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山东大学硕十学位论文 解析不变曲线与迭代方程的解析解 胡平 ( 山东大学数学与系统科学学院，济南，2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 动力系统就是要研究一个决定性系统的状态变量随时间变化的规律根据系 统变化的规律可分为由微分方程描述的连续动力系统和由映射迭代揭示的离散 动力系统许多物理、力学、生物学以及天文学问题的数学模型都是离散的迭代 过程描述的动力系统的许多问题都可以化为迭代函数方程漫长的历史沉淀使 迭代函数方程成为与微分方程、差分方程、积分方程及动力系统紧密相关的现代 数学分支，在实验科学和工程科学研究中起着重要作用迭代函数方程伴随着迭 代理论的发展，从巴贝奇、阿贝尔等数学家开始至今，已经形成了一个理论体系 本文在绪论中介绍了函数迭代的特性及其在现实生活中的应用、迭代与动力系统 的概念、离散动力系统与连续动力系统的概念、迭代函数方程的基本形式、迭代 根问题、不变曲线问题及d a v i e 引理，并且简要介绍了近几年在迭代函数方程方 面的研究成果 迭代函数方程作为现实世界中抽象出来的一种十分重要的模型，具有广泛的 现实意义和应用背景，一直受到数学家们的广泛关注在实验中常常通过对初始 状态到当前状态的记录，来分析系统运动的规律迭代函数方程是函数复合与迭 代的产物，和微分方程一样都是函数方程的特殊类型准确地讲，迭代函数方程就 是由未知函数和复合运算构成的恒等式关于平面映射的不变曲线可化为等价 的迭代函数方程解决它在离散动力系统的周期稳定性理论中扮演着重要的角色， 研究平面映射的不变曲线的存在性具有重要的意义本文的第二章讨论了三类平 面映射的解析不变曲线，用优级数方法讨论了不变曲线迭代函数方程解析解的存 在性以前在这方面的工作要求未知函数在其不动点处的线性化特征值不在单位 圆周上或在单位圆周上但满足d i o p h a n t i n e 条件我们突破了d i o p h a n t i n e 条件 的限制，在口在单位圆周上但不满足d i o p h a n t i n e 条件的情形，用比d i o p h a n t i n e 山东大学硕士学位论文 条件更弱的条件b r j u n o 条件给出了解析解结果 迭代是自然界乃至人类生活中的一种普遍现象迭代泛函微分方程与常微分 方程有很大的不同这种方程的时滞不仅依赖于时间而且依赖于状态甚至状态的 导数进入8 0 年代以来，人们越来越多的发现了这种方程的多方面的应用例如， 在物理学、控制论、博弈论和生物学等一系列问题中都提出这种类型的方程，显 示出了它们在应用上和理论上的重要性，从而也激发起了人们对它们的强烈的研 究兴趣由于未知函数迭代的出现常微分方程中经典的存在性定理不能使用本 文的第三章利用s e h r 6 d e r 变换把迭代方程化为不含未知函数迭代的非线性迭代 微分方程，再利用优级数方法得到解析解的存在性 关键词：迭代：迭代函数方程：优级数：解析解：不变曲线 i i 山东大学硕士学位论文 a n a l y t i cl n v a r l a n tc u r v e sa n da n a l y t i cs o l u t l o n so f it e r a tl v e sf u n c tio n a le q u a t10 n h u p i n g s c h o o lo fm a t h e m a t i c sa n ds y s t e ms c i e n c e s ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n , s h a n d o n g ，2 5 010 0 ，p r c h i n a a b s s t r a c t t h ep u r p o s eo fd y n a m i c a ls y s t e mt h e o r yi st os t u d yr u l e so fc h a n g ei ns t a t e w h i c hd e p e n d so nt i m e u s u a l l yt h e r ea l et w ob a s i co fd y n a m i c a ls y s t e m s ：c o n t i n u o u s d y n a m i c a ls y s t e m sb yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n d d i s c r e t ed y n a m i c a ls y s t e m sd e s c r i b e d b yi t e r a t i o no fm a p p i n g s m a n ym a t h e m a t i c a lm o d e l si np h y s i c s ，m e c h a n i c s ，b i o l o g y a n da s t r o n o m ya l eg i v e ni ns u c hf o r m a m a n yp r o b l e m so fd y n a m i c a ls y s t e m sc a nb e r e d u c e dt oa ni t e r a t i v ef u n c t i o n a le q u a t i o n t h r o u g h ) , c a r so fd e v e l o p m e n t , i t e r a t i v e f u n c t i o n a le q u a t i o n sh a v eb e c o m eab r a n c ho fm o d e mm a t h e m a t i c st h a tf i l ec l o s e l y r e l a t e dt od i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，d i f f e r e n c ee q u a t i o n s ，i n t e g r a le q u a t i o n sa n dd y n a m i c a l s y s t e m s ，p l a y i n ga ni m p o r t a n tr o l e i nt h e s t u d yo fe x p e r i m e n t a ls c i e n c ea n d e n g i n e e r i n g s i n c em a t h e m a t i c i a n s l i k eb a b b a g e ，a b e le t c i t e m t i v ef u n c t i o n a l e q u a t i o n sh a v ef o r m e dat h e o r ys y s t e mw i t ht h ed e v e l o p m e n to fi t e r a t i v et h e o r y i nt h e i n t r o d u c t i o np a r to ft h et h e s i s ，t h ec h a r a c t e r i s t i c sa n da p p l i c a t i o n so ff u n c t i o n a l i t e r a t i o n , t h ec o n c e p t so fi t e r a t i o n sa n dd y n a m i c a ls y s t e m s ，t h e c o n c e p t so fd i s c r e t e d y n a m i c a ls y s t e m sa n dc o n t i n u o u sd y n a m i c a ls y s t e m s ，t h eb a s i cf o r m so fi t e r a t i v e e u a t i o n sa n dt h ep r o b l e m so fi t e r a t i v er o o t sa n di n v a l i a n tc u r v e sa n dd a v i el e m m aa l e i n t r o d u c e d ab r i e fi n t r o d u c t i o ni sa l s og i v e na b o u tt h ea c h i e v e m e n t sm a d ei nt h ef i e l d o fi t c r a t i v ef u n c t i o n a le q u a t i o n si nr e c e n ty e a r s a sa l li m p o r t a n tm o d e la b s t r a c t e df o r mt h er e a lw o r l d ，i t e r a t i v ef u n c t i o n a l e q u a t i o n sa l eo fw i d eo p e r a t i o ns i g n i f i c a n c ea n da p p l i c a t i o nb a c k g r o u n d ，b e i n g a l w a y sc o n c e r n e db ym a t h e m a t i c i a n s i ne x p e r i m e n t ，t h ea n a l y s i so ft h er e g u l a t i o no f i i i 山东大学硕士学位论文 s y s t e ms p o r ti sa l w a y sc a r r i e do u tb ym e a n so ft h er e c o r d sm a d ef o r mi n i t i a l i z a t i o nt o c u r r e n ts t a t e i t e r a t i v ef u n c t i o n a le q u a t i o n sa r et h eo u t c o m eo ff u n c t i o nc o m p o u n da n d i t e r a t i o n , a n d , j u s t l i k ed i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，a r e a s p e c i a lt y p e o ff u n c t i o n e q u a t o n s a c c u r a t e l ys p e a k i n g ，i t e r a t i v ef u n c t i o n a le q u a t i o n sa r et h ei d e n t i c a le q u a t i o n f o r m e db yu n k n o w nf u n c t i o n sa n dc o m p o u n do p e r a t i o n w er e d u c et h ee x i s t e n c eo f a n a l y t i ci n v a r i a n tc u r v e st ot h ee x i s t e n c eo fa ni t e r a t i v ef u n c t i o n a le q u a t i o nb ym e a n s o fm a j o r a n ts e r i e s i tp l a ya l li m p o r t a n tr o l ei nt h et h e o r yo fp e r i o d i cs t a b i l i t yo f d i s c r e t e d y n a m i c a ls y s t e m s i nc h a p t e r2 ，t h r e ek i n d so fp l a n a rm a p p i n g sa r e d i s c u s s e d w er e d u c et h ee x i s t e n c eo fa n a l y t i ci n v a r i a n tc u r v e so fi t e r a t i v ef u n c t i o n a l e q u a t i o nb ym e a n so fm a j o r a n ts e r i e s p r e v i o u sw o r k sr e q u i r e 口，t h ee i g e n v a l u eo f t h el i n e a r i z a t i o no ft h eu n k n o w nf i m c t i o na ti t sf i x e dp o i n t ，i sn o to nt h eu n i tc i r c l eo r l i e so nt h ec i r c l ew i t ht h ed i o p h a n t i n ec o n d i t i o n w eb r e a kt h r o u g ht h er e s t r i c t i o no f d i o p h a n t i n ec o n d i t i o na n do b t a i nr e s u l t so fa n a l y t i cs o l u t i o n si nt h ec a s eo fu n i tr o o t 口a n dt h ec a s et h a t 口l i e so nt h ec i r c l eb u td o e s n ts a t i s f i e d 、析t l lt h ed i o p h a n t i n e c o n d i t i o n ，u s i n gt h ew e a k e rc o n d i t i o nt h a nd i o p h a n t i n ec o n d i t i o n b r j u n oc o n d i t i o n t h eg e n e r a t i o ni sal ( i 1 1 do fm e d i u mw i d e s p r e a dp h e n o m e n o no fn a t u r ea n dt h e m a n k i n dl i v e t h eg e n e r a t i o ni ss u f f u s e d 、 ，i t ht h el e t t e rd i f f e r e n t i a lc a l c u l u ss q u a r e d i s t a n c ea n do f t e nt h ed i f f e r e n t i a lc a l c u l u ss q u a r ed i s t a n c ec o n t a i nv e r yg r e a t d i s s i m i l a r i t y t h eh o u ro ft h i sk i n do fs q u a r ed i s t a n c en o to n l yd e p e n d so ni nt i m eb u t a l s od e p e n d so ni nt h ea p p e a r a n c ee v e nt h ea p p e a r a n c el e a dan u m b e r g e ti n t o8 0 s ， p e o p l ed i s c o v e r e dt h ev a r i o u sa p p l i c a t i o no ft h i sk i n do fs q u a r ed i s t a n c em o r ea n d m o r e f o re x a m p l e ，t h ei m p o r t a n c et h a ti si na l lp u t t i n gf o r w a r d th es q u a r ed i s t a n c eo f t h i sl 【i 1 1 do ft y p ei nt h ep h y s i c s ，c o n t r o lt h e o r y ，t h eas e r i e so fp r o b l e m ss u c ha st h e o r y a n db i o l o g ye t c d i s p l a y i n gt h e ma tt h ea p p l i c a t i o na n dt h e o r e t i c a l l y ，a l s os t i ru pt o h a v ep e o p l et h u st ot h e i rm i g h t i n e s so fi n t e r e s ti nt h er e s e a r c h i no r d e rt od o i n gn o t k n o wf u n c t i o nt h ee m e r g e n c eo ft h eg e n e r a t i o n o f t e nt h ee x i s t e n c ea x i o m so fc l a s s i c i nt h ed i f f e r e n t i a lc a l c u l u ss q u a r ed i s t a n c ec a n tu s e t e x t u a lc h a p t e r3m a k e su s eo f t r a n s f o r m a t i o nt oc h a n g ei n t oag e n e r a t i o ns q u a r ed i s t a n c en o tt oc o n t a i nt od o n f t k n o wf u n c t i o ng e n e r a t i o nn o tt h ed i s t a n c e 、航t l ls q u a r ed i f f e r e n t i a lc a l c u l u so ft h el i n e g e n e r a t i o n , m a k i n gu s eo fa g a i na ne x c e l l e n t s e r i e sm e t e o dt og e te x i s t e n c eo f t v a n a l y z i n gt h es o l u t i o n 山东大学硕士学位论文 k e yw o r d s ：i t e r a t i o n ：i t e r a t i v ef u n c t i o n a le q u a t i o n s ；m a j o r a n ts e r i e s ：a n a l y t i c s o l u t i o n s ：i n v a r i a n tc u r v e s v 山东大学硕士学位论文 v i f ”( x ) 符号说明 ( x ) 的刀次迭代 无理数集 自然数集 实数集 复数集 单位圆 与常数膈口t 有关的函数f ( z ，r e ) 与常数朋和洧关的函数w ( z ) 形 ) 乙 z 以 j q 虮， m 耻 n r c 眦 m 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名：瑚l 芏e l 期：兰塑：! ! ：主) 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅：本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：一二啤导师签名：她e t 期：础 山东大学硕士学位论文 第一章绪论 所谓迭代，可看作同一运算或操作的多次重复自然数的乘法口k ，可看作 加法运算，即七个a 的累加，或函数f ( x ) = x + a 的迭代在足”上的线性变换么的 多次重复下，空间r “中任意一点x 将生成一动态轨迹x ，血，a 2 x ，a 3 x ，函数迭代 成了热门话题，迭代根，迭代方程，迭代动力系统，混沌理论都是这方面的新颖 领域，这与实验科学、工程技术紧密相联系迭代产生了动力系统，迭代产生了复 杂性 迭代是自然界和人类社会中的普遍现象大量的物理、力学、生物学以及天 文学问题的数学模型都是由连续的和离散的迭代过程描述的因此，研究映射迭 代描述的离散运动是现代动力系统的重要课题许多惊人的发现都是通过对映射 迭代的研究而产生的例如，作为2 0 世纪最重要的成就之一的k a m 理论，其主要方 法就是映射的迭代：在离散动力系统中研究映射的倍周期分岔时，描述倍周期分 岔的普适性的具体表现就是重正化群方程，即费根鲍姆( f e i g e n b a u m ) 函数方程 1 ： g ( x ) ：一g 【g ( 一与】，g ( o ) ：l ， 口 这就是一个迭代函数方程微分方程中的不变流形，h a m i l t o n 系统中的不变 环面和不变曲线，都可归结为对迭代函数方程的研究因此，研究迭代的规律非常 重要 1 1迭代 若y 是u 的函数，即y = 厂 ) ，而u 又x 的函数，即u = g ( x ) ，则称y 为x 的复 合函数，记为y = 厂( g ( x ) ) 或y = f 。g ( x ) 一些简单的初等函数经过复合，会变得 十分复杂同一个函数f ( x ) 的多次复合，( 厂( x ) ) ，厂( 厂( 厂( x ) ) ) ，称为函数f ( x ) 的 迭代为简便起见，记 厂1 ( x ) = 厂( x ) ，f ”( x ) = f ( f ”。1 ( x ) ) 特别地，记厂( x ) 量x 山东大学硕士学位论文 如何计算迭代，可以用相似法即若有一个可逆函数h ，使 厂( x ) = h 一1 。go 厅( x ) ( 这里“。 表示复合运算) ，则厂”( x ) = h 一1 。g ”。厅( x ) ，这样 便把f 的刀次迭代问题化为g 的刀次迭代问题了这个方法叫相似法，或共轭法 相似是一种等价关系 迭代是复杂的看似简单的函数f ( x ) = u x 2 秒( x ) = s i n x ，其1 1 次迭代的函 数性质不仅十分复杂，而且当蹿专时的极限行为还会出现许多意想不到的事情 非线性函数的复杂性常常通过迭代而被放大了 迭代是普遍的在经济生活中，如果本金p 以利率r 借贷n 年，若按复利累计， 其总和应为以= 尸( 1 + ，) ”显然，a 。是函数口( x ) = x ( 1 + ，) 的迭代在科学实验中， 我们常常通过对初始状态到当前状态的记录，来分析系统运动的规律x 一射线的 透射、流体的渗流、生物体的生长、计算机的运行等过程中都包含了迭代现象 在数学中，一切递推关系都是迭代等差数列和等比数列当然是迭代的产物微分 方程解的p i c a r d 逼近就是一个迭代过程考虑c a u c h y 问题 匕m ) 川伽) ) ， 【x o 。) = t 其p i c a r d 序列 矗( ，) 如下定义 f 以( ，) 荨x o ， t 矗( ，) = t + j ：厂( s ，x 剃( s ) ) 豳 它是算子 r x ( t ) ：= 艺+ l 厂( 岛x ( s ) ) d s ， 。 迭代产生的因此微分方程的数值解就是用迭代的方法来研究微分方程在分析 向量场时，我们常常讨论返回映射或p o i n c a r e 映射例如微分系统 2 妾：p ( f ，毛j ，) 出 一“ d y ，。：q ( ，x ，y ) 出 一“ 山东大学硕士学位论文 其中p ，q 是连续可微的且关于t 具有周期t 设其关于初始条件x ( 0 ) = 孝，y ( 0 ) = 刁 的解记为x ( f ；孝，7 ) ，y ( f ，孝，7 ) ，那么，( 孝，r ) 专( x ( r ；孝，刁) ，y ( t ，孝，叩) ) 定义了一个连续 映射n ：r 2 _ r 2 ，称为p o i n c a r e 映射通过这样的方法把问题化成映射的迭代 来解决因此，把迭代的数学原理搞清楚是十分必要的 1 2 迭代与动力系统 我们常常把一些相互联系并不断变化发展的事物称作一个系统这些事物， 既可以是自然科学中的某些物质，也可以是社会客体和组织等抽象的事物一个 系统如果其历史和未来完全由某一时刻的状态所确定，或者说只要知道它在某一 时刻的状态，就能准确的预测它的未来的命运并能回溯它历史发展过程，则称之 为决定性系统动力系统就是要研究一个决定性系统的状态变量随时间变化的规 律根据系统变化的规律可分为由微分方程描述的连续动力系统和由映射迭代揭 示的离散动力系统以迭代为背景的离散动力系统的研究始于一百多年以前，由 数学家e s c h r 占d e r 、h a b e l 、b b a b b a g e 等人创立了迭代论在近代自然科学 如物理学、化学、天文学、力学等学科的关注和推动下，动力系统理论，尤其是关 于迭代动力系统的理论发展十分迅速，取得了一些重大发现如关于周期性的 s h a r k o v s k y 序、关于分岔的f e i g e n b a u m 现象、关于运动复杂性的马蹄等，所有 这些都极大的促进了动力系统的发展 设x 是一个集合，厂和g 是定义x 在上的自映射厂。g 表示映射和g 的复 合，即 ( 厂o g x x ) = ( g ( x ) ) ，x x 由此便可得到迭代的定义 定义设f ：x 专x 是集合x 到自身的一个映射，记 厂”( x ) = f o f ”_ ( x ) ，f 。( x ) = 工 其中n 为正整数，称“( 曲为厂( 功的n 次迭代，并称n 为厂”的迭代指数从定 义可见， f 。= i d ，f ”o f ”= f 所棚 其中耐表示恒同映射，映射的迭代构成了一个半群，如果厂是拓扑空间x 上的连 3 山东大学硕士学位论文 续映射，其迭代被认为是构成了一个离散半动力系统 厂“：n z + ，如厂在x 上 是一个同胚，其迭代构成了一个离散动力系统 “；刀z 如果厂”有唯一确定的逆映射，便记之为。这样，迭代指数可以取一切整 数，但对于不可逆的映射厂，迭代指数只能取非负整数已知函数，若有厂满 l 足厂”( x ) = f ( x ) ，就称厂是f 的刀次迭代根，记为f 一= 厂，由此自然想到 苎 f ”= 厂耐于是f 的分数次迭代就知道了，也就实现了迭代指数由整数到有理数 的推广通过极限过程，可以确定f 的f ( 尺) 次迭代f 。的意义了 在定义中，集合x 是很一般的它的元素可以使实数，复数，数组，数列， 甚至曲线和曲面迭代，也就是函数的复合 迭代作为决定性过程的数学模型，有着鲜明的实际背景，事实上人们在生活中 常常遇到这样的系统：系统在时刻t 的状态置由其在初始时刻f 。和初始状态k 及差，一气决定 x t = f ( t t o9 x t 如果我们每隔一个时间单位作一次观测，则第n + 1 次观测到的状态 + 。= f ( ，打+ l 一，。，) 由于t 川一f 。= l ，记f ( x ) = f ( 1 ，x ) ，则我们有 “= f 肿1 ( 一) ，即化为迭代因此，通过对f 的迭代的研究，可以预测系统在未 来的状态和发展趋势我们还可以对微分方程的解曲线通过时间l 一映射化为迭 代来进行研究，事实上微分方程的许多定性问题都可以化为拓扑空间上的连续映 射的迭代来处理 1 3 迭代函数方程 迭代函数方程理论是一个历史悠久、内容丰富、应用及其广泛的数学分支 广义地说，迭代函数方程就是由未知函数和复合运算构成的恒等式这种函数方 程的一个特点是除了基本的代数运算外，它以未知函数的迭代作为其基本的运算 形式迭代函数方程是函数复合与迭代的产物，和微分方程一样都是函数方程的 一种特殊类型自从有了运算就有了方程的问题，而且方程的求解往往在理论上 更复杂、在技术上更困难、在应用上更广泛 迭代函数方程作为现实世界中抽象出来一种十分重要的模型，具有广泛的现 4 山东大学硕士学位论文 实意义和应用背景，一直受到数学家们的广泛关注函数方程的形式多种多样，包 括办彩如，方程 ( f ( x ) ) = c h ( x ) ， 和a b e l 方程 办( 厂( x ) ) = j l ( x ) + b 它们在h a r t m a n 线性化和嵌入流的理论中扮演非常重要的角色此外，讨论拓扑 共扼关系的方程 j l z ( f ( x ) ) = g ( | l z ( x ) ) ， 和幂函数化的b 6 h c h e r 方程 办( f ( x ) ) = ( 办( z ) ) p ， 以及更一般的方程 f ( x ，办( x ) ，办( 石( x ) ) ，j l ( 厶( x ) ) ) = 0 ， 都是人们所关心的 关于迭代函数方程的研究，迭代根问题的研究是比不可少的，即下列问题：设 f ( x ) 是x 上的自映射，如果 厂”( x ) = f ( x ) ，x x ( 1 3 1 ) 则称是f 的n 次迭代根显然，方程( 1 3 1 ) 是一种形式最简单的迭代函数方程 迭代根问题是一个古老而有意义的课题，关于它的研究至少可以上溯到 n h a b e l 3 ，甚至更早的b b a b a g e 4 1 9 5 0 年，i s a u a c s 5 3 在一篇精辟的论文中 完成了一项奠基性的工作，给出了抽象集e 上的自映射的迭代根存在的充分必要 条件这个结果后来又有所发展 6 出于对迭代根问题的自然推广，人们对各种 迭代函数方程的研究产生了浓厚的兴趣这方面早期的工作基本上总结在 2 中 近三十年来，又涌现出一些好的工作这方面的工作大致可分为三个方面，其一是 方程中关于迭代是线性的，即所谓线性型( 或多项式型) 的迭代方程：其二是方程 中关于迭代是非线性的迭代方程，即所谓非线性型迭代方程：其三是平面映射的 不变曲线方程 5 山东大学硕士学位论文 1 4 解析不变曲线 迭代函数方程的另一个方向是不变曲线方程关于二阶迭代方程的研究直接 源于平面映射的不变曲线问题例如，w a g n e r 7 ，n a b e y a 8 和d h o m b r e s 9 在分 别研究某类不变曲线问题时，最终都归结到讨论方程 厂2 ( d = a y ( x ) + ( 1 一a ) x 的解 何谓不变曲线? 设实平面上的变换t ： i = 厂( 毛y ) ，罗= g ( x ，y ) 或 ( x ，y ) 专( 厂( x ，y ) ，g ( x ，y ) ) 若曲线三：y = 伊( x ) 经r 变为另一曲线云：y = 少 ) ，就记为y = t e p 若上经r 变到自身，即丁 纠= 伊，则称是丁的不变曲线，此时，也有罗= 驴( 冤) 从而得到迭代函数方程 e p f ( x ，缈( x ) ) 】= g ( x ，驴( x ) ) ( 1 4 1 ) 这称为不变曲线的方程研究不变曲线的方程成了迭代函数方程( 除去迭代 动力系统) 的又一个重要方向 有许多实际问题涉及到一类二阶具有逐段常数的变时滞泛函微分方程 x 一( ，) + g ( x p 】) = 0 ，r ，x r c t n g 和张伟年将其归结为不变曲线方程 伊( 驴( x ) ) = 2 妒( x ) 一x 一丢( g ( 厂( _ x ) ) + g ( 功) 进行研究，获得好的结果 在许多情况下，也在复域上研究不变曲线方程( 1 4 1 ) ，此时假定x c 解析不变曲线是求不变曲线方程( 1 4 1 ) 的局部解析解，所用的方法是优级 数法，其步骤为 第一步将缈( z ) = z 一代入( 1 4 1 ) ，得到确定其系数口。的递推关系，得 形式幂级数解： 6 山东大学硕士学位论文 第二步寻找缈( z ) = z a 。z ”的优级数以z ”( 臣p la 。i 0 和盯 0 满足 l 岱”- 1 1 f 。1 纷一仃，v n 1 假设下列条件： ( 蜀) o i 口l l ( 吼) b r j u n on u m b e r ：2 砚其中o er q , b ( 0 ) = 薹警 0 是一个常数，则曰= ，口l ，口】是一个b r j u n o 数， 但不是一个d i o p h a n t i n e 数，因此，条件( 哎) 包含了d i o p h a n t i n e 条件和口在共 振点附近的情况b r j u n o 条件比d i o p h a n t i n e 条件弱，因此需要引入d a v i e 引理， 在引入该引理前，先回顾一下相关的知识 1 4 令4 却 o l a ，巨= m a x 瓴，警 ，仇2 瓦q k ，翎：局。的集合， 歹满f f = jea 。或对某个j i ，j ：满足，：一j l 反，且匈。 其中m 。= m a x j10 o ( 独立于1 1 和口) 使得 m 胁羔挚枷； k = o q t ( b ) 对任意的确，力2 ，有k ( 惕) + k ( 伤) k ( m + ，2 2 ) ； ( c ) - l o gl 口”- 1 巨k ( n ) - k ( n - 1 ) 第二章关于不变曲线迭代函数方程的解析解的存在性 许多物理、力学、生物学以及天文学问题的数学模型都是由离散的迭代过程 描述的因此，研究由映射迭代描述的离散运动是现代动力系统的重要课题迭 代函数方程的另一个方向是不变曲线方程关于二阶迭代方程的研究直接源于平 面映射的不变曲线问题 2 1 矽0 + 伊( z ) ) = p ( 伊( z ) ) ，z c 的解析解的存在性 函数方程纵z + 伊( z ) ) = p ( 烈z ) ) ，z c( 2 1 1 ) 的讨论最早出现在不变曲线的理论中s ij i a n g u o 在【1 2 】中研究了这个方程在复域 上的解析解的存在性现在，设方程( 2 1 1 ) 中的缈是未知函数，夕是已知的复变量复 值函数，且在原点某邻域内是解析的，p ( o ) = o ，并且p ( 0 ) = 口 考虑关于口的三个条件： ( 1 ) i 口i _ 1 + 0 r 5 ； ( 2 ) 0q 口l o ，使 is ”一1i 1 ( 2 刀) 占，疗= 2 , 3 ，另外，若定义 d l = 1 以= j 卜1 - 1i 。1m a x d k , d k , d k , ，拧= 2 , 3 ， ( m a x 是对所有的分拆行= 屯+ 岛取的，其中0 k l 0 ，使ic 。匿p ”1 ( 刀= 2 ，3 ，) 注意到 方程( 2 1 2 ) 对于变换厂( z ) = f f ( 3 z ) f l 和p ( z ) = 万( p z ) p 时不变的，因此，不失 一般性，我们总可以假定 再设 i c 。i 1q = 2 , 3 ，) ；而在情况 ( 2 ) 下，i 口一一口剧口j - j 口l ” ，加= q + 1 ，q , , i 2 9o i ) 这样，利用数学归纳法和 不等式( 2 1 4 ) ，我们推出i 口月i 0 ，使材。a ”0 = 1 , 2 ，) 依归纳法，由( 2 1 6 ) 和( 2 1 8 ) 得到不等式 i a 。l 0 ，使l 见i