2024年全国高中数学联赛模拟试卷试题及答案

全国高中数学联赛模拟试题一试（共120分，答题80分钟）一、填空题（每小题8分，共64分）1. 已知集合b,ba,0=2. 已知函数fx=x2+ax+b满足fx3. 已知各项均为整数的等差数列an，若a1=1920，am=1950，a4. 复数z满足z=1，则1+z+3z2+5. 在一个圆上任意取三点A，B，C，则△ABC是锐角三角形的概率是_6. 若四面体的6条棱长分别为2，3，4，5，6，7，求不同的形状有_________种.（若两个四面体经适当放置后可完全重合，则认为是相同的形状）7. 已知映射f:N∗→N∗，满足对任意正整数n，f2n=3n，则f20248. 椭圆b2x2+a2y2=a2b2a>b>0的左、右焦点分别为F1二、解答题（共56分）9.（16分）已知实数x,y,z满足x求x的最大值.10.（20分）在平面直角坐标系xOy中，一动圆经过点A12,0且与直线x=−12相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线K（1）过点A且斜率为k的直线l与曲线K交于B、C两点，若l//OP且直线OP与直线x=1交于Q点．求AB的值；（2）若点D、E在y轴上，△PDE的内切圆的方程为x−12+11.（20分）已知集合S=a1,ai∈求a1加试（共180分，答题170分钟）一、（本题满分40分）设整数n≥2，x1,x1≤i,j≤n（gcdi,j指的是i,j二、（本题满分40分）如图，点A，B在圆ω上，点C，D分别是优弧AB和劣弧AB的中点．以D为圆心、DA为半径作圆Ω，E是Ω上一点，过E且垂直于CE的直线交AB于点F、交Ω于点G．设BG与CF交于点H，求证：△EGH的外接圆面积等于圆ω面积的4倍．三、（本题满分50分）设正实数a，b，c满足1求证：1四、（本题满分50分）设整数d≥4，在圆ω上作若干条弦，满足每条弦的每个端点都至少是d条不同弦的端点．求证：存在其中一条弦，至少与d2备战2024年高中数学联赛模拟练习参考答案一试一、填空题12345678217311038851二、解答题9. 2.解答如下：由题意易知：1由柯西不等式，原式=≤=1×2=2所以原式≤2，当且仅当x=y=z=10. （1）12（1）由题意可知圆心到12,0的距离等于到直线由抛物线的定义可知，曲线K的轨迹方程为y2设直线l的方程为y=kx−联立y=kx−12y∴k2≠0Δ=k设Bx1,y又AB=∴AB∵l//OP，∴设直线OP的方程为y=kx，联立y=kxy2=2x∴令x=1，则yQ=k，∴Q1,k，∴故AB⋅AC（2）设Px直线PD的方程为，又圆心1,0到PD的距离为1，即y整理得x0同理可得x0所以，可知b，c是方程x0−2所以b+c=−2y0依题意bc<0，即x0c−b因为y02=2所以S=1当且仅当x0−2=4所以△PDE11. 2n先证明一个引理： 引理 设x，y>0，则x当且仅当x=y等号成立. 证明x+y≥2回到原题，不妨设a1<a2<…<an，记Ti=令b1=1，b2=2，…，bi=2i−1，…， 注意到i=1i=1当且仅当ai=bi（i=1故a1+a加试一、本题考查数论与代数知识，解答如下：1≤i,j≤n===原命题得证.证毕.二、本题考查几何知识，解答如下：原命题等价于证明△EGH的外接圆半径等于CD延长AE交ω于I，设AB中点为M由于2∠BEI=结合∠AIB=∠ACB，CA=CB由∠CMF=∠CEF=π2得C，E，由射影定理，DE2∠EFC=所以H，F，B，E共圆，∠结合∠BME=∠HCE∠BHC=π−所以CH=CB，所以EH所以EH=2IB，结合正弦定理得R原命题得证.证毕.三、本题考查代数知识，解答如下：先证明一引理：（8-9不等式）9证明：注意到恒等式（展开后即证）a+b⟹9对比原不等式，即证a+b+c(ab+bc+ca)≥9展开整理得，cyc由均值不等式，这是显然的.故原不等式得证.引理证毕.回到原问题，由均值不等式，注意到2a+b+c则只需证明1即a+b由引理，a+b则只需证明ab+bc+ca≥3，这由条件ab+bc+ca=abc解得.故原不等式得证.证毕.四、本题考查组合知识，解答如下：设所有端点依次为A1,A对1≤t≤n2，如果i−j=t，称弦Ai在长度不小于d2的弦中取长度最小的