（基础数学专业论文）李三系的若干结果.pdf

摘要 举二j 系源f 微分几阿中黎曼对秫空阉、全测地乎流形；约当代数和李代数的研究。毽 是，蹦前李代数的研究主要集中在单零三系的研究二，本文从多个方面对李三系进行系统的 讨论。 零文篷叛： 第一节讨论了攀三兰蔡的导子豹性磺，并给出了a 写豹导子鲍县体形式，其中4 是一 个具有单位元的交换结合代数同时，也对李三系的酣同构群进行了讨论 在第二节中考虑了中心为零的牵三系的分艉及熟唯一性问题，诚明了一个中心为零的挛 三系可l 奠分鼹为不分鳃的理想的畿秘，豫了这些蠖惩鲍次彦薅羚，努籍是罐一瓣。这个绩 论包岔了wgl i s t e l 铡瑁标准激入李代数得翻豹半单李三系分解嚎一住定域，而且所 用方法完全不同 j 生第三节中，首先讨论了一种特殊的子系：b o r e l 子系，即极大的可解子系。我们通过 素擐豢的廖定义了据糍b o r e l 子系，舞且涯明了零攀三系鳕任隽麟个b o r e l 予系共辘。在 第二部分，我们营先i 荨翻褥到j 奠下络论：李三系譬酌导子代数中襻在一个极大蒉 ：蓠，记为 r ；幂零李三系童有子定问的分解警；v 4 z ，舅，譬】1 并且y 的蕊是譬的一个极小生成 子系，d i mtsd i mv 有了如上结果，我们很自然称满足d i m t = d i m v 的率三系量 为檄大秩的。在本节照进一步对这种李三系的性爱遵符讨论，筹照饕j 尾k a c m o o d y 弋数 给出7 结梅定理。 在第四节，我们首先考察了李兰累的不变双线性型，证明了对于一个单李三系薯，如 果妒1 和仇为非退化的右不变双线性型，则存在一个非零的系数0 ：，使得妒l = 删妒2 然 后进一步的对李三系的扩张惩疆进掰? 讨论。 最露一节讨论了攀三系的理想酌个数问题。 1 a b s t r a c t i nt h i s p a p e r ，w es t u d yl i et r i p l es y s t e mw h i c hi n i t i a t e d f r o ms y m m e t r i c s p a c ea sa l la l g e b r a i cs y s t e m i ns e c t i o n1 w ew i l ld i s c u s ss o m ep to p e r t ie 、so fd e r i v a t i o n so fl i et r i p l es y s t e m t a l l ( 1g i v et h ed e r i v a t i o n so f 4 圆譬i fai sac o n m m t a t i v ea s s o c i a t i v ea l g e b r a w i t hu n i t 。t h ea u t o m o r p h i s mg r o u p so fl i et r i p l es y s t e m sa l s ow i l tb ec o n c e r n e d i ns e c t i o n2 w ew i l lc o n s i d e rt h ep r o b l e mo ft h eu n i q u e n e s so ft h ed e c o m p o s i t i o no fl i et r i p l es y s t e mw h o s ec e n t e ri s o ) ，w g l i s t e rp r o v e dt h a t a s e m i s i m p l el i et r i p l es y s t e mc a nd e c o m p o s e di n t od i r e c ts u m o fs i m p l el i et r i p l e s y s t e m sw i t ht h et o o lo fs t a u d a r di m b e d d i n gl i ea t g e b r aa n dg a v et h eu n i q u e s s o ft h ed e c o m p o s i t i o n t h ec o n c l u s i o ni nt h i ss e c t i o ni sj u s tg e tf r o ml i et r i p l e s y s t e md i r e c t l y ，a n di n c l u d e st h er e s u l to ft h eu n i q u e s so fs e m i s i m p l el i et r i p l e s y s t e m s i nt h ef i r s t p a r to fs e c t i o n3 ，w ew i l ld e v o t et os t u d y i n gas p e c i a lk i n do f s u b s y s t e m s ：b o r e ls u b s y s t e m s ，t h em a x i m a ls o l v a b l es u b s y s t e mi nal i et r i p l e s y s t e m w ew i l ld e f i n i t es t a n d a r db o r e ls u b s y s t e mf o ras i m p l el i et r i p l es y s t e m b yt h eo r d e r so ft h es y s t e mo fs i m p l er o o t s ，a n dp r o v et h ec o n c l u s i o nt h a t ”a n y t w os t a n d a r db o r e l s u b s y s t e m s o fa s i m p l el i et r i p l es y s t e ma r ec o n j u g a t e ”，w h i c h i s p a r a l l e lt ot h a to fl i ea l g e b r a s i ns e c o n dp a r to ft h i ss e c t i o n ，w ew i l lp r o v e t h a tf o ral i e t r i p l es y s t e m 譬i nt h ed e r i v a t i o na l g e b r ad e r n 2t h e r ee x i s t s a m a x i m a lt o r u sta c t i n go n 互w ew i l la l s os h o wt h a ta n i l p o n e n tl t s 譬h a s ad e c o m p o s i t i o no fs u b s p a c e sa s 鬈= 瑟，鬻，t h a tab a s i so fvi sam i n i m a l s y s t e m o f g e n e r a t o r s o f t ，a n dd i mt d i mv b y t h ea b o v e r e s u l t s ，w en a t u r a l l y c a l lan i l p o t e n tl t 8 譬s a r i s f y i n gd i mt = d i mvt ob eo fm a x i m a lr a n k w e f u r t h e ro b t a i ns o m en i c ep r o p e r t i e sa n das t r u c t u r et h e o r e mf o rn i l p o t e n tl ，t s o fm a x i m a lr a n kf r o mt h em e t h o do fk a c - m o o d y a l g e b r a s 。 i nt h eb e g i n n i n go fs e c t i o n4 ，w ew i l ld e a lw i t hs y m m e t r i cb i l i n e a rf o r m so f l i et r i p l es y s t e m 、a n df i n dt h a tf o ras i m p l el i et r i p l es y s t e m 曩n o tas i m p l el i e a l g e b r a i f 妒ta n d 妒2a r en o n d e g e n e r a t es y m m e t r i cr i g h t i n v a r i a n tf o r m so n 写、 t h e nt h e r ei s8n o n z e r os c a l a r 盘s u c ht h a t l 。8 张，i nt h ef o l l o w i n gp a r t ，w e w i l lc o n s i d e rt h ee x t e n s i o no fl i et r i p l es y s t e m s t h ef i n a ls e c t i o ni 8d e v o t e dt on u m b e ro fi d e a l so fl i et l - i p l es y s t e m s 0i n t r o d u c t i o n 0 1 b a c k g r o u n da n dp r o g r e s s a na b s t r a c tl i et 1 i p h 、s y s t e m 警( 【1 6 j 4 7 ，【3 4 1 ，f 3 5 ) i sav e c t o rs p a c ew i t ha t 。r n a r yp r o d , 1 ( f 【1s a t i s f y i n gt h ec o n d i t i o n s ：va ，b ，z ，”，o 暑， 1 ) k y ，z 】_ 一 y ，：j ；( o 1 ) 2 ) 【x ，y ，z 】+ # ，# ，搿j + 。，。，y l o ；( 0 2 ) 3 j a ，b ，i ，掣，z l 】一【f “，b ，z 3 ，y ，。j + 茹， a ，b ，挈j ，z j + f z ，y ， a ，b ，。j j ，0 3 ) l e tfb ea l la l g e b r a i c a l l yc l o s e df i e l dt h a th a sc h a r a c t e r i s t i cp = 0 ，a n dl e tg b eac o n n e c t e d ，r e d u c t i v ea l g e b r a i c g r o u p o v e rf l e t0 a u t ( g ) b ea ni n v o l u t i o n 。fg ，t h e nt h el i ea l g e b r ag = l i e ( g p o s s e s s e sa d e c o m p o s i t i o ng = 鸯囝p i n t o + l a n d 一1 - e i g n s p a c eo fd i f f e r e n t i a lo f0 ，a n d = l i e ( k ) f o r 矗| = g 8 ，t h eg r o u p o ff i x e dp o i n t so f0 。a l t h o u g hn o ral i e s u b a l g e b r a ，t h e le i g e n s p a c epo f 0 a u t ( g ) d o e sb e a rt h es t r u c t u r eo fal i et r i p l es y s t e m ( f 4 2 】) l i et r i p l es y s t e ma r o s ei n i t i a l l yi nc a 琏a n ss t u d i e so fr i e m a n n i a ng e o m e t r y , i nw h i c hh e e m p o l y e d h i sc l a s s i f i c a t i o no ft h er e a ls i r e p i el i ea l g e b r at o c l a s s i f ya n i m p o r t a n ts u b c o l l e c t i o no fr i e m a n n i a nm a i n f o l d s ，t h es y m m e t r i cs p a c e s u pt oa f a c t o ro fae u c l i d e a ns p a c e ，c a r t a n sc l a s s i f i c a t i o na s s o c i a t e dt oe a c hs y m m e t r i c s p a c em as e m i s i m p l el i eg r o u pgw i t ha ni n v o l u t i v ea u t o m o r p h i s m m o r e p r e c i s e l y , f o rs o m e 辨o m 望r “g k w h e r eki sa c o m p a c ts u b g r o u p o fgd e t e r m i n e db yt h ef i x e dp o i n t so fa ni n v o l u t i o nf r o mgt oi t , l la n dg k p o s s e s s e s 鑫g - i n v a r i a n tr i e m a n n i a ns t r u c t u r e 。b y m e a n so ft h i sa s s o c i a t i o no fl i eg r o u p st os y m m e t r i c s p a c e sa n do fl i ea l g e b r a s t ot h el i eg i o u p s ，c a r t a nw a sa b l e t oc l a s s i f yt h es y m m e t r i cs p a c e s g i v e na r i e m a n n i a ng l o b a l l ys y m m e t r i cs p a c em ，a n o t h e rr e s u l to fc a r t a n sa s s o c i a t i o n s t oe a c ht o t a l l yg e o d e s i cs u b m a n i f o l dso fmal i et r i p l es y s t e mtc g ，w h e r eg i st h el i ea l g e b r ao ft h eg r o u po fi s o m e t r i c so fm ，a n dv i c ev e r s a ，t h et h e o r yo f s y m m e t r i cs p a c e sw a ss u b s e q u e n t l yp l a c e di nam o r ea l g e b r a i c ：s e t t i n gb yt h ef u n d a m e n t a lw o iko fl o o s l i et r i p l es y s t e ma n dt h e i rc o n n e c t i o n sw i t hs y m m e t r i c s p a c e sa n dr e l a t e ds p a c e sc o n t i n u et ob eas o u r c eo fi n t e r e s t ( 隧【2 4 1 ，【3 6 ，f 4 0 ； j a c o b s o nf i r s ti n t r o d u c e dl i et r i p l es y s t e m si nc o n n e c t i o nw i t hp r o b l e m sf r o m j o r d a nt h e ( ) ya n dq u a n t u mm e c h a n i c s ，v i e w i n gl i et r i p l es y s t e m sa ss u b s p a c e s o fl i ea l g e b i | “gw h i c ha r ec l o s e dr e l a t i v et o t e r n a r yp r o d u c t ( a 4 l ，【a s l ) j t l l w e l tk l l o w nf h a ta na s s o c l a i 、l t g ( 、 j a 一ib e c o m e sal i ea g ( 1 r b aw i t h 【“，h 1 。 “0 一hi fi na t ia s s o c i a t i a , l g e b l a lc li i e wc o l n p o s i t i o ni si n t l o d u c e d 露p u t r i n g n 6 = “6 + 6 n ，ab e c m n e sac o m m u t a t i v e ，n o n a a s o c i a t i w 、a l g e b r as u c ht h a t ( “n 6 “) = n n ) ， b a ) s u ( 。l la l g e b r a s a n dt h e i rs u b a l g e b r a sa r es p e c i a l 。1 0 l 、d a n a l g e b r a s a n ys p e c i a l 1 0 t d a na l g e b r a s m a yb et r e a t a sas u b s p a c eo s a t la s s o c i a t i v ea l g e b r ac l o s 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to fw o r k o ni t ，a n dt h es t u d yo fl i et r i p l es y s t e m sh a sm a d e g o o dp r o g r e s sd u r i n gt h el a s t c e n t u r y a sa ni n d e p e n d e n ta l g e b r a i cs y s t e m ，t h e r ea r es t i l lm a n ye l e m e n t a r y p r o b l e m st os o l v e s a m et oo t h e ra l g e b r a s ，t h ep r o b l e mo fc l a s s i f i c a t i o ni sb o t haf n n d a m e n t a l a n da ni m p o r t a n to n e b yn o w ，t h es t u d y , o fi t i sr e s t r i c t e do nt h es i m p l el i e t r i p l es y s t e m s i nf a c t ，s i m p l el i et r i p l es y s t e m so v e rc w e ! e f i r s t l yc l a s s i f i e d b ye 。c a r t a n ：h ec l a s s i f i e d t h es i m p l el i ea l g e b r a so v e rr ，w h i c hi m p l i e da c l a s s i f i c a t i o no ft h el i et r i p l es y s t e m so fc o m p a c tt y p eo v e rra n da l ls i m p l el i e t r i p l es y s t e m so v e rc w i l l i a ng ，l i s t e rd e t e r m i n e da l ls i m p l el i et r i p l es y s t e m s o v e ra na r b i t r a r y a l g e b r a i c a l l yc l o s e d f i e l do fc h a r a c t e r i s t i c 0 ( 4 7 1 ) a n o t h e r m e t h o df o rt h i sc l a s s i f i c a t i o nw a gd i s c o v e r e d b yj o h nr f a u l k n e r ( 【1 2 1 ) ：n 。 h o p k i n sr e c e n t l ys h o w e dh o w t oc o m l e c tt h ec l a s s i f i c a t i o nt ot h ec l a s s i f i c a t i o no f t h ef o r m so ft h ed e r i v a t i o na l g e b r a ( 3 0 ， 3 3 】) t h e r ei sa l o n gw a y f o ru st og i v e f i n dt h ea n s w e rt ot h ec l a s s i f i c a t i o no fs i m p l eo n e so fc h a r a c t e r i s t i c0 t h ef i n i t el i ea l g e b r ao naf i e l do fc h a r a c t e r0h a sal e v id e c o m p o s i t i o n ( 7 1 ， i 1 0 1 ) ，t h a ti st os a y ，i tc a nb ed e c o m p o s e di n t oas u m o fa s e m i s i m p l es u b a l g e b r a a l l ( 1m a x i m a ls o l v a b l e i d e a l l e v i ( 1 ( 、c o m p o s i t i o ni s a ni m p o i t a n tr e s u l ti nt h e s t i u c t u r et h e o r y o fl i ea l g e b r a s t h a n k st ol e v id e c o m p o s i t i o n ，t h es t u d yo fl i e a l g e b r a sc a nb cd i v i d e ( 1i n t ot h es t m i e so ns n c ht h r e eb 矗s i ct y p e sa - st h es e m i s i m p l e ，t h es o l v a b l e ，a n dt h en i l p o t e n t u s i n gt h e1 1 0 1 2 一d e g e n e r a t ek i l l i n gf o r mo f 2 、1 f 1 1 s i m p l el i ea l g e b l a s e n t i s i m p l el i ea l g e l ) i a ( a nb ed e c o m p o s e di n t ( 1a d i r e c t s l l l l o f s i m p l ei d e a l s 、v g l i s tg a v et h es t t i i c t u l et h e o t yo f l i et r i p l es y s t m l i so f ca r a e t e r i s d e0a sa p a r to fh i st h e s i sf o rp h d 。f 4 r l ，珏ed e v e l o p e dn o t i o n so f h ey f t d i c a l ，s e m i s i m p l 舡s i m p l i e i t y , a n ds o l v a l ) i l i t ya sd e f i n e df o rl i et r i p l es y s t e m s 1 c h i d i n gp r o o f so ft h ee x i s t e n c eo fas e m i s i m p l es u b s y s t e mc o m p l e m e n t a r yt o t h e r a d i a l ，w h i c hi s 孔l s oc a l l e dl e v id e c o n l i ) os i t i o n ，a n do ft h ed e c u 儿1 1 ) o s i t i t ) l l o fas e m i s i m p l es y s t e mi n t ot h ed i r e c ts u n l 。fs i m p l ei d e a l s n o r ac ，h o p k i n i n t r o d u c e dt h ec o n c e p t so fn i l p o t e n ti d e a la n dn i l r a d i c a lo fl i et r i p l es y s t e m s ， s h es u c c e s s f u l l yg e n e ia l i z e de n g e l st h e o r e mt ol i et r i p l es y s t e m si nc h a r a c t e r i s t i c z e r o ( 【2 9 ) t h e nt h es t u d yo fl i et r i p l es y s t e mc a nb ed i v i d e di n t ot h r e eb a s i c t y p e ss i m i l a rt ol i ea l g e b r a s ：t h es i m p l e ，t h es o l v a b l e ，t h en i l p o t e n t i ti sw e l lk n o w nt h a t t h es e to fi n v e r s a b t el i n e a rt r a n s f o r m a t i o n so fav e c t o r s p a c ec o n s t r u c tag r o u p ，a n df r o mt h es e to fa l lt h el i n e a rt r a n s f o r m a t i o n s ，w ec a l l g e ta s s o c i a t i v ea l g e b r a ，l i ea l g e b r a ，j o r d a na l g e b r a ，a n ds o0 n t h eh o m o m o r p h i s m so fa b s t r a c tg r o u p s ( a s s o c i a t i v ea l g e b r a s ，l i ea l g e b r a s ，j o r d 鑫na l g e b r a s ) t ot h eg r o u p s ( a s s o c i a t i v ea l g e b r a s ，l i ea l g e b r a s ，j o r d a na l g e b r a s ) c o n s i s to f l i n e a rt r a n s f o r m a t i o n sa r ec a l l e dt h er e p r e s e n t a t i o n so ft h e s ea l g e b r a i cs y s t e m s a ss a m et ot h ef a c t ，t h es e to fa l ll i n e a rt r a n s f o r m a t i o n sc a nc o n s t r u c tal i et r i p l e s y s t e mw h i c h i sac a l l e dl i n e a rl i e t r i p l es y s t e m ，a n d ah o m o m o r p h i s mo fa b s t r a c t l i et r i p l es y s t e mt ot h el i n e a rl i et r i p l es y s t e mi sc a l l e d8 r e p r e s e n t a t i o no ft h e a b s t r a c tl i et r i p l es y s t e m ( 4 7 1 ) s i n c eal i et r i p l es y s t e mc a r lb ei m b e d d e di n t o l i ea l g e b r a s ，w ec a nu s e dt h er e p r e s e n t a t i o nt h e o r yo fl i ea l g e b r a si nt h es t u d y o ft h er e p r e s e n t a t i o n so fl i et r i p l es y s t e m s 。 f r o m 氇r i e m a n n i a ns y m m e t r i cs p a c emw ec a ng e tal i et r i p i es y s t e mt ， t h es u b s y s t e m so fw h i c hh a sac o r r e 8 p o n d e n c et ot h et o t a l l yg e o d e s i cs u b m a n i f o l d s s t u d yo nt o t a l l yg e o d e s i cs u b m a n i f o l d so fr i e m a n n i a ns y m m e t r i cs p a c e s i sa ni m p o r t a n tp a r to fg e o m e t r y , t h er e s u l t so ft h i sr e s p e c t sn a t u r a l l yc a nb e t r a n s f o r m e dt ot h o s eo fm a x i m a l s u b s y s t e m so ft ，a n dt h e s er e s u l t sa r er e s o u r c e a n dm o t i v eo fs t u d yo nm a x i m a ls u b s y s t 皇m so fg e n e r a ll i et r i p l es y s t e m s i n l i ea l g e b r a ，t h eb o r e ls u b a l g e b r a s ( m a x i m a ls o l v a b l es u b a l g e b r a s ) w h i c hh a v e i n t i m a t ec o n n e c t i o nt og e o m e t r y t h em a x i m a ls o l v a b l es u b s y s t e m so fl i et r i p l e s y s t e m sa r ea l s oi n t e r e s t i n go b j e c t s ，t h es t u d y o i lw h i c hi sj u s ta tt h eb e g i n n i n g b e f o r e1 9 6 0 s ，t h em a i nf o c u so ft h es t u d yo fl i ea l g e b r a sw a sf i n i t el i ea l g e b r a s ，e s p e c i a l l yf i n i t es e m i s i m p l el i ea l g e b r a s s i n c e1 9 7 0 s ，ak i n do fi n f i n i t e l i ea l g e b r aw h i c hi sc a l l e dk a c - m o o d ya l g e b r aa d v a n c e dr a p i d l y ( 【4 4 ) 。a n di n 3 r h es t u d yo fk a c m o o l 、a l g e b l 。a ，a f f i n ea l g e l nr lh a sb e e np a i dc l o s t 、a t t e n t i o n f ( ) a na f f i n ea l g e b r ai sm a i n l yc o u s t i u c t e db yaf i n i t es i m p l el i ea l g e b t aa l l d a i 。a l l r e n tp o l y n o m i a la l g e t ) taw h i c hi si n f i n i t e i f t h el a u r e n tp o l y n o m i a ia l g e b r a i hi ns e v e r n li n d e t e r n l i n a t e s t h ea 币n ea l g e b r aw i l lb eat o r o d i a la l g e l n n w h e n g e n e i a l i z i n gs u c hi d e a l sa n dm e t h o d s t ol i et r i p l es y s t e m ，w ea l s oc a ng i ti n f i n i t e l i e t l i p l es y s t e l n s t h u s t h ei _ e s e a l c ho ni u f i u i t el i e t l i p l es y s t e m sh a sg r e a t p o t e n t i a l i t i e s al i ea l g e b r a ( r e s p s u p e r l i ea l g e b r a ) o v e raf i e l do fc h a r a c t e rp 0i s c a l l e d v l o d u l e l i ea l g e l na ( r e s p m o d u l e s u p e r l i ea l g e b r a ) t h ea p p e a r a n c e o fm o d u l e - l i ea l g e b r a sa n dm o d u l e - s u p e rl i ea l g e b r a si so n eo fs y m b o l sw h a t p r o v et h a tt h et h e o r yo fl i ea l g e b r a si si n d e p e n d e n tt ot h eo n eo fl i eg r o u p s a s s a m et ol i ea l g e b r a s ，a l t h o u g ht h ea p p e a r a n c eo fl i et r i p l es y s t e m sh a si n t i m a t e c o n n e c t i o nt os y m m e t l i cs p a c e sa n dl i eg r o u p s ，t h et h e o r yo fl i et r i p l es y s t e m s i si n d e p e n d e n ti nas e n s e r e s t r i c t e dl i et r i p l es y s t e m s ，t h el i et r i p l es y s t e m so f c h a r a c t e rp 0 ，a r eg o o de x a m p l e st os h o wt h ei n d e p e n d e n c e t e r r e l ll h o d g e d e f i n e dar e s t r i c t e ds t r u c t u r ef o rl i et r i p l es y s t e m si nt h ec h a r a c t e r i s t i cp 2 s e t t i n g ，a k i nt ot h er e s t r i c t e ds t r u c t u r ef o rl i ea l g e b r a s ，a n di n i t i a t eas t u d yo f t h e o r yo fr e s t r i c t e dm o d u l e s ( 4 2 1 ) n o w ，r e s t r i c t e dl i et r i p l es y s t