（基础数学专业论文）随机发展方程的吸引子存在性问题研究.pdf

一 - t i 、， 厶、 严 目录 目录 摘要i a b s t r a c t ：【 第1 章引言l 1 1研究问题及背景1 1 2预备知识6 第2 章 2 1 2 2 2 3 第3 章 3 1 3 2 3 3 3 4 第4 章 4 1 4 2 4 3 第5 章 5 1 5 2 5 3 带有乘法噪音的r e a c t i o n - d i f f u s i o n 方程的随机吸引子1 0 r e a c t i o n - d i f f u s i o n 方程生成的随机动力系统1 0 随机吸引子的存在性1 1 主要结果的证明1 2 带有乘法噪音的p l a p l a c i a n 方程在有界区域上的随机吸引子2 1 p l a p l a c i a n 方程生成的随机动力系统2 1 l 2 ( d ) 空间中随机吸引子的存在性2 2 l q ( d ) ( q 2 ) 空间中随机吸引子的存在性2 3 主要结果的证明2 3 带有乘法噪音的p l a p l a c i a n 方程在无界区域上的随机吸引子3 6 无界域上随机p l a p l a c i a n 方程生成的随机动力系统3 6 无界域q 上的p l a p l a c i a n 方程在l 2 ( q ) 空间中随机吸引子的存在性3 8 主要结果的证明3 9 k u r 锄0 t 伊s i 瑚h i 璐l 叮方程在2 ( q ) 空间中的全局吸引子5 3 k u r a m o t o - s i v a s h i n s k y 方程生成的动力系统5 3 2 ( q ) 空间中全局吸引子的存在性5 4 主要结果的证明5 5 问题与展望5 8 i j1j “上 西南大学博士学位论文 参考文献5 9 致 射。6 7 攻读博士学位期间的研究成果6 8 i i 童 j 。， 0 守 - 1 摘要 随机发展方程的吸引子存在性问题研究 基础数学专业 指导教师寸日寸李又_ ：，。r 博士研究生李嘉 李扬荣教授 摘要 早在上世纪八十年代，人们即引入了吸引子的概念，它能有效地描述非线性发展方程所 产生的动力系统的长时间行为。由于吸引子的研究涉及反映许多自然现象的非线性发展方 程，这些方程有很强的实际背景，至今关于吸引子的研究仍相当活跃。对于确定性系统的吸 引子问题很多学者已进行了研究，但现实问题中，大多数系统受到随机噪声的扰动影响是不 可避免的，确定性系统模型只是实际系统的理想化，随机系统对自然规律的描述更为本质和 真实。在本文中，主要讨论随机吸引子的存在性问题。我们将利用l i 【2 2 】中所建立的关于拟连 续随机动力系统吸引子存在性问题的研究方法和理论体系讨论有界区域d 上带有乘法噪音 的r e a c t i o n - d i f f u s i o n 方程以及p l a p l a c i a u 力 程在一股p 次可积空间上尸( d ) 0 2 ) 中随 机吸引子的存在性并且利用尾部估计方法讨论无界区域上带有乘法噪音的p l a p l a c i a n 方 程的随机吸引子的存在性。 在第二章中我们考虑带有乘法噪音的r e a c t i o n d i f f u s i o n 方程 j 砒一( u f ( u ) ) d t = b u od w ( t ) ， lu = 0o na d 其中dcj 沙是带光滑边界的有界区域，参数b 0 ，是首项系数为正的奇数次多项式： w 。( 亡) 是概率空间( q ，芦，p ) 上的独立的双边实值w i e n e r 过程，其中q = u c ( r ，r ) ： u ( o ) = o 】，厂是b o r e la - a l g e b r a ，p 是w i e n e r 测度。对于由此方程所产生的随机动力系 统，我们最终得到如下结果： 定理2 4 设dcr n ，d w 9 ，则由随机r e a c t i o n _ d i 跏s i o n 方程( 1 ) 产生的随机动力系统 在汐( d ) 2 ) 中存在随机吸引子。 i m 吼 一 口妒 触 = 0， 西南大学博士学位论文 在第三章中我们讨论带乘法噪音的p - l a p l a c i a n 方程： id u + ( 一d i v ( 1 v u i p 一2 v u ) + f ( u ) ) d t = b u od w ( t ) ，o i ld r u = 0o i l a d ( 2 ) iu ( x ，0 ) = 咖( z ) ，z d 其中dc 舻是带光滑边界的有界区域，参数b 0 ，是首项系数为正的奇数次多项 式；( t ) 是概率空间( q ，厂，p ) 上的独立的双边实值w i e n e r 过程，其中q = u c ( r ，r ) ： u ( o ) = o ) ，t 是b o r e la - a l g e b r a ，p 是w i e n e r 测度。我们首先通过证明由此方程产生 的l 2 ( d ) 上的连续随机动力系统存在一个紧的随机吸收集，从而得到： 定理3 4 ：设dc 舻有界，则由随机p l a p l a u e i a n 方程( 2 ) 所生成的动力系统妒在l 2 ( d ) 中 有随机吸引子凡，即4 2 在l 2 ( d ) 中是紧的、不变的，并且在三2 ( d ) 的拓扑下吸引l 2 ( d ) 中 的所有有界集。 然后以l i 2 2 】中对于拟连续随机动力系统吸引子存在性的判别原理为依据，即证明由 带乘法噪音的p l a p l a c i a n ( 2 ) 所产生的随机动力系统在p ( d ) 扫 2 ) 中有一个有界吸收 集且该系统是沙极限紧的，最终得到： 定理3 6 ：设dcj 有界，则由随机p l a p l a c i a n 方程( 2 ) 所生成的动力系统妒在口次可积 空间l 口( d ) ( v g 2 ) 中有随机吸引子a ( u ) 。 在第四章中，我们讨论无界区域上带乘法噪音的p l a p l a c i a n 方程： 砒+ ( - d i v ( v u - 2 v u ) + a u ) d t = ( i ( x ，牡) + g ( x ) ) d t + e u o d w ( t ) ，z q ，t 0 ( 3 ) 满足边界条件： u i = 0 ， 及初值条件2 u ( x ，0 ) = 咖( z ) ， z q 其中q = dx 舻，d 在r 中有界，入 0 ，c o ，p 2 为常数，g l 2 ( q ) ，是满 足下列条件的非线性函数： ，c 1 ( qxr ，兄) ；( i ) i ( x ，u ) u - 口l l u l p + 妒( z )对任意z q 及牡r ；( i i ) i f ( z ，让) i i ( x )对任意$ q 及u r ，( i i i ) 其中q 1 为正常数，妒l 1 ( q ) ，l 2 ( q ) 。w 是( q ，厂，p ) 上双边实值w i e n e r 过程，其 中q = o ( r ，r ) ：, 4 0 ) = o ) ，t ：是b o r e la - a l g e b r a ，p 是w i e n e r 测度，时间流定 i i j j ， - 、 ， i 的口随机吸引子。 在本文最后一部分我们讨论了有界区域上的k u r 锄t 伊s i v a s h i 璐k y 系统： 谍艺筘：拈0 ， 其中q = ( - l 2 ，l 2 ) ，l 0 ，l ， 0 ， ( 一考= 牡( 鲁一 歹= 。，1 ，2 ，3 ( 4 ) 出舳- o 该系统的全局吸引子问题虽然在t e m 锄 1 1 中已有讨论，但t e m 锄 1 】中只得到了此系统 在l 2 ( d ) 的子空间奇函数空间中全局吸引子的存在性。我们得到了当区间长度满足 乏笔 t o 拥有一个全局吸引子4 ，吸引日中 的所有有界集。 关键词：随机r e a c t i o n - d i f f u s i o n 方程；随机p l a p l a c i a n ：y 程；k u r a m o t o - s i v a s h i n s k y 方 程：随机动力系统：随机吸引子：w i e n e r 过程：乘法噪音 i i i 广 a b s t r a c t d i s c u s s i o no nt h ee x i s t e n c eo fr a n d o ma t t r a c t o r s o fs o m es t o c h a s t i ce v o l u t i o ne q u a t i o n s m a j o r ：f u n d a m e n t a lm a t h e m a t i c s p h dc a n d i d a t e ： j i a l i s u p e r v i s o r ：p r o f e 8 8 0 ry a n g r o n gl i a bs t r a c t e a r l yi nt h e1 9 8 0 s ，t h ec o n c e p t i o no fa t t r a c t o r sh a sb e e ni n t r o d u c e d i t c a nd e s c r i b et h el o n gt i m eb e h a v i o ro ft h ed y n a m i c a ls y s t e mg e n e r a t e db yt h e n o n l i n e a rd i s s i p a t i v ee v o l u t i o ne q u a t i o n s b e c a u s et h es t u d yo fa t t r a c t o r si n v o l v e s n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n sw h i c hr e f l e c tm a n yn a t u r a lp h e n o m e n o na n dh a v e s t r o n gp r a c t i c a lb a c k g r o u n d ，s of a rt h er e s e a r c ha b o u ta t t r a c t o r si ss t i l lq u i t e a c t i v e t h ec a s e sf o rm a n yd e t e r m i n i s t i cs y s t e m sh a v eb e e ns t u d i e db ym a n y a u t h o r s h o w e v e r ，i nr e a l i t y , i ti si n e v i t a b l et h a tm o s ts y s t e m sa r ed i s t u r b e db y r a n d o mn o i s e t h ed e t e r m i n i s t i cs y s t e mm o d e li so n l yt h ei d e a lm o d e lo ft h e a c t u a ls y s t e m s t o c h a s t i cs y s t e m sc a nd e s c r i b et h en a t u r ei nam o r en a t u r a la n d t r u ew a y i nt h i sp a p e r ，w em a i n l yd i s c u s st h ee x i s t e n c eo fr a n d o ma t t r a c t o r s w eu s et h et h e o r yf o rt h ee x i s t e n c eo fr a n d o ma t t r a c t o r so ft h eq u a s i - c o n t i n u o u s d y n a m i c a ls y s t e mw h i c hi se s t a b l i s h e db yl i 2 2 】t op r o v e t h ee x i s t e n c eo fr a n d o m a t t r a c t o r sf o rt h er e a c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o nw i t hm u l t i p l i c a t i v en o i s ea n dt h ep - l a p l a c i a ne q u a t i o nw i t hm u l t i p l i c a t i v en o i s eo n 2 ( d ) p 2 ) r e s p e c t i v e l y a n d ， f u r t h e r m o r e ，w eu s et h et a i l - e s t i m a t e sm e t h o dw h i c hi se s t a b l i s h e db yw a n g 2 5 】 t op r o v et h ee x i s t e n c eo ft h er a n d o ma t t r a c t o r sf o rt h ep - l a p l a c i a ne q u a t i o nw i t h m u l t i p l i c a t i v en o i s eo nu n b o u n d e dd o m a i n s i nc h a p t e r2 ，w ed i s c u s st h er e a c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o nw i t hm u l t i p l i c a t i v e n o i s e ： id u 一( t | 一f ( u ) ) d t = b u oa w ( t ) ， i 缸= 0 o no d 、 ( 1 ) w h e r edc 舻i sab o u n d e do p e ns e tw i t hr e g u l a rb o u n d a r yo d t h ec o n s t a n t n u m b e rb 0a n dt h ef u n c t i o n | i sap o l y n o m i a lo fo d dd e g r e ew i t ha p o s i t i v e t h a tw ( t ) i sat w o - s i d e dw i e n e rp r o c e s so nt h ep r o b a b i l i t y s p a c e ( q ，厂，p ) ，w h e r e q = 扣c ( r ，r ) ：w ( 0 ) = o ) ，芦i st h eb o r e ls i g m a - a l g e b r ai n d u c e db y t h e c o m p a c t - o p e nt o p o l o g yo fqa n dpi saw i e n e rm e a s u r e f o rt h es t o e h a s t i c d y n a m i c a ls y s t e mg e n e r a t e db yt h ee q u a t i o n ( 1 ) ，w eg e tt h ef o l l o w i n gr e s u l t ： t h e o r e m2 4 ：s u p p o s edc 舻a n ddi sb o u n d e d t h e nt h es t o c h a s t i e d y n a m i c a ls y s t e mg e n e r a t e db yt h er e a c t i o n d i f f u s i o ne q u a t i o n ( 1 ) h a sar a n d o m a t t r a c t o ri nl 2 ( d ) 2 ) i nc h a p t e r - 3 ，w ed i s c u s st h ep l a p l a c i a ne q u a t i o nw i t hm u l t i p l i c a t i v en o i s e ： i d u + ( - d i v ( i v u p _ 2 v u ) + f ( u ) ) d t = b u od w ( t ) ，o nd r ( u = 0o na d i 牡( z ，0 ) = 铷( z ) ，z d w h e r edc 舻i sab o u n d e do p e ns e tw i t hr e g u l a rb o u n d a r yo d 。t h ec o n s t a n t n u m b e rb 0 t h ef u n c t i o n | i sap o l y n o m i a lo fo d dd e g r e ew i t ha p o s i t i v e l e a d 堍c o e f f i c i e n t t h ew h i t en o i s ed e s c r i b e db yap r o c e s sw ( t ) r e s u l t sf r o m t h ef a c tt h a ts m a l li r r e g u l a r i t yh a st ob et a k e na c c o u n ti ns o m ec i r c u m s t a n c e s h e r e ，w ea s s u m et h a tw ( t ) i sat w o - s i d e dw i e n e rp r o c e s so nt h ep r o b a b i l i t ys p a c e ( q ，厂，p ) ，w h e r eq = c ( r ，r ) ：u ( o ) = o ，尸i st h eb o r e ls i g m a - a l g e b r a i n d u c e db yt h ec o m p a c t - o p e nt o p o l o g yo fqa n dpi saw i e n e rm e a s u r e f i r s t l y , w ep r o v et h ec o n t i n u o u sr d sw h i c hi sg e n e r a t e db yt h ep l a p l a c i a n e q u a t i o n ( 2 ) h a sac o m p a c tr a n d o ma b s o r b i n gs e t ，t h u sw eg e t ： t h e o r e m3 4 ：s u p p o s edc 舻i sb o u n d e d ，t h e nt h er d s 妒g e n e r a t e db yt h e s t o c h a s t i cp l a p l a c i a ne q u a t i o n ( 2 ) p o s s e s sa c o m p a c tr a n d o ma t t r a c t o r 凡i n l 2 ( d ) t h a ti sa i sc o m p a c t ，i n v a r i a n ti nl 2 ( d ) a n da t t r a c t sa l ld e t e r m i n i s t i c b o u n d e ds e t so fl 2 ( d ) i nt h et o p o l o g yo fl 2 ( d ) t h e n ，b a s e do nt h et h e o r yf o rt h ee x i s t e n c eo fr a n d o ma t t r a c t o r so ft h eq u a s i - c o n t i n u o u sr d s ( s e e 2 2 ) ，w ep r o v et h a tt h er d s g e n e r a t e db yt h ep l a p l a c i a n ， 产 a b s t r a c t e q u a t i o n ( 2 ) h a sab o u n d e dr a n d o ma b s o r b i n gs e ta n dt h ed y n a m i c a ls y s t e m 妒 i sw - l i m i tc o m p a c t ，t h u sw eg e t ： t h e o r e m3 6 ：a s s u m edc 舻i sb o u n d e d t h e nt h er d s 妒g e n e r a t e db yt h e s t o c h a s t i cp l a p l i c i a ne q u a t i o n ( 2 ) p o s s e s s e sar a n d o ma t t r a c t o ra 口) i nl q ( d ) f o ra n yq 2 i nc h a p t e r4 ，w ed i s c u s ss t o c h a s t i cp l a p l a c i a ne q u a t i o nw i t hm u l t i p l i c a t i v e n o i s eo nu n b o u n d e dd o m a i n s ： 砒+ ( 一d i v ( i v u i p 一2 v u ) - - a u ) d t = ( ( x ，u ) + g ( x ) ) d t + c u o d w ( t ) ，z q ，t 0 ( 3 ) w i t ht h eb o u n d a r yc o n d i t i o n i a 口= 0 ， a n dt h ei n i t i a lc o n 出t i o n u ( x ，0 ) = 铷( z ) ，z q w h e r eq = d 酽，di sab o u n d e dd o m a i ni n 冗，入 0 ，c o ，p 2a r e c o n s t a n t s ，g l 2 ( q ) ，a n d ，i san o n l i n e a rf u n c t i o ns a t i s f y i n gt h ef o l l o w i n g c o n d i t i o n s ： ，c 1 ( q r ，r ) i ；( i ) ( x ，牡) 珏- a l l u l p4 - 妒( z ) f o ra l lz qa n du r ； i ( x ，让) l f ( x ) f o ra l lz qa n d 牡r ， ( i i ) ( 谢) w h e r ea 1i sp o s i t i v ec o n s t a n t ，矽l 1 ( q ) ，l 2 ( q ) w ( t ) i sat w o - s i d e dw i e n e r p r o c e s so nt h ep r o b a b i l i t ys p a c e ( q ，芦，p ) ，w h e r eq = u c ( r ，r ) ：u ( o ) = o 】， fi st h eb o r e ls i g m a - a l g e b r ai n d u c e db yt h ec o m p a c t o p e nt o p o l o g yo fqa n dp i saw i e n e rm e a s u r e d e f i n et h et i m es h i f tb y 巩u ( ) = ( + t ) 一u ( t ) ， u q ，t r t h e n ( q ，厂，p ，( t 冗) i sam e t r i cd y n a m i c a ls y s t e m w eu s eat a i l - e s t i m a t e sm e t h o d ，w h i c hs h o w st h a tt h es o l u t i o n sa r e u n i f o r m l y a s y m p t o t i c a l l ys m a l lw h e ns p a c ea n dt i m ev a r i a b l e sa p p r o a c hi n f i n i t y i tf o l l o w s t h a tt h es y s t e mi sa s y m p t o t i e a l l yc o m p a c t t o g e t h e rw i t ht h er e s u l tt h a tt h e s y s t e mp o s s e s s e sa b o u n d e da b s o r b i n gs e t ，w ep r o v et h a t ： i 西南大学博士学位论文 t h e o r e m4 6 ：a s s u m et h a t ( i ) 一( i i i ) a n dg l 2 ( q ) h o l d t h e nt h er a n d o m d y n a m i c a ls y s t e m 妒g e n e r a t e db yt h ep l a p l a c i a ne q u a t i o n ( 3 ) h a sa nu n i q u e d - r a n d o ma t t r a c t o ri nl 2 ( q ) i nt h el a s tc h a p t e ro ft h i sp a p e r ，w ed i s c u s st h ek u r a m o t o - s i v a s h i n s k ys y s - t e r no nb o u n d e dd o m a i n s ： ( 4 ) w h e r eq = ( - l 2 ，l 2 ) ，l 0 ， 0a r eg i v e n t h es p a c e - p e r i o d i c i t yb o u n d a r y c o n d i t i o na r e d i u ( 一和= 删如 j = o ，1 ，2 ，3 w ea l s oc o n s i d e rt h ef o l l o w i n gc o n d i t i o na sc o n s i d e r e di n 【1 】： ，鲁 u ( z ，t ) d x = 0 ，一考 a l t h o u g ht h i sp r o b l e mh a sb e e nd i s c u s s e db y 【1 】 t h e yo b t a i n e d ，i nf a c t ，aa t t r a c - t o ri nt h es u b s p a c eh 0o fo d df u n c t i o n s w ew i l lp r o v et h ee x i s t e n c eo fag l o b a l a t t r a c t o rw h i c ha t t r a c t sa l lb o u n d e ds e t so ft h es p a c el 2 ( q ) ，u n d e rt h ef o l l o w i n g a s s u m p t i o n 三 oa s s o c i a t e d w i t he q u a t i o n ( 4 ) p o s s e s s e sag l o b a la t t r a c t o r4 ，w h i c ha t t r a c t sa l lb o u n d e ds e t s 0 th k e y w o r d s ：s t o c h a s t i cr e a c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n ；s t o c h a s t i cp l a p l a c i a ne q u a - t i o n ；k u r a m o t o - s i v a s h i n s k ye q u a t i o n ：r a n d o md y n a m i c a ls y s t e m ( r d s ) ：r a n d o m a t t r a c t o r s ：w i e n e rp r o c e s s e s ：m u l t i p l i c a t i v en o i s e 一 0 群 第1 章引言 第1 章引言 1 1 研究问题及其背景 描述许多自然现象如天体科学、流体力学、等离子物理、天气变化的演化过 程的数学模型往往是非线性发展方程及由此产生的无穷维动力系统。而研究系统 的长时间行为，即渐进性质，又往往是许多自然科学的核心问题，也是众多数学分 支的中心问题。早在上世纪八十年代，人们即引入了吸引子的概念，它能有效地 描述非线性发展方程所产生的动力系统的长时间行为。由于吸引子的研究涉及反 映许多自然现象的非线性发展方程，如来自化学反应的r e a c t i o n - d i f f u s i o n 方程，反 映热力学l 拘i b o u s s i n e q 方程和n a v i e r - s t o k e s 方程以及描述流体运动过程的k d v 方 程、s c h r o d i n g e r 方程、g i n z b u r g - l a n d a u 方程等等，这些方程有很强的实际背景， 至今关于吸引子的研究仍相当活跃。目前，人们探讨比较多的是确定性系统的情 况( 如【1 】【1 4 1 ，【2 5 】，【2 8 】【3 1 】， 3 7 】，【3 8 】，【5 0 1 - 【5 8 】，【7 1 】- 【7 7 】等) 。对于确定性动力系统的吸 引子问题建立了相对完善的理论体系。但现实问题中，大多数系统受到随机噪声 的扰动影响是不可避免的，确定性系统模型只是实际系统的理想化，随机系统对 自然规律的描述更为本质和真实。最近十多年来，在流体力学、等离子物理、非 线性光学以及分子生物学等许多领域研究中，人们发现非线性波在随机介质、外 力压力湍流和白色噪声扰动中传播，形成了更符合实际的、具有不同于确定系统 的新现象和新特征，对于确定性方程的部分，应该引入“随机力 ( “噪声”或 “激发力 ) 来弥补确定性方程中所忽略的微观部分，随机力一般是小的，但许多 研究表明，它与非线性波的相互作用，往往使得它对系统的演化过程起着重要影 响，甚至在一定程度上起着决定性作用，这种作用有时可能导致系统结构的完全 损坏，使得系统行为从有序变为无序，有时可能起着积极作用，使得系统从无序 变为有序。这对无穷维动力系统行为，例如吸引子的存在性，h a u s d o r f f 维数估计 等提出了不同的条件和要求，出现了更为复杂的崭新的情况，在理论上，必须重 新加以建立。 2 0 世纪9 0 年代，c r a u e l 、f l a n d o l i ( 1 5 ，1 6 1 ) ，s c h m 出f i l 鼹( f 1 7 1 ) 引入了随机情 况下吸引子的定义，建立了随机吸引子理论体系，它是随机动力系统理论发展 的一个里程碑，为随机吸引子的研究作出了开创性的工作，吸引着越来越多的 理论和应用工作者的极大兴趣和关注( 如f 1 7 1 _ 2 4 】、【2 6 l 、 3 2 、【3 5 、【3 6 】、【3 9 卜 【4 1 】、【4 5 】、【4 6 1 、【4 8 】、【4 9 】、【5 9 、【6 1 、【7 8 - 【8 1 】等) ，在短短十多年时间内，随 l 西南大学博士学位论文 机吸引子研究得到了蓬勃发展。国际上美、德、英、法等多国数学家，如l a n g a ， r o b i n s o n ( j 1 8 ) ，a r n o l d ( 1 9 ) ，b r z e z n i a k ( 2 0 ) ，p e t e r ( j 2 1 ) 等在随机吸引子方面作 出了大量研究工作，国内一些专家学者也从事着这一新兴领域的研究，如郭伯灵 院士以及他的博士生、博士后正从事随机吸引子的研究工作，他们在原有无穷维 动力系统的研究基础上将原有确定性系统的吸引子的研究推广到随机问题的研 究( 如 2 2 - 2 4 ，7 8 ，7 9 】等) 。 一般地，讨论一个随机微分方程产生的随机动力系统的吸引子存在性的基 本研究方法是首先将方程通过适当变量代换化为不含随机微分扰动项的方程， 利用g a l e r k i n 逼近方法( 证明类似t e m a m 1 t h e o r e m 3 1 1 ) 得到方程解的存在 性、正则性，从而得到一个连续随机动力系统，结合s o b o l e v 空间相关嵌入定理 进行能量估计，设法证明该系统在所讨论空间中存在紧的随机吸收集，从而依 据h c r a u l ，f f l a n d o l i 1 5 给出的随机吸引子存在的充分条件定理( 即若连续动 力系统拥有一个紧的随机吸收集，则它有一个随机吸引子) ，得到随机吸引子 的存在性，这种思路和方法被广泛的应用于随机微分方程的讨论中，如1 5 ，1 6 ， 2 3 ，2 4 ，2 6 ，4 5 ，6 1 1 。h c r a u l ，f f l a n d o l i 1 5 所给出的这个充分条件定理应用的 前提是该动力系统是连续动力系统，而对于很多方程而言，比如本文所讨论的 在乘法扰动下的r e a c t i o n - d i f f u s i o n 方程及p l a p l a c i a n 方程，虽然它们所产生的 动力系统在l 2 ( d ) 中是连续的，但在一般的p 次可积空间2 ( d ) ( p 2 ) 中，即使 是确定性系统的情况下其连续性也是不清楚的，因此，讨论在一般p 次可积空 间2 ( d ) ( p 2 ) 中吸引子的存在性时，此充分条件就无法应用了。事实上，很多 关于随机吸引子存在性问题的讨论也只给出了在二次可积空间三2 ( d ) 中吸引子的 存在性( 如f 1 5 1 ，1 6 1 ，2 3 1 ，2 4 1 ，2 6 1 等) 。2 0 0 8 年，李扬荣教授与郭伯灵院士合作引进 了拟连续随机动力系统，建立了研究随机吸引子的新方法，该论文发表在国际权 威期刊j d i f f e q u 上( f 2 2 1 ) ，文中得到了吸引子存在的充要条件，所给出的判 别方法不仅适用于相空间为h i l b e r t 空间的情形，而且适用于更广的b a n a c h 空间， 如一般的p 次可积空间( p 2 ) 的情形。该判别方法只需要比一般连续性( 范范连 续) 更弱的连续性条件( 范弱连续、拟连续) ，并且用u 一紧这种更弱的紧性代替了 一般的紧性，为各类发展方程的随机吸引子的讨论提供了一条新的途径。当然， 对不同方程的处理，尽管有一定的共性，但需要不同的估计技巧，这也正是在不 同的发展方程的随机吸引子讨论中的一个难点。 另一方面，对于无界区域上的发展方程的吸引子存在性问题的讨论也相当 的活跃，例如 5 ，8 ，2 0 ，2 1 ，2 5 ，5 2 ，5 6 ，5 7 】，【7 3 卜1 8 0 1 等及其参考文献，需要指出的 是由于在无界区域上一般的s o b o l e v 紧嵌入不成立，这成为证明无界域上吸引子 2 第l 章引言 存在性的一个最大障碍。对于一些确定性的方程，这个困难可以通过能量方程的 逼近方法或尾部估计方法来克服，此方法由b a d l ( 见 7 1 ，7 2 】) 所发展，并在【7 3 7 7 1 等中被使用。尾部估计方法由【2 5 所发展，并在 2 1 ，7 8 - 8 0 中被使用。近年来， 已有一些无界域上的随机动力系统的吸引子存在性问题得到了解决，如带加法 噪音的r e a c t i o n - d i 仔u s i o n 方程f 2 1 1 、带乘法噪音的r e a c t i o n - d i f f u s i o n 方程i s 0 1 、带 加法噪音的f i t z h u g h - n a g u m o 方程i t 9 、带加法噪音的b b m 方程【7 8 】等。对于随 机p l a p l a c i a n 方程在无界域上的随机吸引子存在性问题，据我们所知，之前还未 曾被讨论过。 本文将利用l i f 2 2 1 中方法讨论有界区域d 上带有乘法噪音 拘r e a c t i o n - d i f f u s i o n 方 程以及p l a p l a c i a n 方程在一般p 次可积空间2 ( d ) 0 2 ) 中随机吸引子的存在性 并且利用尾部估计方法讨论无界区域上带有乘法噪音的p l a p l a c i a n 方程的随机 吸引子的存在性。 近年来，对于确定性的r e a c t i o n - d i f f u s i o n 方程以及随机的r e a c t i o n - d i f f u s i o n 方 程问题的讨论都相当的活跃，其吸引子存在性的结果已经出现在许多文献中，例 如t e m a m 1 得到了确定性的r e a c t i o n d i f f u s i o n 方程在l 2 ( d ) ( d 有界) 中全局吸引 子的存在性，1 9 9 9 年，w a n gb i ) d a n g 【2 5 】得到了无界区域上的r 启a c t i o n d j 缸i o n 系 统在l 2 ( 舻) 中全局吸引子的存在性，2 0 0 9 年p w b a t e s 2 1 对【2 5 】中结果进行了推 广，得到了带加法扰动的r e a c t i o n - d i f f u s i o n 方程在l 2 ( 舻) 中随机吸引子的存在 性，对于一般p 次可积空间p ( d ) ( p 2 ) 的情形，2 0 0 6 年，钟承奎【7 】得到了确 定性的r e a c t i o n - d i f f u s i o n 方程在护( d ) ( p 2 ) 中存在全局吸引子，2 0 0 8 年，李扬 荣 2 2 1 将7 1 中结果推广到随机的情形，得到了带加法扰动的r e a c t i o n - d i f f u s i o n 方 程在护( d ) ( p 2 ) 中存在随机吸引子。 在第二章中我们考虑带有乘法噪音的r e a c t i o n d i f f u s i o n 方程 如一( a u f ( u ) ) d t = b u od w ( t ) ， t = 0o na d 其中dc 冗n 是带光滑边界的有界区域，参数b 0 ，是首项系数为正的奇数次 多项式： 2 m - 1 ，( s ) = 吩一， o - a m 一1 0 ，m 1 j = o w ( 0 是概率空间( q ，厂，p ) 上的独立的双边实值w i e n e r l t ：程，其中q = u c ( r ，r ) ： u ( o ) = o ) ，j r 是b o r e la - a l g e b r a ，p 是w i e n e r 测度。对于带乘法噪音的r e a c t i o n d i f f u s i o n s 程，2 0 0 0 年，c a n a b a l l o