（应用数学专业论文）2n阶非线性微分方程组的多解性.pdf

太原理： 人学硕1 j 研究生学位论文 2 以阶非线性微分方程组的多解性 摘要 本文主要利用非线性泛函分析中的变分法，结合临界点理论，特别是 m o r s e 理论，研究2 n 阶非线性微分方程组 f ( 一1 ) i m ；2 。o ) ：旦墼兰删，o s 戈s 1 ，f = l 2 0 u ，刀 ( 1 1 1 ) 七； 、工。上上7 l “j 2 ，( o ) = 比j 2 d ( 1 ) = 0 ， i = 1 ，2 ，刀，= 0 7 1 ，i 一1 解的存在性、唯一性与多重性，其中f e c l ( 【o ，1 】r 4 ，r 1 ) 全文共分三章 第一章简略介绍了问题( 1 1 1 ) 的研究背景、本文的研究方法及得到 的主要结论 第二章首先证明一些为研究问题( 1 1 1 ) 所必备的基本引理，同时也简 单陈述了本文要用到的临界点理论与m o r s e 理论的相关知识。 第三章证明了本文的主要结果首先利用强单调映像原理证明问题 ( 1 1 1 ) 解的存在惟一性，并用山路引理证明( 1 1 1 ) 非零解的存在性得 到的结论为 定理3 1 1 如果存在常数口【o ，_ 1 ) ，对于任意的u , v 尺一和任意的x e i ， 使得v 。( f 0 ，) 一，( 石，v ) ) 一y ) s 口b y 1 2 ，n f l 题- ( 1 1 1 ) 在c ( ，z ，) 中有唯一解 定理3 1 2 假设对任意的x e l ，有e ( x ，o ) ：0 ，而且下列条件满足： 口，) 存在弘( o ，1 2 ) 及r 0 ，对于任意的x ，且b l 2r ，都有 f ( 工，“) sm v 。f ( x ，“) 。u ； 太原理一】：人学硕士研究生学位论文 _ ：) l i r a s u p i 1 - - or ( x , u ) l t 羟| 2 羔趸2 五) 及l i m i 嚣e l + - ：e ( x , u ) b 1 2 1 ( 2 3 1 ) 关于 x e l 一致成立 则问题( 1 1 1 ) 在c ( n ，) 中至少有一个非零解 其次，利用临界群与m o t s 理论，结合拓扑度指数定理证明了问题 ( 1 1 1 ) 至少有两个非零解，并在非线性项为奇函数的条件下，证明阀题 了问题( 1 1 1 ) 存在无穷多个解得到的结论为 定理3 2 1 对于任意的x 歹，如果f 0 ，谚：o 且v 。f ( x ，谚= 0 ，并且下列条 件满足： 即，) l i m s u p 卅。f 0 ，) l u l 2 1 ( 2 a k ) 及 t i m s u p l 1 _ , of 0 ，搿) 缸1 2 o ，对于任意的x e l 和缸| 犬，都有 0 f ( x ，“) 麟v 。f ( x ，“) 。u ； 纸 f e c 2 ( i x r , r 1 ) ，并且对于任意的x e l ，f 关于“是偶函数，即 ，扛，- u ) = 仁，轾) ，v u 灭“。 则问题( 1 i 1 ) 在c ( 甩，j ) 中存在无穷多个解 关键词：方程组，多解性，临界点，临界群，m o r s e 理论 太原理一f ：人学硕i 研究生学位沦文 m u l 卫i p l i c i t yo fs o l u t l 0 n s0 fs y s t e mo f 2n - o r d e rn o n l i n e a rd i f f e r e n n a i ，e q u a t l 0 n s a b s t r a c t i nt h i s t h e s i s ，w ew i l le m p l o yt h ev a r i a t i o n a la p p r o a c ho fn o n l i n e a r f u n c t i o n a la n a l y s i s ，c o m b i n i n gt h ec r i t i c a lp o i n tt h e o r ya n dm o r s et h e o r yt o d i s c u s st h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n dm u l t i p l i c i t yo fs o l u t i o no fs y s t e mo f 2 n o r d e rn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w h e r ef c 1 ( 【0 1 】r 4 ，r 1 ) t h i st h e s i si sc o m p o s e do ft h r e ec h a p t e r s 。 ( 1 1 重) i nc h a p t e ri ，w ei n t r o d u c e dt h eb a c k g r o u n do fi n v e s t i g a t i o n ，m e t h o d so f i n v e s t i g a t i o na n dm a i nr e s u l t so b t a i n e do fp r o b l e m s ( 1 1 1 ) i nc h a p t e ri i ，a tf i r s t ，w ei l l u s t r a t e de s s e n t i a ll e m m a st os t u d yt h e p r o b l e m ( 1 1 。1 ) ，m e a n w h i l e ，s o m ei n t e r r e l a t e dk n o w l e d g eo ft h ec r i t i c a lp o i n t t h e o r ya n dm o r s et h e o r yw e r ep r e s e n t e d i i l 终 。， 一 志 、“ 拳 ， 。 jo ， = 姐 、 x ， v i 川 0 一 “ 搿一 二 越m型a q 塑 舻 a n = ) “ 0 = 辫 糕 n 甘哆 人原理：j 。：人学硕士研究生学位论文 i nc h a p t e ri i i ，w eo b t a i n e dt h em a i nr e s u l t so ft h et h e s i s a tf i r s t ，w e u s e d s t r o n g l ym o n o t o n eo p e r a t o r o ft h ec r i t i c a l p o i n tt h e o r yt op r o v et h e e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h ep r o b l e m ( 1 1 1 ) ，a n du s em o u n t a i np a s sl e m m a t op r o v et h ee x i s t e n c eo fn o n z e r os o l u t i o no ft h ep r o b l e m ( 1 1 1 ) w eo b t a i n e d t h er e s u l t sa sf o l l o w s ： t h e o r e m3 1 1i ft h e r e 口【o ，三) s u c ht h a t 以1 v 。( f ( z ，“) 一f ( x v ) ) u y ) sa l u v 1 2 f o ra l lu , v e r 以a n dx e i ， t h e ns y s t e m s ( 1 1 1 ) h a sau n i q u es o l u t i o ni nc ( n ，) t h e o r e m3 1 2i ff ( x ，0 ) = 0f o ra l l xe i ，a n dt h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n s s a t i s f y ： 0 ，) t h e r ee x i s t( o ，1 2 ) a n d r 0s u c ht h a t ，o ，比) s v 口f ( x ，“) 以f o ra 1 1x e ia n dk l r ； 似：) l i m s u p 卅。f ( x ，“) 恤1 2 1 ( 2 2 ，) u n i f o r m l yf o rx e l t h e nt h es y s t e m ( 1 ，1 ，1 ) h a sa tl e a s tan o n z e r os o l u t i o ni n c ( n ，) s e c o n d l y , w e w i l lu s et h ec r i t i c a l g r o u p st h e o r y a n dm o r s et h e o r y ， c o m b i n i n gt h et h e o r yo fi n d e xo ft o p o l o g i c a ld e g r e et op r o v et h a tt h ep r o b l e m ( 1 1 1 ) h a sa tl e a s tt w on o n z e r os o l u t i o n s ，a n dw h e nt h en o n l i n e a ri t e mi so d d f u n c t i o n ，w ec a np r o v et h a tt h ep r o b l e m ( 1 1 1 ) h a si n f i n i t e l ym a n ys o l u t i o n s w r eo b t a i n e dt h er e s u l t sa sf o l l o w s ： t h e o r e m3 2 1i fv ( x ，0 ) = 0a n dv 。f 伍，0 ) = 0f o ra l l 石e 1 ，a n dt h e f o l l o w i n gc o n d i t i o n ss a t i s f y l v 太原理“1 人学硕士研究生学位论文 翻3 ) i i m s u p 卅。f ( x ，秘) 乍| 2 1 ( 2 3 1 ) u n i f o r m l yf o r x e l ； 0 4 ) t h e r ee x i s t ss o m en a t u r a ln u m b e rk 芑1s u c ht h a t l i m i n f l 。i 。v ( x ，“) 舡1 2 1 ( 2 a 。) a n d u n i f o r m l yf o rx e i 1 i m s u p 卅。v ( x ，“) 舡1 21 ( 2 a k + ，) t h e nt h es y s t e m ( 1 1 1 ) h a sa tl e a s tt w on o n z e r os o l u t i o n si n c ( n ，歹) + t h e o r e m3 2 2 ：i ft h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sh o l d ： 即s ) t h e r ee x i s t s re ( 0 , 1 2 ) a n dr 0 ，s u c h t h a t 0 f o ，撑) s 胛越f ，戤) u f o ra l lx e ia n d 川乏r 0 6 ) f e c 2 ( jx r , r 1 ) ，a n dfi se v e nf u n c t i o nw i t hr e s p e c tt ou ，i e ， 0 ，吲) 一v ( x ，u ) f o ra l l xe ia n duer 玎。 t h e ns y s t e m ( 1 1 1 ) h a si n f i n i t e l ys o l u t i o n si n c ( n ，j ，) k e yw o r d s ：s y s t e mo ff u n c t i o n s ，m u l t i p l i c i t yo fs o l u t i o n ，c r i t i c a l p o i n t ， c r i t i c a lg r o u p s ，m o r s et h e o r y v 声明严明 本人郑重声明：所里交的学位论文，是本人在指导教师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的 法律责任由本人承担。 论文作者签名：幺：墓鱼堡。日期：迦塞：主： 关于学位论文使用权的说明 本人完全了解太原理工大学有关保管、使用学位论文的规定，其 中包括：学校有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印 件；学校可以采用影印、缩印或其它复制手段复制并保存学位论文： 学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为：目的， 复制赠送和交换学位论文；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容( 保密学位论文在解密后遵守此规定) 。 签：名：么鱼二鱼叁 日期2 理获丘芝， 导! j 币签名：日期： 太原理j l ：人学硕七研究生学位论文 第一章引言 众所周知，非线性泛函分析是现代分析数学的一个重要分支，它是研究当今科学领 域中出现的各种非线性问题的强有力的理论工具特别是在证明各种非线性方程解的存 在性与多重性等方面，发挥着不可替代的作用非线憔泛函分析的基本方法主要有拓扑 度方法、锥与半序方法及变分方法等，具体内容见参考文献 1 - 11 ， 近年来，由于微分方程边值问题在力学、物理、生物及现代控制理论等许多科学领 域中有着广泛的应用，众多学者利用非线性泛函分析方法研究了其解的存在性与多重性 等问题 本文主要利用非线性泛函分析中的变分方法，结合临界点理论，特别是m o r s e 理论， 研究2 甩阶非线性微分方程组 j ( - 1 ) 醒；2 蛰扛) = 皇兰! 兰掣，o s xou 毛f 一薹，2 ，理 ( 1 1 1 ) ； k 王j ， l “：2 j ) ( o ) = u 2 j ) ( 1 ) 一0 ， f = 1 ，2 ，撑，歹= o ，1 ，i 一1 解的存在性、唯一性与多重性，其中f e c l ( 【o 1 】x 尺8 ，r 1 ) 我们注意到有许多文献( 例如，可见文 1 2 - 2 4 ) 分别研究了二阶两点边值润题 j 一“”( z ) = ，( 茗，雒) ， os zs l ， ( 1 1 2 ) l“( o ) 一“( 1 ) = 0 ， 蹰阶两点边值问题 j “p o ) f ( x , u ) ，o s 工s 1 ， ( 3 ) | 掰 = u o ) = 鼯”( o ) 一掰”卿= 侥 2 以阶两点边值问题 饽婴；2 砖嘿2 f ( x , u ) ，袄取l ， ( 1 1 l j 2 d ( o ) 一“j 2 ( 1 ) = 0 ，_ = o ，卜一，l l ， 二阶方程缀两点边馕问题 太原理i ：人学硕： = 研究生学位论文 姑圣裟1 ：器 2 p 与2 q 阶耦合两点边值问题 ( 1 1 5 ) ( 一1 ) “2 p o ) = a a ( x ) f ( u ，y ) ，0s 工s1 ， ( - 1 ) v 幻伍) = 肋( x 培 ，1 ，) ，0s 工s1 ， ( 1 1 6 ) u ( z ) ( o ) = u ( 2 i ) ( 1 ) = 0 ，0sisp 一1 一一 v ( 2 j ) ( 0 ) = v ( z j ) ( 1 ) = 0 ，0s 歹sp 一1 等问题的非零解、正解、负解或者变号解的存在性与多重性 例如，在文 1 2 中，作者利用临界点理论，结合上下解方法，研究了问题( 1 1 3 ) 的正解、负解及的变号解存在性与多重性在文 1 3 中，作者利用临界点理论与m o r s e 理论证明了问题( 1 1 3 ) 解的多重性与无穷可解性在文 1 4 中，作者利用强单调映 象原理、山路引理及偶泛函的无穷多解定理，分别证明了问题( 1 1 3 ) 解的存在唯一 性、非零解的存在性以无穷多解性在文 1 5 中，作者利用上下解方法研究了奇异边 值问题( 1 1 4 ) 正解的存在性在文 1 6 中，作者利用不动点指数理论，通过构造卡 氏锥，证明了非线性项性质不同的问题( 1 1 5 ) 正解的存在性在文1 1 7 中，作者利 用锥拉伸与锥压缩不动点定理汪明了( 1 1 6 ) 正解的存在性与多重性 显然，当非线性项满足一定的条件时，问题( 1 1 2 ) 一( 1 1 6 ) 都是本文所研究 的问题( 1 1 1 ) 的特殊情形，因而，问题( 1 1 1 ) 具有一定的研究价值 考虑到问题( 1 1 1 ) 在适当转换下的对应的算子方程具有变分结构，因而本文首 先写出问题( 1 1 1 ) 所对应的能量泛函j ，从而问题( 1 1 1 ) 的解的存在性与多重性 等价于泛函j 的临界点的存在性与多重性进而分别在对非线性项提出适当的假设条 件下，利用临界点理论中的强单调映像原理证明了问题( 1 1 1 ) 解的存在惟一性；利 用山路引理证明了( 1 1 1 ) 非零解的存在性；利用临界群与m o r s e 理论，结合拓扑度 指数定理证明了( 1 1 1 ) 至少有两个非零解，并在非线性项为奇函数的条件下证明了 ( 1 1 1 ) 的无穷可解性全文所得结论都是新的，并且包含、推广了一些已有的结果值 得注意的是利用临界群与m o r s e 理论研究微分方程组边值问题的解的存在性与多重性 的文献尚不多见，因而本文具有一定的特色。 2 太原理j = 人学硕十研究生学位论文 第二章基本引理 2 1 线性积分算子的若干性质 本节磷究闼题( 羔。1 1 ) 所对应的线性积分算子的若干性庚，为得到| q 趑( 1 1 1 ) 相应的能嶷泛函做一些准备工作 i e g _ 闼歹= 【o 翔，实的擞踅瘁龋空闻e 歹) 的范数记为别c = m a x 蚶l u ( x ) t 。乘积空间 e 。 ：歹) = c ( ，) xc ( o c ( ) 的范数为 妞k = ( 套阮眭) z ， 其 中 尉一 ，“：，“。) c 。u ) 的h i l b 露以空间l 2 ( ，) 的内积为o ，y ) 一上“伍炒 ) 出，乘积 空间：( ，) = l 2 ( i ) x l 2 ( ，) 工2 ( ，) 的内积为 2 y o h m o 边2 善叭) 鸺v 钠2 记 g ( x ，y ) m l x y ( ( 1 1 - 一y x ) ) ，, 三s 峥互2 ( ， 全连续； ( i i i ) k ? 雎秘2 善压吣酣； ( ? 2 b l ，b t ) 2 砉再胁) | 2 ，联锄m 现在利用k j 及k 乡分别定义线性算子k 和k m ：( ，) 呻e ( ，) 如下： k u = ( k l “l ，k 2 t 9 2 c ，“。) ，u = ( 1 d l ，u 2 ，- - ，“。) e ( ，) ； ( 2 1 8 ) 5 太原理【：人学硕十研究生学位论文 令 k 1 7 2 “= ( 1 q 7 2 “。，k ：胆“2 ，k 。1 胆“。) ，h = ，“2 ，“。) e ( ，) ( 2 1 9 ) 人= k ：i = 1 ，2 ，甩，= 1 2 ， ( 2 1 1 0 ) 记i = e 盯。，i = 1 ，2 ，l ，歹= 1 ，2 ，这里；= ( o ，o , l , o ，o ) r ”，显然，i e ( ，) ， f l i 8 = 1 ，并且对于任意的i = 1 , 2 9 - , - 9 r z 9 j = 1 ，2 ，它们是两两正交的 引理2 1 3 集合人由算子k 的一切特征值构成 证明设a 是k 的任意一个特征值，则存在非零元妒= ( 铭，仍，) e u ) 使得 k 9 ；a 够，从而对于任意的i = l 2 ，l ，我们有k ，仍= a 仍，由于驴0 ，所以存在某 个j l 2 ，r z 使得9 ，0 ，且k j 驴，；a 伊，这说明a 人另一方面，对于任意的 c a ，因为勺0 ，而k 勺= k i e ，j g ，= 乃勺毛= 九勺，这说明凡是k 的特征值，因此 人是由k 的全体特征值构成的集合，证毕 设比= 。，“：，“。) e ( ，) ，注意到对于f = 1 ，2 ，咒，j = 1 2 ， j ，) = ，刁， 于是由( 2 1 5 ) ，我们有 “2 ( 薹 ，p ，弦，嘉c h z ，e ：，p ：，薹c h 。，p 阿，e 可) 。荟( 比，e ，) e l j e l + = ( u 2 e 2 j ) e z ，z + + 再( “一，阿) p 可f n 2 善善 i , e i j ) 铲- 2 善善( 叩盯 从而 缅2 善善九( u , e o ) 2 1 1 d 注蒯砉薹九。砉薹1 0 ， ( 2 1 1 2 ) 相应地重新排列p 。 为 6 太原理r 人学硕士研究生学位论文 则有地5 善a ( “一弦，于是有下列的引理 引理2 1 4 设m e ( ，) ，则下列结论成立： ( i ) “2 荟( 叩，h ； ( 田删2 = ；) 1 2 ； ( 衙) 砌2 善l 吣k ； 啡1 2 善压( 叩泐 ( v ，( 砌，“) = l ，巳) 1 2 ； 爿 ( 哪! 2 u , g ) 。善厄f ) 1 2 ； ( v i i ) k ，k - l 2 ( o e ( ，) 全连续算子； ( v i i i ) k ，k 必：t ( ，) - - - l 2 ( 0 是全连续算子； ( i x ) k ，k k ：( ，) 一t ( 歹) 是对称算子： ( x ) lk y z u 峙m 删， 我们称 其中，m ，2 压( 善 ) 。 ， 1 2 了， 万。 为算子k 的第一特征值，易知巳o ) ：乏s i n m c 注2 1 3 由引理2 1 4 的条件( v ) 可知，对于任意的“e ( ，) ，如果“0 ， 则k 班“0 ，因此对于任意的，v t ( ，) 且“v ，就有k 1 雎f k 2 v ( 2 1 1 3 ) ( 2 1 1 4 ) 引理2 1 5 【2 6 】设a 是个线性的紧对称算子，且彳0 ，则州l 或一i p 0 是彳的一个 7 太原理l + 人学硕 研究生学位论文 特征值。 因为k 是一个线性紧对称算子，并且k 的所有特征值为饥甚，由引理2 1 5 知 k 0 = ，阍理可知l k u 2 8 ；历 2 2l 晦界点理论与m o r s e 理论 本节简单陈述一些本文将要用到的临界点理论与m o r s e 理论的相关知识，具体内答 详见参考文献【1 1 1 ，2 5 3 0 ，它们在本文主要结论的证明中将起到至关重要的作用 定义2 2 1 设e 是一个实的b a n a c h 空间，d 是e 的某开集设泛函j ：d 一r 1 在d 上f r 6 c h e t 可微。如果甜o p 且f r 6 c h e t 导数歹0 0 ) = 0 ，则称辣。是泛函的临赛点且 称c ：j ( u 。) 是j 的一个临界值 同时， 记c ，p ) 一缸：j ) = 0 ， c ，u ) 。：缸e ：j ) = 矽，勘 ) ；c 定义2 2 2 设了c 1 龌，r 1 ) ，如暴序瓢量。 ce ，歹 。) 有界，歹 。) 一0 辑一) 蕴涵甚。 有收敛子列，则称- ，满足砌纭趣一s m 痒如条件，简称船条件 定义2 2 3 令j 。一函e ；j ) sc ) ，设“是j 的一个孤立临界点且j ( “) 一c ， u 是距的一个邻域，仅含唯一豹临雾煮我们称 c q ( j ，“) = h 。( ，n u ，n v 鲁b 为了关于醒盼q 阶临界群，q 一雌，这里h 。( ，- ) 表示g 阶系数取自域a 的奇异相对间 调群如果j 有至少个非平凡的临界群， 定义2 2 4 假设a ，b 是，的两个正则值， 则称u 是i ，的一个同调非平凡临界点 并且露 b ，在k ，6 】上至多有有限个临界 值， 记为， o ，口o 使得对于任意的“e ，删= p ，都有j ( 距) 邕a ； a 锺) 存在确e ，陋，膀p ，使得歹0 ，) 绣掰，o 0 ，j7 = j k 1 心乓k “2 ：三：( ，) 呻互：( 歹) 连续，丽( j ) 是一个实自反的 b a n a c h 空间，因此，由引理2 2 1 可知，7 是五：( ，) 一l ：( j r ) 的同胚映射，所以存在唯一 的矿4 ：( ，) 使德歹( 1 ，) = 0 ，于是，问题( 重1 董) 在c ( n ，f ) 上有瞧一解 定理3 1 。2 假设对任意的x ，有罗厶，= 0 ，丽且下列条件满足： 0 ) 存在比e ( 0 , 1 12 ) 及r 0 ，对于任意的x g l 且b l 邕r ，都有 ，( 石，距) s 弘v 。f ( x ，聪) + 拓； 似：) l i r a s l l p 矧。8 ，o ，群) 卅甜| 2 l ( 2 五) 及l i m i n 鼙| 。v ( x ，群) t t 2 1 必2 五) 关于x z 致成立 则闯题( 1 1 ，1 ) 在c 轵，) 中至少有一个非零鳃 证明我们验证泛函j 满足山路引理的所有假设条件 首先证明j 在芝p ) 上满足嚣条件。因为当x e i 和虹| sr 时， r ( x ，h ) 一l u v 。f ( x ，h ) b t 连续，结合条件即，) ，易知存在常数c ，0 ，对于任意的x g l 和 u r ”，使得 芦缸，搿) 黑声。f ，搿) 搿+ c 1 假设 ) c ( ，) ，并且存在常数芦 0 使得p o 。) l sp ，同时当小一时， ，( ) 一0 注意到 p 。) 一帆一k 1 豫焉莨彰2 ，) ；忆| 1 2 _ ( f v k ，k 眦) ；i h 0 2 一j ：v 。f ( x ，k 1 7 o ) ) k 眦o 渺， 所以 声j 。) = 喜1 1 2 一y o f ，k 1 ，2 “) ) 出， 三 妒，| 1 2 一靠v 。f 扛，必”2 。 ) ) + 趸1 7 ，扛) 矗 1 3 太原理l ：人学硕二 研究生学位论文 一( 去一) | | v 。1 2 芦( 歹( p 。) ，) 一c ， 惫( 妻一) i l v 。1 1 2 一_ ! 【, l l j ( v 。 1 1 l p 。1 1 一c ， 融于当m _ 0 0 时，j ( ) _ 0 ，所以存在自然数n o ，使得当m o 时， 芦 ( 1 2 一) | h 1 2 一k 卜g ，这说明知。 有界又因药鬈1 7 2 乓鬈1 7 2 ：叠p ) 峥蠢( 歹) 全连 续，且，7 ( ) = 一k m 乓k 呻侈，因此p 。 具有收敛子列，所以j 在2 ( ，) 上满足 p s 条侍。 由于f ( x ，0 ) 一0 ，戈，所以j p ) = o 囱于l i m s u 瓢 枷f g ，越) b 1 2 l 必2 五) 对于 x e i 一致成立，所以存在，e ( 0 , 1 ) 及6 0 ，对任意的x e l 及l i t f s6 ，有 f ( x ，h ) s ( 1 - t r ，) ( 2 ) 。b | 2 取p = 6 m ，口一i 1 岛p 2 ，这里m 。一c ( ) ”2 对于对 z 舒 任意的x e e i 及y 8 一，由| i k l 7 | | cs 甄i t v l l 可得事1 7 2 y o ) | s 掰，i t v l l - - o ，其中 岛一 y e “) ：t l v l l p j ，因此对y a 砟，我们有 j ( y ) = j 1 州1 2 一z ，o ，k 1 2 1 t ) ) 出 融帅2 一生2 z 肛o ) | 2 出, 1 0 这说明i n f 嘲j ( 矿) 怠苎1 p 2 2 = 口 0 另一方面，由于l j m i n f l 。f 。e ( x ，“) b 1 2 1 ( 2 ) 对于x ，一致成立，o r - 一r e 是连续 的，可知存在： 0 帮c 2 0 ，对任意的x 歹和ue r 4 ，有 f ( x ，据) 1 ( 2 ) ( 1 + ： l u l 2 一c ：所以对任意的s o ，我们有 1 4 勋 扩 u 肛 墨她 兰弘 1 一 l l 一2 l 2 教 2 ， h j i i z i 扩 矽 王一2 1 一 嚣 端 太原理】：人学硕_ 研究生学位论文 了池) 一争斫一f o v ( 羔，k t 2 s 乞扛) ) 螽 撼吾s 2 一去s 2 ( 1 + 。了弦 鼍 ) | 2 出+ q22 九 “j 一o 。 。!sz-，。ls20+g：)谁；卜c：2z 走 “ “一” 。一二1c ；2 s 2 + c 2 因j t tj ( s e 。) 一一o 。及l l s e , 卜s _ + o 。，所以存在充分大的毛 p 使得hm 墨e iq 苣一b 户且 j ( v ，) 0 ，h p ；g ev + e l f ( t ) 使得 j ( v + ) = c 及歹p ) 一0 n 奠bj ( o ) = 0 ，则1 ，霉0 ，即，有一个非零的临界点，因此问 题( 1 1 1 ) 在c ( n ，) 中至少有个非零解，证毕 3 f 2 解的多重性 本节剩用癌界群与m o r s e 理论，结合拓羚度指数定埋证明同麓( 1 主1 ) 全少焉魏 个非零解，并在非线性项为奇函数的条件下，证明问题( 1 1 1 ) 存在无穷多个解 定理3 2 1 财予任意的x e l ，如果f ( x ，妨= 0 且v 。f 0 ，国= 0 ，并且下列条件满足： ，) l i m s u p 矧一。，扛，u ) t u l 2 1 ( 2 九) 及 l i m s u p 卅。f ( x ，) 1 4 2 l 必2 丸+ ，) ， 对x e 1 一致成立 刚阍题( 1 1 1 在c ( 慰，j ) 中有至少有两个非零解 证明由v ( x ，0 ) ；o 及v 。f ( x ，= 0 知了( ；0 及了妒) 一0 。现在对于固定的自然数 k ，令嵋：s p a 九忙，p 。，气lk ：k 上则( k v ，v ) 麓九i | v i l 2 这里v k 此外，当v e v ：i n ， 我们自( k v ，v ) st + 。删2 由条件即。) 知存在f ，( o ，1 ) 及6 o ，使得对一切r ? 及 1 5 太原理l 人学硕士研究生学位论文 | v | s6 ，有 盯( 2 4 ) af ( x ，v ) s ( 1 - 0 1 y 1 2 ( 2 a k + ，) 又因为i 陋1 膳v i csm ，令p = 6 m 。，则有 于是 | k l f 2 v ( x ) t l t k l l 2 1 2 b 掰，删s 掰，p = 6 ，x e l ，y e v , ，h i cp 。 歹p ) 一三荆| 2 一z 罗扛，k 1 7 扛眦 净卜捌盼 ) | 2 灰 同理，如果扩，且o 0 及a l 2 一2 出 出 吣 q o 谚 l ， - 弘 g ，f 致 州酬费心 c = 1 2 2 妒m m ，2 1 2 l 一2 p 太原理工犬学硕士研究生学位论文 吾1 1 v f l z - a 五， ，1 2 一刍 = 呸1 一口五删i t 一6 注意到1 1 2 一口 0 ，则l i r a h - - o s ( o = + 又因为j 0 ) = y k 舱f k l 7 2 v 及 k 2 r k “2 ：0 ) 帅鬈( 歹) 全连续，豳f 6 】知歹弱下半连续。因此，根据弓；理2 2 2 ，存在 v 。誓2 ( j ) ，使得j ( v o ) = i n f 魁2 鳓j ) - 若s ( v 。) o ，注意到当v k 和l 睁8 s p 时， ，p ) so ，所以对任意的v 啜k 和麟p ，我们有j ( 1 ，) 一0 ，于是j 在ka b p 上任点 能达到极小值，并且j e c l ( 叠( 歹) ，r 1 ，因此对予任意的v 和删sp ，我们都有 了) = 0 这说明歹存在无穷多个临界点；若s ( v 。) 0 时， 1 7 太原理一i 。人学硕士研究生学位论文 丢雎= 瓦o fc ，+ 瓦o fc 。s 咿+ a f _ c o s 口n d “ 17 0 fa fa f 、 2 7 瓦瓦+ 瓦比月) = 詈v 。f ( z ，“) ， 所以，由条件即，) ，当2r 时， d d t f ( x ，u ) ( v 。f ( x ，“) u ) t ”1 一订”1 f ( x ，雎) t 7t 2 7 ：v u f ( x , u ) u i - v f ( x 一, u ) 苫0 ， = 一j t 7 + 1 。 因此，对于任意的x ，及川r ，下面的不等式成立： 警掣异卜1 r a i n 拶f r r 驯) _ c ：北 7 l 异一”脚肿v 叶吖心 这说明对于任意的x j r 和b l2 尺，f ( x ，“) c 2 1 u l ，结合，( 石，u ) - c , 1 的连续性，易知 存在常数c ， o 使得f ( x ，“) c ：l u r c s ，x e l ，u e r 4 因此对于任意的v e ( ，) ， 巾) = 1 2 一上砷，k 1 2 v g ) 皿 s 却2 一c 4 0 - 2 ) 1 2 出+ c 3 假设j 至多有有限个临界点，由条件( a 。) 可知j 是偶泛函，所以可假设j 的临界点分别 为p ，u ，一v 。，i m ，一，我们取两个实数口 0 ，满足 口 m a x j ( v ，) ，j ( v ：) ，j ( v 。) 定义5 2 = v t ( j ) ：= 1 ) ，则对于v e s ”及f 0 ，就有 j ( w ) s 主z - 2 k v c ：正阵1 2 v ) r 出+ c 3 而1 ， 2 ，所以当f 一+ o o 时，) 一一下面证明对于任意的he s 。，存在唯一的 r = f 以) 满足j ( r 如) = 口，并且存在与“无关的常数6 0 ，使得z ) 6 事实上， 令妒( f ) = j 沏) ，r 0 ，“s 。则驴( o ) = ，( p ) = 0 口，c p ( + o o ) = 一 0 ，使得妒0 0 势= a 又因为 瓦d 妒扛) = 磊dt ，触) 一u 似) ，u ) * 缸一k 1 7 2 r 趸搬0 u ) ，酲) 一f 一( r k “钗，k 越) 一f 一z v 。，o ，k “ ) ) k 1 ，2 m ( x ) a x s 詈一瓢f 缸，锄。) 渺十善c 1 一善哇f