有单位元，咖是a 上的2 - 局部自同构，则对任意的j 4 b a 有： ( 1 ) 咖( ，) = ，； ( 2 ) ( - 4 2 ) = 西( a ) 2 ； ( 3 ) 曲n 4 ) = a ( 以) ； ( 4 ) a b = 0 当且仅当西( 4 ) 曲( b ) = o ： ( 5 ) ( - f a ) = i + 咖) 由定义可看出n 维c s l 代数同构于尬。( c ) 的某个子代数，以下我们将把n 维 c s l 代数与 “( c ) 的某个子代数等同起来下面的引理刻画了有限维c s l 代数上的 自同构，它使得有限维c s l 代数上的同构相似于某个s c h u r 同构 引理2 2 设“是7 维c s l 代数a 上的自同构，则存在可逆矩阵t m n ( c ) 及 a 上一个对角元都为1 的矩阵的s c h u r 乘同构声，使得o ( a ) = t 3 ( a ) i 。1 对任意的 a a 成立 证明：根据 1 0 ，t h e o r e m2 1 】，存在a 上的自同构卢满足卢( 晟 ) = 置e ，1 i m 及 可逆矩阵t 靠( c ) ，使得n ) = t 卢( a ) 2 1 - 1 对任意a a 成立，故我们只需验证 口是s c h u r 同构即可对任意( i ，j ) a 且，因为 卢( 最，) = 卢( 五t e “历，) = 3 ( e _ i ) 3 ( e , s ) 3 ( e i i ) = 雎i 卢( 蜀j ) 易， 所以存在复数s 。使得卢( 最，) = s u 日j ，从而口是对角全为l 的矩阵】n n 的s ( ：“u r 乘证毕 5 算子代数上的局部映射 2 有限维c s l 代数上的2 一局部同构 下面是本节的主要结果 定理2 3 设是对称的有限维c s l 代数，：4 _ 4 是2 - g 部自同构，则曲自然 地是自同构 证明：我们借用m o l n g r 【3 6 的思想首先由引理2 , 2 知，对任意a ，b 我们有 t r ( a b ) = t r 渺( a ) 咖( 口) ) ， 这里t r ( ) 表示矩阵的迹 断言1 曲( e i d ) ：i ，j a 是4 中的线性无关组 假设 a “砂( 岛) = 0 ，k ，c “j ) a 4 取( ，f ) a a ：m 0 ( ? ，k ) a - 因而 b 。( 岛) 咖( 且k ) = = 0 ( j ) e o ( 2 1 ) 利用等式( 2 1 ) 得到 a 小r ( e i j e l k ) = 0 ， ( t ，) a 4 这蕴涵着a m = 0 因为( k ，2 ) a 的选取是任意的，所以 妒( e o ) ：i ，a 线性无 关 断言2 西是线性的 由命题2 1 ( 3 ) ，我们仅需证明曲是可加的即可取a ，b a ，并设咖) = 【a o ， 曲( b ) = b 0 】b ( a + b ) = 】固定( ，1 ) a 4 由断言1 ， 驴( b ，) ：( i ：j ) a a ) 线 性扩张成4 ，故存在c 。，c 2 ，( k a 使得墨，西( g ) ：目k 利用等式( 21 ) 我们 有： 钳= t r ( 4 , ( a + 曰) 局k ) = t r ( 一+ b ) 毋( g ) ) = t r ( ( a + 口) g )t r ( a g ) + t r ( b g ) t = 1= 1 r n ，n = t r ( 驴( a ) 妒( g ) ) 十t r ( ( b ) 曲( g ) ) i1i - - i = t r ( 咖( 以) e 瞎) + t r ( 曲( b ) 岛) = a k l + “f 6 算子代数上的局部映射5 2 有限维c s l 代数上的2 局部同构 进而由( f ，k ) a 4 的任意性得咖似- rb ) = 妒( a ) + 睁) 断言3 曲是双射 首先由西的局部同构性易知毋是单射断言1 表明妒的值域扩张成且，又线 性，进而击是满射 断言4 西是可乘的 利用可加性，在等式咖( a 2 ) = 口( 4 ) 2 中以a + b 代a 得 ( a b + b a ) = 咖( a ) 妒( b ) + 咖( 口) 咖( a ) ，a ，b a ( 2 2 ) 下面我们将分四种情况证明对任意( i ，j ) ，( k ，1 ) a a ，有 西( 。e o e m ) = 咖( 蜀j ) 西( e k l ) ( 2 3 ) 情彤j ：j k 此时甄，鼠l = 0 ，从而由命题2 1 ( 4 ) 得毋( e o ) 函( 玩f ) = o ，故等式( 2 3 ) 成立 情形2 ：j = k 且i 1 此时e j f e = o ，于是由命题21 ( 4 ) 知( 易f ) 西( 与，) = 0 进而由等式( 2 2 ) 有 庐( 岛i ) = 曲( 岛岛f + 马c ) = ( 。g o ) 咖( 易f ) + ( 易f ) 西( 局) = 庐( 最，) ( 马f ) 情形37 = ， = l 且i j 利用等式( 2 2 ) 有 咖( 最z ) + 毋( 易，) = 乖( 晚+ 易，) = 击( 嘞局t + 局。e i j ) = 咖( ) ( 马。) + 西( e j d e ( ) 从而 ( 曲( 蜀i ) + 咖( 助，) ) ( e 。) = ( 咖( 皿f ) ( 岛t ) + 咖( 岛d e ( e 0 ) ) 西( ) 再由命题2 1 ( 2 ) 与情形1 ，2 ，我们得到 西( 最，) = 西( 最，) ( e j 。) 妒( 最；) = 西( b ，) ( 历。) ， 因此最后有 ( e o 岛。) = 咖( 鼠i ) = ( g “) 咖( 岛t ) 算子代数上的局部映射 2 有限维c s l 代数上的2 、局部同构 情形4 ：i = j = 一2 此时等式( 2 3 ) 显然成立 现在设a = 玎a i j e i f 、b = 埘b k t e k f a 使得a ，b 4 ：我们将证明咖( a d ) = ( a ) ( b ) ，注意到a b = “c m b p e z l ，利用等式( 2 3 ) 我们有： 妒( a ) 咖( b ) = ( 。巧( ) ) ( 6 m 毋( 占“) ) k l = 瓴( 岛) 曲( 忍z ) = n j b k t 妒( 岛最z ) 巧 “ u m = b s i 曲( e i = ( a 臼) 至此定理证明完毕 妒( a l j b j l e i l ) 推论2 4 “( c ) 上的2 一局部自同构是代数同构 在 5 】中c r i s t 问是否每个有限维c s l 代数上的2 一局部自同构是代数同构? 下面 的例子否定地回答r 这个问题 例2 5 设兀为2 2 矩阵代数，记c7 三为所有对角元相等的上三角矩阵集 ，= 7 三定义妒：正- - 4 兀为：对任意a ，( | 4 ) = a ，且 ( ) = 蚓础 则乖是兀上的2 一局部同构，但不是同构 证明：显然西非可加的，故不是同构下面我们证明咖是2 一局部同构取a ，b 再， 我们需要找正上的某个同构o ，使得o ) = 币似) 且n ( 口) = 妒( 口) 我们注意到，对 任意可逆矩阵t 兀，映射a ( s ) = t s t 一1 是兀上的同构，事实一h 如果a ，b 芦，则 取2 1 = ；如果a ，b ，则取t = d i a g ( 2 ，1 ) 所以，我们只需证明对每对矩阵： a = a ： ，口= ： ，n c 8 算子代数上的局部映射 2 有限维c s l 代数上的2 一局部同构 存在可逆的t 兀，使得t a t1 = a 且t b t 一1 = c 这里 g = 蚓 我们断言可逆阵 丁= 2 。i 。! 。 = c 。 。c ，十4 满足要求事实上t 与a 可交换，且t e l 2 = 2 e 1 2 t 证毕 关于非平凡的2 一局部同构的例子在文章中很少能看到取a = ，、e 1 2 ，e 13 c 慨( c ) 及o ( a 1 1 i + a 1 2 e 1 2 十a 1 3 e 1 8 ) = a 1 1 ，+ 。 2 e 1 2 + o 3 e j 3 c i + i s t 断定0 是2 一局部 同构，但显然p 非齐次，由命题2 1 ( 3 ) 可知它不是2 局部同构 9 3j s l 代数上的导子与局部导子 我们先总结一下了一子空问格代数的一些基本的性质 命题3 1 设是b a n a c h 空问上的j 一子空间格，则： ( i ) 对任意k ，l ( c ) 且n l ，有k 三一； ( i i ) 对任意k ，l 了( c ) 且k 厶，有k nl = ( 0 ) ； ( i i ”zor a l g c 当且仅当存在唯一的k j ( l ) 使得z k 且，k 二； ( j v ) 设k ，( ) 对任意非零向量z k ，存在某个，兰，使得，( g ) = l ；对偶 地，对任意非零泛函，k 兰，存在某个k ，使得，( = 1 本节的主要结果如下 定理3 2 设是b a n a c h 空间z 上的一子空间格，a 是a l g c 中包含单位元的标 准予代数如果6 ：4 - 4r ( x ) 是局部导子，则j 是导子 为了证明定理3 2 ，我们需要几个引理 引理3 3 。设a ，b a 如栗以下之一成立，则a = b ( i ) 对每个幂等一秩算子p ，( c ) ，a p = b p 成立 ( i i ) 对每个幂等一秩算子p ，( c ) ，p a = p b 成立 证明：假设a b ，则存在。k ，k 了( c ) ，使得a x b x 注意到a x 与b x 都属于k ，于是我们可取，g k ，使得，( z ) = l 且g ( a x ) 9 ( 口z ) 再选 取”k ，使g ( 9 ) = 1 ，则zo ，与y o9 都是，( ) 中的幂等元然而容易验证 a 扛。门b 如o ，) ，( y 圆g ) d z ( y o g ) b z 回忆一下，对子空间格c ，我们用，( ) 表示a l g c 中所有有限秩算子全体以下 命题可参见 2 8 1 命题3 4 设c 是b a n a c h 空间上的了一子空问格，州是，( c ) 一双模，6 ：芦( c ) - m 是线性映射如果对任意幂等元p 户( c ) 满足d ( p ) = 6 ( p ) p + p s ( p ) ，则 是 】0 算子代数上的局部映射 3j s l 代数上的导子与局部导子 导子 对幂等的p ，由于局部导子 自然地满足6 ( p ) = 5 ( p ) p 十p s p ) ，故命题3 4 可 应用于局部导子 引理3 5 对每个a a 及幂等的q ，( c ) ，有6 ( _ q ) = 5 ( a ) q + a 6 ( q ) 证明：对任意幂等的p ，( ) ，p a 和p b 都属于，( ) 由命题3 4 可知j 在珂) 上的限制是导子，因此我们有： 6 ( p a q ) = 5 ( p a ) q + p a s ( q ) 由于 是局部导子，我们容易证明 尸6 ( ( ，一p ) a ( i q ) ) q = p a ( ( z p ) a q ) ( i q ) = 0 计算 p 6 ( ( 一p ) a ( i q ) ) q = p 6 ( a p a a q + p a q ) q = p s ( a ) q p ( 5 ( p a ) + 6 ( a q ) ) q 十p ( 5 ( p a ) q + p a 6 ( q ) ) q = p s ( a ) q p 6 ( a q ) q + p a s ( q ) q 如此我们有p s ( a q ) q = p s ( a ) q + p a ( f ( q ) q 再计算 p 6 ( ( ，一p ) a q ) ( i q ) = p 6 ( a q p a q ) ( i q ) = p 6 ( a q ) 一p s ( a q ) q p ( 5 ( p a ) q + p a 6 ( q ) ) ( i q ) = p a ( a q ) 一p j ( 4 q ) 印+ p a 6 ( q ) ( i q ) = p 5 ( a q ) 一p s ( a q ) q + p a s ( q ) 一p a 6 ( q ) q 比较上面两式有p 6 ( a q ) = p ( 5 ( a ) q + a 6 ( q ) ) 利用引理3 3 我们就有d ( 4 q ) 5 ( a ) q + a s ( q ) 引理3 6 设a a 如果b = z 固，芦( c ) ，且f ( x ) = 0 则5 ( a b ) - - v 6 ( a ) b + a 6 ( b ) 证明：取k 使得f ( y ) = 1 令d = y o ，则d 及b + d 均是幂等的因而由g 理3 5 我们有： 6 ( a b ) + 6 ( a d ) = 6 ( a ( b + d ) ) = d ( a ) ( 口+ d ) + a d ( b + d ) = 5 ( a ) b + a 6 ( b ) + 5 ( a ) d + a s ( d ) = 6 ( a ) b + a s ( b ) 十5 ( a d ) 1 】 算子代数上的局部映射 33 s l 代数上的导子与局部导于 这意味着6 ( a b ) = d ( a ) 口+ a s ( b ) 现在我们开始证明定理3 2 定理3 2 的证明：设a ，b a 任意对幂等一秩算子p ，( c ) ，由引理3 5 ，3 6 及 j 的线性我们有 5 ( a b ) p + a b s ( p ) = 5 ( a b p ) = d ( 4 ( b p ) ) = 5 ( a ) b p + a d ( b p ) = , f ( a ) b p + a s ( b ) p + a b s ( p ) 因此， d ( 且口) p = ( 5 ( a ) b 十a a ( z ) ) p 再由引理33 ( i ) 就有e i ( a b ) = 5 ( a ) b + a s ( b ) ，从而j 是导子至此定理证明完毕 一个线性映射满足什么条件可以成为导子呢，事实上局部导子已给出了一种回 答在f 15 中，j i n g ，l u ，与“给出了另外一个刻画，他们得到一定条件下某些算子 代数上的导子可由线性映射在积零算子上的作用决定借用他们的主要思想，我们给 出了j s l 代数上导子的一个类似的刻画 以下两个引理可参见 15 j j 为完整起见，我们现给出其证明 引理3 7 设代数4 有单位元6 ：4 _ + 4 是线性映射如果5 ( a b ) = 5 ( a ) b + a s ( b ) 对任意满足a b = 0 的且，b a 成立，则对任意幂等元p 4 有： ( 1 ) p s ( i ) = a ( o p = p s ( i ) p = p a ( p ) p ； ( 2 ) a ( p 2 ) = 5 ( p ) p + p s ( p ) 一p s ( i ) p 证明：对幂等的p 4 ，显然有p ( s p ) = ( 1 一p ) p = 0 这样我们就有 和 0 = 5 ( p ( i p ) ) = d ( p ) ( ，一p ) 十p 5 ( i p ) = 5 ( p ) 一5 ( p ) p + p s ( i ) 一尸d ( p ) 0 = j ( ( ，p ) p ) = 5 ( 1 一p ) p + ( ，一p ) 5 ( p ) = 5 ( i ) p 一5 ( p ) p + a ( p ) 一p a ( p ) 比较以上两式可得f ( ，) = j ( ，) p 由于p 是幂等的，进而我们有 p s ( i ) = 6 ( ) p = p s ( s ) p 2 算子代数上的局部映射 t 3j s l 代数上的导子与局部导子 以p 左乘第一式，得p j i ( p ) p = p d ( n 从而 5 ( p 2 ) = 5 ( p ) = 6 ( p ) p + p f ( p ) 一p s ( i ) = 6 ( p ) p + p s ( p ) 一p 6 ( ，) p 引理3 8 设4 与5 如引理j 7 所述则对任意幂等的p a 和任意的a a ，我们 有： ( 1 ) 5 ( p a ) = 5 ( p ) a + i - 5 ( a ) 一p s ( x ) a 且 ( 2 ) 5 ( a p ) = 6 ( a ) p + a 6 ( p ) 一a f ( i ) p 证明：我们仅证明( 1 ) ，类似可证( 2 ) 显然，p ( i p ) a = ( i p ) p a = 0 这样我们 有： 0 = 6 ( p ( 一p ) a ) = 6 ( ，) ( a 一，a ) + p 6 ( a p a ) = 5 ( p ) a 一6 ( p ) p a + p s ( a ) 一p s ( p a ) ， 和 0 = d ( ( ，一p ) p a ) = d ( ，一p ) p a + ( ，一p ) 5 ( p a ) = 5 ( i ) p a 一5 ( p ) p a + 5 ( p a 、一p ( i i ( p a ) 比较这两式，并利用引理3 , 7 就有； 5 ( p a ) = 5 ( p ) a + p d ( a ) 尸6 ( j ) a 定理3 9 设c 是b a n a c h 空间石上的了- 子空间格，4 是a l g 中含有单位元 ，的标准子代数，d ：a - 4 是线性映射如果对任意a ，b a 且a b = 0 有 5 ( a b ) = 5 ( a ) b4 - a d ( b ) ，则5 ( a b ) = d ( a ) b + a s ( b ) 一a d ( ，) b 对任意a ，b 4 成 立进而，如果6 ( 1 ) = 0 ，则6 是导子 证明：设k ，我们取岳k ，已，则i t , o ，是一秩算子令f = zo ，我们断 言对任意的a a 有5 ( a f ) = d ( a ) f + a d ( f ) 一a 6 ( j ) f 我们只需证明y ( z ) = 0 的情形取k 使得f ( v ) = 1 ，则( z + ) 圆，是秩 幂等的由引理3 8 有 j ( a 扛+ y ) f ) = 占( a ) + f ) o ，+ a 占( 0 + ) o ，) 一a 占( j ) 睁+ y ) o ， 1 3 算子代数上的局部映射i 3j s l 代数上的导子与局部导子 由j 的线性整理得 , i ( a z o f ) = 5 ( a ) x o f + a s ( x o f ) 一a s ( i ) x o f ( 3 1 ) 对任意b a ，由等式( 3 1 ) ，一方面有 另一方面 5 ( a ( b x o ，) ) = 5 ( a ) b x f + a 6 ( b x o f ) 一a s ( i ) b x f ( 3 2 ) 5 ( ( a b ) x f ) = 5 ( a b ) z o ，+ a b s ( x o ，) 一a b s ( i ) z f ( 3 3 ) 由等式( 3 2 ) ，( 3 3 ) 及算子6 的线性有 5 ( a b ) 一( 6 ( a ) b + a s ( b ) 一4 d ( ，) b ) z f = o 由于k 的选取是任意的，所以我们有5 ( a b ) = 6 ( a ) b + a s ( b ) 一a 6 ( 1 ) b 4 套代数j a c o b s o n 根上的可乘映射 我们首先讨论环上的可乘映射 设咒和5 为两个结合环称冗到5 上的映射足可乘的，如果咖( z ) = ( z ) ( g ) 对任意z ，y 冗成立，并称廿是乘法同构，如果它还是双射近来，对于何时可乘 映射是可加的研究在环论和算子论领域中非常活跃在算子代数中，我们常常考虑一 些保持特定算予性质的可乘映射的可加性，譬如保谱，保秩，保余秩，保谱半径等( 参 见f 1 ，1 4 ，3 7 ，3 8 ，4 6 ，s 0 1 ) 这些研究有助于揭示算子代数的代数结构对环来说，一个 方法就是试着在环冗上建立某个条件使得冗上的可乘同构是可加的 1 6 ，3 5 ，4 2 ，4 3 】_ m a r t i n d a l e 有过一个著名的定理3 5 l ，它被广泛应用于算子代数中注意到m a r t i n d a l e 定理要求冗有幂等元，而事实上有许多环并不含幂等元，一个很好的例子就是严格上 三角矩阵环陆芳言在【25 中发现一类算子代数不含幂等元，但其上的可乘同构却是 可加的本节我们将建立一个温和的条件，从而把m a r t i n d a l e 的结果延拓到不含幂等 元的环上利用此结果，我们将证明从套代数的j a c o b s o n 根到任意环上的可乘同构是 可加的 下面给出本节的主要结果： 定理4 1 设环冗有一族幂等元 e 。：n a ，亿为亿的子环且满足 ( i ) 对每个a a ，e n 冗咒且t c e 。c 冗 m ) 如果存在z 佗使得z 冗= 0 ，则z = 0 ( i i i ) 如果存在z 冗使得e , ，t c x = 0 对所有理a 成立，则z = 0 ( i v ) 对每个口a 及茁冗，如果e 。嚣e 。冗( 1 一e 。) = 0 ，则e o e 。= 0 则从冗到任意环上的可乘同构击可加的 我们注意到冗未必有单位元，故运算x ( 1 一y ) 理解为2 一x y ，这里z ，y 7 7 , 如 果俐有单位元，则我们的定理与m a r t i n d a l e 定理是一致的诚然，这里我们借鉴了 【3 5 中的证明思想 在证明定理之前，我们还需要几个引理在这些引理中我们将固定一个幂等元e a 称之为e l ，并令e 2 = l e 1 如此，根据条件( i ) 我们有如下p e i r c e 分解： 冗= 冗0 冗1 2o 冗2 l0 冗2 2 ，这里冗 = c i j - z e j ji ，j = 1 ，2 算子代数上的局部映射4 套代数。l a c o b s o n 根上的可乘映射 引理4 2 ( 0 ) = 0 证明：因为是满的，所以存在z 咒，使得咖( 功= 0 ，从而咖( o ) ：( o z ) = 咖( 0 ) 咖( z ) = 咖( 0 ) - 0 = 0 g i 理4 3 咖( z 。+ x # k ) = 西( z “) 十西( 。 ) ，j 证明：参见f 3 5 】中引理2 的证明 下面这个引理将起到关键的作用 s 悟里4 4 设l ，i js2 1 j ( 。“碚- bx l j y j e ) = 妒( x i l y 诘) + ( z 件) 证明：首先我们容易得到z i _ f y i q - x i j 蛳= ( “+ 叼) ( + y j k ) 接着利用引理4 3 ，我们 有等式 咖( 茁“执e + x i j y j k ) = ( ( z “+ 霉玎) ( 肌 + 协) ) = ( 西( $ “) + |