（基础数学专业论文）外代数一类模非线性扩张的表示矩阵.pdf

摘要 外代数是一类有着很强应用背景的代数，在张量代数，微分几何，拓 扑学等领域有着广泛的应用 2 0 0 2 年，e i s e n b u d 在【5 】中首先对外代数上的周期模进行了研究。2 0 0 6 年郭晋云教授及学生研究了复杂度为1 的k o s z u l 模( 【1 3 】) ，推广了t a m e 代 数的管范畴理论。近几年郭及学生用不同的方法继续对外代数上有限复 杂度的k o s z u l 模进行了系列的研究( 【l o 】j 【1 l 】【1 2 】， 1 4 1 ， 2 9 1 ) 。2 0 0 9 年，郭锦研 究了两个复杂度为2 的极小k o s z u l 模m = q l h ( a ，b ) 与l = q 铲1 a ( a ，b ) 的扩张( 1 5 0 ，得出了其表示矩阵及其同构之间的一系列结论及定理。与 此同时，方强( 【9 】) 通过研究三维空间上外代数一类周期线性模的非线性 扩张，得到了其表示矩阵之间的关系及一系列结论及定理 研究外代数上模的扩张是一项非常有趣而且非常有意义的工作。而 模之间的关系又是一项很重要的研究，我们可以通过其表示矩阵之间的 关系来刻画。本文研究的y 是代数闭域k 上的由一组线性无关元素a ，b ，c 生成的3 维线性空间，即v = l ( a ，b ，c ) 并在此空间下研究一个复杂度为 2 的极小k o s z u l 模m = q 一1 a ( a ，b ) 与一个一次生成的模厶之间的非线 性扩张的表示矩阵。这时，模m ，l 的表示矩阵分别为 f ，a 。、f ，口、 a 0 ) ：l d 。 l与砂) - i c 。 l i。? jli d ( m + 1 ) m c ( 州) 仡 如果0 一m _ _ l _ 0 是一个短正合列，则称模为m 借助l 的一个扩张模。此时模n 的表示矩阵具有( 舍：b 0 ( 。) ) 的形式。其中 c ( 1 ) 为p x ( l ) _ p 0 ( m ) 所对应的表示矩阵。 的一个极小投射分解为 ，。掣p t ( m ) 0p t ( l ) ，t _ ( n ，2 _ ( n p 1 ( m ) 0p 1 ( l ) ，写p 0 ( m ) op ( l ) ，o _ ( n 一0 ， 则九) 的表示矩阵为( 三暑砂0 ) ) 本文通过研究的扩张模的表示矩阵的左下角块c ( ) 的性质来确定 扩张模的性质，并在此基础上，分析了m 借助l 的两个非线性扩张模 1 ，2 之间的同构问题，得到l ，2 同构必须满足的条件。 我们得到了以下主要定理。 定理3 1 模m ：q 一1 a ( o ，6 ) ，模l 为一个具有n ，c 型的一次生成模， 阵c ( t ) 为f t ( n ) 的表示矩阵的左下角块，则可通过投射预解式进行基 换，使得 ， 可i 1 2 6 c 跺6 c 、 q5 l 撕6 c ： 赢比 l 娥1 1 6 c + 嘏1 ，1 口c 妲。，m 6 c + 嘏。 m n c ”。) m t 吼伊，惯茏c 耙1 , m + 一l b c 织伽伽1 b c + ( ) 石1 m + t 一1 ( ) z n + t ，m + t n + t ) x ( m + 一1 ) 模l 为一个具有a ，c 型的一次生成模， 则f l ( n ) 、f 2 ( n ) 的表示矩阵的左下角块c ( 1 1 ，c ( 2 ) 具有下列关系： 若 可措6 c 嘏i 6 c 娥1 l b c + 坼z n l ) l 1 a c 则矩阵锩( 州) 一篡 具有如下形式： 羹臻6 c 嘏轴c 妲t ，m 6 c + 嘏一c 几十1 ) x m ( z 翟+ 。一i 臻) 6 c + 名i 臻 ( 蠢苎 。，。+ 。一等。，。) b c + 蠢苎 。，。 【z 肄：，。+ 。b c + 矗聋：，。o c k o s z u l 模，扩张，表示矩阵，同构 i i i ，) 6 c + 名i 。a c 艘1 , m + 1 ) 6 c + 2 黑1 , m + l a c 妲2 , m + l ，b c 上z 。( 2 ) 2 , m + l 口c 矩变 d 、lllij， c c 一 西 一 + ； ，jj-i-_l_llillili-一 渤u 严 罄严 a bs t r a c t a(1)=(：莒)。m+。，xm a n d b(1)=(兰：)+。，霄 m 。d u ，eo rm b yl , w i t ht h ep r e s e n t a t i o nm a t r i xo f 迅( 昙：b 0 。，o t h er e p r e s e n t a t ；。nm a t r 议0 f 尸c ，t s ( 三暑： w ew i l la p p l yp r e s e n t a t i o nm a t r i xt os t u d ye x t e n s i o nm o d u l e s a n db yt h e s e r e s u l t sw ea n a l y z et h ep r o b l e m so fi s o m o r p h i s mb e t w e e n 1a n dn 2 ，a n dw ek n o w t h a ts o m ec o n d i t i o n ss h o u l db es a t i s f i e dw h e nt h e r ei sai s o m o r p h i s mb e t w e e n 1 a n d 2 i i i i nt h i sp a p e r ，w ep r o v e dt h ef o l l o w i n gi m p o r t a n tt h e o r e m t h e o r e m3 1l e tm o d u l em = f 2 m - x 人( o ，6 ) ，a n dm o d u l ela 8d e f i n e da b o v e w e c h a n g et h eb a s e so ft h ei t e m so ft h ep r o j e c t i v er e s o l u t i o n s u c ht h a tc ( 。) w i t ht h e p r e s e n t a t i o nm a t r i xi s ， i 1 2 6 c 耖 2 6 c 、 d ”2 i 西阮 ： 嘏王6 c i 嫂1 1 1 b c + 1 1 口c 嘏，和c + 嘏。舻c 阱。1 x m ，可；6 c + z 躁口c 秒 麓+ 。一。6 c + 名i 生十。一。n c 、 1 ，c kli 。 i l 妲 1 6 c + 嘏啦口c 妲协+ t - 6 c + 嘏伽伽。n c ( n ( m * 。) t h ef o l l o w i n gr e l a t i o n ： i f (了c1，=：【：羹。，。薹。，。口c t h e n 锩( m + 1 ) i s ， ( 2 躁一耖i 1 2 ) 6 c + z 错口c 卜磷弦p c 影。，m篓戛。，mnc)。n+。，m 嘏l 6 c i 妲。，m 6 c + 嘏。 m n c m 仆，。 ( 名f 2 + l 一可i 臻) 6 c + 气( 2 ，) a c ( z j ! 。，。+ 。一l n 。，。) 6 c + z 瓣。，。n c ( 名瓣。，。+ 。6 c + 蠢苎2 。，。口c k e yw o r d s ：e x t e r i o ra l g e b r a ，k o s z u lm o d u l e ，e x t e n s i o n ，r e p r e s e n t a t i o nm a t r i x ， i s o m o r p h i s m i v 、lii， “ _ m 仇 砷一动沣器勰勰 + + + k k 比 m m 一 耖 识媳 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任 何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声 明的法律结果由本人承担 学位论文作者答名：麓蚕农矾铋s 一日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留，使用学位论文的规定，研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大学同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印，缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 保密口，在一年解密后适用本授权书 2 ；不保密v ( 请在以上_ 相应方框内打“、”) 作者虢钧秀苁 作者签名：例彬怨、 刷醛各订弓亏 日黼广聊日 醐黼月尹 外代数一类模非线性扩张的表示矩阵 1 绪论 外代数，也称交错代数或g r a s s m a n n 代数近一百六十年来，对代数 学产生深远的影响 设v 是域k 上的向量空间，t ( v ) = k e v + ( v v v ) e 是y 的张量代数， 向量空间y 上的外代数定义为a = a ( v ) = t ( v ) i ，其中j 为由 z 圆z i z y 所生成的理想若取钉1 ，也，为y 的一个基，则a = a v = e ba ；是 个分次代数，其中凡为以 ，1 1 j l l 时，c ( o = 可嚣沈+ z 踟c 秽f 臻6 c 嘏乞6 c 可瓣l ，m b c + z m 0 ) m a c 妲 1 6 c + 嘏l a c 掰盘+ t - 1 b c 剪肄，m + 一l 阮+ z 吒( n t + ) t ，m + 一1 n cl 。， 证明现改变p o ( m ) 0 p o ( l ) 的基，由引理2 2 可知，相当于对，的表 时对f ( 2 ) 进行列变换，即在c ( 1 ) 中，可通过减去a 的某行的z 幻6 倍，即 1 3 1 仇 动 o 6 d ， ， co 1 n 一 + 、， l1 ) 盯 + 0 k 仃 z 、，-、+ 硕士学位论文 ，0 6、 此时a ( t ) 6 ：l o l 可使得c 中元素的。6 的系数变成 i a b i 0 ( m + 2 ) x ( m + 1 ) 0 ，此时c 中元素的b c ，a c 的系数，a ，b 中元素不变，将该矩阵任记成f 1 ，c 7 ， 可i 1 2 6 c 秒i 臻6 c 、 记成d ，则d d 。l 西6 c ： 赢6 c i 艘1 1 6 c + 嘏1 l 口c 嘏，m 6 c + 艘- 扩c ，) m 与此同时对c ( 2 ) 进行了列变换，仍记为c ( z ) ，于是 ， z ；2 2 口6 + 镏6 c + 气( 2 ) a t z 口6 + 臻6 c + z i 口c 、 c ( 2 ) = i ； ； i z 肄l 1 n 6 + 嘏l l l 6 c + 罄1 1 1 0 , c z 瓣- 一6 + 锻- ，。6 c + 艘，。a c ( 川) ( m + 1 ) 然后可以改变p 2 ( m ) 0p 2 ( l ) 的基，使得 ，y 6 c + z 罐o c 秒“6 c + z 跣+ t - 。a c 、 伊k l ： ； i 艘t 1 6 c + 嘏啦a c 艘t 仇伽，6 c + 搬伽+ t - n c ( 川) ( 州) ，扎( t 1 ) 。h 。, - + z 踟c 剪“一1 b c + z 幺小1 a c 、 亡 1 时，伊ki ； i i 嘏啦6 c + 嘏啦。c 妲伽+ t - 1 6 c + 嘏伽+ t _ l a c ( 删( m 恤1 ) ，y 搿6 c 秒i 臻6 c 、 综上所述刀o k l巍沈 ： 赢沈 l 嫂1 1 6 c + 嘏1 1 。c 妲。，m 6 c + 撄m 口c ( n + 1 ) m ，可搿比+ 2 踟c 可1 0 , m + t - l b c + z 伊1 a c 、 t 1 时，c ( o = l i ； l 妲啦6 c + 貔，a c 妲加* 。6 c + 嘏t m 伽t ( n + t ) ( 仇* 。) c ( 2 ) a ( 1 ) + b ( 2 ) c ( 1 ) = 0 由定理3 1 ，可记i 礼+ 1 ，c ，= 姑6 c ，当i = 扎+ 1 时，记为c 辨1 j = 蚓6 c + 出口c ；记c ( 2 ) = ( 羹芗6 c + 蚓6 c ) ( 刑2 ) ( m + 1 ) 由c ( 2 ) a ( 1 ) + b ( 2 ) c ( 1 ) = 0 对 外代数一类模非线性扩张的表示矩阵 c 0 ) 、c ( 2 ) 的行指标i 进行归纳证明 ( 1 ) 由( c ( 2 ) a ( 1 ) + b ( 2 ) c ( 1 ) ( 1 ，j ) = 0 ；j = 1 ，2 ，m ( 可铅6 c + z 。c ) n + ( 可：君+ 。b e + z i 君+ 。n c ) 6 + a 6 c ) = 0 y 6 + z 辨1 础+ 可口b c = 0 一名蹲1 + 秒彤= o ；歹= l 2 一，仇 ( 2 ) 由( c ( 2 ) a ( 1 ) + b ( 2 ) c ( 1 ) ) 0 ，j ) = 0 ；i = 2 ，3 ，n ；j = l ，2 ，m ( 蚓6 c + 蚓8 c ) 8 十( 秒 各。6 c + 2 舅。口c ) 6 + c ( 爨冀j b e ) + 口( 彬6 c ) = 0 即有蚓+ z 辨1 a c b + y 1 ) a b c = 0 因此可兽一z l + 可兽= o ；待2 ，o 3 一，n ；j = l 川2 一，m ( 3 ) 由( c ( 2 ) a ( 1 + b ( 2 ) c ( 1 ) ( n + 1 ，歹) = o ；j = 1 ，2 ，m ( 艘6 c + 般1 j o c ) n 十( 织1 b c + 搬l 州a c ) b + c ( 端b c + 铀z 0 ) o c ) + n ( 嫂6 c + z 瓣口c ) = 0 即有织1 j b c a + z ( n 2 ) + l j + l a c b + 妲l j a b c = 0 因此理1 j 一捉1 + 嫂1 j = 0 ；j = 1 州2 一，m ( 4 ) 由( c ( 2 ) a ( 1 + b ( 2 ) c ( 1 ) ) ( n + 2 ，歹) = o ；j = l ，2 ，仇 ( 理2 ，j 6 c + 嘏2 j a c ) a + ( 锻1 ”b c + 撄1 o c ) 6 + c ( 娥1 j 6 c + 础l j 口c ) = 0 即有理2 b c a + 搬l a c b = 0 因此锻2 ，j 一搬l = o ；j = l 川2 一，m 综上所述，即有 ，掰1 2 6 c d ”2 l撕k 娥1 ，1 b c + 嘏l 1 r ( 2 ) 一 u ( n + 2 ) ( m + 1 ) 一 ，( z 躁一6 c + 搬仳 l ( z 罂。，。一分辨，) 6 c + 名罂。，。 羹。，m耋j0)bc。，m)。n+。，xm ， i 锻，m 6 c + 嘏。，m o c 综上所述，我们可以得到以下定理： 定理3 2 模m = q 一1 a ( a ，6 ) ，模l 为一个具有n ，c 型的一次生成模， 则f l ( n ) 、，2 ( ) 的表示矩阵的左下角块c ( ，c ( 2 ) 具有下列关系： 若 1 5 有此即因 、7 m “ m m 加 + + + k k 沈 + + + m m m 可 渤渤 硕士学位论文 (了(1)=(羹荨。，。薹乏。，。c；玉。，n。耋，钉，口c：i。n。，。 则锩i 。) ( m + 1 ) = ， ( z 锓一耖跏6 c + z 错n c 程麓妒c ( 毫1 一耖) 6 c + ( 2 ) 。a c ( 蠢聋，。+ 。一弘铧。，。) k + 翟。，。a c 名罂。，。+ 。6 c + 2 聋。，。a c 1 6 删l , m + 。6 c + z i l a c 理1 ，m + 1 6 c + 嘏1 , m + l a c 蠢聋2 ，。+ 1 6 c + 名肄2 ，。+ 1 a c 外代数一类模非线性扩张的表示矩阵 4 模的扩张的同构 如上章所述，设a ，b ，c 是一组线性无关的元素，v 是代数闭域七上的 由o ，6 ，c 生成的3 维线性空间，v = l ( a ，6 ，c ) a = 人y 是y 上的外代数，模 m 是0 次生成的模，模l 是1 次生成的，且模m ，l 的表示矩阵分别为 4 ( b ( 其中a 0 ) b ( 1 ) ： 1 ，2 为m ，l 的两个扩张。 根据马蹄引理，l ，2 有极小投射分解： 其中拜，斤所对应的表示矩阵可，砖1 分别为 并且矩阵c ( 1 】，d 0 ) 具有如下形式： c 0 ) 可掰6 c 竣2 6 c 娥1 j 1 6 c + 嘏1 1 0 c 弋 d 0 ) ：l l 剪簿6 c ； 蒯6 c 蒯1 1 6 c + 剖l 1 口c ( n t l ) x n 彰翌。，m耋分n(1)要bcznl+)。，m)+。，x仇 ， i 理1 ，m 6 c + 。几+ 1 m ，。川 掰2 6 c 础6 c 蒯。，仇6 c + 犁。，m a c 若婀和2 存在同构映射g ，则存在同构映射h 。，h 2 ，使得下图可交 1 7 口 c +m ，l 、， 口6 o 6 0 o 叶 叶 m 幌 堡臂_ 皤错 露_ 片_ 矸砰 露_ 彦1 、 、-、 d 0 威 、，、j 0 q a d 、-、 u o 剐 0 0 a c 科( m ) 0 矸( l ) 旦错( m ) 0 磁( l ) 呈1 _ 0 l 九2工九1 l9 譬砰( m ) 0 砰( l ) 墨磁( m ) o 增( l ) 里n 2 _ o 图1 现讨论它们的同构 磁( m ) ； ( 2 2 ) ：瑶( l ) _ 瑶( l ) 为投射模间的同态 一瑶( l ) ； ( 2 1 ) ：p j ( l ) 一 由于m 是1 次生成的，l 是2 次生成的，由极小投射分解可知p j ( m ) ，瑶( m ) 是2 次生成的，错( ) ，瑶( 上) 是3 次生成的。从而得到愚u ，h 2 2 的表示矩阵 日1 1 ，日2 2 中的元素都属于k ，h i 2 的表示矩阵h 1 2 中的元素都为0 ，h 2 1 的表 示矩阵h 2 1 中的元素都属于y 。 因此h 。的表示矩阵日( ) 可记成 ，磁0 m n f 研裂一( x 2 2 埘) 其中日( 1 ，日( 2 2 ) 为代数闭域k 上的矩阵，h ( 2 1 ) 为v 上的矩阵 日( 1 1 ) = ( 芝薹) j ；二萎兰) m m 日( 1 1 ) = ( 二薹i 日( 1 1 ) = i ； ； 1日( 1 1 ) ：i； 黜勰臻。磺 同理可将h 2 的表示矩阵l ( z ) 记成 1 8 n n n t r l 故， 协； 危 、j、， c i c t 翟 但 但 忍 + + l ”q 组一；组咿 ( 1 i n蛾；蝶 + + 、j、j 口i d t 掣 ( 1 c n 吧 磺 0 0 俎j 殂啦 哪 垛 + + 的 ” 组j ；缸啦蜡；螺 + + 曲 孔j 豇啦 啦 垛 ，i-iilii | i 日 外代数一类模非线性扩张的表示矩阵 ( 其中l ( 1 ) 1 ，l ( 2 2 ) 为代数闭 。l ( ( m 1 1 + ) 1 ) ( m + 1 ) r ( 2 1 ) l m + 1 ) ( m + 1 ) 域k 上的矩阵，l ( 2 z ) 为y 上的矩阵故 ( m - i - 1 ) ( m + 1 ) ，z 器a ) a 州t ( 2 ，1 1 6 1 b + ，( 2 1 c l ( 2 1 ) ：ii k 罂路口+ ( 2 1 b ) 1 6 i ( 2 + 1 ，1 0 l c 由分块矩阵的运算法则，可知 f + ( n + 1 ) 嘶+ 1 ) ( 2 1 蠹a ) j _ 美( 2 1 b ) 誊j _ i ( 2 1 c ) 上岍m 。， 。n + 1 ，m + 1 8i n + 1 ，m + l ut n + 1 ，m + 1 c ，r 乱+ 1 、f m + 1 、 a h ( 1 1 ) = z ( 1 1 ) a ；b h ( 2 2 ) = z ( 2 2 ) b ； c h ( 1 1 ) + b h ( 2 1 ) = z ( 2 1 ) a + z ( 2 2 ) d 引理4 1 肛( ： k = ( k q ) m m ，s = ( m + 1 ) m 向量a ，b 线性无关，矩阵 ( ) ( m + t ) ( m + 1 ) 为两个代数闭域k 上的矩阵，若b k = s b ， 则存在e k 使得 e e 仇竹l 证明：对矩阵的行列指标进 第i 行、第j 列的元素。 s = 行分 1 9 e e e ( m + 1 ) ( m + 1 ) 讨论记a k ( i ，j ) 表示矩阵a k 的 、l-、 d d + + m x d u 计锄叶 吣反 l 、，+ 勉一 西 锄j 西h 卅 西 1 + m d h q 仇 f l，11 斗 0 m t 、liil o 6 硕士学位论文 ( 1 ) b k ( 1 ，j ) = s b ( 1 ，歹) ，j a k l j = 8 1 , j a + s i j + i b ，j = 1 ，2 ， ( k l , j s l j ) a 一$ 1 , j + l b = o ，j = = 1 ，2 ，m ， n 一1 1 ，2 ，n 一1 由于口，b 线形无关，故觑j = s 铺s 幻 ( 2 ) b k ( i ，j ) = s b ( i ，j ) ，i = 2 ，3 ， a k i a + 6 一1 j = s i j a + s i j + i b ( j s i d ) a + ( 一1 j 一& j + 1 ) b = 0 由于a ，b 线形无关 + l = 0 ，j = i ，2 ，n 一 ，m 一1 ，j = 1 ，2 ，m ， ，故j = 8 i d , 一1 j = 8 i j + li = 2 ，3 ，m ；j = 1 ，2 ， ( 3 ) 当b k ( m + 1 ，歹) = s b ( m + 1 ，歹) ，i = 2 ，3 ，n ，j = 1 ，2 ，n 一1 ， b k m j28 m + i j a 一s m + l d + l b ( 一8 m + l , j ) a + ( k m j 一 由于a ，b 线形无关 证 模 对 s m + l j + 1 ) b = 0 ，匈迂尼h j = 岛n + l j + 1 ，s 砌= o ，j = l ，2 ，扎一1 综上所述可知： k = 毕 定理4 1 ： ，1 ，2 为) 应的表示矩i k 蠹羹导。，m篓萎znl+)。，m。cn+。，m)。n+。，m 础6 c l 羹? ! 。，m 6 c + 石n + 。，m o c 。+ ，。，、 成其 为方便，将c ( 1 ) 则 ( e 7 蒯。j 外代数一类模非线性扩张的表示矩阵 记成( p 1 ) 一，风) 则 妒y 学+ 辫 e 、 ，口 j 十1 髟剖+ 鹦一九踹一l + 2 嚣翁) 6 c + 对应的表示矩阵日( ) - ( 2 1 a ) a + l ( 2 1 b ) b + l ( 2 1 c ) c 1 9 2 1 口) i 。l ，1 2 1 n k l i if ( 2 1 0 ) l n + l ，1 l e 日( 1 1 ) ：i l h ( 2 2 ) ： h ( 2 1 b ) ：i f i h ( 2 1 口) ：l f 0 l ( 2 2 ) 九嚣6 ) 九篡：6 ) 嚣d ) 磺：口 h ( 2 1 0 ) a + h ( 2 1 b ) b + h ( 2 1 c ) 满足如下关系： l m 州， 。l l ( 2 m l b ) 嘏 h ( 。2 1 。a ) 砖 r e l ( 1 1 ) ：l l m x m i l r x 竹 l ( 2 2 ) ： 2 1 n 仃l t t ，n e 危嚣口) n c o ch ( 2 2 ) 上岍时。， ( t l + 1 ) ( n + 1 ) 、llllll、l-、 c 弦 、j l 一 疆 + 比母口 、，1 0 埘帆 曲”瑷 卜 一 d + m 矧卜龇刖 观 1 + ) j n 1 似” 九 0 t 吣 ” 危0 姑辫 危 l b ， i， ： 肌 牝 果 并 讲 如 i 件虬朋 ，m o 1似叶 t 、lii_、lij， 、jlf e f 硕士学位论文 _ _ _ - - _ _ _ _ _ i _ _ _ _ l _ - _ _ - l _ _ i - l l m i - l l - l l _ _ _ _ _ - _ _ - _ l - - l _ _ l _ - l l ( 2 1 c ) ： l ( 2 1 b ) z ；。 ，h 。1 ( 2 2 1 b ) z y - l , l e 掣搿 e ，可埘一e 可器+ 危承6 e 宰。一e - 。，( 。1 ) 1 ，。+ 九；6 ，( 2 1 1 e 7 材+ e y 罐 日( 2 l c ) ：( 2 1 e 7 谢+ e 彬h 一( 2 1 c ) _ h ( 2 1 ” z ：3 ) e 如薯+ 咧2 l + h 一( 2 1 3 ) ，2 一h 一( 2 1 2 ，) 1 证明：a h ( n ) = l ( n ) a ，由引理1 可得， ，e i l ( 1 1 ) ：i l r l ( 2 2 ) ：i l 由计算可得： ( c 日( 1 1 ) ) ( i ，歹) = e y 5 l ；b c + e z l l ) , ja c ( b h ( 2 u ) ( i ，j ) = 。 + c = 危 ( l ( 2 1 ) a ) ( ，歹) = f ：爹o + 。1 幻( 2 1 + ) 1 6 = ，。! 。2 1 6 b n ( 三( 2 2 ) d ) ( i ，j ) = e 7 端b c - t - e ，z i d a c ( 2 m l b + ) 1 i z 删m + 1 ( n + 1 ) ( m + 1 ) e 7 拼2 一e 玉2 e 7 端一e 可器+ 危黜 e 7 可髀1 ，m e 玉等l ，m + ，h 。n ( 2 ，m l b )l 眦。， e 7 霸皇一。+ e l 臻一。 e 7 l 端一l + e 以臻一1 + l ( 1 2 ，。1 c 一h ( 2 ，1 b 一) 1 e 龆一，+ e 竣i 一，+ 啦一啦一t n m e e ( m + 1 ) x ( m + 1 ) 上m 。， 一 譬 町 组0 珏 、， 协m m 忍 一 的 1 2 但 危 i 、m曲h但刖 f ”u时 ， 曲0 似u 礼 tt ) jk 刑 ，o 、阳 螋泗 + 妣汁 口“ 铷 鹾如 卜虬洲 刊_ 忆十趾j 矗母j 斗 曲+ 则： 又因为： b h ( 2 1 ) + c h ( z 1 ) ：z ( 2 1 ) a + z ( 2 2 ) d 由于曲，b c ，口c 线性无关，所以 2 = l 鼎一 ! 嚣 。霉21c)_e_-e14谤(a)i_e，”麓(1)二茄_i(21b)h(21 e y i d -二e 础础2 1 c 3 ) 越h ( 2 1 咎b ) 。 。jd = e 7 彤一“刚。+ e 好一e 础+ 危出 1 ( 2 1 a ) f 。i , 1 l ( 2 h ) = l ： ，( 2 l o ) i n + l , l r l ( 2 1 b ) ：i l i。 h ( 2 1 b ) ：i f h ( 2 1 a ) ： 1 ( 2 1 a ) h 1 2 l b ) 1 2 一。i , 2 l 川删 h ( 。2 1 ，。a ) 艘鬻) n m n 仃l ( 2 1 b ) 。n 仇十1 l ( 2 z b ) 。n + l ，m +上岍m 。， 有 ， c ， 殂j 口 “ 一 一埘“m协 孙h畿 幺，一 = 曲h l妇巧订乩蟛蟛憾 7 e 危+ 坨= 一哪 +埘埘；舸叼严蠼姆一 ，“ = ，”jd，j他 垤础蟛蜉 =，j、_，、_-、_， 让 有 当 即 若 h ，m 口l计 ， 、ilj、lili n m ；qm 危 h b 1 l 1 1 2r；2 b 忽 危 、j 口 1 l 偿l 忍 口 ，1 q m h 翳 h一 m西 ：2 m 2 b 聪，加 卜僻 但 ：2 2但m 九，j b l一叶 曲 0 1 2 口 l ( 2 1 c ) h ( 2 1 c ) 又 硕士学位论文 e 7 可材一e 秒罐 e 谢一e 鼎+ 九嚣6 e 7 蜊1 1 1 一e y ( 1 ) 1 1 + 九掣 2 嚣oe 7 可错+ e y 辨 1 i ( 2 1 。e 7 1 ，蹭+ e 铡籼h l ( 2 ，2 1 “一h ( 1 1 2 1 ” e 7 弘鼎+ e ! ，j + h 一( 2 1 3 ) ，2 一，h 。( 2 1 2 1 ) ，1 。嘏。j = w 掣。j z 罂艺+ h w ( 2 1 口) 当i = 1 ，2 ，扎；时，有 如果 e 7 可龆一e 班岛 e 龆一e 以臻+ 九掣 e 掣。，m e 羹等。，m + h ，( 2 1 b l 脚州 e 7 可跣一。+ e 掰臻一。 e 7 耖鼢一l + e 如岛一l + 危i 等h ( 。2 1 一b ) 。 e 7 弘5 ：k l + e 鹾k l + h 一( 2 1 c ) ，。一h 一( 2 1 b ) ，。一1 n x m , 。叫h ( ，2 j 1 + c ) 1 心h ( 一2 1 1 a j ) + l 一i ( 一2 1 1 b j ) + f ：一2 1 l a j ) + 1 ) 嘏l j = ( e 7 羹宰1 j - - 1 ，( 。2 1 c ) j + 1 一 i ：口) l 一, i o r ； a , i ) u k c “ 蒯l ，1 b c + 捌1 i l a c 秒i x 6 c 竣i 6 c 嘏l 1 b c + 础1 ，1 a c 将c 记成慨，风) 则 0 、( e 7 蒯。j 证毕 ：( e 7 谢 可然6 c 撼6 c 蒯，。6 c + 捌t ，m n c 凡十1 ) m