（基础数学专业论文）欧氏空间中凸超曲面的曲率流.pdf

中文摘要 摘要 曲率流是微分几何与几何分析研究中很活跃的一个领域，受到国内外学者的 广泛关注本文研究了欧氏空间中以不同速度发展的四类凸超曲面的曲率流 第三章考虑欧氏空间中凸超曲面在l a r + 下的发展我们得n - y 类似于 幂平均曲率流的一个单调公式，并证明了该曲率流在有限时间内收缩到一点 第四章研究欧氏空间中以超曲面主曲率的齐次函数为发展速度的凸超曲面 的形变，证明了这类曲率流在有限时间内收缩到一点所得定理一方面将曲面或 超曲面的部分结果推广到了包含高维高阶齐次的情形，另外还包含了具体的主曲 率齐次函数的曲率流的相关结果 第五章详细研究了欧氏空间中具有一般平衡项的凸超曲面的曲率流我们分 三种情况研究了这类曲率流的长时间存在性、收敛性和渐近性状，证明了：当平 衡项比较小时，曲率流在有限时间内收缩到一点；当平衡项具有适中大小时，曲率 流具有长时间存在性，并收敛于一球面；当平衡项较大时，曲率流发散到无穷大 该结论包含了通常的收缩曲率流，混合体积保持的曲率流和具有一般平衡项的凸 平均曲率流的结果 第六章研究欧氏空间中平衡项是外力场的凸超曲面的曲率流我们讨论了外 力场为常向量场和线性外力场两种不同情形下初始超曲面的凸性保持问题和对 应曲率流的长时间存在性问题，所得结论是对由外力场支配的超曲面平均曲率流 相关结果的推广 关键词：曲率流；凸超曲面；极大值原理；平均曲率；齐次函数；外力场 湖北大学博士学位论文 a bs t r a c t c u r v a t u r ef l o wi so n eo ft h em a i nt o p i c si nd i f f e r e n t i a lg e o m e t r ya n dg e o m e t r i c a n a l y s i s i th a sb e e ne x t e n s i v e l ys t u d i e di nt h el a s tt w od e c a d e sa n di sb e i n gp a i d a t t e n t i o nt ob ym o r ea n dm o r em a t h e m a t i c i a n s i nt h i sp a p e r , w es t u d yf o u rd i f f e r e n t k i n d so fc u r v a t u r ef l o w so fc o n v e xh y p e r s u r f a c e si ne u c l i d e a ns p a c e s d e f o r m i n gc o n v e xh y p e r s u r f a c e sb yi a i 七+ h i ss t u d i e di nc h a p t e r3 w eo b t a i n am o n o t o n ef o r m u l a ，w h i c hi ss i m i l a ra st h a to nf l o wb yp o w e r so ft h em e a nc u r v a t u r e ， a n ds h o wt h a tt h ef l o ws h r i n k st oap o i n ti nf i n i t et i m e i nc h a p t e r4 ，w es t u d yt h em o t i o no fc o n v e xh y p e r s u r f a c e sw i t hs p e e de q u a l sa h o m o g e n e o u sf u n c t i o no fp r i n c i p l ec u r v a t u r e s i ti ss h o w nt h a tt h ef l o wc o n t r a c t st oa p o i n ti nf i n i t et i m e t h i sr e s u l tg e n e r a l i z e sp a r t so fr e s u l mo ns u r f a c e so rh y p e r s u r f a c e s t ot h ec a s e so fh i g h e rd i m e n s i o na n dh i g h e ro r d e rh o m o g e n e i t y m o r e o v e li ti n c l u d e s t h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t so nt h ef l o wm o v i n gb ys o m es p e c i a lh o m o g e n e o u sf u n c t i o n s o f p r i n c i p l ec u r v a t u r e s i nc h a p t e r5 ，w ec o n s i d e rc u r v a t u r ef l o w so fc o n v e xh y p e r s u r f a c e si ne u c l i d e a n s p a c e sw i t hag e n e r a l f o r c i n gt e r m w es t u d yl o n gt i m ee x i s t e n c ea n dc o n v e r g e n c eo f t h ee v o l v i n gh y p e r s u r f a c e si nt h r e ed i f f e r e n tc a s e sa n dp r o v et h a tt h ef l o wm a ys h r i n k t oa p o i n ti nf i n i t et i m ei ft h ef o r c i n gt e r mi ss m a l l ，o re x i s tf o ra l lt i m e sa n dc o n v e r g et o ar o u n d s p h e r ef o rs o m es p e c i a lf o r c i n gt e r m ，o re x p a n dt oi n f i n i t yi ft h ef o r c i n gt e r m i sl a r g ee n o u g h ，w h i c hi n c l u d eu s u a l l yc o n t r a c t i v ec a s e ，m i x e dv o l u m ep r e s e r v i n gc a s e a n de x p a n d i n gc a s e t h e s er e s u l t sa l s og e n e r a l i z et h er e s u l t so ff o r c e dc o n v e xm e a l l c u r v a t u r ef l o wi ne u c l i d e a ns p a c e s e v o l u t i o no fc o n v e xh y p e r s u r f a c e sb yc u r v a t u r ef u n c t i o n sm i n u se x t e r n a lf o r c e 英文摘要 f i e l d si ss t u d i e di nc h a p t e r6 w ep r o v et h a tt h ec o n v e x i t yi sp r e s e r v e da n ds t u d yt h e l o n gt i m ee x i s t e n c eo ft h ef l o wu n d e r t h ec o n d i t i o no ft h ef o r c ef i e l d sb e i n gc o n s t a n to r l i n e a r o u rr e s u l t sg e n e r a l i z et h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t so nd e f o r m i n go fh y p e r s u r f a c e s b ym e a nc u r v a t u r em i n u se x t e r n a lf o r c ef i e l d s k e yw o r d s ： c u r v a t u r ef l o w ；c o n v e xh y p e r s u r f a c e ；m a x i m u mp r i n c i p l e ；m e a nc u r v a - t u r e ；h o m o g e n e o u sf u n c t i o n ；e x t e r n a lf o r c ef i e l d i i i 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研 究所取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完 全意识到本声明的法律后果由本人承担 论文作者签名：喻雨为 签名日期：翮3 年占月占日 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存并向国家有 关部门或机构送交论文的复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可 以允许采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文；在不以赢利为目 的的前提下，学校可以公开学位论文的部分或全部内容( 保密论文在解密后遵守 此规定) 作者签名： 喻雨萄 e lg q ：绷年占月彳日 指导教师签名：翩 日期：年月e 1 第一章绪论 1 1 研究背景 第一章绪论 几何学的主要部分是微分几何学微分几何是一门历史悠久的学科，其最初 的研究始于微积分在几何上的应用二十世纪以来，随着分析方法的不断发展，微 分几何的研究从局部发展到整体，得出了许多深刻的并在其它数学分支( 如代数 拓扑，偏微分方程，复变函数论，李群，交分学，泛函等) 及现代物理中有重要作用 的结果 子流形几何作为微分几何的一个分支，具有重要的研究意义一方面，许多重 要的流形都是作为已经熟悉的空间( 如欧氏空间，球面，双曲空间等) 的子流形出 现的另一方面，子流形自身的性态也是千奇百怪的，其中有许多“好”的、具有 某种特殊性质的子流形；它们的存在性、唯一性和几何性质，以及它们的构造方 法和相互联系一直是几何学家所关注的研究课题子流形的基础理论早已建立， 因其重要性和涉及的数学面的宽广，它一直伴随着微分几何的研究而发展然而， 直到上世纪七十年代，这些研究大多针对空间中孤立的一个子流形在进行。人们 很少关注按一定方式演化的一族子流形所具有的性质这种观点正是最近二十几 年才逐渐形成的“流”的观点，对“流”的研究是目前微分几何和几何分析中很活 跃的一个研究领域我们的研究即属于这个领域 子流形的曲率流就是沿平均曲率向量方向按一定的速度随时间发展的一族 光滑浸入，其有着非常广泛的应用在经典的微分几何中，它主要用于寻求一些空 间中某些特殊曲面或子流形，例如曲面上的闭测地线、极小曲面以及球面等其 次，曲率流还出现在很多物理模型中，例如冰块消融、晶体生长等近些年来，曲 率流还被应用于一个新兴领域一图象处理，它提供了一种非常有效的方法来还原 物体的轮廓 最早研究子流形曲率流的是b r a k k e ，他在文献【1 2 】中用几何测度论的方法 研究了平均曲率流后来h u i s k e n 在1 9 8 4 年的文献 3 3 】中通过平均曲率流的方 法研究了欧氏空间中紧致凸超曲面的发展，利用极大值原理证明了紧致凸超曲面 的凸性沿平均曲率流保持不变虽然在有限时间内超曲面的曲率发生爆破，但是 最大曲率与最小曲率的比率趋于1 若发展方程重新正规化，则正规化后方程的 解光滑地收敛成一个球面自此，超曲面的曲率流的研究为数学家所关注，这其中 湖北大学博士学位论文 包括欧氏空间中的凸平均曲率流、一般的曲率流，一般黎曼空间中的曲率流以及 类空超曲面的平均曲率流等 欧氏空间中闭超曲面曲率流的研究已有不少好的结果上面提到的h u i s k e n 著名的平均曲率流即为一例c h o w 在文献 1 6 】与文献【1 7 】中分别研究了凸超曲 面在g a u s s 曲率的n 次方根及数量曲率的平方根下的形变，得到对应的曲率流在 有限时间内收缩成一点，正规化后收敛到一球面a n d r e w s 【4 ，1 0 ，1 1 】则将之前的 研究推广到了一类以具有自然限制条件的超曲面主曲率的1 次齐次函数为法向 发展速度的超曲面的曲率流，得到了与上面类似的结论法向发展速度为超曲面 主曲率的高阶齐次函数的曲率流的研究也有不少：对于2 维超曲面，a n d r e w s 【7 】 和s c h n 4 2 r e r 【5 0 】在不加任何初始p i n c h i n g 条件的前提下分别研究了法向发展速 度为g a u s s 曲率和第二基本形式模长平方的曲率流，在文献 1 0 】中a n d r e w s 又 在给予初始超曲面一定p i n c h i n g 条件限制的基础上研究了以较一般的超曲面主 曲率的高阶齐次函数发展的曲率流，均得到与前面类似的结论；对于高维超曲面， c h o w 1 6 】和s c h u l z e 5 3 ，5 4 】分别研究了g a u s s 曲率流与幂平均曲率流，得到了 对应的曲率流在有限时间内收缩成一点，给初始超曲面一合适的p i n c h i n g 限制 后，重新正规化后的曲率流光滑地收敛成为一球面对于法向发展速度对应的函 数的齐次数在0 和1 之间的曲率流的研究相对较少，可参见文献 2 ，3 ，8 】，此时正 规化后的超曲面不再收敛到球面 上述曲率流随时间的发展均是逐渐收缩的我们知道，h u i s k e n 在1 9 8 7 年的 文献 3 6 】中研究了体积保持的平均曲率流，证明了曲率流的解长时间存在，且当 时间趋于无穷大时，超曲面收敛到一与初始超曲面体积相同的球面他的做法就 是在原平均曲率流法向发展速度的基础上加上了一平衡因子后来，m c c o y 【4 8 】 研究了欧氏空间中混合体积保持的曲率流，得到了与文献 3 6 】类似的结论混合 体积保持的曲率流是对m c c o y 先前研究的面积保持的平均曲率流( 【4 6 ) ，混合 体积保持的平均曲率流( 【4 7 】) 及h u i s k e n 的体积保持的平均曲率流的推广，包含 了这些特殊的曲率流 另外，g e r h a r d t ，u r b a s 等人还研究了发散的曲率流，参见文献【2 3 ，5 8 ，5 9 ，这 类曲率流长时间存在，且渐近形状也为球面s c h n i r e r 【5 1 】则研究了发散曲面的 逆g a u s s 曲率流，他证明了该曲率流在有限时间内存在，且极限超曲面发散到无 穷，正规化后则收敛到球面 进而，“和s a l a v e s s a 在文献【4 2 】中用三分法研究了欧氏空间中超曲面的具 有一般平衡项的凸平均曲率流，其结果统一了收缩、发散和保体积三种情形，证 2 第一章绪论 明了：当平衡项比较小时，曲率流在有限时间内收缩到一点；当平衡项具有适中大 小时，曲率流具有长时间存在性，并收敛于一球面：当平衡项较大时，曲率流发散 到无穷大该结论推广了文献 3 3 ，3 6 ，4 6 ，4 7 】中的结果 除了欧氏空间中闭超曲面曲率流的研究之外，在文献【2 l 】中，e c k e r 和 h u i s k e n 研究了欧氏空间中非紧超曲面的全图平均曲率流：外围空间为球 面、e i n s t e i n 流形甚至一般的黎曼流形的超曲面曲率流的研究也有许多重要的结 果，参见文献 5 ，1 3 ，3 4 ，3 5 】；外围空间为半黎曼流形，特别是l o r e n t z i a n ( m i n k o w s k i ) 空间、双曲空间等的类空超曲面的曲率流也受到广大学者重视，并有大量的 研究，参见文献【1 9 ，2 0 ，2 2 ，2 6 ，2 7 ，2 8 ，2 9 ，3 0 】；对于高余维数子流形的平均曲率 流，s m o c z y k 、w a n g 、g r o h 、l i 、c h e n 、t i a n 、x i n 和t s u i 等人也有研究，参见 文献 1 4 ，1 5 ，3 l ，4 9 ，5 5 ，5 7 ，6 0 ，6 1 ，6 2 ，6 3 基于上面的工作，我们在该文中研究了欧氏空间中凸超曲面的曲率流，因发 展速度的不同，主要涉及四类不同的曲率流：一是以l a i + h 为发展速度的曲率 流，二是以超曲面主曲率的齐次函数为发展速度的曲率流，三是具有一般平衡项 的曲率流，四是以外力场为平衡项的曲率流 1 2 内容安排和主要结果 第一章是绪论包括本文的研究背景、内容安排以及主要结果，其中在第一 节，简要介绍了欧氏空间中闭超曲面曲率流在国内外的研究现状 第二章作为本文的预备知识部分，主要介绍了全文要用到的一些记号、定义 和基本公式、方程等，而且还详细推导了三种一般形式曲率流下超曲面基本几何 量的发展方程 第三章主要考虑欧氏空间中由i a l 七+ 支配的凸超曲面的发展( 曲率流 ( 3 4 ) ) 第一节中我们回顾了幂平均曲率流( 【5 3 ，5 4 ) 和第二基本形式模长平方的 曲率流( 【5 0 1 ) 的一些结论 第二节我们证明了类似于文献【5 4 】的一个单调公式，即 定理1 ( 第三章中定理3 2 1 ) 设n22 ，南2 ，z 1 ，m o 是r n + 1 中严格凸的 闭光滑浸入超曲面，则存在非负常数c ( n ，后，c ) 1 n n ，使得如下结论成立：若 3 湖北大学博上学位论文 满足初始p i n c h i n g 条件 怒拟啪k f ) v x m o ， 其中k 表示g a u s s 曲率，则该p i n c h i n g 条件在曲率流( 3 4 ) 下保持，且c ( n ，k ，f ) 关于k 和f 是单调递增的，l i m 七。c ( n ，k ，f ) = l i m l 。c ( n ，k ，f ) = 1 矿 第三节我们研究了曲率流( 3 4 ) 解的最大存在区间和收敛性，得到如下与文 献 5 0 】类似的结果 定理2 ( 第三章中定理3 3 1 ) 设7 , 2 ，k 2 ，f 1 ，m o 是r n + 1 中严格凸的 闭光滑浸入超曲面，则曲率流( 3 4 ) 解的最大存在区间为 o ，t ) ，t ，并且当 t _ t 时，舰致收敛于一点 第四章主要研究欧氏空间中以具有自然限制条件的超曲面主曲率的齐次函 数为发展速度的凸超曲面的形变( 曲率流( 4 1 ) ) 第二节中利用张量极大值原理，我们得到初始超曲面的严格凸性沿曲率流 ( 4 1 ) 是保持的 第三节我们研究了曲率流( 4 1 ) 解的最大存在区间和收敛性，得到如下结果： 定理3 ( 第四章中定理4 1 1 ) 设n 2 ，m o 是r n + 1 中严格凸的闭光滑浸入超 曲面，且f 满足条件4 1 1 ，则曲率流( 4 1 ) 解的最大存在区间为 0 ，t ) ，t o o ，并 且当t _ t 时，舰一致收敛于一点 这个定理从三方面推广了已有的相关曲率流的有关结果：一是将文献【4 】推 广到了包含主曲率的高阶齐次函数的情形，二是将文献【l o 】推广到了包含高维 超曲面的情形，三是包含了法向发展速度为某些具体超曲面主曲率的齐次函数的 曲率流 上述曲率流随时间的发展均是逐渐收缩的第五章我们则详细研究了欧氏空 间中具有一般平衡项( ( ) ) 的凸超曲面的曲率流( 曲率流( 5 1 ) ) ，这类曲率流的研 究包含了收缩、保体积和发散- - 平d e 情形 首先在第一节中我们回顾了具有平衡项的曲率流的发展情况，并且分析了我 们所研究的曲率流和以往相关研究的关系，同时给出了我们的主要结论 第二节我们推导了一重要的p i n c h i n g 引理，并列出了一些关于凸超曲面的重 要引理和推论 4 第一章绪论 第三节我们对曲率流( 5 。1 ) 进行了正规化( 曲率流( 5 2 ) ) ，为后面研究曲率流 的极限性状打下了基础最后我们还引入了一与正规化因子相关的序列慨，其极 限值为人 第四到六节我们根据a 的不同取值范围，分别得到了曲率流( 5 1 ) 的长时间 存在性、收敛性和渐近性状 定理4 ( 第五章中定理5 。1 1 ) 设钆2 ，m o 是职+ 1 中严格凸的闭光滑浸入超 曲面，且f 满足条件5 1 1 ，则对任意非负连续函数忽( 亡) ，曲率流( 5 1 ) 的解在最大 时间区间【o ，t ) 上存在若h ( t ) 还满足极限l i r a t rh ( 亡) 存在，且 牌 ( t ) 2 p ， 那么 ( i ) 若a = 0 0 ，则t o o ，且当t r 时，必一致收敛于一点，正规化后方程 ( 5 2 ) 的解2 ( x ，刁在 o ，o 。) 上存在，且当f _ o 。时，磁收敛到与m o 面积相同的 球面： ( ) 若0 0 ，使得必满足蟛的； 定理6 ( 第六章中定理6 2 2 ) 设钆= c ，c 是一个常向量场，f 满足条件5 1 1 ( i ) ( i v ) ，v ) 2 ) ，且m o 是r 计1 ( 礼2 ) 中严格凸的闭光滑浸入超曲面，则曲率流( 6 2 ) 的解在最大时间区间【o ，t ) 上存在，t 0 ，满足磁f f 夕；，则在曲率流( 6 2 ) 解的存在区间 上，存在常数7 0 ，使得舰满足危；f 鲧 定理8 ( 第六章中定理6 3 2 ) 如果钆= c x ，c 是一个非零常数，且m o 是 r n + 1 ( n 2 ) 中严格凸的闭光滑浸入超曲面，那么 情形l ：若c 0 ，f 满足条件5 1 1 ( i ) ( i v ) ，v ) 2 ) ，m i n 扛0i a l 2 凡c ，则( 6 2 ) 式 的解在最大有限时间区间 0 ，t ) 上存在，且当t t 时1 t i a x 。j a l 2 _ 。 上面的定理5 到定理8 是对刘艳楠和简怀玉的由平均曲率和外力场之差支 配的超曲面曲率流相关结果( 4 5 1 ) 的推广 6 第二章预备知识 第二章预备知识 2 1 记号、定义与基本方程 本节我们介绍与曲率流相关的一些基本定义、方程以及全文要用到的一些 记号( 详见文献【1 6 ，3 3 ，3 6 ，4 8 ，5 0 ，“】) 设m n 是n 维紧致无边光滑流形，一族光滑浸入超曲面x ( ，t ) = x t ： m n 辛舻+ 1 满足 晏x ( 副) = 一f ( w ( 州) ) v ( 州) ，z m 竹， ( 2 1 ) 其中v 是舰= x t ( m n ) 的单位外法向量，w ( x ，t ) 是舰在点x ( x ，t ) 的w e i n g a r t e n 映射对应的矩阵，f 是关于v y ( x ，t ) 的光滑函数 选取局部坐标系 ) ，1 i n ，则i t 的诱导度量与第二基本形式由 绯= ( 百a x ( x , t ) ，掣) ， ( 2 2 ) 九巧( z ，d = 一( v ( z ，亡) ，望砉薹等字) ( 2 3 ) 给出，其中( ，) 表示r 叶1 的内积，而且在不致混淆的情形下，用( ，) 同时表示 舰的内积若护表示的逆，则尬上的联络系数和w e i n g a r t e n 映射w = 蟛) 为 r 易= 三9 k l 。l 丽0 默+ 刍鳓一昙夕“ 和 蟛= h j k g 艇 需要说明的是，全文重复指标表示从1 到n 求和，并约定指标的升降是关于扩和 助的向量v 的协变导数则为 v j v i - - 争+ ， 7 湖北大学博士学位论文 其中，v 表示舰上诱导的l e v i - c i v i t a 联络 g a u s s 公式和w e i n g a r t e n 方程有如下形式 掣= r o 坠o x k 吐粥a z i a z j 叼 一u 翥咄扩杀丽2 l 旷丽 ( 2 4 ) ( 2 5 ) 若m t 上的曲率张量用勘削表示，则其g a u s s 方程，c o d a z z i 方程和第二基本 形式的r i c c i 恒等式为 确埘= h i k h i t 一 甜_ l c ， 巧，七= h i k ，j ， i j ，埘= h i j ，f 七+ ? r 嘶m + i 斛 ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 采用上面的符号，超曲面舰上的平均曲率，g a u s s 曲率及第二基本形式模长 的平方分别为 h = 矿h i j = k 一蹦) = 黜， 川2 = 9 他矿。h t j h k t = 砖砭 另外， t r a 3 = 严g 舢h i k h l m h 嘶 若w e i n g a r t e n 映射矩阵的特征值用( 九) 表示，则方程( 2 1 ) 中f 可看做关于 ( 九) 或( ，) 的函数，记f ( w ) = ，( 入( w ) ) ，则 一= 器，1 叫j , k l - - 一o z f ， 五= 袅，厶= 磊 8 第二章预备知识 为行文简便，对m 上的任意光滑函数妒，定义算子c ： c ( 妒) = p v t 码妒， 并且对尬上的另一光滑函数妒，记 v 妒i 刍= 一v q a v j q a ，( v 妒，v 矽) f = f i j v 妒吼矽 设x ：m n 一p + 1 是光滑嵌入，若x 的第二基本形式是正定的，则称x 为一( 严格) 凸超曲面其单位外法向量场可定义g a u s s 映射v ：m n 一酽因为 超曲面x 是紧致且凸的，所以g a u s s 映射处处非退化因此，由g a u s s 映射可重 新参数化超曲面x ( 参见文献 4 ，2 3 ，6 4 ) x = x ( v 一1 ( z ) ) ，z 酽 为将方程( 2 1 ) 转化为纯量抛物方程，定义支撑函数z ：酽一r ： 2 2 发展方程 z ( z ) = ( x ( v _ 1 ( z ) ) ，z ) ，z s n 设m n 是n 维紧致无边光滑流形，一族凸光滑浸入超曲面x ( ，t ) = x t ： m n 一舻+ 1 ，满足 晏x ( 叫) = 一( 州) ，z m n ， ( 2 9 ) 其中v 是 舰= x ( m n ) 的单位外法向量本节我们将推导夕分别为 夕= f ( w ) ， g = f ( w ) 一九( t ) ， 9 ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 湖北大学博士学位论文 和 g = f ( w ) 一( v u ，v ) ( 2 1 2 ) 三种形式的函数时，对应的曲率流( 2 9 ) 中发展超曲面的不同几何量的发展方程， 这里f 是关于w e i n g a r t e n 映射矩阵w 的光滑函数，h ( t ) 是关于时间t 的连续函 数，钆是瓞叶1 中光滑函数u 的标准梯度场 注本文研究的曲率流保持初始超曲面的凸性 首先，我们有如下基本量的发展方程( 参考文献【5 0 ，6 4 ) 性质2 2 1 在曲率流( 2 9 ) 下，有 瓦0 夕巧= 一2 咖， 瓦0v = v 夕， 晏咖= 幽咖， 击= v ；v j g - - g 骘， 其中，批= 、佰碉出1a ad x n 表示m n 的体积元 证明 由( 2 2 ) ( 2 5 ) 式及单位外法向量、体积元的定义，得 堑：旦f 坠a x ) 况o t o x i o x j ， = ( 嘉( 一9 v ) ，丽o x ) + ( 丽o x ，丽0 ( 一) ) ，加o x 、，o x 加、 2 一g ( o x , ，o x t ) 一9 ( 面，丽) = 2 夕( v ，瓦c o 丽2 x ) , = 一2 9 h o 塑：(窑，笔)坚萨oto 一= 一一l 一，o 况a z t x y y = 一( v ，石a 【a a x z 。) , ，a a x 夕巧 = 一( v ，杀( 刊) 筹矿 ：皂笔严 1 0 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 一堑三童塑鱼塾望 一_ ，_ ，j 一一一 警= 旦o t ( 雁面耐a 删州 = 一曼o ( d e 、t g i i ) d z l 八 出n = 孺 优 引p 一八眦 一z g i j g k l o 况g k zd x l 八八如n ：逝2 g 触( - - 2 9 h k l ) 如1a 八咖n = - h g d # 警= 一晏( 黯，v ) ：一、o a ( z - 。a a v ) ，v ) 一( 否0 丽2 x ，石o 。g ，u o 七x g t m ) ：( 丽0 。丽0 9v + 9 ( b l 夕h 丽o x ) ) ，v ) - ( 上巧k 弘o x 一v ，丽o g 丽o xy z , 、j = 彘+ 9 ( 静c 9 h 。z , n 抛c o x 磊) v ) 一r 乞争 ：旦一r易嘉+夕n。夕h孺02xox。oxj q n j 而，v ) 5 一工巧否手十g g 瓦丽一7 为了进一步计算各几何量的发展方程，我们需要下面的引理 引理2 2 1设f 是关于w ( x ，t ) 的光滑函数，则有 一 v l v j f ： 巧+ f k l , r s v i h 肼v j h ，。+ f 纠危枷允r 巧一f k t h k l 九溉哆 ( 2 1 7 ) 证明由( 2 6 ) ( 2 8 ) 式，可得 c = p m v m v n 玎 = f 伽v m v n ：p n ( v i v m b n + ：r 仉巧七十磅融) = f 吼n v t v j h m n + f m n 【 ：( 九m j 知诸一h m a h i i ) 湖北大学博士学位论文 另一方面 + 剪( 愚仇n h i t ：一h m k h 伽) 】 = f 仇n v i v j h m n + f m n h m n h i k h ；一f m n h m c 九： 臼， v i f = v i ( f 削乳) = f 枷8 v l h k l v j h ，。+ f 削v i v j h 埘 ( 2 1 8 ) 因此，比较上面两等式即得引理结论 性质2 2 2 若曲率流( 2 9 ) 中g 满足( 2 1 0 ) 式，则下列方程成立 d 瓦5 2 f h o ， 妄一v e 瓦0 毗= 一h f d # ， 爰= c + 碑倦取v j h ，。+ f k z h 小于 一f 埘h k l h l m 哆一f 九试骘， 瓦0 日= c 日+ f 剐r 8 v 从v t k 。+ f 埘 七m 危p 日 一f m h k ll a l 2 + f i a l 2 妄i a l 2 = c a 2 - 2 v a i 刍+ 2 危巧f 觚，s v 危斛v j k 。 + 2 f 捌愚枷庇p i a 2 2 f 趟h 削t r a 3 + 2 f t r a 3 ， 仃 麦f = c f + f f 巧h 讯磅， 丧z = c z + p j h t k 鸣z p 3h 巧一f 一 ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 证明 式( 2 1 3 ) - ( 2 1 5 ) 中g 取f ，即可得到( 2 1 9 ) 一( 2 2 1 ) 式( 2 2 2 ) 式则由 ( 2 1 0 ) ，( 2 1 6 ) 和( 2 1 7 ) 式易得下面详细证明( 2 2 3 ) ( 2 2 6 ) 式： 箸= 耖) 一= 一l ，o ，) 二l 抚 况憎”， 1 2 第二苹坝备知识 _ _ 一_ 一 一以警夕m j h i j 彬警 = 2 f h m z 危州+ g i j ( c h 巧+ f k l , r s v i h 知f v i h ，s + f m h k m h p h i 3 一f 剐h k t h i m 7 矿一f 执磅) ：日+ f 默，7 3 v h 削v t h ，8 + f 娥h 七m 危日 一f 削h 触i a l 2 + f i a l 2 ， 此即( 2 2 3 ) 式 另外 警= 耖舶相) = 4 f ( g m h m n g n 七) 矿。h 巧h 埘+ 2 9 知矿2 ( f 帆n 邶v i h m n 坼。 + c 危巧+ p 叮，锄 巧一f 加， l 仇，妒一f ，k 仇，垆) 埘 = 2 危巧c + 2 h j f k l , r s v t h k l v j h ，。+ 2 f 纠庇七m h tl a l 2 2 f 削h 削t r a 3 + 2 f t r a 3 ， c l a l 2 = ，町v t v j ( 夕m 知g h m n h k t ) = 2 f j g 础g 引v t ( m n 乳h k t ) = 2 v a i 刍- t - 2 允巧c 危巧 所以，结合上面两等式可得( 2 2 4 ) 式 o fo fo h 一= 一一 况 a 圮况 = 确航( 警nb 。警) = ( c 危巧+ f k l , r a v t h u h r 。+ f 瓣h k m 妒h i j f 埘h 剐h l m h m ，一f h 谊九；) + p 七g k i h j l ( 2 f g m g m h m n ) = f j c h 巧+ f 巧f k l , r s 弋r t h 埘觋尼r s + f f 巧 讯劈， 1 3 湖北大学博士学位论文 而由( 2 1 8 ) 式有 f = f t 3 v i 可j f = f 巧( f 削，7 8 v i 削v j h ，s + f 削v t v j h 七1 ) = f 劫h 巧+ jf k t j 8 v t h k l v j h r 8 。 故( 2 2 5 ) 式成立 由( 2 2 ) ，( 2 3 ) ，( 2 5 ) 和( 2 7 ) 式，有 所以 c z = f 叼v i v j ( x ，v ) = p v l ( ( 觋x ，v ) + ( x ，v j v ) ) = f ”v t ( x ， v m x ) = p ( v i x ，妒v m x ) + ( x ，( v i ，于) v m x ) + ( x ，h 于v i v m x ) 】 = p 九巧+ ( x ，f ”v m 危杉v m x ) 一f i j h i k h k z = p 巧+ ( x ，v f ) 一f i j 危诹 ；z ， 筹= ( 筹，v ) 郴，瓦o v ) = - f + ( x ，v f ) = z + f 由h 汰h k j z f 扈3 h 晒一f 通过与性质2 2 2 类似的计算，我们得到 性质2 2 3若曲率流( 2 9 ) 中g 满足( 2 1 1 ) 式，则下列方程成立 妄= _ 2 ( f h ) h 巧， 瓦0v = v f ) o d # = 一h ( f 一九) 批， 晏= c + p l 伸v 溉k + 矿础：n 1 4 ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 。2 9 ) 第二章预备知识 一f 斟h k l h i m 哆+ ( 向一f ) h i 知磅， o h ：c 日+ f k l ，他v i h 舰v i ，。+ f k l h 七m 尹日 o t 一f 舰h 削i a l 2 一( h f ) a 1 2 ， 晏川2 = 即1 2 - 2 1 v a i 刍+ 2 h 巧v m f + 2 f 烈h k m h p l a l 2 2 f 舣h 舰r 印一2 ( h f ) t r a 3 ， 瓦0f = c f 一( 一f ) f 巧 强磅， 丧z = z + p h 魄璃z p 。h b f + h ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) 为了计算夕为( 2 1 2 ) 式时曲率流( 2 9 ) 的各几何量的发展方程，还需要下面 的引理 引理2 2 2 设u 是r 1 中的光滑函数，则对曲率流( 2 9 ) 有 v t v j ( 一v w ，v ) = ( v t v j 乩，v ) + h ? ( w j v w ，v 七x ) + 磅( v t 乩，v k x ) + ( 钆，v 勉臼) 一七磅( 钆，v ) ( 2 3 5 ) 证明直接计算得 v t ( v u ，v ) = v , ( ( v j w ，v ) + ( v u ，马v ) ) = v i ( ( v j 讯，v ) + 危；( 钆，v 是x ) ) = ( v i v j v 0 2 ，v ) + h k ( u j 可o , ，v k x ) + 愚；( v l 钆，v k x ) + h ；( v u ，v t v k x ) + v t 危；( v u ，v k x ) = ( v i 乳钆，v ) + 九：( 钆，v k x ) + ；( v i 钆，v k x ) + ( v 叫，v 巧) 一危让 ? ( v u ，v ) ， 其中最后一个等式的证明用到了第二基本形式的定义和c o d a z z i 方程 一 利用性质2 2 1 ，引理2 2 1 及引理2 2 2 ，采用和性质2 2 2 类似的计算方法， 不难得到如下结论 1 5 湖北大学博士学位论文 性质2 2 4若曲率流( 2 9 ) 中g 满足( 2 1 2 ) 式，则下列方程成立 a 瓦 缸 = - 2 ( f 一( v w ，v ) ) ， ( 2 3 6 ) = c 危巧+ f k l , 邶v i h k l v j h r 。+ f 斛h k m 允r 一f 削h k l h i m 哆 一f h i k h k 一( v t v j 弓0 ，v ) 一九：( v j v 0 ，v k x ) 一，弓( v t 可u ，v k x ) 一( v u ，v h i j ) + 2 h i k h k ( v w ，v ) ， ( 2 3 7 ) 芸日= c 日+ f k l , r s v h 埘v l h ，+ f 埘h 詹m 九r 日一f k 。h 触l a l 2 + f i a l 2 一( 可山，v ) 一2 h q ( v i 可山，q x ) 一( v u ，v h ) ， 爰i a l 2 = c l a l 2 2 1 v a i ；+ 2 h 巧声电v j + 2 f 削饥m h t l a l 2 2 f 斛h 削t r a 3 + 2 f t r a 3 2 h q ( v t v 可u ，v ) 一4 h i j h ；( v j v w ，v k x ) 一( 钆，v i a l 2 ) ， 昙f = c f + f f q h 认砖一( c 可u ，v ) o t 。 一2 f q h k ( v j 乩，v k x ) 一( 钆，v f ) 2 3 凸超曲面的表示 ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) ( 2 4 0 ) 设x ：m n - - - - 4r - + i 是一凸光滑浸入超曲面，则m n 可以表示成单位球上的 图( 详见文献 6 4 】) m ) = 揣：m 酽， x = r ( z ) z ：s n r n + 1 ， ( 2 4 1 ) 其中r ( z ) = i x ( 丌一1 ( z ) | 由前面度量的定义，经直接计算可得， 其逆 = 7 2 孔+ 玩r 瓦r ， 弘r - 2 ( 矿一器) ， 1 6 ( 2 4 2 ) 第二章预备知识 其中歹表示r n + 1 中的标准度量，而可则表示对应的联络单位外法向量