（基础数学专业论文）差分一微分主手征场的darboux变换及其连续极限.pdf

摘要 高纪宁 复旦大学数学研究所上海2 0 0 4 3 3 本文详细探讨了一般的格子系统与具有u ( n ) 约化的格子系统d a r b o u x 变换以及它们在差 分微分主手征场方程中的应用。另外通过研究这种d a r b o u x 变换在格子长度趋于零时 的状况，我们可以发现它有两种不同的极限，并运用这些极限给出了五1 + 1 + s u ( n 1 的 凋和映照主手征场方程精确解。 关键词：格子可积系统，格子主手征场，d a r b o u x 变换。 分类号：5 8 f 0 7 ，5 8 f ，5 8 a b s t r a c t j i n i n gg a 0 i n s t i t u t eo fm a t h e m a t i c s ，f u d a nu n i v e r s i t y , s h a n g h a i2 0 0 4 3 3 ，c h i n a ：r h i sp a p e r g i v e st h e d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n sf o rd i f f e r e n t i a l d i f f e r e n c ei n t e g r a b l es y s t e m s a n dt h e i ra p p l i c a t i o n st od i f f e r e n t i a l d i f f e r e n c ep r i n c i p a lc h i r a le q u a t i o n w ea l s og i v e s o m ee x a c ts o l u t i o n so fp r i n c i p a lc h i r a le q u a t i o nc o r r e s p o n d i n gt ot h eh a r m o n i cm a p r 1 + 1 - - - - - - - 4s u ( n 1b yu s i n gt w ok i n d so fl i m i t s k e y w o r d s ： l a t t i c ei n t e g r a b l es y s t e m s ，l a t t i c ep r i n c i p a lc h i r a lf i e l d ，d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n s u b j e c td a s s f i c a t i o n ：5 8 f 0 7 ，5 8 f ，5 8 1 致谢 我要感谢谷超豪 子翔教授对作者热情 教授对论文的选题以 字修改都做了具体指 苟的严谨态度深深地 学习。另外在本文的 同学好朋友做了有益 凡，刘逸凡，李凌飞 在此向他们一并致谢。 3 8 2 s l 周翔文不远些亦， ，子的丝永一李等 授周后一我的：舜 教，最术得我是矗 生导到学值与们田 和指程对，中他， 胡的过们我程。鹏，心作他了过讨大授耐写，染作探都 教与及导感写的， 差分微分主手征场的d a r b o u x 变换及其连续极限 高纪宁 复旦大学数学研究所上海2 0 0 4 3 3 a b s t c t 本文详细探讨了般的格子系统与具有”( n ) 约化的格子系统d v b 一变换以 及它们在差分微分主手征场方程中的应用。另外通过研究这种d ”b o u x 变换在格子长 变趋于零时的状况，我们可以发现它有两种不同的极限，并运用这些极限给出了r 1 + 1 + s 矿( n ) 的调和映照主手征场方程精确解。 i 引论 众所周知，用d ”b 0 1 l 】c 变换求孤立子方程的显式解是孤立子理论中的一种重要方法 4 】， 5 j i f 8 】，f 9 j i f lo 】，具有简便，操作性强的优点。一般来说，可以从孤立子方程平凡解出发 用d ”b 0 1 l 】【变换具体构造出一系列解，并且具有多孤立子性。d ”b o u x 变换的优点是除 了第一步需要解一个线性微分方程，其它运算纯粹是代数运算。由此而得到的显式解很 便于进行物理上的分析。对于研究非线性波有重要的启示作用。这方面已有很多成果， 见 4 】 既然d = b o u x 方法那么重要，能不能用它来求在实际应用上很重要的差分微分方程 呢? 但我们知道能用d a r b o u x 变换的前提条件是方程必须是l “意义下可积的。例如著 名的t o d a 方程它是差分微分方程，在l a 】( 意义下是可积的，它曾被很多作者研究过。 问题是其它大量存在的非线性差分微分方程是否有l a x 对呢? rs w ”d 最近的篇文 】 掌【1 2 详细地探讨了这个问题，这篇文章对许多重要的差分微分方程例如差分微分主 手征场方程，差分微分s c h r o d i n g e r 方程给出了l a x 对。而一个方程一旦存在l a x 对，那 么构造它的d a r b o t u c 变换将是一件有意义的工作f 6 ，f 7 j 。主手征场方面的工作已有很多 阱( 3 j ( n i ，( 1 3 1 ，( 1 4 j ，而讨论格点主手征场d a r b o u x 变换的文章贝目很少。本文就是在这方 面做了一个初步尝试，特别是具体研究了差分一微分主手征场的d a r b o u x 变换。从本文 中我们将看到可积的差分微分方程的d a r b o u x 变换( 简记为格子d a r b o u x 变换) 与微 分方程的d a x b o u x 变换( 简记为连续d a r b o u ：变换) 对取连续值的变量( 时间变量t ) 差不多一样，而对取离散值变量( 空间变量z ) 有很大不同。另外我们戋玎i 苣求一个满足约 化条件的d a r b o u x 阵是一件不容易的事，面对差分微分方程的d a r b o u x 阵就是怎样提 一个恰当的约化条件本身也是一个问题。本文也在这方面做了一个初步的尝试。用格子 d a r b o u x 变换可以得到非平凡的差分- 微分方程解，我们感兴趣的是当格子的长度趋于零 时这些解是否收敛于微分方程的精确解。而本文所构造的格子解都牧敛于精确解。有趣的 是将这些精确解与文献【4 】中用连续d a r b o u x 变换所得到的精确解比较有很大的不同。 这也显示了格子变换有其独立的研究意义。本文的主要部分已单独成文并已被j o u r n a l o f m a t h e m a t i c a lp h y s i c s 接受。 i i 格子d a r b o u x 变换 由于格子可积系统的d a r b o u x 变换与离散可积系统的d a r b o u x 变换有密切联系。所 以我f f 】先介绍一下有关1 + 1 维a k n s 系统的d a r b o u x 变换以及带有1 i ( ) ，3 t ( ) 约化的 d a x b o u x 变换的一些结果。 2 n a k n s 系统是讨论形如 的l a x 对( 1 ) 的可积条件为 仍= u 砂= a j l 5 f ，+ p ( z ，t ) 妒， n 讥= 矿妒= 巧( z ，t ) a 州妒 j = o 阢一亿+ 矾v = 0 其中7 是n 常值对角阵，对角元互不相同，p ( z ，t ) 的对角元都为零- 矩阵d ( 。，a ) 称为一个d a r b 。u x 阵，如果对于( 1 ) 的任意解妒，= d 妒满足与c i ) 相同的线性方程组： 其中p ，是对角元为0 的适当nx 矩阵函数，称( p 妒) 一( p 7 ，审7 ) 为无约化的。 a k n s 系统的d a r b o u x 变换下面主要叙述形如 i s 的d a r b o t l x 变换的一些结果。 定理1 1 4 】a ，一s 是d a p b o u z 阵当且仅当s 满足： 卅下面的定理给出一次d a r b o u x 阵的构造。 定理2 设p 为俐的解取不完全相等的复数a h ，记a = d i a g ( a 1 ) ，令为俐 当 = 沁时向量解。记t t = ( 1 ) ，当d e t h 0 令s = h a h - - 1 ，a ，占= a ，一h a h 一， 则a j s 为f 砂的d a r b d u z 变换 当p “( n ) 或。u ( n ) 时，称a k n s 系统带有u ( n ) 或。u ( n ) 约化下面的定理给出u ( n ) 或 s u ( n ) 约化的d a t b o u x 阵的构造。 3 删唧 + 宝( 曙 灯。触 | | = 州 w = = 叱辫 ， 吖 捌 p p 吩m 跏 = i & 定理3 【2 】设 为非实的复数，记a = d i 口g ( a 1 ) ，其中丸= k o 或驴令越为 ( i j 当a ：凡时向量解并且要求当, k j = i 时衅b = o 洳果他在一点成立就恒成立。记 日：( 1 。 ) ，贝n 必有d e t h 0 。令s = h a h 一1 ， ，一s = a ，一日a 日一1 贝4d a r b o u x 变 涣a ，s 保持带有u ( ，1 ) 或a u ( n ) 约化的a k n s 系统不变 在本文中讨论的可积系统始终为1 + 1 维，这里空间变量是离散的，即z = n h ( h 为单位格 子的长度) ，时间变量为连续变量，因而所讨论的方程为差分- 微分方程。在这篇文章中我 们采取的符号与文【1 2 】的相同在文 1 2 j 中，作者提出了如下形式的差分- 微分方程的 可积格子系统的l a x 对： ， 隆d o 爹 这里p = j + 五+ 冠，矿( 1 ) = 一( 岳丑) 置，叽表示妒一十l ，t ) ，只咖以及y ( 1 ) 分别表示 p ( n ，) ，妒( n ，t ) 与矿( 1 ) ( n ，t ) ，妒代表机一中不难验证下面的差分- 微分方程 羞( 皿) + ( ( 丢五矿1 j = o ， ( 6 ) 黔( h a - 1 + 蹦 的长度) 我们可以容易地推出若妒( a ) 是式( 7 ) 的向量解，那么妒( 学) 是l a x 对( 5 ) 的向 量解，反之，若妒( a ) 是式( 5 ) 的向量解，则妒( m i ) 是l a x 对( ”的向量解l a x 对 于可积格子系统d a r b o u x 变换的基本事实。下面定理所考虑的l a x 对将比l a x 对( 5 ) 更 广泛。 定理4 设工= a j + p y ( a ) = 。n ：1 矿( 。) ( a k ) 一1 + y ( 叭，这里p i v a 陋= 1 ，) ，y ( o ) 是n 与t 矩阵函数，a ( 。) ( a = 1 ，) 是复常数，是常值对角阵若g = a i s 是下 面l a x 对： i 妒+ = 三妒， 警州 的d a r b o u o ：变换，则s 满足方程： j ，s + p s 】+ ：o ， is t = f 丝l y 恤( s k ) 一- + v o ，别 守号 ，】+ 代表陋，b i + = a b b + 驯 证明：我们先推导式( a ) ： 设三= a ，+ 户由三= g + l g 一1 ，得 ( a ，+ p ) ( a i s ) = ( a ，一外) ( a ，+ p ) 我们将上述方程两边展开并且比较等式两边妒( 女= o ，1 ，2 ) 的系数，得到 并：j = j ，、：p j s = p s j 脊：p s ：s + p ( a ) ( b ) 从而推出j 6 = p + j s s + j = p + 【 别+ 根据式( 9 ) ，我们得到( p + ，卅+ ) s ：凡p ，又 由于司+ s = j s ，s j + ，所以推出 j s + p s j + ：0 下一步我们证明式( b ) 令 n 矿( ) = 矿扛n a 。) 一1 + 矿徊 a = 1 5 ( 1 0 ) 我们将式( 1 0 ) 代入方程矿g = g v + 岳g 中去，即得 即 n 洲( a k ) 一1 + 洲 ( s ) ：( a 一s ) f n 矿( a ( a k ) 一1 + 删】_ s t 矿( a ( a a a ) 一1 + 矿o ( s ) = ( a 一s ) f 矿( a 一 a ) 一1 + y 一】一 a = 1 。= l 薹弘s ) 熹+ ( 歪n 弘山( 0 ) 卅删 圣( k 洲一洲s ) 焘+ ( 圣洲一y s ) + 肟妒 n 1 n 2 三( w 忙l 刚嘲焘+ ( 三沙l 删吲w 0 通过比较项丽1 ：( a = 1 ，2 ，) 两边的系数，我们有 。矿( a ) 一矿( a ) s = a v ( a ) 一s v ( ， nn 矿( “) 一矿( o ) s = v ( 8 ) 一s v o 一s t n = 1a = 1 1 7 ( o ) ：v ( o ) 将式( c ) 与( d ) 代入( e ) ，则我们有 & = y ( a 一( a 。一s ) y ( 4 ( k s ) 一1 + v o ，s 】 a = 1q = 1 = y ( 。( s a 。) - 1 ) s a 。】+ v o ，卅 口= 1 = y 。( s k ) _ 。，别+ v o ，别 口= 1 = 【矿。( s a 。) 一1 + v o ，观口 下面的定理给d a r b o u x 阵盯一s 以显式构造 ( c ) ( d ) ( e ) 定理5 设札1 1 2 ，是不完全相等的复数令a = d i a g ( u 1 ，“2 ，t 。) ，h = h i 是l a z 对 “j 的向量解其中a = q ，以及h = ( h 1 ，h 2 ， 。) 如果d e t 日0 ，则可令s = h a h 一1 那么a ，一s 是一个d a r b o u x 阵 6 证明：根据定理的条件，我们有： 屯+ d k d 亡 啦，k + p ， f ny ( a ( u 一k ) 一1 + v i o ) h y 叫( u 一k ) 1 + a = l 将上式用矩阵h 来表示，则( 1 1 ) 式变为 h 。= ，e k + p h 婴：墨1 俨) 日 百= 石 罚忑 ( f ) 式变为风= 墨1 y ( “( s k ) 一1 日+ v ( o ) h 所以 于是由( 1 2 ) 式可推出 f 丑+ 日一t 1 姐5 7 - 日一l lu + y ( o ) 日， j 珏k h 一1 + p = j s + p ， 丝1 v ( 8 ( s k ) 一1 + y ( 0 j s + p s + = f h + 日- 1 ，h a t t 一1 】+ = ( 日+ h 一1 ) ( h a h 一1 ) 一( h a s 一1 ) + ( 日+ 日一1 ) = 1 t + k h 一1 一珏七扎h 珏h 一1 = 0 和s t = ( h a h 一1 ) = i i t a e 一h a h 一1 风口一1 = h t h ，卅口 下面的定理将给出l a x 对带有s 矿( ) ，矿( ) 约化的d a r b o u x 阵s 的具体构造。 7 ( 1 1 ) ( ，) 定理6 令c r ：( - 生f i ) r 一1 u ( ) ，y ( 1 u ( ) 以及p = i + r + r 一1 驴( n ) 继里 疗( n ) = 矿( n ) 固c = ( a l a g l ( c ，n ) ，a + a = c ，c 是一非零复麦妙，则存在d a r b o v z 阵 j s 使得经过一次d a r b o u z 变换以后声疗( n ) ，矿( 1 i u ( ) 以及驴u ( ) 证明：第一步我们先构造阵s 设a o 为一非实的复数并选取k 使得k = a o 或弦( a = i ，2 ，”) ，再选取向量满足当k 如时，有l = 扫= 0 其中茹= n h 这里+ 表示转置 共轭运算。 我们将对l a x 对( 5 ) 证明仨+ i b ，+ = 0 由于k + = ( k ，+ p 儿，则毫，+ = ( 天了+ p + ) 以及妇，+ = ( 抽j + p ) 扫，那么 + 妇，+ = ( i j + p ) ( 1 p j + p ) 妇 = 呓( ( 页a 4 ) ，+ x ：p + a o p + p + p 】如 又k 如，因此瓦= 知，z - p + a s p + = 知( 2 ，+ h u ) + 如( 2 1 + h u + ) = 4 a 口a r 注意到 p 4 p = c i ，有呓铂，+ = ( 石知+ 4 如+ c ) 呓妇= 0 类似的我们对( 7 ) 式有相同的结果 这样当我们选定离散变量的某一点使得- 妇= 0 ，则对其他点也满足 运用文 2 的方法，我们可以证明s + + s = ( 嘉+ 击) ，s = ”1 2 ，由于声= p + j ，s ) + = p + s s + ，即厅= u + s s + ，于是疗+ 疗= u + u + ( s + s ) 一( s + s ) + = 0 因此我们得到驴u ( ) 以及p = s + p s 一1 矿( ) 口 类似的我们能够对带有s 矿( ) 约化证明上述定理到目前为止我们对l a x 对( 5 ) 和 ( 7 ) 建立了带有s t r ( v ) ，v ( n ) 约化的d a x b o u x 变换。 i 应用 在这一部分我们将详细讨论当格子长度h 趋于零时，格子d a r b o u x 变换收敛于连续d a r ， b o u x 变换的问题。 8 我们知道主手征场方程( 也五一1 ) t + ( 凰置一1 ) 。= 0 具有如下形式的l a x 对： 卜 ， 尽管在形式上l a x 对( 1 4 ) 与l a x 对( 5 ) 在形式上相差很大，但下面的定理将证明当 证明：在( 5 ) 中我们令扩= 生产忍一，以及= ( a + 2 ) 一“妒这时“= ( a 十2 ) - , - 1 ( a 十 2 十 矿) 妒= ( a + 2 ) 一“( j + 意j 矿) 妒= ( ，+ 书与矿) 协d e 莘h ， 芗：霉u ， 卜嚣u ， 这里u = 忍丑，y ( 1 j = 一( 西d r ) 五 在( 1 7 ) 式中我们用 一2 代替a ，则( 1 7 ) 成为( 1 4 ) 口 设d a r b o u x 阵为g = 一日a 日，其中日= ( h 1 ，h n ) ，= ( + 2 ) 一h i ( i = 1 ，2 ，) ，雪= ( a ，b ) 我们注意到 ( k ，h n ) = ( l ，h n ) ( a n + 2 ) “ 因此h a h 一1 = 啻a 直一1 以及g = a 一直a 直 现在让我们观察一下当h 趋于零时l a x 对( 7 ) 的极限 首先l a x 对( 7 ) 可以写成如下形式： h 喇 ， j 、 。 ，。 f 1 7 ) l 警= 器妒，l 面5 瓦万1 轨 当a 固定并令h 一0 ，则( 1 8 ) 成为 j 饥= ( 1 + 矿) 妒( 1 8 ) l 也一彬q 妒 通过比较( 1 4 ) 与( 1 9 ) ，我们可以看到l a x 对( 5 ) 的极限与l a x 对( 7 ) 的极限有本质的不 在第二部分我们已经看到通过格子d a r b o u x 变换可以由已知的差分- 微分方程解得 到新的解，我们希望当原有差分微分解收敛于精确解，新的解也会收敛于精确解。 为了说明这一点我们先做一些如下准备t - 作： 引理8 设u = 垦：铲置- 1 ，y = 皿置一1 是方程俐的解以及口= 马竽矗，矿= 霓壶一1 是通过l a z 对例的d a r b o u 。变换而得到的解，若满足下面条件 1 0 r 当h 一0 ，d a r 6 d u * 阵s 的极限存在， 例s 的极限存在导数，并将此导数记为& ， ( 3 1l i m b o 譬= s 。 例l i m b 。o ( 譬k = 如， 例l i m b 。o u - = k ， f 篓豢i 玩 引理8 意味着当我们对( 疗，矿) 连续作用格子d a r b o u x 变换( 其中( 驴，矿) 是格子系统 ( 5 ) 或( 7 ) 的解) 则所得的解( 疗，矿) 也将收敛于主手征场的方程精确解。 观= ( 孑：咖) ，= ( ：幻) ， c z 。， 讥c a ，= ( ：a + 2 + 却) “e 一警一0 丽。+ 。一；却广。竿) 进一步作变换妒。( ) + 以( a ) = “( a 一1 ) ，显然矗是l a x 对( 7 ) 的解 现在我们考虑矗“，s o 的收敛性- 令如= ( a + 2 ) 一c o ( a ) ，我们仅需验证如和警 的收敛性： + 如2 牌a o 1 + ；笔r e 一譬一。葡( ，一 ) 。警) 一西- f 1 一杈) “e 干j = ( - 8 。e 一。籍0 一荭i 。一；。；) 1 i m 挚：l i l n 地坠! ! ! 二生! ! i ! 型 h ohh 0 h = 牌f q + 箍) n e 母釜 1 一塑a + 2 1 警j = ( ? 8 翥苦e 一。羔。一书謦。，。) ：曼煎螋 因此跟据引理8 ，当h 一0 ，鼠，矗，矗一1 都收敛于( 1 9 ) 的d a r b o u x 变换，类似的， 由于l i m b 。o 粕( 从1 ) 及墅掣存在，故( ，v o ) ，( 研，) ，( ，碥) 收敛于主手征 场方程精确解。特别地取n = 1 ，我们可以得到如下对应于调和映照r z + z s 矿( 2 ) 的主 c ，= i p 。；i 。一：；。，。+ 。：2 ( p 。+ q t ) ，7 = ( ：一。i 。，。+ 。，一- - i q ，c o e 2 i ( p z + q t ) ) ”乏震卜( 篆：梨i h p ) 考) 则 ：屯磊i i a l la 1 2 1 s o h a h = “。磊 d 1 1 ：抽f 知+ 2 + t 蛔 2 n e 一州 。一寿+ k l 口o i 2 l k + 2 + 却1 2 n e 印 。一古 a 1 2 ：知( 知元) ( 知+ 2 + i h p ) n ( 石+ 2 + 蛔) n e i 4 。+ 寿 4 口1 ：石- ( a 。瓦) ( a 。+ 2 m p ) n ( 焉+ 2 一却) n e i 9 。( 女。+ 古 口2 2 ：, x o f a o f 2 i + 2 一i h p l z n e i q t l 寿十焉f 如f 。i a o + 2 + i 卸p n e i 。 。一石1 d e t h = l k + 2 + i h p l 2 n e - l q t ( 壬。一寿+ 如 2 知十2 + i 蛔1 2 n e 幻。( 蚤。一寿) ( i ) ( j j ) 不为常数。( 其中q ：i + 2 + i 姊1 2 n e - l q t ( 广击) 定理9 从平凡解出发应用次d a r b o n z 变换可以得到多孤子格子解。它有下列性质：当 一+ o 。时渐近分解为女个单孤子解，并且t 一+ 与t 一一o 。时女个单孤子解依相反 顺序排列，各有其相移。 致谢我要感谢我的导师胡和生教授和周子翔教授对作者研究这一课题做了具体指导 参考文献： 1 e j b e 髂s ，s o l i t o ni nt h ec h i r a le q u a t i o n ，c o m m m a t h p h y s 1 2 81 3 1 ( 1 9 9 0 ) 2 c h g ua n dh s h u ，t h es o l i t o nb e h a v i o ro fp r i n c i p a lc h i r a lf i e l d s , i n t j m o d p h y s 35 0 1 ( 1 9 9 3 ) 3 c h g ua n dz x z h o u ，e x p l i c tf o r mo fb a d d u n dt r a n s f o r m a t i o n sf o r g l ( n ) ，u ( n ) a n d 0 ( 2 n ) p r i n c i p dc h h a lf i e l d s n o l i n e a ze v o l u t i o ne q u a t i o n s ：i n t e g z a b i l i t ya n ds p e c t r a lm e t h o d s m a n c h e s t e ru n i v e r s i t yp r e s sp a g e s1 1 5 ( 1 9 8 8 ) 组g u ，h s h ua n dz x z h o u ，d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n si ns o l i t o nt h e o r ya n dt h e i ra p p c a t i o n st og e o m e t r y , s h a n g h a is c i e n t i f i ca n dt e c h n i c a lp u b l i s h e r s1 9 9 9 5 c h g u ，o nt h ed a r b o n xf o r mo fb a d d u n dt r a n s f o r m a t i o ni ni n t e g r a b l es y s t e m ，w o r d s c i e n t i f i c ，s i n g a p o r e ，1 9 8 9 ，p p 1 6 2 5 d l e v i ，0 r a g n i s c oa n dm b r u s c h i ，e x t e n s i o no ft h ez a l e h a r o us h a b a tg e n e r a l i z e di n v e r s e m e t h o dt os o l v ed i f f e r e n t i a l - d i f f e r e n c ea n dd i f f e r e n c e - d i f f e r e n c e e q u a t i o n s ，2 1n u o v oc i m e n t o 5 8 a ( 1 9 8 0 ) ，5 f i 一6 6 7 d l e v i ，