（基础数学专业论文）整数矩阵中的一些算术问题.pdf

整数矩阵中的一些算术问题 基础数学专业 研究生：郑丽娟指导教师：洪绍方教授 摘要：设n 为正整数，s = z ”， 为n 个不同的正整数构成的集合对。 s ，定义g s ( x ) ：= d 翻d 。，训以及( d y l x ，y s ) 辛y d ，。) ) 我们称 以z ；和z ，的最大公因子( z ，) 为i ) 项的n n 矩阵为定义在集合s 上的g c d 矩阵， 记为( s ) 同样我们可以定义l c m 矩阵l s 】在1 9 9 2 年，美国数学家b 0 1 】r q 和l i 曲证 明了如果s 是因子封闭的( 即对任意的z s ，若d l z ，则d s ) ，那么在n 阶整数矩阵 环中，有( s ) 蚓成立，集合s 称作g e d f 最大公因子) 封闭的，如果对于所有1 e ，js n ，有( 她，z ，) s 显然f c 集合是g e d 封闭的，但反之不成立在2 0 0 2 年，h o n g ( 洪 绍方) 证明了对任意的g c d 封闭集合s ，且l s ls3 ，有( s ) l 【s 】同时h o n g 证明了存 在g o d 封闭集合s ，满足m a x 。s l g s ( z ) | ) = 2 ，使得( s ) fis 】在本文中，我们将对 于埔足条件m & x x e s l a s ( z ) f ) = 2 的g o d 封闭集合s 给出一个充分条件，使得在整数 矩阵环中，f s 】被( s ) 整除此结果部分解决了h o n g 在2 0 9 2 年所提的一个公开问题 我们还证明了如下结果：如果s 由两条互素的因子链所组成，那么g c d 矩阵( s ) 整 除l c m 矩阵这部分验证了h o n g 在2 0 0 6 年所提出的一个猜想 关键词：g c d 封闭集，g c d 矩阵，l c m 矩阵，最大型因子，因子链，整除性 s o m ea r i t h m e t i c a lp r o b l e m si ni n t e g e rm a t r i c e s m a j o r i n g ：m a t h e m a t i c s g r a d u a t es t u d e n t ：l i j u a n z h e n g s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o r s h a o f e m g h o n g a b s t r a c t ：l e tnb ea p o s i t i v ei n t e g e ra n ds = 1 ，”) as e to f 几d i s t i n c t p o s i t i v ei n t e g e r s f o r 茁s ，d e f i n eg s ( z ) ：= d s l d o ，d i o 强d ( d v l x ，y s ) 辛 y d ，z ) ) t h e 几，l m a t r i x w h o s e0 ，j ) - e f i c r y i 毫t h eg r e a t e s te o i a l n o n d i v i s o r ( z ，码) o f 托a n dz ，i sc a l l e dt h eg c dm a t r i xo ns ，d e n o t e db y ( s ) s i m i l a r l yw ec a nd e f i n e t h el c mm a t r i x i n1 9 9 2 ，b o u r q u ea n dl i g hs h o w e dt h a t ( s ) 旧h o l d si nt h er i n g o fn nm a t r i c e so v e rt h ei n t e g e r si fsi sf a c t o rc l o s e d ( i e w eh a v ed sf o ra n yd l x a n d f o ra n yz s ) t h es e ts i ss a i d t ob eg c dc l o s e d i f ( z i ，z ，) s f o ra l l l i ，j n c l e a r l ya f a c t o r - c l o s e ds e ti sg c dc l o s e db u tn o tc o n v e r s e l y i n2 0 0 2 ，h o n gs h o w e dt h a t f o ra n yg c d - c l o s e ds e tsw i t hi s l 3 ，w eh a v e ( s ) l 【s 】m e a n w h i l eh o n gf o u n dt h a t t h e r ei sag c d - c l o s e ds e tsw i t hm s , x z s i a s ( 。) f ) = 2s u c ht h a t ( s ) 十 司i nt h i sp a - p e r ，w eo b t a i nas u f f i c i e n tc o n d i t i o no nt h eg c d - c l o s e ds e ts w i t hm a x z s l g s ( z ) j ) = 2 s n c ht h a tt h el c mm a t r i xf 卅i sd i v i s i b l eb yt h eg c dm a t r i x ( s ) i ts o l v e sp a r t i a l l y a no p e np r o b l e mr a i s e db yh o n gi n2 0 0 2 w es h o wa l s ot h a ti fsi sc o n s i s t i n go ft w o r e l a t i v e l yp r i m ed i v i s o rc h a i n 8 ，t h e nt h eg c dm a t r i x ( s ) d i v i d e st h el c mm a t r i x 【s 】 t h i sc o n 血i n sp a r t i a l l yac o n j e c t u r er a i s e db yh o n gi n2 0 0 6 k e y w o r d s ：g c d c l o s e ds e t ，g c dm a t r i x ，l c mm a t r i x ，g r e a t e s t t y p ed i v i s o r d i v i s o rc h a i n ，d i v i s i b i l i t y 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解四川大学有关保留、使用学位论文的规定，即；学校有权保留送交论文的 复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩 印或其他复制手段保存论文。 作者签名 日期： ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 导师魏递! 圣杰 目瓤立种曰 四川大学硕士学住论文 设，为算术函数英国数学家s m i t h 于1 8 7 6 年在他的著名文章f 2 7 中证明了 如下结果：若( ，( ，列是几n 的矩阵，其( ，7 ) 项为，在i 和j 的最大公因子( i ，j ) 处 的取值，贝l j d e t f ( i ，州= n 翟1 ( ， p ) ( ) ，这里肛是m s b i u s 函数，f p 为，和p 的d i r i c h l e t 乘积a p o s t o l 1 于1 9 7 2 年推广了s m i t h 的结果在1 9 8 6 年，m c c a r t h y 【2 8 1 进一步把s m i t h 和a p o s t o l 篚j 结果推广到一类m ( m o dr ) 的偶函数上，这里m 与r 是正整数我们称取值为复数的函数卢( m ，r ) 为m ( m o dr ) 偶函数，若对 任意的m ，有卢( m ，r ) = 卢( ( m ，r ) ，r ) 在1 9 9 3 年，b o u r q u e 和“g h 【4 1 进一步推 广了s m i t h ，a p o s t o l ，n m c c a r t h y 的结果在2 0 0 2 年，h o n g 1 4 弓 进一种新方法， 把s m i t h ，a p o s t o l ，m c c a r t h y , b o u r q u e 和l i g h 的结果推广到一类二元算术函数 上 设s = z ，x n ) 为t t 个不同的正整数构成的集合，是一个算术函数， 以，在甄，。，的最大公因子( 筑，) 处的取值f ( x 。z ，) 为其i ，j 项的n n 矩阵记 作( ，( 戤，z a ) 同样，以，在戤，岛的最小公倍数k ， 处的取值，k 。 为其i ，j 项的n n 矩阵记作( ，k ，q 】) 关于( ，( 孔，) ) 与( f i x ，q ) 之间的整除性，其中，为 整值算术函数，b o u r q u e 和l i g h 吼h o n g 【1 4 ，1 5 得到不少好的结果进一步地， h o n g 1 7 1 9 j ，l i 2 4 和c a o 7 】给出了关于矩阵( ，( 甄，q ) ) 和( ，b ，码 ) 的非奇异性 的一些定理 对于任给的整数e21 ，我们令为算术函数，其任意正整数。处取值为靠( z ) = 。，我们分别称慨，) ) ( 简记作( ( 巧) 8 ) ) 和睡k ，巧】) ( 简记作( k t ，蚓8 ) ) 为s 上的凡行幂最大公因子旧c d j 矩阵和s 上的n n 幂最小公倍数亿c m ) 矩- f $ 若e = 1 ，我们就分别称它们为最大公因子偈c d ，矩阵和最小公倍数陋明剀矩阵 我们称集合s 是因子封闭的陋切，若对任意的o s ，s 包含x 的所有正因子称 集合s 是最大公因子向e 妙封闭的，若对所有的1 i ，jsn ，有( 墨，) s ，显然， 任何f c 集合都是g c d 封闭的，但反之不成立在这方面，b o u r q u e 和l i 曲在f 4 ，5 中 首先推广 s m i t h 的结果同样地，b e s l i n 和l i 曲也在f 2 】中证明了定义在g c d 封闭 里型查芏壅主芏堡垒叁 集s = z 1 ，z 。) 上的幂g c d 矩阵( ( 孔，巧) 8 ) 的行列式等于兀：1q e , k ，其中 q 啪= 五( d ) ， d z k 悲。 ， 并且在上面的等式中，以：= 矗p 为3 0 r d a n i 函数h o n g1 13 】证明了在g o d 封闭 集s = 扛1 ，z 。) 上的l c m 矩阵( k ，x j 8 ) 的行列式为n ：，z 挚厦其中 尾户睦+ 肛) ( d ) d l z l , 耐现 t z 另一方面，关于幂l c m 矩阵k ，q 】) 的非奇异性，h o n g 在【17 】中得到了两个重 要的结果b o u r q u e 和l i g h 首先在【4 j 中证明了定义在任何集合s 上的幂g c d 矩 阵( ( 甄，巧) ) 是正定的紧接着h o n g 和l o e w y 【2 1 】研究了定义在s 上的幂g c d 矩 阵f f , ( z i ，) ) 的特征值的渐近性质同样地，w i n t n e r 2 5 】以及l i n d q v i s t 和s e i p ( 2 2 】 研究了另一类幂g c d 矩阵的特征值的渐近性质 整除性是g c d 矩阵和l c m 矩阵研究领域的中心问题之一b o u r q u e 和l i g h 3 】 证明了如下结果：若s = 扛l ，2 ；n 是f c 的，那么在礼n 的整数矩阵环 “( z ) 中，g c d 矩阵( ( 矗，巧) ) 整除l c m 矩阵( k ：，岛 ) 即存在整数矩阵m 厶( z ) 满 足p 】亍( 酽) m ，或等价地， s 8 】( 9 ) 。 厶( z ) h o n g 在1 1 5 】中指出在一般 情况下，上面关于l c m 矩阵和g c d 矩阵的整除性的结果是不成立的我们称集 合s 是奇g c z 封s e 集，若s 是g c d 封闭的，且s 中的每一个元素都是奇数我们称 集合s 是偶9 。澍闭集，若s 不是奇g c d 封闭的h o n g 1 5 i t 正明存在偶g c d 封闭集 合s = 仁1 ，x n 使得g o d 矩阵( ( 戤，巧) ) 不整除l c m 矩阵( 陬，矧) 但是，对任 意给定的整数e 1 ，我们仍然不清楚是否存在奇g c d 封闭集合s = p l j 。z 。 ，使 得幂g c d 矩阵( ( ，) 8 ) 不整除幂l c m 矩阵( k ，巧】。) h o n g 在 1 7 中猜想答案是 否定的对于此猜想，h e 和z h a o 【x 2 1 ( 同样的h e 【1 1 1 ) 给出了e = 1 和n = 4 时的一 个反例因此此猜想是不对的几乎同时，芬兰数学家h a u k k a n e n 和k o r k e e 1 0 1 给 出了对任意的e l ，几= 4 时，该猜想不成立的反例利用 1 3 】和1 4 】中的简化公式 以及h o n g 【1 2 】在解决【3 】中的b o u r q u e - l i 曲猜想时所提出的一套系统方法，z h a o - 2 四川大学硕士擘住论文 3 h o n 皆“a 0 - s h u m f 2 9 1 证明了对任给的整数e 1 ，当礼3 时，这个猜想成立，但 当n24 时，此猜想是不正确的从而从集合的阶的角度，完全解决了该猜想 h o n g 【1 6 】证明了当s 是因子链或乘积封闭( 即对任意的z s ，若x l y l c m ( s ) ， 则s ，其中l c m ( s ) 表示集合s 所有元素的最小公倍数) 的时候，l c m 矩阵被g c d 矩阵整除设z ，y s ，且z 1 为整数，则删肛( d ) = 0 在如下引理的证明中我们将 经常用到这一事实+ 引理3 3 令s = z 1 ，。 为礅闭集合，且n 2 令c r 。如同引理，绅 所定义若m = 1 ，则 ， il 若r = 1 ， 【0 否则 若2 m n ，g s ( z 。) = ( z 。) 时，则有 l 一1 若r = m l ， = t 若r = m ， 【0 声则 6 四川大学硕士学住论文 s g s ( x 。) = 茁。，士。) 时，4 z 。= ( 茁。，七m ) ，则有 证明：当m = 1 时结论显然成立 现在令2sms 佗显然当研时，我们有岛。= 0 ，下设2 ，j 。首先我们 设g s ( x 。) = 。) 若r = m ，则 若r = m 1 ，则 c m 。= 肛( 1 ) = 1 ，。= p ( d ) = p ( d ) = p ( d ) 一p ( 1 ) = 一1 缸m 1 i 。md m 1 i z m 卅( m z m l ) 如玳，忙td 1 z t ( z m 若r m ，m 1 ，则我们有 = p ( d ) = p ( d ) 一p ( d ) = 0 笔拯 硼。m 7 2 r d l ( z “l x ) z z m 其次设g s ( z 。) = 。，z 。) 若r = m ，则我们有 若r = m 1 ，则 若r = m 2 ，则 岛。= p ( 1 ) = 1 ，。= p ( d ) p ( d ) = 一1 出m 1 i z md 。m 1 i z m 出m ，枷td 1 z t z m c 。= p ( d ) = p ( d ) = 一1 如饥2 i md 。m 2j z m 出z t “ 2 x 慨m d l 耽 或或 m m = f f r r 刚 若若否 l一 1 o ，、【 = 四川大学司i 士学位论文 若r = m 3 ，则我们有 。= p ( d ) d z ”3 i = m 尝癣 = p ( d ) 一p f d ) 一：p ( d ) + p ( d ) 4 i + - - = 。-d l 舞d i 舞 d i 生篙等立= 1 1 若r m ，m 1 ，m 2 ，”b ，注意到。，1 ；，则我们考虑如下三种情形： 情形1 ：z ，f z m 。则由簖。可得1 孥z 因此 c r 。= p ( d ) d x r i z m d f 2 x f z m = 肛( d ) 一芦( d ) 一肛( d ) + 肛( d ) d ( z m 。r ) d l ( x m l z r )叫( # m 2 。r )( m 3 。r ) = 0 情形2 ：4 f 。仉1 且研肛。：由于r m 1 ，我们有1 等z 于是 = 出，i z 出r 忙“l p ( d ) = 肛( d ) 一p ( d ) = 0 叫扛m z r ) 硼( z m l = r ) 情形3 ： 。：且研k 。这与情形2 类似。事实上，我们有 = p ( d ) = p ( d ) 一p ( d ) = 0 出r f 。m叫扛m ) 圳( z m 2 肛r ) 如r 忙m 2 引理3 3 证毕口 8 四川大学硕士学位论走 4关于公开问题1 2 在本节中，我们将给出本文的第二个主要结论本节和上节的内容摘自文 献【8 j 首先我们研究g o d 封闭集合的一些结构特征和性质 引理4 1 设s 为9 c 谢闭集合，如果z ，2 s ，i g s ( z ) = 臼 ，那么z 一整 除陋，z j 一【y ，2 】 i 正u g ：若茹l 。，则显然有陋，。】= 阻，z 】于是k 。j 一曲，。】= 0 结论显然成 立 现设ztz 那么z ( 。，z ) 因为s 是g c d 封闭的，所以( z ，。) s 由 于是z 在s 中唯一一的最大型因子以及：。，1z ，因此( 。，z ) iy 于是( 。，。) ( 玑z ) 另一方面，由f i z 我们知道( ，z ) l ( z ，z ) 因此( 。，z ) = ( y ，z ) 从而 陋，习一眵矧2 南尚2 南( x - - y ) 一 由于南z ，所以由上式立即可得扛一u ) l ( k ，z 】一b ，。】) 于是引理4 1 证毕 口 引理4 2 设s 为9 c d 封闭集合且满足条件c 设。s ，且g s ( z ) = l ，抛) 令口3 = ( y 1 ，y 2 ) 那么以下结论均成立j ( i ) f y l ，y 2 = ， ( i i ) 蜘g s ( y 1 ) ng s ( 耽) ， ( i i i ) 若2 s ，则? + y 3 一y 1 一y 2 整除扛，2 】+ 【蜘，。 一i y l ，z 】一，刁 证明：由于g f ( z ) = 暑，1 ，驰) ，因此( i ) 是条件c 的直接推论 现在我们证明( 站假设y 3gg s ( 1 ) 那么必存在s 中元鼽满足驹lyly 1 以 及暑，g 可1 ，蜘) 由集合s 满足条件c 我们可知胁抛】s 由于y 2jf y ，抛】i z 及耽是z 的最大型因子，因此我们有b ，耽】= 匏或者。假设卧列= 轮，那么 有f 耽，从而可f ( y l ，耽) = 骀又蜘 y ，所以秽= y a 这与秽蜘相矛盾 因此由，驰】= z = b l ，纠又由( f ，耽) = 珈我们可以知道( 嚣，嚣) = 1 注意 到嚣【嚣因此( 嚣，嚣) = 1 于是我们得到( 玑z ) = 舶再由阻，现】= 阿- ，耽】， 印t 赞裔= i ；，我们得到! = y 1 1 l - 与y y i y t f 舌因此假设蜘乒g s ( ”1 ) 是不对 9 四肼大学硕士学位论文 的所以3 g s ( y 1 ) 类似我们可以证明3 g s ( 2 ) 故( i i ) 得证 最后我们证明( i i i ) 若zl 。，则玑l2 ，y 2lz 及y 3l ：故( i i i ) 成立如下设z z ， 且令d ：= ( z ，z ) 于是我们有d 1 则l g s ( z t ) i = 1 或2 ；旨g s ( z k ) = 。乜) ，则由引理3 2 ，3 3 以及引理41 我 们有 妾刊，叫= o m l k 兰! ! 苎2 1 二! 兰! ! ! 兰! ! z o 女一z 1 ；e g s ( z k ) = z h ，z k ：) ，则令x k 3 = ( z z k ：) 因此由引理3 2 ，3 3 煽1 理4 2 我们有 去互础神扣坠訾杀掣弦 这样引理4 3 就得证了口 引理4 4 设s = z 1 ，。) 是扣澍闭的，且满足条件c 以及m a 磁s i c s ( z ) f = 2 令岛= s 。) = z 1 1 ，2 9 n - - z ) 如果。是s 中的一个极大元，那么 【剐( s ) 。 磊( z ) 静吼】( 研) - 1 靠一1 ( z ) 证明：由引理3 3 可知，我们仅需要证明：对任意的1 i ，j 扎1 ，有 ( 【鄙( s ) 1 ) 幻= ( 隗】( s - ) 1 ) 。+ 一个整数 如下我们设1 i ，js 礼一1 定义 铲1 戮三 1 2 四川大擘项士学位论文 于是我们有 ( 旧( s ) - 1 ) 旬= z 。】鱼警 m = i ? m l z k = 争圳至警j ( b 而，警营训竿e m ) = ( ( s 1 ) 。) 。+ a j ， 其中 舻 x l ，x n c n n c l n + 孕，训警e 一， 下面我们证明a “z 若g s ( x 。) = z 。) ，贝s jr h 引理3 23 3 和引理4 1 有 如= ( 鼍甓掣) 唧咀 若g s ( x 。) = z 。正。：) ，则由引理3 23 3 和引理4 2 有 a 。= ；竽( 陋t ，z 。 + k t ，z 。】一【以，z 。，】一【甄，x n 2 】) ：堕生坐譬止堕盟划z 引理4 4 证毕口 现在我们证明本文的主要定理 定理4 5 设s = 扛l ，x n ) 是卵尉闭的，且满足条件c 以及m a s i c s ) i ) = 2 那么( s ) - 1 l 厶( z ) 证明：我们对集合s 的元素个数竹作归纳证明 若n 3 ，f h h o n g 【1 5 】我们知结论成立以下设n 4 假定结论对于n 一1 情形成立下面我们将证明结论对n 情形也成立容 易验证：对于集合 1 ，n ) 上的任何一个置换口，在n 阶整数矩阵环上，我们有： ( s ) l 成立当且仅当( s ) f 【& 】成立，这里岛：= 。( 1 ) ，z 。( 。) ) 因此我们 可以重排s 中的元素( 如果需要的话) ，使得。为s 的一个极大元下设z 。为s 的一 1 3 四川大学硕士学位论文 1 4 个极大元那么集合s 1 = 缸”，x n - - i 是礼一1 元的g c d 封闭集且满足条件c 以 及m a x 。s i c s 0 ) i ) 2 如果m a x = s l g s ( 。) | = 1 ，那么由【2 3 】可知盼】( s 1 ) _ 1 厶一l ( z ) 如果m a x x s j g 台( 。) 1 ) = 2 ，那么由归纳假设我们有愧】( 5 1 ) - 1 m ，一1 ( z ) 再由引理4 4 1 , - r r p 知道旧( s ) - 1 厶( z ) 这就证明了结论对于n 情形成立 定理4 5 证毕 口 注记定理4 5 部分地解决了公开问题1 2 四川大擘硕士学位论支 参考文献 【1 1t m a l m s t o l ，a r i t h m e t c a p r o p e r t i e sd ，g e n e r a l i z e dr a m a n u j a ns m a s ，p a c i f i cj m a t h 4 1 ( 1 9 7 2 ) ，2 8 1 2 9 3 ， 【2 s b e s l i na n dsl i g h ，a n o t h e rg e n e r a l i s a t i o no f s m i t h sd e t e r m i n a n t ，b u l l a u s t r a l m a t h s o c4 0 ( 1 9 8 9 ) ，4 1 3 - 4 1 5 f 3 】kb o u r q u ea n ds l i g h ，d 8g o da n dl c mm a t r i c e s , l i n e a ra l g e b r aa p p l 1 7 4 ( 1 9 9 2 ) ， 6 5 7 4 1 4 】k ，b o u r q u ea n ds l i n c h ，肘曲电a s s o c 缸t e d “饥c l a s s e so fa r i t h m e t i c a lf u n c t i o n s ，j n u m b e rt h e o r y4 5 ( 1 9 9 3 ) ，3 6 7 - 3 7 6 1 5 k b o u r q u ea n dsl i g h ，m a t r i c e sa s s o c i a t e dw i t ha r l t h m e t w a i f u n c t i o n s ，l i n e a rm u l t i l i n e a r a l g e b r a3 4 ( 1 9 9 3 ) ，2 6 1 2 6 7 【6 lk b o u r q u ea n ds l i g h ，m a t m c e sa s s o c i a t e dw z t hc l a s s e so f m u l t t p l i c a t i v e f u n c t w r ，l i n e a r a l g e b r aa p p l 2 1 6 ( 1 9 9 5 ) ，2 6 7 - 2 7 5 阴wc a o ，o nh o n g sc o n j e c t u r e 扣rp o w e rl c mm a t r i c e s ，c z e c h o s l o v a km a t h j 5 7 ( 2 0 0 7 ) ， 2 5 3 - 2 6 8 【8 】w f e n g ，s h o n g ，ql ia n dl z h e n g ，d i v i s i b i l i 坷o fl c mm a t m c e sb yg c dm a t r i c e so m g c d c l o s e ds e t s ，p r e p r i n t 1 9 】w f e n ga n dlz h e n g ，an o t eo n 口c o n j e c t u r ed ，h o n gd ，d i v i s z b i l i t yo fl c mm a t r i c e s ，j s i e b u a nu n i v n a t u s c ie d ，i np r e s s f l o p h a u k k a n e na n di _ k o r k e e ，n o t e so nt h ed i m s i b i h t yo yl c m a n dg m a t r z c e 8 ，i n t e r n a t i o n a lj m a t ha n dm a t h ，s c i e n c e6 ( 2 0 0 5 ) ，9 2 5 - 9 3 5 【1 1 】c h e ，d i v i s , b d i t yo fd e t e r m i n a n td ，p o w e rm a t m c e s d ，lg c d ，c l o s e ds e t s 伽c h n i e s e ) ，a c t a m a t h s i n i c a ( s e r i e sa ) 4 9 ( 2 0 0 6 ) ，6 4 7 - 6 5 0 【1 2 c h ea n djz h a o ，m o r eo nd i v i s i b i h t yd ，d e t e r m i n a n t so fl c mm a t r i c e so ng c d c l o s e d s e t s ，s o u t h e a s ta s i a nb u l l m a t h 2 9f 2 0 0 5 ) ，8 8 7 - 8 9 3 【1 3 s h o n g ，o nt h eb o u r q u e - l i g hc o n j e c t u r eo yl e a s tt o e , m o r tm u l t i p l em a t r i c e s ，j a l g e b r a 2 1 8 ( 1 9 9 9 ) ，2 1 6 - 2 2 8 【1 4 sh o n g ，g e d - c l o s e ds e t sa n dd e t e r m i n a n t sd ，m a t r i c e sa s s o c i a t e dw i t ha r i t h m e t , c a l 伽c t t o n s ，a c t aa r i t h 1 0 1 ( 2 0 0 2 ) ，3 2 1 - 3 3 2 【1 5 1s h o n g ，o nt h e a c t o n z a t w no fl c mf ；i g t r i c e 8o ng e d c l o s e ds e t s ，l i n e a ra l g e b r aa p p l ， 3 4 5 ( 2 0 0 2 ) ，2 2 5 - 2 3 3 四川大学硕士学位论文 1 1 6 】sh o n g ，f a e t o m z a t w no fm a t r z c e sa s n o c m t e d u n t hc l a s s e so fa r z t h m e t w a lf u n c t i o n s ，c o l l o q m a t h 9 8 ( 2 0 0 3 ) ，1 1 3 - 1 2 3 f 1 7 】s h o n g , n o t e so np o w e rl c mm a t r i c e , a 黏aa r i t h 1 1 1 ( 2 0 0 4 ) ，1 6 5 - 1 7 7 【1 8 】s h o n g ，n o n s i n g u l a r i t yo fr a a t r i c e sa s s o c i a t e dw i t hc l a s s e so fa r i t h m e t i c a lf u n e t z o n s ，j a l g e b r a2 8 1 ( 2 0 0 4 ) ，1 - 1 4 1 1 9 ) s h o n g ，n o n s i n g u l a r i t yd ，l e a s tc o m m o nm u l t i p l em a t r i c e so ng c d - c l o s e ds e t s ，j n u m b e r t h e o r y1 1 3 ( 2 0 0 5 ) ，1 - 9 幽】s i i o n g , 胁讯9 l “酬姆o ，m a t r i c e sa s s o c i a t e dw i t hc l a 4 $ e so ，a r i t h m e t i c a lf u n c t i o n so n l c m - c l o s e ds e t s ，l i n e a ra l g e b r aa p p l 4 1 6 ( 2 0 0 6 ) ，1 2 4 - 1 3 4 ， 【2 1 】s h o n ga n drl o e w y ，a s y m p t o t i cb e h a v i o ro fe i g e n v a l u e so fg r e a t e s tc o t m o nd i v i s o r m a t i n e e s ，g l a s g o wm a t h j4 6 ( 2 0 0 4 ) ，5 5 1 5 6 9 【2 2 】s h o n g ，k p s h u ma n dq s u n ，o nn o n s m g u l a rp o w e rl c mm a t n c e 8 ，a l g e b r ac o l l o q 1 3 ( 2 0 0 6 ) ，6 8 9 7 0 4 【2 3 】s 。h o n g ，y y i na n djz h e o ，d z m s i b d z t yp r o p e r t i e so fs m i t hm a t m c e s ，p r e p r i n t i 2 4 m l i ，n o t e so nh o n 9 sc o n j e c t u r e