（基础数学专业论文）在有投资的古典绝对破产模型下关于gerbershiu折现罚金函数.pdf

中文摘要 中文摘要 本篇文章考虑了可以贷款和投资的古典绝对破产模型问题。事实上，该模 型的余额过程是一马氏过程。通过利用其马氏性，我们首先给出了一个关于 g e r b e r - s h i u 的折现罚金函数的积分方程，然后结合该方程及g e r b e r s h i u 折现罚 金函数在特定条件下的具体意义，给出了当索赔额分布为指数分布时的绝对破 产概率，绝对破产前余额与绝对破产赤字的联合生存函数。然后通过借鉴g e r b e r a n ds h i u ( 1 9 9 7 ) 和w he ta l ( 2 0 0 5 ) 文章中的相关思路和方法，我们给出了 g e r b e r - s h i u 折现罚金函数的积分方程的解，并给出了绝对破产时间、绝对破产 前余额以及绝对破产赤字三者的联合分布。 关键词：g e r b e r - s h i u 折现罚金函数绝对破产概率绝对破产时间绝对破产 前余额绝对破产赤字 a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w ec o n s i d e rt h ec l a s s i c a la b s o l u t er u i nm o d e lw i t hi n v e s t m e n ta n d l o a n ，a n di nt h i sm o d e lc o m p a n ya r ea l l o w e dt ob o r r o wa ts o m ei n t e r e s tr a t ew h e nt h e s u r p l u sb e c o m e sn e g a t i v e ，w h i c hw ec a l lt h ea b s o l u t er u i nr i s km o d e l a st h es u r p l u s p r o c e s si sam a r k o vp r o c e s s b yu s i n gt h em a r k o vp r o p e r t y , w ed e r i v ea ni n t e g r a l e q u a t i o nf o r t h eg e r b e r s h i ud i s c o u n t e dp e n a l t yf u n c t i o nf o rt h ea b s o l u t er u i nr i s k m o d e l t h e n ，b ya p p l y i n gt h ei n t e g r a le q u a t i o n , w eg e ts o m ee x p l i c i te x p r e s s i o nf o r t h ep r o b a b i l i t yo fa b s o l u t er u i n , t h ej o i n ts u r v i v a lf u n c t i o no ft h es u r p l u sj u s tp r i o rt o a b s o l u t er u i na n dt h ed e f i c i ta ta b s o l u t er u i ni nt h es p e c i a lc a s e sw i t he x p o n e n t i a l c l a i m s a tl a s t ，b yu s i n gt h ei d e a sa n dt e c h n i q u e sf r o mg e r b e ra n ds h i u ( 19 9 7 ) a n d w ue ta 1 ( 2 0 0 5 ) ，w ed e r i v et h es o l u t i o no ft h ei n t e g r a le q u a t i o nf o rt h eg e r b e r - d i s c o u n t e dp e n a l t yf u n c t i o n ，t h ee x p l i c i te x p r e s s i o nf o rt h ej o i n td i s t r i b u t i o no ft h e t i m eo fa b s o l u t er u i n ，t h es u r p l u si m m e d i a t e l yb e f o r ea b s o l u t er u i na n dt h ed e f i c i ta t a b s o l u t er u i nf o rt l l ea b s o l u t er u i nr i s kp r o c e s s k e yw o r d s ：g e r b e r - s h i nd i s c o u n t e dp e n a l t yf u n c t i o n ；t h ep r o b a b i l i t yo fa b s o l u t e r u i n ；乃圮t i m eo fa b s o l u t er u i n ；砀es u r p l u si m m e d i a t e l yb e f o r er u i n ；刀圮d e f i c i ta t r u i n i i 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：忑乡簟夕曹 山7 年0 月乡汐日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在 年解密后适用本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 拗 解密时 间：年 月 日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： ，。_ ”w w - r 。* 。十“。- “u f w w _ “q “ 4 m h - w v f ；内部5 年( 最长5 年，可少于5 年) ! 秘密1 0 年( 最长l o 年，可少于l o 年) i 机密, k 2 0 年( 最长2 0 年，可少于2 0 年) + _ _ - 一 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：册 2 - - 魄, 7 年f 6 只；ob 第一章简介 第一章简介 在古典的风险过程中，我们假设这一过程是一个连续过程，并且我们允许 当资产余额降低到零以下时，假设保险公司能够从银行借来贷款或以其它的方 式借到资金来补充，以支付保险理赔和利息，并且假设这种情况一直持续，甚 至允许保险公司进行其它的投资，以其获得更大的收益。资产盈余过程如附图 所示。因此，在当t 童0 时，我们可以得到这一资产余额的表达式： 尺( f ) = “+ i c + f l l r ( s ) s ) a b ) + f 1 2 r ( j ) 厶j r ( ，) o ) 】凼一& ，) ( 1 1 ) f n 其中s ( ，) = 置 这里，r n 是在时间t 时的资产余额，u 是初始资产，c 是固定的保费收入 率，b 是当资产达到某一值时，可以进行投资的给定的一个值，1 3 和1 3 ，分别是 进行投资和负债时的利率。s n 是一个以参数为名的复合泊松过程的理赔总量。 并且它和置，f l 是独立同分布的。并设它的分布函数为f ，密度函数为厂， 且当x o 时，彳，) = o 。 我们知道，当保险公司负债太多，而收回的保费收入却又不足以用来支付 公司所欠债务利息时，保险公司就要破产了，此时，该时刻的资产为一毒，这 一值就叫做破产时的资产值，即为) 一毒，因此，我们定义绝对破产的时间 为砌；砌= i i l f 【晓呲( f ) y k ，七= 1 ，甩，五 “，o - y o2 “ y n - i 6 ； 0 - - y n - i 6 ，而6 ； 0 咋l 6 ； 一丢 ) 钿 o s 矗6 ； 一万 o s 矗协 一丢 鼬 0 ； 一万 鼬 0 ； 一丢 只“ & 一万 y 。一=一，) 6 ；nr ( r o 所以有 配_ ) _ ( y + 云) e a ( r - t n _ i ) 鬲c，i厂l d x 2 若0 儿一l = r ( 乙一1 ) 6 ，= r ( 瓦一) 6 ； 即刀- ) _ 万c ) p p l ( r - r _ l 一半) 一云 所以有 5 出e 三反 一 n芦 p 三尻 + 一玎 z 儿 似 ( z r f r口一 p rl 甜 e=4 百孚 音一 一 一 + 帆一 力一屈 第二章预备知识 a=e 入 甜( ( 6 + 万c 。) e p l ( r l - 半，一和) 】 ( 云) 百 届( 吒+ 鲁 一! 墨竺丛垒二当= ! ! e c 出n 3 若0 一l = 尺( 瓦一1 ) = 足( 乙一) 6 ； 所以有 r ( 瓦一) = y n 一。+ c ( 乙一乙一1 ) 彳趔 e - a 五饥球矿詈p 一掣吨 4 若_ 毒 抽瑚( ) o 础( 纠鲂； 觚_ ) = 鸱一一万1h 瓦杀) 所以有 彳= e 材铲击h 赢一 = 兰( 1 + c 名+ 口 堕) 百 c 5 若一云 蚝一- 2 r ( 乙- 1 ) 矗2r ( 瓦一) o 所以有 尺( 乙一) = ( 儿一。 ( 旯+ 口) 工。 p c + 三、) 毋( 乙一一三 1 3 i t8 乞 6 第二章预备知识 a=e “，y 一1 + 秒n 音d r 。) 】 ( ( ”一+ ) p p 2 1 1 一 _ 月) ( 儿一l c + i + - - j + “ 岛 6 若云 舳划( ) 6 ； 所以有 删邓+ 务 ，1 ( t n - t n - i - 扣去一争 a = e 甜 g 一口瓦i 。6 + 云，p , 8 1 ( t n - t n - i - 击- n的+ 晚 咒， i l + 屈、 屐蚝一l ( 6 + c + 百 联合以上六种情况，我们得出： i = 归纳以上情况，我们得到： 证毕。 i ：= i l h ( x ，此一1 ) 厂( 吒 g 厅( 口，甜，y l ，x n ，儿) 7 c 争一出玎) 氏h 。 c + f 1 2 y n 1 ( a + 口) 6 p c 此) 丝尾 、- 、 丝届 、- 、 旦屏 丝屈 + 、- 、 丝尾 、- 、 第二章g e r b e r - 一s h i u 折现罚金函数 第三章g e r b e r - s h iu 折现罚金函数 在这一覃中我们给出了g e r b e r s h i u 折现罚金函数的积分方程，并且给出 了它的解。 首先我们在上一节讲了，我们所研究的这一风险过程是一个强马氏过程， 根据这一性质，我们知道在第一次发生理赔时的时间和理赔额，有：0 u b 。 ( “) = e p 一幽4w ( 曩瓦一) ，lr ( 乙) i ) 厶己 ” 尺( 瓦) 尺( 五_ ) 尺( 五) 尺( 易_ ) ) 一云 r c 砭， 尺c 砭一) ，尺c i ，：) 只c 瓦一一) ，一云 r ( 乙一。) 尺c 死一一x r c i ，。) 尺c 一) ，尺( 乙) s 一云，i 尺o ) f + j i+ 工- 一l + 厉 = 胁m 肚一，胁一。肛，w ( ，ly i ) g ( a , u , x n 肌，) 帆 一! _ j 一2一生) 0 p i o 882 1 0 第三章6 e r b e r - - s h i u 折现罚金函数 所以有： 一旦 + 岛 g ( 甜) = ，似五，im i ) g 。( a , u , x 1 ，y , ) d y , d x 。 上m + 而+ 工 一+ 厉 o + 胁j 嘲肚一。胁一。肚f w ( x ，ly 蝴口, u , x i y 1 ，而，此) 帆 n=2“ 一旦 肌2 一三 h - l 一。 p lp 2 下面，我们要证明式( 3 4 ) 就是积分方程( 3 3 ) 的解。通过式 g 。 ，甜，西，y l ，x n ，儿) 的表达式，当珂2 时，我们有。 = 胁胁，“) 厂( _ 一m ) 嘲k 弦：肚一。 。n 胁- - i 一+ k 0 0卜( 矗，l 虬i ) + 哩 + 而 + 成 一生 肌 一三，_ - 2一生j _ l 一。 愿 仍屁 兀办( x 。，儿一1 ) 厂( 一y ) d y 。 j = 2 显然，易证明： 一三 + 如+ j 扣i+ 厉” 他胁肛一。胁一。肚1 w ( x 。，l 儿1 ) n 办( ，) 厂( 一儿) 饥= o 川( m ) 岛岛 所以有： a 翩) ：a r 胁a o弘( x j ， 矿( _ 一y 。) a 川( j ，。) 砂。 所以 第三章g e r b e r - - s h i u 折现罚金函数 a ( 材) ：。( ”) + d - a og 。( 甜) 劫，( “) + 艺弘弘( “甜) 厂( x l - y 1 ) a 川( j ，) 咖。 n = 2 n = 2 , i c 岛 = a 。( 甜) + p ，p ( x 。，“矿( x 。一j ，。) - i - a oa 川( j ，。) a y 。 c n = 2 岛 = o 。( 甜) + 忙。弘( x 。，“) 厂( x 。一j ，。) g ( y 。) d y 。 u 一三 岛 + 岛+ = ，少( iy i ) h ( x i , u ) f ( x 。一y 。) d y 。d x 。+ ，p ( 少。) 办( 材) 厂( x 一y 。) d y 。d r “ “一三 岛 这就是我们的全部证明。 推论3 1 当口= 0 ，w ( x ，y ) = l 时，就是我们所要求的绝对破产概率。 + 岛 y ( “) = p a l + ir ( o ) = z ，) = ，b ( o ，甜，五，y , ) d y , d x , + + x i + 工h i+2 + 胁胁胁一。协一。肚g 。( o ，m ，址，矗，此) 帆 ( 3 6 ) n 。2 “ 一! 二 y _ 一2 一生一l 一。 跳p l 因为x ( 一万c ，佃) ，y 一云，而f ( o r , u , x , y ) = e “ e - a r o 月( 瓦一净州兀柳，瓦c 佃) 】的联 合密度函数为厂他，y ) 。同样，让厂( 口，“，x ) 表示f ，甜，毛一云) 的联合密度函 数；即：f ( a ，“，x ) d x = e u e 一喝l ( r ( r - 肭疋一) 】，我们可以从引理3 1 中得到： 推论3 2 1 2 第三章g e r b e r s h i u 折现罚金函数 丘 f ( a ，甜，x ，j ，) = 。如) jj 蜀( 口，甜，而，y i ) d y l d x l + + + 矗- j j y + 艺肚胁肚一。胁一。肚弦。( 刚，毛y l 鸲，以) 帆( 3 7 ) n = 2 “ 一旦 “2 一三 一i 1 尾岛 f ( a ，u ，x ，y ) = 。，) g l ( 口，材，x ，y ) + + x 1+ j 一i + 胁协胁一。b 。( a , u , x i ，址，铀，抽，x ，y ) d y 一。 ( 3 8 ) b 2h 一生 h 一2 一! p lp 2 仍 f ( a ，甜，x ) = j 位) g l ( a ，“，x ，y ) d y + + x i + h i2 + 胁胁胁一。胁一。k ( 刚，而，肌鸲书舶，吒，) 饥 ( 3 9 ) n = 2 “ 一生 y - 2 一! - 一。 p l芦2 第四章、& 纠、i ( 曩艺，f 三者的联合分布 在这章里，我们将给出绝对破产时间疋，绝对破产前的余额& 瓦一) 以及绝对 破产赤字i ( 曩l ) l 三者的联合分布的详细表达式。 1 3 第四章 瓦、& l 一) 、i ( & 毛) l 三者的联合分布 首先，我们介绍一函数j ( t ，“) 让它作为风险过程( 1 1 ) 中的一个轨道，在 ( o ，) 内给出汲f ) , - - - o , r ( 。) = “，且在( o ，r ) 内没有发生理赔事件。( 即在( o ，) 内没 有发生跳点) 。 然后有： ( f ；“) = c 卅印e p l f 一云， 娩6 ( b + 矿ca ( t - a - c u ) 一云， 甜+ c t ， m 卜击l n 甜一云 嘶一万1h 去) ， c 外旁e p 2 t 一云， o z ， 生! c o 材 6 o f 鱼二兰 c ( 4 1 ) 一旦 甜 上i n ! + 一b 8 l j 8 tc 七9 c 一三 材 o 土1 n ! ，土l n ! + 一b 9 1 j 9 tc 七b 小9 tc 七9 移c j 三- j ( t ，z ，) ，那么k l 一) e ( x ，x + 出) j 是不可能的，所 以o = 0 ： ( i i ) 由假设：x = ，( r ，u ) 1 6 第四章乃、& 己一) 、f ( & 兀) i 三者的联合分布 瓦= 五， ：i q = a e f ( a ( t ，u ) + y ) d t d y1 ( i i i ) 设= ，+ 瓦。) ，那么c = i n f t o ；r ( t ) = x _ 且t f f i n f 0 = 佃和日( ，) ： ，0 是对于任意的s ，0 ，由e ( s ，毋印= r ( s + ，c o ) 来定义一个从q 到它自身的 一个扰动；就有： r g ) = & 兀一) 一“( 瓦) ； 下面是g e r b e r s h i u 在1 9 9 7 年的思路，我们可以把它写成： o2 掣口 ，p ，t + d t ) ，识，z + ：) = 1 ，x n ( ，+ 厶) o + y ，x + y + 砂) ) 因为是扩坼j 的一个停时，由独立的条件下，我们有 厶= 掣( 丁 ，( f ，t + d t ) ) a e 一以f ( x + y ) d y ( 4 8 ) 这里：是由下面三种情况给出的： ( a ) 0 x b ： ( b ) x b 。 ( c ) 一万c x o ； 我们仅对a 情况下做详细分析，其它的b 、c 两种情况都是一样分析的。 当0 x b 时，我们让出充分的小； 即：0 x + d x b ， 因此，x + c ：x + d x ；所以：! 出( 4 9 ) 又因为n ( t ，+ 衍) = 0 ， 所以有：r ( t + d t ) = r ( t ) + c d t + o ( d 2 f ) ； 有： 坟( ，t + d r ) r 、n ( t ，t + d t ) = 0 1 7 第四章瓦、& 毛一) 、i ( 墨瓦) i 三者的联合分布 = c r ( ，) x r ( t + d t ) n n ( t ，t + d t ) = o = l r ( ，) ，( f ，t + d t ) ，n ( t ，+ 衍) = o ) + d ( d 2 ，) = 掣( 丁 r ，r ( t ) ( x c 衍，x ) ，n ( t ，f + d t ) = 0 ) + o ( a 2 f ) = p ( r ，u ， 一c d t ，x ) ) + o ( a 2 r ) = p ( f ，u ，x ) c d t + o ( d 2 ，) ( 4 l o ) 从( 4 8 ) 至( 4 1 0 ) ，我们可以得出： 当0 x 一云，一云x 一云，y 一云，从( 3 8 ) ( 3 9 ) 式中，我们得到： 丝! 竺! 兰! 盟：丛兰二塑 f ( a ，u ，x ) 1 一i ，) f ( a , u , x , y m ( 刚篇 1 8 ( 4 1 2 ) 第四章瓦、置瓦一) 、i ( r ( 7 ；) i 三者的联合分布 又由 f ( a ，“，x ，y ) d x d y = j e 卅彤( 疋d t ，r ( r o 一) d x ，r ( r o ) d y ) = ，2 唰一云蜊，彤( 疋沈，尺c 死一，出 尺c 乙，砂 + ，p 唰k 脚) ) 掣( 衍，r ( 纠d x ，r ( r o ) d y ) 从上面的引理4 1 可知；上式中的右边的第二个积分项是等于零。 再对式( 4 7 ) 两边同乘以e 一；然后对变量f 从o 一佃进行积分； 就可以得到：f ( c t ，u ，x ，少) = 2 f ( x - y ) p ，u ，x ) ( 4 - 1 3 ) 再由式( 4 1 2 ) ( 4 1 3 ) 有： f ( a , u , x ) 筹堋咖以x ) 所以万( 口，“，x ) = ( 见瓦，) ) 一f ( a ，甜，x ) 故( 4 1 1 ) 成立，证毕。 附录：盈余过程示意图 1 9 附录盈余过程示意图 b 姒 1 肠店 7 ； 办! 饥ig 7 ；l 沙 r i i i i 一一， i t i： 盈余过程r ( t ) 参考文献 t 【1 】d a s s i o s , a a n d p e m b r e c h t s ，19 8 9 m a r t i n g a l e s a n di n s u r a n c er i s k c o m m u n i c a t i o n si n 参考文献 s t a t i s t i c s - s t o c h a s t i cm o d e l s5 ( 2 ) ，l81 - 2l7 【2 】e e m b r e c h t sa n dh s c h m i d l i ，19 9 4 r u i ne s t i m a t i o nf o rag e n e r a li n s u r a n c er i s km o d e l a d v a n c ea p p l p r o b 2 6 ，4 0 4 - 4 2 2 3 】h a n su g e r b e ra n de l i s as w s h i u , 19 9 8 o nt h et i m ev a l u eo fr u i n n o r t ha m e r i c a na c t u a r i a l j o u r n a l ，4 8 - 7 8 【4 】r o n gw u ，g u o j i n gw a n ga n dc h u n s h e n gz h a n g , 2 0 0 5 o naj o i n td i s t r i b u t i o nf o rt h er i s k p r o c e s sw i t hc o n s t a n ti n t e r e s tf o r c e i n s u r a n c e ：m a t h e m a t i c sa n de c o n o m i c s ，3 6 3 6 5 3 7 4 【5 】c a i ，j ( 2 0 0 4 ) ，“r u i np r o b a b i l i t ya n dp e n a l t yf u n c t i o n sw i t hs t o c h a s t i cr a t e so fi n t e r e s t ， s t o c h a s t i cp r o c e s s a p p l ，1 1 2 ，5 3 - 7 8 【6 】6 g e r b e r , h a n su ，a n de l i a ss w s l o i u 2 0 0 5 o no p t i m a ld i v i d e n d ss t r a t e g i e si nt h e c o m p o u n dp o i s s o nm o d e l 【7 】柳金甫，孙洪祥，王军应用随机过程匕京：清华大学出版社，2 0 0 6 【8 】谢忠刚，韩天雄风险理论与非寿险精算天津：南开大学出版社2 0 0 0 【9 】c a i ，j a n dd i c k s o n ，d c m ( 2 0 0 2 ) ，“o nt h ee x p e c t e dd i s c o u n t e dp e n a l t yf u n c t i o na tr u i no f a s u r p l u sp r o c e s sw i t hi n t e r e s t , ”i n s u r a n c e ：m a t h e m a t i c sa n de c o n o m i c s 。3 0 3 8 9 4 0 4 【10 】d e l b a e n ，ea n dh a e z e n d o n c k , j ( 19 8 7 ) ，“c l a s s i c a lr i s kt h e o r yi na ne c o n o m i ce n v i r o n m e n t , ” i n s u r a n c e ：m a t h e m a t i c sa n de c o n o m i c s ，6 ，8 5 - l l6 【1 1 】d a v i s ，m h a ( 19 8 4 ) ， p i e c e w i s e d e t e r m i n i s t i cm a r k o vp r o c e s s e s ：ag e n e r a lc l a s so f n o n d i f f u s i o ns t o c h a s t i cm o d e l s ，”j r s t a t i s t s o c b 4 6 ( 3 ) ，3 5 3 3 8 8 【12 】s u n d t ，b a n dt e u g e l s ，j l ( 19 9 5 ) ，“r u i ne s t i m a t e su n d e ri n t e r e s tf o r c e ，”i n s u r a n c e ： m a t h e m a t i c sa n de c o n o m i c s ，16 ，7 - 2 2 【13 】s u n d t ，b a n dt e u g e l s ，j l ( 19 9 7 ) ，“t h ea d j u s t m e n tf u n c t i o ni nr u i ne s t i m a t e su n d e ri n t e r e s t f o r c e ，”i n s u r a n c e ：m a t h e m a t i c sa n de c o n o m i c s ，19 ，8 5 9 4 【14 】y u e n , k c ，w a n g ，ga n dl i ，w k ( 2 0 0 7 ) ，“t h eg e r b e r - s h i ue x p e c t e dd i s c o u n t e dp e n a l t y f u n c t i o nf o rr i s k