（基础数学专业论文）散度旋度场的正则性及应用.pdf

摘要 摘要 本文的目的是证明散度旋度场( b ，e ) 。l f q o c ( a 一5 ( q ，r “) 。l p f o c ( t 一5 ( q ，r n ) 的高阶可 积性，其中1 p ，q q ( 1 一) 上述高阶可积性结果可以被应用到弱拟 正则映射的理论中，同时对非其次4 调和方程的 d i va ( z ，v u ) = d i vf 很弱解也有具体的应用 关键词正则性 散度旋度场逆h s l d e r 不等式 拟正则映射4 一调和方程 河北大学理学硕十学位论文 ab s t r a c t t h ea i mo ft h i sp a p e ri st op r o v eh i g h e ri n t e g r a b i l i t yr e s u l t sf o rd i v - c u r lv e c t o rf i e l d s ( b e ) l 。q o c ( 1 5 1 ( q ，r “) 。l p f o c ( 1 5 ( q ，r n ) ，1 p ，g q ( 1 一占) a p p l i c a t i o n st ot h et h e o r yo fw e a kq u a s i r c g u l a r m a p p i n g sa n dv e r yw e a ks o l u t i o n so fn o n h o m o g c n e o u sa - h a r m o n i ce q u a t i o n so ft h e t y p e a r ed v e n d i v4 ( z ：v “) = d i vf k e y w o r d sr e g u l a r i t yd i v - c u r lv e c t o rf i e l d r e v e r s eh 6 1 d e ri n e q u a l i t y q u a s i r e g u l a r m a p p i n g4 一h a r m o n i ce q u a t i o n n 河北大学 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河北大学或其他教 育机构的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了致谢。 作者签名：盘益佥 日期：塞! 1 2 年上月幺乏一日 学位论文使用授权声明 本人完全了解河北大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存 论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年月日解密后适用本授权声明。 2 、不保密。 ( 请在以上相应方格内打“4 ”) 保护知识产权声明 本人为申请河北大学学位所提交的题目为喇坊帕跏l i 髟婉用 ) 的学位论文，是我个人在导师镐静参) 指导并与导师合作下取得的研究成果，研 究工作及取得的研究成果是在河北大学所提供的研究经费及导师的研究经费资 助下完成的。本人完全了解并严格遵守中华人民共和国为保护知识产权所制定的 各项法律、行政法规以及河北大学的相关规定。 本人声明如下：本论文的成果归河北大学所有，未经征得指导教师和河北大 学的书面同意和授权，本人保证不以任何形式公开和传播科研成果和科研工作内 容。如果违反本声明，本人愿意承担相应法律责任。 声明人：亟鱼睑 日期：缉年厶月j 生同 作者签名：鲤竖监 导师签名：当垒焦 ： 日期：皇蛆年互月厶互一只 日期：兰生箜4 年互月厶互一r c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n c h a p t e r1i n t r o d u c t i o n l e tqb aa no p e nb o u n d e ds u b s e to fr “，n 2 t h i sp a p e rd e a l sw i t ht h eh i g h e r i n t e g r a b i l i t yt h e o r yf o rv e r yw e a ks o l u t i o n so fe q u a t i o n so ft h et y p e w h e r e d i v4 ( z ，v u ) = d i vfi nq ， i a ( x ，z ) l 叮+ | z f p c ( 4 ( z ，z ) z ) ，z q ， 1 p ，q 0 ，r e g u l a r i t y f o rv e r yw e a ks o l u t i o n s i ，k ? 叫( q ) o f ( 1 1 ) ，i st oc o m b i n et h ec o c c i o p p o l ii n e q u a l i t y ( b yu s i n gt h ew e l l k n o w n1 w a n i e c - h o d g ed e c o m p o s i t i o no rm c s h a n ee x t e n s i o n ) qw u i p - d z ， w h e r e 太l 妇 s t a n d sf o rt h ei n t e g r a lm e a nf o r | o v e rq ；戋 妇= 茜l q 妇，a n d w c d e n o t eb yqo p e nc u b e si nr nw i t hs i d e sp a r a l l e lt ot h ec o o r d i n a t ea x i s ，a n db y2 qt h e c u b ew i t ht h es a m ec e n t e ra sqa n dd o u b l es i d e l e n g t h t h eh i g h e ri n e q u a l i t yr e s u l t t h e na r i s e sb yu s i n gt h ew e l l k n o w ng i a q u i n t a - m o d i c at e c h n i q u e 4 ，5 】 t h ea i mo ft h i sp a p e ri st op r o v i d ean e ww a yt og e tr e g u l a r i t yr e s u l t s ，b a s e do n i n e q u a l i t i e sf o rd i v - c u r lf i e l d s i l lt h ef o l l o w i n gw ew i l lc o n s i d e rd i v - c u r lv e c t o rf i e l d sb = ( b 11b 2 ，b n ) ( q ，r ”) ，e = ( e 1 ，岛，磊) l 乙( q ，r n ) ，1 p ，q 。c ，；1 + i 1 = l ，i e ， d i vb = = 0 ， c u r - e = ( 筹一甏l ，f 。 2 苄 履一甄 a a 。汹 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n i nt h es e n s co fd i s t r i b u t i o n s t h i si st h ev i e ww h i c hw es h a l la d o p ta n dd e v e l o pi nt h i s a r t i c l e i ns e c o n ds e c t i o n ，w i t ht h ea i do ft h ei m p o r t a n tp r e l i m i n a r yl c m m a s ，w ec a n g r o wo u to ft h ed i v - c u r lv e c t o rf i e l d se n j o y i n gh i g h e rr e g u l a r i t y 3 c h a p t e r2 p r e l i m i n a r yl e m m a s i nt h es e c t i 。nw eg i v et w op r e l i m i n a l r yl e m i n a s t h a tw i l lb eu s e di nt h ep r o o f 。ft h e m a i nt h e o r e m s t h e yc a nb ef o u n di nt h e r e f e r e n c e sl i s t e db e l o w f o rt h es a k e 。f i n t r o d u c i n gp r e l i m i n a r yl e m m a s ，w eb e g i nw i t has i m p i ec 。n s e q u e n c e 。fh 6 l d e ri n e q u a l i t yf i r s t l y f o rv e c t 。rf i e l d s b l q ( r n r n ) a n de p ( r n ，冗。) ，w i t h 1 鼽g 。c ，a n dt e s tf u n c t i o n 妒四( 毋) ，w eh a v e 。妒( b ，厅) d x l _ 1 1 训刮刚q f | 硎p i n 。r d c rt 。t a k cp l a c cc c r t a i nc a n c e l l a t i 。n si nt h ea b 。v ci n t e g r a 】眦n 。w a s s u m ct h a t d i v b = 0 c u r l e ：0 i nt h es e n s eo fd i s t r i b u t i o n s b c s l d c so t h e r w i s es t a t e m c n t s ，t h i sa s s u m p t i o nw i l l k e e pv a l i dt h r o u g h o u tt h i sw h o l e a r t i c l c t h cf o l l o w i n gb a s i cc s t i m a t c sb r i n gu sq u i c k l yt ot h e s u b s t a n c e 。fo u ra p p r o a c h l 咖m a2 1 l e tl p ，g o 。b cah 6 1 d e rc o n j u g a t ep a i r ? j + ；：1 a n d 1 e t 1 r 5 db et w on o n n e g a t i v ef u n c t i o n sa n ds u p p o s et h a tf o re v e r yc u b eqs u c ht h a t2 qcq ot h ef o l l o w i n g e s t i m a t eh o l d s 妒如6 1a n d0 0 1 t h e nt h e r ee x i s t sac o n s t a n ta o = a o ( b ，0 ，q ，r ，n ) s u c ht h a t 5 ，l ；荽口( q o ) f o ra l l0 口 c r 0a n d 上) 南 s c ( 毛g 。出) 吉+皈严仃如) 击) w h e r eci sap o s i t i v ec o n s t a n td e p e n d i n go n l yo nb ，0 ，q ，7 a n dn 5 一 ( 2 3 ) c h a p t e r3h i g h e ri n t e g r a b i l i t yr e s u l ta n d a p p l i c a t i o n s w i t ht h ep r e l i m i n a r i e sa b o v e ，w ec a nn o ws t a t et h em a i nt h e o r e mi nt h i sp a p e r t h i st h e o r e mi sar e g u l a r i t yr e s u l tf o rd i v - 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e q u a t i o n s i nt h i ss e c t i o nw ec o n s i d e r ( b ，e ) 。l f q d c o e ( q ，酣) 。l p l o c ( 1 5 ( q r “) ，1 p ，q g ( 1 一) ，f o r s u f f i c i e n t l ys m a l l t h e o r e m4 1l e t0s m i n ，；) a n db ? eb ed i v c u r lv e c t o rf i e l d s a si n ( 4 1 ) ，( 4 2 ) t h e nt h e r ee x i s tg = g ( n ，p ，r ) a n d 面= 面( n ，p ，7 ) s u c ht h a ti f0 f ，t h e n ( b ：e ) 。l q f o c ( 1 一e ) + 叩( q r n ) 。l p z o c ( 1 - e ) + r ( q ，r n ) a n df o ra l l0 卵 f 7w eh a v e ( 加即，学出) 赤 c ( 加圳驯吲z ) 一1 + ( 加妒刊恤) 赤) w h e r eci sap o s i t i v ec o n s t a n td e p e n d i n go n p ：r p r o o fl e tu sf i xqac u b es u c ht h a t2 qcqa n ds e t q + = z q ：( b ，e ) 0 ，a c ) ， q 一= z q ：( b ，e ) 0 ，a e l e tu so b s e r v et h a tb yy o u n gi n e q u a l i t ya n d ( 4 2 ) ，w eh a v e 厶器妪地h 出 z 一( 抄+ 抄) 卜f 咖 s ( c ( b ，e ) + i f l 9 ) 1 - 5 d x j 早一p i f j 9 ( 1 一) d x l f l 9 ( 1 5 ) d z ， 1 0 ( 4 3 ) c h a p t e r4r e g u l a r i t yr e s u l tf o rn o n h o m o g c n c o u se q u a t i o n s z 器打 = 上+ 器如+ 上一器咖 之石+ 丽如一f q l 胛叫如 a tt h es a m et i m et h a n k st ol e m m a2 1w i t h1 p ，g o 。，；1 + i 1 = 1 ，a n dr = 器5 = 罱，t h ei n e q u a l i t ya b o v eb e c o m e s z 丽如 南石+ 丽如 z 器如+ 加i m 叫如 g e 厶( m k 蚺g ( 厶( 卅帮出) 警 材厶州h 叫j 扣即胛) l - 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