（基础数学专业论文）某些子群可补或c可补的有限群.pdf

摘要 在有限群论中，利用子群的可补性质或c _ 可补性质来研究有限群的结构是人 们十分感兴趣的课题这一方面人们已经做了很多的工作，如h a l l 给出了所有子 群都可补的有限群的结构刻画；b a l l e s t e r - b o l i n c h e s ，王燕鸣和郭秀云给出了所有子 群都c - 可补的有限群的结构等在许多学者研究的基础上，我们将继续研究有限群 的某些子群可补或c - 可补的有限群的结构，获得一些新的研究成果特别，我们获 得了有限群g 的导群g 7 的每一极小子群在g 中可补的充要条件和p 幂零群的 一些充分条件 首先我们利用某些素数幂阶子群的可补性质给出了有限群为p 幂零群的一些 充分条件和有限群g 的导群g 7 的每一极小子群在g 中可补的充要条件例如我 们证明了： a ) 设p 是有限群g 的阶的一个素因子且“gj ，p 一1 ) = 1 如果p 是g 的 s y l o wp - 子群且p ng 7 的每一极小子群在g ( p ) 中可补，则尸交换且g 是矿幂 零的，这里g 7 为g 的导群 b ) 有限群g 的导群g 7 的每一极小子群在g 中可补当且仅当对g 的任一 s y l o w 子群p ，都有png 7 的每一极小子群在n a ( p ) 中可补 其次通过对某些子群的c - 可补性质进行研究，我们也得到了有限群为矿幂零 群的一些充分条件： c ) 有限群g 与a 4 无关，p 为g 的阶的最小素因子若g 存在某个s y l o wp - 子群尸使得其每个p 2 阶子群在g 中c - 可补，则g 为p 幂零的 d ) 设有限群g 与a 4 无关，p 为g 的阶的最小素因子且( i g l ，p 2 + p + 1 ) = 1 若g 存在某个s y l o wp - 子群p 使得其每个3 一极小子群在g 中c - 可补，则g 为 矿幂零的 以上的结论推广了很多已知的相关结果同时我们也考虑了s y l o w 子群的3 - 极小子群和3 一极大子群的可补性质，也得到了一些新的结果 关键词：可补子群，极小子群，3 一极小子群，矿幂零群，超可解群 a b s tr a c t i ti so fi n t e r e s tt ou s es o m es u b g r o u p sw i t hc o m p l e m e n t a r yo rc - s u p p l e m e n t e d p r o p e r t yo fa f i n i t eg r o u pgt od e t e r m i n et h es t r u c t u r eo ft h eg r o u p i np a r t i c u l a r ， h a l lf i r s t l yi n v e s t i g a t e dt h ef i n i t eg r o u p si nw h i c ha l ls u b g r o u p sa r ec o m p l e m e n t e d f u r t h e r m o r eb a l l e s t e r - b o l i n c h e sa ，y a n m i n gw a n ga n dx i u y u ng u os t u d i e dt h e f i n i t eg r o u p si nw h i c ha l ls u b g r o u p sa r ec - s u p p l e m e n t e d i nt h i st h e s i s ，w ew i l l c o n t i n u et oi n v e s t i g a t et h es t r u c t u r eo faf i n i t eg r o u pi fs o m es u b g r o u p sa r ec o m p l e - m e n t e do rc - s u p p l e m e n t e di nt h eg r o u pa n ds o m ei n t e r e s t i n gr e s u l t sa r eo b t a i n e d i ns p e c i a l ，w eo b t a i ns o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o raf i n i t eg r o u pt ob ep - n i l p o t e n t a n da n e c e s s a r ya n da s u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o re v e r ym i n i m a ls u b g r o u po ft h ed e r i v e d g r o u po faf i n i t eg r o u pt ob ec o m p l e m e n t e d f i r s to fa l l ，w eg i v es o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rp - n i l p o t e n tg r o u p sb yc o m p l e m e n t a r yp r o p e r t i e so fs u b g r o u p sw i t hp r i m ep o w e ro r d e r ，a n dan e c e s s a r ya n d as u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o re v e r ym i n i m a ls u b g r o u po ft h ed e r i v e dg r o u po faf i n i t e g r o u pt ob ec o m p l e m e n t e d f o re x a m p l e ，w eh a v ep r o v e d ： a 1l e tgb eaf i n i t eg r o u pa n dl e t 尸b eas y l o wp - s u b g r o u po fgw h e r epi st h e p r i m ed i v i s o ro fi g ia n d ( 1 a l ，p 一1 ) = 1 s u p p o s et h a te v e r ym i n i m a ls u b g r o u po f png 7i sc o m p l e m e n t e di nn c ( p ) t h e ngi sp - n i l p o t e n t b 1l e tgb eaf i n i t eg r o u pa n dpa s y l o wp - s u b g r o u po fg t h e ne v e r ym i n i m a l s u b g r o u po fg 。i sc o m p l e m e n t e di ng i fa n do n l yi fe v e r ym i n i m a ls u b g r o u po fpn g f i sc o m p l e m e n t e di n g ( p ) s e c o n d l y , w eh a v eo b t a i n e ds o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rp - n i l p o t e n tg r o u p sb y i n v e s t i g a t i n gs o m ec - s u p p l e m e n t e ds u b g r o u p s f o re x a m p l e ： c ) l e tg b eaf i n i t eg r o u pa n dl e tpb eas y l o wp - s u b g r o u po fgw h e r epi s t h es m a l l e s tp r i m ed i v i s o ro fa 1 i fg i sa 4 一f r e e ，a n de v e r ys u b g r o u pw i t hp 2p o w e r o r d e ro fpi sc - s u p p l e m e n t e di ng ，t h e ngi sp - n i l p o t e n t i i i d ) l e tg b eaf i n i t eg r o u pa n dl e tpb eas y l o wp - s u b g r o u po fgw h e r epi st h e s m a l l e s tp r i m ed i v i s o ro fi g is u c ht h a t ( 1 g l ，p 2 + p + 1 ) = 1 i fgi sa 4 一f r e e ，a n d e v e r y3 - m i n i m a ls u b g r o u po fp i sc - s u p p l e m e n t e di ng ，t h e ngi sp - n i l p o t e n t o u rr e s u l t sg e n e r a l i z em a n yk n o w nr e s u l t s w ea l s oi n v e s t i g a t et h ei n f l u e n c eo f 3 一m i n i m a ls u b g r o u p so r3 一m a x i m a ls u b g r o u p so fa s y l o ws u b g r o u po nt h es t r u c t u r e o ft h ef i n i t eg r o u pa n ds o m en e wr e s u l t sa r eo b t a i n e d k e y w o r d s ：c o m p l e m e n t e ds u b g r o u p s ，m i n i m a ls u b g r o u p s ，t h e3 一m i n i m a ls u b - g r o u p s ，p - n i l p o t e n tg r o u p s ，s u p e r s o l v a b l eg r o u p s i v 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了文中特别 加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写过的研究成果参与 同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 了谢意 繇计砑嗍哆厶j 7 y 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留论 文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 貅中和签毯功 日期汐由7 f 。7 f 7 第一章引言 有限群是代数学中最基本也是最重要的概念之一，它不仅在数学的许多分支 有着广泛应用，而且现代工程技术领域，有限群的理论与方法也有很多应用 随着二十世纪八十年代有限单群分类定理的完成，有限可解群的研究有了很 大发展群类理论的迅速兴起开拓了可解群研究的领域，同时也为有限群的发展提 供了新的研究方法 在有限群的研究中，利用子群的性质来研究有限群的结构是有限群论中一直 非常活跃的研究领域，而子群的可补性又扮演着重要的角色，许多重要的结果都与 子群的可补性紧密相连例如： 定理1 0 1 【4 1 ：有限群g 是可补群的充要条件是g 是超可解群且每个s y l o w 予群都是初等交换群， 定理1 o 2 【4 】：有限群g 是可解群的充要条件是g 每个s y l o w 一子群都是g 的可补子群 之后，人们看到子群的可补性对群的结构的影响很大，所以有许多学者试图通 过减少可补子群的数量来刻画群的结构a r a d 和w a r d 在1 9 8 2 年证明了； 定理1 o 3 【5 】：有限群g 是可解群的充要条件是g 的所有的s y l o w2 一子群 和s y l o w3 一子群在g 中是可补的 在1 9 9 9 年b a l l e s t e r b o l i n c h e s 和郭秀云证明了： 定理1 0 4 【2 】：有限群g 是可补群的充要条件是g 的每个极小子群都在g 中可补 这个定理说明了“可补”的概念是很强的，因此他们通过s y l o w - 子群的极大 子群可补来刻画有限群的结构； 1 2 0 0 9 上海大学硕士学位论文 2 定理1 0 5 2 】：设g 是有限群若g 的每个s y l o w 一子群的极大子群都在g 中可补，则g 是超可解的 由上述的几个定理我们可以看出，某些特殊子群可补对大群有非常大的影响 因此很多学者就试图通过利用各种特殊可补子群和让某些子群在大群的某个特殊 子群里可补的条件，研究有限群的结构，得到了许多的事实： 定理1 o 6 【1 7 ：设g 是有限可解群且n 是g 的正规子群使得g n 是超 可解的如果f ( ) 的每个极小子群都在g 中可补，则g 是超可解的，其中f ( ) 是的f i t t i n g 子群 前面的所有研究都是关于群的“可解性”和“超可解性”的，下面这个定理是 研究群的p 幂零性： 定理1 o 7 1 】：设p 是有限群g 的阶的最小素因子如果尸是g 的s y l o w p 一子群且尸ng 7 的每一极小子群在g ( 尸) 中可补，则g 是p 一幂零的，这里g 7 为g 的导群 人们通常利用群的“极小子群”和“极大子群”可补来研究有限群的结构我 们希望利用介于“极小子群”和“极大子群”之间的子群可补来研究有限群的结 构，同时我们利用了某些特殊的极小子群在大群的某个特殊子群里可补来研究有 限群的结构，得到了下面的结论： 定理1 o 8 设p 是有限群g 的阶的一个素因子且( i g l ，p 一1 ) = 1 如果p 是 g 的s y l o w p 一子群且p n g 的每一极小子群在n c ( p ) 中可补，则p 交换且g 是 p 幂零的，这里g 7 为g 的导群 定理1 0 9 设有限群g 与a 4 无关，p 为g 的阶的最小素因子若g 存在某 个s y l o wp - 子群p 使得其每个矿阶子群在g 中可补，则g 为p 一幂零的 2 0 0 9 上海大学硕士学位论文 3 定理1 o 1 0 设有限群g 与a 4 无关，p 为g 的阶的最小素因子且“g l ，p 2 + p + 1 ) = 1 若g 存在某个s y l o wp 一子群p 使得其每个3 一极大子群在g 中可补， i l , jg 为p 一幂零的 有限群g 的子群日称为g 的一个c - 正规子群，如果存在g 的一个正规子 群k ，使得g = 日k ，且何nk c o r e a ( h ) 显然c 正规是正规的一个推广王 燕呜用s y l o w - 子群的极大子群的c - 正规性质，给出了下面的这个结论： 定理1 o 1 1 1 2 】：设g 是有限群若g 的每个s y l o w 一子群的极大子群都在 g 中c 正规，则g 是超可解的 王燕鸣也利用极小子群的c - 正规性质，得到了下面这个结果： 定理1 0 1 2 【1 2 】：设有限群g 是奇阶群如果g 的所有极小子群都在g 中 c 正规，则g 超可解 其实上述定理的证明过程中很大程度的依赖于考虑每个s y l o w 子群或正规或 循环显然定理的条件很强，之后w a l l 给出了所有s y l o w - 子群的极大子群都c 正 规的有限群的一个完全分类 b a l l e s t e r b o l i n c h e sa ，王燕鸣和郭秀云于2 0 0 0 年在文 1 8 】中提出了c _ 可补的 概念；有限群g 的子群日称为g 的c - 可补子群，若存在子群k 使得g = 日k ， 且日nk c o r e a ( h ) 作为c - 可补的应用，王燕鸣证明了： 定理1 o 1 3 【1 4 】：设g 是有限群若g 的每个s y l o w 一子群的极大子群都在 g 中c 可补，则g 是超可解的 上面的这个定理显示出某些极小子群c - 可补，对有限群结构的影响很大又 因为c - 可补这个概念既是c - 正规的推广，同时也是可补的推广因此，它是一个极 其广泛的一个概念所以许多学者将c - 正规和可补的一些结果用c - 可补来推广， 得到了丰富的结果： 2 0 0 9 上海大学硕士学位论文 4 定理1 o 1 4 【1 4 】：有限群g 是可解群的充要条件是g 的每个s y l o w 子群都 在g 中c 一可补 定理1 o 1 5 1 4 】：设g 是有限群且n 是g 的正规子群使得g i n 是超可解 的如果的每个s y l o w 一子群的极大子群都在g 中c 一可补则g 是超可解的 b a l l e s t e r b o l i n c h e sa ，王燕鸣和郭秀云于2 0 0 0 年证明了关于c 可补群的一个 充分必要条件： 定理1 o 1 6 1 9 】：有限群g 是c 可补的充分必要条件是g 圣( g ) 是可补的 且虫( g ) 的所有子群均在g 中正规 而郭秀云教授综合考虑了某些极小子群或者是正规或者是可补的情形，得到 了下面的结论： 定理1 o 1 7 【7 】：设p 是有限群g 的阶的最小素因子且p 是g 的s y l o wp 子群如果尸ng 的每一极小子群在g 中c 可补，且当p = 2 时，或者png 的每一4 阶循环子群在g 中c 可补或者尸与四元素群无关，则g 是p 一幂零的， 这里g 是g 的幂零剩余 定理1 0 1 8 7 ：设有限群g 是与& 无关的群，p 是g 的阶的最小素因子 且p 是g 的s y l o wp 一子群如果png 的每一极小子群在n g ( p ) 中c 可补， 且当p = 2 时，尸与四元素群无关，则g 是p 一幂零的，这里g 是g 的幂零剩余 从上面的这些定理我们知道，人们通常是利用“极大子群”或是“极小子群” 的c - 可补的性质来研究有限群的性质和结构，我们利用介于“极大子群”和“极 小子群”之间的一些子群的c - 可补性质来刻画有限群的性质和结构，得到了一些 结论： 定理1 0 1 9 设有限群g 与a 4 无关，p 为g 的阶的最小素因子若g 存在 某个s y l o wp 一子群p 使得其每个矿阶子群在g 中c 一可补，则g 为p 一幂零的 2 0 0 9 上海大学硕士学位论文 5 定理1 o 2 0 设有限群g 与a 4 无关，p 为g 的阶的最小素因子且( 1 g i ，p 2 + p + 1 ) = 1 若g 存在某个s y l o wp 一子群p 使得其每个3 一极小子群在g 中c 一可 补，则g 为p 一幂零的 本文在证明中经常使用陈重穆教授在文【1 5 】中引入的内、外一群的研究思 想设为一抽象群论性质，一个有限群是否具有性质只与g 本身有关，即 为一绝对群论性质具有性质的群叫一群；有限群g 的每个真子群均为一群， 但g 本身不是一群，则称g 为内一群；如果有限群g 的每个真子群和真商群 都为一群，但g 本身不是一群，则称g 为极小非一群例如真子群均为p 幂 零群的非p 幂零群称为内p 幂零群；真商群均为p 幂零群的非p 幂零群称为外 少幂零群；任一真子群和真商群均为p 幂零群的非矿幂零群称为极小非p - 幂零 群需要注意的是，国内外有些文献把内一群称为极小非群 在我们的研究中，采用最多的研究方法是极小反例法、各类归纳法、分步骤证 明本文中所采用的符号都是标准符号，所涉及的群都是有限群 第二章预备知识 作为全文的准备工作，本章介绍全文中要用到的基本概念以及重要结论本文 所涉及的符号都是标准符号，请参考文献 8 1 、文献【1 3 或者文献 1 6 】 2 1 基本概念 本文中所, n n 的基本概念请参考文献 1 3 ，1 6 ，8 ，3 0 】下面给出本文中常用的 基本概念 定义2 1 1 8 设g 是群，称群列1 = h o h 1 4 = g 为g 的主群 列，如果该群列满足? 每个子群鼠都是g 的正规子群，而且在h i 一1 和h i 之间不 能再插入g 的另一正规子群，亦即凰见一1 是g h , 一1 的极小正规子群而把每 个鼠飓一1 称为g 的主因子 定义2 1 2 【8 】8 若群g 存在主群列1 = g o g 1 g 竹= g ，使得该列 的每个主因子是交换群，则称g 是可解群 若g 是可解群，则g 的子群、商群仍是可解群反之，若群g 有正规子群 使得与g n 均可解，则g 也可解 定义2 1 3 8 若群g 存在主群列1 = g o g 1 g n = g ，使得该列 的每个主因子是循环群，则称g 是超可解群 超可解群的子群、商群与直积仍是超可解群 定义2 1 4 8 】8 若群g 存在主群列1 = g o g 1 2 ，e x p p = p i 若p = 2 ，e x p p 4 引理2 2 2 7 】设是群g 的可解正规子群且n n 圣( c ) = 1 ，则的f i t t i n g 子群f ( ) 可表示成g 的若干个包含在中的极小正规子群的直积 引理2 2 3 2 】2 设是群g 的正规子群，h 是g 的子群 ( 1 ) 若h k g ，且日在g 中可补，则日在k 中可补i ( 2 ) 若h n ，且日在g 中可补，则日在g n 中可补； ( 3 ) 若日在g 中可补，则对v x g ，俨在g 中可补j ( 4 ) 若日在g 中可补且( i h i ，i n i ) = 1 ，则日在g n 中也可补 引理2 2 4 9 】设p 是群g 的阶的一个素因子，且( 1 e l ，p 一1 ) = 1 若存在 g 的子群m 使得l g ：m i = p ，则m 在g 中正规 引理2 2 5 2 0 设群g 与山无关，p 为g 的阶的极小素因子若p 3 ，fi g i ， 则g 是p 一幂零的 引理2 2 6 设日是群g 的一个子群且日的每一极小子群在g 中可补则 ( 1 ) 日n 圣( g ) = 1 j ( 2 ) 如果日为g 的可解的极小正规子群，则日为素数阶群 2 0 0 9 上海大学硕士学位论文 1 0 证明：( 1 ) 若日n 西( g ) 1 ，取极小子群x hn 圣( g ) 由假设x 在g 中可 补，即存在子群k 使得g = x k 且xnk = 1 此与x 西( g ) 矛盾 ( 2 ) 由日为g 的可解的极小正规子群，h = 1 n 2 n k ，其中i m i = p ， 这里p 为一素数，i = 1 ，2 ，k 又由假设1 在群g 中可补，即知存在子群髓使 得g = 1 k l 且1nk 1 = 1 于是h = 1 ( k 1nh ) 且k 1nh 塑g h 的极小性 蕴含着k 1nh = 1 ，从而h = 1 为素数阶群口 下面这个引理的结论是显然的 引理2 2 7 设k 为群g 的h a l l7 r 一子群，且g 中存在正规肌f f7 r 7 一子群则 k 的子群日在k 中可补的充要条件是日在g 中可补 引理2 2 8 【1 4 】设是群g 的正规子群，h 是g 的子群 ( 1 ) 若h k g ，且日在g 中可补，则日在k 中c 一可补j ( 2 ) 若h n 则日在g 中可补的充要条件是h 在c n 中可补； ( 3 ) 若日在g 中可补，则对比g ，h z 在g 中可补i ( 4 ) 若日在g 中可补且( i h i 1 9 1 ) = 1 ，则日在g n 中也可补 引理2 2 9 8 ( d e d e k i n d 模律) 设日，k ，l 是一个群g 的子群若k l ， 则日knl = ( hnl ) k 引理2 2 1 0 2 6 】设g 是群，若g 是奇数阶群，则g 是可解群 引理2 2 1 1 8 】( b u r n s i d e ) 设g 是群，尸是群g 的一个s y l o wp 一子群若 n a ( p ) = c o ( p ) ，则g 是p 一幂零群 引理2 2 1 2 8 】设丌7 一群日作用在7 r 一群g 上，则 g = c c ( h ) x 【g ，日】 引理2 2 1 3 8 8 ( d e s k i n s ，j a n k o 和t h o m p s o n ) 设日是群g 的极大子群 若日为幂零群，且日的s y l o w2 一群的幂零类小于2 ，则g 为可解群 2 d d 9 上海大学硕士学位论文 1 1 引理2 2 1 4 8 】设是群g 的正规子群，且p 是的s y l o wp 一子群，则 g = n c ( p ) n 引理2 2 1 5 8 】设p 是群g 的任一p 一子群，是g 的正规子群且( i n ，p ) = 、姒n g l p n n 、) = n g ( p ) n n 下面的这些引理在文章中都起着基本事实的作用 引理2 2 1 6 【8 】p 2 阶群g 必为交换群 引理2 2 1 7 【8 】8 设g 是p 一群，是g 的p 阶正规子群，则n z ( g ) 引理2 2 1 8 【8 】群g 的任意两个s y l o w p 一子群皆在g 中共轭 引理2 2 1 9 【8 】若g 是群，p 是素数，设p i l t a i ，即p n i i g i ，但矿+ 1 十i g i 则 g 中必存在矿阶子群，叫做g 的s y l o wp 一子群 引理2 2 2 0 8 】设是群g 的正规h a l l 子群，则 ( 1 ) 在g 中有补； ( 2 ) 若或g n 可解，h 和研是在g 中的两个补群，则存在u n 使 得h 乱= h 1 引理2 2 2 1 8 设g 是群，且西( g ) = 1 ，则 ( 1 ) o p ( g ) 是初等交换p 一群，且 o p ( g ) = ( i 是g 的极小正规子群，且是p 一群) ( 2 ) f ( g ) 是交换群，且 f ( g ) = ( i 是g 的可解极小z j 见- l - z 4 ) 引理2 2 2 2 【8 】8 设g 是群，垂( g ) 是g 的f r a t t i n i 子群，则g 幂零当且仅当 c 0 ( c ) 幂零 2 0 0 9 上海大学硕士学位论文 1 2 引理2 2 2 3 8 】设g 是群，k 旦g ，则o ( k ) 圣( g ) 引理2 2 2 4 【1 3 设g 是群，n 塑g 为交换群，若n 币( g ) = l ，则在g 中有补 引理2 2 2 5 8 】设g 是可解群，f ( g ) 是g 的f i t t i n g 子群，则c c ( f ( g ) ) f ( g ) 引理2 2 2 6 8 】设日是群g 的子群，则g ( h ) c g ( h ) 同构于a u t ( h ) 的 一个子群 引理2 2 2 7 设p 是群g 的阶的素因子且( 1 g l ，p 一1 ) = 1 ，p 是g 的s y l o w p 子群且p 是循环的则g 是p 一幂零的 证明：由c 定理，n g ( p ) c g ( p ) sa u t ( p ) 设l p l = p n ，由p 循环，有 i a u t ( p ) l = 妒( 矿) = p ( n - 1 ( p 一1 ) ，但因p ( 尸) 有p 十l n a ( p ) c a ( p ) i 根据 定理条件( i g i ，p 一1 ) = 1 ，必有l n c ( p ) c c ( p ) i = 1 ，即g ( p ) = ( 尸) 应用 b u r n s i d e 定理，即得g 的p 幂零性口 第三章主要结论 本章共分两部分第一部分我们研究了某些子群可补的有限群；第二部分我们 研究了某些子群c - 可补的有限群 3 1 某些子群可补的有限群的结构 本节首先研究了某个s y l o w 子群的某些子群可补，给出了有限群是矿幂零群 的一些充分条件 定理3 1 1 设p 是群g 的阶的一个素因子且( 1 a l ，p 一1 ) = 1 如果尸是g 的s y l o wp 一子群且png 7 的每一极小子群在g ( 尸) 中可补，则尸交换且g 是 p 一幂零的，这里g 7 为g 的导群 证明：先证明p 是交换的由定理假设及引理2 2 3 知尸ng 的每一极小子群 在p 中可补由引理2 2 6 ，png 7n 垂( p ) = 1 由尸7 png 7 以及p ，西( p ) ，我 们有p 7 = 1 ，故p 为交换群 如果群g 非p 幂零，则我们可以选取g 为一极小阶反例 如果g ( p ) = g ，由定理假设知png 7 的每一极小子群在g 中可补，由引理 2 2 6 知尸n g 7 n 西( g ) = 1 又因为p n g 7 塑g ，由引理2 2 2 3 知圣( 尸n g 7 ) 圣( g ) ， 从而有西( png 7 ) = 1 故尸ng 7 为初等交换p 群如果p ng 7 = 1 ，则g 7 为 群由a a 7 为交换群，即知g 为p 幂零群，不可现设为g 的包含在pn g 7 中的极小正规子群由假设知的每个极小子群在g 中可补，由引理2 2 6 知 为p 阶子群由引理2 2 2 知f ( png 7 ) = p ng 7 = n a 2 x s ，其中 m 为g 的正规少阶子群，i = 1 ，2 ，s 由假设，对每一个j v ；f ，存在必g ， 使得g = m 必且mn 尬= 1 从而i g ：舰l = i m 必：必i = i i = p 由 引理2 2 4 尬塑g ，于是g 一北坛，从而有m z ( g ) ，i = 1 ，2 ，8 所以 png 7 = n 1 2 x s z ( g ) 1 3 2 0 0 9 上海大学硕士学位论文 1 4 因为g 不是p 幂零群，所以存在g 的子群日，使得日是一极小非p - 幂零群 ( 即日本身不是p 幂零群，但它的每个真子群都是p 幂零群) 由引理2 2 1 知日 有正规的s y l o wp - 子群珥，使得h = h px 峨，其中峨为何的s y l o w 口一子群 且循环，这里q p ；进一步h p = 【g p ，h q 】，h 7 g 7 又因为尸璺g ，所以有 耳尸从而缉p ng 7 z ( g ) 故h = 缉x 峨，矛盾 因此，我们可以假设g ( p ) 2 ，e x p p = p ；若p = 2 ，e x p ps4 事实上，对于g 的任意真子群k ，若p 十i k i ，则k 为p 幂零群若p l l k f 但 矿fl k i ，则k 也为p 幂零群若p 2 l l k i ，设p 1e s y l p ( k ) 由s y l o w 定理易知存 在z g 使得只尸。，则由引理2 2 3 知k 满足定理假设。g 之极小性隐含 2 0 0 9 上海大学硕士学位论文 1 7 着k 为p 幂零群故g 为极小非p - 幂零群，由引理2 1 1 知( 1 ) 成立，进一步 z ( g ) = 圣( p ) 西( q ) ( 2 ) g 中不存在p 2 阶元素事实上，若否的话，设a = ( z ) 为g 的p 2 阶循环子 群由定理假设知存在g 的子群m 使得g = a m 且anm = 1 ，由( 1 ) m 为矿 幂零群因为( x p ) 西( p ) z ( g ) ，故( x p ) m g 又因 g ：( 扩) m i = p 且p 为 i g i 的最小素因子，于是( x p ) m 塑g ，从而由m 的幂零性知q 塑g ，矛盾 ( 3 ) 由定理假设及引理2 2 3 知户中每个p 2 阶子群都在尸中可补，从而有 i 西( 尸) l p 。以下分两种情况： ( i ) 圣( 尸) l = p 。不妨设圣( 尸) = o ) 由( 1 ) 垂( p ) z ( g ) 且圣( p ) p 2 ，设b 为尸的p 2 阶真子群由定理假设知，存在g 的子 群m 使得g = b m 且bnm = 1 从而pnm 1 由g 为极小非p - 幂零群， m = ( p nm ) q 1 ，其中q 1 为q 的共轭子群不妨令q = q g ，g g 所以有 1 日( q ) = ( a ，b ，q ) ，定义关系为a 3 = b 3 = 1 = 【a ，6 】，n _ 1 0 q = a a = b ，q _ 1 b a = 垆= a ，q 4 = 1 ，则g 为3 6 阶群，当然 是可解的，且有a 塑g 显然g 满足推论3 1 8 的条件且有s y l o w 塔若g 是 超可解的，则1 璺a 里g 加细为g 之主群列时，说明g 必有一个3 阶的正规子 群，因之有元n a 垆使o ( a a 泸) = 3 及( n a 垆) 。= q 一1 ( n a 泸) q = a u b