（基础数学专业论文）分形的lipschitz自同构与有向图结构.pdf

中文摘要 摘要 本文由两个部分组成 第一部分( 即第3 ，4 章) 研究自相似集与类m o r a n 集上刃l i p s c h i t z 自映射 的l i p s c h i t z 常数问题 设a 是欧氏空间的紧子集，：a _ 4 是一个映射若 l i p ( f ) = s u pi ，( z ) 一f ( u ) l l = 一y l 。， ，y e a ，霉” 则称，是一个l i p s c h i 乜映射称，是a 上的一个叉l i p s c h i t z同构映射，若，是一个 双射且 b l j f p ( f ) = m 畎 f 印( ，) ，t i p ( f - 1 ) 1 ， 对任意的双l i p s c h i t z 同构，：k k ，都有 b l i p ( f ) = 1 或 b l i p c f ) c o ， 这里常数g o 仅依赖于分形集自身的结构这表明白相似分形和类m o r j 1 1 分形上 双& i p s c h i t z 自同构映射的l i p s c h i t z 常数具有“空隙一性质特别地，对直线上 的自相似集，其上双& i p s c h i t z 自同构映射的l i p s c h i t z 常数的下界，我们可以用一 级基本区间的长度和间隔来刻画对直线上的类m o r a n 集，我们给出了其上的 双l i p s c h i 乜自同构映射的l i p s c h i t z 常数下界的表达式 本文第二部分( 即第5 章) 研究m i 切e y 集与有向图弧的关系我们得到 了h a u s d o r f f 维数大于1 的有向图弧都是w h i t n e y 集该结果拓广了文志英与奚 李峰的工作 关键词：分形；自相似集9 c a n t o r 型集；翔 v l o r a n 集；l i p s c h i t z 自同构；l i p s c h i t z 常 数；有向图弧；珊i 切e ) 嗓 湖北大学博士学位论文 a b s t r a c t t h i sp a p e rc o n t a i n st w op a r t s i nt h ef i r s tp a r to ft h i sp a p e r , w es t u d yl i p s c h i t zc o n s t a n t sf o rb i - l i p s c h i t za u t o m o r p h i s m so fas e r f - s i m i l a rs e to ram o r a n l i k es e t l e tacr nb eac o m p a c ts e ta n df ：a 一4b eam a p p i n g w es a yt h a t f ：a _ a i s l i p s c h i t z i a n , 讧 f 咖( ，) = s u p ( i f ( x ) 一厂( ) l i z 一i ) 1 ，对任意的非等距 双l i p s c h i t z 白同构f ：e e ，其l i p s c h i t z 常数不小于c r ，这里常数c r 可以由7 表 示我们知道，等距的双l i p s c h i t z 自同构的l i p s c h i t z 常数为1 ，我们把分形集任意 的非等距_ 双l i p s c h i t z 自同构映射，其l i p s c h i t z 常数不小于常数c 1 的现象，称之 2 第一章引言 为“空隙性质，这里常数c 1 仅依赖于该分形集 本文的主要内容之一就是研究自相似分形( 压缩比不同) 以及更一般的 类m 0 1 8 2 1 分形上v , l i p s c h i t z 自同构映射的l i p s c h i t z 常数问题我们通过定义一个函 数类，对满足适当条件的自相似分形或麴m o r a n 分形，证明了必存在常数c 1 ，对 其上任意非等距双l i p s c h i t z 自同构映射的l i p s c h i t z 常数不小于c ，这里常数c 仅依 赖于所讨论集合的分形结构特别地，对于平面上三分c a n t o l 集c 的直积c c ， 由于其结构特点，对其上双l i p s c h 沱自同构的l i p s c h i t z 常数，我们能给出一个明确 的估计对直线上的一类自相似集，对其上的v , l i p s c h i t z 自同构映射的l i p s c h i t z 常 数，我们可以用一级基本区间的长度和间隔来刻画对直线上的类m o l a n 集，我们 给出了其上的) d u , i p s c k i t z 自同构映射的l i p s c h i t z 常数下界的表达式( 3 ， 4 ) 如前所述，分形与数学其它分支之间的交叉不断深入，成果倍出，f a l c o n e r 2 5 】中已有许多讨论w h i t n e y l 缶界集现象就是其中一例m o r s e s a r d 定理 1 3 指 出：如果，c 知( ，r - ) ，七m a x ( m 一礼+ 1 ，1 ) ，则俨( ，( b ) ) = 0 ，这里b 是，的 临界集1 9 3 5 年，w h i m e yh 1 4 】发表了著名的例子：一个c 1 类函数，：r 2 一r 在一个临界弧上不恒等于常数在这个例子中，临界集在，下的像包含了一 个l e b e s g u e 测度大于0 的区间这种现象称为w h i m e y 现象它似乎与m o r s e - s a r d 定理矛盾其实这是由于临界弧是一个分形集，并且，具有“较低一 的光滑性一个集4 称为w h i m e y l | 缶界集，如果它) 勋p 的一个连通子集，且存 在r n 上的一个c 1 函数，使得，在a 上的梯度为零，但，限制在a 上不是常值自 从1 9 3 5 年w b l f 奖获得者w h i t n e y 创造了第一个w h i m e y 集以来，在w h i t n e y 集研究 方面取得了很大进展1 9 4 4 年c h o q u e t 指出连续函数夕：r _ r 的图象不是w h i t n e y 集；1 9 5 8 年，s a r d 指出珊i 仞e y 集所对应的临界函数不能具有“较高”的光滑 性；1 9 6 1 年，b e s i c o v i t c h 得到另一个具体的w h i t n e y 集的例子；1 9 8 9 年，n o r t o n 得 到了w h i t n e y 集的一个充分条件；2 0 0 2 年，奚李峰、林勇证明了s i e 甲血k 地毯不 是一个w b i _ t n e ) 葆，但它包含一个与其维数相等的w h i m e ) r 子集，还证明了勋c h 曲 线是一个w h 渤e y 集；2 0 0 3 年，吴敏、奚李峰构造了一个w h i 仞e y 集，它是一条使得 其上不可能有一个非常值的函数沿其单调2 0 0 3 年，文志英、奚李峰 1 】证明了维 数大于l 的自相似弧均是w h i t n e y 集 本文第二部分( 即第5 章) 研究w h i m e y 集与有向图弧的关系我们得到 了h a u s d o m 维数大于i 的有向图弧都是岫蛔e 媒该结果拓广了文志英与奚 李峰 1 的工作 3 湖北大学博士学位论文 1 3 本文的结构 本文的结构安排如下： 在第2 章，我们介绍分形几何的基本概念，包括常用的几种测度和维数。 自相似集，m o r a n 集、有向图集，讹i 佃e 媒等等，此外，还介绍t l i p s c h i t z 等价 与l i p s c h i t z 常数 第3 章在欧氏空间r n 上讨论了自相似集上5 双j , i p s c h i t z 自同构映射 的l i p s e h i t z 常数得到了在自相似集分形上双l i p s e h i t z 自同构映射的l i p s c h i t z 常 数同样具有“空隙”性质 第4 章讨论r 1 上定义的类l m o r a n 集上双l i p s c l l i 亿自同构的l i p s e h i t z 常数得 到了在类m o r a n 分形上双l i p s c l l i t z 自同构映射的l i p s c h i t z 常数同样也具有“空 隙”性质 第5 章讨论了具有有向图结构的弧族与w h i m e y l 陈界集的关系，在相应的有向 图无传递性的条件下，我们得到了h a u s d o r f f 维数大于1 的具有图结构的一族弧都 是w h i t n e y 临界集的结果( 【5 ) 该结果拓广了文志英与奚李峰【1 的工作 4 第二章预备知识 第二章预备知识 本章我们将回顾一些与本论文有关的分形几何的知识第一节我们介绍几种 测度和维数第二节介绍迭代函数系和若干分形集类第三节介绍l i p s c h i t z 等价 和l i p s c h i t z 常数等 2 1 测度和维数 分形几何的主要工具是它的许多形式的维数和测度测度是赋予集合以数值 大小的一种方式；维数量度了一个集合充满空间的程度和不规则程度，它能反映 出集合的复杂性因此测度和维数是分形几何的数学基础所研究的主要内容之 一下面我们首先介绍h a u s d o m 测度和h a u s d o 雠数 设u 为死维欧氏空间r 一中的任何非空子集，c 厂的直径定义为l u i = s u p i x y i ： z ，矽u ) ，即v 内任何两点距离的上确界如果 阢 为至多可数个直径不超 过j 的集构成的覆盖f 的集类，即fcu 罢1 阢，且对每一i ，都有0 0 ，定义 辨( f ) = 时( l 阢i 。： 阢) 为f 的j - 覆盖】， ( 2 1 ) t = 1 令 ( f ) = l 。i r a 辫( f ) o u 我们称魂卯( f ) 为集合f 的8 维h a u s d o r f f 钡 i 度 ( 2 2 ) 可以证明，s 维h a u s 删0 度缈是”上的一个度量外测度且是b o r c l 测度，并 且具有以下性质： 命题2 1 ：( 标度性：) 若fc r ，a 0 ，则 这里a f = ( 蛔：z f 。形5 ( a f ) = ”a 垆( f ) ，( 2 3 ) 5 - 湖北大学博士学位论文 命题2 2 ：设fc ”，：f _ r m 为一映射，使得对常数c 0 和口 0 ，有 则对每一个8 f ( x ) 一，( ) l c l z 一可l 口( z ，y f ) ， ( 2 4 ) 。纩。口( ，( f ) ) = c s q 多纩8 ( f ) ( 2 5 ) 条件( 2 4 ) 称为口阶的h 5 1 d e r 条件特别重要的是口= 1 的情形，即 f ( x ) 一，( 可) i c i z y i ( z ，y f ) ，( 2 6 ) 这里，称为l i p s c h i t z 映射，且有 则有 若，是保距映射，即 a 垆( ，( f ) ) 矿乡纩5 ( f ) ( 2 7 ) i f ( x ) 一，( ) i = i z y l ( 。，y f ) ，( 2 8 ) 澎 ( ，( f ) ) = 洗卯( f ) ( 2 9 ) 现在回到( 2 1 ) 式，对任意集合fc r n ，当6 s ， 且 阢) 为f 的6 覆盖，我们有 i u , i 。扩1 川。 ( 2 1 0 ) 取下确界得，? 绾( f ) 扩- j 钟( f ) 可见对于t 8 ，若乡纱( f ) 0 ，则( f ) = 0 因此，我们有 定义2 2 ：设f 为即中的非空子集，s 为一非负数，令 d i m n f = 时【s ：劈8 ( f ) = o ) = s u p s ：澎8 ( f ) = o o 6 一 第二章预备知识 = 碰 s ：形5 ( f ) o o ) = s u p s ：形8 ( f ) = o 】， 称d i m 耳f 为f 的h 孤s d o r f f 维数 显然 删= 苫蓑釜未 h a l l s d o m 维数的变换性质可以从h a u s d o 坩测度的相应性质得到： 命题2 3 ：若fc r 一，f ：f _ r m 满足h 6 咏件 则 l ，( z ) 一，( y ) isc i z 一可l a ( z ，y f ) ， 岫厂( f ) 三d i m 日只 推论2 1 ( a ) 若f ：f r 一为一l i p s c h i t z 映射，则d i 坦，( f ) d i m h f ( b ) 若，：f - - , r 为- - v , l i p s c h i t z 映射，即 c l i z 一l i y ( x ) 一，( 可) i c 2 i z y l ( x ，3 f ) ，( 2 1 1 ) 这里0 c 1 c 2 0 0 ，, 则d i m a f ( f ) = d i m h f h a u s d o r f f 维数是刻画分形集或研究分形几何的重要数学工具，但确定它往往 是一个比较困难的问题在应用上，人们往往用比较容易计算的b o u l i g a n d 维数 定义2 3 ：设f 为鼯上任意非空子集，( f ) 是直径最大为6 ，可以覆盖f 的集的最 少个数，则f 的下、_ h b o u l i g a n d 维数分别定义为 垴f = 蛾枷可l o g g y ( f ) ， ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 聊 盟嵫 翌一 r 酥 _ 蕊 湖北大学博士学位论文 如果这两个值相等，则称这共同的值为f 的b o i l l i g a n d 维数，记为 出啦f = 魑等 ( 2 1 4 ) b o u l i g a n d 维数的等价定义： 在b o u l i g a n d 维数的定义中，批( f ) 可以是下列五种数中的任意一种： ( 1 ) 覆盖f 的半径为j 的最少闭球数； ( 2 ) 覆盖f 的边长为6 的最少的立方体数； ( 3 ) 与f 相交的6 网立方体的个数； ( 4 ) 覆盖f 的直径最大为占的集的最少个数； ( 5 ) 球心在f 上，半径为6 的相互不交的球的最多个数； 类似地，b o u l i g a n d 维数具有象h a u s d o 姐f 维数在x 2 l i p s c h i t z 和h s l d e r 变换下的 性质 b o u u g a n d 维数与h a u s d o r f f 维数之间的关系 了解b o u l i g a n d 维数与h a u s d o r f f 维数之间的关系是重要的，如果f 能 被蚍( f ) 个直径为6 的集覆盖，则由( 2 1 ) 式 。学( f ) j ( f ) 扩， 如果1 0 ，即 删6 - - m * 0 雩l o 竽z ， 一 一6 所以 d i m h f 出m s f d i m b f 对任意的fc ”成立一般这里不能得到等号，虽然对许多“相当规则”的集， b o u l i g a n d 维数与h a u s d o r 雠数是相等的，比如三分c a n t o r 集，我们有( 1 i 珊f = d i m _ _ b f = 蕊f = d i m bf = l 0 9 2 l 0 9 3 然而，有大量使不等号严格成立的例 子 8 第二章预备知识 2 2 迭代函数系及几类分形集 用迭代函数系( i t 蹦她df u n c t i o ns y s t e m s ，简称口s ) 构造分形集是一种有效 方法，其思想最早由h u t c h i n s o n 6 在1 9 8 1 年的著名论文f r a c t a la n ds e l f 一 m 订0 7 记可中给出的本节先阐述s 及与s 相关的几个基本概念，然后介绍几类 分形集 2 2 1 迭代函数系 定义2 4 ：设d ) 是一个完备的度量空间，设d 是x 的闭子集，定义映射皿：d _ d ，如果存在一个常数p ，0 p 1 ，使对任意的z ，y d ，d ( s ( z ) ，s ( 耖) ) p d ( z ，y ) ， 则称映射霍为d 上的一个压缩映射一族d 上的压缩映射称为迭代函数系 在分形理论中，通常只在n 维欧氏空间础中讨论问题，以后提到的非空集一 般都是指呼的子集 定义2 5 ：设& ，岛，是融上闭子集d l 的迭代函数系，如果非空紧集e 满 足 e = u 罂l 最 ) ， 则称集合e 是迭代函数系( & h g m 的不变集 这样的不变集通常都是分形。用完备空间的不动点定理 7 ，可以证明，迭代 函数系的不变集是存在且惟一的 定理2 1 ：( 8 ) 设a ，岛，鼠是dc 时上的迭代函数系，其中 i & ( z ) 一最 ) i a l z 一可i ，0 店 10 ，掣d ) ， 则 ( 1 ) 存在惟一的不变集e ，满足： e = u 銎1 最( e ) ， 9 湖北大学博士学位论文 ( 2 ) 。e s ：= u 罂l 最，s 七是s 的七次迭代，即对任意紧子集fc 舻， s o ( f ) ：= f ， 如果f 满足最( f ) cf ，则 2 2 - 2 几类分形集 s 七( f ) ：= s ( s 一1 ( f ) ，k 1 m e = n s 七( f ) 七1 1 自相似集、类尘埃集及c a n t o r 型集 自相似集是一类最重要最典型的分形集，m o r a n 【9 首先考虑了自相似集的 结构，第一个系统研究自相似集的是h u t c h i n s o n 6 ，许多分形是由一些与整体以 某种方式相似的部分组成，比如三分c a n t o r 集是与它自身相似的两部分的并； 而v o nk o c h 曲线则是由四个与之相似的部分组成的我们先给出相似压缩映射的 定义 定义2 6 ：设映射s ：时_ p ，如果存在一个正常数p 1 ，使得对任意的z ，y r n l s ( x ) 一s ( 3 ，) i = p l x 一j ， 则称s 是r n 上的相似压缩映射，p 称为相似比 此时s 把集变成几何相似集，这里i i 表示殴氏距离 定义2 7 ：设研，岛，是r n 上一族相似压缩映射，由该迭代函数系产生的不 变集e ，即满足 e = 辽鼠( e ) ， 则e 称为由【& ) 罂，生成的自相似集 由上式可见，不变集e 是由m 个较小的部分拼装而成，且每个小部分都是与 整体局黾相似的，因此我们称e 是一个自相似集象c a n t o r - - - 分集，s i e r p i n s k i 垫片 及硒c h 曲线都是一族自相似映射的吸引子，因此都是典型的自相似集 1 0 第二章预备知识 我们知道，1 9 9 4 年，s c h i e f 1 0 亥z 了开集条件，而。开集条件在分形集的 维数研究中是至关重要的 定义2 8 ：如果存在一个非空的有界开集ucr n ，使得 过岛( cu ，& ( 矿) n 毋( u ) = g ，i 歹 1 = 1 。 则称 & ) 罂。满足开集条件 设最( 1 i m ) 是p 上满足开集条件的一族相似压缩映射，其相似比为风 e 是由( 最) 罂。生成的自相似集，即 e = m 鼠( e ) ， l = l 则有d i m ue = d i m be = 8 其中s 是方程 硝+ 虞+ + 麻= 1 的惟一正解，并且对这个值s ，0 冗8 ( e ) o 。( 11 ， 8 9 定义2 9 ：设e 是由一族压缩映射 & ) 的不变集，如果对所有的i 歹，成立& ( e ) n 毋( e ) = 刀，则称e 为类尘埃集 r 定义2 1 0 ：( 3 ) 设k = 嗵s ( ) 是直线r 1 上的自相似分形，记它的凸包为j ， 尬= 最( k ) 的凸包为五，这里( 也) 墨1 都是闭区间且与k 共左端点、k n 与k 共 右端点如果占n = l z i ，坳g ，我们就称k 为直线上的c a n t o r 型集 2 m o r a n 集与类m o r a n 集 先介绍m o r a n 集的定义( 8 】) 设jc 舻为内点非空的有界闭集【n 七) 七l 为一正整数序列，满足死l i c 2 ， 西= 圣七) 为一列有限正实向量序列，其中 西 = ( c k l ，c j h ) ，0 0 y k = 五： j o d ) e = e ( ，以 n 知) ， 西) 惫) 称为满足( 厂，正 n 知) ， 圣) 惫) 的m o 舳集 如果m o r a n 集e = e ( y ，z 毗) ， 圣) 后) 满足： 设对任意的k 1 ，像1 = = p 概= c k ，亦即第k 阶的压缩比都是，则相应 的m o r a n 集为齐次m o r a n 集 特别地。对一维即n = l 的情形 如果对任意的k 1 ，任意的口d 血及1 j n 知+ 1 ，它的基本区间知+ 1 阶基 本区间厶l ，厶2 ，厶+ ，在厶中自左向右排列，满足 ( i ) 厶。1 的左端点与以左端点重合，厶。n 。+ ，的右端点与以的右端点重合； ( i i ) l 五。1 i = = l 厶虮。+ 。i ( 从而，每个k + 1 阶基本区间的长度为c 1 戗+ 1 ) ； ( i i i ) 相邻的惫+ 1 阶基本区间的间隔相同( 从而间隔为c 1 c k 与擀) 由此得到的m o r a n 集称为齐次均匀c a n t o r 集，记为 c ：= c ( z n 知】- ， c 七) ) - 1 2 第二章预备知识 更一般地，我们有： 假设对每一个七0 ，爿七) 是一族由吐的有限多个闭区间组成的集合我们 称_ 【) ) 函是一个势i o r a n 结构，如果下面的条件( 日1 ) 一( h 4 ) 成立， ( h 1 ) 爿o ) = 【0 ，1 】) ，且厂( k ) 中的闭区间两两不交； ( h 2 ) 对任一j 厂( 七+ ，存在惟一的j 一射，满足ic 以 ( h 3 ) 给定j ) ，至少存在珀勺两个子区间，使得，厂舭+ 1 ； ( 日4 ) 给定i 州m ，0 icu a j 这里a 【o ，6 】= i ，酚 j 爿k + 1 ) j c i 定义2 i i ：( 【4 】) 如果 州詹) ) 是。是一个类m o r a n 结构，那么我们称f = n 七u r 爿 ) i 是一个类m o r a n 集 如果对任意的j 歹( 轴，当j 中含于爿七十1 ) 的子区间长度都相同时，此时 类m o r a n 集成为m o r a n 集，因此类m o r b i i 集是比m o r a n 集更一般的集合 4 自相似弧、拟弧 在本文中，弧表示区间【o ，1 】的同胚像 定义2 1 2 ：( 【1 】) 一条弧7 被称为是一条自相似弧，如果7 是由一族压缩自相似变 换 & h g s m 生成的，并且满足： ( 1 ) 当k 一歹i = 1 时，& ( 7 ) n 岛( 7 ) 为单点集； ( 2 ) 当悼一引 1 时，& ( 7 ) ns j ( 7 ) = 历 图2 1k o c h 曲线：具有4 段的自相似弧 例如k o c h 曲线( 图2 1 ) 就是一条自相似弧 定义2 1 3 ：( 1 2 ) 对于t 1 ，7 被称为t 拟弧，如果存在常数c 0 ，使得对任意 的z ，y ，y ， i ，r ( z ，y ) i 。c i 。一矽i 1 3 湖北大学博士学位论文 图2 2 l z y i 很小，但l ，y ( z ，矽) i 很大 当t = 1 时，一条1 拟弧被称为拟弧这个条件避免了如图2 2 所示的“小口和 大弯”的情形 例如，k o c h 曲线是一条维数为l 0 9 4 l o g3 1 的拟弧 5 w h i t n e y 集 m o r s e - s a r d 定理 1 3 指出：如果f c 七( p ，r n ) ，七m a x ( m n + 1 ，1 ) ， 则咒n ( ，( b ) ) = 0 ，这里b 是，的临界集1 9 3 5 年，w h i m e yh 1 4 发表了著名的例 子：一个c 1 类函数f ：r 2 _ r 在一个临界弧上不恒等于常数在这个例子中， 临界集在，下的像包含了一个l e b e s g u e 测度大于0 的区间证明了f 俨( r 2 ，r ) ， 口= l o g4 l o g3 ( 1 ，2 ) 上述的w h i t n e y 现象看起来似乎与m o r s e - s a m 定理矛盾 其实这是由于临界弧是一个分形集，并且，具有“较低”的光滑性 我们在这里给w h i t n e y 型临界集的定义： 定义2 1 4 ：r n 上的连通集a 被称为是w h i t n e y 型临界集( 或简称w h i t n e y 集) ，如果 存在一个d 1 类函数，：舻_ r 使得，限制在a 上不是常值，且在a 的每一点上， 的所有一阶偏导数为0 注2 1 ：m o r s e - s a r d 定理：如果f c 七( p ，r - ) ，七m 畎( m n + 1 ，1 ) ， 则咒n ( ，( 日) ) = 伊( ，旧) ) = 0 ，这里b 是，的临界集关于m o r s e s a r d 定理，存 在很多版本，详情见文【1 5 ，【1 6 【1 7 和【1 8 中的例子 注2 2 ：w h i m e y 集不可能是光滑的例如，如果1 是一段光滑弧，并且对某 个c 1 函数，：r 2 _ t 有v ，i - r 暑0 ( v ，是表示厂的梯度) ，那么对任意的z ，7 ，( y ) 一， ) = 忙，v ) v 厂1 7 = 0 ，这里7 ( z ，可) 是，y 上介于z 和矽之间的子弧所以， ，1 1 是常数，从而7 不是一伽t 1 1 e y 集 ( 1 ) 下面的两种集合不是w h i t n e y 集： 1 4 第二章预备知识 i ) 如果对于集合a 中任意两点，均有一条正则曲线连接，则集合a 不可能 是w h i m e y 型临界集( w h y b u r a 【19 ) 例如，s i e r p i n s k i 垫不是一个w h i t n e y 集 图2 3 s i e r p i n s k i 垫 哟任何连续函数g ：r r 的像g 不是w h i t n e y 集( c h o q u e t 2 0 9 在1 9 8 9 年，n o r t o n 【1 2 证明了如果，y 是一条满足t 1 的拟弧那么根据n o r t o n 的结 论，k o c h 曲线是一个w b 蛔e y 集 ( 2 ) 在2 0 0 2 年，奚李峰、林勇( 2 1 】) 证明了下面的结论 s i e r p i n s k i 地毯不是一个w h i m 礁，但它包含一个与其维数相等 的w h i t n e y 子集r ，也就是说，d i m r = l o g3 l o g2 在2 0 0 3 年，文志英和奚李峰 1 】1 证明了如果7 是满足d i m h7 1 的一条自相 似弧，那么7 是一个w b i 忸e ) ，集例如，勋c h 曲线是满足条件其维数l 0 9 4 l 0 9 3 1 ， 因此k o c h 曲线是一个w h i t n e y 集 2 0 0 3 年，吴敏、奚李峰【2 2 构造了一个w h i 佃e y 集，它是一条弧，使得其上不 可能有一个非常值的函数沿其单调并在其上的微分为0 ( 3 ) 在2 0 0 3 年，文志英、奚李峰 1 进一步地证明了维数大于1 的自相似弧均 是w h i t n 礁 其他关于w h i t n e y 集的例子，见 2 3 6 有向图集 设v = 1 ，2 ，仇】是“顶点一集，是“有向边扫的集合，它的每条边开 始和结束都在顶点，所以( v ) 构成一个有向图令& 。j 是从顶点i 到歹的边的全 1 5 湖北大学博士学位论文 体若对于每条边e ，都存在相应的相似压缩映射& ：r n r n ，其压缩比 为( 0 ，1 ) 根据文 2 4 第- - - 章知必存在唯一的一族非空紧集r l ，f 2 ，r m ，使 得对每个i ，成立 m r l = uu & ( d ) ( 2 1 5 ) j = 1e 磊j 这里( & ：e ) 被称为( v 占) 上的迭代函数系( 简称球s ) ，而 r l ，r 2 ，r m ) 被称 为该i f s 所对应的有向图集 设( k ) 是有向图令+ 是( v ) 上的允许路径对任意七n ，记长 度为后的起点是i 终点是歹的允许路径的全体令= & 。o & 。0 os e 。 及偕= ，r e 。r 。反复运用( 2 1 5 ) 式，对i = 1 ，m ，我们有 令a ( 。) 是相应的关联矩阵，它的第( i ，歹) 元素为 以兽= 以引 e e 1 j ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 令p ( a ( s ) ) 是a ( 。) 的谱半径我们称( k ) 是传递的，如果对每个t ，j 【u 蝰1 罐l 彩，即( k ) 道路连通 我们将应用来自【2 5 3 的一个相关结果： 设( v ) 是传递的令 k l ，鲍) 是( v ) 上的有向图集，且对于每 个i v ( 1 ) 式是不交并那么存在数s 使得出1 1 1 日k = c l i m b 甄= 占且对于每 个i v0 0 ，使得对任意的z ，e ，成立 c f l i z 一! ，1 1 。i ( z ) 一五( 秒) l c 2 i z 一矽i t 关于双l i p s c h i t z 映射和双l i p s c h i t z 等价的相关研究见f a l c o n e r 和m a r s h ( 1l 】， 2 6 ， 2 7 】， 2 8 ) ，l y a p m ( 2 ) ，奚李峰( 2 9 ) ，c o o p e r ( 3 0 】) 等等 我们知道，e 型f 考e 翟细f 考d i m 点re = d i m 日f ，但是，当两个集 合e 和f 的维数相等时，是否有e 竺f ? f a l c o n e r 和m a r s h 3 1 证明了两个拟自相 似圆，具有相同的h a u s d o r f f 维数当且仅当它们是l i p s c h i t z 等价的但对于两个自 相似集