（基础数学专业论文）约化李群的酉表示的估计及相关问题.pdf

a b s t r a c t ( c h i n e s e ) 本文包括以下几个方面：1 李群的解析对合自同构对的分类；2 抛物子群诱导的酉表 示；3 伪黎曼李代数。 第一章主要介绍了严先生用于研究实半单李代数的方法。这是我们给出李群的对合 自同构对的分类的基础，同时在我们研究抛物子群诱导的酉表示的过程中也起到了很 重要的作用。 第二章是第一章中介绍的严先生的方法的一个应用。首先我们把李群的解析对合自 同构对的分类转化为李代数的对合自同构对的分类。然后，利用严先生的方法给出了 复半单李代数的对合自同构对。最后，利用严图得到自同构对的共轭分类。 在第三章，我们给出了一种新的估计酉表示的界的方法。众所周知，李群的酉表示 是表示理论的重要课题。而d i r a e 不等式是判断酉表示的重要方法。但是，d i r a c 不等 式本身有很重要局限性：第一，d i r a c 不等式给出的是一个平均的界。通常情况下， 酉表示只是由此不等式确定的范围中的很小部分。第二，d i r a c 不等式非常不易于 操作。在k n a p p 关于极大抛物子群诱导的酉表示的界( 定理3 ，1 ) 的工作的基础上，我 们给出了一种新的研究一般抛物子群诱导的酉表示的方法。研究是基于定理3 3 的。最 后，我们把上面的方法用于研究s c ，( p ，q ) 的酉表示，并且给出了一个例子。这个例子说 明了由我们给出的方法得到的界要好于由d i r a c 不等式确定的界，而且要比d i r a c 不等 式易于操作。在此过程中，严先生理论的应用使得计算大为简化。 本文的最后一章研究伪黎曼李代数的性质。在第二节，我们证明了伪黎曼李代数都 是可解的( 定理45 ) 。第四，第五节给出了伪黎曼李代数的分类定理( 推论42 4 ) 以 及伪黎曼李代数的结构定理( 定理43 1 ) 。 1 1 1 a b s t r a c t ( e n g l i s h ) t h et h e s j si n c l u d e st h r e ep a f t s ： ( 1 ) t h ec 1 l s s i f l c a t i o no fa n a l y t i ci n 、r o l u t i o np a i r so fl i e g r o u p s ；( 2 ) t h eu n i t a r yr e p r e s e n t a t i o ni n d u c e df r o mp a r a b o l i cs u b g r o u p s i ( 3 ) p s e u d o r i e m a n n i a nl i ea j g e b r a st h ep a p e ri so r g a n i z e da sf 0 u o w s c h 印t e r1i st oi n t r o d u c e1 妫n sm e t b o dw h i c hi st os t u d yr e 出s e m i s i m p l el i e 出g e b r a s i ti st h eb a s ef b ru st oo b t a i nt h ec l a s s i f i c a t i o no fa n a l y t i ci n v 0 1 u t i o np a i r so fl i eg r 。u p s a n di t i si m p o r t a n tf 。ru st os t u d yt h eu n i t a r yr e p r e s e n t a t i o n si n d u c e df r o mp a r a b o l i c s u b g r 。u p s c h 印t e r2i sa na p p i i c a t i o no f y e n sm e t h o dm e n t i o n e di nc h a p t e rl f i r s t l y ，w e t u r nt h ec l a s s i 6 c a t i 。no fa n a l y t i ci n v o l u t i o np a i r so fl i eg r o u p si n t ot h ec l a s s i 矗c a 上i o no f i n v 0 1 u t i o np a i so fl i ea 】g e b r a s s e c o n d l nw eg e ta 1 1i n v o l u t i o np a j r so fc o m p l e xs e m i s i m p l e l i ea l g e b r a sb yy e n sm e t h o dl a s t l y ，w eg i v et h ec o n j u g a t ec i a s s i 矗c a t i o no fi n v o l u t i o n p a i r sb yy e n sd i a g r a m i nc h a p t e r3 ，、糟g i v ean e wm e t h o dt oe s t i m a t et h eb o u n d a r yo fu n i t a r yr e p r e s e n c a t i o n s o fr e d u c t i v el i eg r o u p si ti sw e uk n o w nt h a 七t h eu n i t a r yr e p r e s e n t a t i o n 。fl i eg r o u p si s a 1 1i m p o r t a j l ts u b j e c ti nr e p r e s e n t a t i o nt h e o r ya n dd i r a ci n e q u a l i t yi sa ni m p o r t a n tt o o l t od e t e r m i n ew h e t h e rar e p r e s e n t a t i o ni sau n i t a r yr e p r e s e n t a t i o nb u td i r a ci n e q u a 王i t y i sn o tw e l lc o n t r o l l e da n dt h eb o u n d a 。yd e t e r m i n e db yd i r a ci n e q u “i t yi sm e a ns u c h 恤a tm o s tj nt h eb o u n d a r yi sn o tu n i t 盯弘b a s e do nt h ew o r ko fk n 印po n u n i t a r y r e p r e s e n t a t i o n si n d u c e df r o mm a x i m a lp a r a b o l i cs u b g r o u p s ( t h e o r e m31 ) ，w eg e tan e w m e t h o dt o8 t u d yt h eu n i t 8 t yr e p r e s e n t a t i o ni n d u c e df r o mag e n e r a lp a t a b o l i cs u b g r o u p t h ed i s c u s s j o ni sb a s e do nt h e o r e m3 3 a t 】。s t ，t h em e t h o di sa p p l j e dt os t u d y 地eu n i t a r y r e p r e s e n t a t i o n so fs ( ，( p ，q ) a n dw ec o m p u t ea ne x a m p l et os h 。w 此a tt h ee s t i m a t eb yt h e m e t h o dm e n t i o n e da b o v ei sb e t t e rt h a nt h a tf r o md i r a ci n e q u a l i t yo fc o u r s e ，o u rm e t h o d i sb e t t c rc ( h l t r o l l e dt l l a i ld i r a ci n e q u a l i t yt h e a p p l j c a t i o n 。f1 y e n sj j l e t h o ds i n l p l i f i 。st l l c c o m p u t a t i o n i nt h el a s tc h a p t e r ，w ed i s c u s st h ep r o p e r t yo fp s e u d o r i e m a n n i a nl i ea l g e b r a si n s e c t i o n2 ，w ep r o v et h a tp s e u d o 一两e m a n n i a nl i ea l g e b r a s 缸es o l v a b k ( t h e o r e m45 ) i n s e c t i o n4a n d5 ，w eo b t a i nt h ec l a s s i 矗c a t i o nt h e o r e m ( c o r 0 1 1 a r y4 2 4 ) a n dt h es t r u c t u r e t h e o r e m ( t h e o r e m43 1 ) o fp s e u d o _ m e m a n n i a nl i ea l g e b r a sr e s p e c t i v e l y y9 6 8 9 3 3 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：修砌驽 移吗年 月j 1 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： f i 墨= = ；- - _ _ = 彳_ = 一? j 謦t 复鼍黪乎u 篱剪毫手一5 锄”警搿。霉j 萋= 群羹j 攀拿善 秘密r l o 年( 最仰年，| 可少于1 0 年“。：。1 。o 。| _ ? n 。鼍= ，1 “；，_ “。麓崔曩 t 一意。 机密2 q 筵：( 觥印洋，圊黟矛珲蕾”。嚣_ 专i 。霉黟一o 三，- 0 l 二。i 曼三二- ，l 二o ，。薹三二一二。l 。之ll ：二：= 二土 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 a c k n o w l e d g e m e n t s t h l sp a p e rw a sw r i t t e nw h i l e1w a sb o t hap h ds t u d e n ta n dag e n e r a l1 e c t u r e ri nt h e s c h o o io fm a t h e m a t i c a ls c i e n c e s ，n a n k a iu n i v e r s i t 弘 f i r s t ly 1w o u l d1 i k et og r a t e f u u yt h a 肌kp r o f 色s s o rl i a n gk e ，加，s u p e r v i s o ri tw a sh i s p r o f b u n dk n ( m v l e d g e ，s i g n i 6 c a n tc o m m e n t s ) p e r m a n e n ts u p p o r ta n dp a t i e n tg u i d a n c ei n m yr e s e a r c hf i e l dt h a th e l pm es u c c e s s f u l l yc o m p l e t et h i sp 印e ra sam a t t e ro ff a c t ，h e e v e nd l s c u s s e da n ds p a r e dh l sv a r i o u sb r l g h ti d e a sw 1 t hm ea th 1 81 e l s u r e s e c o n d l y ，1w o u l dp a ym yd e e p k n o w l e d g et op r o f e 鹊o rd e n gs h a o 昏a n g ，w h oc o n t “b 1 i t e ( it ( ) r n ei i li l o t ( 】1 1 1 yh i st e a c h i i l gb u ta l s ( ) h i se 矗b r t s ，a i l ( 11w ( ) u l ( 1a i s ( ) 1 i k et ( ) e x p r e s s m yt h a n k st op r o f e s s o rz h uf u h a i ，w h ow a sav i s i t i n gs c h o l a ri nt h em a s s a c h u s e t t si n s t i - t u t eo ft b c h n o l o g yd u r i n gt h ep e r i o dw h e n1w r o t et h i sp a p e ra n dh eo f t e nc o m m u n i c a t e d t oc h e c km yw o r kw l t hm eb e s i d e st h e s e ，t h ep a p e rw a sp r e p a r e dw i t he n c o u r a g e m e n t s a n ds u p p o r t sf r o mp r o f 色s s o rh o uz i x i n ，p r o f e s s o rm e n gd a o j i ，p r o f e s s o rb a ic h e n g m i n g a n da l lm yf e l l o wf r i e n d s t h i r d l 弘b u tn o tt h el a s t l y ，im u s tg i v em yd e e pa p p r e c i a t i o nt om yf a m i l y ，e s p e c i a l l y m yf a t h e r i n l a w ，p r o f e s s o rj i a n gh u a s h a n gi nt h es c h o o lo ff o r e i g nl a n g u a g e s ，n a n l 【a i u n i v e r s i t y h es p a r e dh i st i c he x p e r i e n c eo nt e a c h l n ga n de d u c 札i o nw l 他m ea n dc a r e s m eal o ta tm yt e a c h i n ga n dl i f e 1w o u l dl i k et oe x p r e s sm yd e e pg r a t i t u d et oa l lp e o p l e f r o mm yf a m i l ym yw o r ka n dl i f ec o u l d n tb et h l 8 f r u i t f u la n dc 0 1 0 r f u lw i t h o u tt h e m c h e nz h i a i a p r i l ，2 0 0 6 c h a p t e r1 t h ec l a s s i f i c a t i o no fn o n c o m p a c t s y m m e t r i cs p a c e 1 1c 1 a s s i 6 c a t i o no fr e a ls i m p l el i ea l g e b r a s l e tg ob ear e a ls i m p l el i ea 】g e b r aw i t hc a r t a ni n v 。1 u t i o n 口a n dt h ee o r r e s p o n d i n gc a r t a n d e c o m p o s j t i o ng o = t 0 + p of i xam a x i m 出1 yc o m p a c tc a r t a n8 u b a l g e b r ab ；o fg ow i 拙 t h ed e c o m p o s j t i o n = t 5 + 螨 d e n o t eb yg ，t ，p ，d 。，t 。a n do 。t h ec o m p l e x 嫡c a t i o ! l s0 g o ，t o ，p o ，t 5a n d ；，r e s p e c a v e l 弘l e t ( g ，白。) b et h er o o t8 y s t e mo fgw j 幽r e s p e c tt o 白。f i xas y s t e mo fp o s v er o o t s ，+ ( t ，t 。) ，f o r ( t ，t 。) a n dc h 0 0 s eac o m p a t i b l es y s t e m o f p o s i t j v er o 。t s ，十( g ，b 。) ，f o r ( g ，白。) w i t ht h es e to f s i m p l er o o t sn ： o 】，。2 ，o f ) t h en o t a t j o ni su s e f u ld u r i n gt h ew h 0 1 ec h a p t e r l e t s 右r s tr e c d li nb r i e fy e n sc 】a s s 讯c a t i o nt h e 。r yo f r e a ls i m p l el i ea l g e b r a s ， i n e s s e n c e ，h i sm e t h o di sab e t t e rc o n t r o lo fg a n t m a c h e r sc a n o n i c a lf o r mo fc a r t a ni n v o l u t i o n si ti se a s l e rt od e s c r i b et h es t r u c t u r eo ftb yh i sm e t h o di nt h i ss e c t i o n ，w eo n l y d i s c u s st h e 丘r s tc l a s sr e “s i i n p l el i ea 旭e b r a s ，w h i c hi se i l o u g l lt od i s c u s st h ei i l v 0 1 u t i o l l s o fc o m p a c ts i m p l e “ea l g e b r a st h ep r o o f sa n dy e n sc l a s s m c a t i o nm e t h o dc a nb ef o u n d i n 【2 4 a n df 2 5 l e tu = t o + z p ob e t h ec o m p a c tr e a l f o r mo fg ，b = t 5 + z d sb e 也e c a n t a ns u b a l g e b r a o fu 1 c h 印t e r1 t h ec l 邯s m c a t i o no fn o n c o m p a c ts y m m e t r i cs p a c e2 ar e l a t i v ew e y lb a s i s ：e 1 ，f 1 e l ，r ，s u c ht h a t a ? 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