（基础数学专业论文）marcinkiewicz积分交换子有界性问题的研究.pdf

中文摘要 本论文主要研究了m a r c i n k i e w i c z 积分高阶交换子在加权h e r z 型h a r d y 空间的有界性问题，分两个部分。 第一章，回顾了齐性核的m a r c i n k i e w i c z 积分交换子在一类h e r z 型 h a r d y 空间的有界性，有如下结果： 定理1 2 1 设b ( x ) b m o ( t p ) ，0 e 1 ，1 q 0 0 ，0 p 。，且n ( 1 1 q ) q ) 且u ，( 6 ) 满足 l 缨谢 。 j o 5 1 + 6 。 那么交换子弘墨b 是从日磁品( 彤) 到蚜，p ( 彤。) 的有界算子 第二章，讨论了具有齐性核的m a r c i n k i e w i c z 积分高阶交换子在加权 h e r z 型h a r d y 空间的有界性，主要结果如下： 定理2 1 1 设b ( x ) b m o ( t l ) ，0 e 1 ，0 p o 。，且礼( 1 1 q ) 。 g ) 且 ( 6 ) 满足 _ 掣枷 。 d o 0 1 1 叫l a 1 ，w 2 a 1 ， ；a q ，k w 2 满足( 2 1 3 ) ，则交换子蝎b 是从日磁品( 叫1 ，w 2 ) 到研一( 伽1 ，加2 ) 的有界算子 定理2 1 2 设6 ( z ) b m o ( f ) ，0 e 1 ，0 q ) 且坼( 6 ) 满足 z 1 学g 弘认。 w 1 a l , w 2 a 1 ，叫；a 。，且似2 满足( 2 1 3 ) ，则交换子蛾。是从h f ( 。, , o - ，v q ) , p ( 1 ，w 2 ) 到霹 l - 1 q ) , p ( 叫1 ，w 2 ) 的有界算子 2 a b s t r a c t i nt h ep r e s e n tt h e s i s ，w em a i n l ys t u d yt h eb o u n d e d n e s so fc o m m u t a t o r f o rm a r c i n k i e w i c zi n t e g r a lo nt h ew e i g h t e dh e r z h a r d ys p a c e s ，c o n s i s to ft w o c h a p t e r s i nf i r s tc h a p t e r w cr e t r o s p e c tt h eb o u n d e d n e s so fc o m m u t a t o rf o rm a r e i n k i e w i c z i n t e g r a lw i t hh o m o g e n e o u sk e r n e l0 nt h eh e r z - h a l i d ys p a c e s ，a n dg e tt h e f o l l o w i n gt h e o r e m ： t h e o r e m1 2 1l e t b ( x ) b m o ( i p ，0 e 1 ，0 p o 。，a n dn ( i 一 1 q ) q q ) a n d 坼( 6 ) s a t i s f i e s f 1 尝谢 o o ，t h e n 蠛6 i sb o u n d e df r o m 口蠕品( 毋) t ok 宇。( 形) i ns e c o n dc h a p t e r ，w em a i n l yd i s c u s st h eb o u n d e d n e s so fe o m m u t a t o rf o r m a r c i n k i e w i c zi n t e g r a lw i t hh o m o g e n e o u sk e r n e lo nt h ew e i g h t e dh e r z t y p e h a r d ys p a c e s ，a n dh a v et h ef o l l o w i n gt h e o r e m ： t h e o r e m2 1 1 l e tb ( x ) b m o ( 毋，0 e 曼1 ，0 p o o ，a n d n ( 1 1 g ) q q ) a n d 岍( d ) s a t i s f i e s ( 1 喾瞅o 。 w 1ea l ，伽2ea 1 ，峨ea q ，a n dw 2s a t i s f i e s ( 2 1 3 ) ，t h e nc o m m u t a t o r 艋6i s b o u n d e df r o mh k 一；, b m ( w ，w 。) t o 砑一，( ，t v 2 ) t h e o r e m2 1 2l e tb ( x ) eb m o ( t p ) ，0 e 1 ，0 q ) a n d ( 占) s a t i f i e s 1 掣( 昭护哪 。 w 1 a 1 ，w 2 a 1 ，叫；7 a q ，a n dw 2s a t i s f i e s ( 2 1 3 ) ，t h e nc o m m u t a t o rp 6i s b o u n d e df r o m 6 m ( 1 - v q ) , v ( 训1 ，讹) t 。蔚1 。胁w 1 ，w 2 ) 第一章m a r c i n k i e w i c z 积分交换子在h e r z 空间h a r d y 空间中有界性 5 11 引言与结果 1 9 3 8 年，m a r c i n k i e w i c z 1 4 】考虑了下面类似于g 函数的积分算子 p ( ，) ( z ) ：( f 2 ”l ! i 兰二= _ 生_ = 兰：! ；二二2 - 型d t ) ，。 o ，2 。 j 0 o 其中y ( x ) = 臂f ( t ) d t 1 9 5 8 年，s t e i n 1 6 1 把m a r c i n k i e w i c z 积分算子推广到了n 维情形，定义 如下： 以铲。表示舻m 2 ) 的单位球面，赋以l e b e s g u e 测度打一d a ( x ，) ，z = x i x l ( 对任意茁0 ) 。设q 是定义在彤上的零次齐次函数且满足如下 l 劫。( 0 a 1 ) 条件：q 是s 一1 上的连续函数并且满足 q ( z 7 ) 一q ( 可引c l x 7 一y l l 8 ，v z 7 ，y 7 s ”一1 又设q 满足消失性条件 二一，掣) 州z ，) - 。 ( 1 1 1 ) 对于舻上的局部可积函数，高维m a r c i n k i e w i c z 积分( ，) 定义为 卢n ( ，) ( 。) ：( ，。f n ，缸) l 。石d t ) 班， ( 1 1 2 ) j 0 o 。 其中 ( 加f = - u r等耥m胁_t l o 一纠l s t e i n 证明了若q 满足l 咖。条件时，是( p ，p ) ( 1 p 2 ) 和弱 ( 1 ，1 ) 型。b e n e d e k ，c a l d e r o n ，和p a n z o n e 1 证明了如果q c 1 ( s n - - 1 ) ，则 对于1 p o 。，“n 是妒有界的。t o r c h i n s k y 和s w a n g 1 7 证明了当 q l i p 。( s “一1 ) ( 0 a 1 ) ，则对于1 p o o ，w a p ，有l l 卢n ( ，) | | l o c l l f l l z o 4 另一方面，h e r z 空间是近代调和分析的重要函数空间。1 9 6 8 年，c h e r z 1 1 引入如下形式的h e r z 空间的定义。 对于z ，记b k = z r “：l x 茎2 k ) ，c k = b b k 一1 ，x k = x 吼为 集合g 的特征函数。定义h e r z 空间为： 定义设。r ，0 p 。，0 q o c ( 1 ) 齐次h e r z 空间聊m ( 舒) 定义为 q ( r ”) = ，l t o 。( 形o ) ： 蔚，一) 。) 其中 j f 州船q 舻) = 2 ”。i l f x 嵫( 舻) ) k e z ( 2 ) 非齐次h e r z 空间辫，( 形) 定义为 叼护( f ) = ，三( 形) ：i i 州砑，( 舻) 1 ) 是指： ( 1 ) f 2 ( z ) l q ( s “一1 ) ( 2 ) 詹学砸 o o 其中( 表示n 的q 阶积分连续模，定义为 u q ( 6 ) = s u p ( i n ( p z 7 ) 一q ( z 7 ) q d x 7 ) 1 q 这里p 表示口中的旋转l p = 跏一川 1 9 9 0 年，a t o r c h i n s k y 和s l w a n g 在 1 7 中考虑了如下的m a r c i n k i e w i c z 积分和b m o 函数产生的交换子 删) _ ( i ，( 0 。如汗d r 1 其中蜀，6 ，t ( z ) = 。蚓s 。i ! 荔碧( 6 ( z ) 一6 ( ) ) “f ( y ) d y ，6 ( z ) b m o ( r “) ，m 5 他们证明了如果q ( 茁) 连续满足l i p 。( s 一1 ) 条件( 0 。墨1 ) ，则p b b 在护) 上有界( 1 p 。) ，在相同条件下 1 9 证明了解6 在口( u ) 上有 界其中u a p ( 1 p 。) 0 2 年，d i n g ，l u 和y u b u t a 在 9 中改进了上述 结果，其主要定理见引理2 2 1 ，0 4 年，d i n g ，l u ，z h a n g 在 1 0 1 中指出： 若q l i p 。( 伊q ) ，u a g 则3 c q ) ，与f , b 无关( 1 q o 。) 使 l i “置b ( ，) i l l ：sa l l b l l ? t l f l l l ： 在【1 8 中证明了m a r c i n k i e w i c z 积分交换子p n 妒是( h 品产驴，。o ) 型的 ( 0 p 1 ) ，这里n 是满足一类d i n i 条件或工印。条件的研上零次齐次函 数蜀尸是弱h a r d y 空间，b 是b m o 函数 在 1 2 1 中，l u ，w u 证明了m a r c i n k i e w i c z 积分交换子一类加权日1 空间 的有界性 0 4 年，在f 2 1 中，c h e n ，z h a n g ，c h e n 证明了一类具有齐性核的m a r c i n k i e w c z 积分高阶交换子在h e r z 型h a r d y 空间中的有界性，并得到了其端点估计其 定理详见定理1 2 1 和定理1 2 2 定义1 2 1设r ，1 0 ( 2 ) 恻h 舻) l b ( o ，州“肛 rr， ( 3 ) a ( x ) d x = 血( 。) 6 ( z ) 出= = a ( x ) b “( z ) 如= 0 jjj 定义1 2 2 设b b m o ( r “) ，1 q o o ，n ( 1 1 q ) s 。，0 g 。 则称缓增广义函数f 属于h e r z 型h a r d y 空间日k 呈品( 眉1 ) ，如果分布意义下 它可以分解为f = 罢一o 。吻，其中吩是中心( q ，口，b m ) 原子且s u p p ( a j ) c 马一b ( o ，掣) ，c 并且满足器一o 。 i 一 1 ) 满足工一d i n i 条件如果存在常 6 数0 a o 1 使得l y i a o r ，那么 c l 枷1 削一鼢州罢+ k 。警学姗 定理1 2 1 【2 1 设6 ( z ) b m o ( r “) ，0 e l ，1 q o o 0 p o o ，且礼( 1 1 q ) o l 口) 且坼( 6 ) 满足 l 尝献。， 百丽、姒 那么交换子肛孙是从h 瑶品( 尼。) 到叼p ( 口4 ) 的有界算子 如果对p 的范围适当加以限制，在端点a = n ( 1 1 p ) 处，可以放松对 蚺( d ) 的要求，得到如下定理? 定理1 2 2 2 1 设6 ( z ) b m o ( r n ) ，0 1 ，0 q ) 且蚺( 满足 1 学( 1 0 9 护蜥 1 ) 是 指： ( 1 ) 吣) 甜( ( 2 ) z 1 学献。o 仁1 2 ) 其中u 。( 6 ) 表示q 的q 阶积分连续模，定义为 “勺( 巧) = s u p ( l q ( p z 7 ) 一q ( z 引9 d x 7 ) 1 a 这里p 表示印中的旋转f p | = l i p 一引| m a r c i n k i e w i c z 积分高阶交换子肛子6 定义为 瞄( 州z ) ：( 厂? 俐z 箬) 其中r 6 ，t ( z ) = 刎l s 。翠( 6 ( z ) 一b ( 可) ) ”f ( y ) d y ，6 ( z ) b m o ( t p ) ，m n 近年来，陆和杨等人在前人工作的基础上，对h e r z 空间理论进行了广 泛而深入的研究得到了大量重要的结果。在 1 1 中，首先引入了加权h e r z 空间的概念，并且得到其中的函数刻画 受文 2 ， 9 】 1 1 】和 17 的启发，本章讨论具有齐性核的m a r c i n k i e w i c z 积分交换子在加权h e r z 型h a r d y 空间的有界性，并得到了相应的结果。首 先介绍若干定义与记号。 对于庇z ，记b k = z r “：l xj 2 k ) ，q = b k b k 一1 ，舰= ) ( 吼为 集合g 的特征函数。定义加权h e r z 空间为： 定义2 1 1设d r ，0 p ，0 q 。且w 1 ，伽2 为舻上的非 负权函数。 8 ( 1 ) 齐次加权h e r z 空间增。( 鲫，；w 2 ) 定义为 其中 碍9 ( w l ；w 2 ) = f l 乙。( 形o ，w 2 ) ：i l f l l k ；，( w l ；w 2 ) ”1 曼g 称w 为a 1 权函数，记作w a 1 ，若满足 其中m w ( x ) 为w 的h a r d y - l i t t l e w o o d 极大函数，即 ( m 伽) ( z ) = 翼等面1 上l 叫( 训由 当w a 1 ，j k 时， 勰s 伪。“h 6 ，( 。 自时 篙鲫蜘 关于上述性质证明，可参见 2 0 】在文 1 4 】中，作者引进一类特殊权函数满 足如下性质： 。s u p 。+ ，w ( 。) c2 。! 浆。4 w ( z ) - ( 2 1 3 ) 2 一2 z j 2 k + 】 三| o i s z 定义2 1 2 设q r ，1 0 ( 2 ) f l a i l l ) 茎 叫t ( 日( o ，r ) ) 】- “ rrr ( 3 ) a ( x ) d x = o ( 。) b ( z ) 出= = a ( x ) b “( x ) d x = 0 jjj 定义2 1 3 设b b m o ( 舒) ，1 q o 。，n ( 1 1 q ) 墨a ，0 pso 。 则称缓增广2 l i 垂i 数f 属于加权h e r z 型h a r d y 空间h 瑶品( t ，叫2 ) ，如果分 布意义下它可以分解为f = 罂一。) u a j ，其中a j 是中心( a ，q ，护；w 1 ，伽2 ) 原子且s u p p ( a j ) c 马= b ( o ，掣) ，b c 并且满足罂一。i a j l ， o o 定义 h 醒荔( 形) 的半范数如下： | j 刘日霹疡( 舻) = i n f ( 器1f 1 9 ) ) 1 加 其中下确界取遍，所有上述分解 关于p m 6 在空间日嫒品( w - ，w 2 ) 中的有界性有下列结论： 定理2 1 1 设b ( x ) r m o ( n “) ，0 e 1 ，1 q 。，o p o 。，且n ( x 一1 q ) d q ) 且屿( 6 ) 满足 厂1 盟甜 。 j o 5 1 + 6 。 w l a 1 ，w 2 a 1 ，叫；7 a 口，且w 2 满足( 2 1 3 ) ， h 砖品( 叫，毗) 到堙，( 叫。，训。) 的有界算子 如果对p 的范围适当加以限制，在端点= n ( 1 屿( d ) 的要求，得到如下定理： 1 0 ( 2 1 4 ) 那么交换子弘孙是从 1 p ) 处，可以放松对 定理2 1 2 设b ( x ) b m o ( f v 。) ，0 e 1 ，0 p 1 ，1 q ) 且吣( 6 ) 满足 j f 0 1 掣( 1 0 s 护 1 ) 且满足( 2 1 1 ) ，佗n ，b ( x ) b m o ( 留) ，若训；a g ，( 1 1 ) 满足矿一d i n i 条件如果存在常 数0 o o 1 使得i y a o r ，那么 c l 铷l 掣一鬻r d x 鲫。t 警+ k 。掣掣卿 定理2 1 1 的证明： 设，甘k 器( 叫l ，似。) 我们可以把它写成f = o 净。一。哟其中a j 是 中心( a ，q ，俨；w l ，w 2 ) 原子且s u p p a jc 马= b ( 0 ，2 j ) 注意到0 p 。有 i i 肛最。( ，) i i ，( 叫，删z ) 乏二 叫t ( b ) 】”加l l p 墨a ( ，) x e i 埕( ，p ) c 乓) a p n ( m l 瞄( ) x * 慨( 刖) 9 + g - ( b k ) l o p ( i ，川肛五6 ( ) x l | 砘。( 彤) ) 9 = + 1 2( 2 2 7 ) 其中弛= x 。，= b k b k 一1 由引理2 2l 知芦乳是由p ( 口。) 到口( 曰1 ) 有界的( ；a 口) ，因此， 厶茎c 眇t ( b t ) ”加( q i k 。) p c o o 一。器一2l 1 9 ( w 。l ，( ( b 岛d ) ) 叩加= c 墨一o o 墨一2 1 9 2 n 。脚( o 1 ) ( ，je j 一。j 1 9 ( 毽三。2 晴一力。如 ( o 1 ) c jl i ( 2 2 8 ) 1 2 记x = x 。，仉= b k b k 一1 这里k z ，x e 为e 的特征函数由q 的定义 可以知道，对于k 3 + j 且z 瓯，y 马，有l x i 一1 x - - y i 2 ，i c k l 2 h 于是 p 嚣b ( 哟) 胁i i 因为h i x - y l ，我们知f 即1 一声齐jsf c l 开u t 所以由( 2 2 9 ) 2 t ：m i n k o w s k i 不等式得 u + 厶f 厶导写却圹批叱阿扣m 扣；d y m 蛐) j ；g e e b2 两1 厶b ( y ) d y 下面分别估计巩和巩首先，对u 1 ，使用m i n k o w s k i 1 3 如 如 2 至! 薹! 趔护迎p 匆 匆 蛐 蛐 哪 惴 蚓 螂 m ， 盟“盟拍 刊舻型 扛| i 陋| | 业生一 叫 刊悦眨 r 0 f 。厶厶 、，j、i，j 如 如 z z 她 l 尸 r 匆 匆 、j lj 剪 吩 唧 m m 计 一 w b、j y z ，【 n 厂k 厂k 泓 泓 淼羔，嵩篙蚴厶厶 g 烈 不等式，有 g 一i n f 。酬以一2 j q 2 c 小川p 姗如) ： g w 2 吲( b k ) 2 - k ( n + l 2 ) 2 j 2 厶( 小班n ”训。出) ， 啦码i n f 酬血州叶l 2 枷忙厶【小( 矿| m q r ( r - q ) j 垧叫 嗄姒一驯】1 ( 驯匆 5 c 2 一2 一一“7 。十1 7 2 ( 七一j ) ”j n j j 口( 卵一：州6 懵i ( 舻) i i 。j ( y ) i f l 。，( 耶) c 2 一2 叫7 4 + 1 7 2 ( 自一j ) ”i t a l l 驴( s 。一- ) “6 | | ￥i 肋( 形) 【跏1 ( 马) 一。，n( 2 2 1 0 ) 其亨我们用到了i b k b j g 】七一川川肋o ( 朋) 和( 丘5 q 扛一鲈) 9 如) ，as c 2 m q 忡怯( 舒一1 ) 对于孤，有 曼c 娄芭 。 ) ；2 - k ( n - 1 2 ) 2 f , j li n 仕一目) l 。如】i l l 幻一6 ( ) | ”i 嘭( 可) l d y 茎c l型jb,。j j p 2 - k ( n 叫g ) _ 妒2 j 2 悼忆叩一小叫酬州妒 上，阳盯，。 茎g e s s 。i n 马f 叫2 ( 。) 1 加2 一七一力”一“7 口+ 1 7 2 i l a l l l q ( 印) i i b l i 等m 。( 邪) j l 碣。( 肛) c 2 一一帅一”7 9 + 1 7 2 陋1 ( b j ) i 一口7 ”。( 严t 删l 孙。( 彤1 ( 2 2 1 1 ) u c ( e j ) ”l i b l l 警g o l l n l l r l ( b j ) 1 一酬”2 一忙一j ) 伽一“q + 1 2 f 2 2 1 2 ) 1 4 一 一 巩 巩仕戎1 酉计v ，便用哟( 掣) 明捎矢矩条件： t 厶c 所l 。畿辫似旷坳恻蜘 一z l x - y l q ，由h s l d e r 不等式及引理2 2 2 得： 1 5 c a s s 吗i n f 地扛) ；b ，陋j l c 。i 触i 蚀】1 p 厶l m 甸刊q m r ( r - q ) d x v 州q 口 咖监酬l ；上，彬川， 裂+ 扎, v 1 憎”1 。2 “1 半姗 i b ( x ) 一l ”附一。1 d 叫1 7 。一1 打d y j c k 啦避酬血如卜n ，li 州2 j - k + 2 ( j - k ) 岫l y l 。2 “1 喾卿 2 k “( 1 。一1 7 ( 一j ) ”i l b l l m 口m o d y 茎8 避加2 ( 。) 弦咖刊2 州m ( 七一j ) “i i b l i 譬m 。 上i 叼1 2 j - k + 2 0 - - k ) 0 1 喾西 d y c 2 。m 7 一“) 2 梳( 1 。一1 ”( 一j ) “i l b l l l 。 x 2 j - - k + 2 u - k ) ez 01 喾 ( k j ) ”2 ( 。一，卜i l b t i 等m o 叫1 ( 马) 一。“( 2 2 1 5 ) 所以由( 2 2 1 2 ) 和( 2 2 1 5 ) ，并注意到n ( 1 1 q ) d m i n f l ，y ) ，其中 1 6 卢一礼一n q + 1 2 ，7 = 礼一礼口4 - e ，得 o o k - 3 ，= c 瞰) 。叫1 嫒。( 。j ) x t l l z ：。】 k = - o o j = - 。o k 一3 c 叫( b m ) 。叫“ i m ( u + v ) ) p k = - o o j = 一o 。 。 k - 3 s c i a j l ( u + y ) 叫t ( b * ) 。加) p 根据器嚣c i 恻b k 】l c 2 h m ( 1 ) 当0 p 1 时： 厶c i i b l i 罾m o ( 七一j ) m p 2 枉州”4 如+ 2 肛烈”1 如1 9 ) k = - o o j = 一。 s c l l b l l 詈m o f b l 9 ( - j ) “p ( 2 n 州州9 + 2 枉州9 ) j = - o ok = j + 3 c i i b l i t m o 9 j = - o o ( 2 ) 当1 p o 。时： o i i b l l o ( - j ) “陟吲4 十2 枉m m 沁i k = - o oj = - k - 3 c i l b l l 罾m 。 ( 一j ) “2 n ) 。一4 ) i m + 2 ( k - j 刊( 一j ) ”吲p c i i b l l 孙。 9 2 扛烈”脚7 2 】 2 肛州”脚( 七一j ) “ k = - j = - o oj = - o o k - 3k - 3 + 2 肛州”咖7 2 2 ( k - j ) ( a - 4 ) p 2 ( k j ) ” p p ， j = 一，= 一 c i i b l l t m 。i a j l 9 1 7 以上计算用到了口 m i n p ，1 ) 定理2 1 2 的证明 记q = n ( 1 一：) 设，日瑶品( 叫1 ，叫z ) 且，= 墨一。, k j a j ，如同定理1 的证明，并注意到0 p 茎1 有 瞄( 川如( 虮w 。) 曼最) 晦( m t ib ，( 兄”) k “ c 玩) p 眦懈e ( a j ) x t ( 舻) 女= 一。 j = - c o 。 ，= + e 眇( 上k ) 】”加l 如刚瞄a ( 唧) 崆( 舻) = 一。k - 2 类似于( 2 2 8 ) ，有如冬c 凳一。o1 1 9 再如( 2 2 9 ) 一样，记 肛墨6 ( 吩) 三( 舻) u + v 对于u ，如同定理( 2 1 1 ) 中证明可以知道 从而 u 兰c ( k j ) i i b l l 詈m 。 叫l ( 马) 一。吨2 0 一2 ) ( “一“q + 1 2 ) l ( b ) 等【尸c ( 七一j ) ”1 j | b | | 虿k 0 2 。一砷一“7 。+ 1 7 2 一。 k = j + 3k = j + 3 注意到o = 凡( 1 一l p ) 知舀+ 3 伽1 ( 风) 等沪g i 嚣吖o 对于v ，类似 于( 2 2 1 3 ) 式，并注意到q r ，o = n ( 1 1 p ) 有 酬b m e s s 碣i n f 吲圳；厶蚓2 k ( n q - n ) ( c i i b l l r 嚣m o e s s 蝉叫。( 圳；2 一。 z 口， 矿t 罄+ 膨1 华姗由 胁) m + ”矿”簏。1 华( 1 0 s 一嘞 1 8 一 1 有 墨，+ 3 w l ( 风) 荨曙 c m 口脚p 2 - a k p n 川”。( ) 一 k = j + 3 o a 巾矗( _ j ) ”小刊i 0 1 华( 1 0 8 石1 ) 卅嘲姗9 g 陋j | m b m p 。妻2 一a 却 一t ( 一j ) 一+ ( 一j ) 一册) 厶l a j l 吲洲j 小删驯n g l 陋| l 答备。2 一b 卸i i 臣。i 马l 1 一；p 【叫1 ( b k ) 叩加 曼g r 恻i m 鲋p0 2 - c , k p 2 p 型w 2 ( b k ) r j s 刚i m b m p 0 2 a p ( j - k ) f 型w 。( b k ) j 唰“ c lr b l l m b m p0 2 a p ( j 一2 ) 2 - p ( 一j ) c l i b l l 翟，。 1 9 以及 汹盛喇卜一。2 _ a k p 州沪”口z 1 华珊) 9 一。塾却缸l a j l l b ( y ) - b j t ” w i ( y ) ， 2 j - k + ( k - j ) - , f 0 1 半嘲d y ) 9 5 g 2_akp2j“圹甲慨)】等卜忆d厶愀们呐lmqdyk=j+3妒 k ”q ， 曼 e 妻2 一a 坳 2 ，一* 十( 一j ) 一- pw 。( 取) 】警 埘。( 风) 】一警| 】6 i | ：墨。l 马l ，一；) p 曼g i n 嚣。 于是 综合讨论 证毕。 ，l 5 c 叫1 ( b ) 】警 1 ：, j l u + + k 】p 女= 一= 一。 。一 s c i ：, j l 陋( 鼠) 叩7 “( 酽+ 印+ 叼) g 卢墨。( f ) f l k z ，呻。，。) e 芝二i l p ) ； j 芷一 - 卿 一 力 一 + 舡一 2 。计 o 6e 一 参考文献 1 1b e n e d e k ，a ，c a l d e r o n ，a p p a n z o n e v a l u ef u n c t i o n s ，p r o c n a t a c a d ，s c i r ，c o n v o l u t i o no p e r a t o r so nb a n a c h u s a ，4 8 ( 1 9 6 2 ) ，3 5 6 3 6 5 2 c h e n ，d x ，z h a n g p ，c h e n ，j c ，b o u n d e d n e s so fm a r c i n k i e w i e zi n t e g r a l sr e l a t e dt oh i g hc o m m u t a t o rw i t hh o m e g e n e o u sk e r n e lo nh e r z t y p eh a r d y s p a c e s ， a p p l l y ，m a t hj c h i n e s eu n i vs e r a1 9 ( 1 ) ( 2 0 0 4 ) ，1 0 9 - 1 1 7 3 】c h e n ，j c ，f a n ，d s a n dy i n g ，y m ，an o t eo nr o u g hm a r c i n k i e w i c zi n t e g r a l o np r o d u c ts p a c e s ，s t u d i am a t h ，1 5 3 ( 2 0 0 2 ) ，4 1 5 8 4 】c h e n jc ，f a n d s ，p a n y b ，a n o t eo nm a r c i n k i e w i c z i n t e r g a lo p e r a t o r ， m a t h n a c h r j ，2 2 7 ( 2 0 0 4 ) ，3 3 4 2 5 c h e n j c ，f a n d s ，y i n g y m ，an o t eo nr o u g hm a r c i n k i e w i c zi n t e g r a lo p e r a t o r s o np r o d u c ts p a c e s ，s t u d i a m a t h j ，1 5 3 ( 1 ) ( 2 0 0 4 ) ，4 1 5 8 6 c h e n j c ，f a n d s ，y i n g y m ，r o u g h m a r c i n k i e w i c zi n t e r g a l sw i t hl ( 1 0 9 l ) 2 k e r n e ho np r o d u c ts p a c e s ，a d v a n c e si nm a t h 3 0 2 ( 2 0 0 0 ) ，1 7 9 - 1 8 2 7 d i n g ，y ，f a n ，d s ，p a n ，y b ，w e i g h t e db o u n d e d n e s sf o rac i a , so fr o u g h m a r c i n k i e w i e zi n t e g r a l s ，i n d i a n su n i v m a t h j v 0 1 4 8 ，n o 3 ( 1 9 9 9 ) ，1 0 3 7 - 1 0 5 5 8 d i n g ，y ，f a n ，d s ，p a n ，y b ，a b o u n d e d n e s so fm a r c i n k i e w i c zi n t e g r a l s w i t hh a r d yf u n c t i o nk e r n e l ，a c t am a t h s i n i c a ( e n g l i s hs e r ) ，1 6 ( 2 0 0 0 ) ，5 9 3 6 0 0 9 d i n g y ，l u s z ，y b u t a ，b o u n d n e s so f c o m m u t a t o r s f o rm a r c i n k i e w i c zi n t e r g a l s w i t hr o u g hk e r n e l 、j m a t h ，a n a l a p p l 2 7 5 1 _ ( 2 0 0 2 ) 6 0 6 8 1 0 】d i n g y ，l u s z ，z h a n p ，w e i g h t e dw e a kt y p ee s t i m a t e sf o rm a r c i n k i e w i c zi n - t e g r a l s ，s c i c h i n as e r a ，4 7 ( 1 ) ( 2 0 0 4 ) ，8 3 - 9 5 11 h e r z ，c ，l i p s c h i t zs p a c e sa n db e r s t e i n st h e o r e mo na b s o l u t e l yc o n v e r g e n t f o u r i e rt r a n s f o r m s ，j m a t h m e c h 1 8 ( 1 9 6 8 ) ，2 8 3 - 3 2 4 【1 2 l u s z ，w u b s ，w e i g h t e d b o u n d e d n e s so fm a r c i n k i e w i c z i n t e g r a l r e l a t e d t o h i g h c o m m u c a t o rw i t h h o m o g e n e o u s k e r n e lo n h e r z t y p eh a r d