（固体力学专业论文）平面桁架和框架的瞬态响应——弹性波方法研究.pdf

平面桁架和框架结构的瞬态晌应 弹性波方法研究 摘要 回传波射矩阵法( m e t h o do fr e v e r b e r a t i o nr a ym a t r i x ) 是近 几年来由y h p a o 等人新发展的用波传播方法求杆系结构瞬时动力 响应的解析方法。它先利用傅立叶变换，将波动方程变换到频率域中， 以构件端点处离开波和到达波的振辐为基本未知量，其它响应以基本 未知量表示。通过节点位移协调条件和力的平衡条件形成局部散射矩 阵，组装成总体矩阵后求出基本未知量，然后利用传播矩阵就可以计 算出构件中任一点处的波形，将该点处的所有波形叠加即可求出构件 中该点处的位移及应变等瞬态响应解。 本文进一步推广了回传波射矩阵法，并对原程序作了改进。考虑 了节点集中质量的影响。求出了结构位移响应和在总体坐标下的节点 位移响应。p a o 等人和本文的工作都发现，结构的动态应变( 应力) 与静力作用下的应变( 应力) 的机理有很大不同。本文侧重于对阶跃 载荷下桁架或框架的幅值很大的瞬态弯曲应变作研究与探讨。通过对 不同边界条件、不同放置位置、不同刚度的单根梁受端点阶跃位移时 动态响应的分析，对结构的动态弯曲应变的原因作了探讨。得出了一 些对工程实际较有意义的结论。 关键词：回传波射矩阵法，瞬态响应，散射矩阵，桁架和刚架 i ，o ，乙，r t h et r a n sie n tr e s p o n s eo fp l a n a rt r u s s e sa n df r a m e s as t u d yo ne l a s t10w a v em e t h o d a b s t r a c t t h em e t h o do fr e v e r b e r a t i o nr a ym a t r i x ( m r r m ) i san e wt e c h n i q u e d e v e l o p e dr e c e n t l yb yy h p a oe t a l t os o l v et h ep r o b l e mo ft r a n s i e n t r e s p o n s ef o rt r u s s e sa n df r a m e si nt e r m so fw a v ep r o p a g a t i o n i tf i r s t t r a n s f o r m e dt h eg o v e r n i n ge q u a t i o ni n t of r e q u e n c yd o m a i n t h ea m p l i t u d e s o fw a v e sa r et a k e na sb a s i cu n k n o w n s ，al o c a ls c a t t e r i n gm a t r i xc a nb e f o r m e dw i t hf o r c ee q u i l i b r i u ma n dd i s p l a c e m e n tc o m p a t i b i l i t ye o n d i t i o n s a tj o i n t s a 11t h eb a s i cu n k n o w n sc a nb es o l v e db ya s s e m b li n gt h el o c a l m a t r i c e sa sag l o b a lo n e t h e nt h ew a v e sa ta n yl o c a t i o nc a nb eo b t a i n e d w i t h p r o p a g a t i o n m a t r i x t r a n s l e n t r e s p o n s e c a nb eo b t a i n e d b y s u p e r p o s i n ga 1 1o ft h ew a v e sa tt h el o c a t i o n t h i s s t u d y f u r t h e r d e v e l o p e d t h ef o r m u l a t i o no ft h em e t h o do f r e v e r b e r a t i o nr a ym a t r i x ，i m p r o v e dt h ec o m p u t e rc o d e t h ee f f e c to fi u m p m a s sa tj o i n t si st a k e ni n t oa c c o u n ti nt h ei m p r o v e dp r o c e d u r e t h eg l o b a l d i s p l a c e m e n t sa ta n yp l a c e sa sw e l la st h ej o i n tg l o b a ld i s p l a c e m e n t sa n d c o n s t r a i n e df o r c e sc a nb es o l v e d i ti sf o u n db yp a oe ta la n dt h ep r e s e n t w o r kt h a t 。t h em e c h a n i s mo ft h ed y n a m i cb e n d i n gs t r a i n ( s t r e s s ) i sq u i t e d i f f e r e n tf r o mt h a to ft h es t a t i cs t r a i n ( s t r e s s ) t h ee m p h a s i so ft h i s w o r ki sp l a c e do nt h ei n v e s t i g a t i o no ft h el a r g ed y n a m i cb e n d i n gs t r a i n f o u n di nt r u s s e so rf r a m e s b ya n a l y z i n gt h ed y n a m i cr e s p o n s eo fas i n g l e b e a m w i t hd i f f e r e n t b o u n d a r ye o n d i t i o n s ，l a i dp o s i t i o n ，s t i f f n e s s ， s u b j e c t e dt os u d d e ne n dd i s p l a c e m e n t ，t h er e a s o no fl a r g ed y n a m i cb e n d i n g s t r a i ni ns t r u c t u r e si sd i s c u s s e d t h er e s u l t s p r o v i d e d v a l u a b l e i n f o r m a t i o nf o rd e s i g n i n go ft r u s s e sa n df r a m e su n d e ri m p a c tt y p el o a d i n g k e yw o r d s ：t h e m e t h o do fr e v e r b e r a t i o nm a t r i x ，t r a n s i e n t r e s p o n s e s c a t t e r i n gm a t r i x ，t r u s s e sa n df r a m e s 上海交通大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外， 本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：韩争 日期：劢o 年6 月鄙日 上海交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权上海交通大学可以将本学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 ，保密口，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密哦 ( 请在以上方框内打“”) 学位论文作者签名：辫争 日期：0 1 年6 月2 9 日 指导教师签名翰同铂 日期渺n 年- 7 月丫日 圭塑奎望查堂堡主堡壅 苎二兰 1 1 引言 第一章绪论 对受到冲击荷载的桁架和框架结构的研究可追溯到上世纪初，主要研究大 型铁路桥梁在火车经过时的响应。近年来，随着桁架和框架结构在土木工程、海 洋工程、机械、航空及航天等领域的广泛应用，研究其动态响应的结构动力学再 一次成为研究的热点。当一个结构受到随时间变化的动载荷与仅收到不随时间变 化的静载荷时表现出来的力学现象大相径庭。静载荷下正常工作的结构，受到同 样幅值动载荷作用时可能完全使之破坏失效。随着时间的推移，人们对结构的动 态特性也给予了更多的重视，这可以体现在以下几个方面： 1 ) 工程结构规模日益扩大，各种结构尺寸的增大和高耸结构的出现，使风 荷载等动力因素对结构强度及稳定性产生了举足轻重的影响。美国t a c o m a 悬索 桥由于风致振动而破坏就是动力载荷影响结构的很好例子。 2 ) 诸如地震、爆炸等动力载荷对结构所产生的影响极为巨大，对其危害作 用进行评估并采取有效的对策，同样有赖于结构动力学 3 ) 各种离岸结构，海洋平台的出现，不同介质结构物间耦合作用下的动力 响应问题对结构动力学提出了更高的要求。 今年来，桁架、刚架结构广泛应用于太空站等太空大型结构中。由于太空 中空气稀薄，当太空船对接、陨石撞击等都将引起太空结构激烈振动。人们试图 通过主动或被动的方法来控制结构的振动。因此，了解此类结构的初期动态响应 是发展主动控制方法，以期抑制振荡之先决条件 1 。以往分析问题的方法大多 是以结构静力分析加上一定的冲击系数，或以动态频谱分析为基础的设计，已感 不足。 而传统的动力学求解过程中，其核心步骤是数学模型( 即微分方程) 的建 立以及求解该微分方程从而得到结构的动力响应。但工程实际中的结构十分复 杂，几乎不可能求出其解析解。 现代计算机技术及数值方法的发展，为结构动力分析提供了强有力的工具。 上海交通大学硕士论文 第一章 计算机对数字处理速度及精度的大幅度提高，使结构分析时间大大缩短，工程投 资降低。而数值方法的发展，特别是傅立叶变换技术的引入，使得可以从频率域 对结构运动方程进行分析，从而很好地解决了在时间域求解运动偏微分方程( 组) 的困难。其基本思想是将信号看成是无限不同频率的波的叠加，从频率域对结构 运动进行分析，最后利用傅立叶反变换将结果变回到时间域中。以前最大的障碍 在求逆变换的过程中，由于结构对冲击荷载的响应总是相当复杂的，很难直接求 出其逆变换，直到离散傅立叶变换( d f t ) 的出现才很好地解决了这个问题。利 用离散傅立叶变换可以方便地求出傅立叶变换及傅立叶反变换，而且利用 c o o l e y 和t u r k e y 于1 9 6 5 年发展的快速傅立叶算法可以快速的进行傅立叶反变 换 2 ，特别对于处理一些复杂冲击载荷作用下结构的动力响应问题极为有效， 并且极大地节约了计算机时间 3 ，4 。 1 2 结构动力响应分析的历史与现状 对于桁架结构的动力响应分析大体上有两种方法：一是将整个结构看成是 多个构件相互连接的分布参数系统，或者是梁和柱的连续体系统；二是将结构离 散成很多小的有限单元，将其视为离散系统。而从求解的具体方法上看，结构动 态响应分析又可大致分为振动分析和波动分析两类。复杂结构的振动分析，一般 可以采用传递矩阵法 5 ，6 、直接刚度法 2 ，8 ，1 7 、柔度法 2 ，8 和有限元法 1 0 ，1 8 ，1 9 。前三种方法是将杆件两端的位移或力作为基本变量，依照振动理论 建立局部传递矩阵，再按照连接条件组装成总体动态矩阵从而求出结构的动态响 应。而有限元法则是将结构划分成许多单元，以振动学原理求得表征各单元两端 作用力与位移之间关系的单元刚度矩阵和单元质量矩阵，再将其组装成整个结构 的总体刚度矩阵和质量矩阵，从而得到结构的动力方程，求得结构的动态响应。 前三种方法矩阵中含有超越函数，而有限元法因其单元数量众多，致使矩阵庞大， 因此振动方法适用于求解低频和长时间的动力分析。 波动分析又可分为模态组合法( m o d es y n t h e s i s ) 和波传射线法( w a v er a y a n a l y s i s ) 6 1 ，前者是依据傅里叶积分定理将上述各组自然频率所对应的振动模态 依傅立叶积分定律组合之，但当自然频率分析不完整时，其结果误差较大。第二 上海交通大学硕士论文 第一章 种方法是由于结构的动力响应可解释成应力波或应变波在结构中沿构件的传播 和在节点处的散射，波传射线法即按照波的传播、散射方向追踪并计算波的变化， 将到达观测点所有的波叠加，理论上可精确求出结构初期瞬态响应。对于单个元 件( 杆、梁) 中波传播的研究有大量的文献 2 0 ，2 l ，2 2 ，2 3 。而对于波在结构中 的传播则必须了解波在节点处的散射，这方面亦有大量的学者做过很多工作。例 如，l e e 与k o l s k y 2 4 于1 9 7 2 年，探讨两非同心弹性杆件，一端有一冲击源时， 通过连接处所产生的反射和散射情形：d e s m o n d 2 5 在1 9 8 1 年时，研究了两同心 杆件与一斜杆连接，当有一纵波入射时，在节点处所产生的散射结果，在数值上 是将原本的微分方程式转换成为差分方程式进行求解；y o n g 和a t k i n s 3 0 ，3 1 在1 9 8 2 和1 9 8 3 年间将时间域内的运动方程利用傅立叶变换转换到频率域求解一 入射波通过l 型和t 型节点时，连接点处各杆件弹性波振幅的变化。在1 9 8 4 年， s i n ) h a 与f o u m e y 3 2 利用了拉普拉斯变换，来研究弹性波通过杆件连接点时，各 杆件散射后的反应。r w c l o u g h 和j p e n z i e n 8 也分析了波在杆件中传播时， 在材料性质发生突变处的反射及透射的结果；5 f d o y l e 和s k a m l e 2 7 于1 9 8 7 年分析了挠曲波在任意“t ”形接头处的散射结果：吴斌、张善元、杨桂通等 1 5 亦讨论了杆系结构在受到冲击荷载时轴向波与挠度波的传播。对于波在复杂结构 中的传播的研究，早在1 9 5 7 年，b o l e y 和c h a o 9 首先讨论简单桁架中有非频散 性轴向波的情形，因此可以在时间域中，利用计算轴向波传过节点时，振幅大小 的变化和源波到达接收点的时间延迟，使用追踪射线的方法，可以找出在简单桁 架结构上任一点的动态响应。其它很多学者对挠度波的传播也做过类似的研究， 例如，v i g n e s s 1 4 就曾研究过一根悬臂粱在约束端受到阶跃速度荷载时的响应， h o p p m a n 7 讨论了一个多跨梁中瞬态波的传播，r i p p e r g e r 和a b r a n s o n 1 6 研究 了挠曲波在杆件中的传播等。 基于波动分析的回传波射矩阵法( m e t h o do fr e v e r b e r a t i o nr a ym a t r i x ， m r r m ) 是由h o w a r d 、p a o 及其合作者于1 9 9 7 年提出。它的基本思想是：首先将 结构的动力学方程利用傅立叶变换变到频率域中，以每个节点的入射波振幅和出 射波振幅( 轴向波、挠曲波) 作为基本未知量，将结构的各个运动矢量( 位移、 应力、应变、速度等) 在频率域中全部以基本未知量来表示。然后利用节点的位 移协调方程和动力平衡方程，在节点外加荷载和与节点相连的各杆件端部波的振 上海交通大学硕士论文 第一章 幅之间建立联系臼。 _ s j k 。 + 。，然后组装成总体矩阵d = s a + 虬，再求出基 本未知量d = 一r 】_ 1 5 。，其中回传矩阵r = s p u ( 详见本文第二章) ，s 的物理 意义为，弹性波由一节点传至各相邻节点的散射系数矩阵。在弹性情况下，由于 【，一r 】。在实轴上存在大量的极点，故必须将 ，一r r l 用级数展开为 ，+ r + r2 + r ”+ ，从而求出基本未知量。最后利用各项响应与基本未知量 之间的关系得到各项响应在频率域的解，进行傅立叶反变换后即可得到时间域的 各项响应。p a o 、h o w a r d 和k e h ( 1 9 9 8 ) 曾对一个由1 7 根杆组成的框架结构进行 理论及实验研究，其应力波曲线的理论预测与实验结果相当吻合。 1 l ，1 2 ，1 3 1 3 本文的主要研究工作 本文在p a o 、h o w a r d 和k e h 等人的研究基础上，对回传波射矩阵法及其应 用进行进一步的探索： ( 一) 计算构件中待测点的应变响应，同时求出该点的位移响应。在求出 各杆端波的振幅等基本未知量后，利用速度与基本未知量的关系求出该点的速 度，通过对时间一次积分，得到该点的位移响应。 ( 二) 对原有的公式进一步扩展，包含了节点集中质量的影响，并且将各 节点在整体坐标系中的未知力或位移列入方程，从而求出节点处的响应。根据扩 展后的公式编制出较适用的计算机程序，使其能方便地应用到各项领域中，并对 程序进行了必要的校验。 ( 三) 用m i n d l i n 理论对单根梁在阶跃载荷作用下的动力响应问题进行计算 分析，并与利用回传波射矩阵法求解的结构在阶跃载荷作用下动态响应解进行了 对比。通过对不同梁的动态响应的对比，了解边界条件、材料属性和截面形状等 因素对于梁的弯曲位移响应的影响。 ( 四) 计算了一个由1 7 根杆件通过1 0 个节点连接而成的实验模型与一个 实际的钢结构在受到冲击荷载时的响应，通过对计算结果进行分析发现，尽管通 常在静态分析时我们认为桁架只承受轴向力，而不考虑其弯曲力及弯曲变形，但 上海交通大学硕士论文第一章 在受到动态荷载时，各杆件中点的弯曲应变都达到了轴向应变相同的数量级，对 有些杆件，弯曲应变甚至超过了轴向应变，成为影响结构承载能力的主要因素。 同时，对具有相同几何形状与尺寸，同样材料制成的桁架与刚架受阶跃荷载时的 瞬态响应进行比较发现，两种结构的轴向应变的时程曲线的形状相似，而桁架的 轴向应变在高峰处比刚架要高1 0 左右，其原因是桁架的节点只传递力，不传递 弯矩，撞击的能量转换为轴向应变的比例较高。我们发现，桁架的轴向应变的峰 值将近是静力荷载下的轴向应变的1 5 到2 倍。对结构受到阶跃位移激励的情况 作进一初步探讨，发现在动力状态下结构的位移响应最大值比静力时大1 5 5 5 倍。 ( 五) 对回传波射矩阵法与有限元法进行了比较。总结了回传波射矩阵法 的优缺点。 1 4 本文的基本组织结构 本文首先在第二章中介绍了回传波射矩阵法求解结构动态响应的理论及公 式推导。第三章为利用回传波射矩阵法计算结构动态响应的程序说明，给出了程 序流程，并提出了一些为节约计算机资源而采用的措施。并作了一些理论推导， 对于较简单的结构，进行了验证。第四章为计算实例及分析部分，计算了一个较 为复杂的由1 7 根杆件组成的实验模型与一个钢结构的实际模型在受到阶跃力载 荷、阶跃位移载荷时的应变及位移响应。对其结果进行分析，得到了一些较有意 义的结论，总结了回传波射矩阵法的优点。第五章为本文的结论部分。 上海交通大学硕士论文 第二章 第二章回传波射矩阵法原理 2 1 研究对象的定义及符号说明 本文的研究对象是桁架( t r u s s e s ) 和框架( f r a m e ) 结构。我们通常所说的 框架是指由一定数量的构件( 包括梁或杆件) 通过节点连接( 刚接、铰接) 在一 起形成的结构，例如铁路桥梁、高层建筑等都可近似看成是框架。本文中以m 表示组成框架的构件数，n 表示节点数，以大写字母i 、j 、k 或数字l 、2 、 3 代表节点，以构件两端的节点号代表相应的构件，前一节点为起节点，后 一节点为终节点，例如j k 和k j 分别表示以j 为起点、k 为终点和以k 为起点、 j 为终点的同一构件，两者方向相反。对于与节点或构件有关的变量则以上标表 示，例如厂。表示作用在节点上的一个外力载荷，”“代表杆j k 的轴向位移，m 7 表示与j 节点相连的构件数。由于每个构件都有且只有两个节点，故有： f m 。：2 m 篙 同时为了分析求解中叙述方便，除建立整体笛卡尔坐标系外，对每个构件 j k ，我们引入两套局部坐标系( x ，y ) “( 原点在构件的起点j ) 和( x ，y ) “( 原点 在构件的起点k ) ，其x 轴沿构件轴线方向，由起点指向终点，y 轴方向则由右手 定则确定。那么由于起终点的不同，两套局部坐标系的方向正好相反。 利用局部坐标系，在每一根构件上可以有两个位移向量的分量。其中，轴向 位移u ( x ，) 沿x 轴方向，横向位移v ( x ，f ) 沿y 轴方向。而横向位移又可分为由剪 力引起的v ，( x ，) 和由弯矩引起的v a x ，) 。对应与这些位移分量的载荷为，轴向 力f ( x ，f ) ，剪力v ( x ，r ) 以及弯矩m ( x ，f ) 。 而对于整体坐标系中的任意矢量v ，在局部坐标系中表示为v = x ，y ) 。两 者之间的关系为： 叶= v 。 上海交通大学硕士论文第二章 其中，k = c o s 0 ，t r = s i n 0 ，= 一s i n 0 ，0 r = 一c o s 而对于两套局部坐标上的任意矢量之间存在如下关系： v j k ( x “) = 一v “( ，“一x ”) 由于在回传波射矩阵法中要用到傅立叶变换，本文以上标符号“。表示在 频率域中与时间域相对应的变量。 2 2 梁的动力学方程 由于梁的抗剪刚度和旋转惯性对其高频响应将产生较大影响 1 0 ，为得到 较精确的瞬态响应结果，本文以铁木辛柯梁作为计算模型。其基本假设为：弯曲 前与粱中轴垂直的截面在变形后仍保持为平面，但可能不再与轴线垂直。材料为 线弹性，杨氏模量为e ，剪切模量g ，密度p ，梁的横断面积为a ，弯曲惯性矩i ， 剪切系数k ，当梁为矩形截面时取0 8 3 3 。 取梁的出微段进行分析，其受力及变形如下： 扮 。1 1 1 j j 。 融l ：翠 f ( x ，f ) d x - 微段受力图 上海交通大学硕士论文 第二章 查 - j 微段变形情况 1 ) 轴向波的求解： 图示微段的轴向力平衡方程为： f + 篆出一f = 脚p a 出 矿a 2 u 吼篆= 等 ( 2 ，) 由几何关系及物理关系： o u 吒2 瓦 f = e r a = e e 。a = e a e 。 得：尉窘= 窘 眨z ， 腧。= 厝= 傍硎微分槲z z 例胁从形式的 解为： “b ，f ) = f ( x c 。，) + 厂g + c ，t ) 其中，c 。为轴向波转播的速度，由此可以看出：梁的轴向运动可以看成两列向相 反方向传播的波的叠加。 为在频率域内进行分析求解，将微分方程( 2 2 ) 进行傅立叶变换： 上海交通大学硕士论文第二章 堡掣+ 旦施( 删) ：o m 2e 、。 其解为 厅g ，) = q ( k 幽1 + d i o k 一啦 其中毛：竺 c ( 2 3 ) 此方程l 司样代表向相反方向传播的两列波，口) 和d j 忉j 分别为两列波在 不同频率下抵达和离开该点时的振幅。 2 ) 弯曲波 考虑y 方向力平衡方程和z 轴弯矩平衡方程： 矿+ 尝出一出窘 m + 坐出一m + ：触馨 a ) c 1 a t z b i 著出= 彤p a 甜 萨a 2 v ( 2 4 ) 警出+ 隐= 触睾c 骥o r 将几何关系： d = 掣及：警 似戚 和物理关系： 矿：融g 8 及m ：e i 罂 代入方程( 2 4 ) 和( 2 5 ) 得到： 捌g 鲁a x = 窘 i ? a t l 脚婆+ 剃g 盟：旦善 苏苏缸a ，2 ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 9 上海交通大学硕士论文第二章 其中，v 。表示由于弯曲引起的挠度，v ，表示由于剪切引起的挠度，总挠度 y = v 十vv 显然方程( 2 6 ) 和( 2 7 ) 不存在d a l e r m b e r t 形式的解，我们希望能通过傅立 叶变换，找出其以波的形式出现的解。 将以上方程进行傅立叶变换，变为： 硒掣+ p r o2 ( 铂：o o 譬。 日掣+ r , m g 她+ 砌z 亟! 兰：生：0 出。出出 解上面的方程组得到： 吒g ，) = 口：白_ ”z 。+ d ：0 k “z 。+ 吩0 x “一+ d 3 ) p “， ( 2 8 ) 屯g ，国) = 口：a ：0 k “z + 口：d ：( 一“f + 口，q ( 国) p “p + a 3 d ，0 x 一”( 2 9 ) 其中： t 2 j = k ) ：球生华 船。 ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 卵刁e 铲居一层 式中，口：0 ) ，口，白) ，矾) ，以) 分别为到达波和离开波在频率域的振 幅。 由( 2 8 ) ( 2 9 ) 式可以看出，弯曲波向前和向后分别有两列波在传播，与轴 向波是不同的。分析( 2 1 0 ) 可知，k ：一直为实数，其对应的口：白) ，d 2 ) 代 表的是一直向前或向后传播的两列非衰减波。而对岛而言当7 7 琢c 万1 ，即 等时为实数，此时其对应的也是两列非衰减波，而当叩 茬舞2 r ，即 口，i 上海交通大学硕士论文 第二章 国 坚挲时七3 为虚数，对应着向前和向后传播的两列衰减波，波的振幅将随x u i 的增大按指数规律迅速减小，可以认为这两列波只存在于节点附近很小的范围， 基本上对构件其他区域的响应并无影响，其产生只是为了满足边界条件。 分析轴向波与弯曲波，对于轴向波，c = 詈= c l = c 。”盯。面d ( o 2 c 。，即波的 传播速度与群速度一致，在传播过程中，波的形状将保持不变，称为非频散波 ( n 。n d i s p e r s i v e ) 。对于弯曲波，c = i 0 9 = ，0 ) c 。= i d o ) a k ，不同波的传播速度 托，1 与其相应的频率有关，与群速度不一致。在传播过程中，弯曲波的波形将发生变 化，称为频散波( d i s p e r s i v e ) 。 又由( 2 1 1 ) 可以看出，当趋近于零时，d 亦趋近于零。因此在低频时， 变形主要是轴向变形和弯曲变形，故在计算结构的低频响应时可忽略剪切变形的 影响。 以上求出了在频率域内，以到达波振幅和离开波振幅来表示的轴向位移和 弯曲位移，在利用下面的物理和几何关系便可求出其他的物理量。 由物理关系：f = e a o u 矿：x a g 生 o x m ：e 堡 o x 由几何关系：口= ：婴 最后可得： 户g ，) ：e a i k 。k 。( k “r d l ( 国k “一】 ( 2 1 2 ) 多g ，) ：刎g k 口：【口：b 岭一d 2 p k 毗，】+ k ，吒b ，白弘忡一d 3 p k 一呦b ( 2 1 3 ) 五g ，国) ：一日岳2 2 b ：白k 吣+ d 2 白k 砒，】+ k 3 2 k ，k 蛳+ 以白k 一蛳 ) ( 2 1 4 ) ；b ，) ：f 仁： 口：( k “一一d ：一m 一】+ 屯 口。0 ) ) e i k ，j d 3 p “一b ( 2 1 5 ) 上海交通大学硕士论文第二章 至此构件中的内力与变形位移都可以用离开波与到达波的振幅及相位表示。 2 3 离开波与到达波的关系 由以上( 2 3 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) 式司以看出，梁的动力响应司以看作是不同频率 的波在梁轴线上向相反方向传播引起的。为说明离开波与到达波之间的关系，以 梁j k 为例，在梁j k 上有两列波分别沿着j k 和k j 方向传播。对j k 上任一点， 有： i b = a 2 j k 蚺t ，+ d 2 j k 蚺“j k l + a ? xe k j x l + d ? 。e “p 1 = 一a 2 k j ( k 啦“( 7 一“一d 2 ( k - i k ，( i 一。) 一a 3 k j p “，“( “) 一d 3 r j p - i k 3 “( 。一。) 由于上式两边对任意的k ：。和x 都成立，比较两边p “项的系数，得到： 气3 “= d 。r j ( - e “”。) 对于轴向波，相似地，可以得到q “= d 。“( - p “) 或者从物理上分析，沿“方向传播的波对于k 点来看是到达波a r d e i “，对 于j 点来看则成为离开波一d j r e - k ( “) ，同样可以得到口“：一d “e 一“，负号是由 于坐标系g ，y r 与g ，y 尸方向相反。 得到离开波与到达波之间关系的通式： 口芦= 一e - i k d 尸 ( _ ，= 1 , 2 ，3 ) 写成矩阵形式为： a j k = p j x d r a( 2 1 6 ) 其中： a j k = 岳“，口：“，口，“ r d “= 碴p ，d ，d p “c 肼，= 一吾嵋一专啦，一曼州 ( 2 1 7 ) 上海交通大学硕士论文 第二章 2 4 求解节点的波振幅矢量 为了更清楚的解释整个求解的过程，在此首先阐述思路如下 假设整个框架结构中，构件总数为m ，而节点总数为疗= p + r ，有p 个铰节点 r 个刚节点，则： 结构中未知量的总数为： 1 ) 无论是铰节点还是刚节点，每一个由此节点出发的构件均有3 个抵达3 个离 开一共6 个未知波幅矢量。共计1 2 r n 个未知量。 2 ) 对于每一个刚节点处都存在力矢量和位移矢量，维数为3 。但这6 个量中，只 有3 个是未知的。而对于铰节点，力和位移矢量的维数均为2 ，4 个量中，只有2 个是未知的。共计3 r + 2 口个未知量。 所以整个结构的未知量总数为：1 2 m + 3 r + 2 p 。 相对应的求解上述未知量所采用的方程为： 1 ) 节点平衡方程： 铰节点处：( 对“l = n 2 x ，“) r = 税，j 代表铰节点的编号，( 对“l 代 jj 表与节点j 相连接杆件频率域内轴向力在整体坐标系x 方向上的投影，：表示 整体坐标系下作用于节点j 处的外力在x 方向上的投影，同理可知道【“l 、 ；的意义，共2 p 个方程。 刚节点处： 上海交通大学硕士论文 第二章 ( 费“) ，= 青! ，( 费“) ，= 费? 3j 情况相同，共3 r 个方程。 厨= 砑；，标号所代表的意义与铰节点 j 2 ) 节点相容方程( 位移协调方程) 如图所示，任意节点，处，有：0 肛) 。+ p “) 。= 巩，0 “l + 0 “) ，= 磊，上 标足代表所有与节点l ，相连构件另一端点编号。 0 “l ，p “l ，0 “) r ，0 “) ，炙，曰 分别代表局部坐标系下，构件麒的轴 向位移在整体坐标系x 、y 轴上的投影，横向位移在整体坐标系x ，j ，轴上的 投影，节点，在整体坐标系x ，】，方向上的位移，共计4 m 个方程。 而对于刚节点p 处还有 ；阳：彩，铰节点s 处有廊。= 0 ，共计2 埘个方程。 3 ) 结构中每杆件上到达波与离开波振幅的关系 对于结构中任一根杆件j k ，其端点，处的到达波与另一端点k 处离开波的关系 为：口，0 ) = 一d 尸p k 州，依此，对与每个节点，共可建立6 m 个方程。 综上所述，线性独立的方程数为2 p + 3 r + 6 m + 6 m = 1 2 m + 3 r + 2 p 个，恰好与结 构总的未知量的个数相等，由此可求出我们所需的量。 2 5 波在节点处的散射 当一列波传播到节点处时，将会在节点处发生沿着与节点相连的各根构件 的散射，产生其它的波，这些波会沿着所有与节点相连接的构件传播，在节点处 再散射，传播路径越来越复杂，因此原来的波传射线法只能计算简单结构在 短期内的动态响应。 回传波射矩阵法利用节点处的力平衡及位移协调条件，建立散射矩阵，波 在节点出每散射一次，就相当于在求解响应的过程中乘一次散射矩阵，从而较好 地解决了这个问题。 以j 节点为例，进行求解节点处的波振幅矢量： 1 ) 节点平衡方程： 在整体坐标系下考虑节点j 的力平衡方程： 1 4 上海交通大学硕士论文 第二章 x 方向力的平衡： lf j x ( 0 ，c o ) c o s a “一v j x ( o ，c o ) s i n 0 “l + f x 。= - - c 0 2 m 。u ，。( c o ) ( 2 1 8 ) - i r kl j y 方向力的平衡： jf s x ( o ，c o ) s i n 8 “+ y “( 0 ，c o ) c o s 8 “j + 力。= - - 0 ) 2 m 。u ( c o ) (219)-1 r rl j 以上两式对刚节点和铰节点都成立。 若是刚节点，存在力矩平衡： ( 2 2 0 ) 而对于铰节点来说，节点弯矩为零： m “( 0 ，国) = 0 ( 2 2 1 ) 2 ) 节点位移协调方程： 对于每一个构件，其局部坐标系下的杆端位移必须与总体坐标系下的节点位移相 等。 x 方向： 1 4 j k ( o ，c o ) c o s 0 “一v j k ( o ，c o ) s i n 8 “= u x 。( c o ) ( 2 2 2 ) y 方向： u j k ( o ，c o ) s i n 0 “+ v e k ( o ，c o ) c o s a “= u r 。( c o ) ( 2 2 3 ) 对刚节点，还有： “( o ，户y 。 ( 2 2 4 ) 其中：m 7 是节点集中质量，r 。是节点回转半径，厶，f r ，p j , u ；，u ；，y 。是总体 坐标系下节点上的集中力、力偶或位移、转角。 将以到达波振幅口和离开波振幅d 表达的力、位移等矢量和节点位移协调方 程式( 2 1 2 2 1 5 、2 2 2 2 2 4 ) 代入节点平衡方程( 2 1 8 - 2 2 1 ) 中，并写成矩阵形 式，得到： 0 j y m 一 甜一 l i ， p + 、j m d 膈 。 上海交通大学硕士论文 第二章 0 ( 翻破c o s o ) “ ( 删瑞s i n o ) “ 0 卜i 酽、 0 ( “g 如也s i n 毋j x ( 一d g 吃七2s i n o ) “ ( e 啦2 ) “) 一( 1 + 岛“) s i n x 00 0 o + 矿) c o s o “0 0 0 一 o o 一r ) 00 ( 剃g 如s i n 8 严- ( d g 岛岛s i n o ) a 。c - ( e ，与2 ) 麒) 一( 1 + 鸣“) s i n o # c一( 1 + a 3 “) s i n o ：”0 00 o0- 一( 1 + 吒“) c o s 0 1 x一( 1 + 码“) s i n x 000 00。 七2 肛2岛肛2 ooo 卜如“ 0 ( _ 叫g 七2s i n 印“ ( d g 坞七2 c o s 印“ - e 啦2 广 一如“) 00 ( - , c j g i a 3 k s s i n o ) “ ( x d g i c b k 3c o s b ) “ - 一，矿j ( 2 4 7 ) x , 0 5 1 ) = 簪兰州 a ； k e a p 。+ d 。) 彬2 护硼 记：一 j x ( x ，m ) = 善并g ，) + 甾g ，印) 则有： 。 。j k g ，) ：一y 。j k 。g ：j k 2 。n + k ；x2 a 尹e m ) ( 2 4 8 ) 1j j 衅 o o 一 一 一 o o o o 鳄 p o o 醇o o o o o o 酽o o o 。o o o 矿 o 矿o o o o o卵o o o 竹o o o 舻o o o 铲o o o o 。o 舻 。铲o o o o ，l | l 肌 口 2 上海交通大学硕士论文 。嚣( x ，) ：一y 怒仁尹2 d ：j k e - i k 厶+ 严2 d k e - i k 厶) 记j k 构件的应变矢量： o 严( x ，c o ) = 钞g ，c o ) j ，k 0 ，6 0 ) j ：k g ，) r 则可将上式写成矩阵的形式： e t j k = a 6 j ka j x + d j r k d j x 其中： o y 。j k 。* ：j k2 1 o r i 00 ：l o y 盘 o l00 ) ，急 0 1 0 i y 盎f2 p 甜。l 0 0 i p 0 0 铲2 0 h op i k - j x l0 o t 尹2 j l oo e i k ( x x 地f 啦0 0 d ? = l o y 。j k “j k 2 e - i k 厶o i l oo y 。j k 。k ，j k2 p 一“，1 j 再令 0 y 盏 0 0 铲2 0 0 一y j m l 2 i k le 一峨 o o 0 呼2 | 一 第二章 f 2 4 9 ) p m ，x00 0一e 州k ，0 00一p “ i o o y j k 3 j k le “k 1 0 0 七严00 玎胪。0 y 急oho 严2 o h o“j o _ y 盏oo 酽2 o o r 晴 p o o 肚 f ，l = 铲o o 铲o o 。l 1j o o a y n = 1，j j *一 o o 汝一 。，。，。l = 以f d 1j ， 瓜， o o ：! p n一 = 上海交通大学硕士论文 第二章 i i 00 li i00 l c 善= 1 0 y 盘0l ，c 等= 10 y d k 0 l ，k “= l0 0 y 。j 。kj1 00 ) ，。j k 。j 则有： a ? = c l j 8 k k “嘴、，d = c ：j k ；k “p ：4 荐将其组装成整个结构的表达式 令 c l 。= c 0 0 0 c 0 0 0 外。= c 乞0 0 c 乞0 0 扩2 0 0 0 矽2 0 0 0 够2 k 10 0k 2 _ 0 o 世2 则整个结构的总体应变表达式为： # r = 4 。口+ d ，d = c 。l o _ ) p t u d + c 2 。 z d = 卜c l 。k p ( t _ ) u + c 2 。 zp ( 2 5 0 ) 至此，如果已经求得离开波振幅d ，便可根据下面的公式求出在频率域内的位移 与应变： 女，= 爿。口+ d d = o + 口) ，。) u 一只) d 岛= 一。口+ d d = c i ，j 姐一，) p t u d + c 2 。k p d = 【_ c l ；j q h ) u + c 2 ，皿p 最后，应用傅立叶反变换，就可以得出在时间域内的各项动力瞬态响应。 至此完成了由弹性材料构件组成的整个结构在频率域内响应求解，接下来的 一步就要对所得到的响应解进行傅里叶逆变换，以得到时间域内的响应。 由于傅里叶变换存在的前提是，变换函数具有周期性且满足荻利克雷条件， 且在整个实数域内绝对可积。 由于，无论是外力信号还是响应信号，非周期性的可能性很大，所以在对所 求得的频率域解进行快速傅里叶变换的时候，为了减小误差，确保傅里叶变换时 间外无信号，时间长度的选取变得十分重要，具体的说明见下一章。 上海交通大学硕士论文 第三章 第三章程序说明及原理验证 以上我们已经阐述了利用回传矩阵法求解结构动力响应的基本原理，接下来 的事情就是依据此理论来编写程序，进行数值计算及验证分析的工作。 以下是根据回传矩阵法的原理编制出来的程序介绍，它可用来计算存在节点 集中质量的桁架或框架在受到冲击位移或荷载时，待测点的应变及位移响应，同 时可以求出节点上的位移响应。 3 1 程序流程及解释 上海交通大学硕士论文 第三章 其中， 初始化程序包括： ( 1 ) 读入结构和荷载信息，包括四个输入数据文件，分别用来提供构件的材 料常数及它们相互之间的联系、节点集中质量、回转半径、节点受外载荷作用情 况以及输出结果文件的名字等，八个f o r t r a n 模块源文件用来定义一些计算过程 中所需的一些常量、变量。 ( 2 ) 根据结构信息计算与各节点或构件有关的子矩阵在总体矩阵中的位置； ( 3 ) 计算与频率无关的量，例如初等变换阵u 等。 第二框中计算