（基础数学专业论文）有界自伴算子谱的序及差分集的张量积.pdf

摘要 量子逻辑是伴随着量子理论的数学公理化而发展起来的一种理论，有着8 0 年的历史和丰富的内容量子逻辑的主要内容包括两方面：研究其自身的代数 结构以及这些量子结构上的态 第一章中我们介绍了本文的一些主要内容和量子逻辑理论的发展过程 第二章的主要工作是先给出了和本文相关的一些预备知识，然后给出了谱 测度的基本概念最后给出了谱测度的一些基本的性质 第三章的主要工作是给出了作为差分偏序集无界推广的差分集，我们研究 了它的张量积问题证明了任何消去差分集和布尔代数的张量积一定存在 关键词：效应代数：有界自伴算子；谱测度；序；张量积；差分集 a b s t r a c t t h et h e o r yo fq u a n t u ml o g i c ，w h i c hh a sd e v e l o p e dd u r i n gt h ec o u r s eo ft h e m a t h e m a t i c a la x i o m a t i z a t i o no ft h eq u a n t u mt h e o r y , i sc o p i o u s ，w i t hah i s t o r y 0 f 8 0y e a r s m a i nc o n t e n to fq u a n t u ml o g i c a li n c l u d e st w oa s p e c t ：s t a t es t u d y i n g o w na l g e b r as t r u c t u r ea n dt h e s eq u a n t u ms t r u c t u r ei su p p e r i nf i r s tc h a p t e rw ei n t r o d u c e dt h i sa r t i c l es o m em a i nc o n t e n t sa n d t h e q u a n - t u ml o g i ct h e o r yd e v e l o p i n gp r o c e s s t h es e c o n dp a r to fm a i nw o r kh a sf i r s tp r o d u c e da n dt h i sa r t i c l ec o r r e l a t i o n s o m ep r e p a r a t i o nk n o w l e d g e ，t h e nh a sp r o d u c e dt h es p e c t r u mm e a s u r eb a s i c c o n c e p tf i n a l l yp r o d u c e d s p e c t r u mm e a s u r es o m eb a s i cn a t u r e a m o n gt h et h i r dc h a p t e r s d i f f e r e n c es e ti so n ek i n do fu n b o u n d e dd i f f e r e n c e p o s e r t h ee x i s t e n c eo ft h et e n s o rp r o d u c t so ft w oc a n c e l l a t i v ed i f f e r e n c es e t s a r ei n v e s t i g a t e d i ti sp r o v e dt h a tt h et e n s o rp r o d u c to fab o o l e a n a l g e b r aa n da c a n c e l l a t i v ed i f f e r e n c es e ta l w a y se x i s t s k e y w o r d s ：e f f e c ta l g e b r a s ；b o u n ds e l f - a d j o i n to p e r a t o r s ；s p e c t r u mm e n - s u r e m e n t s ；o r d e r ；t e n s o rp r o d u c t s ；d i f f e r e n c es e t s 第一章绪论 量子逻辑是当代数学和理论物理的一部分，建立在物理运算和物理检验的 基础上量子逻辑是在量子力学基础的研究中提出来的，有着8 0 年的历史和丰 富的内容量子逻辑的主要内容包括两方面：研究其自身的代数结构以及这些 量子结构上的态，即概率测度她的发展经历了三个重要阶段下面，我们先简单 介绍一下本文的主要工作 1 1 本文主要工作 设爿为一个复h i l b e r t 空间，它用来表示一个量子力学系统何上的有界 自伴算子的集合记为s ( h ) s ( “) 上的序通常是这样定义的： j 4 b 如果对于系统的每一个态来说a 的期望不大于b 的期望 我们可以认为这个序是一个数字上的序在g u d d e r 的文章( a no r d e ri o r q u a n t u mo b s e r v a b l e s ) ) 对s ) 引入了一个新序! ，可以认为它是一个逻辑上的 序这个序是这样被定义的： a ! 丑，a 在中有一个值则可以推出b 在中有一个值，其中0 不属于 在这篇文章中作者给出了这个序的各种特征，并且这个序可以由s ( u 1 上 的。产生，而不能由。产生( s ( 何) ，) 是一个偏序集，由r k a d i s e 的定理知 ( s ( h ) ，) 不是一个格而我们引入新序以后可知( s ( u ) ，5 ) 是一个近似格的一 般口正交代数在2 1 中我们就介绍了这个新序的一些特点，这和我们2 2 中一些 内容是相关的 测量的最简单和最基本的类型是l 一0 测量我们称这种二个值的测量为效 应。在希耳伯特空间中，效应是指小于恒等算子的正算子，而精确的效应指的是 以投影算子1 2 ，3 ，i i 1 3 为代表实用量子或古典测量不是绝对精确的，因此我们 必须应付由于不精确、印象或者模糊而产生的错误虽然效应代数为更好地了 解量子测量提供真知灼见，其适用性进仅被限于两个值的测量为了更加深入 的了解一般测量，即那些取值是有限或者是无限值的测量，o u d d e r b 入了一种测 量的序，在这篇文章中，研究如何使这个序应用到有界自伴算子的谱测度上去我 们有下面一些基本的定理 2 有界自伴算子的谱的序及差分集的张量积 定理2 2 1 ：v a ，b s ( 爿) ，p 4 上p b 则p “o p b s m ( n ) 定理2 2 2 ：v s ，t s ( h ) ，p 8 上p t 当且仅当s t = o 此时p sop r = p s + t 定理2 2 3 ：v s , t s ( h ) ，p 8 ，p t s m ( u ) ，p 5 f 盯当且仅当尸8 ( ) p r ( ) ，o 不属于，a 留( r ) 引理2 2 4 ：如果0 i ，6 p ( “) ，a l a 2sa 3 ，b l 5 2sb 3 ，且啦上 瓯，i = 1 ，2 ，3 ，t h e n v 啦上v 瓯 定理2 2 4 ：i fp s , s m ( 咒) 满足尸岛尸岛p 岛则v p 最存在 第三章的主要工作是给出了作为差分偏序集无界推广的差分集，我们研究 了它的张量积问题，证明了任何消去差分集和布尔代数的张量积一定存在我们 有下面一些基本定理 3 2 2 定理设两个消去的差分集p 与q 都有充分的测度系统则p 与q 的张量积p o q 存在，并且对于( “) a ，存在唯- - 的 a l 度p v q ( p q ) ， 使得对于所有的0 ，q ) p q ，成立 p o 晒圆q ) = p v c q ) 3 2 3 定理 设p 与q 为两个消去的差分集则p 与q 的张量积存在的 充分必要条件是：存在一个消去的差分集厶并且对此消去的差分集厶存在一 个双态射阮：p q 三 3 2 5 定理设嚣为一个布尔代数d 为一个可消去的差分集则8 和d 的张量积存在 1 2 相关背景 关于量子逻辑的研究，可以追溯到i 0 0 多年前1 9 0 0 年，在法国巴黎举行的 第二届国际数学家大会上，h i l b e r t 发表了他关于2 3 个公开数学问题的历史演 讲他的第六个问题是一个数学物理问题，其内容是关于量子力学的数学基础， 具体表述如下： 第一幸绪论3 能否象几何一样，用为数不多的几条物理公理来描述一个尽可能大的物理 体系 这个问题直到2 0 世纪3 0 年代才有了突破性的进展 1 9 3 3 年，k o l m o g o r o v 提出了一个概率模型的公理体系，并给出了概率论的 公理化定义，即 1 2 1 定义( 【8 】) 设q 为一个集合，一4 是q 上的小代数或布尔口一代数 如果a 上集函数p ：a 一 0 ，1 】满足 ( p 1 ) p ( o ) = 0 ( p 2 ) p ( n ) = i ， ( p 3 ) 对于互不相交的 a h a ，若u a a ，则p ( u i a ) = i p ( a t ) 那么称p 是一4 上的一个概率 1 9 3 6 年，b i r k h o f f 和v o nn e u m a n n 将每个量子力学系统看作h i l b e r t 空间 7 - 上的所有闭子空问全体构成的集合l ( 7 - ) ，而量子力学的中心任务是描述 l ( 7 - ) 中元素问的逻辑关系及其统计行为，即确定下面意义下的量子概率： 1 2 2 定义( 【1 】) 设咒为一h i i b e r t 空间，p ：l ( 7 - ) 一【0 ，1 】是一个映射 满足下列条件： ( q p i ) p ( o ) = 0 ( q p 2 ) p ( u ) = 1 ( q p 2 ) 对于两两正交的 l i k l ，有p ( u t 厶) = 。p ( 厶) 则称p ：l ( u ) 一 0 ，1 1 是l ( n ) 上的一个量子概率( 或概率测度，态) b i r k h o f f 和r o l ln e w m a n n 的论文被看作是一种新的理论：量子逻辑诞生的 标志，量子逻辑理论的发展也由此进入了第一阶段从它的诞生到今天，已经有 8 0 年的历史了 1 9 5 7 年，哈佛大学教授g l e a s o n 在他的论文( ( m e a s u r e sd 临t h ec l o s e ds u b s p a c e so lah i l b e r ts p a c e 里成功地给出了量子测度的数学表示，这就是著名 的g l e a s o n 定理，它是一个有广泛应用的深刻结果： 1 2 3 定理若咒是一个维数不小于3 的可分h i l b e r t 空间，p 为p ( “) 上的概率测度，那么存在一个迹类算子t b ( 秆) ，使得对每个p p ) ， 4 有界自律算子的谱的序及差分集酊张量积 卢( 尸) = t r ( t p ) p ( 是最重要的一类量子逻辑。g l e a s o n 定理给出了正交模格p ) 上概 率测度p 的具体表达式，也给出了p ( h ) 上的态( 即概率测度) 与b ( 咒) 中迹类 算子的一一对应关系 g l e a s o n 的论文是量子逻辑发展到第二个阶段的标志1 9 6 8 年，v a r a d a r a j a n 出版了专著g e o m e t r yd ，q u a n t u mt h e o r y ) ) ，极天地刺激了这一理论的发展 量子逻辑理论发展的第三个重要阶段是2 0 世纪9 0 年代 1 9 9 4 年，k o p k a 和c h o v a n e c 引入了一种被称为差分偏序集的量子逻辑模 型差分偏序集是含有一个被称为差运算的部分二元运算的偏序集。这种结构 同时反应了一个命题系统的代数观念和模糊观念，该结构第一次将不可精确测 量的量子现象引入到量子逻辑理论的研究中 下面是差分偏序集的定义： 1 2 4 定义( 1 3 】) 设( d ，0 ，1 ) 是一个有最大元l 和最小元0 的偏序集， e 是定义在( d ，) 上的一个部分二元运算，使得b e 有定义当且仅当a b ， 并且满足下列四条公理： ( p d l ) b e a 曩 ( p d 2 ) b e ( b e0 ) = a ( p d 3 ) ( c eb ) s ( c eo ) ( p d 4 ) ( c o a ) e ( c eb ) = b e a 那么( d ，e ，0 ，1 ) 称为是一个差分偏序集。 我们给出差分偏序集的例子： 1 2 5 例( 【1 3 】) 设x 是一个非空集，s ( x ) 是x 的所有子集构成的集合 如果我们将集合论中的集合的差运算作为s ( x ) 中的部分运算e ，且将集合包 含关系作为s ( x ) 中的偏序，那么 ( x ) ，s ，e ，o ，x ) 是个差分偏序集 几乎在k o p k a 和c h o v a n e c 引入差分偏序集的同时，f o u l i s 争b e n n e t t 独立 地给出了一个被他们称为效应代数的量子逻辑结构 下面是效应代数的定义 第一幸绪论 5 1 2 6 定义( 【3 】) 设( l ，o ，0 ，1 ) 为一代数系统，其中l 为一集合，0 和1 是 l 中的两个特殊元，o 是l 上的一个部分二元运算，满足下列条件： ( e 1 ) 交换律：若p 0q 有定义，则q o p 有定义，且p 0q = q o p ( e 2 ) 结合律：若q o r 与p o ( q 0r ) 有定义，则p o q 与( p 0q ) o r 有定义， 且p o ( q or ) = 0 0q ) 0 r ( e 3 ) 正交补德：对每个p l ，存在唯一的q l ，使得p oq 有定义，且 p o q = 1 ( e 4 ) 0 - 1 律：若1 0 p 有定义，则p = 0 那么( 工，o ，0 ，1 ) 称为是一个效应代数 设( 厶o ，0 ，1 ) 是效应代数在五上定义一个二元关系如下 p sq 当且仅当存在r 上使得p 上r 且p o r = q 则是一个偏序，且对所有的p l ，0 p 1 若l 在上述偏序下还是一个 格，则称( 厶0 ，0 ，1 ) 是一个格效应代数；若l 还是全序的，则称( 三，o ，0 ，1 ) 是一 个尺度效应代数 对于差分偏序集和效应代数这两个几乎同时独立提出的量子逻辑模型，我 们感兴趣的是它们之间的关系事实上，它们之间有着极为密切的内在联系为 了说明它们之间的关系，我们需要下面的态射概念： 1 2 1 0 定义( 【3 j ) 设( e ，$ ，0 ，1 ) 和( f o ，0 ，1 ) 为两个效应代数映射 加：e + f 称为是一个( 效应代数) 态射，如果下列条件满足： ( e a m l ) 叫( 1 ) = 1 ( e a m 2 ) 若a ，b e ，n 上b ，则钟 ) 上t j ( 6 ) 且枷 o = w ( a ) o ( 6 ) 1 2 1 1 定义( 17 】) 设( p ，e ，0 ，1 ) 和( q ，s ，e ，0 ，1 ) 为两个差分偏序集 映射 ：e f 称为是一个( 差分偏序集) 态射，如果下列条件满足： ( d p m l ) 口( 1 ) = 1 ( d p m 2 ) 若a ，b e ，a b ，则 ( n ) 叫( 6 ) 且 ( 6 e a ) = ( e 口( o ) 下面的定理说明了差分偏序集和效应代数是等价的： 6 有界自律算亍的谱的序及差分集的张量积 1 2 1 2 定理( 【17 】) ( 1 ) 设( p i s ，e ，0 ，1 ) 和，e ，0 ，1 ) 是两个差分偏序 集，a ，b ，c d 在p 上定义一个部分二元运算0 ：p + p 如下： f s )o ob = c 当且仅当c eb = a 则e ( p ) = ( p ，o ，0 ，1 ) 是一个效应代数，且e ( p ) 上由。诱导出来的效应代数 偏序和p 上原有的偏序是一致的此外，对于每个差分偏序集态射h ：p - q ， 存在唯一的效应代数态射g ：e ( p ) 一e ( q ) ，使得对每个岔d ，都有 h ( x ) = 9 ( z ) ( 2 ) 设( e ，o ，0 ，1 ) 和( e o ，0 ，1 ) 是两个效应代数，a ，b ，c e 在刀上定义 一个部分二元运算e ：e f 如下： ( d ) a ec = b 当且仅当b oc = a 则d ( e ) = ( e ，s ，e ，0 ，1 ) 是一个差分偏序集，并且d ( e ) 上的偏序就是e 上由 。诱导出来的效应代数偏序此外，对于每个效应代数态射h ：e 一f ，存在唯 一的差分偏序集态射g ：d ( e ) d ( f ) ，使得对每个d ，都有 ( z ) = 9 ( z ) 下面我们来介绍一类特殊的效应代数，即所谓的正交代数，我们将看到，从 正交代数到效应代数的发展，对应的是从可精确测量的量子逻辑到不可精确测 量的量子逻辑的发展 1 2 1 3 定义( 1 1 】) 设( l ，o ，0 ，1 ) 为一代数系统，其中l 为一集合，0 和l 是l 中的两个特殊元，o 是l 上的一个部分二元运算，满足下列条件： ( 0 1 ) 交换律：若p 0q 有定义，则q o p 有定义，2 - p o 口= q 0 p ( 0 2 ) 结合律：若q 审r 与p o ( q o r ) 有定义，则p o q 与( p o q ) or 有定叉， 且p o q o r ) = 0 0g ) e r ( 0 3 ) 相容律a ：对每个p l ，pj _ p 蕴舍了p = 0 ( 0 4 ) 0 - 1 律：若1 0 p 有定义，则p = 0 那么，o ，0 ，1 ) 称为是一个正交代数， 关于效应代数与正交代数之间的联系，我们有如下的定理： 1 j 2 1 4 定理( 【3 】) 设( l ，o ，0 ，1 ) 是一个效应代数则( l ，o ，0 ，1 ) 是正交代 数当且仅当对每个p l ，有p a p = 0 上述定理中的式子p a p = 0 反映了p 与它自身的补不交，而效应代数不 满足这个性质，所以从正交代数到效应代数，对应的是可精确测量到不可精确测 第一章绪论 7 量 关于效应代数、正交代数、正交模偏序集、正交模格以及布尔代数之间的 关系，我们有下面的定理： 1 2 1 5 定理( 【3 】) 一个正交代数是正交模偏序集当且仅当它满足凝聚律 一个效应代数是正交模偏序集当且仅当它满足凝聚律正交模格等价于格正交 代数布尔代数等价于满足相容律的正交模偏序集。 由上述的定理可知，效应代数推广了在它之前出现的所有量子逻辑模型 从1 9 9 4 年效应代数( 差分偏序集) 模型的提出，到现在已经1 2 年了其 问量子逻辑理论得到了极大的发展f o u l i s 和b e n n e t t 的论文( 以及k o p k a 和 c h o v a n e c 的论丈) 可以看作是量子逻辑理论发展到第三个阶段的标志 量子逻辑对于量子物理、计算机科学和信息科学都有重要应用 1 3 张量积的发展 张量积是量子逻辑理论中最重要概念之一，两个量子逻辑的张量积可以看 作是一个耦合的物理系统到目前为止，已经有很多学者对量子逻辑的张量积的 存在性进行了研究1 9 9 3 年，f o u l i s 和b e n n e t t 研究了正交代数的张量积1 9 9 3 年， f o u l i s 和p t a k z 明= 究了正交代数和布尔代数的张量积1 9 9 4 年，d v u r e c e s k i j 研究 了差分偏序集的张量积此外，d v u r e c e s k i j 用d 测试空间的方法研究了差分偏 序集效应代数和伪效应代数的张量积1 9 9 5 年，g u d d e r $ ) f 究了s 一集的张量积 s 一集是效应代数的推广，它每个元素的补元不要求唯一g u d d e r 证- 明了任意 两个s - 集的张量积都存在2 0 0 3 年，p u l m n n o v 研究了可除效应代数的张量积 2 0 0 4 年，g u d d e r $ ) j = 究了列效应代数的张量积2 0 0 3 年，p u l m n n o v a 对 张量积作了 研究综述2 0 0 4 年，p u l m n n o v 幽7 研究了h i l b e r t 空间效应代数的张量积在第三 章，我们将研究消去的差分集的张量积的存在问题 第二章谱测度的正交和 最简单和最基本的测量类型是l 一0 测量实用量子或古典测量不是绝对精 确的虽然效应代数为更好地了解量子测量提供真知灼见其适用性进仅被限 于两个值的测量为了更加深入的了解一般测量，即那些取值是有限或者是无限 值的测量，g u d d e r ；1 入了一种测量的序在这篇文章中，研究如何使这个序应用 到有界自伴算子的谱测度上去 2 1 基本概念 设h 为一个复h i l b e r t 空间，它用来表示一个量子力学系统饨上的有界 自伴算子的集合记为s ) ，h 上满足0 a j 的有界线性算子称为效应算 子留 ) 是r 的b o r e l 子集的集合，它是一个口效应代数用e ) 表示h 上 全体效应算子构成的集合在) 上定义一个部分二元运算0 如下： a o b = a + b 当且仅当a + b i 很容易验证，( e ( 舛) ，o ，o ，i ，) 是一个口效应代数，p ( 笼) 是咒上的正交算子的集 合，p ( n ) e ( “) ，p ( h ) 是盯正交代数 v p , q p ) ，我们可以知道p _ l q ( p + qsi ) 当且仅当p q = 0 我们将这个定义推广一下，对于a ，b s ) ，定义a 上b 当a b = 0 时， 此时： 4 0 b = a + b 我们记a 的值域的闭空间为丽( a ) ，而丽) 上的投影算子为r 引理2 1 1 ( 2 7 ) n a ，b s ( 爿) ，则下面这些等式是等价的 ( 1 ) 以上b ( 2 ) r p b = 0 ( 3 ) r - - c f f ( a ) sn f f ( b ) ( 4 ) 而而( b ) m “( a ) 1 0有界自伴算子的谱的序及差分集的张量积 ( 5 ) f 葫( a ) 上葡丽( b ) 定理2 1 1 ( 【2 7 ) ：( s ( 咒) ，0 ，o ) 是一个一般的正交代数， 我们在s ) 上引入一个序，v a ，b s ( 咒) ，若存在g s ) ，使得ao c = b ，则a 三b ，可以证明( s ) ，5 ) 是一个偏序集，v a ，01a 下面我们给出这个序 的性质 引理2 1 2 ( 2 7 1 ) ：，b s ( h ) ，则下面这些等式是等价的 ( 1 ) a ! b ( 2 ) a x = b x 忱而瓦( a ) ( 3 ) a = b p a ( 4 ) a b = a 2 引理2 1 3 ( 2 7 】) ：v a s ) ，a 是主的 定理2 1 2 ( 2 7 ) n a ，b s ( h ) ，a 三b 当且仅当p a ( ) p 8 ( ) ，其 中历( r ) ，0 不属- l - z x 定理2 1 3 ( 2 7 】) ：如果a l5a 2sa 3 ! b ，则a = v a ；存在于s ) 中，且a 在 强拓扑下收敛于a 2 2 谱测度 2 , 2 1 定义若a s ( h ) ，对应于a 的谱测度p a 是从留( r ) 映射到p ( h ) 里 的口态射，即盯态射p a ：磐( r ) _ + p ( 爿) ，如果下面条件满足： ( 1 ) p ( r ) = 1 ( 2 ) p a ( u ；) = o p “( t ) ，其中i n j = 巧， j 下面我们记有界自伴算子的谱测度的集合为s m ( 7 i ) v s ( “) ，7 是 的补集r v a ，b s ( 咒) ，p a ，p 8 s l f ( 咒) ，若i y ( p ，p 8 ) = p 4 ( o ) o p 日( 0 ，) 存在，则尸a o p 8 存在 此时当0 不属于时 ( p 4op b ) ( ) = p a ( ) op 日( ) 第二章谱测度的正交和 若0 属于时， ( p 4 0 p b ) ( ) = ( p a o p b ) ( 0 ) o w ( p a ，p b ) 我们称尸a o p 8 ：留( r ) ，p ) ，p 4 0 p b 是p “和p b 的正交和若 尸a o p 日存在，我们记作p a 上p b ，a ，b s ( 爿) 定理2 2 1 ：v a ，b s ( 咒) ，p 上p b ，别p a o p b s m ( 咒) 证明：首先我们有： ( p 4op 日) ( r ) = ( p nop 8 ) ( 0 ) ow ( p a ，p 且) = w ( p ，p b ) ow ( p a ，p b ) 7 = 1 下面为了证明p 4 0 p b 是可加的，不妨假设i 留( 腮) ，i n = 0 ，i j 若0 不属于u t ，我们有： p a o p b ( u z x t ) =p 4 ( u s t ) op 曰( o a t ) 【o p a ( t ) op 占( x t ) 】 o 尸 ( z x ) op 日( t ) 】 o ( p 4o 尸8 ) ( ) 若0 属于u t 敲们不妨认为0 属于l ，且0 不属于t ，i 1 ，则 p a o 芦( u ) = ( p a o 胪) ( u & o ) o w ( ，p b ) 7 = ( 尸 o 尸日) ( 1 0 u i ) o w ( p a ，p b ) 7 = ( p a o 矿) ( t o ) 。 。扩。矿) ( 删o w ( ，p b ) 7 1 = ( 。矿) ( - o ) o ( ，p 占) 7 0 o p b ) ( z x d i 1 = 0 ( f m 0 p 8 ) ( ) 1 2 有界自伴算子的谱的序厦差分集的张量积 证明完毕 引理2 2 1 ：v s s 似) ，p ( o ) 是自伴算子s 的零空间上的投影，f 谬缈) 是s 值 域的闭空间上的投影算子 证明：不妨记( s ) 是自伴算子s 的零空间上的投影，r ( s ) 是s 值域的闭空间上 的投影算子若s 自伴，v z 7 - 1 ，则很显然： 妒z = 0 错& ：0 设s = 厶a p s d ( a ) ，( s ) ，若s z = o 则铲。= 0 s 2 z ，z ) = o = a 2 ( p 8 ( d a ) x ，z ) = a 2 ( 尸8 ( d a ) z ，z ) j r j 0 。 ( p 8 ( 0 7 ) 。，z ) = 0 p 8 ( 0 7x = 0 z 7 i ：s x = o ) 【p 5 ( o ) 川上 反过来若p 8 ( o ，) z = o 则( p 8 ( 0 7 ) 茹，z ) = 0 铲正= 0 s x = 0 j 矿( 0 9 明i 缸何：踟= o 由上可以得出 尸8 ( o ，) 咒卜= z 7 - l ：s x = o ) ，即： n ( s ) = p 8 ( o ) 又p 8 ( 固= j = p 8 ( o ) + 尸5 ( o ，) h = p 5 ( o ) 咒。尸8 ( o ，) h 7 l f = n ( s ) t iop 8 ( o ) 爿。p 5 ( 0 7 ) “= r a n ( s ) 即： 证明完毕 r ( s ) = p 3 ( 0 7 ) 引理2 2 2 ：若，b s ) ，j 目, j a b = o 和p ( o ，) p 8 ( 0 7 ) = o 是等价的 证明：下面证明a b = 0 p 4 ( o ，) p 且( 0 ，) = 0 。4 b = 0 a b b a = 0 笙三主! 塑塑堕l ! ! v x h ，( a b 2 a z ，z ) = 0 = ( b a x ，b a x ) = j ib a z1 1 2 b a ：o ， v x r a n ( b ) ，则j 日使得o = ：b y 又a b = 0 - ，a b y = o 即a # = 0 z ( a ) - r a n ( b ) ( a ) 又r a n ( a ) on ( a + ) = 7 - i g p r a n ( a ) on ( a 1 ：h 而由前所得瓦元丽上r a n ( b ) 根据引j 9 2 2 i ：p a ( f f ) p ( o 1 ：0 p a ( f f ) p b 缈) = 0 = = a b ：0 显然 证明完毕 定理2 2 2 ：v s , t s ) ，p 3 上f 玎当且仅当s t ：0 此时卢o p 7 ：p s + t 证明：s s t = o 时根据引理2 2 2 ，p s ( 0 7 ) p 7 ( o ，) = o p s ( o ，) op t ( o ，) 是被定 义的，由定义p 8 上p 7 存在 当p 8 上p 7 存在时，则p 8 ( 0 ) op r ( 0 7 ) 确定则p 8 ( 0 ，) 尸7 ( 0 ，) ：0 根裾引理2 2 2 田= 0 下面我们来证明p 8op t ：p s + t 根据定理2 2 tp s $ p t 是一个谱袈t 度，我们不妨设p 3o p t ：p a 此对我 们只要证明a = s + t 即可 而耶耳万则j 稀，n ：l ，2 ，3 爿 使得2 拦( s + t ) 以，7 - ，n _ 1 ，2 ，3 即 p ( o ) 蚀=l i mp a ( o ) ，) ( s + t ) j 0 ，墨臻( 0 ，) 踊- + 0 唆( 柳7 ) 墨p ( o ) ，) 踊t + 盥。( o ) ，) z 。l i r a 。( 踽+ 瓯) z ， p a ( o 伽= y 1 4 有界自伴算子的谱的序及差分桌的张量积 v y 不属于r o 诫可干面，p 。( o ) = p 5 ( 0 7 ) + p 7 ( 0 7 ) = 0 p a ( o ) ，) = p 5 + 7 ( o ) p 4 ( o ) ) = p s + t ( 0 ) a = s + t p s o p t = p s + t 证明完毕 对于谱侧度同理可引入序任取，尸且s 吖) ，我们引入偏序，若存 在一个p g s m ( h ) 使得p c 0 p = p b ，月 1 p a p b 尸t 引理2 2 3 ：若v s t s ( 咒) ，p s ，p r s 彳( 咒) 则s 墨t ，当且仅当p ss 证明：当s ! 丁时，j z s ) ，使得s oz = t ，且s z = 0 根据定理2 2 2 焦 f 门有：p s 上p t ，且p s o p z = p s 。z = p r p s p t 当p 5 p t ，3 p 。s m m ) ，使得p s o p z = p r 根据定理2 2 2 ，s z = 0 占o z = s + z _ p s o p z = p 弭z = p t t = s + z s ! t 定理证毕 由引理2 2 3 ，下面的证明是很直接的 定理2 2 3 ：v s ，t s ( 爿) ，p s ，p t s m ( “) ，p s p r 当且仅当p s ( ) p t ( z x ) ，0 不属于，留( r ) 引理2 2 4 ：如果啦，阮p ( 咒) ，8 1 o , 2 0 3 ，b xs6 2 6 3 且啦上 6 ，i = 1 ，2 ，3 ，t h e n v 毗上v 玩 定理2 2 4 ：i f p 最s m ) ，其满足p 8 - s p 岛s p 岛则v 尸岛存在 证明：若历( r ) ，o 不属于，由定理2 2 3 我们有：p s l ( z x ) p s , ( z x ) , s 3 ( z x ) 所以vp s , ( z x ) 存在 定义芦( ) = vp 盅( z x ) 为证明p 8 是可加的，不妨假设1 ，a 2 留( r ) ，o 不 属于1u 2 ，且l n 2 = o 则p 8 ( z x l u 2 ) = v p s , ( z x l u a 2 ) = v p s , ( z x l ) o p s t ( z x 2 ) 】 由引理2 2 4 我们有vp s , ( z x l ) 上vp s , ( z x 2 ) 成立 又。p s , ( z x l ) o 尸最( 2 ) vp s , ( z x l ) ovp s , ( z x 2 ) 第二幸谱测度的正交和1 5 p 5 ( 1 u 2 ) = v i v 最( 1 ) 。p 最( 2 ) 】 v p 最( 1 ) o v p 最( 2 ) = p 8 ( 1 ) 0p 8 ( 2 ) 另一方面又因v 【p s ( 1 ) o 【p s , ( a 2 ) 1 p s , ( a 1 ) o p s i ( a 2 ) 】对于所有的功成立 所以v p & ( a 1 ) op 最( 2 ) 】v p s ( a 1 ) op 曲( 2 ) 】= 【v l p s , ( a 1 】o p 毋( 2 ) 同样地： v p 袅( a 1 ) o p s , ( 2 ) 】 v 。p s , ( a 1 ) 】o v ，p s ，( a 2 ) 】= p s ( 1 ) o p 5 ( 2 ) 即p 5 ( a 1 u 2 ) p 3 ( 1 ) op s ( 2 ) 所以p 5 ( 1 u 2 ) = p 8 ( 1 ) o 尸8 ( a 2 1 而且很明显的是当1 2 3 ，o 不属于 ， = 1 ，2 ，3 则p 8 ( v t ) = v p 5 ( 厶) 此时p s 是在0 上是可加的 最后我们定义p 8 ( o ) = 【p s ( o ，) 】很明显p 5 可以扩充为s m ( n ) 中的一个 值p t 由定理2 2 3 ，我们有p t = vp s 定理证毕 第三章差分集的张量积 在这一章中我们引入了差分集的基本概念，研究了可消去差分集和布尔代 数的张量积存在问题，得到了消去差分集张量积存在的充分条件下面我们先来 介绍一些基本概念 3 1 基本概念 3 1 1 定义( 3 0 】) 设三为一个非空集合，e ：l l 工是l 上的一个 部分二元运算，满足下列三条公理： ( d 1 ) 对于任意的o l ，o o o l ，并且我们记o ea = 0 。 ( d 2 ) 若a ，b ，n eb l ，则n o ( a eb ) l 且o e ( a eb ) = b ( d 3 ) 若a ，b ，c ，a eb ，b oc l ，则a ec l 且( o ec ) o ( a eb ) = b e c 那么称( l ，e ) 为一个差分集为方便起见，我们也称l 是一个差分集 如果对所有的o ，b l ，0 。= 0 6 ，那么我们称工是一个有零的差分集，在这 种情形下，对所有的o l ，我们记0 。= 0 3 1 2 引理( 【3 0 】) 设l 为一个差分集则 ( 1 ) 对所有的o l ，n e o 。l 且o eo 。= d ( 2 ) 若c e l ，则0 。= 0 。= 0 c e 。 ( 3 ) 若c e 口= d ，则c o d = a ( 4 ) 若c o b ，( c o b ) e a l ，则c a ，( c e a ) e 6 l 且( c e b ) e a = ( c e a ) o b ( 5 ) 若a eb = t l , e c ，则6 = c 称差分集工是消去的，如果对于n ，b ，c l ，由a e c = b e c 可以推出n = b 如果l 是一个可消去的差分集，那么在工上可以定义一个部分二元运算o 对此，我们有下面的引理： 3 1 3 引理( 【3 0 1 ) 设( 厶e ) 为一个消去的差分集在l 上定义一个部分 二元运算0 如下： d ob ：c 当且仅当c eb = o 有界自停算子的谱的序及差分集的张量积 根据减法e 的消去性，0 是良定义的，并且有下列性质： ( 1 ) 若a ，b ，a ob l ，则b 0o l 且口ob = b o a ( 2 ) 若p o q ，( p o q ) e r l ，则g o r ，p o ( q r ) l 且0 0 q ) o r = p o ( g o r ) ( 3 ) 对所有a la 00 。= a ( 4 ) 若a ，b ，a ob l ，则0 。= o b = 0 。曲 ( 5 ) 若a oc = b oc ，则b = c 由引理3 1 3 ，我们可以在消去的差分集里定义元素的有限和如下： 设二为一个消去的差分集，f = 托1 ， 为l 的一个有限序列对于 n 3 ，如果o l o o n 。一l ，( a l o o b 。1 ) o ( t n l ，归纳定叉l 中+ l l k 的和如下： a 1 0 o a 。= ( a l o - 0 一1 ) o a n 此外，若n = 1 ，则定义a 1o o o 。：= a 1 从而，对于 1 ，n ) 的任一个置换 i 1 ，i 。) 以及任何满足1s ksn 的k ， 0 1 0 o a n = a 1 1 0 o a l o oa n = ( a l o o ) 0 ( a k + l o o ) l 中的一个有限序列f = o l ， 称为是。一可和的，如果a l o a n l 在这种情形下，我们称f 有一个。一和0 ：1a i ，记为 n 0 f = o = a l o o a n 七= 1 由引理3 1 3 可知，对于一个消去的差分集( l e ) ，我们可以得到一个 消去的部分a b e l i a _ n 半群( lo ) ，并且对于( l ，o ) 中的任何一个元素a ，都有 a s = n ，我们称这样的部分a b e i i a n 半群有不同的零如果( 厶e ) 是一个有零 的消去的差分集，那么我们就可以得到一个消去的部分a b e l i a n 么半群( 厶o ，o ) 如果一个代数系统只满足差分集公理的后面两条，即( d 2 ) 和( d 3 ) ，那么我们就 称它是无任何零的如果( l ，e ) 是一个无任何零的消去的差分集，那么我们就 可以得到一个消去的部分a b e l i a n 半群伍，0 ) 我们已经知道，对于一个消去的部分a b e l i a n 么半群( p i o ，0 ) ，我们可以 在p 上定义一个部分- - l 运_ 算e ，使得对于a ，6 ，c p ，b e8 = c 当且仅当 第三章差分集的张量积 b = a oc 。可以验证，( p i e ) 是一个有零的消去的差分集如果( p j o ) 还满足引 理3 ，1 3 ，那么我们就可以得到一个差分集( p e ) 如果( p o ) 是一个消去的部 分a b e l i a n 半群，那么我们就可以得到一个无任何零的消去的差分集从而，我 们有下面的命题： 3 1 4 命题( 【3 2 1 ) 无任何零的消去的差分集等价于消去的部分a b e l i a n 半 群，消去的差分集等价于有不同零的消去的部分a b e l i a n 半群，有零的消去的差 分集等价于消去的部分a b e l i a n 么半群 我们需要下面的差分集之间的态射和双态射的概念： 设p 和q 是两