（基础数学专业论文）连分式与klein群.pdf

连分式与k l e i n 群 摘要 众所周知，任何一个连分式均可视为m s b i u s 变换序列的复合， 从而说明复分析中的这两个研究领域是密切相关的上个世纪，由 于j o n e s 、t h r o n 、l i s a 、a n d r e w s 、b e r n d t 等的大量研究工作，使 得连分式理论得到了进一步完善，并且被广泛应用于超越函数，控制 论、逼近论、动力系统、q 级数等方面a n d r e w s 和b e r n d t 等在整 理r a m a n u j a n 手稿时，结合手稿中关于连分式的内容开展了大量与之 相关的研究近些年来，b e a r d o n 利用a h l f o r s 倡导的高维m 6 b i u s 变 换的c l i f f o r d 矩阵表示，开创性地开始了c l i f f o r d 连分式( 即高维连分 式) 的研究，取得了许多有趣而又重要的结果，如已把经典连分式中 著名的p r i n g s h e i m 定理、h i l l a m - t h r o n 定理、p a r a b o l a 定理等推广到 了高维情形，为c l i f f o r d 连分式的进一步研究奠定了基础；并且还提 出了几个相关公开问题c l i f f o r d 矩阵与二维m s b i u s 变换的表示矩 阵具有相同的形式，所以，高维m 6 b i u s 变换的c l i f f o r d 矩阵表示为高 维m 6 b i u s 变换及群性质的研究提供了一些可借鉴的方法这些重要 又极具意义的研究，激发了人们对连分式及高维m s b i u s 变换和群研 究的兴趣我们的研究将集中在这些方面，主要目的是讨论b e a r d o n 关于c l i f f o r d 连分式的公开问题；研究广义意义下的r o g e r s - r a m a n u j a n 型连分式；讨论高维k l e i n 群正规化子的离散性全文的安排如下： 在第一章中，我们主要介绍研究问题的背景和我们得到的主要结 果及意义 在第二章中，我们主要介绍关于连分式、高维m s b i u s 变换、c l i f f o r d 代数、c l i f f o r d 矩阵、c l i f f o r d 连分式、r o g e r s - r a m a n u j a n 连分式以及 广义意义下的r o g e r s - r a m a n u j a n 型连分式的一些基本知识 在第三章中，我们给出了c l i f f o r d 连分式的值域与元素域的定义 通过构造值域与元素域序列，我们将经典连分式中的域套定理推广到 了c l i f f o r d 连分式中作为所得结果的应用，我们得到了一类收敛的 博士学位论文 c l i f f o r d 连分式 在第四章中，我们建立了c l i f f o r d 连分式的三项递推公式，并利用 它给出了c l i f f o r d 连分式的s t e r n - s t o h 定理；之后我们给出了c l i f f o r d 连分式的p i n c h e l e 定理；最后，我们得到了关于c l i f f o r d 连分式最小解 的三条性质 在第五章中，我们得到了c l i f f o r d 连分式收敛的一个充分条件作 为应用，我们构造了两个收敛的c l i f f o r d 连分式 在第六章中，我们讨论了广义意义下的r o g e r s - r a m a n u j a n 型连分 式的收敛性；给出了广义意义下的r o g e r s - r a m a n u j a n 型连分式与g 级 数之间的一些关系等式 在第七章中，我们证得了高维k l e i n 群的正规化子还是k l e i n 群的 一个充要条件 关键词：c l i f f o r d 连分式，修正意义下的收敛，r o g e r s - r a m a n u j a n 连分式，广义意义下的r o g e r s - r a m a n u j a n 型连分式，等式，离散性， k l e i n 群，正规化子 连分式与k l e i n 群 i i i a b s t r a c t i ti sw e l l k n o w nt h a ta n yc o n t i n u e df r a c t i o nm a yb er e g a r d e da 8i n f i n i t e c o m p o u n do fas e q u e n c eo fm s b i u st r a n s f o r m a t i o n s t h i ss h o w st h a tt h e s et w o r e s e a r c ha r e a si nc o m p l e xa n a l y s i sa r ec l o s e d l yr e l a t e d i nt h e2 0 t hc e n t u r y , t h et h e o r yo fc o n t i n u e df r a c t i o n sw a sd e v e l o p e di n c r e a s i n g l yb yt h ew o r k so f j o n e s ，t h r o n ，l i s a ，a n d r e w s ，b e r n d te t c i th a sb e e na p p l i e di nt r a n s c e n d e n t a lf u n c t i o n s ，c o n t r o lt h e o r y , a s y m p t o t i ct h e o r y , d y n a m i cs y s t e m ，q - s e r i e s a n ds oo n w h e na n d r e w sa n db e r n d ta r r a n g e dr a m a n i j a n sm a n u s c r i p t ， t h e ys t a r t e dt h e i rr e s e a r c hc o n c e r n i n gt h ep r o b l e m si nr a m a n i j a n 8m a n u s c r i p t i nr e c e n ty e a r s ，b yu s i n gt h ee x p r e s s i o no fc l i f f o r dm a t r i c e so fh i g h e rd i m e n - s i o n a lm s b i u st r a n s f o r m a t i o n s ，b e a r d o ns t a r t e dt h es t u d yo fc l i f f o r dc o n t i n u e d f r a c t i o n s ( t h a t s ，h i g h e rd i m e n s i o n a lc o n t i n u e df r a c t i o n s ) ，a n do b t a i n e dm a n y i n t e r e s t i n ga n di m p r o t a n tr e s u l t s f o re x a m p l e ，h eh a sg e n e r a l i z e ds o m ef a - m o u sr e s u l t si nt h ec l a s s i cc o n t i n u e df r a c t i o n ss u c ha sp r i n g s h e i mt h e o r e m ， h i l l a m - t h r o nt h e o r e ma n dp a r a b o l at h e o r e mt ot h ec a s eo fc l i f f 6 r dc o n t i n - u e df r a c t i o n s i nt h i sw a y , h ee s t a b l i s h e dt h eb a s ef o rt h ef u r t h e rs t u d yo f c l i f f o r dc o n t i n u e df r a c t i o n s a l s oh er a i s e ds e v a r a lr e l a t e do p e np r o b l e m s a c l i f f o r dm a t r i xh a st h es a m ef o r ma st h ee x p r e s s e dm a t r i xo fa2 - d i m e n s i o n a l m 6 b i u st r a n s f o r m a t i o n h e n c et h ee x p r e s s i o no fc l i f f o r dm a t r i c e so fh i g h e r d i m e n s i o n a lm s b i u st r a n s f o r m a t i o n sp r o v i d e ss o m em e t h o d sf o rt h es t u d yo f t h eh i g h e rd i m e n s i o n a lm s b i u st r a n s f o r m a t i o n sa n dg r o u p s t h e s ei n t e r e s t i n g a n ds i g n i f i c a n ts t u d i e ss t i m u l a t eo u ri n t e r e s ti nt h es t u d yo fc o n t i n u e df r a c t i o n s a n dh i g h e rd i m e n s i o n a lm s b i u st r a n s f o r m a t i o n sa n dg r o u p s o u rr e s e a r c hw i l l f o c u so nt h e s ea r e a s w em a i n l yd i s c u s sb e a r d o n so p e np r o b l e m si nc l i f f o r d c o n t i n u e df r a c t i o n s ，t h ep r o p e r t i e so fc o n t i n u e df r a c t i o n so fg e n e r a l i z e dr o g e r s - r a m a n u j a nt y p ea n dt h ed i s c r e t e n e s so ft h en o r m a l i z e r so fh i g h e rd i m e n s i o n a l k l e i n i a ng r o u p s t h i sd i s s e r t a t i o ni sa r r a n g e da u sf o l l o w s i nc h a p t e r1 ，w ep r e s e n tt h eb a c k g r o u di n f o r m a t i o na b o u to u rr e s e a r c h ， i v 博士学位论文 a n dt h es t a t e m e n ta n dt h es i g n i f i c a n c eo fo u rm a i nr e s u l t s i nc h a p t e r2 ，w ei n t r o d u c es o m eb a s i cn o t i o n s ，n o t a t i o n sa n dp r o p e r t i e s a b o u tc o n t i n u e df r a c t i o n s ，h i g h e rd i m e n s i o n a lm s b i n st r a n s f o r m a t i o n s ，c l i f f o r d a l g e b r a ，c l i f f o r dm a t r i x ，c l i f f o r dc o n t i n u e df r a c t i o n s ，r o g e r s r a m a n u j a nc o n - t i n u e df r a c t i o n sa n dc o n t i n u e df r a c t i o n so fg e n e r a l i z e dr o g e r s - r a m a n u j a nt y p e i nc h a p t e r3 ，w ed e f i n ev a l u er e g i o n sa n de l e m e n tr e g i o n si nc l i f f o r dc o n - t i n u e df r a c t i o n s b yc o n s t r u c t i n gs o m es e q u e n c e so fv a l u er e g i o n sa n de l e m e n t r e g i o n s ，w ee s t a b l i s hn e s t e dr e g i o nt h e o r e mi nc l i f f o r dc o n t i n u e df r a c t i o n s a sa na p p l i c a t i o no fo u ro b t a i n e dr e s u l t s ，w eg e tac l a s so fc o n v e r g e n tc l i f f o r d c o n t i n u e df r a c t i o n s i nc h a p t e r4 ，w ee s t a b l i s ht h et h r e e - t e r mr e c u r r e n c er e l a t i o n s ，s t e r n s t o l z t h e o r e m a n dp i n c h e r l et h e o r e mi nc l i f f o r dc o n t i n u e df r a c t i o n s a na p p l i c a t i o n o ft h eo b t a i n e dp i n c h e r l et h e o r e mi sa l s og i v e n i nt h ee n d ，t h r e ep r o p e r t i e so f t h em i n i m a ls o l u t i o n so fc l i f f o r dc o n t i n u e df r a c t i o n sa r ep r o v e d i nc h a p t e r5 ，w ee s t a b l i s has u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ec o n v e r g e n c eo f c l i f f o r dc o n t i n u e df r a c t i o n s ，a n dt w oa p p l i c a t i o n sa r ep r e s e n t e d i nc h a p t e r6 ，w ef i r s td i s c u s st h ec o n v e r g e n to fc o n t i n u e df r a c t i o n so fg e n - e r a i i z e dr o g e r s - r a m a n u j a nt y p e s e c o n d ，w eg e ts o m ee q u a l i t i e sb e t w e e nc o n - t i n u e df r a c t i o n so fg e n e r a l i z e dr o g e r s - r a m a n u j a nt y p ea n dq - s e r i e s i nc h a p t e r7 ，w ep r o v ean e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n fc o n d i t i o nf o rt h en o r m a l i z e r so fh i g h e rd i m e n s i o n a lk l e i n i a ng r o u p st ob ed i s c r e t e k e yw o r d s ：c l i f f o r dc o n t i n u e df r a c t i o n ，c o n v e r g e n c ei nm o d i f i e ds e n s e ， r o g e r s - r a m a n u j a nc o n t i n u e df r a c t i o n ，c o n t i n u e df r a c t i o no fg e n e r a l i z e dr o g e r s - r a m a n u j a nt y p e ，e q u a l i t y , d i s c r e t e n e s s ，k l e i n i a ng r o u p ，n o r m a l i z e r 1 0 2 博士学位论文 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论 文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的 研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人 完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：毒勰事c w 年岔月刁日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，研 究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大学同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密0 ( 请在以上相应方框内打“ ”) 作者签名：若6 暂日期：如名年j 、月习日 导师签名3 雹7 占审b 日期：c k 噻年 r 月二f 日 f 连分式与k l e i n 群 第一章绪论 连分式是一个具有悠久历史的研究领域对连分式的研究起源于 1 6 世纪有关它的最早记载是1 5 7 2 年b o m b e l l i 用有限连分式获得了 俩的逼近表示 大约在1 6 5 9 年，英国伦敦皇家协会的第一届主席b r o u n c h e r 利用 无穷乘积的公式得出了第一个无穷连分式的表示，并且他利用连分式 的思想第一次较系统的解决了著名的p e l l 方程之后的1 7 世纪至1 9 世纪，连分式受到广泛的关注，有许多著名的数学家加入到了这方面 的研究，如e u l e r 、j a c o b i 、h e r m i t e 、g a u s s 、c a u c h y 、s t i e l t j e s 等等 连分式的研究在数论和分析两个方面都起到了非常重要的作用，特 别是1 9 世纪，连分式理论得到了迅速发展，从而使得这一领域在经 典分析理论中有着重要地位，参看【1 1 例如，在数论方面，l a g r a n g e 证明了每一个二次无理数均有一个正则的周期连分式展开；g a u s s 用 连分式的方法证明了著名的f e r m a t 猜想，即每一个形如4 n + 1 的素 数均可以分解成两个整数的平方和；l i o u v i u e 发现了超越数即非代数 数的存在，并利用连分式的思想构造出了无穷多个超越数；等等在 分析方面，e u l e r 给出了积分、幂级数和对数函数的连分式展开，并 利用连分式得出了r i c c a t i 差分方程的解；g a u s s 将两个超几何级数的 比值用连分式展开，并提出超几何函数的比值用连分式展开时是否 收敛的等公开问题；t c h e b y c h e f f 和s t i e l t j e s 先后分别用连分式解决了 g a u s s 提出的四个公开问题；等等 2 0 世纪以来，有一大批数学工作者从事连分式方面的研究，如v a n v l e c k 、w a l l 、j o n e s 、t h r o n 、l i s a ，b e r n d t 等等，它们对连分式的 收敛、收敛范围以及一些特殊类型连分式的性质进行了深入细致的研 究，取得了一系列的成果，参见文献 2 】【2 8 】 值域与元素域一直是连分式研究中的一个热点，并已取得了一批 研究结果例如 博士学位论文 令 定理j t 。( f l | ) 令 ) 是复数域c 中的一个闭圆盘序列，其中 k = 伽：i 伽一a n i 砌) ，l k i 一互1 ) 和r ( o r ，2 。+ 2 如n ， 佗= 1 ，2 ，3 ， 因而连分式的奇部和偶部均收敛且收敛到有限值 ( 2 ) 如果6 n = 。o ，则连分式k ( 1 b n ) 收敛到一个有限值，且满足 下面关系式： ，一厶i i 厶一厶一l l ， 佗= 2 ，3 ，4 ， 定理j t 6 ( 【1 ，2 1 )如果连分式k ( 1 b n ) 中的元素k 满足 一乏+ e 。r 9 k ) 三一， 亿= 1 ，2 ，3 ， 其中是一个任意小的正数，则有 ( 1 ) 连分式k ( 1 b n ) 的第n 次逼近厶均为有限，且满足 一三+ e 。r 9 三一， n = 1 ，2 ，3 ， ( 2 ) 连分式k ( 1 b n ) 的奇部和偶部均收敛且收敛到有限值 连分式与k l e i n 群 ( 3 ) 连分式k ( 1 b ) 收敛的充要条件是黯。i k i = ( 4 ) 如果连分式k ( 1 b ) 收敛，则其收敛值，是有限的且满足下面 的式子： i a r g f i 等 近些年来，人们开始了对向量值连分式和矩阵值连分式的研究， 并得到了一些相应的结果如 定理z z 2 ( 【3 3 】)若对所有的n ，均有i a n i 1 且06 n 0 = 2 ，则向量 值连分式k ( a - b 。) 收敛，并且瓦( 万) 的半径满足 其中 r n m i n l ，e 2 ， t - n - 1 11 l a l 锄i + 2 l a l 口。i2 - 1 - e 嚣= 2 l 。k l i a l i i a n i 如2 万了忑吞瓷商i 专磊丽 定理z z 3 ( 【3 2 d对于所有的n 1 ，令元素风是正的，即所有的风 均是正矩阵，则矩阵值连分式k ( 1 b ) 收敛的充要条件是甚。l i 岛i i = 定理a ( 【3 4 】)假设矩阵a k 非奇异的则连分式 t a 。a 。“。) ( k = m ，m + 1 ，) 收敛的充要条件是方程x ( k ) = m ( k ) x ( k 一1 ) 存在一 个在。处退化的解= ( ) ，其中k c m 一，是非奇异的因此， 如果这个连分式收敛，则它收敛到r m = 一 z o ( m 一1 ) y o - 1m 一1 ) 】t 定理m r ( 【3 5 】)令 a 。) 是m m 实或复矩阵集合中的一个 矩阵序列如果对于所有的n 1 ，有i i a 未，0 o e 和i l a 嘉i i p ，其中 0 o t 1 ，0 p 1 和q p 1 4 ，则矩阵值连分式k ( i a n ) 在中收 敛 博士学位论文 连分式g ( a 。k ) 可以看作是由复数序列对 o n ，6 n ) 所确定的，其 中a 。0 ，n 1 给定一个这样的序列对，我们能构造如下一个m s b i u s 变换序列：对于佗1 ， 8 n ( z ) = f * 且s 竹( o o ) = 0 反过来，对任意m s b i u s 变换8 ，若满足8 ( 0 0 ) = 0 ，那么它可以唯一 地表示为 s z ) = 瓦a 乏 因此，连分式可以和满足条件8 n ( 。o ) = 0 的m s b i u s 变换序列 】| m = 1 ，2 ，) 等价起来一个自然的问题是能否利用高维m s b i u s 变 换把连分式推广到高维情形b e a r d o n 对此进行了深入研究利用 高维m s b i u s 变换的c l i f f o r d 矩阵表示，b e a r d o n 定义了c l i f f o r d 连分 式，从而成功地把连分式推广到高维情形，并建立了c l i f f o r d 连分式 中的p r i n g s h e i m 定理、h i l l a m t h r o n 定理和p a r a b o l a 定理等系列结果 ( 【3 6 】【3 8 】) ，为c l i f f o r d 连分式的进一步研究奠定了基础文献【3 6 】中， b e a r d o n 还提出了下面几个公开问题 ( 1 ) 连分式中已有结果是否存在几何证明? ( 2 ) 连分式中已有结果是否能推广到任意的m s b i u s 变换序列中? ( 3 ) 连分式中已有结果和证明是否对高维情形成立? ( 4 ) 连分式中已有结果在高维中是否有代数表达式? 我们的第一个主要目的就是讨论如上b e a r d o n 公开问题中的第三 个，即连分式中已有结果和证明是否对高维情形成立? 得到了连分 式中的一些经典结果在c l i f o r d 连分式中的推广我们的主要结果如 下： 在第三章中，我们将定理j 丑推广成下面的形式，从而建立了 c l i f f o r d 连分式中关于值域和元素域的一个基本结果 定理3 3 1 令 雪m ( a 。，肌) ) 是一个满足条件l a 。i 肌m 0 ) 的闭 连分式与k l e i n 群 球序列若 既= ( k ，c r i ，d n ) ：l 入n 一，( 1 d ，l 陬一l ( i d n + c ，i k l 2 一i c ，i l 则 豆”( a 。，肌) ) 是相对于元素域序列 玩) 的一个值域序列 利用定理3 3 1 ，我们得到 定理3 3 2 假设【) 铲是闭球后”( 入，p ) 中满足c o = 雪( a ，p ) 的 一个闭子球序列，其中 p ，假设【z 。) 铲和 ) 产是雪”( 入，p ) 中满足 x 0 = 0 的两个点列那么存在一个如( 3 3 1 1 ) ( 见第三章中定义) 式所定 义的序列 晶) ，使得对于每一个n 1 ，= & ( 伊( 入，j d ) ) ，= & ( o ) 且 = & ( a ) 的充要条件是 ( 1 ) k o3k 1dk 2 ) 蚝) ； ( 2 ) 对于每一个佗0 ，z 。位于g 与g + 1 之间，其中g = a ； ( 3 ) 与+ 。关于g + 1 是一对反演点 注定理3 3 2 是定理b 在c l i f f o r d 连分式中的推广，但其证明方 法与定理b 的不一样 在第四章中，我们建立了c l i f f o r d 连分式中的三项递推公式，即将 定理j 乃推广到了c l i f f o r d 连分式中 定理4 2 1 一个c l i f f o r d 连分式( k ， c ，l ， 一 、l ， l 葡 一k ，：吖 珀 耵 也 乩 卜 盔) 叫 k 如 一 0 一 岛 黔 q 蠢 博士学位论文 定理4 2 2 如果墨。i 如i o 。，则c l i f f o r d 连分式( 1 ) ， 1 】， 如) ； f j ) 发散 注定理4 2 2 是s t e r m - s t o l z 定理在c l i f f o r d 连分式中的推广，即 为c l i f f o r d 连分式中的s t e r m s t o l z 定理 定理4 3 1c l i f f o r d 连分式( 6 扎) ， c n ) ， 厶) ； 厶) ) 收敛的充要条 件是具有初始条件y 0 ( 0 ) r m 的方程( 4 2 5 ) ( 见第四章的定义) 存在一 个最小解c 后，= y o ( k ) i ) 因此，如果这个连分式收敛，则它一定 收敛到，= 一巧1 ( o ) 赢( o ) 注定理4 3 1 是p i n c h e r l e 定理在c l i f f o r d 连分式中的推广，即为 c l i f f o r d 连分式中的p i n c h e r l e 定理 在第五章中，我们得到了c l i f f o r d 连分式收敛的如下一个充分条 件 定理5 2 1 如果对于所有的n 1 均有 i 冱一l i = i b l c 2 c 2 n - 2 5 2 俨l d 一- 1 一l ( c l b 2 c 3 b 4 一2 ) 1 i o t 和 i 五嘉i = i c l 5 2 c 2 。一l b 2 n d 2 ：( b l c 2 b 3 c 4 b 2 n 1 ) 。i p ， 其中0 q ，0 p 且q p i 1 则c l i f f o r d 连分式( k ， c ，1 ) ， 如) ； 厶) ) 收 敛 1 9 7 6 年，a n d r e w s 发现了印度数学家r a m a n u j a n 在他遗留的1 3 8 页手稿上记录的6 0 0 多个未证明的数学公式在这6 0 0 多个公式中， 就有许多是与如下r o g e r s - r a m a n u j a n 连分式相关的： 盹) = 竿+ i q + t q 2 + 了q 3 + l 1 ) 这一发现，引发了大量有关这方面的研究人们在讨论这些连分 式时进行了一些拓展，见 3 9 】- 【5 7 】其中a l l a d i 在文献【5 8 】中就得到 连分式与k l e i n 群 定理a l 如果i q i 1 ，则在经典意义下发散的连分式q + k ( 1 q 2 n + 1 ) 在修正意义下是收敛的 在文献【5 9 】中，l e e 和s o h n 证得下面两个结果 定理l s l 如果l q i 1 ，则连分式q + k ( 1 q 2 1 ) 在修正意义下是收 敛的，且有 q + 孑1 + 孑1 + + = l + ；+ q 2 。+ 1 + q 2 1 + ( m c ) q + 孑+ 孑+ 矿+ 2l + i + 1 + 兰- + 1 + ( m 七) 定理l s 2 如果i q i 1 ，则连分式q + k ( ( 1 + q 2 n ) q 2 n + 1 ) 在修正意义 下是收敛的，且有 1 + q 21 + q 4 1 + q 6 口+ 下+ 下+ 丁+ = 1 + 竿+ t q 2 + q 4 + t q 3 + q 6 + t q 4 - fq 8 + ( 叫 b e r n d t 和y e e 研究了广义意义下的r o g e r s - r a m a n u j a n 型连分式， 并获得了下面的结论( 【6 0 】) 定理b y 如果l q l 1 ，则 1 qq qqq 2 q 2 q 2q 2 1 qq 2q 3q4q q qqq1 正 o 1 - t - 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 + 14 - 1 - - i - 1 + 一一一一一o - 一1 。一。一。 文献【6 1 】的第4 6 页上，记载了下面这样一个问题( 此问题已经被 b e r n t 、h u a n g 、s o h n 和s o n 等于2 0 0 0 年在文献 6 2 】中给出了证明， 于是我们用一个定理来表示) 定理b h 令后0 ，o = ( 1 + x 1 + 4 k ) 2 ，卢= ( 一1 + 们蕊) 2 则对 于i q l 0 ，有 1 十字+ 竿+ = q + 丽q + 砑q 2 + 1 0 博士学位论文 l e e 和s o h n 给出了关于定理b h 中等式的一个如下推广( 【5 9 】) 定理l s 3 对于一个固定的自然数r ，假设d 1 ，m ，m r - l m l 1 则有 岛- + k 2 丁+ a l + k 2 f + a 2 + = q + 石砺a l + 石j 而a 2 + ， 其中 = q ”l + 似一1 ) d + g m + 协一1 ) d + + q m r + m 1 ) d 且 p ：- k l + 学v k 2 + 4 k 2 ，q ：+ p 我们的第二个主要目的是研究广义意义下的r o g e r s - r a m a n u j a n 型 连分式我们的主要结果是下面的六个定理它们是定理l s t 、定理 三、定理l & 的推广和定理b y 的一些延伸其证明将在第六章中 给出 定理6 2 1 如果吲 1 ，则在经典意义下发散的连分式 伽。+ 盖+ 盖+ 盖+ 在修正意义下是收敛的，且有 咖。+ 盖+ 盖+ 盖+ = 也+ 警+ 警+ t k l k 2 a o x d + 譬+ t k l k 2 a o x 2 d + 譬+ t k l k 2 a o x 3 d + ( m c ) ， + 如+乜 + 其中k t 和是两个非零的数，a o = a o ( z ) 是关于z ( z 0 ，o 。和方程 a o ( x ) = 0 的根) 的一个非零多项式当n 1 时，a 。= a o x n d ，d 是一个 正常数 连分式与k l e i n 群 定理6 2 2 如果i q i i k 2 1 定理6 3 4 警+ 警+ - - - - - - c t + 丽a l + 一a 2 0 t 1 - 9 x 2 d + ， 奄1 + 1 i 一+ 1 _ 一+ 五硒+ + ， 其中a 。= a l ( z ) 是关于x ( x 0 、o o 和方程a l ( z ) = 0 的根) 的一个非零 多项式；当n 2 时，a n = a l z ( n 一1 ) d ，p = ( 一后l + 可再瓦) 2 ，q = k l + p ， d 是一个正常数 定理6 3 1 如果i q i 1 ，则有 1 。 qqqq 2q 2q 2q 2 1 qq 2qq qqqq qq 3q 41 正o崎 工1 - 一1 - 一1 + 一1 一i + 一1 一一1 + 一1 一一1 + 一i i + t + t + t + 定理6 3 2 如果i q 1 ，则有 1 qqq 2q 2q 3q 3 1 qq 3q 5q 7 1 - 4 - 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 + 14 - 1 + 1 + 。l 一一一：= 一 定理6 3 3 如果i q i 0 ，b 2 “，a 0 ( m ) ( 3 ) 如果( o 。) o o ，则 ，咖( z ) = r a a ( x ) + b ，( 2 2 1 2 ) 其中r 0 ，b p ，a o ( m ) 1 8 博士学位论文 早在1 8 8 2 年，著名的数学家p o i n c a r d 就发现：作用在矿中的每 一个m 6 b i u s 变换g 均可自然扩张为作用在矿“中的m s b i u s 变换亘， 即g 的p o i n c a r 百扩张他的发现为人们研究高维m s b i u s 群提供了一种 方法我们可按如下方式把矿嵌入到矿“中 z 童= ( x l ，z m ，0 ) ， 其中z = ( z 1 ，z 仇) 之m 对p 中的反射，我们定义5 为关于s ( a ，r ) 或p ( a ，t ) 的反射于 是，对m 6 b i u s 变换，若f = 砂，o o 机，其中