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一阶半线性双曲型方程组的精确边界能控性与能观性 摘要 本文以一阶半线性双曲型方程组混合初边值问题的整体g 1 解理论为基础，采用 直接构造的方法建立了一阶半线性双曲组的整体精确边界能控性及能观性理论，对 于相应的控制及观测时间给出了精确的估计，并揭示了精确能控性与能观性之间隐 含的某种对偶关系本文还揭示了在非自治系统的情形下，精确能控性与能观性的 对偶关系有可能会丧失 本文的具体安排如下： 首先在第一章，作者介绍了精确能控性及精确能观性的定义以及相关问题的研 究历史与现状 在第二章，作者建立了一阶半线性双曲组混合初边值问题的整体c 1 解理论作 为下一步研究的基础 在第三章和第四章，作者以第二章建立起来的整体g 1 解理论为基础，采用直接 的方法得到了一阶半线性双曲组的整体精确边界能控性和精确边界能观性。其中均 包括双侧及单侧两种情形 在第五章，作者以前两章为基础，致力于比较精确能控性与能观性的对偶关系， 并说明对非自治系统，精确能控性与能观性的对偶关系并不是绝对的，单侧能控性 与单侧能观性可能并不具有对偶性 关键词：半线性双曲型方程组，精确边界能控性，精确边界能观性，对偶性 2 0 0 0m r 主题分类：3 5 l 0 5 ，3 5 l 5 0 ，3 7 8 5 5 ，4 9 j 2 0 ，7 6 n x x ，7 6 n 2 5 ，9 3 8 0 5 中图分类号：0 1 7 5 2 7 ，0 2 3 2 e x a c tb o u n d a r yc o n t r o l l a b i l i t ya n d e x a c tb o u n d a r yo b s e r v a b i l i t yf o rf i r s t o r d e rs e m i l i n e a rh y p e r b o l i cs y s t e m s a b s t r a c t t h ep r e s e n tt h e s i sd e a l sw i t ht h ee x a c tc o n t r o l l a b i l i t ya n dt h ee x a c to b s e r v a b i l i t yf o r g e n e r e a lf i r s to r d e rs e m i l i n e a rh y p e r b o l ms y s t e m s a sab a s i s ，t h ea u t h o rf i r s te s t a b l i s h e s t h et h e o r yo nt h eg l o b a le ls o l u t i o nt ot h em i x e di n i t i a l - b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rf l r s t o r d e rs e m i l i n e a rh y p e r b o l i c 母7 s t e 璩w i t hg e n e r a ln o n l i n e a rb o u n d a r yc o n d i t i o n s t h e n b ym e a n so fad i r e c tm e t h o d ，t h ea u t h o rr e a l i z e st h eg l o b a le x a c tc o n t r o l l a b i l i t ya n dt h e g l o b a le x a c to b e e r v a b i l i t yf o rs e m i l i n e a rb y p e r b o l i cs y s t e m s s o m es h a r pe s t i m a t e so nt h e e x a c tc o n t r o l l a b i l i t yt i m ea n dt h ee x a c to b e s r v a b i l i t yt i m ea r ea l s oo b t a i n e d m o r e o v e r ， t h ea u t h o rs h o w st h ed u a l i t yb e t w e e nt h ee x a c tc o n t r o l l a b i l i t ya n dt h ee x a c to b s e r v a b i l i t y f o rs e m i l i n e a rh y p e r b o l i cs y s t e m s b u ti nt h ec a s eo fn o n a u t o n o m o u ss y s t e m ，t h ed u a l i t y m a yh el o s t ，w h i c hr e f l e c t st h ee 自e n t i a ld i f f e r e n c eb e t w e e nt h en o n a u t o n o m o n ss y s t e m a n dt h ea u t o n o m o u ss y s t e m t h et h e s i si sa r r a n g e da 8f o l l o w s ： f i r s to fa l li nc h a p t e r1 ，t h ea u t h o rg i v e sab r i e fi n t r o d u c t i o no nt h ee x a c tc o n t r o b l a b i l i t ya n dt h ee x a c to b s e r v a b i l i t y i nc h a p t e r2 ，t h ea u t h o rp r o v e st h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fg l o b a lc 1s o l u t i o n t ot h em i x e di n i t i a l b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rg e n e r a lf i r s to r d e rs e m i l i n e a rh y p e r b o l i c s y s t e m sw i t hg e n e r a ln o n l i n e a rb o u n d a r yc o n d i t i o n s h 1c h a p t e r s3a n d4 ，b a s e do nt h er e s u l to b t a i n e di nc h a p t e r2 ，t h ea u t h o ro b t a i n s t h eg l o b a le x a c tc o n t r o l l a b i l i t ya n dt h eg l o b a le x a c to b s e r v a b i l i t yf o rf i r s to r d e rs e m i l i n e a r h y p e r b o l i cs y s t e m s i n c l u d i n gb o t ht w o - s i d ea n do n e - s i d ec ，r e s p e c t i v e l y c h a p t e r5i sd e v o t e dt ot h ed u a l i t yb e t w e e nt h ee x a c tc o n t r o l l a b i l i t ya n dt h ee x a c t o b e e r v a b i l i t yf o r6 m to r d e rs e m i l i n e n rh y p e r b o l i e 哪t e n m k e y w o r d s ：f i r s to r d e rs e m i l i n e a rh y p e r b o l i cs y s t e m s ，e x a c tc o n t r o l l a b i l i t y , e x a c to b - s e r v a b i l i t y , d u a l i t y 2 0 0 0m rs u b j e c tc l a s e i f l c a t i o n ：3 5 l 5 0 ，3 7 8 5 5 ，4 9 j 2 0 ，9 3 8 0 5 c h i n e s el i b r a r yc l a s s i f i c a t i o n ：0 1 7 5 2 7 ，0 2 3 2 m 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除 了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰写过的 研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中作了明确的声明 并表示了谢意。 作者签名：竖整 日期 论文使用授权声明 知订；0 本人完全了解复旦大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此 规定。 储姥蛀竖导师躲挫 第一章绪论 近几十年，无论是理论研究或是实际应用，偏微分方程的精确能控性与能观性 的关系一直被广泛关注本文主要研究双曲型偏微分方程( 组) 整体精确边界能控性 与能观性的关系首先我们给出双曲型偏微分方程( 组) 的一些基本概念 考虑一阶半线性双曲型方程组 象+ 酢，z ) 塞= 玳舭) ( 1 1 1 ) 其中“= ( t l ，) t 是( t ，z ) 的未知向量函数， a ( t ，z ) = 出6 哼( a 1 ( t ，。) ，k 0 ，z ) ) ( 1 1 2 ) 为具c 1 元素九( t ，$ ) a = 1 ，n ) 的对角阵，且满足 ( t ，z ) 0 ，使由陋o ，t o + 刀上的适当的观测 量矿( ) ( 详见注1 3 ) 可以唯一地确定系统初值仍并且成立如下的能观性不等式 i i 妒l l c - 1 0 ，纠sc ( 1 l v l l c t t o ，c 。+ 卅+ i l h l l g t 陋。，t 。+ 卅+ i i l l c l r ( t 。 1 ) ， ( 1 1 z 2 ) 其中 ( t ) = ( h ( t ) ，k ( t ) ) ，( t ，习= ，( t ，毛o ) ，c 为仅与t o ，t 有关的正常数，则称( 1 1 1 ) ( 1 1 5 ) 及( 1 1 8 ) - ( 1 1 9 ) 连同相应的观测量是精确能观的 注1 3 讨论精确能观性时，我们恒假设k ( t ) “= 1 ，1 ) 为已知的c 1 函数，当进 行双侧观测时，观测量选为u ( t ) = ( u z ( t ，o ) ，t ，i ( t ，o ) ，t h + 1 ( t ，l ) ，t r i ( t ，l ) ) 当进 2 )、j o 1 1 1 l l 1 l ( ( 第一章绪论 行单侧观测时，若矩阵a ( t ，z ) 的正特征值个数少于负特征值个数，即n 2 m 时，观测量选为，( 力= ( t 。+ l ( t ，厶) ，t r i ( t ，l ) ) ；若矩阵a ( t ，z ) 的正负特 征值个数相等，b 口n = 2 m 时。观测量选为u ( o = ( u l ( ，o ) ，( t ，o ) ) 或者( + l ( t ，三) ，t ，i ( t ，l ) ) 注1 4 由于本文仅限于讨论在区域边界上进行控制或观测的情况，因此本文中 建立的结果是精确边界能控性及精确边界能观性，但为叙述方便起见，在下文中我 们不再强调边界控制或边界观测 关于一阶线性双曲型方程组的精确能控性、能观性及其间的对偶理论，r u s s e l l 早 在1 9 7 0 年代就进行了研究在【1 6 l 中，r u s s e l l 在l 2 函数类中采用一个抽象的框架，对 于系数不显含t ( 即系统为自治) 的一阶线性对称双曲组，在正、负特征值个数相等 的情况下，得到了完整的单侧精确能控性及能观性结果1 9 8 0 年代，l i o n s 开创性地引 入h u m ( h i l b e r tu n i q u e n e m e t h o d ) ，为研究线性双曲型方程，特别是波动方程的精确 边界能控性提供了一个一般的框架( 见1 1 5 】) l i o n s 所采用的h u m ，本质上是在弱解的 框架下，通过建立共轭问题的能观性不等式来实现原问题的精确能控性的这一里程 碑式的工作在之后的数十年被许多数学家发展和推广结合h u m 方法和s c h a u d e r 不 动点原理，z u * u a ( 【19 】“2 0 】) 给出了一些有关半线性波动方程精确边界能控性的结果 l a s i e c l m 和t r i g g i a n i ( 1 d 通过使用一个整体的逆定理，对一个抽象的半线性系统建立 了整体精确能控，并将其应用到半线性波动方程的边界控制问题中h u m 方法揭示 了线性及半线性波动方程精确能控性与能观性的对偶关系，但是它对非自治系统下 的一阶双曲型方程的情况目前还难以应用 之后，李大潜等发展了一个构造性的方法，在一般的非线性边界条件下，对二自 变数的拟线性双曲组的精确能控性建立了完整的理论在经典解的框架下。李大潜 和张秉4 f l i ( 1 a 1 ) ，李大潜、饶伯鹏和金逸( 1 9 1 ，【1 0 】) 对可化约的拟线性双曲组建立了非线 性边界条件的整体精确边界能控性接着，这些结果被李大潜和饶伯鹏( f 7 】f 8 】) 推广到 不具零特征的一般的拟线性双曲组的局部精确能控性李大潜和于立新f 1 1 1 证明了 具有零特征时要实现精确能控性，必须在相应于零特征的方程加入内部控制，而相 应于非零特征部分的控制，仍由边界控制来实现此后，李大潜( 1 4 】f 5 】) 对自治的具一 般非线性边界条件的一阶拟线性双曲组建立了局部精确边界能观性至此，在经典 解的框架下，自治的一阶拟线性双曲组具一般非线性边界条件的精确能控性及能观 性已建立了完整的理论最近。王志强在【1 7 1 中将上述结果推广到非自治双曲组的精 3 第一章绪论 确能控性揭示了与自治系统的较大差别 对一般的拟线性双曲型方程组，其大初值c a u c h y 问题或混合问题的经典解通常 在有限时间发生破裂。所以一般仅能建立初、终值均充分小的局部精确能控性及能 观性结果但是对半线性双曲型方程组在非齐次项及边界条件满足一定的假设下， 其混合初边值问题在初、终值并不充分小的情况下仍具有整体c 1 解，因此可以采用 李大潜等发展的构造方法，建立整体精确能控性( 相应地，整体能观性) 理论，包括双 侧控制和单侧控制的情形( 相应地，双侧观测和单侧观测) ，同时对精确能控( 相应地， 精确能观) 时间给出精确估计通过比较精确能控性理论与精确能观性理论的相应结 果，可以清楚地揭示一阶半线性双曲型方程组的精确能控性与精确能观性之间隐含 的对偶关系此外，非自治双曲系统的精确能控性及精确能观性与自治系统的差别， 以及二者的非对偶性在本文中也有充分的体现 在本文的第二章中，我们首先研究带一类非线性边界条件的一阶半线性双曲组 混合初边值问题整体c 1 解的存在唯一性为了研究整体c 1 解我们要将局部g 1 解关 于时间t 进行延拓，为此我们要用特征线法验证对于任意的0 0 ，混合问题( 1 1 1 ) ，( i i 5 ) 及( 1 1 8 ) ( 1 1 9 ) 在区域r ( t o ，) = ( t ，z ) i t o tst o + 而，0 z q 上存在唯一的整体g 1 解进一步假设镑及! 矗鬟掣“= 1 ，n ) 关于t 变量满足整体l i p s c h i t z 条件，则对任意给定的t o 0 ，成立估计式 l l t ( t ，) l l c l u ( , 。, r o ) lsc ( 1 l 妒l l c - i o ，l i + j i h l l c - i t “t o + t o l + 1 1 1 1 0 - 【r ( 幻，t o ) i ) ， ( 2 1 3 ) 其中r t ，z ) = f ( t o ) ，而g 为一个可能与t o 及蜀有关的正常数 证明：为证明整体g 1 解的存在性，我们只需证明如下引理 引理2 1 在定理2 1 的假设下，对任何事先给定并可能相当大的t o 0 ，对任意给 定的t ( 0 t t o ) ，混合问题( 1 1 1 ) ，( 1 1 5 ) 及( 1 1 8 ) 一( 1 1 9 ) 在区域r ( t o ，印= ( t ，z ) i t ostst o + t 0szs q 上的c 1 解“= u ( t ，z ) 必满足如下的一致先验估计 i i u ( t ，- ) l h 垒0 “( t ，) 1 1 0 + 0 u 。( t ，) 1 1 0 墨c o ，v t 【t o ，t o + t i ，( 2 1 4 ) 其中0 i i o 表示关于z 【o ，引的伊模，岛为只依赖于t o ，t o 但不依赖w l 的正常数 5 第二章一阶半线性双曲组混合初边值问题的整体c 1 解 证明：令t ，；1 j 一，t j 。) ，其中 也：掣( 江1 ，n ) ， ( 2 - l _ 5 ) 韶 我们只须估计1 1 u ( t ，) 1 1 0 及1 1 w ( t ，) i i o 目p - t 类似于【5 j 及 1 3 1 ，容易得到波的分解公式 f 象圳帅) ， 等= 掣+ 耋掣州姐卜掣咖，仁， 【 a = i ，n ) 令 耻m 恶t o ) 而南， ( 2 1 7 ( i - $ ) e j t t o ，“ 并记 “( r ) =s u pi j t ( t ，) l l o ，( 2 1 8 ) w o ) =s u pl l ( t ，) l i d ( 2 1 9 ) 对任意的( t ，z ) r ( t o ，乃) ，过( t ，。) 向t 减少的方向引第r ( r = 1 ，m ) 条特征线， 有如下两种可能： ( a ) 该第r 条特征线与t = t o 交于点( t o ，嘶) ，将( 2 1 6 ) 中关于u 的第r 个方程沿此特征 线从( t o ，a ，) 到( ，z ) 积分，并注意至t j ( 1 1 4 ) ，得 i t 。( ，z ) l si i u ( 幻，) 1 1 0 + c 1 1 1 1 1 0 + q u ( r ) 打， ( 2 1 1 0 ) 中i l i i i o = i i l l c 。 r ( t o m ) l ，这里及以后g0 = 1 ，) 均表示仅依赖于如，蜀的正常数 ( 6 ) 该第r 条特征线与。= l 交于点似，l ) ，而通过( ，l ) 的第8 特征线与t = t o 交于 点，岛) 扣= m + l ，n ) 类似于( 2 1 1 0 ) ，有 i 撕( t ，z ) i k 似，l ) i + c 2 1 1 1 1 0 + e 2 ( r ) 打 ( 2 1 1 1 ) 由边界条件( 1 1 9 ) ，并注意到( 1 - 1 1 1 ) 及g i ( i = 1 ，。n ) 关于u 变量满足整体l i p s c h i t z 条 件得 t r ( 亡r ，三) j f 野( 0 ，t b 。+ i ( 0 ，二) ，t ( ，二) ) + f i h l l o s g m + l ，o x ，。l u s ( t ，l ) i + i l h l l o ， ( 2 1 1 2 ) 第二章一阶半线性双曲组混合初边值问题的整体c 1 解 其中0 h j l o = i l h l l e 。，t 。+ r o 类似于( 2 1 1 0 ) ，将方程组( 2 1 6 ) 的关于u 的第s0 = m + l ，7 1 ) 个方程组沿第s 特 征线从( t o ，凡) 到( 0 ，l ) 积分，可得 ， l t b ( o ，l ) l 曼i l u ( t o ，) 1 1 0 + c 4 l l f l l o + i 五u ( r ) d r ( 2 1 1 3 ) ，t o 将( 2 1 1 1 ) ( 2 1 1 3 ) 结合起来，就有 ，f i t r ( t ，z ) i c s l l t , ( t o ，) 1 1 0 + i i h l l o + c d i l l o + c t ( r ) d f r ( 2 1 1 4 ) ，0 再m ( 2 1 1 0 ) 及( 2 1 1 4 ) ，得 r t j 脚如功i c 训t ( 幻，- ) i i o + l l h l l o + c d l l o 十c u ( r ) d r ( r = 1 ，m ) ( 2 1 i s ) 对( t ，z ) 可以得到类似的估计，从而可得 r t t ( 力sg 7 1 1 t , ( t o ，) 1 1 0 + i i h l l o + c 7 1 1 1 1 0 + ( 乃t ( r ) 打 ( 2 1 1 8 ) j ；o 再利用g r o n w a l l 不等式，就有 “( t ) c m * x l l t ( t o ，) 1 1 0 ，i i h l l o ，0 u o ，v t l t o ，t o + 乃】， ( 2 1 1 7 ) 其中不妨设岛1 取u ( 丑，z ) 作为t = 冗时的初始值，重复上述过程，有 t o ) c g m “ l l u ( t o ，) 1 1 0 ，i i h l l o ，i i 1 1 0 ，v t 【t o + t i ，t o + 2 n 】， ( 2 1 1 8 ) 将上述过程至多重复= 【舞j + 1 次，得 ( t ) 硝m “ l l u ( t o ，) 1 1 0 ，i i h l l o ，i i 1 1 0 ，v t ，t o + 刀， ( 2 1 1 9 ) 从而得到 t ( t ) s 为m a x i i 妒0 c 。【o 。n l ，i l h l l o 。【t o + o l ，l l f l l o 。i 尉t o , r o ) l ， v t t o ，如+ 司 ( 2 1 2 0 ) 过任意给定的点( t ，$ ) r 怖，噩) ，沿t 减小的方向引第r 条特征线( r = 1 ，确， 类似于前述有如下两种可能： 在情况( d ) ，将( 2 1 6 ) 的关于t i ，的第r 个方程沿第r 特征线从怖，西) 到( t ，$ ) 积分，结 舍 7 第二章 一阶半线性双曲组混合初边值问题的整体c 1 解 ( 1 1 4 ) 瓦得 列1 1 w ，) i a 。i i 掣i i o + c - or 吣) 札( 2 1 2 1 ) 其中 i i 笪掣l l oa _ 腓s u p 乃) i 笪掣i ( 2 1 在情况( 6 ) 类似于( 2 i 1 0 ) 式有 z ) 1 l ， ( 3 工1 ) 则对于任意给定的e 1 初值妒( z ) 和g 1 终值妒( z ) ，系统( 1 1 1 ) 及( 1 1 8 ) 一( 1 1 9 ) 必可在，t o + 刀上通过双侧控制函数k ( t ) ，h o ( t ) ( r = 1 ，r n ；8 = m + 1 ， ) 实现精确能控性 证明：由( 3 1 1 ) 知存在t ，t b o 满足 f t !r 厶扛r a l i n 。o 呈她i 丸( t 。) i 出。詈 ( 3 1 2 ) 及 ，幻+ rr 厶。r a 。，i n ，。o 呈装l 丸( t , x ) l 出2 詈， ( 3 1 - 3 ) 并且t f t b 我们将分几步来构造方程组( 1 1 1 ) 在区域r ( t o ，t ) 上的g 1 解u = u ( t ，。) ，使其同时 满足给定的初始条件( 1 1 5 ) 和终端条件( 1 i 6 ) 首先，在z = o 及z = l 处选取适当的人为边界条件 z = 0 ：锄= 啦( t ) 2 = 工：1 r = 珊( t ) ( s = m + 1 ，n ) ( r = 1 ，m ) ， ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) 使得方程组( 1 1 1 ) 具初始条件( 1 1 5 ) 及人为边界条件( 3 1 4 ) - ( 3 1 5 ) 的前向混合初边值 问题在区域r l = “t ，= ) l t o t t i ，0 曼z l ) 上存在唯一的c 1 解t = u l ( t ，) 类似地，可以在z = o 及z = l 处选取适当的人为边界条件 z = 0 ：= 磊( t ) ( r = 1 ，m ) ， z = l ：t b = 吼( t ) 0 = t ，i + 1 ，t 1 ) ， 1 0 ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) 第三章精确能控性 使得方程组( 1 1 1 ) 具终端条件( 1 1 6 ) 及边界条件( 3 1 6 ) - ( 3 i 7 ) 的后向混合初边值问题 在区域舻= ( t ，z ) t 6 t t o + t ，0 z 研上存在唯一的c 1 解u = u b ( t ，z ) w t 7 t b ，区域r ，与舻不相交截，于是可以找到t o + 司上的c 1 函数，y ( t ) ，满 足 7 ： u i ( t 国山g 鲫7 ( 3 1 8 ) i 护( t ，鲁) ，t 6 t t o + t 然后交换和。的地位以 霉= 詈：“= 一y ( t ) ，t o t t o + t( 3 1 9 ) 为初始条件，结合t = o o 及t = t o + t 处r ) - n m ( 1 1 5 ) 及( 1 1 6 ) 诱导出来的边界条件 t = t o ：u r = l 办( z ) ，0 $ 署( r = 1 ，m ) ，( 3 1 1 0 ) t = t o + t ：l = 砒( z ) ，0 z s 寻( 8 = m + i ，n )( 3 1 1 1 ) ( 相应地，= 知：= ( z ) ， 芸茎2 sc ( s = m + 1 ，n ) ， ( 3 1 1 2 ) t = t o + t ：t r = 协( z ) ，鲁z 工( r = 1 ，m ) ) ， ( 3 1 1 3 ) 得到方程组( 1 1 1 ) 的左向( 相应地，右向) 混合初边值问题在区域剧= o ，z ) i t o t t o + t , 0 z 导) ( 相应地，口= ( t ，z ) i 幻t 曼t o + 正考sz 曼 ) 上的g 1 解“= ( t ，z ) ( 相应地，“= 矿( t ，z ) ) 令 t ：“( t ，z ) ： 毛彩，( 文。) r ( 3 1 1 4 ) 【矿( t ，刁，( t ，z ) 形 下面仅需说明u ( t ，功同时满足初始条i t ：( 1 1 s ) n 终端条件( 1 1 6 ) m - 3 ( t ，) 和( t ，z ) 满足相同的方程组( 1 ，1 1 ) ，相同的初始条件 z = 鲁：u = ，( t ) ，t o o 满足 ，r f 厶卧r a i 。n ，m 0 婴lm ，。) i 出2 l ( 3 删 及 f t o + t 厶 ：毒孵。舢蛾r a i n l i k ( t , x ) l 出。厶( 3 2 1 0 ) 则t p 首先，在z = 二处选取适当的人为边界条件 。= 二：t r = 伽( r = 1 ，m ) ，( 3 2 1 1 ) 使得前向混合问题( 1 1 1 ) ，( 1 1 5 ) ，( 1 1 8 ) 及( 3 2 1 1 ) 在区域r ，= t ( t ，x ) l t o ts t 0 zs 研上存在唯一的g 1 解u = ( t ，z ) 1 4 第三章精确能控性 类似地，在z = o 处除边界条件( 1 1 8 ) ( 或( 3 2 1 ) ) 外再添加适当的人为边界条件 = 0 ：t r = 磊( 力( - = 而+ 1 ，m ) ，( 3 2 1 2 ) 并在z = l 处选取适当的人为边界条件 $ = l ：= - | ( t ) 0 = m + 1 ，n ) ， ( 3 2 1 3 ) 使得方程组( 1 1 1 ) 具终端条件( l 1 6 ) 及这些边界条件的后向混合初边值问题在区域印 = ( t ，x ) l t b t s t o + 正0 z l ) 上存在唯一的c 1 解u = t 6 ( t ，。) 由 t b ，区域与r b 不相交截，于是可以找到t o + 如上的c 1 函数1 ( t ) ，满 足 1 ( t ) ： 以t o ) g 叫( 3 2 1 4 ) i 护( t ，o ) ，t 6 s t s 如+ t 且在整个区间i 。o ，t o + 刀上满足( 1 1 8 ) 式然后交换t 和z 的地位，以 z = 0 ：u = 7 ( 0 ，t o s t 如+ t ( 3 2 1 5 ) 为初始条件，结合t = t o 圾c t = t o + t 处分另l j i ：h ( 1 1 5 ) ( 1 1 6 ) 式诱导出来的边界条件 t = t o ：= p ，扛) ，0 工( s = m + 1 ，一，n ) ， ( 3 2 1 6 ) t = t o + t ：t r = 破扣) ，0 sz 曼工( r = 1 ，r ，m ) ，( 3 2 1 7 ) 可以在区域尺( o ，t ) = ( t ，= ) l t o 曼t t o + t , 0s $ 研上得到方程组( 1 1 1 ) 的右向混 合初边值问题的g 1 解u = “( t ，z ) 由于u ( t ，z ) 和( t ，z ) 满足相同的方程组( 1 1 1 ) ，相同的初始条件 茹= 0 ：让= 一y ( t ) ， t 0 t t l( 3 2 1 8 ) 及相同的边界条件( 3 2 1 6 ) 注意到( 3 2 9 ) 式，易证这一单侧混合初边值问题的最大决 定区域必包含旃由上的区间【o ，捌，于是由c 1 解的唯一性，得到 缸( o ，z ) = t ，( o ，z ) = i p ( $ ) ，0 霉s 二( 3 2 1 9 ) 从而“= u ( t 。z ) 满足初始条件( 1 1 5 ) 类似地，可以证明u = u ( t ，z ) 满足终端条件( l 1 6 ) 最后我们取 k ( t ) = ( t r ( t ，l ) 一g r ( t ，t h + 1 ( t ，l ) ，t ，i ( t ，l ) ) ) ( r = 1 ，m ) ( 3 2 2 0 ) 1 5 第三章精确能控性 作为控制函数即可( 1 ) 证毕 ( 2 ) 当n 2 m 时，可以类似讨论 注3 5 当n = 2 m 时，即a 纯z ) i h 负特征值个数相等时，定理3 2 中的( 1 ) 及( 2 ) 均可 采用 注3 6 当a 1 ( z ) 一一k ( z ) = - a ( z ) 0 j o 赢+ 高) 缸( 3 2 2 1 ) 这说明在此特殊情形( 特别对自治系统而言) ，只要控制时间足够长，总可以实现精确 能控性，并且系统( 1 1 1 ) 及( 1 1 8 ) - ( 1 i 9 ) 是否精确能控与实施控制的初始时刻t o 无关 我们仅说s , q ( 3 2 2 1 ) 的必要性当n 2 m 时，若t 不满足( 3 2 2 1 ) 式，设过( t o + t l ) 的第n 条特征线为$ = ( t ) ，并设其与。= o 交于点，o ) ，再过，o ) 作第r 条 特征线z = ( 力与t = t o 交于( t o ，) ，由于丁不满足( 3 2 2 1 ) 式，必有o ：r ( o ，捌( r = 1 ，m ) 于是，由方程( 1