（基础数学专业论文）结合环的正则元与若干交换性条件.pdf

哈尔挨理工大学理学硕士学位论文 结合环的芷则元与若干交换性条件 摘要 环作为一门重要的代数学科是代数几何和代数数论的基础，有许多其它 相关学科领域都涉及到环。随着科学和技术的不断发展，环理论进展越来越 精确和完善，并且环的初步结果已在实践中得到应用。交换性是环的重要性 质之一，交换性的研究有助于其它性质的探讨。同时，交挽代数本质上是研 究交换环的，这就使得环的交换性的研究变得很重要。 本文通过对半质环。j a c o b s o n 半单纯环以及任意环的研究，利用零因 子，正则元及亚直不可约环以及稠密性定理等相关知识，得到了关于半质环。 j a c o b s o n 半单纯环以及任意环交换性的一些结果。在某些特殊环的交换性 方薅取得了进一步的结果，并得到了一些新的结论，主要有 一设置为半质环，a c r ，且2 口为非零因子，如果震满足论文中八个 条件之一，则可以证明环震为交换环。此结论推广了朱捷和予宪君的关于 半质环的几个交换性条件的结果。 二满足条件( 盯。) 的半质环是交换环。其中条件( 口。) 指若任取 墨m ，y 2 ，只er ，均有依于x , y l 的整系数多项式厂( ，) ，使 f 【- “协一一，( 曲，y l 】儿1 ，】，】ez ( 晨) 以上讨论对其他类的中心换位子条件也是可以的，此结论推广了郭华光的关 于半质环的交换性条件的结果。 三设晨为j a c o b s o n 半单纯环，a e r ，且2 口为非零因子，若对于任意 x , y e r ，有阶蝴“+ r 口j ，纠e z ( 胄) 疗为固定正整数，那么胄为交换环。此结 论丰富了j a c o b s o n 半单纯环的交换性条件。 四设，( f l ，r 2 ) ；f l 砖d + ( ，t 2 ) ，具有对 t j ) 的强品性质，矗为结合 环。若任取震中元x , y 均有 l 厂( 划，) 月；0 那么( 1 ) k = 1 时异为交换环； ( 2 ) 置有单位元时r 为交换环； ( 3 ) 厶“，2 ) 中屯的次数不小于七一l 且足中至少有一个右正则元时r 为交 换环。 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 设r 为结合环，( ，t o - - t i t ：。+ m 彳 或 畦。t i + m f z ，且 f “，t 2 ) - - f ( t l ，屯) ，t 2 】。若任取震中元x , y ，均有整数域毒，j ，) 1 ，使得 p ( x ，力郴“。f ( 苫，力 则当r 至少有一个右正则元时，环盂为交换环。本结论推广傅昶林老师的 某些结果。此结论丰富了一般环的交换性条件。 关键调半质环；j a c o b s o n 半单纯环；交换性；换位子l 环的中心 哈尔滨理工太学理学硕士学位论文 _ 一i i i i i - - _ - _ _ - r e g u l a r e l e m e n t so fa s s o c i a t i v er i n g sa n ds o m e c o m m u t a t i v ec o n d i t i o n so f a s s o c i a t i r er i n g s a b s t r a c t a s8 1 3i m p o r t a n ta l g e b r a i cs u b j e c t ，r i n g s a r et h eb a s eo ha l g e b r a i c g e o m e t r ya n da l g e b r a i cn u m b e rt h e o r y r i n g s a r ec o n c e r n e da b o u tm a n yo t h e r s u b j e c t s w i t hd e v e l o p m e n to fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g y ，t h e o r y o nt i n g si s m c 艄i n o ya c c u r a t ea n dp e r f e c t p r e l i m i n a r yr e s u l t so fr i n g sh a v eb e e na p p l i e d i np r a c t i c e c o n s e q u e n c e l y , p r o p e r t yo f f i n g si sn e e d e dt oi n v e s t i g a t e c o m m u t a - t i v i t y i so n eo fi m p o r t a n tp r o p e r t i e so nt i n g s s t u d yo fc o m m u t a f i v i t y i s b e n e f i c i a lt od i s c u s s i o no fo t h e rp r o p e r t i e so nr i n g s a tt h e s a m et i m e ， c o m m u t a t i v er i n g s8 r es t o d i c di nc o m m u t a t i v ea l g e b r a t h e r e f o r e ，s t u d yo f c o m m u t u t i v i t yo f r i n g sb e c o m em o r ea n dm o r ei m p o r t a n t t k sp a p e ri sd e v o t e dt ot h es t u d yo fs e m i - p r i m er i n ga n dj a c o b s e ns e m i - s i m p l er i n g u s i n gp r o p e r t i e s o fz e r o - d i v i s o r s 。r f e g i l h n e l e m e n t sa n d s u b d i r e c t l yi r r e d u c i b l er i n g 。w eo b t a i ns o m er e s u l t so nt h ec o m m u t a t i v i t yo f s e m i - p r i m er i n ga n dj a c o b s o ns e m i s i m p l er i n ga sf o l l o w s ll e trb eas e m i - p r i m er i n g 。a e ra n d2 ai sn o tz c i o d i v i s o r ，i f 置 s a t i s f i e so n eo ft h ec o n d i t i o n si nt h i sp a p e r 。t h e n 足i sc o m m u t a t i v e h e r ew e w o u l dl i k et op o i n to u tt h a tt h ea b o v er e s u l t sg e n e r a l i z e dt h er e s u l t so fz h ul i e a n dy ux i a n j u n 2l e trb e8s e m i p r i m er i n g i frs a t i s f i e st h ec o n d i t i o n s ( 吼) ，t h e nr i sc o m m u t a t i v e i f ，f o ra n ye l e m e n t s 善，* ，儿，咒毫r ，t h e r ei sap o l y n o m i a lw i t hi n t e g e r c o e f f i c i e n t s ，( f ) 。w h i c hd e p e n d so i lx , y l ，t h e n 【 x - x 2 f ( x ) , y d ，y 2 1 ，】，y + l ez ( 置) w ec a l lt h ea b o v ec o n d i t i o n s ( g 。) t h i sp a p e ra l s od i s c u s s e dt h eo t h e r c e n t r a lc o m m u t a t o rc o n d i t i o n sw h i c hi se q m v a l e n tt o t h ef o r m e r h e r e w ew o u l dl i k et op o i n to u tt h a tt h ea b o v er e s u l t sg e n e r a l i z e dt h er e s u l t so f g u oh a n g u a n g - 1 i i 。i 譬玺耋登玉查：罄兰譬圭兰笔兰吝 3l e t 震b 搴aj a c o b s o n s e m i - s i m p l er i n g ，口震a n d2 ai sn o tz e r o - d i v i s o r i frs a t i s f i e sc o n d i t i o n 【( 神1 + x ”，j ，】ez ( 震) ，f o ra n ye l e m e n t sx ，yi n 震，w h i c hni sa nf l x x e d i n t e g e r ，t h e nri sc o m m u t a t i v e t h i sr e s u l t s e n r i c h e dt h ec o m m u t a t i v ec o n d i t i o n so f j a c o b s o ns e m i - s i m p l er i n g 4 廷) l e t ，毡，f 2 ) = f l ，；。+ 五瓴，t 2 ) b eap o l y n o m i a lw i t ht h es t r o n gp r o p e r t y ( 靠) f o rx = “ 1 frs a t i s f i e s l 厂( 矗y ) ，y 】t 0 f o ra n ye l e m e n t s x ，yi nr t h e n ( 1 ) w h e nk l 。r i s c o m m u t a t i v e ： ( 2 ) w h e nrh a st h eu n i t y 。置i sc o m m u t a t i v e ： ( 3 ) w h e n 胄h a sa tl e a s to n er i g h tr e g u l a re l e m e n ta n d 石( t t 。t 2 ) h a sn ot e r m s w i t hd e g r e e l 使x ”= 嚣，则震为交换环”。 其后，k a p l a n s k , 于1 9 5 1 年证明了：“如果体蓉的元x 恒满足苫删e z ( 的 ( k 的中心) ，则爰为域”。此定理推广了与交换性有关的w e d d e r b u m 定 理，n o e t h e r 定理，华罗庚定理以及j a c o b s o n 的另一个定理。而且指出如何把 它容易地推广到j a c o b s o n 半单纯环上去。h e x , s t e i n 于1 9 5 3 年再把它推广到k o t h e 半单纯环上去。 同期h e r s t e i n 又多次逐步推广了j a v o b s o n 定理，并于1 9 5 1 年证明了：“如 果有拧 1 使环矗的元素恒满足r x e z ，则只是交换的。其后予1 9 5 2 年，把此结论推广为n ( x ) 有界即可。在1 9 5 3 年。再推广成一x e z ( 两即 可，从而得到j a c o b s o n 定理的明显推广形式。接着把站更推广为：“若h a 毫 最有多项式只) 使a2 只( 口) 一aez ( 置) ，则即觚足为交抉的”。迸一步再 推广为：“若对环内任意元素x , y ，有依赖于x , y 的整数再( 膏) 1 ，使得 ，o “一x 与，可交换，则最为交换环”。 另一方面，h e n t e i n 在1 9 5 0 年证实了v a n d i v e r 的猜想而把w e d d e r b u m 定理推广成：。如果环r 的零因子恒在中心内且每个元素恒生成有限子环，则震 交换”。并于1 9 5 4 年把条件“零因子恒在中心内”削弱为“诣零元素恒在中 心内”。 h e r s t e i n 在1 9 5 7 年证明了：“环r 为交换的必要而且只要对hy r ，恒 有n ( x 。力 1 使( 秽一) 曲m 舯= x y y x 成立”。 n a k a y a m a 在1 9 5 9 年应用d r a z i n 定义的n 环证明了i “n - 环f 上一个代 数矗，如果满足条件有r 到，例的映射a p 秭使a - a 2 只( 毫z ( r ) ，则震 为交换的”。 h e r s t e i n 于1 9 6 1 年把j a c o b s o n 最初的震满足，= z 即交换的结果推广 为：如果对环震有一 1 使算一x ”为盂到震上的一个自同态，则置为交换 的。 利用h e r s t e i n 在1 9 5 5 年的结果，b e l l u c e 等在1 9 6 6 年证明了：“如果广 义交换环为半单纯的，则它为交换的；广义交换环的换位子理想为诣零的”。其中 若对环足中的任意& ，恒有自然数掰( 焉力及n ( x ，力使枷= 劬泸埘，则 说胄是广义交换环。 j 珈与m e n o n1 9 6 9 年在上文的基础上得到l 。如果置是一个广义交换 环，b ，ae r ，r a 与矿均为拟正则的对所有七) ，则有, 使a b 。；b n a 成立”。由此即得：“一个无非零诣零理想的广义交换环为交换的”。 c - u p t a 在1 9 7 2 年得到“有l 的结台环恒满足( 功2 = ( ) 曲2 且无加法周期 为2 的元素时必交换”。 a w t a r 予1 9 7 3 年证明了“恒满足x y 2 x y x 2 y ez ( 震) 的半质环必为交换 的”。q 岫d r i 予1 9 7 8 年证明了l “恒满足x y 2 x + y x 2 y e z 似) 的半质环必交 换”。g u p t a 在1 9 8 0 年证明了l “恒满足( 刁，) 2 - - x 2 y 2ez ( 矗) 的半质环必为 交换的”。 e j t u l l y 曾证蜗：如果有固定的m ，n 1 使半群s 恒满x - y = ，则s 为交换的。 t a m u r a 予1 9 6 9 年将其推广为：“如果s 恒满足拶= f ( x ，y ) ，则为交换 的，其中，瓴y ) 为一固定的台- x , y 的字而e 扫开始以x 告终”。 p u t c h a 与w e i s s g l a s s 考虑不固定，瓴y ) 但工至少出现两次，1 9 7 2 年将 其推广至两个以上的变量。 k o w o l 在1 9 7 6 年证明：“只要s 恒满足y 一。神x - ( 。= x y 就为交换的。 其中棚o ，或拧为常数而另一则独立于x 或y 的”。 a s h r a f 在1 9 9 8 年已证明：盖为有1 的环，若对环震中任意元素t 式( a ) 或 式鳓成立，则r 交换。其中式( a ) 和式嘞分别为 ，k ) ，】= i x ”，广r y 和 j 【五月= y 【膏”，y 。r x p e r l e 和v e s e l i n 于1 9 9 9 年证明了；“若r 为s 一单式环且对置中任意元素墨 y ，有善。【，y p ；k y 。抄8 ，则置交换”。 a h e j a 城和b e l l 等人近年也得出了一些很好的结论。 1 2 国内研究理状 我国是在7 0 年代对环的交换性理论加以研究的。几十年来我们得到了许 多好的结论，为这一理论的研究也做出了一些贡献。 谢邦杰在1 9 8 2 年推广了w e d d e t b u m 定理而得到了周期环为域的两个充要 条件i l 】a 牛风文于1 9 7 8 年证明了：“设置为b e a r 半单纯环且有整数彤2 对任 意v a l ，a z , - - , 口e r ，都有a l a 2 a n , 。a l ，则汲为交换的”1 2 l 。郭元春 将其推广为：只要口l 吗口一一a m a l 均为中心元即可。随后，在1 9 8 0 年证明 了结合环的两个定理。定理1 l 设置为一环，若对任意的x ，y e r ，都有大 予1 的整数聘= n ( x ，y ) ，s = s 似n f = “墨力，使得( 劝。= x y = 一) ，刚当矗不含 非零诣零理想时是交换的。定理2 ：设为环太的k o t h e 根。若对任意的x ，y e 置，都有一个大于1 的整数，脚= m _ y ) 使( 神。= x y ，则置为交换环且 0 = n r = p a r ” 3 j 。豁元春在1 9 8 2 年利用定理2 证踞了，“无论定理2 中的 是否为零，r 总是交换的。1 4 1 。 邱琦章等一些学者经过多年研究也得到了许多具体的结论，有力地促进了 环的交换性这一学科的发展。 至此。我们已经得到了众多的环的交换性的条件。这一方面完善了环的交 换性理论，另方面也使得结果过于复杂多样难于记忆和掌握。于是对于环的 交换性条件的规律性的研究成为了必要且重要的闯爱。傅昶林子1 9 9 1 年嘲给 出了环的交换性与它所满足的多项式系数和之晦的紧密联系。从而太大简化了 环的交换性绪论的形式，并丰富了环的交换性条件。 近年来，陆续有一些学者对此类问题进行了研究，得到了许多结论。其中主 要有：杨新松“，郭华光f ”，藏跃进l 射，田淑荣1 9 1 ，于宪君【i 口1 。白晓棠和曹 大勇u 3 。 1 3 课题来源 课题来源于基础理论研究。 1 4 本文主要研究内窖 至今为止，环的交换性的研究大致有三个类型的问题： 一类是对p i 环的交换性迸行研究；所谓p i 环是指：存在一个腮元多项 f ( t l ，f 2 ，t 。) 使对环中任意撑个元素 ，屯，。毛均有f ( x l ，x a ，) = o 或更 一般的，( 毛，善：，) e z ( 震) 。其中及的是环震的中心。 另一类是对满足可交恒等式的环的交换性进行研究：所谓可变恒等式是指： 对环胄中任意一个元素而，屯，毛存在与之相关的多项式f ( t l ，f ：，) ，使 ，( 而，南，矗) ；o 或更一般的，( 毛，如，矗) z ( 固 还有一类是对环附加其他条件研究其交换性及相关阔题。 本文将主要对于第一，= 类环的交换性加以讨论。本文通过对半质环， j a c o b s o n 半单纯环以及任意环的研究，利用零因子、芷剐元及亚直不可约环 以及稠密性定理等相关知识。得到了关于半质环，j a c o b s o n 半单纯环以及任意 环交换性的一些结果。主要有 一设置为半质环，ae r 。且幻为非零因子，如果足满足下列条件之 一，则r 为交换环 1 ) 【q a ) 2 + 膏z 口气州ez ( 置) v x , y e r 2 ) 【0 国2 + 口z 朔专z 德) ，v x ，y e 震 3 ) 【( 神2 + 托胡z ，v 墨y e r 4 ) 【( 神2 + 函一川ez 纽) ，v x , y 毫r 5 ) 【2 + 埘气埘ez 0 时，v x , y e r 6 ) f 。+ 戤两ez ( 霆) ，v x , y c r 7 ) 【( 瓣) 2 + 瑚纠ez c 盈) ，v x ，y e r 8 ) 【“球) 2 + 印产岛川ez 0 c ) ，v x ，) ，毫r 此结论推广了朱捷，于宪君的关于半质环的几个交换性条件的结果。 哈尔演理工大学理学硕士学怔论文 - - - _ _ _ _ 1 1 - _ _ - l - _ _ - - _ 二满足条件( g 。) 韵半质环是交换环。其中条件( 口) 指若任取 墨y t ，y 2 ，几er ，均有依于茗，y l 的整系数多项式，( r ) ，使 【 x - x 2 厂( x ) m 】，弘1 ，一】，“】e z ( 哟 以上讨论对其他类的中心换位子条件也是可以的。此结论推广了郭华光的关 于半质环的交换性条件的结果。 三设r 为j a c o b s o n 半单纯环，口r ，且2 口为非零因子，如果对予任意 墨y e r ，有f ( 埘) ”十矿矿，朔e z ( r ) 以为固定正整数，那么置为交换环。 四设，( ，t p - - - t , t ；一1 + 五( f i ，r 2 ) ，具有对 f l 豹强( 最) 性质，r 为结 合环。若任取r 中元x , y 均有 l 厂似y ) ，蝴；0 那么 ( 1 ) k = 1 时r 为交换环； ( 2 ) 詹有单位元时r 为交换环： ( 3 ) “，f 2 ) 中f 2 的次数不小于七一l 且胄中至少有一个右正则元时r 为交换 环。 设置为结台环，编，t 2 ) = t t t ；1 + m t 2 或t l + 峨， 且 默，如) = f ，( f l ，岛) ，t 2 】 若任取矗中元x , y ，均有整数n ( x ，力 l ，使得 f 力呱 = 以而y ) 则当最至少有一个右正划元时，环置为交换环。本结论推广傅昶林老师钓结 论。 啥尔滨理工大学理学碛士学位论文 - _ - _ _ 一i i i ii i i - - _ _ _ - - _ _ - _ _ _ - - _ - - _ 一 第2 章结合环的正则元与交换性条件 2 1 硬备知识 2 1 1 基本定义和定理 定义2 1 设置是环。是它的予环，如果对于a e ，r ，我们有 r a ( o r ) 仨n 那么n 叫傲矗的左( 右) 理想； 若是畏的左理想，又是震的右理想，则称起皿的理想。 定义2 2 设置是交换幺环。若r 的理想p 满足 1 p r ： 2 若a b e p 则口e p 或b 仨p ， 财称p 为r 的质理想。 定义2 3 若环霹的零理想是质理想，则称詹为质环。 定义2 4 若环胄除自身及零理想外没有其它理想，则置称为单纯环或简 称为单环。 定义2 5 设置是交换幺环，若r 的理想q i 薷足 1 口币胄； 2 若6 1 2e q e q ， 则称g 为露的半质理想。 定义2 6 若撇的零理想是半质理想时，称震为半质环 定义2 7 若彳，b 是加群g 的予群，如果 1 a g ，矗g ； 2 g = 肚： 3 一n b 。e ，e 是g 的单位元群 成立。则称g 为一，口的直和，4 ，b 叫做g 的直和因子，记作一+ 口；g 。 定义2 8 假定有一组群恼ii e i ，这里，是任意集合可数的或不可数的a 那么所有形如 瓴ke g t ) 喑尔演理= l = 大学理学硕士学位论文 - _ _ - _ _ _ - - _ _ - - _ _ _ - - - - i i ii i iii ii l l ll 的元的集合，结合法为 ( 工。x y 。) = ( 而弘) a ( ) = ( 挑) ，一，所eg r a 是算予，形成为群，叫做 g ，) 的完全宜和，如果( 毛k 毫g ) 中算- 不为g ，的 单位元的只有有穷个，由所有这样元形成的群叫傲 g t 的直和。 定义2 9 假定i f e d 是一组环胄的集合，置是 r ，) 的完全直和 r 中由 ，- - ( r , k 置) 组成的子环，如果 r_+rj， ，仨i 是矗到胄。上的同态，即震盂- ，那么虎叫做 胄， 的藏( 次) 喜和 定瑷2 1 半质环是质环的亚直和。 定义2 1 0 在一般环置中，引入一种新的结合法。假定口t 口是置中两 元，我们规定 a o a = 口+ 口+ a a 这个结合法。叫做置的拟乘法。 定义2 1 i 当口o a = 0 时，我们叫口，是口的右拟逆元。d 是a 的左拟 逆元，这时我们又说4 是置的左拟正则元是是的右拟正则元。震中元口的左 拟逆元同时又是a 的右拟逆元，那么它就叫做a 的拟逆元。假如a 悬左拟正则元 同时又是右拟正则元。那么a d q 傲拟正则元。 定义2 1 2 既不是左正剐元又不是右正则元的元删徽零因子。 定义2 1 3 若环置中有元a ，b 都非零，但a b - 一0 ，则称口是左零因子，6 是右零因予。 定义2 1 4 环胄中除零元外既没有左零因子，也没有右零因子。那么环足 就叫做无零因子环。 定义2 1 5 环中与所有元能够交换的全部元形成予环，叫做环的中心。 定义2 1 6 环r 的左右) 理想，其中任意元都是置的拟正则元时，叫做环 皿的左右) 拟芷则理想。 定义2 1 7 环震中所有拟正则左理想的和是震中最大的拟正则理想，叫做 矗的j a c o b s o n 根基，用以的或，表示。 定义2 1 8 如果环矗的根者耵= 诹，那么震叫做根基环，如果，；0 ，那么詹 q 傍伊半单纯环，i 或j - 半单环。 定义2 1 9 假定m 是r 的极大左理想，如果( j i f ：r ) = o 都么r 叫做 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 - -1 1t ； t i t ；i ；1 1t tt ( 左) 本原环。 定理2 2 假定月是本原环，那么有体置存在，使得露与全矩阵环k 同 构，即r 兰k ，或对于任意玳，晨有予环r 。茁。 定理2 - 3 ，半单环是本原环的亚直和。 蘧义2 2 0 痒为环震钓元素，若有正整数m 。使口_ = o ，则称辟为幂零 元。 定义2 2 l 假定上是环矗的左( 右) 理想，如果其中任意都是幂零元，就 叫做幂零元左( 右) 理想。 定义2 2 2 环置中所有幂零元理想的和是露中最大的幂零元理想，州做晨 的k 6 t h e 根基，用置( 哟或墨表示。当置( 固= o 时，足叫做k 捌i i e 半单纯环 或置半单环。 定义2 2 3 若环置为无零因子交换环，则称环置为整环。 定义2 2 4 交换的体为域。 定义2 2 5 如果对于某个多项式，瓴，如) 可表示为 z ( f j ，r 2 ) + 五编，f 2 ) 其中z “，t 2 ) = ：k i l t 2 卜1 或石瓴，t 2 ) = 2 “1 ，五( l ，乞) 不合，i 的一次项我们就 说- ，( ，l ，i 2 ) 对x 。轨 具有强( 凡) 性质。 定义2 2 6 由一个元素生成的理想，称为主理想。 定义2 2 7 设鼢环舢自理想，若存在自然数稃，使s 。铷，则称s 为环震的幂 零理想。 定义2 2 8 如果环五的所有非零理想的交辟：n 嚣 o ，那么日称作环震 的心，是环晨的极小理想。环震称作亚直不可约环。 2 1 2 符号童义 本文以足表示结合环，z ( 戤c ( 定) 分别表示足的中心及换位予理想。 设d ( 置) = 秘e rl 砂e 詹，y o 使秒= o ，崴垮= m ，即d ( 发) 为零因子的 集合。设“足) 表示所有正则元的集合。 以固，x ( 盖) ，烈贾) 表示环置的j a c o b s o n 根，k s t h e 根，及b e 卵根。鼢亚直 不可约环的心。为量，台勺双边零化子。( 口) 为由口生成的主理想。本文的多项 式的系数都整数。 z 嗍是关于y 的整系数多项式之集，z ，玎为关于未定元矗y 的整系 略尔滨理工大学理学硕士学位论文 数多项式之集。z ，z o z + 分别表示整数集，菲负整数集及芷整数集。k 纠表示 卅的换位子矽一弦。 本文遵从文献【2 3 】中的规定，设f ( t ，1 2 ，) 是关于非交换未定元 f l ，r 2 ，的整系数多项式。疋y 是未定元的集合，且x n y = 畎一= l 时取 脚) ，且x u r 。 。t 2 。，) 若把同一个集合中的元素看成是相同的，则研究打元多项式可以用与研究二 元多项式相同的方法。为简便，本文总把多项式叙述成二元的。且在不特别声明 时总取x = f l ，y = t 2 本文中的多项式均指整系数多项式，对于二元多项式，( f l ，t 2 ) 沿用文献【1 2 】 中相应记号如下： 如( 厶) 表为铲瓴卵中以x 中元素开始( 或结尾) 的各项的系数和，4 。( 彳。) 表示f c x , 力中以r 中元素开始( 或结尾) 的各项的系数和。 设口表示，慨力中这样一些项的集合t该项的任何两个相邻因子都不同 时属于集合肖。最袭示在集合口中只含有爿中的一个元且此未定元的次数为1 韵那些项的集合。用岛( 玛) 表示在蜀中以形式c ( 或f 缸) ，f ，e x ，t j e r 且 i i ：i - 在的项的集合。爱表示垦中的所有项的系数和。 2 2 半质环的着千交换性条件 2 2 i 半质环的几个交接性条件 本文中的环均为结合环，环卫的中心记作z ( 震) 或简记作z 。x , y 的换位子 x y - y x 用k 】，l 表示。 在文献 1 6 1 中，作者运用文献 1 7 1 、【i s 中关于中心元的若干方法及定理， 给出了半质环的几个交换性条件的证明。 本文是文献【1 6 】中结论的推广，减弱其中定理的条件，使其结论成为本文 的特例。 定理2 4 设露为半质环，口e 矗，且勉为非零因子，如果矗满足下列条 件之一，则置为交换环 1 ) 【( 】劫2 + x 2 a 2 , 力毫z ( 脚。v x ，y 震 2 ) 【q 口) 2 + 4 j 粥ez ( r ) ，v x ，y e r 3 ) 【( 蕊) 2 + 妒z 月ez 0 妁，v x ，y e 胄 4 )【( 甜) 2 + a 2 x 2 , 朔ez 儋) ，v x ，y e 宜 5 ) 【( 】2 + ，口气如z ( 矗) ，v x ，y r 6 )【q 口) 2 + 脚产4 ) dez 0 ) ，v x ，) ，r 7 ) 【( 假) 2 + x a x , y lez ( 1 0 ，v x ，y 孟 8 )【( 甜) 2 + 施纠z ，v x ，y e r 证明1 ) 若足为体，设( 期) 2 + 2 a 2 = 6 r ，则【6 ，y l 甚z ( 脚，v x ，y e 尺。于是有 【p ，纠，纠= o 骶 ( 砂1 庙) y y ( 妙1 西) - - - 0 得 ，6 + 矿一耖砂 叉由【6 ，纠z 内，知【p ， ，6 】；0 得 幻，+ 一2 劬 由b x 式( 2 - 1 ) ，得 b y 2 b + b 2 y 2 = 2 b y b y 由式( 2 2 ) x y 得 b 2 y 2 + y b 2 y ：2 b y b y 式( 2 3 ) 一式( 2 - 4 ) 得 b y 2 b = y b 2 y 若j ，= o ，则【6 ，纠= 0 ，于是下设y 0 ，从而可知y 是可逆的。 利用式( 2 1 ) 、式( 2 - 2 ) 、式( 2 5 ) 有下面计算， ( 6 哼1 b y ) ，( 6 可1 b y ) = 扔嘞咖叫1 b b + f 砌 = 妒6 脚_ y _ 1 妒6 + 6 y = 6 1 ) 忽+ 矿) 匆衄_ 矿1 矿6 = 2 b y b y 匆缈歹栅如 ；妙酚y 蝴如 = b y b y - - b b ( ) 2b b = b y b y - - b ( y b 1 ) 矿( 1 ) b = o 置为体。所以置中无零因子i 又j ，0 ，故b 可。吵= o 得 ( 2 - 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 棚 ( 2 - s ) 哈尔滨理工大学理学碰士学位论文 i i i i i i i ii i i ii i i i i i i i i i i ii i - - b y - 节b 即 嫩毋+ p 叠。y l = ov x e r ( x a ) 2 + 矿毫j ，f 动v x 毫r 由文献f 1 6 】中定理知：体置为交换体a 若j ( k ) - - 0 ，则环震为卜半单环，而，半单环为本原环的亚童和。由已 知a c r ，2 a 为非零因子，知口0 即口芒- ，( 矗) - - 0 a 又知，为所有本原理想的交集，故由a c t j ( r ) 知存在本原理想p 使 口鼙p ，尸为本原理想，知r i p 为本原环。 在环r 中，已知【( 赫亩2 斗甜，y j 毫z ( 冀) ，且假设jx ，y e r 使 【( 埘2 戗v ，朔事o 从而晨为不交换环。 同上述方法，存在另一个本原理想9 使 【( 掰) 2 乜韬，姐薯q 由于o - - j ( r ) = n 旭为震的本原理想) ，放在j 叼中jz ，y 毫j 使 【( ；) 2 + j2 二1 ，歹】石 成立，敌j 为不交换的本原环且满足定理条件。 但是本原环同构于某体上的全阵环，由于尉r q 为不交换环，r q 中有二阶 全阵子环d e 2 ，满足定理条件。但是v a g d 口) ， 不妨设萨( 毋a l 吼a 2 ，存在z = f k ! o 习y = ( ：0 ) ，l 口3 吼ju ，l j 使 【2 。砌= ( 0 02 a i a 2 4 】 由以上矩阵，若【( 】神2 h ? z 纠o ，则f ( 加) 2 竹韬，胡薯z q ，) ，与已知矛 盾；若r ( 埘2 + x 2 j 刃茸0 ，则与假设矛盾。故d 国中不存在a ，使 o r e ) 2 搬纠e z ( d 口，) ，对于v x ，) ，仨d 口) 。 与定理条件矛盾，故不存在这样的本原环姐及本原理想q ，使 【( 】劫2 十，a 2 ，词舞q 所以有 i o t a ) 2 h 舒。y e j ( r ) - - - o 哈尔滨理工大学理学颁士学位论文 - - _ - _ - _ - - _ _ _ - _ _ - _ _ _ i i ii ii i ii - _ 即 【锄) 2 h 韬，纠= o 与假设矛盾，即 【( 聊) 2 十，口2 ，纠= o ，vx y e r ( 期) w 口2z ( m ，vx ，y e r 由文献【1 6 】中定理知：j 一半单环足交换。 下设- ，( 足) 事o 。若a e j ( r ) ，则( 阳) 2 + 甜= b e j ( r ) ，即l + b 可逆由 式( 2 1 ) 、式( 2 2 ) 、式( 2 5 ) w 得 y ( 1 + 6 ) 了= y 2 + 2 y b y + y b 2 y = 矿+ 矿b + 妒+ 谚b = 弓产( 1 + 6 ) + 6 ) 产( 1 + 6 ) = ( 1 + 6 ) 严( 1 + 矗) ( 2 - 6 ) 再由式( 2 1 ) 、式( 2 2 ) 、式( 2 - s ) 同理有 ，( 1 + 砷+ ( 1 + 功，= 耖( 1 + 6 ) y ( 2 - 7 ) ( 1 + 6 ) 锄( 1 + 功2 = 2 ( 1 + b ) y ( 1 + b ) ( 2 - s ) 由式( 2 - 6 ) 、式( 2 - 7 ) 、式( 2 - 8 ) 有 y - - ( 1 + b ) ( 1 + 酗】( 1 + 砷2 陟一( 1 + 砷9 0 + b ) 】 = y o + 6 ) 2 y - ( 1 + 6 ) j y ( z + b ) 3 y + ( 1 十矗) 一( 1 + 6 ) 2 j ，一y ( 1 + 6 ) _ y ( 1 + 矗) = y ( 1 + 6 ) 2 y y ( 1 + 6 ) y ( 1 + 6 ) - - ( 1 + b ) 1 - ( 1 + 6 ) 3 ) 件( 1 + 6 ) - i ( 1 + 6 ) y 2 ( 1 + 西) 2 = 必1 + 妒y - y ( 1 + b ) y ( 1 + b ) ( 1 + 够以灭l + 6 ) 3 y + y 2 ( 1 + 幻2 = y 【( 1 + 6 ) 2 y + y ( 1 + 6 ) 2 】y ( 1 + 6 ) y ( 1 + 6 ) - - ( 1 + b ) 。 ( 1 + 矗) 3 y = y ( 1 + 功y o + 功一( 1 + 功- ( 1 + 功2y y _ 1 ( 1 + 功y = y ( 1 + 6 ) y ( 1 + 矗) 一( 1 + 幻d ( 1 + 6 ) y 2 ( 1 + b ) y 叫( 1 + 妨y ：y ( 1 + 6 ) v ( t 埘一炒【( 1 + b ) y - 1 】2 = y ( i + 6 ) j ，( 1 + 6 ) 一y ( 1 + b ) y y 2 ( 1 + b ) y y = o 即 【y 一( 1 + 6 ) 一( 1 + 功】( 1 + 6 ) 2 y - - o + b ) + - ( 1 + 酗】卸( 2 - 9 ) ( 1 + b ) 式( 2 9 ) 得 【( 1 + 6 ) y y ( 1 + 6 ) 】( 1 + 6 ) 【( 1 + 功) ，) ( 1 + 6 ) 1 = 0 ( 2 l o ) ( 1 + b ) 式( 2 l o ) 得 ( 1 + 幻f ( 1 + 6 ) y ) - ( 1 + 6 ) 】 2 ：。0 【( 1 + 6 ) ( 龟p - 咖) 】2 = o 由于【蝴z ，故( 1 + 酗2 ( 妙_ 归) 2 = o ，由于l + b 可逆，有( 砂一 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 y b ) 2 卸。因为半质环中心无零因子，敌峨力- - 0 ，v y e r ， 即 ( 糊) 2 + 矿e z ( 胄) 由文献 1 6 1 中定理知半质环盂交换。 若a c e j ( r ) ，取y g j ( r ) 则l _ 可逆， 同理由式( 2 - 1 ) 、式( 2 - 2 ) 、式( 2 5 ) 可得 b ( 1 岬) 2b b 2 + b y 2 b + 2 b y b = b 2 + b 2 y + y b 2 + y b 2 y = ( 1 ) b 2 ( 1 却) 再由式( 2 1 ) 、式( 2 - 2 ) 、式( 2 - 5 ) 同理得 b2 ( 1 + ) 0 + ( 1 + y ) 6 2 ：2b ( 1 + y ) b ( 1 + y ) 2 6 + b ( 1 + y ) 2 = 2 0 + y ) b ( 1 + 如 同上推导可得 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 - 1 3 ) 【6 一( 1 圳d 6 ( 1 瑚】( 1 埘2 p 一( 1 呦d 6 ( 1 圳】 = 矗( 1 + y ) 2 6 q ( 1 卅6 ( 1 卅- - ( 1 枷1 6 ( 1 瑚3 6 + ( 1 枷1 ( 1 6 2 ( i 训( 1 圳 = 6 ( 1 呦强山( 1 咖6 ( 1 瑚- 0 圳d 6 ( 1 啊3 b + b 2 0 功2 6 ( ( 1 枷2 b + b ( 1 瑚2 ) q ( 1 呦6 ( 1 枷- ( i 瑚。6 ( i 瑚 = 2 b o 删6 ( 1 瑚咱( 1 枷b ( 1 圳一( 1 + y ) d 6 ( 1 啪2 谚1 ( 1 咖b = 6 ( 1 枷6 ( 1 瑚- - ( i 嘲1 ( 1 + y ) b 2 ( 1 圳b - 1 ( 1 + y ) b = b o 嘲b ( 1 瑚_ 6 6 ( ( 1 瑚6 1 ) 2 的 = b o 圳6 ( 1 圳哪( ( 1 训矿) 矿( ( 1 删6 - i ) b = 0 于是有 b - 0 瑚 i b ( 1 瑚卸 进而f 反朔一d 。vy e j ( r ) ，故6 与j ( 神中的元素可交换。 任取= r ，o * y e j ( r ) ， 有 6 ( 动= z y b = z b y ( b z - z b ) y - - o 由于b z - - z b 毒z ( r ) 。因为半质环中心无零因予，故【h 司o v z e r , 即6 e z 恤) 。由文献【1 6 坤定理知：半质环r 为交换环。 2 ) 的证明中只要说明d o ) 中没有a 使【( 枷2 + 口蟹，y 】ez ( d q ) ) ， v x , y e r 即可。 咯尔滨理工大学理学硬士学位论文 _ _ _ _ - - _ - _ - _ _ _ - _ _ i i ii _ - l - _ - - _ - _ 证明任取口；( 三a 2 a 4 ) ，存在x = ( ：匀，y = 曙：i l 吗 1 使 0 【2 + 群，y lt 酗口) ) 其它证明同1 ) 。3 ) 8 ) 证明类似。 2 2 2 半质环的中心换位子条件 本文中的环均为结合环，环r 的中心记作z ( 矗) 或简记作z ，x , y 的换位子 删一y x 用i x ，y l 表示。文中的多项式均为整系数的 h e r s t e i n 诞明 弓l 理2 1 l l ，1 设r 为任意环。若对于置中任意的x