（基础数学专业论文）lp空间中关于凸体的几个不等式.pdf

摘要 凸体几何是现代几何学的一个重要的分支，l 。空间中的凸体极值理论是凸体 几何研究中的一个重要课题迷向凸体作为几何断层学的重要研究对象之一，有着 广泛的应用，如体视学、仿晶学和信息论等领域 本硕士论文以工口空间中的凸体极值为主要研究内容本文共分三章：首先介 绍了凸体几何发展的进程和研究现状在第二章中，首先将凸体的z 范数推广到 空间，引入了f p 范数；其次推广了b a r t h e 的个关于凸体极值的结果，同时我们 给出了 p 范数的b l a s c h k e - s a n a t l a 5 型不等式在第三章中，研究了类等宽体的一 些性质 本文取得的主要结果是：证明了在l s w n e r 椭球( 包含凸体的最小椭球) 是球的 所有凸体中，八面体具有最大的l p 范数，还给出了2 p 范数的b l a s c h k e - s a n a t l a d 型不 等式。同时给出了一类等宽体的体积及其迷向常数的上下界 关键词：凸体，不等式，外径，内径，f p 范数，迷向体，迷向常数，正则单形 a b s t r a c t i l c o n v e xg e o m e t r yi sa ni m p o r t a n tb r a n c ho fm o d e r ng e o m e t r y , t h ee x t r e m et h e o r y i nt h e 岛s p a c ei so n eo fi m p o r t a n ts t u d yo b j e c t si nc o n v e xg e o m e t r y t h ei s o t r o p i c c o n v e xb o d i e s ，a sas t u d i n go b j e c ti ng e o m e t r i ct o m o g r a p h y , h a v ee x t e n s i v ea p p l i c a t i o n s i ns t e r e o l o g y , c r y s t a l l o g r a p h ya n di n f o r m a t i o nt h e o r y t h i sm a s t e rd i s s e r t a t i o nr e s e a r c h e st h ee x t r e m ep r o b l e m si nl vs p a c e t h et h e s i s c a nb ed i v i d e di n t ot h ef o l l o w i n gt h r e ec h a p t e r s ：i nt h ef i r s tc h a p t e r ，t h eh i s t o r yo fc o n v e x g e o m e t r ya n dt h eg e n e r a la s p e c to ft h es t u d ya r ei n t r o d u c e d i nc h a p t e r2 ，t h ezn o r mo f t h ec o n v e xb o d yi se x t e n d e dt ot h e 岛s p a c e ，a n dt h ei vn o r i ni si n t r o d u c e d o n eb a r t h e 8 r e s u l ta b o u te x t r e m ep r o b l e mi nc o n v e xt h e o r yi se x t e n d e d i nc h a p t e r3 ，s o m ep r o p e r t i e s o fc o n s t a n tw i d t hb o d i e sa r eg i v e d t h et h e s i sc o n t a i n st h ef o l l o w i n gr e s u l t s ：t h et h e o r e mt h a ti fc o n v e xb o d y sl s w n e r e l l i p s o i d ( t h em i n i m a lv o l u m ee l l i p s o i dc o n t a i n i n gt h ec o n v e x ) i st h ee u c l i d e a nu n i tb a l l ， t h eo c t a h e d r o nh a sm a x i m a li pn o r mi sp r o v e d ，a n dt h eb l a s c h k e - s a n a t l a dt y p ei n e q u a l i t y o f 知n o r i ni sg i v e d a l s o ，s o m ep r o p e r t i e so fc o n s t a n tw i d t hb o d i e sa r eg i v e d ，w h i c h c o n t a i ni s o t r o p i cc o n s t a n ta n dv o l u m e k e y w o r d s ：c o n v e xb o d i e s ， i n e q u a l i t y , c i r c u m r a d i u s ，i n r a f l i u s ， f p n o r m ， i s o t r o p i cb o d i e s ，i s o t r o p i cc o n s t a n t ，r e g u l a rs i m p l e x 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了 文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写 过的研究成果参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示了谢意 签名：栌炙日期切夕舢 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布 论文的全部或部分内容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名垆各鳓一 第一章绪论 本文选题来源于导师冷岗松教授领衔的2 0 0 7 年国家自然科学基金项目。l p 空 间中的凸体极值问题”( 批准号： 1 0 6 7 111 7 ) 在本章中，首先简要叙述一下凸几何 的发展历程和研究现状，接着叙述了本文研究的主要问题及取得的主要成果，最后 说明本文的结构安排 1 1 学科综述 凸体几何( c o n v e xg e o m e t r y ) 起源于1 9 世纪下半叶，2 0 世纪初形成，2 0 世 纪中后期蓬勃发展起来的一门现代几何学科，b r u n nh 和m i n k o w s k ih 是两位杰 出的奠基者2 0 世纪3 0 年代，前苏联著名数学家a l e k s a n d r o va d 以及b o n n e s e n t 和f e n c h e lw 引进凸体的混合表面积测度，使得凸体几何成为一个独立的数学 分支2 0 世纪7 0 年代，p e t t y 发现了各种各样新的等周不等式，其中不少结果在 许多领域有着广泛的应用2 0 世纪8 0 年代，以j e a nb o u r g a i n 和v i t a l im i l m a n 为 代表的几何分析学派，用现代泛函分析为工具研究凸体的度量性质，取得了突破性 的进展，使得一些经典的凸体几何难题得以解决，也使得对凸体理论的研究空前繁 荣，成为现代数学重要的主流方向之一，b o u r g a i n 也因此而获得了f i e l d s 奖进入 2 0 世纪9 0 年代后，凸体几何的研究领域迅速扩大，研究对象从凸体扩大到星体 1 9 9 6 年b e r k e l y 数学科研所( m s r i ) 将几何分析列为一个半年项目，项目结束后出 版了两本书：。c o n v e xg e o m e t r i ca n a l y s i s 。和。f l a v o r so fg e o m e t r y ”这两本书， 特别是后者列举了大量关于凸体的等周极值问题的研究结果，其引言中指出这种研 究将是近期数学研究的一个非常重要的方面 凸体几何是以凸体和星体为主要研究对象，以微分几何、泛函分析、偏微分方 程和拓扑学为基础的现代几何分析中一个重要的研究领域著名数学家陈省身教授 在祝贺我国自然科学基金设立l o 周年的讲话- 中指出：。凸体几何是一个重要而 困难的方向，c e 0 2 的研究显示了它在化学中的应用，它当然对固态物理也有重大 作用”陈先生的话充分说明了凸体几何作为- - f l 基础学科的重要性凸几何的核 心内容为b r u n n - m i n k o w s k i 理论，主要发端于经典的等周问题【1 6 】1 9 世纪末期， 1 讲话刊于t 数学进展 2 5 卷5 期( 1 9 9 6 ) 2 r f c u r l ，j r ，r e s m a l l y 和h w k r o t o 因此结果获得1 9 9 6 年诺贝尔化学奖注；在计算碳分子 的结构中，就运用了表们熟悉的e u l e r 公式。v e + f = 2 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 2 m i n k o w s k ih 证明了下面的著名不等式 v ( o a ) k + 入l ) 吾( 1 一a ) y ( k ) 击+ a y ( l ) i 1 ， 等号成立当且仅当k 与l 同位相似这里k ，l 表示n 维欧式空间舯中的凸体( 即 舯中有非空内点的紧致凸集) ，0 a 1 ，v 表示舯上的l e b e s g u e 测度，+ 表示 m i n k o w s k i 加法上面的不等式现在被称为b r u n n - m i n k o w s k i 不等式，其三维情形最 早由b r u n nh 在1 9 世纪中后期给出 如果砬，群是 中的凸体，九0 ( i = 1 ，2 ，r ) ，m i n k o w s k i 线性组合 凡尬定义为 i = 1 rf 九甄= a i x i ；x i 尥卜 i = 1i = 1 m i n k o w s k ih 把体积的概念与m i n k o w s k i 加法的概念相结合，得到了b r u n n - m i n k o w s k i 理论中最为重要的概念一混合体积 如果硷，耳是舻中的凸体，a l ，是一列非负实数，那么个重要的 事实是入l 凰，群的m i n k o w s k i 和的体积可展开为关于a 1 ，k 的一个n 次 齐次多项式，也就是 rf v ( a i k l + + 群) = a i 。y ( k l 一，甄。) ， 1 = lt n = 1 其中系数y ( 甄。，k 。) 在甄l i 一，k 。的位置置换下是不变的，我们把它称为 甄l ，k 的混合体积 混合体积的概念蕴含着体积，表面积、平均宽度等基本的几何概念，这使得它 理所当然的成为整个理论的基本概念混合体积的概念与b r u n n - m i n k o w s k i 不等式 一起初步奠定了整个b r u n n - m i n k o w s k i 理论的基础 由h e r m a n nm i n k o w s k i 3 基于s t e i n e rj 和h e r m a n nb r u n n 的研究成果而建立的 b r u n n m i n k o w s k i 理论是凸体几何的核心内容该理论可以视为e u c l i d 空间的两个 基本内容所构成的：向量加法( 也称为m i n k o w s k i 加法) 和体积通过这两个内容， 我们获得了重要的b r u n n - m i n k o w s k i 不等式和混合体积等一系列成果在获得混合 体积之后，许多其它重要的概念，如均质积分，表面积测度和曲率测度等等，都可 3 h e r m a n nm i n k o w s k i ( 1 8 6 4 1 0 0 9 ) ：德国数学家，曾经是物理大师e i n s t e i n 的老师，并因给出了狭义相对 论的数学解释而名噪一时他的t 作成就集中在数论代数和数学物理方面当m i n k o w s k i 用几何方法研究 n 元二次型的约化问题时，建立起来的关于数的理论。被称为。效的几何由此引导出他在。凸体几何一方面 的研究 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 3 以视作混合体积的一个特例，从而将其他的几何学分支，如积分几何和微分几何， 有机的结合起来 上世纪初，凸体几何的发展进入了一个繁荣的阶段 a l e k s a n d r o va d 以及 j e s s e nb 和b l a s c h k ew 等数学家的工作使得凸体几何得到了进一步的发展他们 提出了混合表面积测度的概念，讨论了凸体的投影理论和均质积分，得到了另一个 有着基本重要性的不等式- - a l e k s a n d r o v - f e n c h e l 不等式 a l e k s a n d r o va d 还将 凸几何理论应用到了椭圆型偏微分方程的研究当中；b l a s c h k ew 和他领导的积分 几何学派也为凸几何的发展做出了杰出的贡献，他们主要讨论了二维和三维的凸几 何，定义了凸体的b l a s c h k e 和等重要的几何概念，建立了著名的b l a s c h k e - s a n t a l 6 不 等式我国的数学家陈省身、吴大任在这一时期也对凸几何的发展做出了重要的贡 献1 9 3 4 年b o n n e s e n 和f e n c h e l 的著名专著【8 】收集了凸几何截止到当时的主要结 果 二战后，先后有b u s e m a nh ，h a d w i g e rh ，p e t t yc m ，f i r e yw j ，g o o d e yp r ， k - kv l ，g r o e m e rh ，l a r m a nd g ，r o g e r sc a ，m c m u l l e np ，s c h n e i d e rr 等人主 要在凸几何领域工作，使得整个理论的发展充满了生机 进入上世纪9 0 年代，g a r d n e rr jz h a n gg y ，k o l d o b s k ya ，b a l lk 等数学家 对于b u s e m a n n - p e t t y 截面问题的研究【4 ，2 3 ，2 8 】把整个凸几何理论的发展推到了一 个高潮至今，这一问题的推广形式仍然吸引着许多人【6 8 】 凸几何理论在不断的丰富和演进的同时，衍生出许多新的学科，如几何断层学 ( g e o m e t r i ct o m o g r a p h y ) 就是通过获得几何体的截面和投影等低维信息，来重构该 几何体或者对几何体的性质做出判断的学科( 【2 7 】) 这是g a r d n e rr 在1 9 9 0 年首次 提出的( 参g a r d n e rr 的著作【2 7 】) ，并且被广泛地应用于医学的c a t 扫描诊断领 域最近几年随着计算机的广泛使用，几何断层学在医学、工程学、机器人学等领 域的应用正越来越走向成熟例如，c h a n gs k 和c h o wc k 在文【1 8 j 中就试图用 两条正交的x 一射线来重构人体的- c - 脏( 若心脏可以近似地认为是凸体的话) 积分几何( i n t e g r a lg e o m e t r y ) 是与凸体几何密切相关的一个几何学分支积分 几何又称几何概率，源于1 7 7 3 年由b u f f o n 提出的投针问题1 9 3 0 年，b l a s c h k e 在德国汉堡组织的讨论班上首次使用了。积分几何”一词该讨论班的目的是用概 率的思想来研究凸体论及的大范围几何学许多闻名的数学家如陈省身、吴大任和 s a n t a l 6 都是该讨论班的成员积分几何所研究的内容，是给集合( 点集、直线集、 平面凸集和几何图形集等) 定义一种在某个变换群下的不变测度( i n v a r i a n tm e a s u r e ， 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 4 又称h a a r 测度) ，所有的不变测度都可定义为在某个变换群下的积分我国在积分 几何领域一直处于领先地位，其代表人物有陈省身、严志达、吴大任和任德麟( i s 7 1 ) 等 值得一提的是，我国数学家在凸体几何领域贡献卓越二十世纪五十年代，著 名数学家吴文俊运用拓扑方法圆满解决了复合形在欧氏空间嵌入的这一凸体几何的 难题，成果举世瞩目；二十世纪八十年代，杨路教授、张景中院士借用距离几何方 法和计算机辅助证明，在凸体几何的高维几何不等式与几何极值、初等图形的嵌入 等方面作了许多开创性的工作( 见【7 2 ，7 3 ，7 5 】等) ，获得了国际数学界的广泛好评 现代凸几何有其独特的研究对象和研究方法，一方面其所继承的经典理论得到 了长足的发展，另一方面，也衍生出了一些充满生机的新的方向粗略地讲，可以 分为以下几个方面 ( 1 ) b r u n n - m i n k o w s k i 理论与l p - b r u n n - m i n k o w s k i 理论 这一部分内容是经典的b r u n n - m i n k o w s k i 理论的继承与发展，纽约理工大学 ( p o l y - t e c h n i c a lu n i v e r s i t yo fn e wy o r k ) 的l u t w a ke 教授一直在从事b r u n n - m i n k o w s k i 理论的研究，他在经典的b r u n n - m i n k o w s k i 理论方面做了大量的研究工作【4 6 ，4 7 ， 4 8 ，4 9 】在l p b r u n n - m i n k o w s k i 理论方面，他首先认识到了f i r e yw j 所引进的 p 一一m i n k o w s k i 加法【2 1 ，2 2 】的重要性，并且定义了p 面积测度的概念，推广了著名 的m i n k o w s k i 问题，做出了许多开创性的工作【5 3 ，5 4 】 在l u t w a k ，d e a ny a n g 和z h a n gg 等人的系列论文中【5 0 ，s 1 ，b r u n n - m i n k o w s k i 理论中的许多经典结果被推广到了l p b r u n n m i n k o w s k i 理论中l u t w a k 把这些内 容称做b r u n n - m i n k o w s k i f i r e y 理论l p b r u n n - m i n k o w s k i 理论为整个凸几何的发 展提供了更为宽广的背景，正如g a r d n e r 所讲。也许我们看到的仅仅是冰山一角， 一个更为深刻的理论正在浮现”【2 4 】 s c h e i d er 的专著c o n v e xb o d i e s ：t h eb r u n n m i n k o w s k it h e o r y ( c a m b r i d g e u n i v p r e s s ，( 1 9 3 3 ) ) 7 0 1 总结了b r u n n - m i n k o w s k i 理论截止到上世纪9 0 年代的经典结 果g a r d n e r 最近对于b r u n n - m i n k o w s k i 理论的综述论文【2 4 】和宗传明最近关于立 方体的综述论文【7 8 】分别对凸几何的发展和其中一些有趣的问题作了很好的介绍 ( 2 ) 对偶b r u n n m i n k o w s k i 理论 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 5 自1 9 7 5 年著名数学家l u t w a k 引入星体的对偶混合体积阻】的概念以来，便开创 了经典对偶b r u n n - m i n k o w s k i 理论，它与由m i n k o w s k i 、b l a s c h k e 、a l e k s a n d r o v 等开创 的经典的凸体理论有着惊人的相似，相对于经典b r u n n - m i n k o w s k i 理论的m i n k o w s k i 和，它用径向和；相对于经典b r u n n - m i n k o w s k i 理论的支撑函数，它用径向函数；相对 于经典理论研究凸体的投影，它研究星体的截面该理论的建立解决了一系列经典 理论未解决的问题【2 3 ，2 9 ，4 l ，7 6 】例如，b u s e m a n n - p e t t y 问题【17 】就是其中之一： l a r m a n 和r o g e r s 利用概率论巧妙地证明了当几1 2 时b u s e m a n n - p e t t y 问题不成立 【4 2 】；b a l l 利用立方体和球的截面和体积的关系证明了当n 1 0 时，b u s e m a n n - p e t t y 问题不成立【3 】；g i a n n a p o u l o s 【3 1 】和b o u r g a i n 9 】分别独立地利用适当的圆柱体和球 的任意小的摄动体取代立方体，改进b a l l 的证明得到了当几7 时b u s e m a n n - p e t t y 问题的否定回答后来，l u t w a k 引入相交体( i n t e r s e c t i o nb o d y ) 的概念，发现了 b u s e m a n n - p e t t y 问题的解与相交体的关系，为后来彻底解决该问题开创了新的局面 【5 2 1 ，进一步，p a p a d i m i t r a k i s 6 2 】和g a r d n e r 2 6 】也分别独立地利用适当的圆柱体取 代立方体，证明了当n 5 时b u s e m a n n - p e t t y 问题不成立；g a r d n e r 对n = 3 时的 b u s e m a n n - p e t t y 问题给出了肯定的回答；旅美华人数学家g a o y o n gz h a n g ( 张高勇) 1 9 9 9 年解决了b u s e m a n p e t t y 问题最后遗留的末解决情形一即7 l = 4 的情形这方 面的代表人物除创立人l u t w a k 【5 3 ，5 4 】外，还有g o o d e yp r 【3 3 】，g r i n b e r ge l 【3 4 】， g r o e m e rh 【3 5 】，g r u b e rp m 3 6 ，3 7 】和华裔数学家张高勇【7 6 ，7 7 】 ( 3 ) b a n a c h 空间的局部理论 它是凸几何与泛函分析结合的最引人注目的产物，通常也称为巴拿赫空间几何 学，这一理论已成为现代国际数学研究的个活跃领域或主流方向此理论源于2 0 世纪a d o l fh u r w i t z 的工作，h u r w i t z 于1 9 0 1 年发表了关于平面区域等周不等式的 f o u r i e r 级数的证法，并在后继的论文中运用球面调和分析对3 维空间的凸体证明 了类似的不等式随后，m i n k o w s k i 用球面调和分析的方法证明了3 维常宽凸体的 有趣特征，由此开辟了运用球面调和分析研究几何的方法，此方法具有很强的生命 力，j e a nb o u r g a i n 和v i t m im i l m a n 是该方向的代表人物，他们开创了凸体渐近理 论的研究，在凸体逼近研究中获得了大量深刻的结果 5 7 ，5 8 】，他们合作的一篇关于 凸体的逆b l a s c h k e - s a n t a l o 不等式的著名论文 1 0 】是b o u r g a i n 接受f i e l d s 奖引用的 第一论文p i s i e r 6 1 ，l i n d e n s t r a u s s 4 3 】等在该领域也作出了创造性的贡献现在， 该理论主要研究两个不同的主题： 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 6 ( a ) n 维赋范空间的几何量当n 趋于无穷时的情形； ( b ) 无穷维赋范空间与它的有限维子空间的关系 b a n a c h 空间局部理论中最重要的公开问题是b o u r g a i n 问题：若l k 为k 的迷 向常数，是否存在通用常数c 0 ，使得对任意有限维凸体k 都有l k 0 ，c 2 0 ，使得 c 2 l 叁nsl 乞c 1 l 岛 1 3 论文结构安排 本文总共由三章组成第一章我们简要介绍了研究课题的背景，阐述了凸几何 研究的发展；简要叙述了本文研究的主要问题与取得的主要成果在第二章中，我 们就凸体的f p 范数的问题进行了讨论，给出了几个不等式，其中有关于知范数的 b l a s c h k e - s a n a t l a 5 型不等式；在第三章中，我们主要讨论了一类等宽体的迷向常数， 给出了其上下界 在全文中我们采用了统一的记号来表示相同的对象同时为方便阅读，我们尽 量使得各章自我包含 第二章凸体的f p 范数 2 1 引言 本章中，我们主要讨论了凸体在岛空间中的范数在r n 的标准基( e l ，e 。) 和它的欧氏结构内研究我们用( ，) 表示内积，1 i 表示内积导出的范数令k 是 舭中关于原点对称的凸体( 具有非空内点的紧凸集) ，我们用i i = i i k 表示k 的度规函 数在b a n a c h 空间的局部理论中个重要的几何不变量，f 范数【5 ，6 】，定义为 ， l ( k ) = i x l l k d t n ( z ) ， ，r n 其中7 n 是高斯概率测度，它的密度为了1 万e - 2 在【6 】中，b a r t h e 证明了l s w n e r 椭球( 包含凸体的最小椭球) 足球的所有凸体 中，八面体具有最大的l 范数： 定理1 2 1 设k 是舯中的对称凸体，如果k 的l s w n e r 椭球是球，则 l ( k ) sf ( b i l ) ， i n l 其中b i i = ( 翰) 鍪l r n ；k i 1 ，等号成立当且仅当k 与研位似 li = 1j 本文将f 范数推广到岛空间设k 是舻中关于原点对称的凸体，则其f p 范 数定义为： l p ( k ) = ( 小圳蠢嘶) ) ； ( 2 “) 本文给出了一个在岛空间中类似的结果，同时给出了关于知范数的b l a s c h k e - s a n a t l a 5 型不等式 2 2 预备知识 和通常一样，我们用氏表示n 维欧式空间中质心在原点的单位球，用s n 一1 表 示巩的表面设k 是一凸体，则它的支撑函数h k = h ( k ，) ：酽一1 一( 0 ，o o ) 定义 为 h ( k ，“) = m a x i x ，t i ) ：z k ) ，“s ”一1 ( 2 2 1 ) 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 1 2 若k 是含原点为内点的凸体，k 的极体k + 被定义为 k ：= r n ：( z ，y ) 1 ，vz k ) ( 2 2 2 ) 设工是关于原点的星形，则l 关于原点的径向函数p ( k ) 定义为： p k ( u ) = m a x 入 0 ：a t k ) ，t i s “一1 ( 2 2 3 ) 下面的关于极体的性质将要被用到： 设k ，l 是含原点为内点的凸体，若k 厶则扩冬k + ( 2 2 4 ) 设k 是含原点为内点的凸体，则m k ，t ) = 1 眦( u ) ，t 铲一( 2 2 5 ) 设k 是一中，5 - 对称凸体，则其度规函数捌i 耳定义为 蚓i k = m i n a 0 ：妇k ) ( 2 2 6 ) 凸体k 的度规函数和其极体的支撑函数有如下关系：对所有的z r i i z i | j r = ( k ，z ) ( 2 2 7 ) 设k 是含原点为内点的凸体，则它的外径r ( k ) 定义为 r ( k ) = m i n r ：kcr 风 ， ( 2 2 8 ) 内径r ( g ) 定义为。 r ( k ) = m a x r ：r 风ck ( 2 2 9 ) 由支撑函数和径向函数的定义我们可以得到： r ( k ) = m i n p k ( u ) ，t 酽一1 ( 2 2 1 0 ) r ( k ) = m a x h k ( u ) ，t 酽一1 ) ( 2 2 1 1 ) 设k 是一凸体，则k 的p 平均宽度定义为s ，吣闻( 厶一m 如，) ；， 其中盯是铲- 1 上的旋转不变概率测度由定义( 2 1 1 ) 我们可得凸体k 的l p 范数 和p 平均宽度有如下的关系； 2 l p ( k ) = l p ( b n ) w p ( k ) ( 2 2 1 2 ) 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 1 3 2 3凸体的0 范数的不等式 为了证明我们的主要结果，我们首先回顾如下的引理： 引理2 3 1 1 3 8 】欧氏空间r n 中的每个凸体k 都含于一个唯一的体积最小的 椭球这个椭球是球当且仅当kcb n 并且对于某个整数m ，存在列正实数慨) r ， 在k 的边界上存在一列单位向量) r 满足： c 4 u i 圆蚴= 厶， ( 2 3 1 ) 其中，蚴o 是由张成的秩为1 的正交投影，厶是r n 中的单位矩阵 定理1 2 2 的证明 由引理知，存在k 与晶的m 个接触点和m 个正实数c l ，c r ，l ，满足q t o t = 厶由对称性知道，k 包含由t i l ，t 梳组成的凸包s 因此，对所有的z 有 “z ”k s “z “s = t n r 利用j o h n 基的性质，式( 2 3 1 ) 等价于 z = q ( z ，) 地 ( 2 3 2 3 ) 因此。 i l x t t ss 龟) i ( 2 3 3 ) 对上式左右关于g a u s s i a n 测度积分，并注意到它的旋转不变性，可得到 f p ( k ) t p ( s ) 由q 啦 u i = 厶，可得到q = n 所以 t = 1 l = l l p ( k 胁( 小啪胪俳) ) ； ( 2 3 4 ) 再次由旋转不变性，我们可以得到上式右端实际上就是 御护( 上n 量i = li ( x , u d i p 嘶，) ； 1一p、ll， 小 机 几 p 列、吵q 眦 伍 仕 训厂厶 m随鱼n b11 d厶八m甜 上扩 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 1 4 下面我们来考虑等号成立的条件假设l p ( k ) = 知( b ) ，那么在前面的讨论中它 们处处相等特别的，对所有的z 舻，我们有 c i l 忙，t ) i = i n f h f ；x - - a m ” rmm1 i = l li - - - - ii - - - - - ij 设歹 1 ，m ) ，在上式中令z = 嘶注意到嘶：曼毋，歹蛳，其中& j k r o n e c k e r 符号，从而我们可以得到： i 文, j l c i ( ，u i ) i 因对所有的i ，t 是单位向量，所以i ( 呦，t i ) is1 所以有 1 q l ( 嘶，t ) i c i ( ，啦) 2 = | i | 1 2 = 1 从而对所有的i 和歹，( 吩，啦) 一l ，0 ，l ，而由j o h n 引理，我们知道u 中的任意两 个不共线，即 u t r 是一组正交系，又因m n ，所以它是一组正交基 等式l p ( k ) = f p ( 研) 说明了对所有的z ，l l x l l g = 恻b 因此k = s 是正交基 蛳) r 的凸包 定理1 2 3 的证明 我们先证左边不等式，由定义( 2 1 1 ) ，( 2 2 1 2 ) 及c a u c h y - s c h w a r z 不等式，我们 有 ( 1 p ( k ) i p ( k ) ) 墨( 知( b 。) f p ( 磁) ) 墨 ( k ( z ) k ( z ) ) 詈盯( d z ) 因为对于任意的u 铲一1 ， i i l k ( t 1 ) p k ( u ) ( 2 3 5 ) 再结合( 2 3 4 ) ，我们得到 ( 岬p ( 州( 1 n ( b n ) “刚詈厶一。f ，蚴p s ( x ) ) 呈啪) ( f p ( 风) 知( 群) ) 1 口( d z ) j s n 一1 = ( 知( 风) f p ( 或) ) 詈 糕b n 器扎l p ( ) 易( 砩) 。“ 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 1 5 f 面我们证石边不等式 因r ( k ) 上k k r ( k ) 上k ，由( 2 2 5 ) 可得 ( r ( k ) b n ) + k ( r ( k ) z k ) 。， 从而 志r ( 丽1 ( 2 3 6 ) 志 0 ，使得对任意空间中的任意凸体k ，都有l k c ? 关于这个问题，何斌吾和冷岗松在文【3 9 】中引入球截函数的概念，给出了一类凸体 的迷向常数上界的估计解决b o u r g a i n 问题，球截函数将起关键作用 在本文中，我们给出了一类等宽体的迷向常数的上下界，及其的一些性质 3 2 预备知识 设k 是舯中个体积为1 质心在原点的凸体( 具有非空内点的凸的紧子集) ， 那么存在唯一的线性变换m ，具有d e tm = 1 ，使得对任意的单位向量t i p ，有 ( z ，t ) 2 d z = l 女 通常把数l k 称为k 的迷向常数，若变换m 是单位映射，则称k 为迷向体，或者 称k 处于迷向位置 更进一步地， 中的每一个质心在原点的凸体k ，常数 耻元1m i n 赤加2 出：e g l ( n ) n 2 m 在k 的线性类中被唯一确定，其中g l ( n ) 表示r n 中可逆变换的全体 凸体k 如果它在每个方向上的投影线段长都是相等的，那么我们称凸体k 为 等宽体这与几何事实是相符合的：不管方向如何，k 的两个平行的超平面之间 的距离总是相等的【3 】 著名的鲁洛三角形( r e u l e a u xt r i a n g l e ) 就是一个等宽体 在正三角形a b c 上，画连接定点a 至顶点b 和c 的弧线，然后同样在顶点 b 和c 上重复以上操作，则得到的新的图形就是鲁洛三角形容易证明这个新的图 形是个等宽体 1 7 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 1 8 这个等宽体在现实可以有广泛的应用前景下水井盖大多都是圆形，之所以很 少将其设计为四边形是因为四边形对角线比四个边长，在打开四边形井盖的时候， 很容易将井盖掉落下去反过来，如果把井盖设计成圆形，只要井口比井盖稍小一 些，则无论怎么打开，井盖都不会卡在井口，更不会掉下去如果把井盖设计成洛 三角形的形状，同样有和圆形一样不易落入井口的性质除此之外，还可以设计出 形状各异的，个性十足的井盖 鲁洛三角形不但有等宽这个特性，还有打造四边形孔的性能般的钻孔机只 能用于钻圆孔，而拥有鲁洛三角形钻头的钻孔机，则可以钻出正四边形的孔 本文给出了类鲁洛三角形的迷向常数的上下界和一些性质 令n 表示舻中的正则单形，x l ，x 2 ，+ 1 是k 的顶点，类似鲁洛三角 形的作法，以z l 为圆心，以正则单形的边长为半径做球，那么圆心z 1 与超球帽 x 2 + 1 组成超球扇( h y p e r s e c t o r ) ，记为h s ”重复上面的作法，我们可以得到一 个几何体死，容易证明瓦是个等宽体我们称由这种方法做出的等宽体为类鲁洛 三角形 当竹= 2 ，t 2 的宽度为1 时，得到的几何体就是鲁洛三角形 3 3 类鲁洛三角形的迷向常数 引理3 3 1 1 1 9 】设超球帽所在球的中心在原点，半径为r ，超球帽的高为h ，不 妨设0 3 且为偶数时， 铲= 寄麟 黼m 挈一链n - - 2 黜c 挈以2 r h l h 2 严】) 当超球帽的高h r 时，超球帽的面积为超球帽所在球的面积减去高为2 r h 的超球帽的面积 容易得出类鲁洛三角形的死体积即为正则单形n 的体积与n + 1 个球帽的体 积的和如果记以x l 为圆心的超球扇的体积为v ( h s 霉。) ，那么容易得出 v ( h s 1 ) = s 筹 p r 所以类鲁洛三角形的死体积y ( 死) 是 y ( 瓦) = + 1 ) v ( h s z ，) 一n v ( a n ) 定理1 2 5 的证明 用r 表示a n 的边长，那么a 。的体积y ( n ) 咐加譬( 击) “班 又 v ( a 。) = 去y ( ，l - 1 ) h 其中，v ( a 。一1 ) 是舭一1 中正则单形的体积，h 是a n 的高 那么我们可得v ( a 。一- ) = 盂岛( 丧) ”1 ，同时有 正则单形的中心分高h 为两部分，两部分的比值关系是他：1 因此n 的外接 球的半径为磊籍 ，记为r ，则 何 r r = 了= = = = 、n + 1、2 令x l 是n 的个端点，x l = ( o ，斋丧，0 ，o ) ，日龟。表示x l 对应的超球 帽，那么 日。= v l + ( 抛一了箬籍诱r ，2 下十2 = 芹, h - r 耖。 一r ，i z l 一 n l 粕矗1 1 + 音i ，加。 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 2 1 又由( 3 2 1 ) ， 因此， l 叁。 三毛 综上所述，我们得到 三m t n 西_ 五 丁干手上。l z l 2 如lt g l c n ， 卯如 ，西o 。 帮么= 觜吆, , - - - - c 2 l 。 c 2 l 2 a n l 务c l l 2 暑 ( 3 3 3 ) 参考文献 f 1 】1 a l e s k e rs ，d a rs ，m i l m a na ，ar e m a r k a b l em e a s u r ep r e s e r v i n gd i f f e o m o r p h i s m b e t w e e nt w oc o n v e xb o d i e si nr n 【j 】g e o m d e d i c a t a ，1 9 9 9 ，7 4 ：2 0 1 2 1 2 f 2 】