2025年新高考2卷（新课标Ⅱ）数学试卷（含答案及解析）

2025年普通高等学校招生全国统一考试（新高考Ⅱ卷） 数学 注意事项：1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。2.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。3.作答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。4.本试卷共4页，满分150分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.样本数据2,8,14,16,20的平均数为A.8B.9C.12D.182.已知z=1+i,则1A.-iB.iC.-1D.13.已知集合A={-4,0,1,2,8},B={x|x³=x},则A∩B=A.{0,1,2}B.{1,2,8}C.{2,8}D.{0,1}4.不等式x-4x-1≥A.{x|-2≤x≤1}B.{x|x≤-2}C.{x|-2≤x＜1}D.{x|x＞1}5.在△ABC中,BC=2,AC=1+3,AC=6,则AA.45°B.60°C.120°D.135°6.设抛物线C:y2=2pxp0)的焦点为F，点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为B，若A.3B.4C.5D.67.记Sn,为等差数列{an}的前n项和，若S3=6,SA.-20B.-15C.-10D.-58.已知0＜α＜A.210B.25C.3210二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.记Sn为等比数列{an}的前n项和,q为{an}的公比,q＞0，若S3A.q=12B.a6=19C.10.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，fxA.f(0)=0B.当x＜0时,fC.f(x)≥2当且仅当x≥3D.x=-1是f(x11.双曲线C:x2a2-y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F₁，F₂，左、右顶点分别为A₁，AA.∠A1MA2=π6C.C的离心率为13D.当a=2时，四边形NA₁MA₂的面积为8三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知平面向量a=(x,1),b=(x-1,2x),若a⊥(a-b),则|a|=。13.若x=2是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-α)的极值点,则f(0)=。14.一个底面半径为4cm，高为9cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为cm四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.(13分)已知函数f(1)求φ;(2)设函数gx=fx+fx-16.(15分)已知椭圆C:x2a2+y(1)求C的方程;(2)过点(0,-2)的直线l与C交于A,B两点,O为坐标原点,若△OAB的面积为2,求|AB17.(15分)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,F为CD的中点,点E在AB上,EF∥AD,AB=3AD,CD=2AD,将四边形EFDA沿EF翻折至四边形.EFD'A',使得面EFD′A′与面(1)证明:A′B∥平面CD′F;(2)求面BCD′与面EFD′A′所成的二面角的正弦值。18.(17分)已知函数fx=ln(1)证明：f(x)在区间(0，+∞)存在唯一的极值点和唯一的零点；(2)设x₁,x₂分别为f(x)在区间(0,+∞)的极值点和零点。(i)设函数.g证明:g(t)在区间(0,x₁)单调递减;(ii)比较2x₁与x₂的大小，并证明你的结论。19.(17分)甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球甲胜得1分，负者得0分。设每个球甲胜的概率为p(12＜p＜1),乙胜的概率为q，p+q=1，且各球的胜负相互独立，对正整数k＞2,记Pk为打完k个球后甲比乙至少多得2(1)求P₃,P₄(用p表示)(2)若P4-P3q(3)证明：对任意正整数m，p2025年普通高等学校招生全国统一考试（新高考Ⅱ卷） 数学答案及解析 2025.6.7一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.样本数据2,8,14,16,20平均数为()A.8B.9C.12D.18【答案】C2.已知z=1+i,则1A.-iB.iC.-1D.1【答案】A3.已知集合A={-4,0,1,2,8},B={x|x³=x},则A∩B=A.{0,1,2}B.{1,2,8}C.{2,8}D.{0,1}【答案】D4.不等式x-4x-1≥A.{x|-2≤x≤1}B.{x|x≤-2}C.{x|-2≤x＜1}D.{x|x＞1}【答案】C【答案解析】x-45.在△ABC中,BC=2,AC=1+A.45°B.60°C.120°D.135°【答案】A点评：解三角形余弦定理的直接应用题，却让不少考生原形毕露！背景是余弦定理cosA=b2+c2-a22bc的逆向使用，代入得cosA=22。数据设计故意使6.设抛物线C:y2=2pxp0)的焦点F，点A在C上，过A若lBF:y=-2x+2,,则|A.3B.4C.5D.6【答案】C点评：抛物线性质命题用抛物线定义(到焦点与准线距离相等)玩了一把几何代数杂交题！背景是焦半径公式∣AF∣=xA+p2和准线x=-p2的性质。由BF方程可得准线位置，进而解出p=47.记Sn，为等差数列an的前n项和，若A.-20B.-15C.-10D.-5【答案】B【答案解析】由S3=3a2=6,S5=5a点评：等差数列求和等差数列的"中项性质"才是本题命门！背景是Sn与通项的关系：S3S5=5a3=-5⇒a此题源自高斯算术级数求和思想，高考必考套路。8.已知0<α<π,cosα2A.210B.25【答案】D【答案解析】c⇒⇒点评：三角恒等变换半角公式与和差角的"组合拳"专打基础不牢者！背景是二倍角公式sinα=2sincosα=2cos2α2-1,结合sinα-π4二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.(多选)记Sn为等比an的前n项和，q为an公比，q>0,若A.q=12B.a6=19C.【答案】AD【答案解析】A对：SB错:aC错:S5=4+2+1+D对:a点评：等比数列性质(多选)B、C是命题人埋的"地雷"，专门炸那些不验算的考生。此题源自金融数学中的复利计算模型，高考多选高频考法——选错一项说明缺乏"交叉验证"的严谨思维。10.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，fxA.f(0)=0B.当x＜0时,fC.f(x)≥2当且仅当x≥3D.x=-1是f(x【答案】ABD【答案解析】A对不用说；B对：当x<0时fxC错：反例：fD对：当x>0时f'x=exx+3x-1,点评：奇函数性质(多选)奇函数对称性的"全方位绞杀"！A、B考查基本定义：f0=0和x<0时fx=-f-x(直接套用得B)。C选项反例f-1=2e-1>2轻松推翻。D选项通过导数f'x=11.双曲线C:x2a2-y2b2=1a0,b>0)左、右焦点为F1,F2A.∠A1MA2=πC.C的离心率为13D.当a=2时，四边形NA₁MA₂的面积为8【答案】ACD【答案解析】A对，B错：不妨设那条渐近线为y=bax,不妨设M在第一象限，则由(OM=ON=c易知M(a,b),N(-a,-b),于是MA1NA2是平行四边形且.MA2和NC对：由A对知2aD对:MA1N三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.已知平面向量a=x1【答案】2【答案解析】0=a2-a⋅b=点评：向量垂直与模长向量垂直与数量积的"闪电战"！背景：a⊥a-b⇒a⋅a-b=0,展开得x13.若.x=2是函数fx=x-1【答案】-4【答案解析】f=所以f'2=2-a,即a=2,点评：函数极值点极值点定义的"一秒破防"！背景：可导函数极值点必有f'x=0。求导后f'2=0直接解得14.一个底面半径为4cm，高为9cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为cm.【答案】5【答案解析】作出轴截面如下：由于半径相等，则上图两圆的切点显然矩形中点，为设球半径为r，则有4-r2+92-r2=r2点评：立体几何最值空间问题平面化的"降维打击"！背景：轴截面转化为矩形内切两等圆(圆心连线平行于轴)。设半径r，由几何关系4-r2+9215.已知函数f(1)求φ;(2)设函数gx=fx+fx-【答案解析】1因为(0≤<π,所以=所以f2=因为x∈R,所以当cos2x+π6=1时，gx所以g(x)的值域为-由2kπ≤2x+π6≤π+2kπ,k∈Z,得根据复合函数的单调性得g(x)的单调递减区间为-同理可得：g(x)的单调递增区间为5π16.已知椭圆C:x2a2+y(1)求C的方程.(2)过点(0-2)的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点.若S△OAB=【答案解析】12a=4,a=2,e=c(2)设直线AB为.y=kx-2,与C联立消y得x24+kx-222=1,整理为2k2+1x2-8kx+4=0,设A，的横坐标分别为.x点评：椭圆与直线综合"硬解定理"的完美演练场！背景：由2a=4得得c=2a=设直线y=kx-2,联立椭圆得2面积S=1弦长公式此题源于天文观测中的椭圆轨道计算，高考解析几何的"模板题"。如果你没利用S△OAB的简化表达式，就会陷入求k的复杂运算。17.如图,四边形ABCD中,AB‖CD,∠DAB=90∘,F为CD中点,点E在AB上,EF‖AD,AB=3AD,CD=2AD.将四边形EFDA沿EF翻折至四边形.EFD'A',使得面.(1)证明:A(2)求面.BCD'与面.【数学解析】(1)证明：有EB∥FC,FC⊂面FC有A故AA故面AAA′B∥面CD′F(2)延长EF交BC延长线于(C面EFDA与面EFCB二面角(6即∠设DF=FC=1,EF=1,BE=2故且D则F到面D'C1C距离F到D'C1故正弦值si18.已知函数fx=l(1)证明:f(x)在(0+∞(2)设x₁,x₂分别为f(x)在(x1,x(i)设函数gt=fx1+t-fx1(ii)比较2x1与x2【答案解析】方法一：10<x<13k-1,f'x>0,f(x),单调递增；x>13k-1,f'(2)(i)由(1)知xg=g(t)在区间(0x(ii)由(2)(i)知g(t)在(0,x₁)单调递减,则gx1<g0=0,又因g0=f方法二:(1)f那么在x>0上的零点，显然只有x=而且明摆着是个极大值点，说明这玩意先增后减。另一方面，显然，f0=0,而f13k-1>f(2)根据前面的结果，显然x(i)这个没什么难的，就是纯粹的运算。此时有gg为了方便观察，我们把k换成.x1,也就是把g当0<t<x1的时候，g(ii)这个实在没难度，而且跟(i)也没什么关系。既然x₂是位于减区间上的，我们完全可以比较.x2f2x1和fx2)的值，这里.fxf令这玩意为h(k)，如果对k求导，会有h注意0<k<13,故此这玩意其实是恒正的，说明h(kh即f因此2方法三：1f故f'1=0x∈012k-1时f(x)>0fx∈12k-1+∞时f'(x)<0ff0=0x∈0x∈12k-1+∞故f(x)有唯一零点x₂x2=gg1-2k+2kt=t=t=t令a=1+2ktb=1-2ktb-2k4故g'g(t)在(0,x₁)递减iif2x1<0=fx2且f故219.(17分)甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球甲胜得1分，负者得0分。设每个球