（基础数学专业论文）多维拟线性退化抛物方程的dirichlet问题.pdf

多维拟线性退化抛物方程的d i r i c h l e t 问题 摘要 本文考虑了类多维拟线性退化抛物方程的d i r i c h l e t 问题的可觯陛我们利用压 缩半群方法证明了弱解的存在睫 关键词：拟线性退化抛物方程；压缩半群；d i r i c h l e t 问题 多维拟线性退化抛物方程的d i r i c h l e t 问题 a b s t r a c t t h i sp a p e ri sd e v o t e dt ot h es t u d yo ft h ed i r i c h l e tp r o b l e mo fq u a s i l i n e a rd e g e n - e r a t ep a r a b o l i ce q u a t i o n si nh i g h e rd i m e n s i o n b yu s i n gt h ec o n t r a c t i o ns e m i g r o u p m e t h o d ，t h ee x i s t e n c eo ft h ew e a ks o l u t i o ni sp r o v e d k e y w o r d s ：q u a s i l i n e a rd e g e n e r a t ep a r a b o l i ce q u a t i o n s ；c o n t r a c t i o ns e m i g r o u p d i r i c h l e tp r o b l e m 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研究 成果。本人在论文写作中参考的其它个人或集体的研究成果， 均在文中以明确方式标明。本人依法享有和承担由此论文而产 生的权利和责任。 责任人( 签名) ： 1 的缸珏 口年f 月即日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定。 厦门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的 纸质版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制 并允许论文进入学校图书馆被查阅，有权将学位论文的内容编 入有关数据库进行检索，有权将学位论文的标题和摘要汇编出 版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 本学位论文属于 1 、保密( ) ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密 ( 请在以上相应括号内打“”) 作者签名：1 切柱瘟 导师签名： 日期：，艋f 占月刁日 日期：年月 日 多维拟线性退化抛物方程的d i r i c i e t 问题 第一节引言 本文利用压缩半群的方法研究如下形式的拟线性退化抛物方程的d i r i c h l e t 问题 塞= 出”( i v ( i 札1 - 2 u ) r 2 v ( m “训，( 州) n ( o u ( x ，t ) = 0 ，( z ，t ) 1x 0 ，t 】 “( z ，0 ) = u o ( z ) ，x q ， 这里( 1 三2 ，p 2 ，qcr 。 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) p 岁u 万1 茔是( 1 ) 的行例非n e w t o n 渗流方程，又称发展的p - l a p l a c e 方程 警= 出”( i v u l p _ 2 v u ) ， ( 4 ) 非n e w t o n 多方渗流方程 謇= 酬i v u 叩。2 v ， ( 5 ) 其中m 0 ，p 1 这类方程在过去的三十多年中已成为广泛的研究对象下面简单的 介绍官们的物弹来源 首先考虑单相渗流问题假设有一种可压流体在均匀、各向同性的刚性多孔介质中 的流动由质量守恒定律 目塞砌 ( p 矿) _ o ) ( 6 ) 其中p 为介质的孔隙率( 此时是常数) ，p 为流体的密度，矿为流体的渗流速度当我 们考虑非n e w t o n 流体( 例如拟塑性流体) 时，需要计及流量的大小、分子与离子效应 等诸多因素的影响，线性的d a r c y 定律不再成立，代替它的是下列非线性关系： p v l = 一a l v e l ”1 vp ) ( 7 ) 多维拟线性退化抛物方程的d i r i c b 3 e t 问题 其中p 铲和p 分别表示流体的动量密度和压力，a 0 和n 0 是某物理常数 如果所考虑的是多方气体，则压力和密度满足下列状态方程 p = c 矿 其中c 和，y 都是正常数于是由( 6 ) 和( 7 ) 得 目警= c 。a d i 口( w p i 一1 v 们， 改换变量和记号，它就化成( 5 ) 如果不限于考虑非负解，取m = n 一1 ，则方程( 5 ) 改写为更般的方程( 1 ) 对于p - l a p l a c e 方程( 4 ) 的研究，在三十年前就已经开始( 见f 1 】- 3 】) ，近年来，随 着对n e w t o n 渗流方程研究的深入，这类方程的研究也得到迅速发展关于解的存在 唯一洼、解的正则性、解得初始迹问题以及解的分界面的正则性等理论已日趋完善( 见 4 】- 1 4 ) 对于非n e w t o n 多方渗流方程( 5 ) 的研究也平行地被研究( 见【1 5 一【17 ) 本文的目的是得到更一般形式的方程( 1 ) 的弱解存桎陉，在证明中应用了文献 1 9 1 中的压缩半群方法下面给出方程弱解的定义我们假定u o l x ( n ) n 工户( 啦，m 2 ，p 2 定义1 1 称“l ”( o ，t ；l 1 ( q ) ) 为d i r i c h l e t 问题( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) 的弱解，如果 j u l o - 2 札l o o ( o ，t ；喇9 ( n ) ) ，且对任意的妒c 铲( q ( 0 ，t ) ) 和h c 铲( n ) ，有 k 丁，( 一u 警+ i v ( 胪i u 胪。2 v ( 胪i 砂v 刚础= 。 e s s ：觋上u ( z ，t ) 危( z ) 如= 上“。( 茁) ( z ) 如 2 多维拟线性退化抛物方程的d i r i c 划e t 问题 3 第二节预备知识 本节我们介绍一下b a n a c h 空间上的压缩半群的定义和指数公式，详细的理论与证 明可参看文献【1 8 】 设x 是个实的b a n a c h 空间，其对偶空间记为x + ， 表示对偶积，x 和 x + 上的范数分别记为”| | 和”忆对任意的x x ，令 f ( x ) = z + x + ； = i i z 1 2 = i i z 4 i i ：) 由h a h n - b a n a c h 定理可知f ( x ) g 定义2 1 i ”1 ( 耗散集) 设acx x 如果对任意的扛1 ，y 1 ) ，( 现，y 2 ) a 都存在 ，f ( x l x 2 ) ，使得 ( 1 一耽，) s0 ， 则称a 为耗散的 命题2 1 1 1 9 】设acx x x ，则称a 为耗散的，当且仅当对任意的( x 1 ，y 1 ) ，( z 2 ，y 2 ) a ，都有 j i x l 一x 2 1 jsj | ( x l x 2 ) 一a ( 1 9 2 ) m v a 0 命题2 2 1 目设a 为耗散的，如果a 是可闭的，则a 的闭包算子再也是耗散的 定义2 2 【19 】( 压缩半群) 设c 是x 的一个闭子集，如果映射s ： 0 ，+ o 。) x c c 满足 ( 1 ) s ( t + s ) x = s ( t ) s ( s ) z ，v x c ，t ，s2o ； ( 2 ) s ( 0 ) z = z ，v x e ； ( 3 ) 对任意的z c ，s ( t ) z 在 0 ，+ ) 上是连续的； ( 4 ) i i s ( t ) z s ( t ) y l isi i 一i l ，v t 0 ，z ，y c 则称s 是c 上的压缩半群 多维拟线性退化抛物方程的d i r i c h l e t 问题 4 命题2 3 【1 q ( 指数公式) 设x 是个实的b a n a c h 空间，acx x 是耗散的， 且对充分小的a 0 ，有 可酉c r ( i a a ) 贝4 对任意的z i i 丽，极限 s ( t ) z2 m l i m + ( i a a ) - t n - l x , 0 存在，且上述极限在 0 ，+ o o ) 上关于t 是局部一致的，其中【】是取整数的函数，即 t = k ，当k 茎t 茎k + 1 时 这里k 是整数此外，s ( t ) 是i i 两上的压缩半群 多维拟线性退化抛物方程的d h i c h l e t 问题 第三节压缩半群的构造 记d ( a o ) = u l 1 ( q ) ；i ue 。一2 w 1 ，9 ( q ) ，d i v ( i v ( 1 u l “一2 u ) l p 一2 v ( 1 u l 。一2 ) ) 定义算子 算子a o 的闭包记为a 命题3 1 证明设 a o u = d i v ( i v ( m ”2 u ) l p - 2 v ( m ”2 札) ) a o ：d ( a o ) + l 1 ( q ) 算子a o 是耗散的，算子a 也是耗散的 u 1 ，u 2 d ( a o ) ，v 1 = a o u l ，v 2 = a o 缸2 为证明算子a o 是耗散的，根据 命题2 1 ，只须证明 j u l ，? 2 2 ) = 上踟( u l - - u 2 ( v l - - v 2 ) 如 0 ，有 b l 上s g 几 上s 9 n 小 l i ( 钆，一 下面证明式( 8 ) 定义 一u 2 ) 一a ( v l v 2 ) t d z u 2 ) 一a ( v l 一 2 ) l i l l ( n ) 皿( s ) = 似垆净书巾l “ 【o ， f s l s 如 、j 2 一 1 ，l、j 2 u u ，l n g s ，厶 一 0 ，有 d ( a 1 c n ( 1 一a a ) 事实上，我们只要证明 r ( i a a ) = l i ( q ) ，v a 0 ， 为此，又只须证明 l 1 ( n ) n 三( q ) cr ( j a a o ) ，v 入 0 ( 9 ) 这是因为由式( 9 ) 可推出 所以 l 1 ( n ) = 丽网百丽c r ( i - a a o ) c 瓦( = 万酉cr ( i a a ) ， r ( i a a ) = l 1 ( q ) 多维拟线性退化抛物方程的d i r i c h l e t 问题7 而证明式( 9 ) ，就是证明：对任意的a 0 和 l 1 ( q ) nl 。o ( n ) ，算子方程 有解，目p 存在函数u d ( a o ) ，便得u a a o u = v 命题3 2 对任意a 0 和 l 1 ( f 2 ) f 3 l 。( q ) ，存在唯一的函数让d ( a o ) ，使得 仳一a a o u = v ，且 i i “i i l 。o ( n ) si i v l l l * ( n ) ，i i u i l l ( n ) l i v l l l l ( n ) ( 1 0 ) 证明设v n c 铲( q ) ，i i v 。i l l * i i v t l l 一( n ) ，且在l 1 ( q ) 中收敛于v 考虑正 则化问题 。一脑州i v ( ( 2 + 五1 ) 下a - 2 “剖2 + ：) 学v ( ( u ：+ ：) 孚让枷= ，z n 【1 1 ) h 。( z ) = 0 ，z 舯( 1 2 ) 根据椭圆方程的理论，这一问题存在古典解u 。c 2 ( q ) nc ( 丽) 以下我们对“。做必 要的估计+ 首先，由极值原理易见 i l t h i i l 一( n ) l i v n lr l 一( n ) 曼i r i l l 一( n ) ( 1 3 ) 其次，在方程( 1 1 ) 两端同乘以匝( ( 趾：+ i ) 专2 u 。) ，并在n 上积分，经分部积分， 并利用式( 1 2 ) ，我们有 z u 。趣( ( 2 + 元1 ) t 。- - 2 出 = a 小州i v 。2 + n h ) t n 护v ( ( 射2 护) 皿( ( “i + 五1 ) t 。- - 2 出+ 上皿( ( u 。2 + ：) 宁如 = 一a f ( 1 v ( ( 2 + ；) 譬1 2 + ：) 孚1 v ( ( + ：) 孚叫1 2 似( 乱：+ ：) 学礼。) 如+ 上匝( ( 。2 + ：) 孚u 。) 如， 多维拟线性退化抛物方程的d i r i c h l e t 问塑 其中1 t , 和h 。是命题3 1 中足义的函数兮一0 1 。，则碉 ( i u 。i d 茁：u 。s 9 钆t 工。d 。墨j ：l 郇。i d 露， 注意到在l 1 ( 啊中收敛于”，可得 i i 札。怯( n ) f i v 。怯( n ) sc ， ( 1 4 ) 其中c 是与他无关的常数 再次，在方程( 1 1 ) 两端同乘以( ：+ ；) 2 u 。并在q 积分，经分部积分，并利用 式( 1 2 ) ，可得 上u 孙。2 + 元1 ) t a - 2 如+ al ( i v ( ( 乱。2 + ：) 宁“圳2 + ：) 学l v ( ( 2 + ：) 孚同z = 上喇+ 札也 因此 a fl v ( 。2 + ：) 学u 舻如1 1 ( t 4 + ：) 孚札圳驯蚓) - 利用式( 1 3 ) ，并注意到在l 1 【q ) 中收敛于”，可知上式右端有界，故 互陌咐2 ：) 譬u 胛如曼g ( ( 1 5 ) 其中a ( a ) 是个仅依赖于a 而于n 无关的常数 利用式( 1 3 ) ，式( 1 4 ) ，式( 1 5 ) 和对角线方法，易见存在 钍。 的子列t n 。) 和函 数 t t l 1 ( q ) nl o o ( f 2 ) ，u l 1 ( n ) nl o o ( f 2 ) nh 1 ( n ) ，有 。一u 于l 2 ( q ) ， ( 1 6 ) ( u ：+ ：) 孚u n u 于妒( q ) ， ( 1 7 ) 去( ( u 。2 + n 1 ) t u 。) 一老，于p ( q ) ，i = 1 ，2 ，n ( 1 8 ) 由式( 1 7 ) 知， u 。) 存在子列，不妨设就是 u 。 ，使得 ( u 2 - 1 - 瓦1 ) 宁u n x u a 矗于q ， 多维拟线性退化抛物方程的d i r i c h l e t 问题9 它显然包含 又由式( 1 6 ) 和( 1 7 ) ，我们有 u = l u l 一2 札酽( n ) ( 1 9 ) 对任葸的妒c 铲( 5 2 ) ，由于钍n 。是l 司题 “n 。一a d 州( i v ( ( 。2 。+ 证1 ) t a - - 2 川2 + 去) 宁v ( ( 。2 。+ 去) 警u 一) = 。，z q u 。( z )= 0 ，。a q 的古典解，故有 上。妒如+ a 上( i v ( ( 让氛+ 去) 字d 1 2 + 瓦1 j v - 。2 v ( ( u + 去) 孚小v 妒= 上妒如 令七_ o ( 3 ，得 上札妒如+ a 上l v ( 川一2 刮”2 v ( 川一2 “) v 妒= 上”妒出，v 妒g 铲( n ) ，( 2 。) 这表明u 是方程 札一a d i v ( i v ( u l 一2 u ) i p - 2 v ( r u l ”2 u ) ) = ，x n 的弱解由式( 2 0 ) 知 d i v ( i v ( 札p u ) i 卿v ( i 钍a2 u ) ) = 半l 1 ( q ) ， 结合式( 1 9 ) 知i 札j v 。- 2 u w 1 p ( q ) ，故u d ( a o ) ，且 钆a 4 0 钍= v 不等式( 1 0 ) 由式( 1 3 ) 和式( 1 4 ) 即可推出 下面我们证明唯一陛实际上，我们可以证明：设奶，也l l ( 1 2 ) n l o 。( f 2 ) ，1 1 , 1 ， u 2 多维拟线性退化抛物方程的d i r i c h l e t ；问题 1 0 d ( a o ) ，满足 则 u l a a o u l = 廿1 ，u 2 一a a o u 2 = v 2 为此，将n 1 和u 2 所满足的算子方程相减，得 ( 1 一u 2 ) 一a ( a o u l a o u 2 ) = ( v l 一优) 在上式两端同乘以s g n ( u l u 2 ) 然后在q 上积分，得 z s g n ( u - 一z ) ( u l - - 牡2 ) 出 ) 、上啪( “一嘲( a o u l - a o u 2 ) 如 上跏( 让t 一蚴( 旷v 2 ) d x 由命题3 1 的证明知，矗s g n ( u l u 2 ) ( a o u l a o u 2 ) d xs0 故 定理3 1 算子a 生成l 1 ( n ) 上的一个压缩半群s ，如果u l 1 ( q ) n l ”( q ) ，则 对任意的t 0 ，有s ( t ) 廿l 1 ( q ) nl 。( q ) ，且 l i s ( 0 v l l l - ( n ) 曼l i 口i i l ，( n ) ，i i s ( t ) v l l l 一( n ) i u | | * ( n ) ，v t 0 ( 2 1 ) 证明由算子a o 的定义可知，d ( a o ) = l 1 ( q ) ，从而d ( a ) = l 1 ( q ) 于是，由命 题3 1 ，命题3 2 和指数公式( 命题2 3 ) 可知，对任意的口l 1 ( f 2 ) ，在三1 ( n ) 中极限 刚 2 熙( 卜a a ) 一圳一1 ，v t 0 存在，且上述极限在 0 ，+ o 。) 上关于t 是局部一致的此外，s ( ) 口是l 1 ( q ) 上的压 缩半群 设v l 1 ( n ) nl 。( q ) ，t 0 由命题3 ，2 ，可得 ( i a a ) 一p 1 卜1 = ( ，一a a o ) 一p 刈一1 u 多维拟线性退化抛物方程的d i r i c h l e t 问题 1 1 反复利用命题3 2 中的不等式，可知对任意的a 0 ，有 令a 一0 + ，即得式( 2 1 ) ( j _ 一a a ) 一p 州一1 l i l 。( n ) si i 口0 l 。( n ) 多维拟线性退化抛物方程的d i r i c h l e t 问题 理 解 第四节弱解存在性的证明 下面我们用第三节构造的压缩半群来证明孵寸沦的问题弱解的存在陛，即下面的定 定理4 1 设u o l 1 ( n ) n l o o ( q ) ，则u ( x ，t ) = s ( t ) o ( z ) 为问题( 1 ) 一( 3 ) 的弱 证明记 让 = ( ，一a a ) 一【2 刈一1 u o ( 茁) = ( ，一a a o ) 一p 州一1 “o ( 茁) ，a 0 由定理3 1 的证明可知，饥 在l 1 ( q ( 0 ，t ) ) 中局部一致收敛与u ，且对任意的t 芝0 ， 有 i l 札( ，t ) l l l - ( n ) l | 札0 0 l - ( n ) ，l i u ( ，t ) i l l * ( n ) i l 乱o i i * ( n ) ， i l “ ( ，t ) l l l m ) s0 u o i l l - ( n ) ，i i “ ( ，t ) i | l * ( n ) 茎l i u 。l i l * ( n ) 故i 札 l ”2 u a 在口( q ( 0 ，r ) ) 中局部致收敛于川”2 饥 由命题3 2 和 的定义可知，对任意的t 0 ，u a ( ，t ) d ( a o ) ，且 札 ( z ，t ) 一a a o u a ( z ，t ) = ( ，一a a o ) 一牡刈1 “o ( z ) = 札 ( ，t a ) ，0 a 0 和0 0 充分小时，有 令a _ o + ，得 即 ，。( 州) 坐坐掣三剑出d t j n x f 0 t ) a 一l 。一v ( i u 川a - 2 札) p v ( 坩一2 u a ) v 妒出出 上x ( o , t ) i t c 州，掣抛 l 州t v ( 旷i 2 ) p v ( 旷2 u ) ，v 妒如出 k ? ，州，掣 - i v l ”2 “) i p - 2 v ( 1 u l ”2 u ) v 妒d x d t = 0 ，v 妒c 矿( q ( 0 ，t ) ) 又由于u ( x ，t ) = s ( t ) o ( 茁) g ( ( o ，t ) ，l 1 ( q ) ) ，钍( z ，0 ) = u o ( x ) ，故 。婚上札( z ，t ) h ( z ) 出= 上u 。( z ) 危( z ) 如，v 肾( 啊 这就说明了u 是问题( 1 ) 一( 3 ) 弱解 多维拟线性退化抛物方程的d i r i c h l e t 问题 参考文献 【1 l a d y z h e n s k a j a0 a ，n e we q u a t i o nf o rt h ed e s c r i p t i o no fi n c o m p r e s s i b l ef l u i d sa n ds o l v a b i l i t y i nt h el a r g eb o u n d a r yv a l u ef o rt h e m ，p r o c s t e k l o vi n s t m a t h ，1 0 2 ( 1 9 6 7 ) ，9 5 - 1 1 8 ( r u s s i a n ) ( 2 m a r t i n s o nl k a n dp a p l o vk b ，u n s t e a d ys h e a rf l o w so fac o n d u c t i n gf l u i dw i t hat h e o l o g i c a l p o w e rl a w ，m a r n i t g i d r o d e n a m i k a ，2 ( 1 9 7 0 ) ，5 0 5 8 f 3 m a r t i n s o nl k a n dp a p l o vk b ，t h ee f f e c to fm a g n e t i cp l a s t i c i t yi nn o n - n e w t o n i a nf l u i d s m a g n i t g i d r o d e n a m i k a ，3 ( 1 9 6 9 ) ，6 9 7 5 【4 a l i k a k o sn d a n de v a n sl c ，c o n t i n u i t yo f t h eg r a d i e n to ft h es o l u t i o n so fc e r t a i nd e g e n e r a t e p a r a b o l i ce q u a t i o n ，j m a t h p u r e se ta p p l ，6 2 ( 1 9 8 3 ) ，2 5 3 - 2 6 8 5 t h e ny a z h e ，h 6 1 d e rc o n t i n u i t yo ft h eg r a d i e n to ft h es o l u t i o n so fc e r t a i nd e g e n e r a t ep a r a b o l i c e q u a t i o n s c h i n a n n m a t h ，8 b ( 3 ) ( 1 9 8 7 ) ，3 4 3 - 3 5 6 6 c h e r t y a z h e ，h s l d e rc o n t i n u i t yo f t h e g r a d i e n to f t h es o l u t i o n so f n o n l i n e a r d e g e n e r a t e p a r a b o l i c s y s t e m s a c t a m a t h s i n i c a n e ws e r i e s ，2 ( 4 ) ( 1 9 8 6 ) ，3 0 9 3 3 1 【7 c h e ny a z h ea n dd i b e n e d e t t oe ，b o u n d a r ye s t i m a t e sf o rs o l u t i o n so fn o n l i n e a rd e g e n e r a t e p a r a b o l i cs y s e t e m s j r e i n ea n g e wm a t h ，3 9 5 ( 1 9 8 9 ) ，1 0 2 1 3 1 8 c h e ny a z h ea n dd i b e n e d e t t oe ，o nt h el o c a lb e h a v i o ro f s o l u t i o n so fs i n g u l a rp a r a b o l i ce q u a t i o n s ，a r c h r a t m a t h a n a l ，1 0 3 ( 1 9 8 8 ) ，3 1 9 - 3 4 5 9 d i b e n e d e t t oe a n df r i e d m a na ，h s l d e re s t i m a t e sf o rn o n l i n e a rd e g e n e r a t ep a r a b o l i cs y s t e i n s j r e i n ea n g e wm a t h ，3 5 7 ( 1 9 8 5 ) ，1 - 2 2 1 0 d i b e n e d e t t oea n dh e r r e r om a ，o nt h ec a u c h yp r o b l e ma n di n i t i a lt r a c e sf o rad e g e n e r a t e p a r a b o l i ce q u a t i o n ，t r a n s a m e r s o c ，3 1 4 ( 1 ) ( 1 9 8 9 ) ，1 8 7 - 2 2 4 ! 1 1 d i b e n e d e t t oe a n dh e r r e r om a ，n o n n e g a t i v es o l u t i o n so ft h ee v o l u t i o np - l a p l a c i a ne q u a - t i o n ，h f i t i a lt r a c e sa n dc a n c h yp r o b l e mw h e nl p 2 ，a r c h r a t m e c h a n a l 1 1 1 ( 2 ) ( 1 9 9 0 ) ，2 2 5 2 9 0 多维拟线性退化抛物方程的d i r i c h l e t 问题 1 2 z h a oj u n n i n g ，o nt h ec a u c h yp r o b l e ma n di n i t i a lt r a c e sf o re v o l u t i o np - l a p l a c i a ne q u a t i o n s w i t hs t o n g l yn o n l i n e a rs o u r c e s ，j d i f f e q s ，1 2 1 ( 1 9 9 5 ) ，3 2 9 - 3 8 3 1 3 z h a oj u n n i n g ，t h ec a u c h yp r o b l e mf o ru t = d i v ( i v u l 9 2 v u ) w h e n 而2 n p 2 ，n o l i n e a r a n a l y s i s ，t m a ，2 4 ( 5 ) ( 1 9 9 5 ) ，6 1 5 - 6 3 0 1 4 z h a oj u n n i n ga n dy u a nh o n g j u n ，l i p s c m t zc o n t i n u i t yo fs o l u t i o n sa n di n t e r f a c e so f t h ee v o - l u t i o np - l a p l a c i a ne q u