（基础数学专业论文）半序集spwx结构的相关问题研究.pdf

中文摘要 中文摘要 研究b a n a c h 空间及其子空间的结构问题历来是泛函分析领域关注的问题 近年来扩展模型理论的出现不仅对理解和解决上述问题提供了新的思路和方法，而 且在b a n a c h 空间的算子存在性，失真性等方面都具有非常重要的应用价值由于 b a n a c h 空间的扩展模型可以是它的子空间，也可以是比它的子空间性质和结构更 好，并且与其无限逼近的新空间，所以对于扩展模型的研究有助于我们更有效的认 识和理解b a n a c h 空间的性质 b a n a c h 空间x 的由规范弱零序列生成的扩展模型集合s r ( x ) 可引入一 种序关系而形成半序集本文主要研究半序集s r ( x ) 结构性的相关问题在第 一章中，我们首先介绍了扩展模型的研究背景，意义及发展现状第二章给出了 b a n a c h 空间和o r l i c z 空间的基本概念和相关知识，为第三章的研究做好了准备 第三章首次给出了两种扩展模型定义之间的等价性关系，并证明了任意无限维可分 的b a n a c h 空间的扩展模型的存在性，之后构造了一个具体的o r l i c z 序列空间k ， 使得l s r ( k ) i = 2 ；而后又给出了有关扩展模型序结构的一些结论最后是本文的 结论部分，并提出了几个值得进一步研究的问题 关键词：扩展模型；o r l i c z 序列空间；序同构；半序集 黑龙江大学硕士学位论文 英文摘要 t h es t u d yo ft h es t r u c t u r eo fb a n a c hs p a c e sa n di t ss u b s p a c e si sa no b s e r - v a t i o n a lp r o b l e mi nt h ea r e ao ff u n c t i o n a la n a l y s i s i nr e c e n ty e a r s ，t h ea d v e n t o ft h et h e o r yo ns p r e a d i n gm o d e l sn o to n l yp r o v i d e san e ww a yo ft h i n k i n ga n d m e t h o d sf o ru n d e r s t a n d i n ga n ds o l v i n gt h ea b o v ep r o b l e m s ，b u ta l s oh a si m p o r t a n t m e a n i n gi nt h eo p e r a t o r se x i s t e n c ea n dd i s t o r t i o no fb a n a c hs p a c e t h es p r e a d i n g m o d e lm a yb et h es u b s p a c eo fb a n a c hs p a c e ，o rm a ya l s ob ean e ws p a c ew h i c hh a s s i m i l a ra n db e t t e rs t r u c t u r et h a nt h es u b s p a c ea n di a f i n t e l ya p p r o x i m a t e dt ot h e s u b s p a c e ，8 0t h er e s e a r c ho ft h es p r e a d i n gm o d e lt h e o r yc a nh e l p1 1 8m o r ee f f e c t i v e l y t ou n d e r s t a n dt h eb a n a c hs p a c ei t s e l f i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h ep a r t i a lo r d e rs t r u c t u r e so ft h es p r e a d i n gm o d e l so f b a n a c hs p a c exg e n e r a t e db yn o r m a l i z e dw e a k l yn u l ls e q u e n c e s t h ef i r s tc h a p t e r i n t r o d u c e ss p r e a d i n gm o d e l s b a c k g r o u n d ，s i g n i f i c a n c ea n dd e v e l o p m e n t s o m eb a s i c c o n c e p t i o n sa n dr e l a t e dr e s u l t so nb a n a c hs p a c ea n do r l i c zs e q u e n c es p a c ea r e g i v e ni nt h es e c o n dc h a p t e r ，a n dm a k e sas u f f i c i e n tp r e p a r a t i o nf o rt h en e x tc h a p t e r t h et h i r dp a r tw em a i n l yp r o v et h ee q u i v a l e n c er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h et w of o r m s o fd e f i n i t i o n sa n dt h ee x i s t e n c ef o ras e p a r a b l ei n f i n i t ed i m e n s i o n a lb a n a c hs p a c e s s p r e a d i n gm o d e l t h e nw ec o n s t r u c tas p e c i f i co r l i c zs e q u e n c es p a c e1 ms u c ht h a t l s r ( f m ) i = 2a n dg i v et h er e l e v a n tc o n c l u s i o n so fo r d e r - i s o m o r p h i s mi ns p r e a d i n g m o d e l i nt h ee n do ft h ep a p e r ，w em a k es o m ec o n c l u s i o n sa n dp u tf o r w a r ds o m e p r o b l e m s k e y w o r d s ：s p r e a d i n gm o d e l ；o r l i c zs e q u e n c es p a c e ；o d e r - i s o m o r p h i c ；p a r t i a l l y o r d e r e ds e t 一一 黑龙江大学硕士学位论文 符号说明 本文中的b a n a c h 空间x 均指可分的无限维的实b a n a c h 空间，协) 墨1 表示 b a n a c h 空间x 中的一个无穷序列，一般情况下用来表示x 中的s c h a u d e r 基 ( 磊) 墨1 表示由b a n a c h 空间x 中的序列( 翰) 罂1 生成的扩展模型s p ( x ) 表示空 间x 的所有扩展模型的集合，s r ，( x ) 是空间x 的所有由规范弱零序列生成的 扩展模型的集合1 s p ( x ) i 表示扩展模型集合s p ( x ) 的基数 m 表示o r l i c z 函数，k 表示o r l i c z 序列空间，h m 表示k 的子空间c m 1 表示由某些o r l i c z 函数构成的集合m x 2 条件表示m 满足2 条件s y ( t u ) 表示o r l i c z 序列空间2 m 对称序列的集合：，表示k 中p 方绝对可和数列全体构 成的集合，c 0 表示k 中收敛于0 的数列全体构成的集合 ”代表控制关系， 茗”代表不被控制例如：尬，且如表示两个o r l i c z 函数，尬时表示尬被控制，尬莲表示尬不被控制当 m i 与m 2 互相控制时，则称m 1 与m 2 是等价的 黑龙江大学硕士学位论文 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得黑龙江大学或其他教育机构的学位 或证书而使用过的材料 学位论文作者签名；关 签字日期：d 7 年岁月b - h 学位论文版权使用授权书 本人完全了解黑龙江大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本人 授权黑龙江大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编本学位论文 学位论文作者签名：关、p 1 签字日期；口7 年步月心日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位。 通讯地址： 导师签名嘲蓄乍 签字日期。川年f 月心e t j 电话t 邮编： 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 扩展模型的研究背景及意义 b a n a c h 空间和它的子空间的结构性问题一直以来都是国内外数学工作者研究 的课题由于b a n a c h 空间是比h f l b e r t 空间更广泛，更抽象的一类空间，研究起来 是非常复杂的，所以在二十世纪六十年代以前，b a n a c h 空间的研究进展是非常缓 慢的但是在二十世纪六十年代以后，特别是在六十年代后期，b a n a c h 空间的理 论，特别是它的几何理论，不论在深度和广度上都取得了迅速发展，大多数著名的 经典问题相继得到解决，一些新的有意思的数学领域都得到发展，使b a n a c h 空间 和数学其他方向建立了更深的联系其中，最重要的是1 9 7 3 年，p e n f l o 给出例子 表明可分的b a n a c h 空间也未必具有s c h a u d e r 基【1 1 ，从而解决了困扰国内外数学家 几十年的问题可见，许多b a n a c h 空间是不具有s c h a u d e r 基的，这就又给国内外 数学家研究b a n a c h 空间带来新的困难然而个不具有基的b a n a c h 空间必含有 基序列二十世纪九十年代，w t g o w e r s 和b m a u r e y 两位学者利用e o d e l l 所 证明的。t s i r e l s o n 空间是可以任意失真的”结果及t s c h l u m p r e c h t 所构造的空间 s ，具体的给出了个不具有无条件基序列的b a n a c h 空间 2 1 可见，每个b a n a c h 空间都具有基序列，但是不一定是无条件的1 9 7 4 年，a b r u n e l 和l s u c h e s t o n 获得了每个规范弱零序列都有个 渐近无条件”的子列的结果【3 】，这些。渐 近无条件”的子列或其生成的空间被他们称为b a n a c h 空间的扩展模型可见，扩 展模型的本质就是这种渐近性由于扩展模型可以是b a n a c h 空间x 的子空间， 也可以是与它的子空间无限逼近的个新空间，因此，扩展模型的研究在认识和解 决b a n a c h 空间和它的子空间的结构及其相关问题上有了新的突破 通过对扩展模型理论的的研究，我们发现b a n a c h 空间的扩展模型是具有比它 的子空间更简单更好的结构，而且一个不具有“好。的子空间的b a n a c h 空间仍然 可能有很好的扩展模型，( 这里说一个空间不具有“好”的子空间，相当于说这个 空间不具有无条件基) 这就说明，扩展模型的出现，为我们研究不具有无条件基的 b a n a c h 空间和它的子空间提供了新的思路和新的方法因为无限维b a n a c h 空间中 最简单的例子就是f p ，( 1 p o o ) 和c o ，很多复杂的空间都想和它们建立联系， 进而去研究其空间本身例如，研究个抽象的b a n a c h 空间时，我们就可以研究 它的扩展模型，看看它的扩展模型是否等价于c 0 或：p ，( 1 p a l 芗1 1 9 9 6 年，在m u l t i l i n e a rf o r m s ，s u b s y m m e t f i cp o l y n o m i a l s ，a n ds p r e a d i n gm o d - e l so nb a n a c hs p a c e s 1 3 】一文中，w i l l i a mf a m e s 介绍了r a m s e y 定理在多重线 性多项式中的应用，并清楚地给出了b a n a c h 空间中具有次对称基的次对称多项式 的表达式，最后应用以上结果，得出可以由次对称多项式逼近多项式 同年，在ab a n a c hs p a c eb l o c kf i n i t e l yu n i v e r s a lf o rm o n o t o n eb a s e s1 1 4 】一 文中，e 。o d e l l 和t h 。s c h l u m p r e c h t 构造了具有基( e i ) 的b a n a c h 空间x ，它的每 个单调基在x 的每个块基中是块有限表达的 1 9 9 8 年，在ap r o b l e mo i ls p r e a d i n gm o d e l s 【1 5 j 文中，e o d e l l 和s c h l u m p r e c h t 证明了如果个b a n a c h 空间x 有基( e n ) ，并且满足( e n ) 的规范块基生成的扩展 模型1 一等价于：1 ( 或c 0 ) 的单位向量基，那么x 包含f 1 ( 或c o ) ，并且进步证明 了t s i r e s o n 空间的每个无穷维子空间都含有个序列，并且这个序列的扩展模型是 1 一等价于l l 的单位向量基的 2 0 0 2 年，在s o m er e m a r k so ns p r e a d i n gm o d e l sa n dm i x e dt s i r e l s o ns p a c e s 【1 q 一文中，a m a r m m 豁a l d s 证明了具有双重单调收缩基的b a r , a c h 空间，如果不包 含掣扩展模型，但是对任意的竹，每个基的块序列包含个块基子序列是c 一日扩 展模型，那么每个子空间都有子空间，并且它是。失真”的 2 0 0 3 年，在w e a k l yc o m p a c ta p p r o x i m a t i o ni nb a n a c hs p a c e sp t 一文中， 给出如果存在个常数c 0 ，存在个紧 算子v ：e e 满足s u pl i x w l i e 和i i y l l g ，那么这个b a n a c h 空间e 有 弱紧逼近性质本文还给出了具有这个性质和不具有这个性质的一些具体例子 2 0 0 4 年，在w e a k l yn u l ls e q u e n c e si nt h eb a n a c hs p a c e s 【1 8 】一文中，1 g a s p a r i s ， e o d e l l 和b w a h l 给出对于可数集合k ，c ( k ) 的每个规范弱零序列都有一个规 范的平均块基等价于岛的单位向量基 2 0 0 5 年，在o nt h es t r u c t u r eo ft h es p r e a d i n gm o d e lo fab a n a c hs p a c e 【1 9 】一 文中，o d e l l 等人研究了无穷维可分b a n a c h 空间x 的扩展模型集合的一些结构性 问题，其中给出了自反空间x 的扩展模型包含f 1 ，但又不同构于2 1 的例子并且 证明了由弱零序列生成的赋予半序结构的扩展模型集合s r ，( x ) 的每个可数子集 是有上界的，并且上界不是唯一的文章还考虑了如果i s p ( x ) l = 1 ，即如果在等 价意义下( 所有扩展模型都是等价的) ，x 仅有个扩展模型，或1 属于某个扩展 模型的“k r i v i n e 。集合，则此扩展模型等价于c o 或j p 的单位向量基 一3 一 黑龙江大学硕士学位论文 2 0 0 6 年，在o nt h es t r u c t u r eo ft h es e to fs y m e t r i cs e q u e n c ei no r l i c zs e q u e n c e s p a c e 【2 0 】一文中，b s a d 研究了赋予了半序的o r l i c z 序列空间的扩展模型和对称 序列集合的结构问题，进一步得到了k 的每个扩展模型都等价于k 的个对 称序列，并且o r l i c z 序列空间k 中有弱零序列生成的可数扩展模型的集合既有上 界又有下界并且在文章结尾，提出是否存在个o r l i c z 序列空间k ，使得k 中 的对称序列( 等价的s r ( 1 u ) ) 是可数无限的 在o r l i c zs e q u e n c es p a c e sw i t hd e n u m e r a b l es e t so fs y m m e t r i cs e q u e n c e s 2 1 】 文中。s j d i l w o r t h 和b s a i l 对上述问题给出了肯定答案事实上，对任意的可 数序数，y ，他们构造了个自反的o r l i c z 序列空间，它的对称序列在控制意义下是 逆序同构于 0 ：州的 2 0 0 6 年，在l a t t i c es t r u c t u r ea n ds p r e a d i n gm o d e l s 【2 2 l 一文中，e o d e u 和 b s a i l 等人研究了格结构在扩展模型中的关系对于vn n ，构造了个空间x ， 使得这个空间的有规范弱零序列生成的赋有半序结构的扩展模型集合( s r ，( x ，) ，) 序同构于扫( n ) d ：s ) ，其中p ( - ) 是 1 ，2 ，竹) 的幂集，进一步指出如果l 是一 个具有最小元但不含有无穷严格递增序列的可数格，那么一定存在个自反的空间 x l ，使( s 兄( 溉) ? ) 序同构于l 。 2 0 0 6 年，在o nb a n a c hs p a c e sw i t hf e ws p r e a d i n gm o d e l s 【2 3 】_ 文中，b s a r i 研究了由个b a n a c h 空间x 的规范弱零序列生成的扩展模型集若是可数的，那么 其中一定存在个扩展模型和c o 或f p ( 1 p 0 0 ) 是相似的 2 0 0 6 年，在o nt h es t r u c t u r eo fa s y m p t o t i ci ps p a c e s 阳一文中，e o d e l l ， t h s c h l u m p r e c h t 和az s d k 证明出如果个逼近f p ，( 1 p ) 的空间x 是自 反可分的，那么x 可以嵌入到个具有渐近2 p 有限维分解的自反空间z 中 2 0 0 7 年，在e m b e d d i n gi n t ob a n a c hs p a c e sw i t hf i n i t ed i m e n s i o n a ld e c o m - p o s i t i o n s 【2 5 l 一文中，e o d e l l 和t h s c h l u m p r e c h t 主要研究了下列问题：设个 b a n a c h 空间x 具有某种陛质，那么它是否可以嵌入到一个也具有这个性质( p ) 且 有限可分的b a n a c h 空间z 中，或更一般的，是否可以嵌入到具有类似性质0 ) 的 空间中 2 0 0 7 年，在au n i v e r s a lr e f l e x i v es p a c ef o rt h e c l a s so fu n i f o r m l yc o n v e x b a n a c hs p a c e s 2 6 1 文中，e o d e l l 和t h s c h l u m p r e c h t 证明了一定存在个自反 的可分b a n a c h 空间，使每个可分的一致凸b a n a c h 空间可以同构的嵌入到这个空 间中 2 0 0 8 年，吕琳琳在她的毕业论文嘲中对可数扩展模型的结构进行了研究，并 一4 一 第1 章绪论 且得出了个结论。o r l i c z 序列空间所有扩展模型都等价的充要条件是k 同构于 2 p ：p 【o e m ，助】 2 0 0 8 年，尹红萍在她的毕业论文吲中证明了o r l i c z 序列空间的扩展模型是具 有同构稳定性的 以上文章中对于扩展模型的研究主要集中在两个方面：一方面是给定空间x ， 去研究它的扩展模型的结构例如：给定o r l i c z 空间k ，去研究它的扩展模型 s r ( i m ) 的结构，看它是否同构于某个空间，或研究它的集合个数，或看它是否具 有同构稳定性等性质另方面是已知扩展模型s r ( x ) 的结构，去研究x 本身 的结构例如：已知( 磊) s r ( x ) 等价于c o 或f p 的单位向量基，去研究x 具有 的结构，或者已知s r ( x ) 序同构于可数集合己，去研究x 本身具有什么结构作 者在他们的文章中除了给出了关于扩展模型的一些结果的证明，还留下了一些值得 继续研究的问题，但一些已经被后来的泛函学者证明出来了e o d e l l 曾经提出问 题：假设s r ( x ) 包含个扩展模型的严格递增序列( 霹) ( 霹) i ( 鸳) i ， 那么s 凡( x ) 是否也包含个不可数的扩展模型递增链后来，b s a r i 给出了肯定 答案1 2 8 】但是，s r ( x ) 是无限的并且不包含一个无限递增链的例子是存在的 如果2 p l p 2 ，那么空间x = ( o f p ) z ：就是这样的例子【2 3 】虽然关于扩 展模型的一些问题得以解决，但仍有大量的问题值得我们去研究 本文在对半序集s r ( x ) 的结构进行研究时，主要考虑的是当x 是o r l i c z 序 列空间k ，并且m 满足2 条件的情况，而且，x 的所有扩展模型都是由弱零序 列生成的如果去掉这两个条件，难度会大大加大，这将会有进一步研究价值 1 3 本章小结 在本章中，我们给出了关于扩展模型的研究意义，研究现状及发展趋势的简单 介绍，有关扩展模型更多的背景，请参考文献【2 8 】一【3 5 】 一5 一 黑龙江大学硕士学位论文 第2 章预备知识 二十世纪初的数学家已经认识到，b a n a c h 空间的结构研究有很大的局限性， 为了解决b a n a c h 空间提出的许多问题，有必要引入一些新的概念扩展模型理论 丰富和发展了b a n a c h 空间理论体系在上一章，我们主要介绍了扩展模型的研究 背景和研究现状，那么在这一章中，我们着重介绍一下关于b a n a c h 空间和o r l i c z 空间具体的一些基本概念和相关知识 2 1 b a n a c h 空间和o r l i c z 空间的基本概念 在介绍扩展模型概念之前，我们必须先了解b a n a c h 空间基理论的相关概念， 因为扩展模型概念是由基理论扩展而来的对基理论的深刻了解是研究b a n a c h 空 间的扩展模型的理论基础 定义2 1s c h a u d e r 基【3 6 l ，【3 7 1 ，f 4 0 】? 空间x 中的序列_ ) 甚l 称为x 的s c h a u d e r 基，如果对比x ，存在唯一的标量 a ， 一c o1 ，使得 o o z = z n n - - - - 1 为了方便起见，在不混淆的情况下我们也简称。s c h a u d e r 基”为“基”而x 称为具有s c h a u d e r 基的b a n a c h 空间，n n 称为向量z 的第住个坐标 我们知道可以把具有基的b a n a c h 空间看作序列空间这可由把x 中每个 元素z = z n 与其唯一的系数序列【) 鲁1 等同来实现我们要叙述空间的 基，须定义基向量为一序列而不能只是个可数集合，且由定义可知基中不含有零 向量 定义2 2 基序列酬，【3 7 】，。b a n a c h 空间x 的一个序列 z n ) 器1 称为基序 列，如果它是万丽 ) 的个s c h a u d e r 显然，b a n a c h 空间的基一定是基序列 定义2 3 规范基， 3 7 1 ，i 4 0 l ：x 中的点列 ) 甚1 称为x 的规范基是指 ) 黯l 是x 的基，并且i lz ni i = l ( n = 1 ，2 ，) 定义2 4 块基 3 8 1 ，【3 7 j ，【4 0 j ? 设 z n ) 甚l 是b a n a c h 空间x 的基设 m f 。) 器1 是 一6 一 第2 章预备知识 递增自然数序列，m o = 0 ，对数列 ) 巽l 设 ，7 l n + l 铷= 芝：a i x i ，鲰0 ，n = 1 ，2 ， t 、 i - - - - - r n n + 1 则称【) 袅l 是关于基 z n ) 箍- ) 的块基 定义2 5 无条件收敛【删， 3 7 1 ， 4 0 ls 设 z n ，黑1 是b a n a c h 空间x 中的序列，如 0 0 0 0 果对自然数列的每个置换7 r ，级数x , k n ) 是收敛的，那么称级数z n 是无条件 n = ln = l 收敛的 定义2 6 无条件基【删，【3 7 1 ， 4 0 l 。b a n a c h 空间x 的基 ) 器l 称为无条件基， 0 00 0 如果对任何z = a i x i ，级数z = a i x i 是无条件收敛的相应地，可以定义无 n = l n = l 条件基序列 定义2 7 对称基 a 6 1 ，1 3 7 1 ，1 4 0 l 。b a n a c h 空间x 的基【x n ) 甚l 称为对称基，如 果对于正整数集的每个排列7 r j 2 7 霄( 竹) ) 甚l 为基序列且等价于 ) 定义2 占块基序列【3 6 1 ，1 3 7 1 ，1 4 0 l ：若 z 竹) 箍1 是空间的个基序列，p l p 2 0 ，有m ( t ) = 0 ，我们称m 为退化的函数 一7 一 一嘞 l i 心 黑龙江大学硕士学位论文 定义2 1 0o r l i c z 序列空间k ，【3 9 j ? 设m 为o r l i c z 函数m 对于一个实数 序列z = l ，x 2 ，) ，令z 的模为 线性集 z ：j 入 0 ，p 2 l f ( z 入) 0 ：m ( i l f 久) 1 n = l 成为b a n a c h 空间，我们称为o r l i c z 序列空间k ，其对应的子空间 z ：坝。 0 ，腑( z 入) 0 及t o 0 ，使得怒( t ) k 1 ( 是) ，v 0 tst o 。我 们记2 0 ，使得 k 一1 舰( t ) m 2 ( t ) k ，v o t t o 下面介绍o r l i c z 空间中一些特殊的集合，这些特殊的集合在证明o r l i c z 空间 的一般性结论中起着极其重要的作用 一8 一 zm 日 | i z m p 第2 章预备知识 定义2 1 名【4 l 】：对于d 崩c z 函数尬考虑b 。佗。如空间c ( o ，互1 ) 中的子集： ( ( o ，互1 ) 上的实值连续函数的全体) ，a2t 器：。 入 吨勖2 1 = l 勖，a 其中的闭包是由c ( o ，互1 ) 中的范数拓扑引入的则砌1 勖，1 是g ( o ，互1 ) 中的非空范数紧子集，它们都是由o r l i c z 函数构成的【4 2 2 b a n a c h 空间和o r l i c z 空间的基础知识 定理2 15 4 0 l 令 z n ) 罂1 是x 的个序列，则 z n ) 甚1 是基的充要条件为下 列三个条件成立t ( 1 ) z n 0 ，vn ( 2 ) 存在一个常数k ，使得对任意数列_ 【) 甚1 和正整数n ，m ，住 0 ，k 0 ，及t o 0 ，使得对v o 如， 幻( 幻 k m l ( k t ) 2 3 本章小结 本章主要给出了有关b a n a c h 空间的基和o r l i c z 空间的相关概念和一些基本 的理论知识和已知的结果，为半序集s 民( x ) 的结构性研究做好了准备 第3 章半序集s p 。( x ) 结构的相关问题研究 第璋 半序集s r ( x ) 结构的相关问题研究 法国数学家i v t g o w e r 和b m a u r e y 于j 9 群年构造了个不含任何无条件 基序列的b a n a c h 空间之后，h p r o t h e n d a l 于j 9 匏年证明了。每个s a t t a c h 空间都含有j 无条件扩展模型”这两篇文章的发表，吸引了更多的数学工作者投 身于扩展模型理论的研究 3 1 r a m s e y 理论的应用 3 1 1 扩展模型定义的引入 r a m s e y 理论是无穷组合中一个强大的工具在数学的不同领域中有着许多有 趣的应用我们从下面的r a m s e y 定理出发，阐述扩展模型定义的引入及系统研究 扩展模型的意义 对任意的k n ，记 】七为含有k 个元素的的子集合构成的集合通常我 们将f j 七中的元素看作长度为七的子列，形如( 啦) 整1 ，n ， 竹七记( 】。为 v 的无限子列全体构成的集合如果m 【】。，类似的可以定义【 卅u 和【m 七 定义，工旧l 称【明k ，( 七n ) 是有限可涂色的是指在某种意义下，i m k 可看 作只含有有限个元素的集合族，其中每个集合都是由一种颜色的长度为k 的的 子数列构成的 定义3 2 设m 【m u ，称【m n ( k n ) 是一种颜色的是指任意的与长度 为k 的m 的子数列相关的量都具有某种相同的性质 定理7 3 4 2 1 设 明七，( k n ) 是有限可涂色的集合族，那么必存在m 【卅七， 使得【m 】七是一种颜色的 定理3 4 是文献【4 2 】中提出的，在这里我们给出了详尽证明，其证明过程将使 我们对上述概念有更清晰的认识 定理3 名设( ) 是x 的个规范基序列， n 单调下降趋于零，那么存在 ( z n ) 的个子列( 鲰) ，使得对于所有仃，( 啦) ? - 1 ，1 】和佗k 1 k ，n t 1 i n ，有 i nn l 叼i l _ i l 黑龙江大学硕士学位论文 证明：分两步证明第一步证明对任意的n z + ，存在慨) ( 戤) ，使得对 v ( 毗) 銎l 【- 1 ，1 1 ，k t 七2 k ，i l i 2 i n ，有 一j j l | l ( 术) j = ll 对固定的( 啾) 翟1 至f - 1 ，1 】，应用定理3 3 ，证踢( 幸) 成立事实上。我们将i o ，嘲分 割成有限个互不相交的区间( 乃) 凳。，且每个区间的长度均小于s n 若i i a j y k ji j 五，则将( 后1 ，娩，k ) “涂色”由定理3 3 ，同样可将( i l ， 2 ，i 竹) 。涂色”，且 ( i l ，t 2 ，i 嚣) 和( 七1 ；，k ) 是一种颜色的，即有i i l l 五 j = l 【- 1 ，1 】n 可视为有限维空间口的单位球，则【- 1 ，1 】n 是列紧的，从而是完全有 界和完备的在日一度量下，取n = 帮，考：，珊) 为 一1 ，1 】n 的孚网 对这个网n 中的任一元素，重复上述过程，令帮= ( 。老) 饕l ，i = 1 ，2 ，m 将 闭区间【0 ，n 】分割成有限个互不相交的子区间 五) 罂。，且每个子空间的长度小于 詈，并且如果i i z 。( n 。y k j l | 五，则将( h ，k 2 ，k ) “涂色”由定理3 3 ，可知有 j = l 住f i l 餐犰川五，由五的长度小于詈，有 l i l 壹j = l 前鞔”一i i 妻j = l 右l i l 鲁c 七= 1 忍，仇， il 因为n = ，毋，勰) 为 一1 ，1 】n 的鲁网，所以存在辔= ( 制) ， 使得i i ( 叁。一罐) l | = 妻i 一耀i 鲁， 从而有t n竹，、竹，、 i i 娶吩| l i i ( 叼一制) i l + i i 越l l ，2 lj = l 。 j 0 1 o 妻i 一槎i i l u b l l + 瞳樱| l = 妻i a s 一镯i + i i 苎制| | j = l = i 一制i + i i 制| | j = l 7。 鲁+ l i 弛i i 1 天l l 出右 蚤训- | l 划i4 4 j = lj = 1i 妊 叼 n 触 第3 章 半序集s p 。( x ) 结构的相关问题研究 同理可得 lnni l i l 吩l i i i 制i i l 等 l j = l，= ii 故 a j y k j l i _ i l a j y , , l l l i j 剐 ，- 1 i il l 7 ln ，、 n ，、 nt l ， n ，、l = a j y k j 1 - i l 制i i + i | 制i l - i i l i + i i 制l l - f | 制酬i ij = 1 j = 1 j = l j = 1 j = 1 7 j = 1 l 旧酬耋制酬l + | l 嚏制酬刈黑刮+ 旧制酬一i j 妻制划i 百s n 十百e n 十詈 第二步应用对角线法，证明存在( y i ) s ) ，使得对vn z + ，( a i ) l - ls 【- 1 ，1 】，ns 后1 k 2 k ：竹t l 2 i n ，有 哟i a j y , , i i l 由第步可知，当佗= 1 时，存在( 旌1 ) ( 蕊) ，使得对vo 【一1 ，1 】，vk l z + ，i 1 z + ，n 七1 ，礼i l ，有 陋好i i - i 雠i i l 印 显然， 玉1 ) 也是空间x 中的规范基序列，故当n = 2 时，存在( 玉2 ) ( “1 ) ，使 得对( 吼) 忙21 【- i ，1 】，n5k x ，住冬i i i 2 ，有 可霉i i i i q 蜘l 2 jj = lj = lj 重复匕述过程，对任意的佗，存在( 羹n ) g ( 羹舻1 ) ，使得对v ( 啦) 冬。c 【一1 ，1 】，ns k l k ，n n i 2 i n ，有 l 馆住 l 彬i i i | i i l ij = 1j = ll 最后抽取对角线子列( 玉”) c ( x i ) ，对vn ，( a i ) 翟1 【- i ，1 】，竹k l k 2 k ，n i i i