（基础数学专业论文）五维多面体正整点数的多项式上界估计.pdf

y7 7 5 9 9 s 五维面体正整点数的多项式上界估计 基础数学专、f k 研究生：赵建容指导老师：洪绍方教授 摘要；近几十年来，由于在数论和奇异理论上应用的需要，计算n 维多面体 的正整点数受到了数学家们的极大关注。设( 口1 ，d 。) 表示m 维多面体暑+ + 争l ，z 1 0 ，。0 ，其中吼2 o 。是给定的正实数。设p ( 8 h ，g 。) ：= # ( l ，z 。) z ；i ：1 警1 ) 。数论学家给出了如下猜想n ! p ( a l ，n 。) ( a l 一 1 ) ( 口。一1 ) ，其中o l d 。2 。此猜想是关于p ( o ，n 。) 很好的上界估计。 本文目的是证明关于这个猜想当n = 5 时成立。 关键词：多面体，正整点，多项式上界估计，对称性 a n a l y s i so fs h a r pp o l y n o m i a lu p p e re s t i m a t eo fn u m b e r o fp o s i t i v ei n t e g r a l p o i n t si na5 - d i m e n s i o n a lt e t r a h e d r a m a j o r i n g ：m a t h e m a t i c s g r a d u a t es t u d e n t ：j i a n r o n gz h a o s u p e r v i s o r ：p r e s s e rs h a o f a n gh o n g a b s t r a c t ：r e c e n t l yt h e r eh a sb e e nt r e m e n d o u si n t e r e s ti nc o u n t i n gt h en u m b e r o fi n t e g r a lp o i n t so fn d i m e n s i o n a lt e t r a h e d r aw i t hn o n - i n t e g r a lv e r t i c e sd u et oa p p l i e a - t i o n si np r i m a l i t yt t i n ga n df a c t o r i n gi nt h en u m b e rt h e o r ya n di ns i n g u l a r i t yt h e o r y l e ta ( a l ，d n ) b ea n 一d i m e n s i o n a lt e t r a l l e d r o nw i t hn o n - i n t e g r a lv e r t i c e sd e s c r i b e d b y 署+ + 器曼1 ，x l 0 ，x n 0w h e r ea l a na r ea n yg i v e np o s i t i v er e a l n u m b e r s l e tp ( a l ，o n ) ：= # ( 嚣l ，z n ) z 军i 冬1 口x _ i 茎1 ) i tw a sc o n j e c t u r e d t h a tn i p ( a 1 ，) ( a l 一1 ) - ( a n 一1 ) ，w h e r ea l - - - o n 2t h ep u r p o s e o ft h i sp a p e ri st of o r m u l a t et h ec o n j e c t t t r eo ns h a r pu p p e re s t i m a t eo ft h en u m b e ro f i n t e g r a lp o i n t si n5 - d i m e n s i o n a lt e t r a h e d r aw i t hn o n i n t e g r a lv e r t i c e s k e yw o r d s ：t e t r a h e d r a ，i n t e g r a lp o i n t ，s h a r pp o l y n o m i a lu p p e re s t i m a t e ，s y m m e r r y 四川大学硕士学位论文 设( n l ，a n ) 表示如下n 一维多面体 旦+ + 一x n 1 ，z 1 0 ，。0 ( 1 1 ) a l a n 其中口。a 。是给定的正实数。设 q ( a - ，a 。) ：= 4 扛- z n ) ( z + u 。) ) ”i e ；：，x 。i 2 可能会有很漂亮的结果，但我们对u l o g 仍然是非常感兴趣的) 。显然计算m 的 个数等价于计算( z l ，l 。) ( z + u o p 的个数，其中( f 1 ，z 。) 满足f i l o g p l + + f ll o g p lsl o g z 成立。从而等价于汁算( f h ，f 。) ( z + uo ) “满足如下n 维多面 体 ，1 ! + + 兰1 、其中 o 。= ；堡u ( 1 5 ) 四川太擘硕士学位论文 的个数，注意到o 。是实数。因此如何计算( z ”，f n ) ( z + u o ) ”的个数成为 让我们关注的问题。这个问题不仅在数论上，而且在几何和奇异理论上也是有 十分感兴趣的应用。设f ：( c “，0 ) 一( c ，0 ) 是一个在原点有孤立临界点的复 分析函数。又令m 为v = “z l ，) c “：，( 。1 ，) ) 的一个分解。肛= d i m c ”z - ， ，正。) 是奇点( v0 ) 的m i l n o r 数。奇点( vo ) 的几何亏格 是维数为h n - 2 ( m ，0 1 ，这是非常重要的奇点不变量。因此要一个严格的多项式 估计p ( a a ) 是非常重要的。因为它对于下面的猜想有非常重要的应用。 d u r f e e 猜想：( d u l ，1 9 7 8 ) 设r k 0 ，是一个孤立的有奇点的超曲面，定义 一个正则的函数，：( c “，0 ) 一( c ，0 ) 设 肛= d i m c l i z l ，z n ) ( 丘。，。厶。) 是奇点的胁抚o r 数那么n ! p 9sp 其中如是( k o ) 的几何亏格 如果，( z ) 是( l ，u k ) 型的权同态多项式，那么m i l n o r 数肛m ( w l 一1 ) ( t 一 1 ) 给出。于是d u r f e e 猜想是下面猜想的特殊情形。 猜想1 1 ：设o ，a 。是大于等于2 的正实数，那么 n ! p ( a l ，a 。) ( a l 一1 ) ( a n 一1 ) ( 1 6 ) 上面猜想的估计是数论学家提出来的，相对于下面的多项式估计是比较严格的。 令a ( a ，a n ) 如前，那么q ( n l l 。n 。) 是被赋d a a ( a ，d 。) 的每个格点向卜i 向 右的单位立方体所有的体积之和。从而 q ( 。一，n 。) s 多面体 ( 铂，z 。) 衅j 旦s1 ) 的体积 i = 1 一 。刍c g m m + 善 所有m ( 1 4 ) 和( 1 6 ) ，我们有 p ( a l ，a n j = q 【“，k ) 烈1 b t ) ( 1 + 击r 五! 、譬) ( 1 + 备矿 = 刍( n 。) n ! 、上一 对于n = 3 ，4r x u 和y a u 已经给出了r 一个很好的上界估计( 参考【x u y a l 】，【x u y 勰】) 。因此d u r f e e 猜想已经在这两种情况下得到了证明( 参考l x u y a 3 l | l 1 y a t l ) 。 一! 型苎芏壁主兰些堡墨 3 这篇文章我们主要是证明猜想1 i x 于n = 5 是成立的。p ( a l ，) 由( 1 6 ) 给出 上界是非常漂亮的。然而这还不足以去解决后面提出的问题这个问题在奇异 理论上提出了将近三十年( 参考【x u - w 2 1 ) 。因此，l i n g g l y a u 提 了如下猜想( 参 考i l i y a 3 ) 猜想1 2 ：设n ，a 。是大于等于蹦正实数那么 啡”棚胚秘等营叫“器罐k 并且等式成立当且仅当口l 一= 口。= 是整数其中 s ：= i l i k ， 群= x c - ? = n 。3 ，4 ，x u 和y a u ( 参考 x u - y m i ， x - v a a l ) 已经证明了猜想12 ，对 于n25l i n 干口y a u ( 参考f l l y a l 】) 证明猜想1 2 。l i n 和y a u 同时证明了猜想的特 殊情形n 1 = 。n n l 2 ，从而给出这种情形的p ( 口l ，n 。) 逼近公式。 他们同样i i e n 了这个逼近公式可以由贝努利数表示出来。 在本文中t 我们证明了当n = 5 时，猜想1 i n i 。事实上我们证明的如下的 主要结果。 主要定理：设d2b c 2 - , d2e l 是正实数，尸5 是五维多面体5 + # + ；+ ；+ ；s1 中的正整点数即 “ 。 岛：= 群眠舭，u ，”) z + y 。+ 2 cd u + ：s1 ) ( 1 7 ) u ul，p 定义p = ( n 1 ) ( b 一1 ) ( c 1 ) ( d 一1 ) ( e 一1 ) 那么 1 2 0 p 5 s p = a b c d e 一( a b c d + a b c e + a b d e 十a c d e + b c d e ) + ( q 6 c + a b d + a b e + a c d + a d e + a c d 十6 c d + m e + b c e + 吼抬) 一( n 6 + a d + a c + a e + b d + b c + b e 十c a + d e + c e ) 十( q + b + c + d + e 1 1 本文中的结果敢自文( h o - z j 。 去 m 一 ( 一 。 四川天学硕士学位论丈 2 预备引理 在本节中，我们回忆两个己知的重要引理。在下一节中，证明主要定理时我 们需要这两个引理。 引理2 1 ：【l i y a l 】设o b c d 1 是正实数，只为四面沐：十* + ：+ 酱1 的正整点数，即只= 孝 ( z ，y ，。，w ) z 牟i ：+ * + ；+ 詈1 ) 定 义肛7 = ( a 1 ) ( b 一1 ) ( c 一1 ) ( d 1 ) ，那么 2 4 p 4 芦：= a b c d 一( a b c + a b d + a c d + b c d ) + ( 。b + a c + a d + b c + b d + c d ) 一( + b + c + d ) + 1 引理2 2 ：【l i y a 2 】设n b c d e 4 是正实数，p 5 为五维多面 体：+ * + ：+ ；+ ；墨1 的正整点数，即 p 5 = 社 ( 训，z ，“，”) z ；：+ ；+ ；+ ；+ ；冬1 卜 那么 1 2 0 p 5s ，5 ( n ，b ，c ，d ，e ) ：= a b c d e 一2 ( a b c d + a b c e + a b d e + a c d e + b c d e ) + 萼( 。6 c + 。b d + 。c d + 跏) 一萼( n 6 + a c + a d + 6 c + 6 d + c d ) + 6 ( n + 6 + c + d ) 等式成立当且仅当a = b = c = d = e z 4 四川太学硕士学位论丈 即 3 主要定理的证明 在本节中，对主要定理分多种子情形进行证明。 主要定理证明：我们分两种主要情形证明。 情形倒e 5 ；情形倒5 e 1 首先我们先证明情形仞。设e 5 ，由引理2 ，我们只需要证明g o = p - ，5 0 g 。= 卢一，5 = ( n 6 c d 十d 6 d e + 。6 c e + n d c e + 6 c d e ) 一芸( 。6 d + 。6 c + 。c d + b e d ) + ( 。6 e + 。d e + a c e + 6 d e + 6 c e + c 删+ 警( n 6 + a c + a d + 6 d + c d + 6 c ) - ( a e + b e + d e + c e ) 一5 ( a + b + c + d ) + e 一1 0 设a = ：，b = ：，c = i ，d = ：。那么我们得到a b c d 1 ，其中e 5 。 从而 g o = ( a b c d + a b c + a b d + a c d + b c d ) e 4 + ( ( a b + b d + a c + a d + b c + c d ) 一等( a b c + a c d + b c d + a b d ) ) e 3 + ( 孚( a b + a c + a d + b c + b d + c d ) 一( a + b + g + d ) ) e 2 + f 1 5 a 一5 b 一5 c 一5 d ) e 一1 我们证明的思想是对于所有e 5 ，当a b c 芝d l 时，g o 在a = b = c = d = 1 处取最小值，并且g o ( 1 ，l ，1 ，1 ) 0 。注意到g o 是关于a ，b ，c ，d 对称 的而且有 丽历o 1 西1 丽o = e 4 o ， 对于e 25 ( 3 1 ) 于是得到当e25 ，d l 时0 3 g o o a o b o c 是d 的一个增函数。从而a 3 g o o a o b o c 在d = 1 处取最小值。而且我们有 砑0 a 3 曰g 。o g i 。一，= 2 e 4 一百3 1 e 3 = e 3 ( 2 e 一寻) 。，对于e 5 对于d l ，e2 5 ( 3 2 ) 注意到伊g o a a a 口是关于g ，d 对称的。由( 3 2 ) 同理可得 百淼 。， 对于c | l e 5 ( 3 3 ) 四川太学硕士学位论支 由( 3 2 ) 利【3 3 ) o j 知，当e 5 时，对任蒽g 1 g o o a o b 关于d 是增函数，同 时对任意d 1 ，c 是增函数。从而a 2 g o j o a o b ：窿= c = 1 ，d = 1 处取最小值。 堕o a o b l ，一s e 4 一萼e s + 争 i c ：1 口：1 一。一百1 。百。 因为3 e 4 一警e 3 + 挚e 2 的最大零点接近4 2 5 9 4 所以我们有 器 o ， 对于g 弘。 1 ，e 5 ( 3 4 ) d j - j = o g o o a 关于e ，ed 是对称，根据( 3 4 ) ，我们同理可得 瓦0 2 砺c 移o 。， 对于b 1 ， d 1 ，e 5 ( 3 5 ) 百0 硒2 c 0 。， 对于b 兰l ，c 兰l ，e 5 ( 3 6 ) 从( 3 4 ) ，( 35 ) ，( 3 6 ) 可知，当b 兰1 ，c 1 ，d l ，e 5 时，0 g o a a 分别对 于b ，c ，d 是增函数。因此a g o o a 在b c d1 处取最小值。 鲁l 。砒4 竽“z 增吨 x 4 e 4 一譬e 3 + 2 1 e 2 5 e 的最大零点接近3 7 5 2 。从而 鬻 o ， 对于b 1 )g l ，d 狙 e 5 ( 3 7 ) 由于g o 是关于a ，b ，c ，d 对称的，由( 3 7 ) 可知，g o 在：a bcd = l 处取最 小值，其值如下 g o i ：b = g = d = 1 =5 e 4 2 5 e 3 + 4 0 e 2 一1 9 e l = 5 e 3 ( e 一5 ) + 4 0 e 2 1 9 e 一1 o ，对于e 25 因此当o b c 2d e 5 时，g o 0 。从而定理的第一种情形得证。 情形f 明：1 e e 4 。令e = 4 十】9 ，0 4 所以k 只 能取值4 ，3 ，2 ，1 。设l l ，l 2 ，l 3 和l d 分别是k 取1 ，2 ，3 ，4 时，( 3 8 ) 正整点数解的个 数。那么我们有1 2 0 p 5 = 1 2 0 ( l 1 + l 2 + l s + 厶) 。 子情形r j n j ：! 卢 e 4 我们需要证明g l 对于a b c 兰d 兰e 是增函数，并且在a = b = c = d = e 取 得最小值。从而只需要证明在a = b = c = d = e 有g l 0 ，子情形r j o j 就得以证 四川犬学碰士学位论丈8 明。我们有 淼= ( c d - c - d + 1 ) 一3 5 + ( 4 c d - 4 c - 4 d + 4 + ( 2 4 c d + 6 c + 6 d 一3 6 ) p 3 + ( 1 2 4 c d + 2 6 c + 2 6 d 一2 4 6 ) p 2 + ( 3 0 4 c d 一4 c 一4 d 一4 9 6 ) p + ( 2 7 8 c d 一4 8 c 一4 8 d 一3 5 2 ) = ( c d c d + 1 ) 矿+ ( 4 c d 一4 c 一4 d 十4 ) 伊 + ( 6 c + 6 d + 2 4 c d 一3 6 ) f 1 3 + ( 2 6 c + 2 6 d + 1 2 4 c d 一2 4 6 ) p 2 + ( 4 c d 一4 c 一4 d ) + 3 0 0 c d 一4 9 6 ) f l + ( 2 3 0 c d 一3 5 2 + 4 8 c d 一4 8 c 一4 8 d ) 因为0 c 十d ，2 4 c d 3 6 ，3 0 0 c d 4 9 6 ，2 3 0 c d 3 5 2 。从而 象 。，对于c m ，5 e 4 ( 3 9 ) 注意到a g l a o 是关于6 ，c ，d 对称的，并且n b 兰c d 4 。那么由( 39 ) 可以 得到 急 。 0 2 g l 、n 8 n 8 d 对于 b d e ， 5 e 4 对于 b c e ， 5 e 4 由( 3 9 ) 一( 3 1 1 ) 可知，当b c d i i ? 6 0 g i o a 在b c de 处取最小值。 ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) e 时。a g l a n 分别是6 ，c ，d 的增函数。因 又有 1 2 4 1 6 + 2 5 8 2 4 d + 2 2 9 6 8 口2 + 1 1 2 1 0 口3 + 3 1 6 6 + 5 6 5 f 尹+ 8 7 p 6 + l3 j 矿+ 矿 0 ，0 e 4 c # a 由( 3 2 ) 和g ，是关于o ，b ，c ，d 对称的，我们有 鲁 o o g i 0 ( 7 c 对于 a c d e ， 5 e 4 对于 a b d e ， 5 e 4 ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) = 一 堕乩 四川大学硕士学位论之 等 。，对于n 6 c e 1 5 e 4 ( 3 1 6 ) m ( 3 1 3 ) 一( 3 1 6 ) 矾n ，当n b c2d e ，5 e 4 时，我们有g 1 分别 是，b ，c ，d 的增函数。因此g 1 在a = b = c = d = e 处取最小值，其值如下 g 1l = 4 0 4 4 8 + 9 8 0 4 8 f l + 1 0 3 4 8 8 f 1 2 + 6 2 5 2 8 3 3 + 2 2 9 5 8 伊 l a = b = c = d = e 5 2 8 1 3 5 + 8 5 6 f 1 6 + 1 2 6 3 7 + 1 6 3 8 + 矿 00 40 口 1 p 证明的思路是证明g 2 是分别关于n b2c d 的增函数，并且g 2 在n = b = c = d = ；取最小值。然后证明在o = b = c = d = 时g 。0 ，子情形口6 ，得以讧e 9 ! 业叁茔塑圭苎垒垒墨1 0 明。 伊g 2 o a o b ( c d c d 十1 ) 卢5 + ( c + d c d 1 ) 矿 + ( 2 4 c d + 2 6 c + 2 6 d 一7 6 ) 卢3 + ( 1 2 4 c d - i - 2 6 c + 2 6 d 一3 2 6 ) 卢2 + ( 3 0 4 c d 一4 c 一4 d 一4 9 6 ) p 十一( 2 7 8 c d 一4 8 c 一4 8 d 一3 5 2 ) 卢5 + ( c + d 1 ) 矿+ c d ( z 3 一卢4 ) + ( 2 6 c + 2 6 d + 2 3 c d 一7 6 ) 伊+ ( 2 6 c + 2 6 d + 1 2 4 c d 一3 2 6 ) p 2 + ( 4 c d 一4 c 一4 d + 3 0 0 c d 一4 9 6 ) ? + ( 2 3 0 c d 一3 5 2 + 4 8 c d 一4 8 c 一4 8 d ) 因为o c + d ，2 3 c d 7 6 ，3 0 0 c d 4 9 6 ，2 3 0 c d 3 5 2 ，1 2 4 c d 3 2 6 ，口3 。从而有 淼 。， 对于 c d ；， 5 刚，。 0 ， 对于 b c e 口 e 口 5 e 4 ，0 4 ，0 卢 0 ，0 e 4 ， o o a c 对于n c d ；，5 e 4 ，o 4 ，o 6 c2 ；，5 e 4 ，0 e 4 ，0 卢 0 0 c + d ，1 5 c d 1 2 6 0 c d 7 9 ，9 0 c d 1 2 3 ，5 0 c d 6 3 。从而 纛 。，对于c 蛾，4 e 3 ，i 兰胁。( 3 2 5 ) 注意到a g 3 a 是关于n ，b ，c ，d 对称的，而且口b c d 3 。那么由( 3 2 5 ) 我们 有 象 。，对于6 d e 1 4 e 3 ，1 胁。( 3 2 6 ) 豢 。，对于6 c h4 e 3 ，l 胁o ( 32 7 ) 由( 3 2 5 ) 一( 3 2 7 ) 我们得知a g 3 i ，n 分别对于6 ，c ，d 是增函数。因此a g 3 o a 在b ：c 。 d = e 处取最小值，其值如下 o g 3 i 百i 。 于是得到 1 0 2 6 + 3 1 0 5 卢+ 4 0 1 4 ；3 2 + 2 8 1 0 ；3 3 + 1 1 2 1 + 2 7 5 尹+ 5 4 矿+ l o ；3 7 + 口8 0 ，1 p 0 ( 3 2 8 ) 警 。，对于6 c d e ) 4 e 3 ( 3 2 9 ) 由( 3 2 9 ) 和g 3 是关于n ，b ，c ，州称的。我们有 等 o ， 对于。三c dh4 e 3 警 o 对于础2 蛾，4 圳 ( 3 3 0 ) ( 3 3 1 j 1 2 四川太擘硕士学位论文 等 。， 对于n 6 ch4 e 3( 3 3 2 ) 由( 22 9 ) 一( 3 3 2 ) 可知，当。b c d e 时，我们有g 3 是n ，b ，c ，d 的增函数。因 此g 3 在n b c d = e 处取最小值。 g 3 f。= 2 1 8 7 + 7 7 7 6 f l 十1 1 9 8 8 f 1 2 + 1 0 5 8 4 f 1 3 + 5 6 0 7 1 4 l a = b = c = d = e + 1 8 2 1 f 1 5 + 3 9 8 伊+ 7 4 + 1 2 3 8 + 口9 0 ，1 口 0 从而子情形偿。j 证明完毕。 子情形俾 ：! 卢1 。如果：口1 。当七= 3 时，( 3 8 ) 可能没有正整数解，但 满h q l 理2 1 的条件。为了证明子情形俾 只需要证明p 一1 2 0 ( l 3 + 如+ l 1 ) 0 。 由引理2 1 ，我们有 p 一5 1p 5 = p 1 2 0 ( l 3 + l 2 + l i ) 9 。：= p 一5 ( ：p 1 ) ( ：卢一1 ) ( ；p 一1 ) ( ；p 1 ) 一5 ( - ；( f l + 1 ) 一1 ) ( ；( 卢十1 ) 一1 ) ( ；( f b + 1 ) 一1 ) ( ! ( 卢+ 1 ) 一1 ) 5 ( ；( 卢+ 2 ) 一1 ) ( ：( 口+ 2 ) 一1 ) ( ；( 卢+ 2 ) 一1 ) ( ：( 卢+ 2 ) 一1 ) 类似于子情形偈计我们定义g a = e 4 9 。那么我们有 瓯= ( 岛一岛+ 岛一s + 1 ) 矿 + ( 一s 4 + s a s 2 + s 1 1 ) + ( 1 8 s 4 + 1 2 岛一4 2 岛+ 7 2 s 1 一1 0 2 ) 伊 + ( 6 6 s a 一6 岛一1 2 4 s 2 + 3 2 4 s 1 5 9 4 ) 芦2 + ( 1 1 7 岛一2 7 s 3 1 2 3 岛+ 5 1 3 s 1 1 3 2 3 ) 卢 + ( 7 7 一2 7 s j 一6 3 & + 2 4 3 s 1 1 0 5 3 ) ， 对于 n b c d 要， 4 e 31 序 0 一 证明的思路是证明g 4 是分别关于o b c d 的增函数，并且g 4 在。= b = c = d = ；处取最小值。然后证明当n = b = c = d = 5 时有g a 0 ，子情形俾 得 1 3 ! ! ! 叁芏堡主芏竺堡墨 1 4 以证明。 淼= ( c d - c - d + 1 ) z s + ( c + d - c d - 1 ) 3 4 + o s c a + 1 2 c + 1 2 d 一4 2 ) z 3 + f 6 6 c d 一6 c 一6 d 一1 2 4 ) f 1 2 + ( 1 1 7 c d 一2 7 c 一2 7 d 一1 2 3 ) p + ( 7 7 c d 一2 7 c 一2 7 d 一6 3 1 = ( c d c d + 1 ) 卢5 + ( c + d 1 ) + c d ( 伊一) + ( 1 2 c + 1 2 d + 1 7 c d 4 2 ) 卢3 + ( 6 c d 一6 c 一6 d + 6 0 c d 一1 2 4 ) p 2 + ( 9 0 c d 一1 2 3 + 2 7 c d 一2 7 c 一2 7 d ) b + ( 2 7 c d 一2 7 c 一2 7 d + 5 0 c d 6 3 1 因为l p 0 ，c d 暑 3 ，我们有c d c + d ，1 7 c d 4 2 ，6 0 c d 1 2 4 ，9 0 c d 1 2 3 ，5 0 c d 6 3 ，矿 口4 。于是得到 纛 。，对于c d ；，4 2e 3 ，l 胁。( 3 3 3 ) 注意到a g 4 o a 是关于6 ，c ，d 对称的，并且b c d 兰5 。那么由( 3 3 3 ) 我们 有 0 2 g 4 。 o a o c u 0 2 g 4 o a o d u 对于 6 d ；， 4 e 3 ，1 三胁。 对于 b c ；， 4 e 3 ，l 胁o ( 33 4 ) ( 3 3 5 ) 由( 3 3 3 ) 一( 33 5 ) ，当6 c d2 5 时，拢f f j ：f f o g 4 o a 分别对于6 ，c ，d 是增函数。 因此a g 一o n 在6 = c = d = ；处取最小值其值如下 坠o a 。，。：雩+ 筹+ 军+ 1 6 - 6 + 。p + 。印。 1 6 一d ：；一a 矿十万r 十矿+ 1 6 1 6 + 3 3 3 + 2 7 卢 o ， 12 卢 0 f 33 6 ) 于是得到 等 。， 对于6 c d 芝；，42 。 3 ，l2 胁。 ( 33 7 ) m ( 33 7 ) i g 4 关于n ，b ，c ，d 对称的。立即得： 警 o 挚 。 d c 对于 。c d ；， 4 e 3 ，1 胁。 对于。6 d ；，4 e 3 ，1 胁o ( 3 3 8 ) ( 33 9 ) 四川走学硕士学位论丈 警 o对于n 邳d 2 ；，4 e 3 ，l 胁o ( 3 4 0 ) 由( 3 3 7 ) 一( 3 4 0 ) 可知，当o b c d 暑，4 e 3 ，l p 0 时，g 4 分别对 于o ，b ，c ，d 是增函数。因此g 4 在n = b = c = d = 5 出取最小值。 6 2 矿3 7 + 1 4 f 8 7 7 + 1 2 矿9 0 6 + 5 2 f 9 8 + 8 1 3 + 1 0 4 9 伊。口3俨 口 0 ，0 c 5 = d | lc | _ 神 4 g 四川太学硕士学位论文 证明。我们有 悉= ( c d d + 1 ) 舢( 4 c d - 4 c - 4 d + 4 + ( 1 2 c d 一7 c 一7 d 十2 ) 矿+ ( 2 6 c d l l c l l d 一9 ) f 1 2 1 + ( 2 8 c d 一1 3 c 一1 3 d 一1 2 ) f l + ( 1 l c d 一6 c 一6 d 一4 ) = ( c d c d + 1 ) f 1 5 + ( 4 c d 一4 c 一4 d + 4 ) + ( 7 c d 一7 c 一7 d + 5 c d + 2 ) z 3 + ( 1 l c d 一1 1 c l l d + 1 5 c d 一9 ) 口2 + ( 1 3 c d 一1 3 c 一1 3 d + 1 5 c d 一1 2 ) z + ( 6 c d 一6 c 一6 d + 5 c d 一4 ) 因为0 2 ，那么c d c + d ，1 5 c d 9 ，1 5 c d 1 2 ，5 c d 4 。于是得到 纛 。，对于c d e ，3 2e 2 ，1 胁。( 3 4 1 ) 注意到a g 5 乩是关于n ，b ，c ，d 对称的。那么由( 3 4 1 ) 我们有 翼 o u a o c a 2 g 5 、n 瓦丽“ 对于 b d 兰e ， 3 e 2 ，1 卢 0( 3 , 4 2 ) 对于 b c e ， 3 e 2 ，1 p 0 ( 3 4 3 ) 由( 3 4 1 ) 一( 3 4 3 ) 可知， 数。因此a g 5 o a 在b o g 5 l o ai k 。：。d ：。 当6 兰c2d e 时，我们有a g 5 o a 分别对于6 ，c ，d 是增函 = c = d e 处取最小值，其值如下 1 6 + 9 6 f l + 2 4 8 f 1 2 + 3 2 0 f 1 3 + 2 2 1 f 1 4 + 9o j 舻+ 2 7 f 1 6 + 7 口7 + 口8 0 ， 12 卢 0 ( 3 4 4 ) 于是有 警 o ，对于6 2c 蛾，3 e 2 由( 3 4 5 ) 和g 5 关于a ，b ，c ，d 对称的。立即得 o g 5 o b o g 5 挑 0 ，对于 a c 2d e ，3 2 0 ，对于 a 三6 d2e ，3 e 2 ( 34 5 ) ( 34 6 ) f 34 7 ) 1 6 四川走学硕士学位论文 等 o ， 对于n 62c e 1 3 e 2 ( 3 4 8 ) m ( 3 4 5 ) 一( 2 4 8 ) 可圭w ，当o b c d e ，3 e 2 时，我们有g 5 分别对 于n ，b ，c ，d 是增函数。n i i 七g 5e a = b = c = d = e 姗( t l t j 、值，其值如下 = 1 6 + 1 1 2 口+ 3 4 4 口2 + 6 0 8 卢3 + 6 0 l z 4 3 4 l 卢5 + 1 2 2 矿+ 3 4 矿+ 8 矿+ 卢9 0 ，l p 0 从而定理的子情形p n j 得证。 子情形p ：；p 1 则当= 2 时，( 3 8 ) 可能没有正整数解。但是它满足b 理2 1 的条件。为了证明子情形f 别，只需要证明p 一1 2 0 ( l 2 + l 1 ) 0 。由引理2 1 我们有 p 一51 p 5 = p 一1 2 0 ( l 2 + l 1 ) 9 6 ：= t t - 5 ( ：p 1 ) ( ：p 一1 ) ( ；卢一1 ) ( ；卢一1 ) 一5 ( ；( 口+ 1 ) 一1 ) ( ：( 卢十1 ) 一1 ) ( ；( p + 1 ) 一1 ) ( ；( 口+ i ) - 1 ) 定义g 6 = e 4 9 6 那么我们有 g 6 = ( s 4 一昆+ 岛一s l + 1 ) 矿 + ( 一s 4 十岛一s 2 + s i 1 ) 矿 + 0 2 & + 3 s 3 1 8 岛+ 3 3 s l 一4 8 ) 萨 + ( 2 6 岛一1 1 岛一2 9 s 2 + 9 4 s 1 1 4 4 ) 口2 + ( 2 8 & 一1 3 昆一1 2 岛+ 9 2 s 1 2 7 2 ) 卢 + ( 1 l s j 一6 s 3 4 岛+ 2 4 岛一1 4 4 ) ， 对于 o b c d 丢， 3 e 3l p o u 证明的思路是证明g 6 是分别关于a 2b c d ；的增函数，并日g 6 在a = b = c = d = 处取最小值。然后证明在o = b = c = d = ；时g 6 0 ，子情形p 得以 1 7 i d | c忙 = b 5 g ! 型垄兰壁芏垒堡墨 一1 8 证明。又有 五0 2 g 赢6 = ( c d c d + 1 ) p 5 十( c + d c d 1 ) 矿 + ( 1 2 c d + 3 c + 3 d 一1 8 ) 伊+ ( 2 6 c d l l c l l d 一2 9 ) 扩 + ( 2 8 c d 一1 3 c 一1 3 d 一1 2 ) p + ( 1 l c d 一6 c 一6 d 一4 ) ：( c d c d + 1 ) 矿+ ( c + d 一1 ) 矿+ c d ( 伊一) + ( 3 c + 3 d + l l c d 1 8 ) p 3 + ( 1 1 c d l l c l l d + 1 5 c d 一2 9 ) 3 2 + f 1 5 c d 一1 2 + 1 3 c d 一1 3 c 一1 3 d ) 3 + ( 6 c d 一6 c 一6 d + 5 c d 一4 ) 因为1 口 1 2 。口3 。 a 2 g 6 、n o a o b ” 0 ，c 之d 2 ，n & c d c + d ，l l c d 4 2 ，1 5 c d 2 9 ，1 5 c d 于是得到 对于 c d 丢， 3 e 21 ，p 0 ( 3 4 9 ) 注意到a g 6 o a 是关于o ，b ，c ，d 对称的，那么由( 3 4 9 ) 我们有 0 2 g 6 、n o a o c u 翼 o o a o d 对于 b2d2 昙 a 对于6 c 2 ； 3 e 2 3 e 2 1 p 0 ( 35 0 ) 12p 0 ( 3 5 1 ) m ( 3 4 9 ) 一( 3 5 1 ) 可知，当6 c d e 时，o g d o a 分别对于6 ，c ，d 是增函数。因 此a g e a o 在6 = c d = ；处取最小值，其值如下 o g 6 l o a l 括。：d - 5 ( 3 5 2 ) 于是得到 警 o ，对于b c d ；，3 2e 2 ，1 胁o ( 3 5 3 ) 由( 3 5 3 ) 和g 6 是关于。，b ，c ，d 对称的。我们有 等 o 孥 o 口c 对于n c d ；，3 e 2 ，1 兰肛o ( 3 彤) 对丁吃6 d ；，3 e 2 ，1 胁o ( 35 5 ) p 8 + 口 76+凹 n 卜 塑p 那 卜 l 坐伊 + 望伊n 四川太学碰士学位论文 等 o ，对于。 6 d ；，3 兰e 2 ，l 炒o ( 3 5 6 ) m ( 3 5 3 ) 一( 3 5 6 ) 可知，当o b c 兰d ，3 e 2 ，l 兰p o 时，我们有g 6 分 别对于n ，6 ，c ，d 是增函数。因此g 6 在o = b = c = d = ；取最小值，其值如下 g 6 i i o = 6 = f d - 从而定理子情形伽j 得证明。 子情形“j ：2 e21 。如果e = 1 ，( 1 9 ) 没有正整数解。我们有p 5 = 0 和= 0 ，那么定理自然成立。 如果2 e 1 ，k 只能取值1 才能使( 3 8 ) 有解。如果：卢 0 。那么定理也成立。如果! p l 。则满足b i 理2 1 的 条件。我们只需要证明卢一1 2 0 l 1 兰0 。子情形“j 自然成立。由引理2 1 。我们有 p 一5 1 p 5 = u 1 2 0 上1 = p 一5 ( ：p 1 ) ( ；卢一1 ) ( ；p 一1 ) ( ：p 一1 ) 设e = l + 卢，12 卢 0 和g 7 = e 4 9 r 那么我们有 g 7 = ( s 4 一s 3 + s 2 一s 1 + 1 ) 卢6 + ( 一十昆一5 j + s l 1 ) 卢4 + ( 6 ，s j 一，s j 一4 岛+ 9 s 1 1 4 ) 卢3 + ( 4 s 4 4 s 3 一s 2 + l l s l 2 6 ) 萨 + ( 墨一5 j + s j + 4 s l 一1 9 ) , 8 5 ， 对于口6 c 2d 丢，2 2e l1 卢 0 u 证明的思路是证明g r 分别对于d2b c d ；是增函数，并且g 7