（基础数学专业论文）迭代的二阶方向导数与（hψ）lipschitz函数的广义方向导数.pdf

摘要 摘要 微分学是分析学中重要的内容从欧式空间上经典的微积分到近代分析学，微积 分贯穿始终。随着实际问题的需要和最优化等数学分支的发展，非线性泛函的微分学 越来越引起人们的关注，各种推广的方向导数的概念被提出来，更广泛的应用被发现 譬如，上世纪七十年代，c l a r k e 给出了定义在b a n a c h 空间上的局部l i p s c h i t z 函数的 c 1 a r k e 广义上、下方向导数；1 9 9 0 年r c o m i n e t t i 给出的b a n a c h 空间上实函数的广义 二阶上、下方向导数；1 9 9 1 年y m g 和v j e y a k u m a r 给出的c 1 ，1 函数的广义二阶方向 导数；1 9 9 9 年v j e y a k u m a r 和y m g 给出的b a n a c h 空间上连续g 可微函数的二阶上 半方向导数等等 在1 9 7 7 年b e n 蹦定义了广义代数运算，通过引入相关的映射，将正常的线性映 射进行了推广，并进而给出了模和内积等概念的相应形式从这以后人们利用广义代数 运算，引进了新的函数类及其广义方向导数，譬如，( ，妒) 一l i p s c h i t z 函数及其广义方 向导数 本文首先将给出迭代的二阶方向导数的概念，讨论这种方向导数所具有的性质和 其与已知的二阶方向导数的关系，并获得已知函数的凸性与该二阶方向导数的符号之 间的关系等相关应用，所得结论推广了2 0 0 4 年b e d n a r i k 和p a s t o r 相关的结果其 次，我们将给出( 九，妒) 一l i p s c h i t z 函数的广义下方向导数的概念，讨论它与c 1 a r k e 广义 下方向导数的关系；根据( ，妒) 一l i p s c h i t z 函数的广义方向导数( 或广义梯度) 与局部 l i p s c h i t z 函数的c 1 a r k e 广义方向导数( 或广义梯度) 的关系，讨论( 九，妒) 一l i p s c h i t z 函 数的广义方向导数和广义梯度的一些性质以及( ，妒) 一l i p s c h i t z 函数与它的广义微分 之间的关系 本文共分为三章第一章回顾广义方向导数的发展背景，介绍一些一阶与二阶的方 向导数的概念与相关结果；第二章给出了迭代的二阶方向导数的概念、性质以及对函数 凸性判断的应用；第三章给出了( ，垆) 一l i p s c h j t z 函数的广义微分的相关结论 关键词方向导数；二阶广义方向导数；迭代的二阶方向导数；( ，妒) 一l i p s c h i t z 函 数的广义方向导数 北京工业大学理学硕士学位论文 a b s t r a c t d i f f b r e n t i 出c a l c u l l l si st h ei m p o r t a n tc o n t e n ti na n a t l y s i s f r o mt h ec l a s s i c a lc a l c u l u s i ne d u c l i ds p a c et om o d e r na n 出y s i s ，d i 髓r e n t i 龃c a l c m u sp e n e t r a t 髑t h r o u 吐o u t w i t h t h ed e m a n do fa c t u a lp r o b l e i n sa n dt h ed e v e l o p m e n to fm a t h e m a t i c s ，t h en o r d i n e a r f u n c t i o n a ld i 虹e r e n t i a lc a l c u l u sm a l 【ep e o p l em o r ea n dm o r ei 玎土e r e s t ，a n d1 c i n 凼o ft h e c o n c e p t i o 璐o fd i r e c t i o n a ld e r i v a t i v e sh a _ v eb e e ng i v e n ，a n dt h e i ra p p l i c a t i o n s 缸es t u 出e d e ) ( t e n s i v e l y f o re x 锄p l e ，i nb a n a c hs p a c e ，c l a r l 。es t u d i e dt h ec l a r l ( eu p p e r 、l a w e r d i r e c t i o n a ld e r i 僦i v 鹤o fl o c a l “p s c h i t zf i l n c t i o n si nb a n a u c hs p a u c ei n1 9 7 0 s ；c o i n i n e t t i - c o r r e ai n t r o d u c e dt h en o t i o i l so ft h eg e n e r a l i z e ds e c o i l d o r d e ru p p e r 、i o w e rd i r e c t i o n 酊 d e r i v a t i v e so fr e 出f u n c t i o n a l li n1 9 9 0 ；m ga n dj e y a k u m a rd e 丘n e dt h eg e n e r a l i z e d s e c o n d o r d e rd i r e c t i o n a ld e r i v a t i v e so fg 1 ，1f u n c t i o n si nl9 91 ；a n dj e y a l ( u m a ra n dy 缸g i n t r o d u c e dt h es e c o n d o r d e ru p p e rd i i l id i r e c t i o n “d e r i v a 土i v 豁o fc o n t i o u s l yg t e 凯 d i f 】 e r e n t i a lf u n c t i o n si n1 9 9 9 a n ds oo n i i l1 9 7 7 ，b e n - ，工 a ld e 丘n e dt h en o t i o 璐o ft h eg e n e r a h z e da l g e b r ao p e r a t i o n 8 ，e ) ( t e n d e d t h ec l a s s i c a lh n e a ro p e r a t i o 璐b yu s i n gg i v e nm a p p i n g sa r l di n t r o d u c e dt h ei l o r ma n di n _ n e rp r o d u c ta b o u tt h eg e n e r a u z e da l g e b r ao p e r a t i o n s n o mt h e no n ，p e o p l e si n t r o d u c e n e w 胁c t i o i l sa n dt h e i rg e n e r 出i z e dd j r e c t i o n a ld e r i v a t i v e s ，s u c ha s ( ，妒) 一l i p s c h j t z f 1 1 n c t i o n sa n dt h e i rg e n e r a u z e dd i r e c t i o a ld e r i 、，a 吨i v e s i nt h i sp a p e r ，f i r s t l y w ew i l lg i v et h ec o n c e p t i o no fi t e r a t i 、r es e c o n i i - o r d e rd i r e c t i o n a ld e r i v 北i v e s ，d i 8 c u s st h e i rp r o p e r 钾a n dt h er e l a t i o no ft h i sd j r e c t i o n 8 i ld e r i v a t i v 船 t ot h ek n o w l ls e c o n d - o r d e r 山r e c t i o n a ld e r i 址i v e s ，a n dg e tt h ea p p u c a t i o n si nt h er e 1 a t i o no fb e h 吒 e nt h ec o n v 喇t 、ro ff l l n c t i o i 塔a n dt h em a r bo ft h e i rs e c o n d o r d e rd i r e c t i o n a ld e r i v a 土i v e s t h ec o n c l u s i o n si m p r o v ea n de x t e n dt h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t s s h i mb yd b e d n a r i ka n dk p a s t o ri n2 0 0 4 s e c o n d l y w bw i ui n t r o d u c et h ec o n c e p t i o n0 ft h eg e n e r a h z e di i l fd i r e c t i o n a ld e 血吼i v eo f ( ，妒) 一l i p s c l l i t zf u u l c t i o n s ，a n d s t u d yt h er e l a t i o nb e t 啊，e e nt h eg i v e na n dt h ec l a r l ( eg e n e r a l l i z e di n f 山r e c t i o n a ld e r i v 卜 t i v e b yu s i n gt h er e l a t i o n so fg e n e r a l i z e dd i r e c t i o n a ld e r i 似i v 髓( o rg e n e r a l i z e dg r 扣 d i e n t ) o f ( ，妒) 一l i p s c h i t zf 、u n c t i o r l st oc l a r k eg e n e r a n z e dd i r e c t i o n a ld e r i v a t i v 够( o r g e n e r a l i z e dg r a 山e n t ) o fl o c a u yl i p s c h i t zf u n c t i o 璐，w es h a l ld 让妃u 筠s o m ep r o p e r t i 船 a b o u tg e n e r a u z e dd i r e c t i o n a ld e 血眦i v 馏a n dg e n e r a u z e dg r 8 d i e n ta n dt h er e l a t i o i l 8o f ( 7 l ，妒) 一l i p 8 c h i t zf u n c t i o i l st ot h e i rg e n e r a l i z e dg r a d i e n t t h j j sp 印e ri j sc o 1 p o s e do ft h r e ec h 印t e r s i nc h 印t e r1 ，w e1 0 0 kb a c kt h ed e v e l o p m e n tb a c k g r o u n do fg e n e r a u z e d 出r e c t i o n a ld e r 眦i v e s ，s h o ws o m ec o n c e p t i o n sa n d r e s u l t sa b o u t 缸s t o r d e ra n ds e c o n d 旬r d e r h e c t i o n a ld e r i v a t i v e s ；i nc h 印t e r2 ，w ei n t r 0 d u c et h ec o n c e 口t i o n so ft h ei t e r a t i v es e c o n d o r d e rd i r e c t i o n a ld e r i v a t i v e sa n ds t u d yt h e i r a b s t r a c t p r o p e r t ya n dt h ea p p l i c a t i 。n0 ft h ej u d g m e n ti nt h e c o n v e xo ff u n c t i o n 8 一i nc h a p t e r3 i 、eg i v e 心es o m er e s u l t so f ( ，妒) 一l i p s c h i t zf u n c t i o n s g e n e r 8 l i z e d 莎a d i e n t k e v w o r d s d i r e e t i o n 砖d e r 主v a i v e s ；s e e o 魏d 一( ) r d e rg e 致e r a 圭i z e dd i r e e 乇沁n 畦王e i v 弘 t i v e s ：i 七e r a t i v es e e o n d - o r d e rd i r e c t i o n a ld e r i v a 七i v e s ；g e n e r a l i z e dd i r e c t i o n a ld e r i v a t l v e s o f ( 五，妒) 一l i p s c h i t zf u n e t i o n s i 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注稚致谢的地方外，论文中不包 含其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其 他教育机构的学位或证书丽使用过的材料，与我一同工作的同志对本研究所 做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：龇嘴! 量! 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保帮送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的 全部或部分内容，可以采震影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：轴导师签名：弛日期：盟 第l 章绪论 第l 章绪论 众所周知，微分学是分析学中重要的内容。从牛顿一菜搬尼茨建立在欧式空间上 的微积分到近代分析学，微分学贯穿其中随着各种问题的需求和最优化等数学分支的 发展，非线性泛函的微分学越来越引起人们的关注，各种推广的方向导数的概念被提出 来，更广泛的应是被发现。本章将介绍积匿顾一些一阶、二阶广义方向导数的概念及橱 关结论 1 1 一阶方向导数 我们首先回顾一些一阶方向导数的概念及相关结果在本章中如不做特别说明均 设x 为b 掘驰空间 命题l 。王。王【l 】) 设，是一个从x _ 霆。专。严格的、凸始函数。设黝d 溉歹和 口x ，则极限 八圳小躲照掣 h 一0 + 几 存在于鬣( ：= 0 和石 0 使得 | | v ，( 茗7 一v 歹( 。”j l | x 。篓蜀| l 茗一荔”l l x ，v ，。”0 ，| | 髫一露l | x o ， ，? ( z ；u ，入u ) = l i m s u p 0 0 十 = l i m s u p j o + ，。( z + s 让；a u ) 一，。( z ；入u ) s a 厂。( z + s “； ) 一a ，。( z ； = a s u p 0 + s ，。( z + s t 正；t ，) 一，。( 。； s = a ，? ( z ；t 正，u ) ，? ( z ；入札， ) = l i m s u p a 0 + ( ，) 。( z + s 入钍； ) 一( ，) 。( z ；u ) s = u 黑m 盟型等塑型)0 _ 0 十 o ，、 = a ，? ( 正；t 正，t ，) 对于入= 0 上式也是成立的同理我们可得第二个等式 并且 ( 4 ) 由文献 4 】知： ，。( z + s t ；u ) 一，。( z ； ) l i m s u p v 互 ( d + ，( y + s t 正；u ) 一d + ，( y ；u ) ) d+，(可+su；口)一d+，(可；u)h鼍fp!竺_=!竺二兰!上二=_型。=兰兰尘二二二鱼幽 “0 6 1 4 第2 章迭代二阶方向导数的性质及其应用 于是： ，。( 髫s 链；u ) 一，。( z ；咎； s剑罂p 熊型盟逊等崆坠业型 对上式两边分别取关于slo 战上极限得； 辟( z ；u ，u ) 墨，”( 嚣；u ，口) 由，拶( 茹；锰，哲) 的定义以及注释知： 由于 ，。( z + s u ； ，u ( z ；t ， ) = l i m 8 u p 善 g + ( 晓，( 霉十s 牡) 一馥，( z ) ，u ) 划絮嗍悱鲻尘字盥堕)善 o 十 6 = n m s u p 8 0 + u ) 一矗( z ；u ) s 广( z + 5 钍； ) 一五( 髫；材) s ：l i m s u p 型兰摹幽 ￥一舛，= | s 0 一l i m i n 趔型型二丝2 譬 s t ：h m s u p 丝兰生掣缈型“m i n f 地兰掣 焉 或 萄 s t l l o 。 l i m 。u d 地! 兰塑二地型二地垫2 地2 叶一s 对上式两边分别取关于sj ，o 的上极限得： l i m s u p 毒圭0 ，。( z + s u ；_ u ) 一厶( z ；u ) s ，”( ；珏，”) 。 因此有辟( z ；u ， ) ，”( z ；扎， ) s ，7 ”( z ；札，u ) 同理得，7 l ( z ；u ， ) 丘。( 。；u ，u ) 竖 产( 。；嚣，移 ( 5 ) 若，在茁点正则时，则，7 ( 士；u ) = ，。( z ；u ) ，因此， 霞( 茹；锚，勘) = 贮( 。；毪，暂) 关于d b e d i l a r i k k p a s t o r 型广义二阶方向导数嚣，( z ；珏， ) ，我们不难发现下述性质。 - 1 5 _ 北京工业大学理学硕士学位论文 命题2 2 1 3 设，夕是两个正则的局部l 咖5 c 胁t z 函数，则对于任意的a ，p 0 ，有 ( q ，+ 卢夕) ? ( z ；u ，u ) q 砰( z ；t ，u ) + p 夕? ( z ；u ， ) 证明：由于，9 是正则的，则 卵( z ；u ，u ) = 霹，( z ；t ，u ) ，夕竿( z ；u ，u ) = 9 芊，( z ；t ，u ) 下面只需要证明( q ，+ 励) ：，( z ；u ，u ) 口卑，( z ；u ，u ) + 夕罩，( z ；u ，u ) 即可 ( 口，+ p 夕) 兰，( z ；t ， ) = 1 i m s u p j 上0 l i m s u p 一上0 = 8 u p j 上0 ( q ，+ 卢9 ) 7 ( z + s u ；u ) 一( a ，+ p 夕) 7 ( z ；u ) s a ，7 ( z + s t 上；u ) + 卢9 7 ( z + s “；口) 一口，7 ( z ；u ) 一p 夕( z ；u ) q ，7 ( z + s u ； ) 一q ，( z ；u ) s 5 + h m s u p j 上o 励( z + s u ；u ) 一p 9 7 ( z ；u ) = a 片舡；u ， ) + 卢g 革如；u ，u ) s 引理2 2 1 ( 【2 】) 设，：x r 是一个局部工咖s 砒沈函数，则存在q l ，a 2 ( o ，1 ) 使 得对于任意的z ，! ，x ，有 ，o ( z + q 1 ( 一z ) ) ，( 可) 一，( z ) ，。( z + q 2 ( y z ) ；一z ) 定理2 2 1 2 设，：x _ 冗是一个局部l 矽s c 肮钯函数，则存在q ( o ，1 ) 使得 鼻( z ；缸，o ) q 辟( z ；t ，t ) 证明：根据上面的引理2 2 1 ，则存在a ( o ，1 ) 使得 于是有 ，( z + s u ) 一，( z ) ，。( z + q s t ；s u ) 触则) = 鼍严盟堕学j 上0 6 。 鼍l 严丝塑学 j 上0 6 一 a l i m s u p a 上0 广( z + q s u ；u ) 一广( z ；u ) 1 6 - 第2 窜迭代二阶方向导数的性质及其应用 嚣此，结论成立。 一q 辟( z ；u ，“) 上面的定理2 2 1 2 推广了文献 5 】中的定理3 1 ，即下面的结论 推论2 2 。王设，：x _ 霆是一个难霁l 嚣局部三泌赢澎函数，鬈，毯x 。如果0s f ( z ；u ，o ) ，则 笄( 。；戡，o ) ，( 茹；社，链) 。 由于 证明：当，是正则局部l i p s c h i t z 函数时，根据命题2 2 1 2 可知 则根据定理2 。2 1 2 可得 因此， 岸( 茹；瓤，秽) = 鬈，( z ；毯，f ) o ( z ；馘， 芷，( z ；程，嚣) 芝o 。 群( z ；钍，o ) q 耸( 鬈；铭，毯) 臀( 茁；锃，缸) 篓，( 善；锃，戡) 定义2 2 1 6 ( 【9 】) 设，：x r 是一个正则的局部勿s c 凰拯函数，则函数，在z 点 在方向( 瓢，口) 上的d b 砒稿以舡豇p 口s 幻7 型的二阶下方向导数为： 如；掣) 5 弘 很明显地，拦一( 石；u ，u ) 墨定，( z ；让， ) ，7 ( z + 5 u ； ) ，7 ( z ；u ) 类似手定理2 2 。王2 ，对予广义二酚静下方离导数拦，( 茹；越，移) 也骞如下鲶绪论。 定理2 2 1 3 设，：x _ r 是一个局部l 劾s c m 缸函数，则存在a 眨( o ，1 ) 使得 f ( z ；缸，o ) 芝a 拦( z ；毯，毪) 推论2 2 。2 。设，：x _ 宠是一个正则的局部三勿s c 艇拓彝数，。，珏x 。知果f ( 茁；钍，o ) o ，则 f ( 。；t ，o ) 之芷，( 嬲；t f ，u ) 1 7 j 艺京王簸大学理学磺学位论文 2 3 迭代二阶方向导数与函数的凸性的关系 函数的凸性在菲线性分析孛占有很重要的角色，其被应用予数学豹各个方瑟。函数 的凸性可以通过一些二阶方向导数刻画出来，那么很自然地，会想到迭代二阶方向导数 能否来刻画函数的凸性呢? 在第一章申，我们给鹚了函数的凸性的刻画条件下面我们给出一个函数的凸性的 必要条件 定理2 3 1 4 设，：x r 是一个局部三咖s c 危渤函数，若，为凸函数，更1 l ： ，? ( 。；铭，珏) o ，v 霪，锃x 。 证明：若，为凸函数时，由于，为局部l i p s c h i t z 函数，故，是正则的因此 ，? ( 茹；珏，键) = ，( ；程，t 1 ) 。 根据定理1 2 1 0 ，于是结论成立。 下面我髓来讨论一下对于迭代的二阶方向导数满足什么条件下，函数就是一个穗 函数呢? 定义2 3 1 7 ( 【l 。j ) 设，：x + 霆是一个局部三咖s 醢讹函数，称，在嚣点在方向铭 上是一个伪正则的，如果d + ( z ；u ) = 广( z ；“) 称，在茁点是伪正则的，如果，在搿 点在馁意方向嚣 是傍正剐镑 引理2 。3 2 ，：x r 建一个伪正则的局部五 p 5 c 胁如函数，并且设z ，毯x ，z ， 曩l l 函数譬：( o ，1 ) 一霆定义为譬一，( z + ( 擎一善) ) 是一个伪正嬲酌局部五肇s 旋纽藏 数，并且仇口z ( t ) = m n 搿( 晓，( z + t ( 可一茁) ) ，y z ) 证明：由于，是伪正则的局部l i p s 出i 乞z 蘧数，则可褥窖也是循正剜的局部l i p s c 越跑 函数根据h a n b n b a n a c h 定理： 仍船魏9 ( o ：m 妣( 锄( # ) ，l ：窖。冀；1 ) ：融8 毽p 垂三掣。 薪 电子萝是伪正则的，于是； 勋( ) ：l i m 。u p 盟掣：l i m 。u p 坐韭型虹犁型生坠型 1 0 a 1 0 第2 举迭代二阶方向导数的毪质及其鹿弼 ：1 i m 8 u p 鱼 二蔓立! 里二 巡。，。( + t ( y z ) ；一z ) ，一+ t ( 掣一z ) 一m 凹岛，( 。亡国一茹) ) ，爹一茹 由文献 1 0 】可得：伪正则的局部l i p s c h i t z 函数的c l 觚k e 次微分是一个最小的弱 素c 璐e u 。映射对予最小的弱枣c 髓e u o 映射酶楣美概念参看文献【5 】和【王o 】 一个实值函数厂：x _ 咒是凸的当且仅当对于任意的，y x ，t ( o ，1 ) ， ，( 甚茹+ ( 1 一t ) 们t ，( ) 十( 1 一) ，( 笋) 显然地，恣，在上是凸的誊且仅当弱数多( t ) 一，( + 丢( 爹一互的在 1 ) 是凸的。 引理2 3 3 ( 【2 】) 设，：x r 是一个局部五咖s c 施钯函数，则，是凸的擞且仅当 z _ a c ，( 茹) 是单调的。 引理2 3 4 ( 5 】) 设毋：( q ，p ) 一2 ri 彩) 是一个最小的阮s 并且( z ) = m o 圣( z ) ，z 联 ( 盘，多，知粟 衅( 嚣) ：h m s u p 丝兰三塑跫o ， “u 9 对于每一令( 貔，圆，刘蘑是单调均， 定理2 3 1 5 设，：x _ r 是一个伪正则的局部l 咖s c 觚如函数，若群( z ；u ，u ) o ， 磅于任意的o ，链置裂，是舀的。 证明：取z ，掣x ，z y ，9 ( e ) 兰，( 。+ ( y 一茁) ) ，t ( o ，1 ) 根据引理2 3 2 ，9 ( t ) 在 ( o ，王) 上是一个麓燕受| l 的局部l i p s e 毯t z 蠡数，并且 m 口工以9 ( t ) = m a 茹( 允，( z 十t ( 箩一。) ) ，弘一z 由于 9 。( t ；1 ) ：= ，玮矗z ( a 。萝( t ) ，l ， 因此， l i m s u p 翌竺兰! 垦望! ! ! ! ：1 2 二竺竺兰! 垦星( 垒! 1 7 l o 7 ：l i ms u p 竺塑鲤丛竺丝堂 - 1 9 - 北京工业大学理学硕士学位论文 ：l i m s u p 竺竺堕! 兰坠! 二必望二三l 竺j 型堕地三必 1 l o ，y ：1 i ms u d ：( 兰坠! 二生望二兰) 二：( 兰垫二生芝互o 1 l o y 于是a c 9 ( t ) 是单调的因此夕是凸的，于是，是凸的 注：由于正则函数也是伪正则函数，因此定理2 3 1 5 也推广了文献 5 】中的相应结 果 2 4 本章小结 在这一章中，我们主要讨论了迭代二阶方向导数的问题通过引入迭代二阶方向 导数，我们不仅简化了对两个方向导数关系的证明，而且推广了文献 5 】中的定理3 1 ， 也给出迭代二阶方向导数与函数的凸性之间的关系，其也推广了2 0 0 4 年，d b e d n a r i k 和k p a s t o r 5 】中的相应结果 一2 0 第3 章( 九，一二印s c 托z 函数的广义微分的若干性质 第3 章( ，妒) 一l i p s c h i t z 函数的广义微分的若干性质 在本章中，我将重点讨论( 丸，) 一l i p 8 c h i t z 函数的方向导数我们将给出( 危，妒) 一 l i p s c h i t z 函数的广义下方向导数的定义以及其与c l a r k e 广义下方向导数的关系，根 据毳，) 一l i p s 凌i t z 丞数酶广义方蠢导数和广义梯度与局部l i p s 出i 毛z 匾数的c l 雒过广 义方向导数和广义梯度的关系，讨论广义方向导数和广义梯度的一些性质以及( ，妒) 一 己i p s 点i t z 丞数与它戆广义微分之间的关系。 3 。l 基本概念和预备知识 近几年来，对( 九，妒) 一l i p s c h i t 2 函数的广义方导数的讨论越来越多，可参见文献 【2 】、【2 7 】、【2 叭f 3 味洚l 】、【3 2 】郄【3 3 】。a w i e lm 在文献【2 7 】中提出了b e 建一蹦广义代数 运算徐在【2 9 中提出了( ，妒) 一l i p s c m t z 函数以及( ，妒) 一l i p s c 】m z 函数的广义方向 导数和广义梯度的概念，它们是经典局部i 妒c 肮妇函数和局部l 咖s c 舷t z 的c l a r k 广 义方向导数的推广在【2 9 j 中徐也给出了一些重要的结果 本章给出了( ，妒) 一l i p s c h i t z 函数的广义下方向导数的定义及与c l a r k e 广义下方 惠导数懿关系，讨论了( 磊，妒) 一l i 筘文强z 丞数酶广义方向等数秘广义梯度的一些性质， 最后给出了f e r m a t 规则等 首先霞顾b e 糖隧酶广义代数运算。 ( 1 ) 设 为日c 研上的n 维向量函数，它具有反函数h ，对于z ，可日，定义 7 l 一向量加法为 z o 萝一 一1 【危( 茁) + ( 箩) 】； 对于魍a r 1 ，定义危一数乘为 a o = 一1 【a 九( z ) 】 ( 2 ) 设妒是ac 足1 上的连续实僮蕊数，它具有反函数妒，剥两个数盘，移盖鲍 p 一加法定义为 a + 】一妒一1f 妒( a ) + 妒( p ) 】； 对于o f a ，a r 1 ，妒一数乘定义为 a 【】一妒一1 f 入妒( 理) l 。 北京工业大学理学硕士学位论文 ( 3 ) 对于向量z ，y 日，( ，妒) 一内积定义为 ( ，y ) h ，妒= 妒一1 【h ( z ) t 九( 姘 下面再介绍一些基本的记号 ze 可= zo ( 一1 ) 可；q 一】= 口 + 】( 一1 ) 【】p ；e z = ( 一1 ) oz ； 【一】q = ( 一1 ) 】a ； 容易验证 a 【 a = 妒一1 ( a 妒( a ) ) ； 妒( a 】a ) = 入妒( a ) ； a 【一】p = 妒一1 ( 妒( a ) 一妒( p ) ) ； z e 可= 一1 ( 九( z ) 一九( 暑) ) ； ( z t ! ，) 妒= 妒一1 【( h ( z ) ) t 危( y ) 】 本文后面部分总假设 ：j p 斗舻是连续的、一一的、到上的，且妒：r 呻r 是 连续的、一一的、到上的单调增函数，：口_ r ，( t ) = 妒( ，( - 1 ( t ) ) ) 为了简洁起见， 记，( t ) = 妒， - 1 ( 亡) ，规定b e n t a j 广义代数运算的加法和乘法与普通的加法和乘法的 优先次序相同 下面我们介绍一下基本的概念 ，在z 附近是秩为k 的( 九，妒) 一l i p s c h i t z 函数当且仅当存在s i p - 1 ( o ) ，使得若 j i 可ezi i l l l ，i p s ，i ize z 1 1 i l ，i p o ，vz r ， n z o0 z 0 z = 以 。0：i 第3 章( ，妒) 一l i p s c m z 函数的广义微分的若干性质 设，在z 附近是l i p s c h i t z 的，秒是舻中的任意向量，在z 点沿方向t 7 的c l a r k e 广义上方向导数( 记为，o ( z ；u ) ) 定义为 ，。( 刊：1 i m 。u p 迎塑# 型； ，在z 点沿方向口的c l a r k e 广义下方向导数( 记为 ( 。；u ) ) 定义为 胁m ：h 蝉监掣； ，在z 点的广义梯度( 记为a ，( z ) ) 定义为 a ，( z ) ：= 【f p ：，。( z ；u ) ( f ，u ) ，v u 兄“) 设，是定义在z 附近是( ，妒) 一l i p s c h i t z 的，那么，在z 点沿方向u 的广义方向 导数( 这里称为广义上方向导数，记为，+ ( z ；u ) ) 定义为 ，+ ( z ；u ) ：= l i m s u p * 】( ，( 可oto ) 【1 ，( 掣) ) ； v l ，在z 点的( 九，垆) 一广义梯度( 记为a ，( z ) ) 定义为 a ，( z ) ：= r ，：，+ ( z ；u ) ( t u ) h ，妒，vu 冗“) 命题3 1 1 4 ( 2 9 ) 设，在z 附近是( 九，妒) 一l 勿s c 肮勿的，则 ，( z ；u ) = 妒一1 ( ，。( ( z ) ； ( u ) ) ) a ，( z ) = 一1 ( a ，( ( z ) ) ) 定义3 1 1 8 设，定义在z 附近是( 九，妒) 一l 咖s c 九娩的，那么，在z 点沿方向u 的广 义下方向导数一己为 ( z ； ) ，) 定义为 ( z ；u ) ：= 1 i 曲f 训( ，( yo to ) 【一】，( y ) ) t _ 0 + 。 3 2 广义上、下方向导数 本节我们给出( h ，妒) 一l i p s c h i t z 函数的广义上、下方向导数的一些基本性质 北京工业大学理学硕士学位论文 引理3 2 5 设夕是定义在xc 舻上的实值函数，z o x ，则 l i mi n f 妒一1 ( 夕( z ) ) = 妒一1 ( u mi n f 9 ( z ) ) 王工0毒_ 0 证明：我们表示 a = h m i n f 妒一1 ( g ( z ) ) 王+ z 0 和 b = u m i n f ( 夕( z ) ) 我们需要证明妒( a ) = b 即可我们只需证明妒( a ) b 即可，因为妒( a ) b 的 证明也是类似的由下极限的定义，对于任意的i ，存在戤使得 咖胚b + 昙，v i ， 并且序列戤收敛到z o 由于妒是单调递增的，则有 妒一1 0 ( 黾) ) 妒一1 ( b + 丢) 因此 u 玛妒一1 ( 9 ( 戤) ) h 玛妒一1 ( b + ) = 妒一1 ( b ) i _ 十i + 十z 根据下极限的定义，我们有 a 1 i 妒一1 ( 夕( 戤) ) 因此就有 证毕 妒( a ) b 定理3 2 1 6 设，在z 附近是( ，妒) 一三勿s c 讹的，则 证明：由定义 ，( z ；u ) = 妒一1 ( 尹o ( ( z ) ；九( ) ) ) ( z ；u ) = l i 凹f 训( ，( 可o tou ) 【一】，( y ) ) 一0 十 。 2 4 第3 章( 危，妒) 一咖s c 秘z 函数的广义微分的若干性质 ! ! ! ! 奠燮苎! ! ! ! 苎艘! ! ! ! 苎憋烹! ! ! ! 苎燃苎! ! ! ! ! 型姥! ! ! ! ! 型燮，! ! ! ! 舅_ 鬯，! _ _ - l l l - - i l _ _ _ - 由简单的验证可得 能够) ：l i 蝉妒一t ( 世坦等幽) ：l i 怒i n f 一t 口地叟! 旦塑二绁蚴1 ￥一； 、 ， ：l i 卿f 妒一- ( 咝塑址学业业堂她) 令z 一九( 秽) 并荆用引理3 2 5 得 饰潮可1 嘲蝼咝塑半逊) i 由，( c ) = 妒， 一1 ( 舌) 得 饰m 可，1 嘲警( 纽拦必) # - 呻n l z )r = 妒一1 ( 磊( 鑫( ) ；毳( 秽) ) ) 。 证毕 命题3 2 1 5 设，、箩在z 附近都是，妒) 己印5 c 艇琵函数，则 ( 1 ) ( ， + 】9 ) + ( 。；u ) ，( 正；u ) + k 。( z ； ) ； ( 2 ) ( ，【+ 】萝) 。( z ；移) ( z ；影) 【+ 】甄( z ；留) ； ( 3 ) va o ，a 】，+ ( z ；t ，) = ( 入 】，) + ( z ；u ) ；v o ，a 】，+ ( z ；u ) 一( 】，) 。( z ；”) ； ( 4 ) v 天o ，a 蹭五0 ；钉) = 积【| ，) ，( 。；”) ；v 久 o ，入门五( z ；v