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哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 几类具有功能性反应的离散捕食模型的稳定性分析 摘要 在生态系统中种群数量的变化许多是服从离散规律的，因此用差分方程 描述种群动力学性态更符合实际。本文针对三类具有功能性反应的离散捕 食一被捕食模型，利用差分方程分析的方法及重合度理论，给出了种群的持 久生存及周期解的存在条件。主要工作分下面三部分： 第一部分，针对一类具有功能性反应函数的捕食模型，利用具有逐段常 数变元的微分方程思想，推导出相应的具有常系数功能性反应函数的差分方 程；用定性分析的方法得到了离散模型正平衡点的存在唯一性条件；利用代 数中的特征值法得到正平衡点局部稳定的充分条件；通过构造适当的 l i a p u n o v 函数方法，得到此模型正平衡点全局稳定的充分条件。 第二部分，考虑到种群的许多行为和性质都是随着时间周期性交化的影 响，建立了具有周期系数的基于比率的离散捕食一被捕食模型，利用分析的 方法和不等式技巧，通过对模型右端函数适当放缩，得到此模型持久性的充 分条件；通过构造恰当l i a p u n o v 函数，讨论了此模型周期解的全局稳定性。 第三部分，考虑了时滞因素，讨论了具有离散时滞的l e s l i e 捕食模型， 利用重合度理论中的延拓定理，得到此模型周期解的存在条件；利用分析的 方法和不等式技巧，通过对模型右端函数适当放缩，得到此模型持久性的充 分条件。 通过对种群模型的持久性、稳定性的研究，可以更好地指导人们利用自 然、改造自然，这对于保持生态系统的多样性和生态环境的可持续发展有着 广泛的理论和现实意义。 关键词离散捕食系统；全局渐近稳定；持久性；周期解；时滞 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 r e s e a r c hf o rs o m ed i s c r e t ep r e d a t o r - p r e y m o d e lw i t hf u n c t i o n a lr e s p o n s e a b s t r a c t t h ec h a n g eo fe c o l o g i c a lp o p u l a t i o nm o s t l yo b e yt h ed i s c r e t el a wi nt h e e c o l o g i c a ls y s t e m u s i n gd i f f e r e n c ee q u a t i o nd e s c r i b i n gt h ep o p u l a t i o nd y n a m i c s o ft h es t a t ei sm o r ei nl i n ew i t hr e a l i t y t h i sp a p e rm a i n l ys t u d i e st h r e es e r i o u so f p r e d a t o r - p r e ys y s t e m sw i t hf u n c t i o n a lr e s p o n s e u s i n ga n a l y t i c a lm e t h o do f d i f f e r e n c ee q u a t i o na n dc o i n c i d e n c ed e g r e et h e o r y w eo b t a i nt h ep e r s i s t e n c eo f t h ep o p u l a t i o na n dt h ee x i s t e n c ec o n d i t i o no fp e r i o d i cs o l u t i o n t h r e ep a r t so f m a i nw o r ka r ea sf o l l o w s ： i nt h ef i r s tp a r t ，f o rac l a s so ft h ep r e d a t o r - p r e ym o d e lw i t hf u n c t i o n a l r e s p o n s ef u n c t i o n ，u s i n gt h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n st h i n k i n gw i t hp i e c e w i s e c o n s t a n ta r g u m e n t ，w ed e r i v ef r o mt h ec o r r e s p o n d i n gc o n s t a n tc o e f f i c i e n to f d i f f e r e n c ee q u a t i o nw i t hf u n c t i o n a lf u n c t i o n b yu s i n gt h em e t h o do fq u a l i t a t i v e a n a l y s i s ，w eo b t a i n ac o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fp o s i t i v e e q u i l i b r i u mp o i n ta b o u td i s c r e t em o d e l u s i n gt h ee i g e n v a l u em e t h o di na l g e b r a ， w ec a no b t a i nt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rp a r t i a ls t a b i l i t yo fp o s i t i v ee q u i l i b r i u m p o i n t b yc o n s t r u c t i n gas u i t a b l el i a p u n o vf u n c t i o n a l ，w ed i s c u s sg l o b a ls t a b i l i t y o fp o s i t i v ee q u i l i b r i u mp o i n t i nt h es e c o n dp a r t ，t a k i n gi n t oa c c o u n to ft h ei m p a c to fc y c l i c a l c h a n g e ， w h i c hi nm a n ya c t sa n dp r o p e r t i e so ft h ep o p u l a t i o na l o n gw i t ht h et i m e ，w e b u i l dap r e d a t o r - p r e ym o d e lw i t hr a t i o - d e p e n d e n tp e r i o d i cc o n s t a n t u s i n g a n a l y t i c a la n di n e q u a l i t i e sm e t h o d ，p r o p e r l yz o o m i n gt h er i g h tf u n c t i o no ft h e m o d e l ，w eo b t a i nt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o no fp e r s i s t e n c e b yc o n s t r u c t i n ga a p p r o p r i a t el i a p u n o vf u n c t i o n a l ，w eo b t a i nt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o no ft h eg l o b a l s t a b i l i t yo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n i nt h et h i r dp a r t ，c o n s i d e r i n gt h ef a c t o ro ft i m ed e l a y , w ed i s c u s sl e s l i e p r e d a t o r p r e ym o d e lw i t ht i m ed e l a y b ya p p l y i n gt h ec o n t i n u a t i o nt h e o r e mo f c o i n c i d e n c ed e g r e e ，w eo b t a i ne x i s t e n c ec o n d i t i o no fp e r i o d i cs o l u t i o n u s i n g a n a l y t i c a la n di n e q u a l i t i e sm e t h o d ，p r o p e r l yz o o m i n gt h er i g h tf u n c t i o no ft h e m o d e l w eo b t a i nt h es u f l f i c i e n tc o n d i t i o no fp e r s i s t e n c e i i t h er e s e a r c ha b o u tp e r s i s t e n c ea n d s t a b i l i t yo fe c o l o g ys y s t e mc a nb eu s e d t og u i d ep e o p l et om a k ef u l lu s eo ft h en a t u r ea n dr e m o l dt h en a t u r e t h o s ew i l l h a v ev e r yi m p o r t a n te x t e n s i v et h e o r e t i c a la n d p r a c t i c a ls i g n i f i c a n c et om a i n t a i n t h ed i v e r s i t yo fe c o s y s t e m sa n dt h es u s t a i n a b l ed e v e l o p m e n to ft h ee c o l o g i c a l e n v i r o n m e n t k e y w o r d sd i s c r e t ep r e d a t o r - p r e ys y s t e m ，g l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t y , p e r s i s t e n c e ， p e r i o d i cs o l u t i o n ，t i m ed e l a y i i i 哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文几类具有功能性反应的离 散捕食模型的稳定性分析，是本人在导师指导下，在哈尔滨理工大学攻读 硕士学位期间独立进行研究工作所取得的成果。据本人所知，论文中除已注 明部分外不包含他人已发表或撰写过的研究成果。对本文研究工作做出贡献 的个人和集体，均已在文中以明确方式注明。本声明的法律结果将完全由本 人承担。 作者签名：萆知苍主炭日期：瓣3 月i o e l 哈尔滨理工大学硕士学位论文使用授权书 几类具有功能性反应的离散捕食模型的稳定性分析系本人在哈尔滨 理工大学攻读硕士学位期间在导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研 究成果归哈尔滨理工大学所有，本论文的研究内容不得以其它单位的名义发 表。本人完全了解哈尔滨理工大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向有关部门提交论文和电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授 权哈尔滨理工大学可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文，可以公布 论文的全部或部分内容。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用授权书。 不保密幽。 ( 请在以上相应方框内打v ) 作者签名： 导师签名： 韩桎关 日期：细占年弓月1 0 日 格日期：缈将3 月加日 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 课题背景 差分方程是用来描述寿命较短、世代不重叠或数量较少的种群。由于在自 然科学、社会科学和工程技术的许多领域有不少现象只能用差分方程这种离散 的数学模型来描述，因此对差分方程的理论进行研究显得尤为重要。由于受现 实中的许多自然因素( 例如环境、气候、生态空间等) 的影响，种群的许多行为 和性质都是随着时间的变化而变化的，因此对具有周期系数的模型进行详细的 理论研究是非常必要的，并且国内外学者在此方面取得了一定的研究成果。对 于捕食系统，在食饵不充足时，捕食者不得不分享或竞争食物，为了使生物模 型更贴近现实，故对具有周期系数的基于比率的捕食系统进行研究，不仅对生 物种群的持续生存起到了指导作用，而且有着重要的理论价值。生物模型中的 时滞对模型的定性分析有显著影响，有些比较大的时滞甚至有可能破坏正平衡 点的稳定性。在种群个体之间相互作用的时候，时滞往往是不可避免的，因为 捕食者当前时刻的出生率是由过去一段时间内捕食者对食饵的捕获率决定的。 在模型中加入时滞，模型能更好的模拟自然界中的真实情况，所以考虑时滞的 食饵一捕食模型是现阶段研究的重点。 1 2 国内外发展概况 由于在自然科学、社会科学和工程技术的许多领域有不少现象只能用差分 方程这种离散的数学模型来描述，因此对差分方程的理论研究显得尤为重要。 然而，对于差分方程理论的研究还不是很成熟，因为差分方程理论研究的历史 非常短，真正开始在9 0 年代初期。在近十年的时间里发展的较为迅速，在一 些文献中出现了大批的研究成果。其中比较有影响的代表性著作有a g a r w a lr p 在1 9 9 2 年出版的专著( ( d i f f e r e n c ee q u a t i o n sa n di n e q u a l i t i e s ：t h e o r y , m e t h o d s a n da p p l i c a t i o n s 【1 1 ，k o c i cvl 和l a d a sg 在1 9 9 3 年出版的g l o b a l a s y m p t o t i cb e h a v i o ro fn o n l i n e a rd i f f e r e n c ee q u a t i o n so fh i g h e ro r d e rw i t h a p p l i c a t i o n s ) ) 2 1 等。l a d a sg 在介绍差分方程基本理论、总结已有结果和方法 的基础上，提出了许多研究问题，尤其在书中专门有一章就研究过程中遇到的 不能解决的问题以“公开问题与猜想”的形式提出来，供研究者去探讨。 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 s a k o v s k i i 等对一类单种群自治系统进行了全面的研究p , 4 m 7 ，即l 。1 9 9 5 年， 王德全和黄永年对离散广义的l o g i s t i c 模型做了详尽的分析，阐述了参数变化 时，稳定的不动点失稳后，产生倍周期分叉，进而，当参数达到某一值后，最 后产生混沌现象【1 0 l 。z h o uz 和z o ux 研究了非自治的单种群离散模型，得到 了系统持续生存的充分条件及稳定周期解的存在性【1 1 1 。李医民、周燕用常微分 方程和差分叠代法分析了一类具有收获系数的单种群模型的差分方程，得到了 该模型的不动点及其稳定的参数区域和吸引的参数区域【1 羽。张悦等采用 l i a p u n o v 指数方法，验证了一类离散广义的l o g i s t i c 模型存在混沌现象，并采 用混沌控制中o g y 方法的基本思想，研究了这类模型的混沌控制问题，得到 了消除混沌、保持种群稳定到不动点和2 周期轨道的充分条件【1 3 1 。 对单种群离散时间系统的研究表明，离散时间系统比连续时间系统具有更 加复杂的种群动力学行为，因此对多维离散时间种群动力学行为的研究更加困 难。 1 9 9 9 年，王稳地、陆征一研究了一般的两种群相互作用的离散动力学模 型，得到了两种群的共存系统总存在无界解，并且证明了两种群竞争系统若存 在局部稳定的正平衡点，则必为永久生存【1 4 1 。h o f b a u e rj ，h u t s i nv 和j a n s e n w 给出了一般的l o t k a v o l t e r r a 离散系统最终一致有界和永久生存的条件1 1 5 】。 随着研究的深入，研究的种群数量也从两种群到三种群，甚至多种群模 型。l a d a sg 等人研究了多维非线性差分方程的全局稳定性1 7 1 。王稳地、陆 征一通过构造适当的l i a p u n o v 函数和利用数学分析中有限覆盖定理，证明了n 种群相互作用的离散时间模型的全局稳定性【1 8 】。2 0 0 0 年，廖进昆等考虑离散捕 食链型系统的全局性抖1 9 1 。 由于受现实中的许多自然因素( 例如环境、气候、生态空间等) 的影响，种 群的许多行为和性质都是随着时间的变化而变化的，因此对周期系数的系统进 行详细的理论研究是非常必要的。 2 0 0 1 年，王稳地对周期系数的系统作了很好的研究【2 0 i 。2 0 0 2 年，m u r o y a y 讨论了非自治l o t k a v o l t e r r a 离散模型的持久性和全局稳定性【2 1 1 。c h e nym 和z h o uz 讨论了两种群竞争的l o t k a v o l t e r r a 模型，得到了保证系统全局渐近 稳定周期解存在的充分条件【2 2 i 。2 0 0 4 年，李万同、h u oh a i f e n g 研究了离散的 l e s l i e g o w e r 捕食模型，得到了周期解的存在性，最后对模型线性化后构造适 当的l i a p u n o v 函数，得到正周期解全局稳定的充分条件【2 3 1 ；同年，他们又研 究了p l a n k t o na l l e l o p a t h y 离散模型，证明了模型永久性和全局稳定性的充分条 件【2 4 1 。2 0 0 6 年，潘红卫考虑一类具相互干扰的离散l e s l i e 系统，利用拓扑度方 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 法，获得了该系统正周期解存在的充分条伊捌。 生物种群的持续生存是数学生态学中捕食理论及其有关课题的一个重要方 面。近年来，越来越多的明显的生物学和生理学证据表明，在许多情形下，特 别是当捕食者不得不搜寻食物( 因此不得不分享或竞争食物) 时，更切合实际且 更一般的捕食一被捕食模型应依赖于基于比率理论。2 0 0 2 年，f a nm 和w a n gk 讨论非自治比率型的离散捕食者系统，得到有周期正解的充分性条件，但没有 考虑系统周期解的稳定性 2 6 1 。2 0 0 4 年，陈晓星针对此模型通过构造适当的 l i a p u n o v 函数，建立了保证离散型基于比率的捕食者一食饵系统周期正解的全 局稳定性的充分条件田】。董士杰、葛渭高针对一类基于比率的离散型捕食系 统，利用重合度理论给出了该系统正周期解的存在性判据冽。梁志清考虑一类 基于比率确定的离散l e s l i e 系统正周期解的存在性 2 9 1 。高建国、吴润莘、林丽 玉讨论了一类具有h o l l i n g i i i 类功能性反应的基于比率的离散l e s l i e 捕食者一食 饵模型，利用重合度理论中的延拓定理，得到了该系统正周期解的存在判据， 利用差分方程比较原理，探讨了周期情形下此模型的持久性 3 0 , 3 1 1 。 生物模型中的时滞对模型的定性分析有显著影响，有些比较大的时滞甚至 有可能破坏正平衡点的稳定性。在种群个体之间相互作用的时候，时滞往往是 不可避免的，因为捕食者当前时刻的出生率是由过去一段时间内捕食者对食饵 的捕获率决定的。在模型中加入时滞，模型能更好的模拟自然界中的真实情 况，所以考虑时滞的食饵一捕食模型是现阶段研究的重点。刘振红应用向量 l i a p u n o v 函数与滞后的比较定理，研究了一类具有滞后的线性时变离散大系统 的不稳定性，通过模型集结将其简化为低维线性定常离散滞后系统，得到不稳 定判断结果【3 2 1 。2 0 0 3 年，张树文、陈兰荪考虑了一个具有离散时滞的非自治捕 食系统，给出时滞对系统的持续生存是无害的，从而确定了系统周期解全局吸 引的条件【3 3 】。2 0 0 6 年，l i a ox i n y u a n 等利用第二l i a p u n o v 函数方法，得到了离 散时滞系统零解渐近稳定的条件，并把它应用到实际 3 4 1 。2 0 0 7 年，杨柳研究了 一类离散时滞具有功能性反应的捕食一食饵系统，运用重合度理论中的延拓定 理，得到了系统至少存在一个正的周期解的充分条件【3 5 l 。 1 3 存在不足及有待进_ 步研究的内容 国内外学者研究的模型大多数都是以两种群为主，且研究的大部分结果是 针对l o t k a v o t c r r a 型系统，而对于l o t k a v o l t e r r a 系统，即使在最简单( 比如 二、三种群) 情形，也有很多永久生存、一致有界、全局稳定和混沌方面的未 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 解决问题。对于具有周期系数的系统及时滞离散系统，主要集中在周期解的存 在性，系统的永久生存及全局稳定性。本文将在已有结果的基础上，首先考虑 常系数具有功能性反应的两种群模型；其次研究了具有周期系数的捕食模型； 最后研究具有时滞的两种群模型。本文主要研究种群的持久性以及稳定性。 1 4 课题来源 本课题来源于导师的黑龙江省自然基金项目。 1 5 主要研究内容 1 一类具有功能性反应的离散捕食与被捕食模型的稳定性分析 1 9 9 8 年，欧阳军、杨德全考虑了连续的功能反应函数为x 的食饵捕食模 型，证明了此捕食模型只有唯一正平衡点，且其外围至少存在两个极限环的可 能【3 6 1 2 2 9 - 3 3 3 。由于生态系统本身是离散的，用差分系统来描述捕食与被捕食模型 更符合实际，通过对连续系统的合适修正，可得相对应的离散模型 r 三 一三 l o + 1 ) 一x 1 ( t ) e x p 1 - a x l ( t ) 2 一1 0 f ) 2 x 2 ( f ) ) 1三 i xo + 1 ) = x 2 ( t ) e x p - s + 1 8 x x ( t ) 2 - e x r t ) 其中，五( f ) 、x 2 q ) 分别表示食饵、捕食者在时刻f 两种群的数量。本文利用定 性分析的方法得到正平衡点存在条件及此正平衡点局部稳定的充分条件；通过 构造适当的h a p u n o v 函数给出模型全局稳定的充分条件。 2 一类基于比率的离散模型的持久性与全局稳定性 董士杰等考虑了非自治具有离散时间的比率型捕食者一食饵模型 一o + 1 ) 一一o ) e x p 口o ) 一6 0 h o ) 一鬲嚣黼 屯o + 1 ) 一吒( f ) e x “一d o ) + 磊万e 两( t 丽) x 再2 1 ( 夏t ) 而) 其中，五0 ) ，x z ( t ) 分别表示食饵与捕食者在时刻t 的密度；口( f ) ，d o ) ：z 呻尺和 1w - 11w - 1 6 ( f ) ，c ( f ) ，r e ( t ) ，e q ) ：z _ r + 均为周期函数，且万= 三罗口( f ) ，孑= 三罗d o ) ， 箭箭 为给定的正整数。考虑到模型的实际意义，仅讨论满足初始条件五( o ) 0 ， x ，( 0 ) 0 的解。利用重合度理论给出了模型正周期解的存在性判据【2 8 】1 4 3 。1 4 6 。在 哈尔滨理工大学理学硕十学位论文 这里，将继续研究此模型。本文利用分析的方法和不等式技巧，通过对模型右 端函数适当放缩，给出模型持久的充分条件；通过构造恰当l i a p u n o v 函数的 方法给出模型周期解全局稳定的充分条件。 3 具有离散时滞的l e s l i e 捕食模型的生存分析 梁志清讨论了一类基于比例的离散l e s l i e 系统正周期解的存在性【2 9 1 4 2 1 埘， 本文在此基础上，研究下面模型 1 0 ) e x p o ) 一岛o ) 1 0 一一) 一瓦x 豸揣 z ( t ) e x p r 2 ( f ) _ 咄) 糕) 其中，l o ) ，2 0 ) 分别表示食饵、捕食者在时刻t 的密度；o ) ：z 呻尺， a i ( f ) ，6 ；o ) ：z 一尺+ ，f - 1 ，2 是0 3 周期函数，为给定的正整数，_ ，吃是时滞 量，均为正常数。本文将利用重合度理论中的延拓定理，得到此模型正周期解 的存在性；对模型右端函数适当放缩，得到此模型持久性的充分条件。 毒 i d d + + o o 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 第2 章预备知识 2 1 基本定义 考虑一阶差分方程 t + 。1 厂“) ( 2 - 1 ) 其中，厂o ) 为连续函数。若将方程( 2 - 1 ) 视为种群生态方程，毛表示t 时刻种群 密度，且假设对所有的z 0 ，有厂0 ) 0 。因此，差分方程( 2 1 ) 也可看成是 一个从( 0 ，+ ) 到( 0 ，+ ) 的连续点映射。 为具体描述种群的不同生存状态，给出以下定义： 定义2 1 t 3 】舳若存在点i ，使得对所有的t f l 夏 则i 称为差分方程( 2 1 ) 的平衡点。 定义2 2 3 舯如果存在一个正整数k ，使得黾一而，当t 称为周期为k 的周期轨道。 定义2 3 【1 8 1 1 蚴 若差分方程( 2 - 1 ) 的任意正解饥 均满足l i m i n f x , 0 ( 1 i m s u p x , 0 ) ，则称差分方程( 2 - 1 ) 是强( 弱) 持续生存的。 定义2 4 【1 8 1 1 咖若存在正常数m ，m ，使差分方程( 2 - 1 ) 的任意正解“) 均满 足ms l i m i n f x , 墨l i m s u p x ts m ，则方程( 2 1 ) 是持续生存的。 f i t - a a 设z ，z + ，尺，r + 分别表示全体整数，全体正整数，全体实数和全体正实数所 组成的集合；掣表示以维欧式空间。 设x ，y 是两个b a n a c h 空间。设m ：x 呻】，是一个映射，用d o m m 表示m 的定义域，h i l m 表示m 的值域，k e r m 表示m 的核，k e r m 一缸i x e x ， m ) = o 】- 。 设，cx 是x 的子空间，并且o 7 一x 。用d i m n 表示的维数， c o d i m n 表示的余维数，即c o d i m n ；d i m x d i m n d i m n 。设集合 q cx ，磊表示集合q 的闭包，a q 表示集合q 的边界。 定义2 5 t 3 7 】7 7 设z 。c l 为全体周期序列所组成的子空间，则范数为通 常的上确界范数| i | l ，即 i i x | l = m a xx ( t ) i ，x q ) e t 。，l = o ，1 ，2 ，一1 ) 哈尔滨理工大学理学硕上学位论文 其中，；缸o ) i z ( f ) 彤，t e z ，为给定的正整数。 定义2 6 t 3 8 r t a 设x ，y 是赋范向量空间，l ：d o t a lc x 呻y 为线性映射。 如果d i m k e r l ；c o d i m i m l 0 ，存在 6 0 ，对任意的毛，屯e l ，满足k x 2 i 0 ，曲面v o v ) ；k 是一个闭曲面，而且函数 v o v ) 在n = n 处有唯一的极小值； 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 ( i i i ) 函数 a v ( n ) = y ( g ( ) ) 一y ( ) 对所有的n 6 h 为非负的，则称函数v ( n ) 是模型( 2 - 3 ) 在区域内的l i a p u n o v 函 数。 2 2 基本定理 定理2 1 即1 若i 为连续映像( 2 - 1 ) 的平衡点，则有当l 厂 ) i 1 时，i 为不稳定的；i 厂7 l | 1 为临界情况。 定理2 2 1 2 a 1 设厂：z _ 尺为周期函数，即f ( t + ) 一厂( f ) ，t e z ，对任意 取定的，t 2 l 及任意的t 6 z ，有 y ( t ) s 厂( f 。) + 罗i 厂o + 1 ) 一，( f ) i 厕 m - 1 厂o ) 厂o ：) 一罗i 厂o + 1 ) 一厂o ) i 定理2 3 【4 2 】如果口o ) ，b ( t ) 是有界序列，_ ka ( t + ) 一口o ) ，6 ( f + ) = b q ) ， 6 0 ) o ，万一三罗口( s ) o 成立，则 珊氙 f x ( t + 1 ) 一x ( t ) e x p a ( t ) 一6 ( f 扣o ) ) l 茗( o ) 一x o 0 至少有一个正周期解x ( o 。 定理2 4 t 3 8 】9 2 设l 是指标为零的f r c d h o l m 映射，在西上是己一紧的。 假设 ( 1 ) 对任意的x e ( o ，1 ) ，方程t x a n x 的解满足x q 苎a qn d o t a l ； ( 2 ) 对任意的x 6 k e r lna q ，q n x 一0 ； ( 3 ) d c g j q n ，qn k e r l ，0 】一0 。 则方程l x ；n x 在d o m ln 孬内至少存在一个解。 定理2 5 ( a s c o l i - a r z e l a 定理) 1 5 6 设f ； 六o ) ) 是定义在口s ts 上的一 致有界且等度连续的实值向量函数簇，则从f 中必可选取一个在口s tsp 上一 致收敛的函数列 ( f ) ) o = l 2 ) 。 o j - 1 定理2 6 3 刀7 7 。9 0 设 学= 协( t ) l x ( t ) e l 。，e x ( t ) = 吣 石d 掣= 缸o ) i x ( t ) e l 。，x o ) = c e r , t e z 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 则等和e 均为z 。的闭线性子空间，且z 。一群o ，d i m r ；n 。 定理2 7 【3 j 9 0 若模型( 2 3 ) 满足： ( a ) 存在一函数v o v ) 有定义2 1 0 中的性质( i ) 和( i i ) ； ( b ) 条件a v ( n ) 一y ( g ( ) ) 一v ( 1 v ) s0 对所有r ( 正象限) 都满足； ( c ) a v ( 1 v ) 不沿着在平凡解n n 近旁的解恒等于0 。 则称模型( 2 3 ) 是全局稳定的。 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 第3 章具有功能性反应的离散捕食模型 3 1 引言 在生态系统中种群数量的变化许多是服从离散规律的，因此用差分方程描 述种群动力学性态更符合实际。对单种群离散时间系统的研究表明，离散时间 系统比连续时间系统具有更加复杂的种群动力学行为。因此对离散时间种群动 力学行为的研究更加困难。目前对离散两种群l o t k a - v o l t e r r a 捕食系统周战给 出了全局稳定性的研究结论【2 2 1 3 搏3 6 6 ；欧阳军，杨德全考虑了连续的功能反应函 数为z 的食饵捕食系统，给出了此捕食系统只有唯一正平衡点，且其外围至 少存在两个极限环的可能p q 2 踟3 3 。本文通过对此系统的合适修正，得到相应的 离散捕食模型。 3 2 模型建立 欧阳军，杨德全讨论了连续的功能反应函数为土的捕食与被捕食模型 i x 一x ( 1 - a 工- y x )，、 l y i y ( - s + 卢x 一秒) 其中，x ，) ，分别表示食饵与捕食者的种群密度，a 、p 、s 、e 为正参数。文中 运用l i a p u n o v 第二方法，证明此捕食系统只有唯一正平衡点，且其外围至少 存在两个极限环的可能【3 6 1 2 2 9 - 3 3 3 。 在本章中考虑与模型( 3 - 1 ) 相对应的离散时间的捕食与被捕食模型。首先 利用具有逐段常数变元的微分方程推导出与模型( 3 1 ) 相应的差分方程，具有 逐段常数变元的微分方程近年来引起了学术界的广泛关注，这类方程在控制理 论和生物模型中有着重要的应用，此类方程是连续和离散动力系统的混合体， 具有微分方程和差分方程的双重性质。在模型( 3 - 1 ) 中，假设食饵种群和捕食 者种群的平均增长率( 或相对增长率) 按一定时间区间规律变化，则有 其中，t 表示t 的整数部分，t e o ，+ ) 。模型( 3 - 2 ) 即是具有逐段常数变元的 厕 。亲 一) 一) 1 一o 1 一o上垧上埘 警警 哈尔滨理t 大学理学硕士学位论文 微分方程，模型( 3 2 ) 的解o ( f ) ，y o 矿是定义在【o ，+ ) 且具有如下性质的函数： ( 1 ) o ) ，y ( f ) ) r 在【o ，+ ) 上连续； ( 2 ) d z ( t ) d t ，d y ( t ) d t 在【o ，+ 叫中除了 o ，1 2 j 之外的所有点处存在， 在_ 【o ，1 ，2 ，j 存在左导数； ( 3 ) 在区间【k ，k + 1 ) 上满足模型( 3 2 ) ，其中k 一0 ，1 ，2 ，。 对任意的t u k ，k + 1 ) ，k - 0 ，1 2 ，模型( 3 2 ) 两端同时从k 到f 积分得 l x o ) 一x ( k ) e x p 1 - a 石( 七) - y ( k ) z ( 七) 】o 一七) )，小 iy o ) 一y ( k ) e x p - s + 卢工( 七) 一秒( 七) 】o 一七) ) 令t _ k + 1 ，( 仍用变量t 表示) 则有 l x o + 1 ) f f i x ( t ) e x p 1 - a x ( f ) - y ( t ) 4 x o ) ，小 iy ( f + 1 ) 一y ( t ) e x p - s + 文o ) - e y ( t ) 模型( 3 4 ) 即是模型( 3 1 ) 离散化近似。 3 3 正平衡点的存在性 定理3 1当a s 0 。当a s 时，有u o 0 ，此时模型( 3 4 ) 有正平 衡点p ( x o ，y 。) 。证毕。 3 4 正平衡点的局部稳定性 定理3 2 若下列条件之一成立： f 【e ( m o 一口h ；) 一( a u o o 5 ) 1 2 = 2 f l ( u o 一口h ；) ( 】) 。l ( s + o 5 ) ( f l + 口) “o 2 f l ( u o 一口“；) ( 2 ) o + 2 5 ) ( 卢+ 口) su o o + 4 5 ) ( p + 口) l 2 , 0 ( u o - a u g ) ( s + o 5 ) ( p + 口) “o ( s + 2 5 ) ( p + 口) 妪 + 口弘。一s 一0 5 陋 o a u g ) 一( a u o 一0 5 ) 1 2 2 , 0 ( u o - a u g ) “1 ( 肌一s 一1 ) z + ( a u o - 1 5 ) z 一声 o - a u g ) 2 卢 o 一口“；) 时，有以下两种 情况： ( i ) 当0se ( u o - a u 2 0 ) + ( a u o - 2 5 ) 1 2 i 九：bm a x 【f i ，i 九i 】一l 棚等a 钱 等a 时， 8 +”8 + 1 解得 e o , o 一口h ；) + ( 口“o 一2 5 ) + 2 即 4 5 + s 一( + 口姐。 由定理2 1 可知，模型( 3 5 ) 的平衡点( 0 ，0 ) 是局部稳定的，由此可得 px o ，y 。) 是模型( 3 - 4 ) 的局部稳定平衡点。 ( i i ) 当一1 e ( u o - a u ；) + ( a u o - 2 5 ) 0 ，即s + 0 5 s + 2 5 时， 28 + a”8 + a 舾a x 枷一i 解得 1 ( 卢+ 口) “。一s 一0 5 由定理2 1 可知，模型( 3 - 5 ) 的平衡点( 0 ，0 ) 是局部稳定的，由此可得 p ( x o ，y 。) 是模型( 3 - 4 ) 的局部稳定平衡点。 ( 3 ) 当a 0 ，即【e ( u 。一口比；) 一( a u o o 5 ) 1 2 2 卢( “o 一口“；) 时， l _ e ( u o - a u ；) 了+ ( a u o - 2 5 ) 2 + 会 ， ( 2 ) u 。s o + 1 ) f l 则模型( 3 - 4 ) 正平衡点p ，y 。) 全局渐近稳定的。 证明对模型( 3 4 ) 做变换 p ) 一工o ) 一而，“：o ) 一y ( f ) - y 。， ( 3 - 7 ) 将式( 3 7 ) 代入模型( 3 - 4 ) ，仍将u 。( f ) ，u ：o ) 记为x q ) ，y o ) ，可得 p + 1 ) i + 咖x p 1 - 口小生型y ( f ) + ) ，。) 如m 而卜x o ( 3 - 8 ) l y o + 1 ) 一( ) ，o ) + y o ) e x p - s + f l x ( t ) + x o - e ( y ( t ) + y o ) - y o 则( 0 ，0 ) 是模型( 3 8 ) 的平衡点。将模型( 3 8 ) 等式右端函数在平衡点( 0 ，0 ) 处展 成泰勒展式有 jx o + 1 ) x o ) 一戤o ) 2 + 。2 一y ( ) + o ，x o ) ，y o ) ) 1 ) ，o + 1 ) - ) ，o ) + f l y o x ( t ) 2 、i x o - e y 。y ( f ) + 疋o ，z o ) ，) ，o ” 记x ( t ) = o ( f ) ，y o ) ) ，i i x ( o l i = k o ) i + i y 0 ) i 。当l i x ( t ) i i 呻0 时， il ( t ，石o ) ，y o ”i i | x ( t ) l i 收敛于o ，关于t e n 一致的成立，i 一1 , 2 。 可将模型( 3 9 ) 改写为 x ( t + 1 ) - x o ( 1 - a x 厩o 2 + y o ： 2 届) 孚一y 川瓜+ 丝掣】 “0“o ( t ) 2 x 层o + 盟捌】 y o m + 1 ) 。蹦(