（基础数学专业论文）带多调节参数曲线的研究.pdf

摘要 在样条函数的逼近领域及应用领域中，在原来设计样条函数的基础上做必要的修正 以求达到更好的逼近效果是非常重要的的课题，在这方面已经有很多的方法，而运用调节 参数就是一个主要的方法本文在对【1 5 ，1 6 ，1 7 ，1 8 ，1 9 ，2 0 ，2 1 ，皿2 3 】的工作的充分分析的 基础上，重新给出了两类带多调节参数的参数曲线的构造方法，包括： 1 用变换矩阵给出带多调节参数的b 6 z i e r 曲线扩展，并具体分析了其性质，根据几何 性质将其进行了分类 本文在第二章给出了带两个调节参数的二阶b z i e r 曲线的扩展： c ( 优l ，a 2 , t ) = p o b 3 ( t ) + ( 1 一a ：1 ) 功+ a ：a p l l b 3 ( t ) + ( 1 一化2 ) p 1 + a 2 p 2 b 3 ( t ) + p 2 8 3 ( t ) 在第三章给出了带以个调节参数的以阶雕z i e r 曲线的扩展： c ( 比1 ，优”；f ) = p o b 3 + 1 ( f ) + 【( 1 一t y i ) p i 一1 + 优f 毋】b + 1 ( f ) + r b h n + + 1 l ( f ) 2 运用前面的思路给出带多个调节参数的均匀b 样条曲线的构造方法，并体分析了其 性质 在第四章首先给出了带多个调节参数的三阶b 样条曲线扩展，其表示为： r ( o q ，优竹+ 1 ；“) = v o n o , 3 ( u ) + ( 1 一t z i ) p i 一1 + 比f b 】n 扫( “) + r + 1 n k + 2 ，3 ( “) 其中“ u 0 ，u n + 4 ，优1 ，比疗+ 1 r ， j ，a l 。c “，= 三：萎爹“如“f + 1 ) i n i , k ( u ) = 面u + 一i u i “f - x v t z 名一1 ( “) + 面u + i + + k 1 - 一l - - “f + u1 - m ，z 十- l ，七一1 ( “) i 规定8 = 0 继带多个调节参数的三阶b 样条曲线后，本文在第四章构造了带多个调节参数 的托阶b 样条曲线，其表示为： r ( 比1 ，戊优+ 打一2 ；u ) = v o n o , n ( “) +【( 1 一比i ) p i 一1 + t y i p i n i ，托( “) + p + 打一2 7 石+ 打一1 ，以( “) i ia _ 。c “，= 三：萋菩“f + 1 ) i ( “) = 煮鼍一1 ( “) + 丽u z + k _ i - - u 叫7 k t + 1 川( “) i 规定3 = 0 在本文中给出的这两类曲线引入了多个调节参数，这使得参数成为局部参数，它既能 整体调控曲线的形状，又能局部调控而且有别于其它参数曲线，它是在基函数不变即仍然 使用b 6 z i e r 和b 样条基的前提下，通过通过使用参数调节控制点来调节曲线形状由于函 数基是不变的，因此减弱了对参数的范围限制，使参数的取值有任意性，增加增加了带参数 的曲线的自由度，因此能很好的调节曲线 关键词：调节参数；形状调控；b 6 z i e r 曲线；b 样条曲线 a b s t r a c t i nt h ef i e l do fb s p l i n ef u n c t i o na p p r o x i m a t i o nt h e o r ya n da p p l i c a t i o n ，i no r d e r t oa r r i v i n ga tb e t t e re f f e c t ，m o d u l a t i n gb a s i sf u n c t i o n si sa ni m p o r t a n tw a y ；a n dt h e r e h a v eb e e nm a n ym e t h o d sa b o r tt h a t , u s i n gs h a p em o d i f i c a t i o np a r a m e t e r si so n eo f t h e s e i n t h i s p a p e r ，a t t h e b a s e o f t h e j o b o f 1 5 ，1 6 。1 7 , 1 8 。1 9 。2 0 ，2 1 。2 2 , 2 3 。w e c o n s t r u c t a n dr e s e a r c ht w ok i n d so fc u r v e sw i t hm u l t i p l em o d i f i c a t i o np a r a m e t e r sa r el i s t e da s f o l l o w s ： 1 g i v e na ne x t e n s i o no fb 6 z i e rc u r v ew i t hm u l t i p l em o d i f i c a t i o np a r a m e t e r s ，a n d p r o f o u n d l yr e s e a r c ht h ep r o p e r t i e so fi t f u r t h e rm o r e ，w ec l a s si tw i t hi t sg e o - m e t r i cc h a r a c t e r s i nt h es e c o n dc h a p t e r , w ea r eg i v e nak i n do fa ne x t e n s i o no fo r d e rt w ob 6 z i e r c u r v ew i t ht w om o d i f i c a t i o np a r a m e t e r s ： c ( a l ，戊2 ；f ) = p o b 3 ( t ) + 【( 1 一0 9 1 ) p o + 比i p l b 3 ( t ) + ( 1 一比2 ) p 1 + a 2 p 2 b 3 ( t ) + p 2 8 3 ( t ) i nt h et h i r dc h a p t e r , w ea r eg i v e nak i n do fa ne x t e n s i o no fno r d e rb 6 z i e rc u r v e w i t h 玎m o d i f i c a t i o np a r a m e t e r s ： h c ( a c l ，比n jf ) = p o b 子+ 1 ( f ) + ( 1 一优i ) p i 一1 + 优i p d b i + 1 ( f ) + r b h n + + 1 l ( f ) i = l 2 g i v e na ne x t e n s i o no fu n i f o r m b 。s p l i n ec u r v ew i t hm u l t i p l em o d i f i c a t i o np a r a m e t e r s ，a n dp r o f o u n d l yr e s e a r c ht h ep r o p e r t i e so fi t i nt h ef o r t hc h a p t e r ，w ea r eg i v e nak i n do fa ne x t e n s i o no ft h r e eo r d e rb s p l i n e c u r v ew i t hm u l t i p l em o d i f i c a t i o np a r a m e t e r s ： y + 1 r ( 比1 ，a n + l ；u ) = v o n 0 3 ( u ) + 【( 1 一优i ) p i 一1 + o g i p i n i , 3 ( u ) + r + 1 n k + z 3 ( u ) i = 1 i i i i v 其中u 【u 0 ，u n + 4 ，比1 ，比靠+ 1 0 a f t e rt h ee x t e n s i o no ft h r e eo r d e rb 。s p l i n ec u r v ew i t hm u l t i p l em o d i f i c a t i o n p a r a m e t e r s ，w eg i v e 竹o r d e ru n i f o r mb s p l i n ec u r v ew i t hm u l t i p l em o d i f i c a t i o np a r a m e t e r s ： r ( 戊1 ，优川+ 珂一2 ；u ) = p o n o , 珂( “) + + 只w + 九一2 k + 订一1 ，”( “) m + 竹一2 其中“【u o ，u m + 竹+ 1 】，优1 ，优研+ ，z 一2 r ， i nt h ep a p e rw et a k ed i f f e r e n tv a l u e so fm o d i f i c a t i o np a r a m e t e r sm a k et h ep a - r a m e t e r sb e c o m eo fl o c a lp a r a m e t e r s ，s ow ec a ng l o b a l l yo rl o c a l l ya d j u s tt h ec u r v e s h a p e n o tl i k i n go t h e rk i n d so fp a r a m e t e r sc u r v e s ，t h et w ok i n d so fc u r v e sg i v e ni n t h i sp a p e ra r eg i v e nm o d i f i c a t i o np a r a m e t e r sa tt h eb a s eo fw i t h o u tc h a n g i n gb a s i s f u n c t i o n so ft h eo r i g i n a lb z i e ra n du n i f o r mb - s p l i n eb a s i sf u n c t i o n s ，t h e r e f o r er e d u c i n gl i m i t so fp a r a m e t e r sv a l u e b e c a u s eo fv a l u e so ft h e s ep a r a m e t e r sc a n b e e nc h o s e n a tr a n d o m ，w ec a na d j u s tb 6 z i e rc u r v ew i t hp a r a m e t e r sm u c hm o r el i b e r t y , c a na d j u s t t h es h a p eo fc u r v e se f f e c t i v e l y k e yw o r d s ：m u l t i p l em o d i f i c a t i o np a r a m e t e r s ；a d j u s tt h es h a p e ；b 6 z i e rc u r v e ； b - s p l i n ec u r v e “ 一+ n “一件蒿警 、，、， 一 d d + + +、， 蜥蚴 “ “ 一 g m “ “ j 蚴卜h 嚣 = = m m 归 = 扣 ，iiiiiiijllil-ll “ hm砖q+1一bq 一 1 八 斟 揣 啦 g m l q 当rn h 嚣 似n o 七 = 挣 学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果论文中除特 i i i i i 以标注和致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其 他同志的研究成果对本人的启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确的声明并表示 谢意 学位论文作者签名： 王鼠鼠 学位论文版权使用授权书 e l 期：2 舶罗g 、和 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权 辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用 影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文保密的论文在解密后使用本授权 书 学位论文作者签名：l 闰日 指剥币虢够一 日期：加7 ， 王7 1 引言 函数逼近的一个重要应用是计算机辅助几何设计，简称为c a g d ( c o m p u t e ra i d e d g e o m e t r i cd e s i g n ) ，它是一门年轻而又迅速发展的新兴学科它研究的内容主要分为三部 分：( 1 ) 数字建模，即如何构造、计算几何外形；( 2 ) 形状分析，包括曲面的奇性分析、凸性分 析、基于有限元的曲线曲面工程可用性分析等；( 3 ) 形状修正与变形，即在形状分析的基 础上修改模型，直至满足设计者的意图其中曲线和曲面是c a g d 中的两项重要研究内 容，曲线又是曲面的基础 综观曲线发展史，曲线的形状调整一直是个重要的研究问题有理b 6 z i e r 曲线和有 理b 样条曲线中的权因子调整曲线形状的方法是一个重要的方法，另一种方法是添加形 状参数，以使人机对话，达到调节曲线形状，改变曲线形态的目的文献【1 ，2 】、【3 ，4 ，5 】研 究了带一个形状参数的二次、三次b 6 z i e r 、四次b 6 z i e r 曲线的扩展以及n 阶带形状参数 的b 6 z i e r 曲线的构造方法文献【6 ，7 ，8 】研究了一个或多个形状参数在代数三角b 6 z i e r 曲 线文献【9 ，1 0 ，1 1 1 、【1 2 ，1 3 ，1 4 1 提出了带形状参数的b 样条曲线最近相继提出了带多形 状参数的曲线 1 5 ，1 6 ，1 7 , 1 8 ，1 9 ，2 0 ，2 1 ，2 2 ，2 3 充分分析上述工作可以发现这些方法均 基于b 6 z i e r 曲线( 或b 样条曲线) 升阶的思想，而要达到这个目标控制点的变化是关键的 步骤基于这个想法，我们运用矩阵变换的方法在原来曲线的控制点的基础上，通过加入 调节参数得到高一阶的b 6 z i e r 曲线( 或b 样条曲线) 控制点，且通过对这些控制点中所含 参数进行必要的调整达到设计修正曲线的目的全文共五章 在第二章中，分析讨论了带两个调节参数的二阶b 6 z i e r 曲线的构造，得到 c ( 优1 ，优2 ；f ) = e o b 0 3 ( t ) + ( 1 一i 【1 ) p o + 优i p l b 3 1 ( t ) + ( 1 一优2 ) p 1 + e c 2 p 2 b 3 ( t ) + p 2 8 3 ( t ) ， 并具体研究了其性质及其分类 在第三章中研究了带n 个调节参数的n 阶b 6 z i e r 曲线构造，这种曲线的表达式为： 以 c ( 比1 ，t x n jf ) = p o b 吕) + 1 ( f ) + e ( 1 一戊i ) p i 一1 + 优f b 】b ? + 1 ( f ) + r b 以n + + 1 l ( f ) i = 1 第四章造研究了带多个调节参数的三阶b 样条曲线扩展和带多个调节参数的，z 阶均 匀b 样条曲线扩展，并具体分析了其性质其曲线定义如下： 打+ 1 r ( t l 1 ，o c n + l ；u ) = p o n o z ( u ) + ( 1 一优f ) p f 一1 + 优f 毋】n 扫( “) + r + 1 n 矗+ 2 ，3 ( “) ， i = 1 1 带多调节参数曲线的研究 其中“【u 0 ，u 以+ 4 1 ，i x l ，比珂+ 1 r ， 为带多个调节参数的三阶b 样条曲线的扩展 m + n - 2 r ( a q ，戊小+ 拧一2 , u ) = p o n o , 竹( “) + 【( 1 一优f ) b 一1 + t x i p i n i , 竹( “) i = 1 + e l ，l + 九一2 n , n + 玎一1 ，h ( “) ， 其中“ u 0 ，u m + 订+ 1 】，比1 ，比m + ”一2 r ， 为带多个调节参数的7 1 阶b 样条曲线的扩展 第五章是对全文的一个总结，并对进一步的研究工作做一些分析 一2 一 n 篙 、，d 糟 十 + 阻 “ b旺它 瓠舵钝l 仉型rr | i = = “ 卜 卜划 ，j，l ， 从 “定 m m 规 州m 兰饥 r 、jd 姑 件 + b旺它 觏鸵巩 l m 型rr 嚣 | i i f “ 卜 卜划 瓜 “定 m m 规 2 带两个调节参数的二阶b e z i e r 曲线的扩展 为了更方便灵活地对曲线作调控，韩旭里、刘圣军提出一种带一个形状参数的二 次b 6 z i e r 啦i 线的扩展【1 】刘植则将其推广到带一个形状参数的n 次b 6 z i e r 隘1 线的扩展【2 】严 兰兰，宋来忠提出带两个形状参数的b 4 z i e r 线【2 3 】邬弘毅和夏成林构造出带多个形 状参数的b 6 z i e r 曲线与曲面的扩展【1 6 】多个形状参数的引入既能整体调控曲线与曲 面的形状，又能作局部调控，可以使调节曲线更加灵活这些扩展的共同特点是它们比普 通b 6 z i e r 曲线的次数升高一次，并且都带形状参数，均是在不改变控制点的前提下在基函 数中加入参数，从而更改曲线的基函数达到升阶来提高曲线的自由度，从而调节曲线的形 状 第一章中，我们提到，文献 1 5 ，1 6 ，1 7 , 1 8 ，1 9 ，2 0 , 2 1 ，2 2 ，2 3 提出了多调节参数的曲 线，但是通过分析这些构造方法可以发现，其最终结果是曲线升阶，而升阶后的曲线务必不 再是原来的控制点，这就为我们给出新的构造方法提出了方向本章利用了参数矩阵产生 新的控制点的方法，构造出带有调节参数的b 6 z i e r 曲线 2 1 带两个调节参数的二阶b 6 z i e r 曲线的构造及定义 ( 薹) = ( 1 优11 喜2 昙) ( 芝) ， c 1 ， 3 带多调节参数曲线的研究 将( 2 ) 式展开得 3 c ( 优1 ，戊2 ；f ) = q i b ? ( t ) i = 0 ( b 3 ( t ) b 3 ( t ) b 3 ( t ) b 3 ( t ) ) = 功b g ( t ) + ( 1 一优x ) v o + 比1 p 1 】 比2 ) p 1 + 比2 p 2 s g ( t ) + 恐霹( f ) = p o ( 1 一t ) + 3 ( 1 一a q ) t ( 1 一f ) 2 + p 1 3 c c l ( 1 一t ) + 3 ( 1 一a c 2 ) t t ( 1 一t ) + p 2 1 3 a 2 ( 1 一t ) + t i t 2 注意到当戌1 ，优2 ( o ，1 ) 时令a ：1 = 字，优2 = 学，则 c ( 优1 ，优2 ；f ) = p o ( 1 一f ) 2 ( 1 育优f ) + i p l ( 1 一t ) t 2 + 优( 1 一t ) + t 3 】+ p 2 t 2 ( 1 一3 + f i t ) ， 此时就是文献 2 3 1 所定义的带两个参数的b 6 z i e r 曲线 这种带调节参数的b 6 z i e r 曲线将因参数的变化给曲线带来许多形状上的变化下面 一节中我们将研究参数优1 ，优2 取值对曲线形状的影响，并根据参数的取值情况研究将这类 曲线的分类 2 2 带调节参数的二阶b 6 z i e r 曲线的分类 众所周知，b 6 z i e r 曲线具有鲜明的几何意义那么，经调节参数调节后的b 6 z i e r 曲线 是否仍然保持原来b 6 z i e r 曲线的几何特性，这种曲线又会有哪些新的性质呢? 我们将对这 些问题加以分析讨论 首先，分析调节参数的几何意义 注意到调节参数的作用是基于原来的控制点产生新的控制点，设p 0 ，p 1 ，p 2 r d ( d = 2 ，3 ) 为原二阶b 6 z i e r 曲线p ( f ) = 冬op i b 2 ( t ) 的三个控制点，则新控制点分别为 * 1 则以q o ，q 3 蔓- d 控制点的b z i e r 曲线即为带调节参数的曲线c ( 优1 ，优2 ；f ) 由( 4 ) 式可 一4 一 o 0 眈1 2 此 0 虮 一 0 成 1 0 o 卜 1、f 一 0 0 睨1 2 比 0 明 一 0 ，i 工 带多调节参数曲线的研究 知，当比1 ，比2 1 时， 因此，当优1 ，0 c 2 1 时，有 p o q l优1p 1 q 2戊2 q 1 p 1 l 一比1 q 2 砭 l 一比2 即q 1 分p 0 巧的比为尚；q 2 分p 1 砭的比为1 - - 乙a 。2 ； 当t i ：i = 1 时，p f 与q f 重合，( f = 1 ，2 ) ，如图( 1 ) p o p ， 由以上分析可知 1 ：调节参数的几何意k ( - - 阶) 1 新控制多边形的首末端点q o ，q 3 分别和原控制多边形的首末端点p 0 ，p 2 重合 2 当a ：l ( 0 ，1 ) 时，q 1 在线段p o p l 上；当a ：l ( 1 ，+ o o ) 时，q 1 在p o 巧的延长线上；当a ：1 ( 一o o ，o ) 时，q 1 在p 0 巧的反向延长线上且当比1 越接近1 时q 1 越接近p 1 ，a c l 越接。时q 1 越 接近p o ，当优1 = 1 时q 1 与p 1 重合，优1 = 0 时q 1 与p o 重合 3 同样的，当优2 ( 0 ，1 ) 时，q 2 在线段p 1 p 2 上；当比2 ( 1 ，+ o o ) 时，q 2 在p 1 p 2 的延长线 上；当优2 ( 一o o ，o ) 时，q 2 在p 1 砭的反向延长线上且当a ：2 越接近1 时q 2 越接近p 2 ， 比2 越接0 时q 2 越接近p 1 ，当优2 = 1 时q 2 与p 2 重合，优1 = 0 时q 2 与p 1 重合图( 2 ) 为优1 = 0 ，戊2 = 1 的曲线图( 3 ) 为优1 = 1 ，优2 = 0 的曲线 一5 一 一姚一明一姚一軎： = = 似 此 带多调节参数曲线的研究 2 ：调节参数对曲线形状的影响 3 ：调节参数对曲线形状的影响 由于参数对曲线控制多边形的影响，当参数的取值在不同范围时，曲线会出现不同的 几何特征以下由带两个调节参数的二阶b 6 z i e r 曲线的不同的几何特征将其分类： 1 当q ，a c 2 ( 0 ，1 ) 时，曲线具有凸包性即曲线在p o p l p 2 构成的凸包内，且曲线无拐 点如图( 4 ) 此时若令优1 = 孚，戊2 = ￥，曲线与文献【2 3 】相同，若f t l = 比2 曲线与文 献【1 】给出的曲线一致 特殊的，当优1 = ；，优2 = ；时曲线c ( 戊1 ，戊2 ；t ) 即为控制点为p o ，p 1 ，t 2 的二阶b 6 z i e r 曲 线因为c ( ；，墨；t ) = 路op i b 2 ( t ) 此时c ( 戊1 ，1 1 2 ；f ) 达到了降阶，其性质也与二阶b 6 z i e r 曲 线相同 4 ：调节参数对曲线形状的影响 一6 一 带多调节参数曲线的研究 2 当比1 ，比2g 【0 ，1 】时，曲线不再位于p o p l p 2 的凸包内，此时可分三类： ( 1 ) 当倪1 ( - - 0 0 ，0 ) ；优2 ( 1 ，+ ) 见图( 5 ) 此时曲线完全在p o p l p 2 的凸包外，且没有拐 5 ：调节参数对曲线状的影响 ( 2 ) 当a l 【0 ，1 1 ，优2g o ，1 】或优2 o ，1 】，优1g 【0 ，1 】或c c l ，c c 2 ( 1 ，+ ) 或比1 ，c 2 ( - - 0 0 ，o ) ，曲线不在p o p l p 2 的凸包外，且有一个拐点如图( 6 - 1 1 ) r j ，2 。盯_ 6 ：调节参数对曲线形状 的影响 7 ：调节参数对曲线形状 的影响 一7 8 ：调节参数对曲线形状 的影响 带多调节参数曲线的研究 9 ：调节参数对曲线形状 的影响 1 0 ：调节参数对曲线形状 的影响 1 1 ：调节参数对曲线形状 的影响 ( 3 ) 当优1 ( 1 ，+ ) ；优2 ( 一o o ，0 ) 见图( 1 2 ) 此时曲线不在p o p l p 2 的凸包内，且随 着优1 的增大和比2 的减小曲线依次出现两个拐点、尖点与二重点 1 2 ：调节参数对曲线形状的影响 一8 一 带多调节参数曲线的研究 2 3 带多调节参数的b 6 z i e r 曲线的造型实例 多调节参数的b 6 z i e r 曲线既能整体调控曲线的形状，又能局部调控，能很好的调节曲 线下图( 1 3 ) 为六段三次带调节参数优1 = 0 5 ，比2 = 0 5 ，和0 【1 = 一0 2 ，优2 = 1 2 的b 6 z i e r 曲 线拼接实例 1 3 ：带多调节参数的b 4 z i e r 曲线的造型实例 一9 一 3 带n 个调节参数的n 阶b 6 z i e r 曲线的扩展 在前一章我们已经给出了带两个调节参数的二阶b 6 z i e r 曲线，本章我们将讨论带r i 个调节参数的n 阶b 6 z i e r 曲线 3 1 带n 个调节参数的n 阶b 6 z i e r 曲线的构造及定义 设以+ 1 个点b r d ( f = 0 ，n ；d = 2 ，3 ) 为n 阶b 6 z i e r 曲线p ( f ) = 路o p i ( n ) b n ( t ) 的 以+ 1 个控制点 现将其控制点p o ，p 1 ，p 2 做矩阵变换，令 其中优f r ( i = 1 ，托) ， 即可得到以点q f ，( f = 0 ，托十1 ) 为控制点的一个靠+ 1 阶b 6 z i e r 曲线 n + 1 c ( 优1 ，一，优九；f ) = q i b 3 ( t ) ，t o ，1 】 ( 7 ) i = 0 其中戊f ( f = 1 ，”) r ，b ? + 1 ( f ) = ( 以亨1 ) f ( 1 一f ) 卅1 - i 为，z + 1 次b e r n s t e 价多项 式 注意到此曲线与参数优1 ，戊以相关，故也可以看作是以p o ，r 为控制点以比1 ， 为调节参数的n 阶b 6 z i e r 曲线但其实质上已升阶为真正的行+ 1 1 t j 卜b 6 z i e r 曲线 1 0 带多调节参数曲线的研究 将( 7 ) 式展开得 c ( t t l ，比打；t ) = eq i b 3 ( t ) | 1 00 ：( b 子+ ，( 。) b ：丰 ( 。) ) i1 _ _ 1 l j ：) 1 00 1 一比竹 0 00 = p o b 子+ 1 ( f ) + ( 1 一比i ) v i 一1 + 优i p i b n + 1 ( f ) + r b 行n + + 1 l ( f ) i = 1 = p 0 【c ，o 件1 ( 1 一f ) + c ：+ 1 ( 1 - 一优1 ) f 】( 1 一f ) 以 + n - 1 毋 c ：+ 。优；( 1 一f ) + c 揣( 1 一出；+ ，) f 】( 1 8 冬渤f z 1 + 岛 c 嚣+ 1 0 1 珂( 1 一f ) + c ”n + + 1 l f 】 当优【0 ，1 时与文献【1 6 】定义的带多个调节参数的b 6 z i e r 曲线相同由于式( 7 ) 定义 的曲线参数的取值范围更加广泛，所以曲线的变化更加自由 3 2 调节参数的几何意义 为了由参数对曲线形状的影响将带调节参数的阶b 6 z i e r 曲线分类，下面来分析参数 的几何意义在2 2 节我们已经讨论了带调节参数的二阶曲线调节参数的几何意义，下面讨 论对于n 阶曲线调节参数的几何意义将n 阶带调节参数的b 6 z i e r 曲线c ( 戊1 ，优靠；f ) 的 控制点改写为 iq o = e o lq i = ( 1 一比1 ) p 0 + 比1 p 1 - ( 9 ) i q ”= ( 1 一优n ) 晶一1 + 戊竹r 【q 珂+ 1 = r 则以q o ，q 玎+ 1 为控制点的b 包i e r 曲线即为带调节参数的曲线c ( 优1 ，优玎jf ) 由( 9 ) 式可知，当优f 1 时， b 一1 q f 2 撵 毋一1 解 功日r ，j-。一 、li，、 o 0 1 带多调节参数曲线的研究 因此，当戊f 1 时，有 面p i - l q i = 忐i ， ( 1 0 ) q f p f 上一优 即当比f 1 时，q f 分瓦裔的比为南，当优f = 1 时，毋与q f 重合疋= 1 ，n ) ，如图( 1 4 ) p 1 p o ( 钳 二二二h 、；： _ - - - o - - 一 1 4 ：调节参数的几何意义( n 阶) 3 3 带多调节参数的b 6 z i e r 曲线的性质 性质1 当比f = 等( f = 1 ，栉) 时，c ( a l ，比九；f ) 即为n 次b 6 z i e r 曲线 性质2 与b 6 z i e r 啦t 线相似，式( 7 ) 可表示曲线c ( z z l ，比n - 1 ；t ) 的首末端点及其导矢，其曲 线和多边形p 0 r 的首末边相切，且曲线有几何不变性： 1 式( 7 ) 表示的曲线自点p 0 开始，自点r 结束，即 雠篇 m ， 2 式( 7 ) 表示的曲线和多边形p o r 的首末边相切首末端点切矢的模分别等于 一1 2 带多调节参数曲线的研究 边长的( 栉+ 1 ) 优1 倍和( 以+ 1 ) ( 1 一优以) 倍，即 j ( 优1 ，倪”一1 ；o ) = ，l 优1 ( p 1 一p 0 )( 1 2 ) ic 0 1 ，a n _ l , 1 ) = 以( 1 一比打一1 ) ( r r 一1 ) 卜叫 3 式( 7 ) 为一矢量函数，故曲线c ( 优1 ，比以；f ) 的形状与坐标系的选择无关，即下 面等式成立 c ( 优1 ，优以；t ，p o + r ，r + r ) 三c ( 戊1 ，比玎；t ，p o ，r ) + r c ( 优1 ，比，l ；f ，p o t ，r t ) 三c ( 戊1 ，a c n ；t ，p o ，r ) xt 0 t 1 ，优f ( f = 1 ，托) r ( 1 3 ) 同时式( 7 ) 所定义的曲线控制点自由度的改变，它也有一些和b 6 z i e r 线不同的性质，如 下： 性质3 与b 6 z i e r 曲线不同，当存在优f o q ( i ，j = 1 ，托一1 ) 时，曲线c ( 比1 ，a n _ l ；t ) 不具有对称性当且仅当戊1 = = 优n 一1 时，点p o ，p n 一1 确定的曲线和点r 一1 ，p 0 确 定的曲线相同 性质4 与b 6 z i e r 曲线不同对于多边形p o r ，当存在优fg 0 ，1 】( f = 1 ，以) 时，曲线 c ( 戊1 ，戊”；t ) 不一定位于p 0 r 构成的凸包内当比f o ，1 ( f = 1 ，托) 时，曲 线一定位于p o r 构成的凸包内 3 4 带多调节参数的b 6 z i e r 曲线的拼接 与b 6 z i e r 曲线一样，在设计复杂的自由曲线时，也应用分段技术那么带多调节参数 的b 6 z i e r 曲线在两段拼接时，在连接点处需满足指定的连续性要求 定义3 4 1 给定n + 1 个点弓r d ( d = 2 ，3 ；j = 0 ，( 九) 川；班，以n 木) 和节 点u l 0 ( i = 0 ，n + 3 ) 时，r ( 优1 ，比卅+ 以一2 ；“) 为带多个调节参数的n 阶均匀b 样条曲线否则 r ( a l ，优优+ 珂一2 ；u ) 为带多个调节参数的n 阶非均匀b 样条曲线 4 3 调节参数的几何意义及对曲线形状的影响 4 3 1 调节参数的几何意义 为了明确参数对曲线形状的影响，下面来分析参数的几何意义为此，将n 阶带调节参 数的b 样条曲线r ( 比1 ，t z m + n - 2 ；u ) 的控制点改写为 薹qo三三=po三兰兰二二，pk+珂一3+优埘+玎一2pk+打一2 。2 2 ， 则以q o ，q 行为控制点的n 阶b 样条曲线即为带调节参数的曲线r ( a q ，优m + 以一2 ；“) 由上式( 2 2 ) 可知，当优f 1 时， ， b 一1 q f 优f2 = 三号 p f 一1 迥 一1 9 带多调节参数曲线的研究 因此，当优f 1 时，有 丽p i - 1 q i = 击i ( 2 3 ) q i b l 一优 即当比f 1 时，q f 分巧毫的比为尚，当优f = 1 时，b 与q f 重合，( f = 1 ，托一1 ) ，如 图( 1 5 ) p 3 二二二：i 、1 一 ( q m 1 1 5 ：调节参数的几何意义 4 3 2 调节参数对曲线形状的影响 由调节参数的几何意义可知，当t x i ( i = 1 ，m + 行一2 ) 的值变化时，n 阶带调节参 数的b 样条曲线r ( a 。l ，l z m + n - 2 ；u ) 的控制多边形发生变化，曲线形状也随之发生了变 化调节参数对控制点的影响同( 2 2 ) 节对带多调节参数的b 6 z i e r 线的分析以下以三阶 带多调节参数的均匀b 样条曲线r ( 优1 ，优以+ 1 ；“) 为例来分析调节参数对b 样条曲线形 状的影响 考察r ( 比1 ，优仃+ 1 ；“) 定义在区间u u i ，u i + 1 】上的那段曲线，略去其中基函数取零 值的那些项，则可表示为 一2 0 一 放 + “ 距“ 弓 优+ 一 弓 戊 一 1 3，- = “ 戌 瓠 一 化r 带多调节参数曲线的研究 由上式可知，取定节点向量u ，在“【u i ，“f + 1 】上曲线形状只与5 个定点弓0 = i 一 4 ，f ) 和4 个参数勺= i 一3 ，f ) 有关，这表明调节参数参数比i 最多影响支承区 f f l - u i ，u i + 4 】的曲4 段曲线：r i ，r i + 1 ，r i + 2 ，r i + 3 的形状，下图( 1 6 2 1 ) 考察了固定8 个点 ( 最一4 b + 3 ) 一5 8 7 7 9 9 5 1 0 6 - 9 5 1 0 6 - 5 8 7 7 9 0 0 0 0 05 8 7 7 99 5 1 0 6 9 5 1 0 6 、 一8 0 9 0 2 - 3 0 9 0 2 3 0 9 0 28 0 9 0 2 1 0 0 0 0 0 8 0 9 0 23 0 9 0 2 3 0 9 0 2 ， 调节参数比i 对带调节参数的三阶均匀b 样条曲线曲线形状的影响因为比f 只影响到四段曲 线r i ，r i + l ，r i + 2 ，r i + 3 因此这里只表示出该四段曲线的变化 1 6 ：优f 一3 = 比f 一2 = 优f 一12o c i + 1 = 优f + 2 = o t i + 3 = 0 5 n - ，优f 对曲线 形状的影响 一2 1 1 7 ：t c i 一32 优f 一2 = 戊f 一1 = t y i + l = 优f + 2 = 比f + 3 = 2 时，o t i 对曲线 形状的影响 带多调节参数曲线的研究 1 8 ：优f 一32 优f 一2 = 优f 一1 = 优f + 1 = 优f + 2 = 优f + 3 = - 1 时， 戊f 对曲线形状的影响 1 9 ：优f 一32 优f 一22 优f 一12 比f + 2 = 优f + 3 = 0 5 时，优f = 0 ，优f + 1 = 1 及 优f = 1 ，比f + 1 = 0 曲线形状 2 0 ：a f 一3 = = 优f + 3 = 0 时曲线形状2 1 ：比f 一3 = = 优f + 3 = 1 时曲线形状 n 阶带调节参数的b 样条曲线的支承区间包含行+ 1 个节点区间于是在参数u 轴 上任一点“ u i ，u i + i 处，至多有九+ 1 个非零的n 阶b 样条基n i ，仃( “) ( j = f 一行，f 一以+ 1 ，f ) ，其它n 阶b 样条基在该处均为零因此取定节点向量u ，n 阶带调节参数的b 样条 曲线上定义域内参数为“ u i ，u i + 1 1 的一点r ( “) 至多只与竹+ 2 个定点p i ( j = f 一托一 1 ，i ) 矛n n + 1 个参数优舸= f 一行，f ) 有关，与其它点和参数无关这表明调节参数参 数比f 最多影响支承区间 “f ，u i + 竹+ 1 】的1 1 + 1 段曲线形状，也就是说参数比f 是一个局部参数 一2 2 5 结论 本文构造了一类带多调节参数的b 6 z i e r 曲线和b 样条曲线，并分析了这两种曲线的性 质和对曲线形状的调控作用多个形状参数的引入既能整体调控曲线的形状，又能局部调 控曲线，而且由于没有参数的范围限制，使参数的取值有任意性，增加了带参数的b 样条曲 线自由度，因此能很好的调节曲线本文构造了该类曲线，用类似的方法构造的带多调节 参数的b 6 z i e r i 甘t 曲面和b 样条曲面还有待研究 参考文献 【1 】韩旭里，刘圣军二次b 6 z i e r 曲线的扩展u 】中南工业大学学报( 自然科学版) ，2 0 0 3 ，3 4 ( 0 2 ) ：2 1 4 - 2 5 6 【2 1 刘植b 6 z i e r 曲线的扩展卜台肥工业大学学报( 自然科学版) ，2 0 0 4 ，2 7 ( 0 8 ) ：9 7 6 - 9 7 9 【3 】齐从谦，邬弘毅一类可调控b 6 z i e r 曲线及其逼近性u 】湖南大学学报，1 9 9 6 ，2 3 ( 0 6 ) ：1 5 1 9 1 4 】4 卢跃奇具有可调自由参数的广义b 6 z i e r 曲线i d 】浙江大学，2 0 0 6 【5 】吴晓勤，韩旭里，罗善明四次b 6 z i e r 曲线的两种不同扩展u 】工程图学学报，2 0 0 6 , 2 7 ( 0 5 ) ：5 9 6 4 【6 】谢进，邬弘毅一类带双参数的二次三角b 包i e r 曲线u 】合肥学院学报( 自然科学版) ，2 0 0 6 , 1 6 ( 1 ) ：2 0 2 4 【7 】王刘强，刘旭敏带形状参数的二次1 一脆z i e r