（基础数学专业论文）非游荡算子的稳定性研究.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 本文在算子超循环性、混沌性的基础上，以微分动力学的思想及 算子、复合算子的基本理论为工具，对算子的非游荡性作进一步的推 广研究。特别地在无穷维可分b a n a c h 上引入口一伪轨和一跟踪的概 念，并运用泛函分析的方法证明了在具有无条件基的无穷维可分 b a n a c h 序列空问及具有实际物理背景的空间中口一伪轨的存在性，然 后借助微分动力学思想，运用泛函分析的方法证明了在无穷维可分闭 b a n a c h 空间上，非游荡算子具有伪轨跟踪性质，并应用此性质得到 了几个有用的结果。 接着，本文给出非游荡常数的定义，并借助此常数，对非游荡算 子的伪轨跟踪性质作了进一步的研究。 另一方面，本文在无穷维可分b a n a c h 空间中引入了无环条件和 滤子的概念，并给出了具体的满足无环条件的非游荡算子的例子及具 体的非游荡算子的滤子的构造方法，然后证明了非游荡算子在充分小 的扰动下，其非游荡向量流形的结构是不变的，这就是非游荡向量流 形的稳定性定理。 最后，本文利用非游荡算子的伪轨跟踪性质对非游荡向量流形的 稳定性定理作了进一步的说明。 关键词：超循环算子，混沌算子，非游荡算子，伪轨跟踪陛质， 拓扑稳定，l i p s c h i t z 映射 江苏大学硕士学位论文 t h ep a p e rt a k e st h em e t h o do fd i f f e r e n t i a ld y n a m i c sa n db a s i ct h e o r i e so ft h e o p e r a t o r 勰t o o l so nt h eb a s i so fh y p e r c y c l i c i t yo fo p e r a t o r , c h a o s ，d of u r t h e rr e s e a r c h t ot h en o n w a n d e r i n gp r o p e r t yo ft h eo p e r a t o r s m p e c i a l l y , i nt h i sp a p e rw ei n t r o d u c e t h e 口- p s e u d oo r b i ta n df l - t r a c e di ni n f i n i t ed i m e n s i o n a ls e p e r a b l eb a n a c hs p a c e a n ds h o wt h a t e v e r y i n 丘n i t cd i m e n s i o n a l s e p e r a b l e b a n a c h s p a c e丽m a n u n c o n d i t i o n a lb a s i ss u p p o r t sa 口一p s e u d oo r b i tb yt h em e t h o d so ff u n c t i o n a la n a l y s i s m o r e o v e r , 、析mt h eb a s i ct h e o r i e so fd i f f e r e n t i a ld y n a m i c sa n dt h em e t h o d so f f u n c t i o n a la n a l y s i s ，w ep r o v en o n w a n d e r i n go p e r a t o rth a sp s e u d oo r b i tt r a c i n g p r o p e r t yr e l a t i v et oa ni n f i n i t ed i m e n s i o n a ls e p a r a b l ec l o s e db a n a c hs u b s p a c e e u s i n gt h i sp r o p e r t y , w eg e ts o m eg o o dr e s u l t s n e x t ，w eg i v et h ed e f i n i t i o no fn o n w a n d e r i n gc o n s t a n t u s i n gt h ec o n s t a n t , w e d of u r t h e rr e s e a r c ht ot h ep s e u d oo r b i tt r a c i n gp r o p e r t yo fn o n w a n d e r i n go p e r a t o r s o nt h eo t h e rh a n d ，w ei n t r o d u c en o c y c l ec o n d i t i o na n df i l t r a t i o ni ni n f i n i t e d i m e n s i o n a ls e p a r a b l eb a n a c hs p a c ea n dg i v es o m ee x a m p l e so ft h en o w a n d e r i n g o p e r a t o r sw h i c hs a t i s f yn o c y c l ec o n d i t i o na n dt h e c o n s t r u c t i o no ff i l t r a t i o no f n o n - w a n d e r i n go p e r a t o r s o nt h e b a s i so ft h ea b o v ew o r k , w eg i v eas u f f i c i e n t c o n d i t i o nf o rn o n - w a n d e r i n gv e c t o rm a n i f o l dt ob es t a b i l i t y i nt h ee n d ，u s i n gt h ep s e u d oo r b i tt r a c i n gp r o p e r t yo fn o n - w a n d e r i n go p e r a t o r , w eg i v eaf u r t h e rd e s c r i p t i o no ft h es t a b i l i t yo fn o n w a n d e r i n gv e c t o rm a n i f o l d k e yw o r d s ：h y p e r c y c l i c o p e r a t o r s ，c h a o t i co p e r a t o r s ，n o n w a n d e r i n g o p e r a t o r s ，p s e u d oo r b i tt r a c i n gp r o p e r t y , t o p o l o g i c a l l ys t a b i l i t y , l i p s c h i t zm a p p i n g 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部 内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密 指导教师签名 卿年 l 1 9 月【譬日 主泞 毋1 龋- _ 王 名 日 签 膨 者 寻 僻 明 姘 陟 论 一一一 僦r判1 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者躲川州 日期：锄0 1 年1 1 月l 扩日 江苏大学硕士学位论文 1 1研究背景 第一章绪论 算子理论发展到今天，已产生了许多分支，并且各个分支都取得了令人振奋 的成果，例如循环算子理论、超循环算子理论和亚循环算子理论。这些算子理论 的提出和发展始于不变子空间问题的研究。不变子空间问题是说无穷维b a n a c h 空间上的每一个有界线性算子是否都有一个非平凡的闭不变子空间，即是否有一 个非零子空间也非整个空间的闭线性流形，且在该算子作用下是不变的。在 b a n a c h 空间背景下，这一问题得到了解决。cr e a d ，pe n f l o 证明了存在一个无穷 维b a n a c h 空间上的有界线性算子，使得它不具有非平凡的闭不变子空间；并且 cr e a d 在b a n a c h 空间上还构造了一个没有非平凡闭不变子集的有界线性算子。 现在剩下的问题是：无穷维h i l b e r t 空间上的任一有界线性算子，是否具有非平 凡的闭的不变子空间? 不变子空间问题最先引发了算子循环性、超循环性的研究。无穷维b a n a c h 空间石上的有界线性算子r 称为超循环的，如果存在一向量x x ，使得它在z 作用下的轨道d 而叮，功lf “欺万n 。) 在x 中稠密；如果这轨道的线性扩张在 x 中稠密，则称z 是循环的；称z 是亚循环的，如果这轨道的纯量倍数在石中 稠密，即2 0 r b ( t ，力= a t “欺疗n o ，名c ) 在工中稠密。一个算子z 不具有 非平凡的闭不变子空间( 子集) 当且仅当所有的非零向量都是循环( 超循环) 向量。 线性算子的超循环性研究可以追溯到1 9 2 9 年，gdb i r k h o f ff 1 】关于复平面 上整函数f r 6 c h e t 空间日( c ) 上平移算子瓦：日f ) 一日f ) ，乙厂( 力一f ( z + a ) ( ，( 力h f ) ，z c ) 的研究，当a 0 时，平移算子疋是超循环的。1 9 5 2 年，g r m a c l a n e 【2 】表明了对于日( c ) 上的微分算子d ：，一d 厂v ，h ( c ) ，算子 疋，( z ) = d “厂也是超循环的。1 9 6 9 年，sr o l e 丽院【3 】构造了b a n a c h 空间上 n = o ，- ； 的第一个超循环算子衄，即z 2 ( ) 上的无加权后移位b 与一个模大于1 的标量国 相乘之后是超循环的。1 9 8 2 年，k i t a i 4 在她未发表的博士论文里给出了一条易 江苏大学硕士学位论文 于判别算子为超循环的条件；后来，g e t h n e r 和s h a p i r o 重新发现了这一条件，并 给出了更简单的证明，这就是所谓的超循环准则，即b a n a c h 空间x 上的有界线 性算子z ，称为满足超循环标准的，如果x 中存在两个稠密子集x 。和y o 及非负 整数序列( 像) 和映射& ：r o 专x o ，使得下列条件成立： ( 1 ) z h 专。逐点在 x o 上，( 2 ) 一。逐点在k 上，( 3 ) z h s 专魄逐点在k 上( 其中m r o 是限 制在k 上的单位映射) 。1 9 9 1 年，g o d e f r o y 和s h a p i r o 5 】对b i r k h o f f - m a c l a n e 的结果进行统一并推广，证明了h ( c ) 上所有与平移算子( 或微分算子) 可交 换的非标量有界线性算子都是超循环的。1 9 9 9 年，k ge r d m a n n 6 对算子序列的 泛性及超循环性的研究做了详尽的归纳，展现了算子超循环性的一系列的结果。 f r 6 c h e t 空间e 上的算子序列 l 。缸称为泛性的，如果存在一向量x e ，使得 f fm=e。众多学者对算子超循环性的不断研究，使得这一理论得到了xn 不断的完善和丰富，并推动了算子超循环理论的进一步延伸，即当超循环算子还 具有一个稠密的周期点集时，它就是混沌的。一般而言，算子超循环性可以看成 是一种拓扑随机性，而混沌算子中的周期点稠密性则可看成是叠加在超循环随机 性上的一种拓扑有序性。 混沌线性算子是算子理论与动力学相结合而产生的一类具有奇特性质的算 子。关于线性算子的这一混沌性理论，g o d e f r o y 和s h a p i r o 5 在1 9 9 1 年是做了开创 性的研究。他们对线性算子具有一些有趣的混沌动力学性质的研究，不仅为算子 理论、解析函数及动力学之间建立了有趣的联系，而且也打破了长期以来众多学 者们认为只有非线性系统才是混沌现象产生的源泉这一观念。当然，线性算子具 有混沌行为是要限制于无穷维空间中的，在有限维空间里没有此现象。在超循环 的研究过程中，学者们还发现，大多数超循环算子是混沌的，即具有拓扑传递性， 周期点稠密性及对初值的敏感依赖性，所以相当一部分的混沌算子可以直接从超 循环算子的研究中获得。但并非所有的超循环算子都是混沌的，如b e r g m a n 空间 1 上的后移位b ( 见【5 】，3 8 节) ，相应于权序数f l ( n ) = _ 时，b 是超循环的， 刀+ 上 然而它却没有稠密的周期点集，因此它不可能是混沌的。而且，k i tc h a r t 及 s h a p i r o 发现b i r k h o f f 最初所研究的超循环平移算子当被限制于一个较小的整函数 h i l b e r t 空间时，也不是混沌的。因此，超循环算子与混沌算子是具有内在的联系， 2 江苏大学硕士学位论文 也有本质上的区别。但是，混沌算子仍然广泛存在于无穷维空间中，不仅f f 6 c h c t 空间上具有混沌多项式，就是b a n a c h 空间上也存在混沌多项式；不仅有界线性算 子可能是混沌的，就是无界算子也可能混沌。 对于混沌线性算子的获取，除通常借助于比较经典的超循环准则外，以算子 的交换法( 即当某个具有混沌行为的算子，能通过某个映射与另一个算子可以形 成交换关系时，则后一个算子也具有混沌性) 来研究也行之有效。另外，f m g i m 6 n e z 及a p e r i s 6 还提出了用张量积方法来研究f r 6 c h e t 空问上张量积算子 序列的混沌性和定义在算子理想、算子代数上的乘法算子的混沌性。这是一种研 究算予混沌性的新方法，为实际问题的研究提供了新途径。 1 2 研究现状 近年来，随着超循环算子理论的发展，混沌算子理论也逐步得到了丰富，同 时众多学者也在不断的探求新的混沌理论。 在微分动力学中，有一个著名的系统，即公理a 系统，这个系统起源于s m a l e 对微分动力系统结构稳定性和q 一稳定性的研究。所谓公理a ，是指紧致光滑 r i e m a n n 流形m 上的一个微分同胚厂满足如下条件：( 1 ) f 的非游荡集q ( ，) 具有双 曲结构，( 2 ) 厂的周期点集在q ( 厂) 中稠密，即p e r ( f ) 一q ( ，) 。这里的双曲结构 是关于一个w h i t n e y 分解及每一点切丛的双曲性质，并且公理a 系统是建立在有限 维紧致r i e m a n n 空间上。由于线性算子的线性性质，其切丛就是它本身，因此， 田、卢 7 在研究线性算子超循环性、混沌性的基础上，再结合微分动力系统中 公理a 系统理论开创性的引出了定义在无穷维可分b a n a c h 空问上非游荡算子这一 新概念。通过研究，这类算子具有混沌性理论，并广泛存在于无穷维物理空间以 及数学空问。在 8 中f r $ c h e t 空间上的非游荡算子理论得到了检验，并给出了非 游荡算子的遗传超循环分解。在 9 中将非游荡算子这一概念推广至半群领域， 并得到了算子半群为非游荡的一个充分条件。他们对非游荡算子性质的研究，为 线性混沌算子的研究提出了新途径。 伪轨跟踪性质是动力系统中的重要概念之一，它与系统的稳定性以及混沌都 有密切的联系( 见【1 0 】【1 1 】【1 2 】【1 3 】【1 4 】【1 5 】) 。为了更方便的研究微分同胚的结构 稳定性，a n o s o v 在【1 6 】中首次在有限维紧的度量空间中提出了伪轨的概念。后 3 江苏大学硕士学位论文 来发现，伪轨不仅与微分同胚的结构稳定性有关而且和a n o s o v 微分同胚的遍历定 理及公理a 微分同胚的无环条件也有着密切的联系( 见 1 0 p 7 1 ) 。因此，伪轨和 伪轨跟踪性质引起了众多学者的关注( 见f 1 8 1 2 2 1 ) 。然而，上述工作仅仅局限 在有限维紧的度量空间中，本文将这一工作发展到无穷维可分b a n a c h 空间上的线 性算子的研究之中。 移位算子作为算子理论中最基本的理论工具，为许多理论问题提出了具体的 例证，因此它被越来越重视，同时也被算子理论学家命名为“最好的试验基地 。 加权移位算子是一般移位算子的非平凡推广，更是丰富了移位算子的理论和应 用。自r o l e w i c z 研究了z 2 ( ) 上的普通后移位与一个模大于l 的标量相乘具有超 循环性后，hs a l a s 2 3 特地研究了加权移位算子，并通过对其权序列的刻画而 获得了它们的超循环性。jb 6 s 2 4 利用权序列刻画了移位算子的遗传超循环性， kge r d m a n n 2 5 对加权移位算子的超循环性及混沌性做了更一般的研究，并引 出了许多相当漂亮的结果，而f m g i m 6 n e z 及a p e r i s 2 6 则研究了一类作用 在经典的序列空间- k 6 t h ee c h e l o n 序列空间名。( a ) ( 其中a 是一个k s t h e 矩阵) 上的移位算子的超循环性和混沌性理论，不同程度的统一了先前关于此方面的工 作，如a - a q aa fsl ( v i ，_ f ) 时，以可看成z p 空间；当口 - a ，时，以( a ) 相当于加权序列空间；当口 j h 时，五，( a ) 为复平面上的整函数空间h ( c ) ；当 a 孽一i 时，兄p ( a ) - a ( a ) 即为g u l i s a s h v i l i 2 乏m a c c l u e r 2 7 ： ：1 9 9 6 年研究的超 循环的快速递减函数f r 6 c h e t 空间。另外，移位算子也是算子扰动性理论研究不 可少的工具。h s a l a s 证明了单边加权后移位经一恒等算子扰动后，可以成为超 循环；j b 6 s 2 8 甚至证明了这样的扰动算子是混沌的。f m g i m 6 n e z 及a p e r i s 2 6 研究了g o d e f r o y s h a p i r o 意义下的广义后移位加上一个恒等算子也是 超循环的，并将hs a l a s 的结果推广至u k s t h e 序列空间，同时给出这些算子的混沌 刻画；他们也发现紧算子被恒等算子扰动后不可能是混沌的。关于算子扰动后的 超循环性研究与存在不变子空间的问题也被联系在一起，f l s a a v e d r a 和a m r o d r ig u e z 2 9 证明了某些算子如果是一小范数的紧算子扰动，则在适当的条 件下有一个超循环不变子空间，这个结果引发了一大批从事不变子空间研究的学 者的兴趣。在这些现有的研究基础上，本文利用移位算子给出了具体的非游荡算 4 江苏大学硕士学位论文 也有本质上的区别。但是，混沌算子仍然广泛存在于无穷维空间中，不仅f f 6 c h c t 空间上具有混沌多项式，就是b a n a c h 空间上也存在混沌多项式；不仅有界线性算 子可能是混沌的，就是无界算子也可能混沌。 对于混沌线性算子的获取，除通常借助于比较经典的超循环准则外，以算子 的交换法( 即当某个具有混沌行为的算子，能通过某个映射与另一个算子可以形 成交换关系时，则后一个算子也具有混沌性) 来研究也行之有效。另外，f m g i m 6 n e z 及a p e r i s 6 还提出了用张量积方法来研究f r 6 c h e t 空问上张量积算子 序列的混沌性和定义在算子理想、算子代数上的乘法算子的混沌性。这是一种研 究算予混沌性的新方法，为实际问题的研究提供了新途径。 1 2 研究现状 近年来，随着超循环算子理论的发展，混沌算子理论也逐步得到了丰富，同 时众多学者也在不断的探求新的混沌理论。 在微分动力学中，有一个著名的系统，即公理a 系统，这个系统起源于s m a l e 对微分动力系统结构稳定性和q 一稳定性的研究。所谓公理a ，是指紧致光滑 r i e m a n n 流形m 上的一个微分同胚厂满足如下条件：( 1 ) f 的非游荡集q ( ，) 具有双 曲结构，( 2 ) 厂的周期点集在q ( 厂) 中稠密，即p e r ( f ) 一q ( ，) 。这里的双曲结构 是关于一个w h i t n e y 分解及每一点切丛的双曲性质，并且公理a 系统是建立在有限 维紧致r i e m a n n 空间上。由于线性算子的线性性质，其切丛就是它本身，因此， 田、卢 7 在研究线性算子超循环性、混沌性的基础上，再结合微分动力系统中 公理a 系统理论开创性的引出了定义在无穷维可分b a n a c h 空问上非游荡算子这一 新概念。通过研究，这类算子具有混沌性理论，并广泛存在于无穷维物理空间以 及数学空问。在 8 中f r $ c h e t 空间上的非游荡算子理论得到了检验，并给出了非 游荡算子的遗传超循环分解。在 9 中将非游荡算子这一概念推广至半群领域， 并得到了算子半群为非游荡的一个充分条件。他们对非游荡算子性质的研究，为 线性混沌算子的研究提出了新途径。 伪轨跟踪性质是动力系统中的重要概念之一，它与系统的稳定性以及混沌都 有密切的联系( 见【1 0 】【1 1 】【1 2 】【1 3 】【1 4 】【1 5 】) 。为了更方便的研究微分同胚的结构 稳定性，a n o s o v 在【1 6 】中首次在有限维紧的度量空间中提出了伪轨的概念。后 3 江苏大学硕士学位论文 本文组织如下：第二章列举了一些基本的概念和记号；第三章以微分动力学 的思想及算子、复合算子的基本理论为工具，在无穷维可分b a n a c h 上引入口一伪 轨和一跟踪的概念，并运用泛函分析的方法证明了在具有无条件基的无穷维可 分b a n a c h 序列空间及具有实际物理背景的空间中口一伪轨的存在性，然后借助 微分动力学思想，运用泛函分析的方法证明了在无穷维可分闭b a n a c h 空间上， 非游荡算子具有伪跪跟踪性质，并应用此性质得到了几个有用的结果。第四章在 非游荡算子的伪轨跟踪性质的基础上，给出非游荡常数的定义，并借助此常数， 对非游荡算子的伪轨跟踪性质作了进一步的研究。第五章在无穷维可分b a n a c h 空间中引入了无环条件和滤子的概念，并给出了具体的满足无环条件的非游荡算 子的例子及具体的非游荡算子的滤子的构造方法，然后证明了非游荡算子在充分 小的扰动下，其非游荡向量流形的结构是不变的，这就是非游荡向量流形的稳定 性定理。第六章利用非游荡算子的伪轨跟踪性质对非游荡向量流形的稳定性定理 作了进一步的说明。 本文通过对无穷维可分b a n a c h 空间上非游荡算子的稳定性的研究，不仅丰 富和发展了关于这一理论的前期工作，也使得该理论体系得到了进一步的完善， 而且为该项研究的后续工作提供了很好的思路与方法。另外，微分动力系统与算 子理论中不断成熟的非游荡算子理论也必将为本文的后续工作提供很大的启发。 6 江苏大学硕士学位论文 第二章基本概念及记号 令伍，1 1 i i ) 为实数域或复数域上的无穷维可分砌加曲空间，令三( x ) 表示z 上 所有有界线性算子的集合。n ，z ，q ，r ，和c 分别表示自然数域，整数域，有理数 域，实数域和复数域。曰) 表示仁) 中的有界线性算子之集。 我们引入下面的记号，对z 孵( y ) = x 石9 矿( y x ) 0 ，7 ，( k = o ，1 ，2 ) 熙旷( j ，一x ) l 卜0 崂( y ) = 悱xm 矿( y x ) 0 0 ，对于v s 0 ，x y ，存在 一点y 属于x 的占邻域，使得 d ( f “( 矽，厂4 ( y ” 仃 ( 2 ) ，具有拓扑传递性，即对于任意的y 的开子集z ，y ，存在k 0 ，满足： 厂伍) n 】，一m 7 江苏大学硕士学位论文 ( 3 ) 厂的周期点在y 中是稠密的。 注如果y 是有限维空间，是混沌映射，那么，一定是非线性映射。当y 是无穷维空间，是混沌映射，那么，可能是线性的也可能是非线性的映射。 定义2 4 假设t 三( x ) ，我们称z 为一线性混沌算子或线性混沌映射，如果 它满足下面两个条件： ( 1 ) t 是拓扑传递的，即z 在x 中有一个稠轨道。 ( 2 ) t 的周期点的集合在z 中是稠密的。 注d e v a n e y 意义下定义的混沌映射还需要另一个条件： ( 3 ) t 对于初始条件有敏感依赖性( 参看 3 4 ) 事实上，条件( 1 ) 和( 2 ) 蕴涵 ( 3 ) ( 参看 3 3 ) 定义2 5 设x 为无穷维可分b a n a c h 空间，t 三似) 。 ( 1 ) 若存在x 的一闭子空间e ，具有双曲结构：e e ”o e 5 ， t e “- e ”，t e 5 e 。( e “，e 8 是闭子空间) 且存在常数f ，c 满足0 c r - k ，v 手酽，k en( 2 1 ) i i t 2 r hg c v k 1 1 7 1 1 ，v ，7 ，k n ( 2 2 ) ( 2 ) p e r ( - t ) 一e ，则称z 是x 中e 上的非游荡算子。称e 为非游荡算子r 的 不变非游荡向量流形，记作e ( t ) 。称工e 为非游荡向量。 注1 ) 如果z 是可逆算予，则式( 2 1 ) 、( 2 2 ) 分别分别等价于 l i t - 孝i = c - h - k ， v 孝e ”，k n ，( 2 3 ) i p 以刁忙c - 1 r 。， c r i m e 8 ，ke n ， ( 2 4 ) 2 ) 若非游荡算子r 是可逆的，则非游荡算子的谱的性质与超循环算子是不 同的，但若z 是不可逆的，则这种情形十分复杂。 3 ) 若z 是e 上的非游荡算子，则由e 的双曲结构我们易得p e r ( t ) c 、e = f 2 j 。 4 ) 因为r 是非游荡算子，在e 中每一点的切丛都是非游荡算子t 自身，因 此非游荡算子是公理a 系统从有限维到无穷维的自然的概括，这种算子是有数学 和物理意义的。 8 江苏大学硕士学位论文 5 ) 若e 是非游荡算子z 的不变非游荡向量流形，则有e 仃) = e 留l z ) 。 定义2 6 令ecx 是一个闭线性子空间，若存在两两互不相交的闭子集 置，疋，e 使得e u 互，并且对任意的非空开集u ，v c e , ，存在n 使得 i - 1 t 4 u f n v 1 2 j ，则称此为r 对e 的谱分解，称置，易，e 为基本集 定义2 7 若z 三伍) ，和，芹为x 中的一组基，若满足死。一e n 一。o o r 一0 ，则称z 为关于，寄的一个单边后移位算子。 定义2 8 设工为b a n a c h 空间，互：x ；一x ，( f = 1 ，2 ) 是两个算子。若存在一 个同胚矿：x 。一x ：，使得伊。互- 疋。伊，则称瓦与l 拓扑共轭。 定义2 9 设伍，i i 1 i 。l p ，| | i l ：) 为b a n a c h 空间，映射，：x 专y 称为是枷曲娩 映射，如果存在口 o 使得对任意的而y x ，有l l 厂g ) 一厂( y 川：s ：l x - y l l , , 成立。 能使上式成立之最小非负实数口称为是厂的l i p s c h i t z 常数，记为三驴驴) 。 定义2 1 0 对于x 上的有界算子半群z ， x的轨道为 o r b ( r ( t ) ，x ) = 丁( f ) x 卜o ) 。如果存在x x 满足帅仃o ) ，功在x 中稠密，我们 就称x 为一相对于z o ) 的超循环矢量。对于t o ) ( x ) ，如果存在z ( t ) 的超循环 矢量，则称r ( f ) 为超循环算子半群。 定义2 n 假设r p ) l ( x ) 为x 上的算子半群，如果 ( 1 ) 存在一闭子空间ec x ，有双曲结构： e e 。o e ，t ( t ) e “- e “，t ( t ) e 8 一e 5 ， e 。，e 8 为闭子空间。 而且存在常r ( o f 0 ，s 使得对于任意的善f ，7 7 e 。， ，0 ， 都有下面不等式成立 冽乏c i t 叫 i ) 刁忙c 2 l ( 2 ) p e r ( t ( t ) ) 在e 中稠密。 那么 瞰) ) 就称为x 中相对于e 的非游荡算子半群。 注上述定义中的半群z o ) p 0 ) 可指强连续( c o ) 半群、c 一半群，甚至是 无界半群。 9 江苏大学硕士学位论文 第三章非游荡算子的伪轨跟踪性质 本部分我们在无穷维可分b a n a c h 上引入口一伪轨和一跟踪的概念，并运用 泛函分析的方法证明了在具有无条件基的无穷维可分b a n a c h 序列空间及具有实 际物理背景的空间中口一伪轨的存在性，然后借助微分动力学思想，运用泛函分 析的方法证明了在无穷维可分闭b a n a c h 空间上，非游荡算子具有伪跪跟踪性质， 并应用此性质得到了几个有用的结果。 3 1非游荡算子的伪轨跟踪性质的定义 定义3 1 落tx 为无穷维可分肋加抽空间，t 三伍) ，存在x 的一闭子空 间e ，r 是e 上的非游荡算子，口为一正实数，a , b 是整数且a b ( a = 硼或 b = 佃的情形也是允许的) ，对e 中的一点列扛，毪。，如果满足 i i 瓯一x m i l 口，v i - 口6 1 ，则称扛，毪。为z 的一个口伪轨。 若满足忙y - x ，8 ，v i = 口6 ，则称口伪轨扛，毪。被从y 点出发的轨道所 跟踪。 如果z 的任意口伪轨都可以被e 中某点出发的轨道跟踪，则称z 有伪轨跟 踪性质。 3 2 b a n a c h 序列空间中非游荡算子的口伪轨的存在性 例3 1 非游荡算子的口伪轨在具有无条件基的无穷维可分b a n a c h 序列空间 中是存在的 证明令x 为无穷维可分b a n a c h 序列空间，矗譬是x 中的一组无条件基， 令z 是一个单边后移位算子( 见定义2 n ) 。由【3 7 】知，当2 见 2 时，灯是 e e 。0 e 5 上的非游荡算子，这时 e “= s p a n y 。 , e 5 = s p a n y o ，其中 y 。；苦。，魄岛) 魄k l y l = = 蟊。，b ，k j ，令黾2 - y o4 - m ) 1 0 江苏大字硕士学位论文 一一 显然k c e ，下面我们证明伽j ；二0c e 是非游荡算子灯的口伪轨。 址- f - i 州il 一翱肿i i 叫| j 有 f l 弛- x j + 。i i - - i i 加z 。( ) ，。+ y ，) 一方“d ( ) ，。+ 乃川 = 护( 2 t y o + 名巩) 一一“饥+ m = 护饥+ 殇y ，) 一一，饥+ 咒硼 = l l 一魄一k + 一t h | i l 。1 l j j j 眈一，k + 一- h0 譬i f y o + 陋一1 s 口 注上述定理中e 。，e “是一维，下面我们给出一个e ，e “都是无穷维的例子 3 3 在具有实际物理背景的系统中非游荡算子的口伪轨的存在性 例3 2 令f = 矽p ( 嘶，佃) ，矽= q ，h 1 2 ( 刀+ 1 ) 7 0 t 在， 中定义j j j j i 如下v 矽= ，1 1 矽1 1 = i h f 2 ( 刀+ 1 ) 7 7 1 1 2 ( ，o ) 由【3 8 】知，f 是 广曲 n - o l n - ol b a n a c h 空间。考虑一个摩擦力很小的弹簧系统，它的运动由以下s c h r o d i n g e r 方 程决定： 访沙一去少”。y ( 3 1 ) 其中z 表示位移，所表示质量，彩= 捱面表示自然频率，波动函数在复 可分h i l b e r t 空间zt ( - ，) 。忽略无量纲的变量，式( 3 1 ) 就变成 沙。一缈+ r y ( 3 2 ) 静态解缈满足方程 t - 矿一一五少 ( 3 3 ) 因而标准正多项式 江苏大学硕士学位论文 玎，2 善丝 、，万2 “以! ( 3 4 ) ( 其中乜( x ) = ( 一1 ) ”e ，( 出”e ，是n - h e r m i t e 多项式) 也满足( 3 3 ) 注意到以( x ) = 2 n i l 一。( x ) ，得到： 眠= 击( x + 丢) = 慨4 f l 了 3 7 我们得到曰是ecf 上的非游荡算子e e 。o e 5 ( 3 5 ) 肚慷纷雏q h i 磊蕊万磊磊习 肚幢 薹( 砉岛) 雨i 磊磊五药石习 为证明方便，我们令z j 善群7 砖，其中鹳是相应于特征值的特征向量， 并且对任意的以，有 薹彰j ) g f j 少 ，。 0 ，则有 i 陋，一h 。0 =文学卜c 掣卜 爿掣卜 n - 0 + 封掣卜 ( n + l f 1 j + 江苏大学硕士学位论文 三 2窆n - o 掣1 i一以! 、7 l 3 4 非游荡算子的伪轨跟踪性质 1 + l 妙0 = 去l 陟0 + i 陟0 一口 定理3 1e 是x 中的闭子空l 司，j f l 是e 上司逆的非游荡算子，则z 具有伪 轨跟踪性质。 为证明需要，我们需要以下的引理 引理3 1 设x 为无穷维可分b a n a c h 空间，e 是x 中的一闭子空间，t 是e 上 的非游荡算子则对慨w ? t y e e ，对于充分小的s 有 i - 1 y - t x l l ， l l y - x l i 对比孵) ，y e ，对于充分小的s 有 l 眇一他忙， l l y - z l l 其中0 0 证明记y - - x 1 彘，y z 一磊 由x 畔0 r 4 彘0 0 ，0 f 1 使得 防4 钏墨c l t k k = 0 , 1 ，2 ( 3 6 ) 由z 联弦量六0 0 ，0 f l 使得 p 七六0 c ：f 2 l 磊i l k = o ，1 ，2 ( 3 7 ) 构造善一彘+ 六因为y ，z ，z e 则显然有善e ，同时由( 3 6 ) ，( 3 7 ) 可得 彘e ”，色e 8 令= m a x 阮，i 阮l i 令c = m a x c 1 ，c ： 则由( 3 6 ) ，( 3 7 ) 可得 陋。钊sc t k k = 0 1 2 江苏大学硕士学位论文 陋六0 s c f 0 鼻j | k = 0 ，1 ，2 由文献 3 7 知，因为t 为e 上的非游荡算子，必要时改赋等价的范数，则对 v x x s + x 。，x 。e 。，x 。e u f i i ( t le 5 肛f l ， 蚓i = | | ( t - l le “) 卜 ， 因此若g 充分小，则存在充分小的0 f 1 ，使得v 彘e e “，六e e 8 有 i t r - 孝i - 1 1 孝1 l ， 归六0 0 磊0 其中0 1 因此有 旷c , - 4 1 s 渺一x ， 渺一瑟忙l y - z 1 1 0 o ，使得i i x l l - a l l x l l 。，则l j i i 与i | i l 等价，从而存在常数g ，巴，使得 c 2 i i x l l - l l x l l c 1 i i x l l 证明由等价模定理和b a n a c h 逆算子定理，易证此结果。 引理3 3 令石为b a n a c h 空间，e 为x 的闭子空间且e e 。( g e ，在e 中 定义一个新模批， 使得对任意的xee ， 工= 孝+ ，7 ， 孝矿，f l e e 。i i x l l o - - m a x w e l l ， ，( 1 | i i ；为x 中的模) ，则i i 1 1 与1 1 l i o 等价，从而存在 常数c 1 ，c 2 ，使得c = l l x l l - i i x l k , - c li i x l l 证明 易证( x ，批) 是b a n a c h 空间，从而对任意的x e 有 = 眵+ 叩| | 0 ，若l l y - z l i 万 占， ) ，z e 则 ( 1 ) 时) n 孵( z ) c e ( 2 ) 孵g ) n 彤) c e 证明( 1 ) 因为y ，zee 则可令y 一氛+ 六 z 巩+ r , 1 4 江苏大学硕士学位论文 其中乞，r 。e e 。缶，r ，e e 。 令x i 考3 + ，l 。茬= l y - z l l 6 8 则有 i t - k g y l l = l l t “瓴- 六i i - c z - k 慨- 色1 1 - - o k 专忡 扩g z 硼= 旷b ，- t 1 c f 慨- 善, 1 1 - + o k 专佃 因此由定义可得x 彤) n 孵( z ) 由x 的构造，则显然有x e 。又因为x 是唯一的，若不然，我们假设存在 x o 彬( y ) n 孵( z ) 令而五+ x 2 ，x i e e , x 2 e e 5 则有 x - x o = ( 仇一而) + ( 磊- x 2 ) ， 其中仇一五e 。，彘- x 2 e e 。 因此由引理3 3 可得 慨- 而i i - o ，对任意的万 o ，都存在相应的五，恐e ，虽然一恐0 s ，现令万2 i 1 ，刀n ，记与它相应的两点为五，e ， 虽然 。 江苏大学硕士学位论文 卜x ：l l o o ) ，因此由( 3 8 ) 可得 愀吱) 一丁( 蕞) 卜 ( 3 9 ) 现令( 3 9 ) 式中k 专o o ，再由t 在e 上是连续的可得： 憋p ( 式) 一丁( 吱) i l = 忙( ! 骢) 一r ( 烛戎) 8 = i i r ( x o ) 一t l l = o s 与g 0 矛盾。 又由t 是线性算子，因此可得z 在e 上是一致有界的。因此存在m 0 使得 忙忙m 。若存在历 o 使得l i n i v 口 则有忙h z 。v 0 = 陋7 0 一v ) i f - i r i l u 眦- v i s m a j ：o ，1 选取适当的口使得讹 等则有防7 跖一z v 0 号 j = 0 ，1 特别的有 t x j - x l + ，卜j 胪矿矿川l i = i 旷1 缸，_ n 】| 导 0 j i n 于是 i p 一x ，1 1 - 1 1 丁粕一z h 为0 + l f “置一z 卜2 工：i i + + i i 巩一。一而0 0 ，存在0 a 0 足孙，使得删，占睁南卜 0 ，若i l y - z l l 万 o ， 使得任何口伪轨 x ，也ce 可以被从x 。出发的轨道所要跟踪，即 | i i i x o - - x i i i 害扣1 ，2 ( 3 1 0 ) 因为r 为e 上的可逆非游荡算子，则有r ( e ) ，t 一1 伍) ，y e 是闭曰口舰幽空 间，因此r ，r 4 在e 上都是一致有界的，我们令陋训sm 。，妒一训m ：，在引理3 5 中，我们取 m = m a x m ，m ：) ，则类似引理3 5