（基础数学专业论文）关于bell多项式的恒等式及其应用.pdf

硕十学 _ 7 ：论文 摘要 在组合数学中有许多特殊的序列，例如二项式系数、f i b o n a c c i 数、l a h 数、b e r n o u l l i 数、e u l e r 数、s t i f l i n g 数以及b e r n o u l l i 多项式、e u l e r 多项式、b e l l 多项式等等这些特 殊序列均满足大量的恒等式，并且在组合数学、数论、数值分析等领域都有着广泛的应 用研究这些特殊序列历来是组合数学的主要课题之一，具有重要意义 本文应用发生函数与r i o r d a n 矩阵的方法研究了b e l l 多项式与其它组合序列的各种 关系，得到了一些组合恒等式，具体内容如下： 第1 章中，我们先介绍了b e l l 多项式的背景起源及其b e l l 多项式的一个重要应用： f a ad ib r u n o 公式，其次给出了广义b e l l 多项式的概念以及目前国内外的一些研究状况 和结论 第2 章应用r i o r d a n 矩阵的方法，研究了b e l l 多项式各种组合序列的关系，主要包 括f i b o n a c c i 数、h a r m o n i c 数、g e n o c c h i 数、b e r n o u l l i 数、c a u c h y 等，得到b e l l 多项式 与它们之间的一些恒等式 第3 章可分为四部分第一部分给出了卷积多项式的概念；第二部分应用发生函数的 方法研究了普通型b e l l 多项式与卷积多项式的关系，得到了若干恒等式；第三部分应用 求导法得出了普通型b e l l 多项式与卷积多项式的若干恒等式第四部分结合r i o r d a n 矩阵 方进一步研究了卷积多项式，得到了证明多项式恒等式的一种方法 关键词：b e l l 多项式；组合序列；r i o r d a n 矩阵；发生函数；卷积多项式 关fb e l l 多项式恒等式及其应用 a b s t r a c t i nc o m b i n a t o r i a lm a t h e m a t i c s ，t h e r ea r eag r e a tm a n yo fs p e c i f i cs e q u e n c e s s u c h a sb i n o m i a lc o e f f i c i e n t s ，f i b o n a c c in u m b e r s ，l a hn u m b e r s ，b e r n o u l l in u m b e r s ，e u l e rn u m b e r s ， s t i f l i n gn u m b e r sa n db e r n o u l l ip o l y n o m i a l s ，e u l e rp o l y n o m i a l s ，b e l lp o l y n o m i a l sa n ds oo n t h e s es p e c i a ls e q u e n c e sc a ns a t i s f yl a r g en u m b e r so fi d e n t i t i e s ，a n da r ew i d e l yu s e di n c o m b i n a t o r i a lm a t h e m a t i c s ，n u m b e rt h e o r y , n u m e r i c a la n a l y s i sa n do t h e rf i e l d s t h er e s e a r c h o ft h e s es p e c i a ls e q u e n c e sw h i c hh a sg r e a ts i g n i f i c a n c e ，h a sa l w a y sb e e no n eo ft h em a i n t o p i c si nc o m b i n a t o r i a lm a t h e m a t i c s i nt h i sp a p e r , u s i n gt h eg e n e r a t i n gf u n c t i o na n dr i o r d a nm a t r i xm e t h o d s ，w es t u d yt h e r e l a t i o n s h i p sb e t w e e nb e l lp o l y n o m i a l sa n do t h e rc o m b i n a t o r i a ls e q u e n c e s ，a n dg e ts o m e c o m b i n a t o r i a li d e n t i t i e s t h ec o n t e n t sc a nb es u m m a r i z e da sf o l l o w s ： i nc h a p t e ri ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do fb e l lp o l y n o m i a l sa n do n ei m p o r t a n t a p p l i c a t i o no fb e l lp o l y n o m i a l s ：f a ad ib r u n of o r m u l a , t h e ng i v e st h ec o n c e p to ft h e g e n e r a l i z e d b e l lp o l y n o m i a l s ，a tl a s tg i v e st h er e s e a r c hs i t u a t i o n sa n ds o m es i g n i f i c a n t c o n c l u s i o n si na n da b r o a do u rc o u n t r y i nc h a p t e ri i ，u s i n gt h em e t h o do fr i o r d a nm a t r i c e ，w es t u d yt h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e n b e l lp o l y n o m i a l sa n ds o m ek i n d so fc o m b i n a t o r i a ls e q u e n c e s ，i n c l u d i n gf i b o n a c c in u m b e r s ， h a r m o n i cn u m b e r s ，g e n o c c h in u m b e r s ，b e r n o u l l in u m b e r s ，c a u c h yn u m b e re t c ，a n dg e t s o m ei d e n t i t i e sb e t w e e nb e l lp o l y n o m i a l sa n dt h e s es e q u e n c e s c h a p t e ri i ic a nb ed i v i d e di n t of o u rp a r t s i nt h ef i r s tp a r t ，w eg i v et h ec o n c e p to f c o n v o l u t i o np o l y n o m i a l s ；i nt h es e c o n dp a r t ，u s i n gt h em e t h o do fg e n e r a t i n gf u n c t i o n ，w e s t u d yt h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e no r d i n a r yb e l lp o l y n o m i a l sa n dc o n v o l u t i o np o l y n o m i a l s ，a n d g e ts e v e r a li d e n t i t i e s ；i nt h et h i r dp a r t ，u s i n gt h em e t h o do fd e r i v a t i o nw ea l s og e ts o m e i d e n t i t y i e sb e t w e e no r d i n a r yb e l lp o l y n o m i a l sa n dc o n v o l u t i o np o l y n o m i a l i nt h el a s tp a r t , u s i n gt h em e t h o do fl 妯o r d a nm a t r i c e s ，w ef u r t h e rs t u d yt h ec o n v o l u t i o np o l y n o m i a l s k e yw o r d s ：b e l lp o l y n o m i a l ；c o m b i n a t o r i a ls e q u e n c e ；r i o r d a nm a t r i x ；g e n e r a t i n g f u n c t i o n ；c o n v o l u t i o np o l y n o m i a l i i 硕十学何论文 符号说明 x 的刀髟r 降彤r 乘( z ) 。= x ( x 一1 ) ( x 一2 ) ( x 一，l + 1 ) x 的刀阶升阶乘( z ) 。= z o + 1 ) ( 工+ 2 ) ( x + n - 1 ) 二项式系数= 等 可重复的二项式系数黔訾 第一类s t i f l i n g 数 无符号的第一类s t i f l i n g 数 第二类s t i f l i n g 数 幂等数，c 刀，尼，= ( ：) 尼4 一t 植定森林数j c 咒，幼= ( ：二：) ，z ”i 指数型b e l l 多项式或t ( 五，x 2 ，x 3 ，) 普通型b e l l 多项式4 t ( x l ，x z ，x 3 ，) b e l l 数 c a t a l a n 数 b e r n o u l l i 数 无符号的l a h 数厶= l 尼n 一- 1 1 1 尼n ! i 函数厂( f ) 的反级数 函数厂( f 1 中t 1 的系数 i i i ) ) a ) i、 幼 砷 幼 ” 助 他 铖m u m w 州删取 删 地 以q最 厶 衲叫 兰州理工大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名：倒 日期：癣j 月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和 借阅。本人授权兰州理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同 时授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据 库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名： 导师签名： 素祝秘 摊 日期：办揖厂月日 日期：州口年移月日 硕士学位论文 1 1 研究背景 第1 章绪论 在组合数学中有许多特殊的序列，例如二项式系数 4 7 4 8 】、f i b o n a c c i 数 1 2 ，3 1 ，4 9 ，5 4 、l a h 数 1 0 ，5 1 、b e r n o u l l i 数 1 0 ，5 1 、e u l e r 数 1 0 ，1 2 、s t i f l i n g 数 1 3 ，1 5 ，1 6 ，2 1 ，5 0 】 以及b e r n o u l l i 多项式 1 0 ，5 1 、e u l e r 多项式 1 0 ，5 1 1 、b e l l 多项式 1 0 等等这些特殊序列 均满足大量的恒等式，并且在组合数学、数论、数值分析等领域都有着广泛的应用 8 , 2 3 ，2 4 ，2 6 研究这些特殊序列历来是组合数学的主要课题之一，具有重要意义 对于这些特殊的组合序列与组合序列相关的矩阵，我们不仅需要研究它们本身所具 有的性质以及它们的相互关系，还需要研究这些序列和矩阵【2 ，5 ，3 2 3 4 ，4 4 4 6 的共性，从 而找到统一的理论或工具来处理它们 早在1 9 6 8 年，r i o r d a n 就在其著作( c o m b i n a t o r i a li d e n t i f i e s ) ) 2 8 】一书中系统的阐 述了研究组合序列、发现并证明的组合恒等式的理论他运用的方法有递归关系、反演 关系、发生函数、算子方法等等1 9 7 2 年，g o u l d 在其著作c o m b i n a t o r i a li d e n t i t i e s ) ) 1 l 】中例举了5 5 0 个恒等式，为人们提供了一个方便查阅的公式表1 9 9 4 年，徐利治先 生 5 3 1 也总结了组合恒等式发现与证明的方法，即利用超几何数推导组合恒等式、利用 积分表示法和留数计算处理和哑运算方法及嵌入反演方法，而从上世纪9 0 年代开始， z e i l d b e r g e r 、w i l f 等人提出并发展了组合恒等式证明的机械化方法 3 7 ，4 1 ，为组合序列 及组合恒等式的研究开辟出一条崭新的道路 下面我们重点介绍一下多项式序列中的b e l l 多项式b e l l 多项式作为组合数学中的 一个重要组合序列，在微分方程、随机过程和理论物理中都有着重要应用，而b e l l 多项 式这个概念最早是由美国数学家b e l l 在文献 3 】中提出的，其展式如下： 呐 沪森b ( 矾妒( 耥r 这里的和式取遍所有满足： q q + + 2 c 2 + + 3 c 3 + + c广三n的整数cl，c2，c3，。2c 3 【q + + 2 尼 为了更好的研究b e l l 多项式我们需要引入发生函数的概念发生函数也叫母函数或 生成函数发生函数的方法是离散数学领域中的一个重要方法，能以一种统一的程序方式 处理和解决众多不同类型的问题美国著名计算数学家w i l f 将它称为一种方法论，并分 关于b e l l 多项式的恒等式及其应用 别于1 9 9 0 年和1 9 9 4 年出版了专著发生函数论 3 8 发生函数通常可以为数列找出一 个显示表达式，可以求递推关系，求数列的平均值和其它统计性质，求数列的渐近公式， 证明单峰性和凸性，证明和寻找恒等式等 数列 ) 。a o 的普通型发生函数定义为 指数型发生函数定义为 厂( x ) = 口。+ 口l x + a 2 工2 + 一矿， 疗= 0 厂( 曲= + 告工+ 翕+ = 艺n = 0 吒吾 关于发生函数的系统理论及其应用请参见文献 4 和 4 5 】 一些常见数列的发生函数如下 焉1 _ 丢，h 五1 = 荟i x n ，矿= 丢i x i t ，( ，+ 矿= 丢( ： ”， 研1 = 积o r 庇卜雩1 - f f i - 4 x = 委丽1 = 蚓矿 1 2 预备知识 1 2 1 两类b e l l 多项式 b e l l 多项式根据其发生函数的不同分为指数型b e l l 多项式与普通型b e l l 多项式 指数型b e l l 多项式的实际上就是前文中所提到的b e l l 多项式指数型b e l l 多项式是 无限多变元五，鼍，x 3 ，由双重形式级数展开式定义的多项式e ，t = 最，。( 而，x z ，毛，) ： ( r ，“) = e x p ( “萎丐x m 丁t m ) = 篆萎e “五，吃，屯，) i t n u k ， 观察两边“的系数，有乏l ：( l y 怠x m m t ： i j = 萎或，。三，七= 0 ，l ，2 指数型b e l l 多项式的显式公式为： 呐 萨希( 甜( 妒( 尚r 2 硕士学何论文 和式取遍所有满足 c l + 。2 c ，2 + 。3 ，c 3 + 。- - ，y l 的整数q ，c 2 ，巳，o 关于此公式的证明过程 ic + g + g + = 庀 。 一 可参见文献 2 文献 2 中给出了指数型b e l l 多项式的一些特殊值： 或( 1 ，1 ，l ，1 ) = s ( n ，七) ， ( 1 1 ) e 删2 1 ，3 1 ，) = l 尼n - 一1 1 厨l n ! ( 1 2 ) 色1 ( 01 ，l ! ，21 ，) = c ( n ，露) ， ( 1 3 ) 色，。c，2，3，：=(：)z：f量， c 4 ) 普通型b e l l 多项式是如下定义的 1 0 】普通型b e l l 多项式是无限多变元五，而，而， 由双重形式级数展开式定义的多项式4 l 。七= 4 i ，。( 五，x 2 ，而，) ： 邮) _ e x p 峰矿埯e 恤e 。a n , t ( x i , x 2 ，x 3 , 矿等，m 2 l 七2 0n 七 ；， 观察两边等的系数，有( 荟r “) = n k 4 “，| j = 。，1 2 ， 在文献 2 7 】中，p o r t 给出了两类b e l l 多项式的关系式： e “五，而，弓，) = 吾4 ，t 噜，羞，蚤，) ( 1 5 ) 由此可以得出结论，两种b e l l 多项式的恒等式是可以等价互换的结合文献 2 中关于 指数型b e l l 多项式的恒等式与( 1 5 ) 式，立刻可得到普通型b e l l 多项式的恒等式： 4 击，去，击，) = 吾s ( ，z ，动， ( 6 ) 甜，1 1 ，) = 瞄) ， ( 1 7 ) 4 ，。( ，圭，；1 ，百1 ) = 等c ( ，z ，j j ) ， ( 1 8 ) 以“丽1 ，云，去，) = 丽k n - k ( 1 9 ) 我们将存第二童和第三童中看到f 1 6 、f 1 9 、式的应用 关y - b e l l 多项式的恒等式及其应用 1 2 2 广义b e l l 多项式 文献 2 中，c o m t e t 将b e l l 多项式的定义进行了推广：设q 。，q ：，q 3 ，是一列参照序 列，其中q 。= l ，q 。0 ，关于q 的b e l l 多项式磁= 既( x 。，恐，x 3 ，) 定义如下： q 一q 。x d “l = 既q 。 h i n k 令q 。= j 1 ，就得到了指数型b e l l 多项式；令q 。= 1 ，就得到普通型b e l l 多项式 2 0 0 1 年，美国数学家p o r t 在c o m t e t 工作的基础上进行了进一步研究，将这类广义 的b e l l 多项式命名为c o m t e t 多项式，并给出了它们的一些性质，为了引入c o m t e t 多项 式需要建立多项式序列 c n ( x ) = 1 。x = ( 留( 功，c p ( x ) ，) ， 这里1 = ( 1 ，l ，1 ，) ，x = o ，x 2 ，而，) 我们将c ( 功称为由l o x 定义的，1 次c o m t e t 多 项式： 驰地=zi、x,z,o,non ok l卜 为了更方便的研究这种多项式的性质，p o r t 引入了部分c o m t e t 多项式的概念，部 分c o m t e t 多项式c 2 ( x ) 定义如下： 薹酗地= 魄( 弘”吃丁， 因此我们有 砰= k = o 定理1 1 部分c o m t e t 多项式满足如下式子： 魄c 纛= 。+ 吃善秘( ，i ，吒! ，；，卜钟钟斫砷霹巧 在上式中取缈兰1 ，我们便得到了普通型b e l l 多项式4 。( x l ，x 2 ，屯，) 的表达式： ( 妒) - 1 + 2 1 2 + 荟惘意it 2 静移砖+ 峨= 月： ： t + i z + - + l = 女 1 2 3b e l l 多项式的应用 4 硕士学位论文 文献 2 给出了指数型b e l l 多项式的重要应用：f a ad ib r u n o 公式，以及f a ad ib r u n o 公式应用的三个例子 定理1 2 ( f a a d ib r u n o 公式) 设f ，g 均为形式幂级数 = 丢五蔷，g = 丕而t m ，劭= 。， 并设 是g 经过厂复合的形式幂级数： 矗= 丢杀币g 川g ) 那么系数吸由下式给出： h o = f o ，吃= 五最，。( g 。，9 2 ，岛一m ) f a ad ib r u n o 公式的证明过程请参见文献 2 定理1 3 对于函数f ，g ，h ，h = f 。g ，则h 在工= a 处的n ( n 1 ) 阶导数等于 九= 剖j 喜删孙矿概m i ) 下面给出f a ad ib r u n o 公式应用的三个例子 定理1 4 对数多项式厶定义如下： 则有 h ( 丢岛杀) = h ( 1 + g l t + 9 2 丢+ ) = 荟厶i t n ，岛= 厶= 厶( g 。，9 2 ，g 。) = ( - 0 一1 ( 七一1 ) ! 最，l ( g 。，g ：，) ，l o = o 定理1 5 对每个复数，位势多项式牟一定义如下： ( 善邑丢 7 = ( 1 + g 。t + 9 2 丢+ ) 7 = ，+ 善最一丢岛= 则有 群n = 7 ( g 。，g ：，g 。) = ( ，) 色，。( g 。，9 2 ，) ，碍7 = 2 1 a k g nk 定理1 6 对于任意复数，有 5 关- j - b e l l 多项式的恒等式及其应用 p n - r ) = r 磨川7 南门 定理1 4 1 6 的证明过程可参见文献 2 1 3 国内外研究现状 b e l l 多坝式目从芙国数字冢e t b c l l 征1 9 3 4 年阴又草 3 】e x p o n e n t i f lp o l y n o m i a l s ” 中首次提出以来，一直是组合学界的热门课题之一现在b e l l 多项式已经成为组合数学 中的一个重要内容，在微分方程、理论物理和随机过程中都有应用近几年来，b e l l 多 项式的恒等式及其应用引起了许多中外学者的兴趣 文献 1 】中，a b b a sm o n c e f 和b o u r o u b is a d e k 应用l a g r a n g e 反演公式 1 0 ，3 1 】和二项 式型多项式序列得到了指数型b e l l 多项式的若干恒等式具体结论如下： 设厂是一个解析函数，其初值f o o ，n ，m n 令 胁) ：一州) k n 1 ， 【( 厂( o ) ) ”， n 2 0 ， 其中d = 是微分算子 q w 定理1 7 对任意的，z ，k n ，k 刀，有 e “厶( 1 ) ，z ( 2 ) ，五( 3 ) ) = ( ：二：) z 一。( 以) 推论1 8 对任意的珂，k n ，k n ，a r ，有 色，。c c t 口，。，c 2 口，1 ，c 3 口，2 ，= ( ：二：) c 口以，”一i 实数集合r 的子集i 上的二项式型多项式 2 0 ，4 0 】纸 ) 定义为： 嘶训= 扰k 如( y ) = 0 “ 定理1 9 n ic r ，c o ( x ) 0 ，那么对于所有的珂，k n + ，k ，l ，有 最“c ，2 仍c ，3 仍c ，= ( ：) 纯一。c 尼， 6 硕+ 学位论文 其中s ( n ，后) 为第二类s t i r l i n g 数，b 。为b e l l 数，b 。= s ( ，z ，尼矿 推论1 1 。最，。( 鼠，2 骂，3 忍，) = l 七n 、备- k 5 | 仍一后，) 尼， 其中s ( n ，后) 为第二类s t i r l i n g 数，b 。为b e l l 数，e = s ( ，z ，尼讧 文献 3 9 】中，y a n gs h e n g l i a n g 应用发生函数的方法进一步研究了指数型b e l l 多项式 和二项式性多项式序列，推广了a b b a s 和b o u r o u b i 的结果，得到了如下的一些恒等式 定理1 1 1 对任意的托，k n ，k ，l ，有 色“c x ，2 仍c 功，3 伤c 功，= ( ：) 纯一。c 缸， 定理1 1 2 对任意的n ，k n ，k n ，有 e “仍c 工九仍c 功，仍c n = 去高c 一，h ( ； 纯c 豇， 定理1 1 3 对任意的，z ，k n ，2 k ，l ，有 色一。，。! 三绝c x ，j 1 伤c x x ，( ：) 后：= 去喜喜c 一- ，。一7 ( 多) ( ： ( 后了) z ：x 织一；c 肛， 文献 2 5 】中，m i h o u b im i l o u d 用发生函数和哑运算 1 7 】的方法得到了指数型b e l l 多 项式的许多恒等式，主要结果如下： 定理1 1 4 对任意的n ，k n ，k 刀，a ，b r ，有 ，z 背，m ) 警糌 定理1 1 5 对任意的n ，k n ，k n ，a ，b r ，有 ( 等，等，) = 南醐型掣 文献 3 5 中，w a n g w e i p i n g 和w a n g t i a n m i n g 详细研究了由指数型b e l l 多项式构成 的矩阵及其性质文献 2 2 】中，m a n s o u r 和s u n 研究了b e l l 多项式与位势多项式和d y c k 路的关系，得到了一些重要的结论文献 3 6 】中，w a n gw e i p i n g 和w a n gt i a n m i n g 应用 r i o r d a n 矩阵的方法研究了b e l l 多项式与s h e f f e r 序列的关系，得到了若干有用的结论 7 关于b e l l 多项式的恒等式及其应用 其它关于b e l l 多项式的文章请参见文献 1 2 1 5 ，2 3 ，2 7 ，5 0 8 硕十学位论文 第2 章b e l l 多项式与组合序列 经典的组合序列向来是组合数学界的热门研究课题之，而二项式系数、f i b o n a c c i 数、s t i r l i n g 数、c a t a l a n 数、b e r n o u l l i 数、e u l e r 数等组合序列由于其重要的应用性，更 是许多组合数学家们研究的对象，本章将给出b e l l 多项式与上述各种组合序列之间的关 系及其恒等式 2 1r i o r d a n 矩阵 2 1 1r i o r d a n 矩阵的定义 在文献 2 9 3 0 1 q b ，s h a p i r o 等人介绍了r i o r d a n 群的概念为了定义r i o r d a n 群，需 要两个形式级数g ( f ) = l + 蜀h9 2 t 2 + 和厂( f ) = a t + a t 2 + ( 石o ) 令m = ( 所。j ) 础邵 为一个主对角线非0 的下三角矩阵，其( ，l ，足) 元满足，。= i t “k ( f ) ( 厂( f ) ) 在这种条件下， 矩阵m 被称为r i o r d a n 矩阵，记为m = ( g ( f ) ，( f ) ) = ( g ，f ) ，所有的r i o r d a n 矩阵构成一 个群，被称为r i o r d a n 群r i o r d a n 群满足如下的乘法规则： ( g ( f ) ，厂( f ) ) ( 矗( f ) ，) = ( g ( f ) ( 厂( f ) ) ，( 厂( f ) ) ) ， ( 2 1 ) 陬2 1 ) 婀胍幽洲靴勐( 1 ，f ) ，断批居) - 1 2 l 高了j 其中7 0 ) 为厂( f ) 复合逆，即7 ( 厂o ) ) = 厂( 7 ( f ) ) = f 在文献 2 9 】中，介绍了r i o r d a n 群的一个子群：相伴子群= ( 1 ，厂( f ) ) 其中 ( f ) = z f ”且彳o ，易见其( ，z ，后) 元为旷】( 厂( ，) ) = i t n 】l 厶，i = 4 ，。( 石，五，) ， n lm l 恰为普通型b e l l 多项式 2 1 2r i o r d a n 矩阵的应用 定理2 1 对任意的两个序列 a 。 ， 吃) ，( 聆o ) ，有如下关系成立： 其中( f ) = a t “，7 ( f ) = z t ”，厂( f ) 与7 ( f ) 互为复合逆 n ln 纠 9 关于b e l l 多项式的恒等式及其戍用 证明：设序列 a 。) ， 玩) 的发生函数分别为a ( t ) ，b ( f ) 由r i o r d a n 群理论，定理2 1 中的 式子可翻译为么( ，) = ( 1 ，( f ) ) b ( f ) 铮b ( f ) = ( 1 ，7 ( f ) ) 么( z ) ，由此可得结论 定理2 1 有许多应用，侈t o l l t l y , f ( f ) = 西t ， 式，我们便得到了 可得7 ( f ) = ，由定理2 1 结和( 1 8 ) l + t 口。= 荟( ：二：) 坟c ，吃= 丢c 一，玎一( ：二： 口。c 2 2 ， 在( 2 2 ) 式中令q = ，2 口。，a n = r i b ，我们便得到了著名的二项式反演公式： 巳二丢( 以k ) ，kc 争以= 荟c 一，”一( ： c 。 若取八f ) = 一1 ，可得灭f ) = l n 0 + t ) ，由定理2 1 结合( 1 8 ) 式，我们便得到了 巳= 善争( 刀! 后) 玩吃= 荟等( 捍，七) 嚷 ( 2 3 ) 在( 2 3 ) 式中令巳= 刀! ，以= 刀! 吃，我们便得到了著名的s t i f l i n g 反演公式： 巳= s ( n ，k ) 4 营以= s ( 以，七) 气 ( 2 4 ) 设矽( 忉为有限集合n 到自身的映射集合，则眵( 加l = ，i i = 刀映射厂缈( 忉 称为幂等的当且仅当对所有的x n ，有厂( 厂( x ) ) = f ( x ) 成立我们引入幂等数 j ( ，z ，d = ( 兰 忌”t ，文献 2 中给出了上述幂等映射的个数恰为喜j ( 以，d 具有n + 1 个顶点最大度为k 的标定树的数量，称为植定森林数【5 1 】a ( n ，七) ，其中 j c ，l ，七，= ( ：二：) 以4 一i 若取厂o ) = ，由l 孵a j l g e 反演公式可得7 ( f ) = 善( - n 以) ! n - 1 t ”，由定理2 1 ，我们便 得到了 = 莓高瓯玩= 莓篙 ( 2 5 ) 在( 2 5 ) 式中令气= 七! q ，畋= k t b , , ，便得到了幂等数与植定森林数的反演公式： 1 0 硕士学位论文 巳= z i ( n ，k ) d k 以= ( 一1 ) ”j ( n ，k ) c k 下面几节我们将讨论普通型b e l l 多项式与各种组合序列的恒等式，为此，我们回顾 前文中普通型b e l l 多项式的概念：普通型b e l l 多项式是无限多变元五，x 2 ，x 3 ，由双重形 式级数展开式定义的多项式4 ，。= 4 。( 五，而，x 3 ，) ： 厂 邮- e x p l “m l 矿j - k o n k 以“m 妒m ”备l i , ； 观察两边百u k 的系数，有( 萎靠尸) 。= n 2 k 以”，k - 0 , 1 , 2 , - - - 2 2b e l l 多项式与h a r m o n i c 数矾的恒等式 h a r m o n i c 数也，我们通常称为调和数，其定义为巩：l + 去+ 一1 ( n - d ，n o ：o ， 其发生函数为厂( f ) ：一_ l n ( _ 1 - t ) 定理2 2 4 “骂，) = 薹等c ( 刀，m ) 高，( c ( ，z ，后) 为无符号的第一类s “i n g 数) 证明：由砌。r d a n 矩阵( 1 ，- 一生呈) = ( 1 ，一l l l ( 1 一们( 1 ) ，结合( 1 9 ) 式可知( 1 ，一1 n ( 1 一f ) ) 中 的( ，z ，七) 元为4 l ，。 ，圭，j 1 ，i 1 ) = 等c ( 以，尼) ，结合( 2 1 ) 式可知( 1 ，) 的( 刀，七) 元为 ( 击，吉，扣) = 丽n - k ，而( 1 ，一警) 元枞脶忍) ，于是便 得所要结论 推论2 3 最，。( s ( 2 ，2 ) ，j ( 3 ，2 ) , - - - , s + 1 ，2 ) ，) ：兰c ( ，z ，聊) ，伽，后) 证明：文献【3 】给出了h 。与s ( n ，后) 的关系：玎! 乜= s ( n + l ，2 ) ，再结合定理2 2 与( 1 。5 ) 式可 得 推论2 4 色，。( 1 ，l ，) = s ( n ，m ) i ( m ，七) ， m = k 其中五= 1 ，毛= ( - d 4 ( ，z 一2 ) ! ，( ，z 2 ) 关t - b e l l 多项式的恒等式及其应用 证明：由r i o r d a n 矩阵( 1 ，( 1 + f ) h 1 ( 1 + f ) ) = ( 1 ，l n ( 1 + f ) ) ( 1 ，t e ) ，可得： 伽，狂， 归薹蔫备m ， 仁6 ， 其中是( 1 + f ) l n ( 1 + f ) 中f “的系数，毛= 1 ，吒= 云( - i w 面，( 咒2 ) ，再结合( 2 6 ) 式与 在文献_ f 1 1 中给出了b n 阶指数型b e l l 多项式矩阵的定义： ( 或) f ，= 尽。( 玉，x 2 ，) ，( f ，1 ) 于是推论2 3 、2 4 可看作是指数型b e l l 多项式矩阵的分 三。三草 = i 三：； 兰三草 ， 三三草 = 三三草 妻兰草 定理2 5 对任意的两个序列 a 。) ， 吃) ，( ，l 0 ) ，有如下反演关系成立： 证明：根据定理2 2 ，4 l “珥，吼，) = 薹等c ( 以，m 石筹斋，结合定理2 1 我们只需求 出r i 。r d a n 矩阵( 1 ，一h a l o 一- f t ) 的逆矩阵即可考虑m 。r d a i l 矩阵的逆矩阵 ( - ，一l n ( 1 一z ，t ) - = ( 1 , t e t ) - , ( ，也c 硝1 ，又因加册1 = 嘛了( _ n ) n - i ) ， ( 1 , - l n ”们一= ( 1 1 玎) ，得( 卜l n ( 1 - - t ) 、i - = 噍譬r ”) ( 1 1 巧) ， 睡辱t 4 卜顺枞冉，譬，一= 瓣， 而( 1 ，1 一p 叫) 中的( n , k ) 元为4 l “可i ，一去，击，) = ( 一1 ) ”等s ( 玎，七) ， 于是对任意的两个序列 c 。 ， 以 ，( 玎0 ) ，有如下式子成立： 1 2 七 口 、， 七m ，l s 、j m ，l ， 七卜 n ：、 一 ，i、 。耐脚 = 以 营 、j 尼 m ，ly m 惕， c 。柑脚 = 一 口 硕十学位论文 巳= 荟薹和川高喀 小丢薹篙厂。熹洲k 最后，再取口。= ，z ! 巳，吃= 刀! 以即得所要结论 2 3b e l l 多项式与f i b o n a c c i 数e 的恒等式 f i b 。n a c c i 数e 的发生函数为厂( f ) 2 i = j 了，其中磊= o ，互= 1 ， 定舭6 锵瞄，= 扑+ ( 卵一乏聊) 证明：4 “互，e ，e ，) = 旷】( i 圭7 ) = 矿。】萎( ： ( 一- ) ”z 唧+ 矿 = p ”，丕( 七+ ：一1 ) ”( - + r ，” = p ”。，丢荟( 尼+ 竺一1 ) ( 了) r ”“ = 羹( 后+ ：一1 ( 聆一? 一m ) 在下一部分，我们将研究一些新的反演关系，为此先给出文献【2 中的l a g ；r a n g e 反演 公式的一个推论： 引理2 7 对任一形式级数( f ) = z 槲a n t n , ( 口- o ) ，其互反级数厂 ( f ) 2 丢西卅广 有如下公式成立： 矿】( 广) = 克( 2 芸鲁。一乍柑1 ( 们炉 客理28 对仟煮的两个序歹i if al ，f 6 ，f ，l 0 1 ，有如下反演关系成立： 吼= 4 ，。( 互，e ，) 玩= 委嚣筹一肟j 犷l 一m 卜 证明：由定理2 2 ，我们只需要求出4 。( 彳，五，) ，其中7 ( f ) = z f “，是e 的发生函 n l 关于b e l l 多项式的恒等式及其应用 数厂( f ) = f 7 的互反级数再由定理2 1 和引理2 7 可得： 枷知扣矿妙“沁，k = k ( 2 卅茗筹旷m 仪南) 7 = 琵筹一心j 犷l 小mm ) 最后，应用定理2 2 得所要结论 2 4b e l l 多项式与b e r n o u l l i 数最的恒等式 b 锄。u l l i 数 1 0 】最的发生函数为厂( f ) = 7 j t，其中鼠= l ，尽= 一三1 ， 定舭9 钆c 鲁，鲁，扣= 丢耋篙瞅m 卅 矾c 鲁，鲁争- 邛“，( 去一) 邛”，扣广”防( 扎) 叫 邛”，扣) 份”丢( m 丢孚 篙t m j t 朋 一m ) ! z j 删腻可得郴愚砂，一荟砉篙( m 推规1 。”导1 一妒) - 鼢( 聃，) ，其中吒= 等 证明：根据r i o r d a n 矩郸血( 1 叫1 ，去一1 ) = ( 1 ，半一1 ) ，然后结a ( 1 5 ) 式可得 2 5 b e l l 多项式与g e n o c c h i 数g 的恒等式 g e n o c c h i 数 1 0 】q 的发生函数为厂( f ) = ；可2 t ，其中g o = 。，g l = 1 ， 定配- - 噜，鲁导，= 驴n 高n 一) 1 4 。删脚 = 硕士学位论文 积( 鲁，争) _ 【卅( 寿) 。邛h 邶_ = t n - k 驴，”n 1 麾簪m o ， ，o ： = 萎( 一) 2 z m n - 忌k ) 八f f t , t t 七+ ：一1 加0 一n ，： ， 对定理2 1 1 应m ( 1 5 ) 式，便得 e ，。c q ，q ，= 萎c 一，”2 。m ”( ：) ( 后+ ：一1 m 2 0 7 0 ， ， 推论2 t 2 色，。c ，一2 ，毛，= 1 om 窆f k2 。c 一，7 s c n ，m ，z ”以( ： ( 七+ ；一1 ) ， n 其中毛= 一；喜芋 觋根据r j o r d a n 觯( 血( 1 叫l ，寿) = ( - ，掣) ，然后应月( 1 5 ) 式醮 2 6 b e l l 多项式与c a u c h y 数的恒等式 在文献 1 0 中，介绍了两类c a u c h y 数a n , b 。第一类c a u c h y 数：a n = r ( 功。d x ，其 发生函数为厂( f ) = 丢丢= 丽t ；第二类c a u c h y 数：吃= f ( x ) 。出，其发生函数为 门) = 萎瓯丢= 而- t 定理2 1 3 两类c a u c h y 数a n ，吃满足。 e ，。( 岛，6 2 ，) = 厶，。或，。( 口。，口：，) 最，。( q ，口：，) = ( 一1 ) ”厶