（基础数学专业论文）限制的c型双参数量子群.pdf

摘要 本文主要对b e r g e r o n - g a o - h u 【1 4 】定义的c 型双参数量子群珥。( 5 p 2 n ) 进行研 究，构造并确定了其一组凸性p b w 型基，研究并给出了其基元之问的换位关系的详 尽刻画然后，在双参数r ，s 均为f 次单位根的时候，研究了该双参数量子群的f 次齐 次中心元生成的h o p f 理想厶，并进而构造( 有限维) 限制型双参数量子群。 p 2 n ) ， 其维数是1 2 n 2 + 2 n 对( 有限维) 限制型双参数量子群。( 5 p 2 n ) 进行研究，证明了这类h o p f 代数 是点的，利用u r 。( 印2 n ) 中的斜本原元性质，确定了两个限制双参数量子群同构的充 分必要条件，并进步证明了t i r ，。0 p 2 n ) 关于其b o r e l 子代数b 具有d r i n f e l md o u b l e 结构我们还完全确定了b 的左右积分元通过左右积分元及l h k a u f f m a n 和d e r a d f o r d 5 3 】的结论给出了这类点h o p f 代数存在r i b b o n 元的充分必要条件，即 l i r ，( 亭p 2 n ) 有d b b o n 元当且仅当z 是奇数这类新的点h o p f 代数给出的新的r i b b o n 元可以提供新的扭结量子不变量 代数闭域上有限维h o p f 代数的分类问题至今尚未解决，那么通过各种途径构 造有限维h o p f 代数的例子是很有意义的限制c 型双参数量子群为我们提供了新 的有限维h o p f 代数的例子 关键词h o p f 代数，d r i n f e l d 扭，量子化，双参数量子群，d r i n f e l dd o u b l e ，积分 元，d b b o n 元 a bs t r a c t i nt h ep a p e r ，w es t u d yt h et w o p a r a m e t e rq u a n t u mg r o u p s 。( s p 2 n ) d i s c o v e r e db y b e r g e r o n - g a o - h u 【14 】，c o n s t r u c tac o n v e xp b w - t y p eb a s i sa n dd oac r u c i a la n dh a r d w o r kt og i v ead e t a i l e dd e s c r i p t i o no ft h ec o m m u t a t i v er e l a t i o n sb e t w e e nt h e s eb a s i s e l e m e n t s t h e n , w er e s t r i c tt h ep a r a m e t e rra n dso ft w o - p a r a m e t e rq u a n t u mg r o u p s 珥。( 覃p 2 n ) t ob er o o t so f u n i t y , a n dc o n s t r u c taf a m i l yo f f i n i t e - d i m e n s i o n a lh o p f a l g e b r a s t i r ，8 ( 毒p 2 n ) o fd i m e n s i o n1 2 舻+ 2 na saq u o t i e n to f 珥。( 毒p 2 n ) b yah o p fi d e a l 厶，w h i c hi s g e n e r a t e db yt h ec e n t r a le l e m e n t s n e x t , w es h o wt h a tt h e s eh o p f a l g e b r a s 撒p o i n t e da n do f d r i n f e l dd o u b l e so f ao e r - t a i nh o p fs u b a l g e b r ab o u rr e s u l t so nt h es k e w - p r i m i t i v ee l e m e n t so fu r , j ( 量p 加) e n a b l e u st od e t e r m i n ew h e nt w os u c hr e s t r i c t e dt w o - p a r a m e t e rq u a n t u mg r o u p sa r ei s o m o r p h i c w r cd e t e r m i n et h el e f ta n dr i g h ti n t e g r a l so fba n du s et h e s er e s u l t si nc o m b i n i n gw i t h ar e s u l to fl h k a u f f m a n na n dd e r a d f o r df r o m 【5 3 】t og i v en e c e s s a r ya n ds u f l i - c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h e s eh o p fa l g e b r a st op o s s e s sar i b b o ne l e m e n t i n d e e d ，t h er i b b o n e l e m e n to ft h e s ep o i n t e dh o p fa l g e b r a sp r o v i d e san e wq u a n t u mi n v a r i a n to fk n o t sa n d l i n k s s i n c et h ec l a s s i f i c a t i o no ft h ef i n i t e - d i m e n s i o n a lh o p fa l g e b r a ss e e m sv e r yf a ro f f , i ti sq u i t eu s e f u lt oh a v ev a r i o u sm e a n so fc o n s t r u c t i n ge x a m p l e so ff i n i t e - d i m e n s i o n a l h o p f a l g e b r a s o u rr e s u l t so nr e s t r i c t e dt w o - p a r a m e t e rq u a n t u mg r o u p so f t y p ecp r o v i d e m a n yn e we x a m p l e so ff i n i t e d i m e n s i o n a lh o p fa l g e b r a s k e yw o r d s h o p f a l g e b r a , d r i n f e l dt w i s t ，q u a n t i z a t i o n ，t w o - p a r a m e t e rq u a n t u mg r o u p ， d r i n f e l dd o u b l e ，i n t e g r a l ，r i b b o ne l e m e n t 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是在我导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果据我所知，除文中已经引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写 的研究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在本文中作了明确的 说明并表示谢意 作者签名：煎羹日期：丝2 墨：垒：肜 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论文 用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的 内容编入有关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要出版保密的学位论 文在解密后适用本规定 学位论文作者签名：丝：益导师签名：= 燃 日 期严己 第一章引言 1 1 研究背景及本文主要内容结果安排 本文主要研究的是双参数量子群，它是一类h o p f 代数也是单参数量子群的自 然推广h o p f 代数的概念首先出现在1 9 4 1 年h h o p f 李群的研究工作中上世纪 六十年代中期，j m i l n o r , j c m o o r e 和m e s w e e d l e r 将它作为代数对象来研究 ( 见 6 9 ，8 2 】) 1 9 7 5 年，i k a p l a n s k y 在他的工作【5l 】中提出的十个猜想推动了 h o p f 代数的研究，近十几年来已有重大的突破2 0 0 0 年，ys o m m e r h a u s e r 给出 关于k a p l a n s k y 十个猜想的进展的综述报告 7 9 1 h o p f 代数的研究一直倍受关注， 不仅因为它在许多领域，如扭结理论、李理论等，都有广泛的应用，而且因为到目 前为止还有许多问题尚未解决个比较重要的问题就是有限维h o p f 代数的分类 问题现在在某些特定条件下已经得到一些有限维h o p f 代数的分类结果，比如对 特定的维数( 见 6 ，2 2 ，3 3 ，3 6 ，5 2 ，7 8 ，8 0 】等) ，或者要求h o p f 代数是半单的或余半 单的( 见 3 3 ，8 1 】) ，以及点h o p f 代数的些结论( 见 1 ，2 ，7 8 】) ，三角h o p f 代数 的分类结果( 见【2 3 】等) 二十世纪八十年代中期，vg d r i n f e l d 【2 0 】和m j i m b o 【5 0 】研究量子y a n g - b a x t e r 方程( q y b e ) 时发现了类可看作复半单李代数g 的普遍包络代数u ( g ) 的 单参数变形的h o p f 代数( g ) ，称为d r i n f e l d j i m b o 代数，也称为量子群( 非交换、 非余交换的h o p f 代数) ，而q = e 的情况由l u s z t i g 开始引入研究( 【6 7 】) 到目前为 止，量子群的分类问题主要有两个研究方向，( 余) 半单及点h o p f 代数由于有限 维h o p f 代数的分类问题离完全解决还有相当距离，目前更有意义的是，用不同方 法构造有限维h o p f 代数的例子 量子群的出现是二十世纪以来数学与物理学的伟大成就之一，它把许多看似无 关的数学或物理分支联系到一起，与代数群、李群李代数及其表示理论、非交换几 何理论、扭结的量子不变量理论、代数组合论、c 算子代数、h o p f 代数理论、范 畴论等有直接的联系；在物理上与量子逆散射方法( q i s m ) 、量子场可积模型理论 等都有深入的内在联系量子群作为李理论的自然延伸，它的出现丰富了h o p f 代 数的内容，一方面一系列新的方法、概念如d r i n f e l dd o u b l e ，d r i n f e l d 扭等应用到 第一章引言 h o p f 代数的研究中，为有限维h o p f 代数提供新的构造途径；另方面，量子包络 代数及2 上圈扭形变等提供大量新的h o p f 代数的例子所以量子群的发展也促进 了h o p f 代数理论的新发展 九十年代初，ppk u l i s h 【5 7 ，n r e s h e t i k h i n 【7 4 ，m t a k e u c h i 【s 3 ，d u ，p a r s h a u 和w a n g 【1 9 ，w c h i n 和m u s s o n 【1 7 】等人研究了双参数量子群或多参数量子群， 他们的工作主要集中在量子化函数代数或是a 型的量子包络代数著名的李理论 学家g b e n k a r t 和s w i t h e r s p o o n 在研究d o w n - u p 代数时得到一类h o p f 代数结构 ( 见【9 】) ，它同构于特殊线性李代数尊【3 的双参数量子包络代数。( 5 【3 ) ( r ，s 不 是单位根) 的子代数，这个子代数的d r i n f e l dd o u b l e 就是依赖参数r ，s 的量子群 珥，。( 蓐【3 ) 由此，g b e n k a r t 和s w i t h e r s p o o n 给出了相应于一般线性李代数g k 和 特殊线性李代数皇k 的双参数量子群珥。( g 【n ) 和巩，。( 覃k ) 【1 0 珥，。( g k ) 作为代数 同构于m t a k e u c h i 【8 3 】给出的代数一，但是作为h o p f 代数，它有反余代数结 构到目前为止，a 型李代数的双参数量子包络代数的研究已经取得丰富成果，见 【1 0 ，ll ，1 2 ，1 3 1 特别地，g b e n k a r t 和s w i t h e r s p o o n 在 1 3 】中处理了，- ，s 为单位 根的情形，得到了一族有限维的点h o p f 代数 2 0 0 4 年胡乃红及其合作者b e r g e r o n ，郜云在把g b e n k a r t 和s w i t h e r s p o o n 关 于a 型双参数量子群的研究推广到了b ，c ，d 型单李代数上，给出了b ，c ，d 型单 李代数的双参数量子群的定义，及其d r i n f e l dd o u b l e 实现( 【1 4 】) ，并在， s _ 1 不为单 位根的时候，描述了它们的权模( 【1 5 】) 此后，胡乃红与师前，白晓棠继续研究发展 了例外型g ，e 型的双参数量子群的相关理论( 【3 9 ，4 】) 近来，双参数量子群的理论已经推广到了仿射型胡乃红，r o s s o ，张红莲找到 了仿射a 型的双参数量子群的结构定义，得到了其双参数情形下的d r i n f e l d 实现形 式，并首次提出并发展了量子仿射l y n d o n 基的定义及相应理论( 【4 3 】) ) 此后，胡乃红 与张红莲进一步发展了双参数量子仿射代数，( 白) 的顶点算子表示理论( 4 4 ，8 4 】) 最近，胡乃红、裴玉峰利用e u l e r 型统一引入一类双参数量子群珥。( 纵) ( 见 【4 0 ，4 1 】) ，其中a 是任意的可对称化的广义c a f t a n 矩阵而且，这类双参数量子群 以，。( 似) 在某种意义上扭等变于单参数量子群 应该特别提出的是，双参数量子群与标准的单参数d r i n f e l dj i m b o 量子包络代 数至为关键的不同体现于对其l u s z t i g 对称的探究中【1 4 】中的定理3 1 揭示了只有 2 第一章引言 当r a n k ( g ) = 2 时，在珥，。( g ) 与玩一t ，一( 9 ) 问存在l u s z t i g 对称，而当r a n k ( g ) 2 时，l u s z t i g 对称存在的充分必要条件要求珥。( g ) 必有r = g = s 一，这就使得在 双参数的情况下，不能利用l u s z t i g 辫子群作用方便地写出其一组凸性的p b w 型 基，这是双参数情况下的个困难值得注意的是，量子化情况下的p b w 型基的 构造依赖于正根系的凸性序的选择以及按照好的l y n d o n 词序添加q 一括号积的方式 ( 关于这一点，双参数量子群的一组凸性的p b w 型基的给出，a 型可见【7 】，e 型见 【4 】，b ，d 型见 4 6 ，4 】，g 2 见【4 8 9 我们注意到k a r c h e n k o 在【5 5 】中给出的多参数情 况下a ，b ，c ，d 的一组p b w 型基的描述并不能完全一致地用于所有的双参数的情况 【4 2 本文的第个主要结果就是具体给出了c 型双参数情况下的一组凸性p b w 基 的构造，计算并给出了基元之间的换位关系，这构成了本文的个主体部分 可以说，双参数量子群有着丰富的结果，对h o p f 代数等理论发展有重要意义 特别当r 8 为单位根情形时的限制双参数量子群提供了很多有限维新的点h o p f 代 数的例子，因此研究限制双参数量子群具有重要意义【11 】在r ，s 均为单位根的情 况下，给出了限制a 型双参数量子群的结构证明了它是有限维点h o p f 代数，并且 证明了其在一定条件下是有r i b b o n 元的，这也成为进一步研究双参数量子群在单 位根的情形下的表示理论的起点王秀玲，白晓棠受其启发，在其博士论文里对限 制b 型以及限制d 型的双参数量子群进行了相关研究( 【5 ，4 6 9 ，描述了限制b ，d 型 双参数量子群的结构，确定了其积分元r i b b o n 元 本文的目的是刻画限制c 型双参数量子群t i r 。( 量p 2 n ) 的结构，给出它的一组凸性 的p b w 型基，并给出这组基元之间的换位的详尽刻画它是类有限维点的h o p f 代数，并完全确定了对于扭结量子不变量研究有直接构造价值的r i b b o n 元的具体 形式限制双参数量子群l l r ，。 p 。口) 类似于特征p 域的李代数的限制包络代数以及 q 为单位根时的限制单参数量子群u q ( g ) 6 4 】( 它们在素特征域上代数群、李代数的 表示理论中是很重要的) 由于c 型的d y n k m 图不是单边情况，确定正根系凸性序 l y n d o n 树又有分叉，在处理其p b w 型基元之间的换位关系时，比处理b ，d 型的情 况要复杂得多，这是本文一个很大的难点 本文主要内容安排如下z 在第二章中介绍了关于双参数量子群的基础知识，包括定义、其上的h o p f 代 数结构等 3 第一章引言 第三章是本文的主体部分我们限制参数r ，8 为单位根，通过计算验证代数 珥，。( g p 2 n ) 的中心元，证明了由这些中心元生成的理想厶是h o p f 理想由代数 珥，。( 童p 2 n ) 商去理想厶得到限制双参数量子群。( 砷2 n ) ，它是一类有限维点h o p f 代数，维数是1 2 ( n 2 + , 0 第四章我们利用u r , 。( 与p 2 n ) 的斜本原元性质，确定了两个限制双参数量子群同 构的充分必要条件 第五章说明此类量子群可实现为其h o p f 子代数b 的d r i n f e l dd o u b l e ，这里b 是 由元素色，井1 ( 1 n ) 生成的u = u r ，。( 与p 2 n ) 的b o r e l 型h o p f 子代数 最后两章计算了这类量子群的左右积分元，给出r i b b o n 元存在的充分必要条 件 1 2 基础知识 在本节中，我们只简述关于李代数及量子群的某些概念和结论，更多的内容或 结论李代数方面内容可以参考【4 5 ，6 s ，量子群和h o p f 代数方面的内容可以参考 4 9 ，5 6 ，6 3 ，8 2 设4 为域f 上的向量空间我们记r ：4 0 a _ 4 0 4 为扭映射，即r ( x p y ) = yoz ，vz ，y 4 ；设f ：4o o4_4 04o4 是线性循环置换映射，即 ( zoy 圆z ) = yoz 圆z ，vz ，y ，名 定义1 1 设一4 为域f 上的向量空间，若有线性映射m ：4 固4 _ 4 和7 ：f _ a 分别称作乘法和单位，使得 mo ( m i d ) = mo ( i d 圆m ) ， m o ( 叩oi d ) = i d = mo ( i do 叩) 成立，则称4 为域f 上的代数 定义1 2 设4 为域f 上的向量空间，若有线性映射：a 一4 0 4 和：a f ， 分别称作余乘法和余单位，使得 ( 固i d ) o = ( i d 圆a ) 0 ， 4 第一章引言 gqi d ) oa = ( i doe ) oa 成立，则称一4 为域f 上的余代数 设a 和8 是余代数若线性映射妒：4 _ 8 满足a bo 妒= ( 妒ot o ) o a 和 a = e 8o 妒，则称妒是余代数同态张量积余代数4o 召是在张量积空间4 圆8 上赋予了余乘法内8 ：= ( i d 圆f 圆i d ) o ( a aoa b ) 和余单位的且：= aoe 8 所谓余反余代数a c 唧是在向量空间4 上定义了新的余乘4 一：= 丁o a 和余 单位“的余代数余代数4 称为余交换的，如果roa = a 如果余代数a 的 子空间8 满足z x ( b ) 召 b ，则称召为一4 的子余代数如果a 的子空间z 满足 口) 一4oz + z 圆4 ，并且e ( 刁= 0 ，则称z 为a 的余理想 定义1 3 设4 为域f 上的代数和余代数，若对任意a ，b a 有 a ( a b ) = ( o ) ( 6 ) ，6 ( a b ) = g ( 口) ( 6 ) ， 6 ( 1 ) = l 圆1 ，( 1 ) = 1 成立，则称么为域f 上的双代数 双代数同态及它的双边理想都是自然的一个非零元g 几如果满足a ( g ) = gpg ，则称g 为群像元若对4 中元素z ，有6 ( x ) = 茁o1 + 1 圆z ，则称z 为本原 元若( z ) = zog + h oz ，其中g ，h 为群像元，则称z 为斜本原元 定义1 4 设么为域f 上的双代数，若存在一个线性映射s ：a _ a 称为4 的 对极，使得 mo ( so i d ) oa = 叩0 = mo ( i dps ) oa 成立，则称4 为域f 上的h o p f 代数 线性映射妒：a 一召称为h o p f 代数同态，若妒是双代数同态，并且妒。勘= s b 09 下面我们给出关于李代数的单参数量子化包络代数的一些基本概念设g 是复 半单李代数，西是g 的根系假设f 是特征不为2 的域( 有时要假设f 是特征不 为3 的域) 令q 为个固定不为零的复数，并且对任意的口西，有9 2 如1 ，其中 5 第一章引言 丸= 蚣2 1 ，2 ，3 ) 记圣的基为i i 对任意o l 1 i ，我们定义 啦= 产= g ( a ，a ) 2 ， 定义口整数m 为 m q a 窑等= 筹， 定义【仇】弛! = 【叫口口【m 一1 】如【1 】如，( 渤口口= 硐埒，注意在根系为单边型的 情形我们通常可以简记口口为口 定义1 5 量子化包络代数( g ) 是域f 上由元素b ，死，耽和磁1 生成的代 数，满足下面的定义关系式， 0 r 1 、) k o k 谯= k 僵k = 1 k 傀k b = k b k a ， ( r 2 ) 昂k 1 = 产卢昂， ( r 3 ) j 毛昂j e l = q - ( a ，p ) 昂， ( r 4 ) 玩昂一乃鼠= 锄瓮三等， ( 删1 喜( _ 1 ) 8 ( 1 ) 炉昂蛾= 0 ( 删1 喜( - 1 ) 。( 17 ) 弧护一昂只扎 其中a 和p 为中任意元，口筇= 2 ( 口，p ) ( 口，a f ) 量子化包络代数( g ) 是由vg d r i n f e l d 和m j i m b o 研究量子y a n g - b a x t e r 方 程时提出的，通常称为d r i n f e l d - j i m b o 型量子群在( g ) 上存在唯一的h o p f 代数 结构，其余乘，余单位s 和对极s 定义如下。 ( 鼠) = bo1 + 玩圆鼠，( r ) = rok 1 + 1or ，( ) = 玩。玩， s ( 取) = 0 ，( 只) = 0 ，g ( 托) = 1 ， s ( 玩) = 一簖1 既，s ( r ) = 一f 口玩，s ( 耽) = k 1 如【4 5 】中定义j d = 口印郦= - r 口胗o7 ，即j d 为所有基本权的和或所有正 根和的一半对任意口i i ，有( 2 p ，a ) = ( o t ，口) ，并且 s 2 ( 仳) = 磅乱，vu ( g ) 6 第一章引言 可以用归纳法证明，对任意0 f i i 和任意非负整数，我们有下面两个等式t r ( e ) = t = 0 r a c f ：) = t = 0 e 叫磁。砭， 砭。最卅g g 由h o p f 代数定义中的关系式m 0 ( s i d ) 0 a = 叩o g = m o ( i d o s ) 0 可以得到， s ( 及) = ( 一1 ) 疆卜1 k 中最， s ( 最) = ( 一1 ) 7 q g r ( r 一1 圮_ 砭 7 铀 一、，、， r 1 r 1 d d 一 一 r r 毋 疆 第二章珥，s 0 1 3 1 2 n ) 及其p b w 型l y n d o n 基 近年来，有限维h o p f 代数的分类问题一直受到h o p f 代数专家与量子群专家的 极度关注，在某些特定条件下已经得到一些分类结果点h o p f 代数是比较重要的 类，s g e l a k i 3 2 】的方法可以构造任意给定素数次幂维数的无限多个非同构的点 h o p f 代数，从而否定了k a p l a n s k y 的第十个猜想关于点h o p f 代数的其它一些结 论可以参考n a n d r u s k i e w i t s c h ，h j s c h n e i d e r 等的工作( 【l ，2 】) 有限维h o p f 代 数的分类问题尚未解决，因此寻找一些有限维的h o p f 代数并对其结构，性质进行 研究是很有意义的 2 1c 型双参数量子群阱。矗( 章p 2 n ) 首先，我们来回忆b e g e m n - g a o - h u 【1 4 】关于c 型双参数量子群一些相关结 论设k = q ( r ，s ) 为含两个变元ns 的有理函数域，且r 3 8 3 ，7 4 8 4 用垂来表 示c 型单李代数s p z n 的根系，n 表示西的素根系若以e = 舻表示以( ，) 为内积 的欧式空间，则西可看作e 的个子集 记e 1 ，e 2 ，屯为e 的一组标准正交基，则可记= 啦= 白一龟十li1 i n ) t j 口n = 2 e n ) ，西= 士e t4 - 勺i1 l j 佗) t j 【2 e il1 i n 设 n ：r 纽掣，s = s 虹笋，于是有r 1 = r 2 = = h 一1 = ，_ ，= 7 2 及s l = 8 2 = = s n l28 ，s n = 8 2 定义2 1c 型双参数量子群u = 珥，。( 砷2 n ) 是q ( r ，s ) 上由e t ， ，时1 ，u 譬1 ( 1 i n ) 生成的结合代数，满足下面关系式( c i ) 一( c 7 ) t ( c 1 ) 【u 手1 ，哼1 】= 【u 产1 ，够；土1 】= 【w ；t q - i ，够；士1 】= 0 ，u f 1 = 1 = q 哼1 。 ( c 2 ) 对1 i 啊1 j 有 岛町1 = 勺a 。s 严+ 1 口。e t ， 勺蝠1 = r g “叼勺， u ne n 蝠1 = s 二1e n ， ( c 3 ) 对1 i 仉1 j 1 的i ，j ，有( r ，8 ) - s e , 咒关系： 【e i ，白】= 限，办】= 0 ( c 6 ) 对1 i n ，1 歹 n 一1 ，有 e ；e 件l 一( n + 8 ) 白e + 1 e t + ( n s ) e 件i e = 0 ， e 2 件l 色一( 啄a + s i - + 1 1 ) e 件l e i e i + 1 + ( - - + 1 1 5 件- - 1 1 ) e t e + 21 = 0 ， e ，3 l l e n 一( 蠢一l + s n 2 1 + 一1 8 n 1 ) e n 2 1 e n e n 一1 十( ，k l s n 1 ) ( 砖一1 + s n 2 一l - l - f n 一1 8 n 1 ) e n _ l e n e 2 n 一1 - i - ( 7 n 一1 8 忭一1 ) e n e f l 3 1 = 0 ， e 2 e 作一1 一( r ：1 + s 二1 ) e n e n 一1 e n + ( r ：1 s 二1 ) e n _ l e 2 n = 0 ( c 7 ) 对1 t 佗，1 歹 佗一1 ，有( ，8 ) - s e r r e 关系， 五+ 1 砰一( 7 i + 8 ) 五+ 1 + ( n s f ) 斤五+ 1 = o ， 五盛1 一( 吒曼+ 8 i - + 1 1 ) 五+ 1 五+ l + ( 吩- - + 1 1 5 件- - 1 1 ) 辟l 五= 0 ， 厶篇一1 一( r ：一l + s ：一l + 7 n _ 1 8 n 1 ) 厶一l 舞一1 + ( h 1 8 铲1 ) ( 碟一l - i - 8 n 2 一l + 一1 8 n 1 ) 露一1 厶a l + ( 一1 8 铲1 ) 露一l a = 0 ， 厶一1 鼻一( 1 + s 二1 ) a 一1 + ( 1 s i l ) 露厶一1 = 0 9 第二章 珥。( 毒p 2 n ) 及其p b w 型l y d o n 基 2 2 s ( 印矾) 的h o p f 代数结构 命题2 2 1 1 4 】代数。( 骞p 矾) 是h o p f 代数，其余乘，余单位及对极映射如下。 ( 讨1 ) = 时1o ( 时1 ) = 时1o 时1 ， ( e t ) = e 4o1 + 蛾oe i ， g ( 时1 ) = s ( u ：士1 ) = 1 ， s ( 辟1 ) = 订1 ， s ( e t ) = 一町1 e t ， ( “士1 ) = “士1o “士1 ， a f t , ) = 1 五+ 五o “， g ( 色) = s ( ) = 0 ， s m 士1 ) = “千1 ， s ( 五) = 一 “一1 当r = q ，s = q 一1 时，h o p f 代数珥，。( 5 p ) 商去由“一町1 ( 1 i 佗) 生成的 理想同构于d r i n f e l d j i m b o 型单参数量子群( 蓐p 柚) 令u = 珥，。( s p 拍) ，则u 有三角分解： u 皇u ou oou + ，其中u o 是由 舻1 ，时1 生成的子代数，u + ( u 一) 是由元素e ( 五) 生成的子代数设b ( b 7 ) 是由 q ，时1 ( 五，妒1 ) 生成的u 的子代数，由文献【1 4 】可得t 命题2 3 存在珥，。0 p 矾) 的h o p f f f - 代数b 与b 7 的唯一的斜对偶配对( ，) ： b 7 b _ q ( 7 ，s ) ，使得： ( ，e j ) = 如 & 一n 1 i ，j 佗， ( “，吻) = r 2 幻，a d s 2 ( 勺+ 1 ，啦) ，1 i 竹，1 歹 n ， ( “，o j n ) = r 2 ( 。n ，矧，1 i n ， ( “，0 j n ) = ，i s ， ( w t 手1 町1 ) = ( 0 3 7 手1 ，) 一1 = ( u t ，屿) 午1 ， 1 i ，j n ( ，) 在其他的生成元上配对为d 而且对任意a b ，b e 有( s ( o ) ，s ( 6 ) ) = ( a ，6 ) 群像元的斜对偶配对组成的矩阵是( ( “，畸) ) ，即 1 0 r s 一1r 一1 sr 8 一l 1 1 1 我们记所= ( ( “，) ) s 1 1 1 2 3u + 的p b w 型基 记c 型正根系为矿= 龟士勺，2 c ti1 i 歹住，l z5n ) ，取g 型w e y l 群w 的最长元 1 0 02 ( 8 1 8 2 8 n - 1 8 n s n 一1 s 2 s 1 ) ( s n 一1 8 n 8 n 一1 ) ( 5 n ) ， 对应伽可以得到垂+ 的个凸性序t e 1 一2 ，e l e 3 ，e l 一，2 e i ，e l + n ，e l + e 3 ，e l + e 2 ， e 2 + e 3 ，e 2 一竹，2 c 2 ，e 2 + ，e 2 + e 3 ， e n l e n ，2 e n l ，6 n - - 1 + n ， 2 注，上述凸性根序图与g 的标准l y n d o n 词树给出的基是致的 记厶为u + 中对应正根口西+ 的量子根向量为简便起见，记磊j = 气+ 啦+ 。十- + q ( i j n ，口i + q + 1 + + o o = 龟- e j + 1 ) ，邑，j ，= 厶+ + 哪一i + 2 + 2 n 。一1 + a 。g 歹 n ，a i + + c 吁一l + 2 a 歹+ 2 a n 一1 + a r i = 白+ 勺) ，k = e 2 a 汁+ 2 口。一l + 口。( 1 t n ，2 q l + + 2 a n 一1 + d = 2 c t ) ，特别的，反，t = e i ，磊，n = 毛，n ，= 气+ + q j l + a j + a 。一l + a n 有了以上序列及记号，遵循好的l y n d o n 词的p b w 基的( r ，s ) - 括号积组合规 则，可以按照上图凸性序，定义一组矿+ 的基： 1 1 p 啦 ! l l 一 1 厂 f l l 1 一妒铲 1 1 l s l l 一一 l 1 1 第二章 珥，。( s p 埘) 及其p b w 型l y d o n 基 定义2 4 归纳定义如下， 最，= e ，1 i n ， 最j = & j l 勺一s e 歹& j 一1 ，i 歹n 一1 1 1 ， 己幻2 二t j l 勺一一， s ，sn 一， 毛，n = 乐, n - l e n 一$ 2 e n & ，n 一1 ， l i n 一1 ， 毛j ，= 毛j 十1 ，e j r 一1 & j + 1 ，1 i 歹竹一1 k = 毛。竹一l & ，n r s 磊，n 最，伟一1 1 i n 一1 其中& ，竹，= 毛，加 有了如上定义，则在( c 6 ) 中u + 里的( r $ ) - - s e r r e 关系式可以改写成。 e & ，i + 1 = r e i 最，i + 1 ，1 i 绍一1 ， = r 岛j + 1 勺+ 1 ，一 歹 n 一1 占j j + l e j + l 1 ， 2 r 奶j + 1 勺+ 1 ， j n 一 厶一1 ，n e n = r 2e n 厶一l 。l ， e n - l v , i l = r 2v ；l 一1 e n 一1 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) 注z ( 1 ) 由【7 7 1 ，由好的l y n d o n 词组合规则得到的c 厂+ 中的元素集合正是u + 中的 所有量子根向量集合 ( 2 ) 关于在c 型双参数量子群中如何按照好的l y n d o n 词组合来添加( r ，s ) - 李 括号的问题，在【4 2 】中，通过对岛情况的表示的分析，可以得到其定义规则为t 岛：= 【瓦，勃】地= 厶彩一( 嵋，口) 彩厶，其中口，p ，- y 圣+ ，在凸性序中o t ，y 8 ，鱼 l = o t + 8 ( 3 ) k a r c h e n k o 在【5 4 ，5 5 】中，对于个a b e l i a n 群和有限个本原元生成的h o p f 代数，都能按一定规则找到它的一组p b w 基，可以看到，如上构造的量子根向量 也符合k h a r c h e n k o 构造的p b w 基的原则 【4 】考虑汐的h o p f 子代数召和从定义关系来看，很容易验证( ) 唧( 即 代数具有反余乘) 同构于以，- t ( 毒p 2 n ) 的由蛾和e i 生成的b o r e l 子代数 即已构造了v + 的量子根向量，则可以得到如下定理， 定理2 5 7 酝惦一曝i 嚣豪；嘉。v , c 2 一啦；嘉。，稚磁n 妒一 噶以噶一岛二j ，啦岛l ( c l ，q ，g 。) 缉2 ) 构成了代数u + 的一 组凸性p b w 基 1 2 第二章 珥，。( s p 扑) 及其p b w 型l y d o n 基 注：采用另一种方式标注这组基，令厶，n = 最。，k = 氏磊，1 = 岛，则上述定 理可以记作 管尝鬈li - i 2 如 是代数【，+ 的线性基 定义2 67 令7 为。( 5 p 扑) 作为q 一代数的一个反自同构，使得 丁( r ) = s ，7 - ( s ) = r ，r ( ( “，吻) 士1 ) = ( 叫，姚) 千1 ， r ( q ) = ，下( 五) = e t ，r ( w i ) = “，f ( “) = 纰， 则b 7 = 下( j e i ) 把下作用于b 上， 五j = 丁( 毛j ) = j c f 五j 一1 一r 力兀j 一1 ， 五，n = r ( 最，n ) = 厶五，铲l r 2 五，驴1 厶， 五j ，= 7 - ( 邑j ，) = 乃五j + 1 ，一s 一1 了j + 1 ，j c f ， 叫= 五，n 五，n l r s 五，n 一1 五，n ， 1 i 歹n 一1 ， 1 i 佗一1 ， 1 i 歹n 一1 ， 1 i n ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 定理2 7 碲瑶噼礞+ 1 礞写，瑶7 2 硪1 , 2 一礞唯一6 碓；镌。，, n c _ 1 n 2 - n 3 一。k c n 。2 一：雉；i ( q ，岛，g ：) 缉2 ) 构成了代数 一的一组凸性胎矿基 引理2 8 对典型李代数s p 2 n 的素根系，下面的关系成立。 ( 勺+ l ，佻) = 一( c ，) ，l ，歹 n ；( 勺+ 1 ，) = 一2 ( e n ，) ，j n 1 3 第三章限制c 型双参数量子群 本节中，我们限制参数r 和s 为单位根情形；，是本原d 次单位根，8 是本原 次单位根，z 是d 和的最小公倍数我们假定【包含本原f 次单位根我们 构造有限维h o p f 代数l l r 。( 5 p 2 n ) ，它是由代数珥，。( 砷2 n ) 商去由中心元生成的理想厶 得到的，维数是f 2 ( n 2 + 驯 3 1u + 中的换位关系 受到vk k h a r c h e n k o 的工作【5 5 】的启发，容易验证下面的引理 引理3 1 。在u + 中，下列基本关系式成立。 ( 1 )磊j ，e t + l = e i + l i , j ， l j 一2 佗； ( 2 )磊，i + 1 ，e + l = 8 - - 1 e i + l i ，t + 1 ， 1 n 一1 ； ( 3 )磊，i + 1 ，e i + 2 = e + 2 磊，i + 1 ， l i n 一2 ； ( 4 ) 一2 。n 一1 ，e n = r 2 8 2 e n 一2 ，n 一1 ， ( 5 ) 反j ，反j 一1 ，= s - t e i ，j 一1 ，毛j ， i + 1 歹7 1 引理3 2t 在u + 中，下列基本关系式成立t ( 1 )磊，j 反，t = 磊，z 毛j ， i j ，j + 1 k z n ； ( 2 )e t , j e k ，= 磊，毛j ， i 歹，歹+ 1 k n 一1 ； ( 3 )e i a v j , = k 磊j ，i j ，歹+ 1 忌 z n ； ( 4 ) 磊，j = e 毛+ 1 j s e t + l ，j e i ， 1 i 歹一1 礼一1 ； ( 5 )磊j = 磊，z l & j s & j 磊，f 一1 ，i z 歹礼( z ，歹) ( n 一1 ，n ) ； ( 6 )毛j ，= 反，一1 & 一s & j ，磊，一1 ，i z j 1 ，则有。 一 一 ， i d + 1 2二t j 勺+ l s e j + l