（基础数学专业论文）广义解空间及其在积分c半群上的应用.pdf

广义解空间及其在积分d 半群上的应用 学科专业t 基础数学 指导教师t 李扬荣 摘要 研究方向t 应用泛函分析 研究生t 曾静( 2 0 0 1 2 7 3 ) b a n a c h 空间上抽象c a u c h y 同题及k 次积分抽象c a u c h y 问题有着非常重要的实际 作用，许多物理问题都可模式化为它们；在理论上，有些微分方程或是积分方程等也可 以用它们表示而半群理论为我们研究它们提供了强有力的理论基础，许多作者在这些 方面确实也取得了丰富的研究成果本文把研究抽象c a u c h y 问题时通常讨论的b a n a c h 空间扩大到f r e c h 舰空间，主要以广义解空间为工具，以半群理论为基础。研究推广了 的抽象c a u c h y 问题即次积分抽象c a u c h y 问题与b 次积分( 7 - 半群的关系，并证明了 次积分c - 半群提供一简单的方法，可以用以逼近广义解空问及其拓扑并给出了这样 的解空间的表示 给定闭算子a ，对于k - 次积分抽象c a u c h y 问题定义下的任意的初值我们并不能保证 “次积分抽象c a u c h y 问题的解是唯一的而要使如次积分抽象c a u c h y 问题有重要意义 的种情形就是其解是唯一的，因此我们自然会有问：什么样的初值能让k - 次积分抽象 c a u c h y 问题的解是唯一的? 这些初值的集合又有什么样的刻画? 对这些问题，我们将在 本文第二部分作探讨 首先，借助算子a 的广义七一次解空间，同时引入有界的单射且可与a 交换的算子c ， 我们证明始终可以使满足一定条件的解是唯一的，而且我们找到了 次积分抽象c a u c h y 问题的解是唯一的关于 的条件。有如下结果： 定理2 1 1 假设a 是闭的算子，七nu o ，则下列叙述是等价的t ( a ) a 生成一非退化的i 次积分d 半群； 】 ( b ) g 一1 a c = a ，且对于所有的z i m c ，a c p k 十1 有唯一解，即有i m cc 磊+ 1 此时，所求的b 次积分d 半群由下式给出。 w ( t ) e 鼠( t ) q 其中鼠( t ) 的意义见定义1 3 4 其次，作为定理2 2 1 的直接的推论，我们证明了b 次积分d 半群中对g 的选择提 供了一个简单逼近广义解空间的办法，有如下结果： 定理2 1 2 假设 是闭的算子，c aca c , k n u o ，则下列叙述是等价的； ( a ) 对于所有的霉i m aa c p , + l 有唯一解； ( b ) x m c ll + z k + l ； ( c ) a 生成一非退化的女次积分d 半群 此时，所求的缸次积分d 半群由下式给出t w ( t ) i ( t ) q 其中鼠( t ) 的意义见定义1 3 4 最后，如果 生成一b 次积分6 - 半群，我们可以用它描述玩+ l 及磊n ) 有 趣的是，在下面的定理中我们对c 的选择是无关的，即我们仍然得到同样的空间磊，有 如下结果， 定理2 1 3 如果a 生成一非退化的k - 次积分6 - 半群 ( t ) ) t o ，则 瓦+ l n = 扣x ：( t ) i n l c 且t 卜+ g _ 1 ( t ) 玉是t 卜次连续可微的) n = 0 ，1 ，2 ，k ， 及半范族t 喇硒f 。潞”嘉a 一1 ( 矧，霉磊小。， 对所有o ，b 口+ ，n 成立特别地，对竹= 0 ，1 ，k ，有c ( d ( a k + l n ) ) cz n 推论2 1 4 如果a 生成一非退化的k - 次积分半群 ( t ) ) t o ，则z k + 1 = 磊十2 = = x 且 z k + 1 一n = z x ：w 7 0 ) $ c 啊( 【o ，o o ) ，x ) n = 0 ，1 ，2 ，k 及半范族。 砌编一n 童器”杀( 矧j ，g 磊+ l - n ， 一 对所有的a ，b q + ，n 成立特别地，对n = 0 ，1 ，k ，有d c a “) c 氟+ 1 一。 关键词tf r e c h 6 t 空间。抽象c a u c h y 问题，广义缸次解空间，肛次积分抽象c a u c h y 问题，k 次积分半群，缸次积分g 半群 3 一、引言和预备知识 1 1 引言 众所周知，有界线性算子半群理论是2 0 世纪4 0 年代产生并发展起来的经过几十 年的持续发展，这一理论已经成为泛函分析的一个重要分支，越来越受到人们重视有 界线性算子半群理论在解决抽象发展的c a u c h y 问题及在对m a r k o v 过程系统研究中都成 为基本的数学工具。近年来在现代物理、运筹、分布参数系统、控制论研究、滤波和信息 处理、偏微分方程、随机过程及工程技术等各领域都得到了广泛应用在人口问题、中 子迁移理论及弹性震动问题这些具有实际背景问题的研究中都有极其重要的作用，并且 我国数学家运用有界线性算予半群理论，在这些领域取得了一批出色的成果 具体实际中，有许多问题我们都可以通过微分方程或者是积分方程将其模式化为抽 象c a u c h y 问题。所以研究抽象c a u c h y 问题就显得有重要的实际意义另一方面，算子半 群与抽象c a u c h y 问题有着非常密切的关系t 算子半群是研究抽象c a u c h y 问题有力的工 具，可以说算子半群正是为了解决抽象c a u c h y 问题而提出和发展起来的，而抽象c a u c h y 问题是算子半群的应用，因此它们相互促进、共同成长 最近由于一些具体问题的启发，人们感到有必要处理不稠定或是更一般的算子的抽 象c a u c h y 问题，因此人们引入了各种各样的算子半群但随之出现的问题是没有统一 的及能够深入讨论的框架，于是a r d e n t 见文献1 1 】 【2 】) 于1 9 8 7 年在强连续半群的基础 上提出了积分半群的理论，这一理论在很多方面实质性地发展了岛半群，拓宽了其应 用范围，它的提出立刻得到广泛的应用，大大的促进了半群理论对抽象c a u c h y 问题的 研究在继岛半群和积分半群之后， i s a o ，m i y a d e r a 见文献 3 】) ( 对七= 1 ) 和y c l i 及 s y s h a w 见文献【4 】，【5 】 又提出了一次积分d 半群的概念，这更进一步促进了我们对抽 象c a u c h y 问题的研究本文主要以广义解空间为工具。以b 次积分口半群为基础研究 缸次积分c a u c h y 问题及其与 - 次积分d 半群的关系并且给出了个关于广义解空间 的描述 1 2 文献综述 4 线性算子半群理论对抽象c a u c h y 问题的研究有着非常重要的作用许多作者应用这 些理论研究抽象c a u c h y 同题取得丰富的成果算子半群的理论在处理那些能够模式化为 这样的抽象c a u c h y 问题的情形时非常成功。比如a p a z y ( 见文献【6 】) 证明了具有非空预 解集的稠定线性算子a ，对于一定范围内的初值，抽象c a u c h y 问题有唯一解等价于a 是 某岛半群的生成元又如对更一般的闭算子且，生成一强连续半群等价于对任意的初值 z 抽象c a u c h y 问题有唯积分解但是我们知遭，为了使这些问题具有实际意义，除了抽 象c a u c h y 同题有解外，还需抽象c a u c h y 问题适定，使其解是唯一的：初值的很小的变化 导致抽象c a u c h y 问题的解很小的变化但事实往往并不是这样，为此md e l a u b e n f e l s ( 见 文献翻) 提出了解空间的概念并把研究抽象c a u c h y 闯题嘲常讨论的b a n a 庙空问扩 展到f r e c h 6 l 空间，证明了我们总可以使抽象c a 眦b y 问题适定，使其解是唯的，且借助 凸半群，用有界的单射算子g 测定抽象c a u c h y 问题究竟在多大程度上不适定这一概 念极大地简化了抽象c a u c l 玎问题与半群关系的证明在此思路下，李扬荣和朱波 见文 献【8 】 推广了1 t d e l a u b e n f e l s 所提出的解空闻的定义，提出了广义知次解空间的概念， 并用这一概念来研究推广了的抽象c a u c h y 问题，即k 一次积分抽象c a u c h y 问题。证明了 在一定条件下我们总可以使膏- 次积分抽象c a u c h y 问题适定，使其解是唯一的由于 次积分d 半群是七- 次积分半群的推广。我们自然要问我们是否也可以利用缸次积分 g - 半群，更重要的是找到这样一g 来测定次积分抽象c a u c h y 问题在多大程度上不适 定? 答案是肯定的本文沿着上面的思路，以次积分半群为基础，广义解空间为工具 来描述f r e c h 6 t 空间上如次积分c - 半群并找到关于闭算子a 的条件，在这条件下缸次 积分c a u c h y 问题对任意的属于c 的值域的初值有唯一解，其中g 为可与a 相互交换的 有界的单射算子同时我们证明k - 次积分g - 半群中对g 的选择提供了一个简单逼近广 义解空间及其拓扑的方法，因为在接下来的一节中我们会发现g 的像集的自然拓扑要强 于广义- 次解空间的拓扑 1 - 3 预备知识 为了后面章节内容叙述的方便，我们简单的介绍以下相关的概念及结果 定义1 3 1 【9 【圳_ i 次积分半群 5 f r e 矾鼠空间x 上一强连续线性算子族 ( t ) ) t o 称为x 上的一i 一次积分半群， 如果 w ( 0 h o 满足如下的条件： ( i ) w ( o ) = 0 ， ( i i ) 对所有的z x ，及 t 0 有 w ( o w ( 5 ) $ ：点 1 2 + 5 一f 5 】( t + s r ( r ) z d r ) k - t w ； s ) 一面希幔一二】( h 卜 ( ) 。； ( t ) t o 称为是非退化的如果； ( i i i ) ( ) z = 0 对所有t 0 蕴涵有。= 0 对于一非退化的- 次积分半群 ( t ) ) t o ，其生成元a 由如下定义； d ( a ) = 仁x ：存在一使得( t ) z 2 五( s ) 汹+ 矗。对t 0 成立) 及 。= ，其中 定义1 3 2 x x l ， 1 2 1 k 次积分c - 半群 f r e c h 血空间x 上一强连续线性算子族 ( t ) ) t o 称为x 上的一一次积分d 半 群，如果 ( f ) t o 满足下列条件t ( i ) 对t 0 ，有w ( t ) c = c w ( o ， ( i i ) w ( o ) = 0 及对所有的。置5 ，t 0 有 ( ( s 如= i 南旺件。一f o 。 ( t + 8 - r ) 扣1 ( r ) c z d r ； w ( 0 h o 称为是非退化的如果 ( i i i ) ( t ) z = 0 对所有t 0 蕴涵有。= 0 对于一非退化的- 次积分c - 半群 w ( t ) t o ，其生成元a 由如下定义- d ( a ) = z x ：存在一使得( t ) $ 。o ( 8 ) 可幽+ 矗对t o 成立) 一ir 及止= 弘其中k 定义1 3 3 n 算子a 的广义k 次解空间 我们考虑c a u c h y 问题 f t c 1 ( 0 o o ) ，x ) v g t ，( t ) = )【0 材, a c pa u ( t t 【t ( o ) = 喾 6 k 次积分c & u c h y 同题 且 幕黔i o ，冒 其中南，z x 如果假定抽象c a u c h y 问题a c p 的所有的解都是唯一的，也就是当$ = 0 时a c p 只 有平凡解，我们称如下定义的空间磊为算子 的广义k - 次解空间t 反= 扛x ；对于初值。，a d r 有懈 ， 其中忌 2 x 注t 我们这里所定义的广义b 次解空间显然推广了r d e l a u b e n f 融的概念当后= 1 ， 即 d r 有一次解时。此解即为a c p 的md e l a u b e n f e l 定义的温和解( 见文献吲 定义1 3 4 【埘后次发展算子七次发展算子( t ) ：磊+ l - + x 定义为 最( t ) z = t 喽+ l ( t ，窖) ，z 磊+ 1 ，七，t 0 ， 其中对于任意的初值霉x ，+ 1 ( ，妨是a g r + l 的唯一的解此时上式两_ 遛可以求积 分，并对其求积分得t ，t p s k c 0 霉2 a 瓯( 曲牙幽+ e , x 0 ，写五十1 女 ， 定义1 3 5 f r e r a 如空间磊f r 糙t 空间兹由半范族训- 忆，i i j 。，蚝o + 所拓扑 化，其中u 是x 中的半范族。| 1 。, 6 j 由下式定义t 霉“o j 三啤0 壤o ，z ) l | ，o ，b q + ，j ， t l 口，埘 其中t _ + ( f ，z ) 对于初值$ x 是a c 最的唯一的解 定义1 3 6 对于所有的女，我们记z 七qx 表示磊x ，并且磊连续地嵌入到 x ，即从磊到x 的单位映射是连续映射 定义1 3 7 我们用符号d ( a ) 表示算子且的定义域 定义1 3 8 我们记ai 缸+ ，表示a 在磊+ 1 的部分，即表示d 似i 况+ ，) = g d ( a ) n 磊+ l a x 瓦+ 1 ，且对于所有的茹d i 缸+ 。) ，ak + ，$ = a z 7 定义1 , 3 9 我t f j l lc 表示f r e c h 6 t 空间上的单射的、连续的、且由半范族硼忆) 鬻l 所拓扑化的线性算子；i m c 表示算子c 的像集；i s r a e l 表示f r e c h 自空间，它由下列半 范族所拓扑化一 $ i i t , 。q j = l lg 1 峙 对于任意茹j m g 成立 引理1 , 3 1 0 s ( a ) 解空间磊是一f r e c h 6 t 空间，且对于所有的n ，有磊q 磊+ l 叶 x ( b ) 对于 nt 3 o ) ，岛( t ) 是f r e e h 垂t 空间么十1 上由a i z 。生成的一非退化的一次 积分半群而且玩+ l 在下列意义下是最大的，即如果是一f r e c h 6 t 空庠弧使得qx 及算子ai w 在上生成k - 次积分半群，则q 旅+ l 其中s k ( t ) 的意义参见定义1 3 4 引理1 3 1 1 。1 8 假设 是f r e r 铬t 空阎x 上一闭的算子。nu o ) ，则下列叙述是 等价的一 ( 8 ) 且生成一非退化的七次积分半群l ( b ) 对所有皿x ，a d 巩1 有唯一解，即反+ 1i i x ( 作为集合) 定义1 3 1 2 我衍记d ( f o 。o ) ，x ) 表示由下列半范族所拓扑化的f r e c 2 1 醣空间t n j = 畔。h 圣( 力1 1 j ，o ，6 1 2 + ，j t e f n ，研 定义1 , 3 1 3 1 i 4 局部等度连续k 次积分c - 半群 局部凸空间y 上的强连续线性算子族 w 0 ) ) t 却称为局部等度次积分g - 半群，如 果 彬( t ) t 2 0 满足定义1 3 2 的( i ) ，( i i ) ，且对于所有的s o ，则 ( i ) a 是一闭的线性算子， ( i i ) 对所有2 d c a ) ，t 0 ，我们有( t k d ( a ) 且 a ( 母z = ( t ) 血= 爰( t 沁一若兰阢 ( i i i ) 对于所有的。x ，t 0 ，有詹w ( r ) x d r d ( a ) 及 z 阶= 呻卜芸g 。 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 证明：( i ) 由k - 次积分c - 半群的定义，a 有意义且显然是线性的，因此我们只器证明a 是闭的假设协) 望i d ( a ) ，且当翻_ + z 时，a x i 斗y ，则由于且生成k - 次积分c - 半 群，根据定义1 3 2 ，我们有 咄) 铲上。d r + 芸魄，t ，n w ( r ) a z d r 0in ( 2 3 ) ( t ) 戤= + 吾c ，t ， ( 2 3 ) j o 二 由定义1 3 1 3 及致有界原理，容易证明 ( 0 ) t o 是局部等度连续的如次积分d 半 群，因此我们可以证明当 - + o 。时，w ( r ) a z i 斗w ( r ) 可，并且此收敛对r 在0 s r 墨t 这 样的范围内是一致的因此在( 2 3 ) 中令i - m ，我们有 眦) 霉= 上脚) y d r + 蔷踟，t o ( 2 - 4 ) 由k - 次积分d 半群生成元的定义，( 2 4 ) 中证踞了$ d ( a ) 且如= v ，因此算子a 是 闭的 ( i i ) 假设$ d ( 且) ，t 0 ，则有 呻)z=，w(r)a=ar+蔷阢，a0jo ( 2 5 )矸，p ) z = + 备( k ，a ( 2 5 ) 石l 把w ( t ) 作用到( 2 5 ) 式两边，我们得 w ( o l w ( 8 ) 司2 o ( ) 【( ) 制d r + 吾【( ) o 嘲， s o ， n 由定义1 3 2 ，我们有 ，口e 彬( s ) 咿( t ) z 】2 上w ( r ) 阿o ) 触1 d r + 吾a 阿( t ) 瑚， a 0 ， 即 w 如) ( t 】$ 】= z 。y d r w ( r ) y d r + 蔷d 【- 矿( t ) 司，800 ， w ( 4 ) ( t 】$ 】= + 吾d 【- 矿( t ) 司， 8 ， j 厍： 其中1 t = w ( o a = 这就证明了( t k d ( 棚且w ( o a = = i , i = a w ( o = 我们在( 2 5 ) 式中 对8 求导，就得到( 2 1 ) 的第二个等式 ( i i i ) 对给定的霉x 及t 0 我们首先证明下面的等式t w ( a ) z ( r 如d r = 1 0 ( r ) ( ( 。一鲁c d r + 蔷z ( r ) c x a r ， s 。 ( 2 6 ) 1 1 f tl t w ( s ) 上w ( r ) z d r2 五( 5 ) ( 7 ) 。d r = 志脱卅一胁+ r 1 c x d r d r = 上上南( r 1 卧+ s ) o x d r d r z f 志( 叫阶) c x d r d r = 击( z 蚪5 一z ) 。+ s r ) 。( r ) o z d z + 蔷z 附) o x d - r ( 2 - 7 ) 同理。我们有 z 4 ( r ) ( t ) 赫= 豇i 【上f t + s 一厶i ) ( t + s - r ) ( r ) g 。打+ 芸z 。( r ) 打 = 矗l ( 件一j ( 一( z 。一z ) 】( t + s r 户w ( r ) c z d r + 芸j ( ( r ) c z d 下 ( z 8 ) 因此由( 2 8 ) 式，有 击( j ( m 一胁+ 闸( r ) 如打 = z ( r ) ( t ) 砌一筹z ( r ) o = d r ( 2 _ 9 ) 将( 2 7 ) ，( 2 8 ) ，( 2 9 ) 联立，得( 2 6 ) 其次在( 2 6 ) 中令= = j ： w ( r ) z d r 及”= w ( t ) x 一蔷有 w ( s ) z = 0 5 ( r ) 曲+ 蔷a 以 即z d ( a ) 且a z = 口由a 的定义得 f o w ( 咖d r = 哪) z 一蔷 命题2 2 2 k - 次积分6 - 半群由其生成元唯一确定 证明：假定 ( t ) ) t o ， v 币) ) t 0 皆为由a 生成的缸次积分c - 半群，且对任意的 t x ，t 0 ，有 p ( t ，z ) ：c 0 ，z ) ：w c t ) z 一订? 再1 0 则由命题2 2 1 ，我们有 肪r , z ) d r = z 聊) 。d r f o 蛹z d r d ( a ) ， 且 a j op ( 7 ，。) d ”2 p ( 。，。) 。o 注意到后p ( r ，z ) d r d ( ) ，且t - 名p ( r 。) d r 是可微的，由( 2 1 ) 式，我们有 面d 肌叫知r , x ) d r = 一鲁筹t p ( r , z ) d r忙一1 ) ! 一w ( r t ) a 正p ( r 。) d r + w ( r t ) p ( r 霉) j u = 一下( r - - j t ) k 矿- 1 厶p ( r ，甸d r( 七一1 ) f 矗”。7 ” 注意到p ( o ，善) = 0 ，w ( o ) = 0 ，对上式从0 到r 积分得 。= 一胖( r - t ) k 灿- i f t r ，。) d r 对上式求导七次有p ( t ，霉) 量0 ，结论成立 命题2 2 3 如果a 生成一非退化的b 次积分o - 半群，则当写= 0 时a c p 只有平凡 解，因此对所有的七 a d 最的解是唯一的 证明：在命题2 2 2 的证明中，由于p ( t ，霉) = o v ( t ，。) ，a 是有界的单射算子，所以对 任意的t 0 有 p ( t ，$ ) 三0 甘v ( t ，z ) 三0 又显然这样定义的”( f ，z ) 是a g r 的解，由命题2 2 2 的证明知当a 生成一非退化的女一 次积分c - 半群时，如果茹= 0 则a c p 只有平凡解，因此对所有的 n ，a c e k 的解是 唯一的 引理2 2 4 t l s l 如果 生成一“次积分d 半群，财c a c a o 证明：结论显然成立 引理2 2 5 c 1 9 1 如果 生成一女次积分d 半群，则a ：g 一1 a c 1 3 证明：由引理2 2 4 ，知a g 一1 a c ，故我们只需证明a g 一1 a g 就行了为此，假 设t h ( c 一1 a g ) ，则g 霉d ( a ) ，a c x i m c 于是存在一! ，x ，使得a d 童= c 0 ，因此 彬 ) c x 一等俨z = z ( r ) a c x d r = ( r ) c y d r = g 上( r ) 妙， 由于g 为有界的单射算子。根据定义由上式得 一 矽( t 净一矗。j o ( r ) u d r , 因此。d ( a ) ，a x = 掣，故a 3 g 一1 a c 综上所述，a = g a c 定理2 1 1 的证明：( 8 ) = 辛【b ) 由命题2 2 1 ，命题2 2 2 ，命题2 2 3 ，容易证明如果 生 成一缸次积分d 半群，则对于所有的霉h aa d r + 1 有唯一解，即就是i m cc 磊+ 1 由引理2 2 4 引理2 2 5 ，容易证明如果a 生成一k - 次积分c - 半群则a = g 一1 a c ( b ) ( a ) 首先，我们证明算子族w ( t ) ；s 女( 0 c 是连续的为此，我们定义w ：x _ + d ( 0 ，o 。) ，x ) 如下： ( 彤z ) ( t ) 三( t 如罩最( t ) c 其中g ( o ，。o ) ，x ) 的意义见定义1 3 1 2 现在我们需证明这样定义的w 是闭的假定z n - + q 以及在空间g ( 【o ，o 。) ，x ) 内， 当n 时，w z 。一+ 也则c t 。磊+ l ，而且由定义1 3 4 及引理1 3 1 0 有 最( t ) g z 。= a o ( s ) c b 。d s + 蔷c k ( 2 a o ) 注意到，由于命题2 2 1 ，此时的a 是闭的线性算子，且在【o ，m ) 的紧子集上s k ( t ) c x 。一 致地收敛到( t ) ，如果在( 2 1 0 ) 中让n _ + o 。，我们得 她) = 五小油+ 筹如， 这就证明了g 0 磊+ 1 以及咖( t ) = s k ( t ) c x = ( ，艮) ( ) ，即为所求因此，由闭图象定理 知，w 是有界的 对于固定的t 0 ，我们定义u t ：g ( 0 ，0 0 1 ，x ) _ + x 如下 巩，= f ( o 显然阢是连续的因此算子( t ) ：x _ x 可以改写为z w ( t ) = u t - m 且是连续的 其次，根据s k ( 0 的性质，我们不难证明 w ( t ) t o 满足b 次积分d 半群的定义的 条件( 1 ) 和( 2 ) ，因此 w ( t ) t o 是一k 一次积分g - 半群 最后，我们证明 w ( 0 h o 是由a 生成的b 次积分c - 半群由于上面的证明我们 已知 ( t ) ) t 0 是一k 次积分c - 半群，假设彳是 ( t ) t o 的生成元，因此我们只需要 证明j = a 为此我们首先假定。d ( 两，则根据k 次积分g 半群的定义，我们有 即1 z = o 。阶) 砒+ 蔷阢， = z 瓯( a ) g 压幽+ 芸 ( 2 1 1 ) 由于( 2 1 1 ) 式，我们有 最( t ) = f 鼠( s ) 汹+ 芸( 2 1 2 1 ， 其中= d k 由引理1 3 1 0 ，ai 磊+ ，是瓦+ l 上k - 次积分半群s k ( - ) 的生成元因此又由 定义1 3 4 知，( 2 1 2 ) 式证明了g z d ( ai 磊+ i ) d ( a ) 且a c ：r = 可= 口五因此，由假 设，有z d ( c 一1 a c ) = d ( a ) 且a ：c = g 一1 a c t = 磊这样就证明了彳c a 反之，令。d ( a ) 由于i m cc 磊+ 1 及c a c a c ，我们有g b d ( a | 磊+ 。) 因此 根据定义1 3 4 以及引理1 3 1 0 ，我们有 踯) = z ) a c ：r d s + 芸， 也就是 ( t ) z = o 阿( a ) 霉如+ 鲁。 由生成元j 的定义，$ d ( 厕且五= a z ，即就是彳 a ，因此a = 五这样就完成了证 明 1 5 定理2 1 2 的证明：( a ) ( b ) 由定理2 1 1 ，显然有p m 翻叶磊+ 1 ( c ) = 辛( a ) 由定理2 1 1 ，显然结论也是成立的 ( a ) = = 争( c ) 由于定理2 1 1 ( a ) = = 争( b ) 的证明，我们知道对t 兰0 ，( 舌) is k ( 0 c 是一非 退化的k 一次积分c - 半群我们只需要证明a 满足定义1 3 1 4 由引理1 3 1 0 知，ai z k + ， 是玩+ 1 上- 次积分半群s k ( ) 的生成元，因此，对于z d c a ) ，我们有c 0 磊+ l 以及 a c x = c a x z k + l ，这就证明了c x d ( a l 缸+ ，) 因此，对于t 0 ，有w ( t ) x = s k ( t ) c = d ( 缸+ 1 ) c d ( a ) 及 a w ( o x = a i 缸+ 。风( o c x = ( o a i 缸+ 。c x = ( t ) a 霸 因此证明了定义1 3 1 4 的条件( a ) 现在我们假定$ x ，则 j ( 脚灿= 上s k ( s ) c x d s d ( a i ) cd 似) 且 a z 郾扣d s 叫k 。, o s k ( s ) c x d s = 品( t ) 一备 = ( t ) z 一备， 证明了定义1 3 1 4 的条件( b ) ( c ) ( b ) 对于固定的n ，b q + 及j n ，由致有界原理， ( t ) 蚝_ ，h 是等度连 续的，因此，存在地， 0 及j 1 ，血，如使得 七 。：晶“( 。) t 峪地，蚤忙 对任意z x 成立假定。i m c 及c 分= 毛则 。j 黾+ - 2 l l 劬户t s u 剐p 国吣 1 6 0 衄c j 因此匹m ql z k + 1 定理2 1 3 的证明假设w c t ) * i m c 及t 卜g - 1 w ( o x 是连续伽次可微的，并且令 t ( t ) ic wc t ) x ，则( t ) z = c u ( t ) 是m 次可微的，且有 杀眦) z = 翥仇( t ) = g 翥) m _ o ，1 2 柚 ( 2 1 3 ) 由于a 生成k 一次积分c - 半群，我们有 a j ( 哪) 础= 州写一芸仇 汪惹到a 是团的，如果对( 2 1 4 ) 求导n 一次，我们得 a 筹哪肛杀即卜晶如 将( 2 1 3 ) ，( 2 1 4 ) 联立，我们有 a 仇卜1 ) ( ”= 仇( t ) 一i j 害 应用a = g a c ，我们得“( n - - 1 ) ( t ) d ( a ) ，且 胤_ 。1 ) ( t 一加) ( t ) - 苫南魄 因此$ z 七+ 1 叫 反之，假设茹磊+ 】一。且 ( t ) 是4 g 段+ 】一。的一解，即有 即) 柏+ 禹训( 0 ) = 。 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 令t ( t ) ；启 一t ) n - 1 v ( r ) d r ，注意到a 是闭的，如对( 2 1 5 ) 积分m 次，我们得 t ，( t ) = u ( t ) - t - 争，u ( o ) = o ( 2 1 6 ) 将g 作用的( 2 1 6 ) 两边，我们得 c u c t ) = ( g u ) ( t ) = a c u ( 0 + 磊仇，c u c o ) = o 嘏 1 7 。h。：i 耽 一 = 即t 卜仇( t ) 是k 次积分c a u c h y 问题a c p k + l 的解，具有初值c x 因此，由定理2 1 1 ， 我们有 ( 仇) ，( t ) i 鼠( t ) = w ( 句z ， 因此，( t ) z i m c 及c _ 1 ( t ) = u i ( t ) 是连续伽次可微的完成证明 定理2 1 4 的证明首先由引理1 3 1 0 及a 生成k 一次积分半群 ( t ) k o ，因此对所 有k n ，我们有磊q 玩+ 1l x ；由引理1 3 1 1 ，此时我们有z k + 1 = x ；再由引理1 3 1 5 ， 就证明了磊+ l = 级+ 2 一一x 其次在定理2 1 3 中我们令g = l 即g 为单位算子时，推论的后半部分显然是定理 2 1 3 的特例 1 8 兰、分析与思考 除了本文讨论这些问题，仍然有一些问题值得我们进一步思考和讨论。比如t 1 在本文中我们需要将空间从b a n a c h 空间扩展到f r e c h 6 a 空间，如果不做这样的扩 展又会有些什么样的结论呢? 2 尽管我们利用广义解空间我们证明k 次积分d 半群中对g 的选择提供了一个简 单逼近广义解空间及其拓扑的方法，但是一般来讲我们难以直观地构造这样的解空间， 我们究竟怎样才能实现这一目的? 3 我们知道积分半群在研究m a x k o v 链中有非常重要的作用，如对正刚的q ，在 b a n a 出空间k 上生成k 次积分半群，那对一般的q 结果又怎样? 我们能否利用解空间 的概念来讨论呢? 1 9 参考文献 【1 a r e n d t ，w o l f g a n g ，r e s o l v e n tp o s i t i v eo p e r a t o r s ，p r o c l o n d o nm a t h s o c - ( 3 ) 5 4 ( 1 9 8 7 ) ， n o 2 ，3 2 1 - 3 4 9 2 a r e n d t ，w o l f g a n g ，v e c t o r - v a l u e dl a p l a c e n a n s f e r m sa n dc a u c h yp r o b l e m s ，i s r a e lj - m a t h 5 9 ( 1 9 8 7 ) ，n o 3 ，3 2 7 - 3 5 2 3 】m i y a d e r a ，i s a o ，ag e n e r a l i z a t i o no ft h e h i l l e - y o s i d at h e o r e m ，p r o c j a p a na c a d s e x a m a t h s c i 6 4 ( 1 9 8 8 ) ，n o 7 ，2 2 3 2 2 6 【4 】y c l ia n ds y s h a w ，o ng e n e r a t o r so fi n t e g r a t e dc - s e m i g r o u p s a n dc - e o s i n ef u n c t i o n j ， s e m i g r o u pf o r u m 1 9 9 3 ，4 7 ：2 9 - 3 5 【5 1y c l i a n d s y s h a w ，i n t e g r a t e d g - s e m i g r o u p s a n d t h e a b s t r a c tc a u c h y p r o b l e m 团( p r e p r i n t ) 【6 】a p a z y , s e m i g r o u p o f l i n e a r o p e r a t o r a n d a p p l i c a t i o n t o p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s 叫】， s p r i n g e r - r l a 晦n e wy o r k ，1 9 8 3 【7 】& d e l a u b e n f e l s ，e x i s t e n c ef a m i l i 鹪，f u n c t i o n a lc s l s u l i a n d e v o l u t i o n e q n a t i o m m ，s p r i n g e r - v e r l a g ，n e wy o r k ，1 9 0 4 8 】l iy a n g - r o n ga n dz h ub o ，t h eg e n e r a l i z e ds o l u t i o ns p a c eo fa no p e r a t o ra n da u t o m a t i c w e l l - p a s e d n e s s j ，j o u r n a lo fs o u t h w e s tc h i n a n o r m a lu n i v e r s i t y ( n a t u r a l s c i e n c e ) ，2 0 0 1 ， 2 6 ( 5 ) ：5 1 0 - 5 1 5 【9 t h i e m eh r ，i n t e f a t e ds e m i g r o u p sa n di n t e g r a t e ds o l u t i o n st oa b s t r a c tc a u c h yp r o b - 1 e r o s j ，j m a t h a n a l a n da p p l ，1 9 9 0 ，1 5 5 ：4 1 6 - 4 7 7 【l o s w w a n g ，q u a s i - d i s t r i b u t i o ns e m i g r o u p sa n di n t e g r a t e ds e m i 亭0 u p 8 旧，j f a u c t a n a l ， 1 9 9 7 ，1 4 6 ：3 5 2 3 8 1 【1 1 】r d e l a u b e n f e l s ，e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s sf a m i h e sf o rt h ea b s t r a c tc a u c h yp r o b l e m s j ， l o n d o n m a t h s o c 1 9 9 1 ，4 4 ( 2 ) ：3 1 0 - 3 3 8 【1 2 】s w w a n g ，m i l di n t e g r a t e dg - e x i s t e n c ef a m i l i e s ，s t u d m a t h ，1 9 9 5 ，1 1 2 ( 3 ) ：2 5 1 2 6 6 【1 3 l u m e rg ，g e n e r a l i z e de v o l u t i o no p e r a t o r sa n dg e n e r a l i z e dg s e i n j g r o u p b j ，cr a c a d s c i ，1 9 9 0 ，3 1 0 ：5 7 7 - 5 8 7 1 4 1k u m u r ot ，s e m i g r o u po f o p e r a t o r s i nl o c a l l yc o n v e x s p a c e j ，j f u n c t a 蹦，1 9 6 8 ，( 2 ) ：2 5 8 2 9 6 【15 r d e l a u b e n f e l s ，g z s u na n ds w w a n g ，r e g u l a r m e ds e m i g r o u p ，e x i s t e n c en i 】i 翩a n d t h ea b s t r a c tc a u c h y p r o b l e m ，d i f f e r e n t i a la n di n t e g r a t e de q u a t i o n s ，1 9 9 1 ，8 ：1 4 7 7 - 1 4 9 6 1 s 1y c l ia n ds y s h a w ，i n t e g r a t e dc - s e m i g r o u p ea n dt h ea b s t r a c tc a n c h y p r o b l e m j ( p r e p r i n t l 17 】n e n b r a n d e r ，f r a n k ，i n t e g r a t e ds e m i g r o u p sa n dt h e i r a p p l i c a t i o n st ot h ea b s t r a c tc a u c h y p r o b l e m ，p a c i f i cj m a t h 1 3 5 ( 1 9 8 8 ) ，e l o 1 ，i 1 1 1 5 5 1 8 1s w w a n g ，m i k li n t e g r a t e dc - e x i s t e n c ef a m i h e s ，s t u d m a t h ，1 9 9 5 ，1 1 2 ( 3 ) ：2 5 1 2 6 6 【1 9 】h u a n gy o n g z h o n g , n o t e so nn - t i m e si n t e g r a t e dc - s e i m g r o u pa n de x i s t e n c e 五幽啊， j o u r n a lo fy uz h o u u n i v e r s i t y ( n a t u r a ls c i e n c e ) ，1 9 9 7 ，1 4 ( 3 ) ：2 9 - 4 2 t h eg e n e r a l i z e ds o l u t i o ns p a c e a n di t s a p p l i