（基础数学专业论文）区域上函数空间的刻画及t（1）型定理.pdf

摘要 摘要 函数空间的刻画在调和分析中起了重要的作用，把复杂的函数空间分解为简单 函数的线性组合是函数空间分解的方向和目标正是有了这样的分解，才使得对函数 空间有了进一步的理解，h a r d y 空间的原子分解和分子分解是相继完成的，类似的许 多函数空间的分解与刻画也是按照这一思路来进行的但是一般来讲，分子分解晚于 厉子分解，由于原子具有紧支性条件，所以受到很多限制因此寻找合适的非紧支性 的分子就是非常必要的工作并且分子分解对算子在这类空间上的有界性的研究起 到了很重要的作用有了原子分解和分子分解，许多算子的有界性问题得到了较简单 的解决和表示，这也是许多调和分析专家关注函数空间分解的一个重要原因 b e s o v 空间和t r i e b e l - l i z o r k i n 空间是目前两类研究的较多的空间，其原因一方面是 由于b e s o v 空间和t r i e b e l - l i z o r k i n 空间当参数取一些特殊值时，就得到一些经典的空 间。如常见的h a r d y 空间，s o b o l e v 空间等等都是t r i e b e l l i z o r k i n 空间的特殊形式，从 而在b e s o v 空间和t r i e b e l - l i z o r k i n 空间上成立的问题，在别的空间上同样成立；另一 方面。对于偏微分方程的研究，在很多时候，也要依赖于算子在b e r 空间和t r i e b e i - l i z o r k i n 空间上的估计出于上述两方面的因素，对于各种b e s o v 空间和t r i e b e l - l i z o r l d n 空间的刻画的研究就显得比较有意义 本文共分四部分，第一部分引入了区域上的b e s o v 空间的分子的定义。讨论了这 类b e s o v 空间的分子刻画，证明了区域上的b e s o v 空间存在分子分解在第二部分，证 明了一个t ( 1 ) 型的定理，说明c a l d e r s n - z y g m u n d 算子在这类b e s o v 空间的内部是有界 的；在论文的第三部分，与b e s o v 空间相对应，定义了某类区域上的 l i e b e l - l i z o r k i n 空 间，研究了这类空间的原子刻画和分子刻画，证明了在这类t r i e b e l - l i z o r k i n 空间上同 样存在原子分解和分子分解，以及一个与v 空间情况类似的关于c a l d e r 6 n - z y g r a u n d 算子的结论；在本文的第四部分，得到了区域上b e s o v 空间和t r i e b e l - l i z o r k i n 空间的插 值定理 关键词b 鲫v 空间；t r i e b e l - l i z o r k i a 空间；原子刻画；分子刻画；c a t d e r d u - z y g m u d 算 子；插值定理 n a b s t r a e t t h ed e c o m p o s i t i o no ff u n c t i o ns p a c e sp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nh a r m o n i ca n a l y s i s t h ea i m o ft h ed e c o m p o s i t i o ni st od i v i d et h ec o m p l e xf u n c t i o ns p a c e si n t ot h el i n e a rc o m b i n a t i o no f8 a i n - p l e5 m c t i o n s b e c a u s eo fs u c hd e c o m p o s i t i o n ，o n ec s , uf u r t h e rm a d e r s t a n dt h es t r u c t u r eo if l i p o i l s p a c e s ，j u s ta st h ec a s eo fh a r d ys p a c e ，t h ea t o m i cd e c o m p o s i t i o na n dt h em o l e c u l a rd e c o m p o s i t i o n a r e o b t a i n e ds u c c e s s i v e l y t h e d e c o m p o s i t i o n a n d t h ec h a r a c t e r i z a t i o n o f m a n y s i m i l a r f u n c t i o ns p a c e s i ss t u d i e di nt h es 舡r i l ew a y g e n e r a l l y 印e d d n g ，t h em o l e c u l a rd e c o m p o s i t i o ni s 眦e rt h ea t o m i cd e - c o m p o s i t i o n b e c a u s e t h ea t o m s o f t h e f u n c t i o ns p a c e s i so f c o m p a c ts u p p o r t s ，i t i s n e c e s s a r y t os t u d y t h em o l e c u l a r sw h i c hh a v en oc o m p a c t s u p p o r t ss o m e t i m e s t r h e i lw eg e tt h ea t o m i ca n dm o l e c u l a r d e c o m p o s i t i o n s ，t h eb o u n d e d n s a so fc a l d e r d n - z y g r e n u do p e r a t o r si so b t a i n e de a s i l y b e s o vs p a c a n dt r i e b e l - l i z o r k i ns p a c e sa r et w ok i n d so f s p a c e sw h i c ha r es t u d i e df r e q u e n t l y i nt h ef i e l dt h e r ea r et w or e a s o n s o no n eh a n d ，w h e nt h ep a r a m e t e r sa r eo fs p e c i a lv a l u e s ，o n ec 8 g e ts o m e c l a s s i c a ls p a c e s ，f o re x a m p l eh a t d ys p a c e ，s o b o l e vs p a c e s ，l i p s c h i t zs p a c e s a n ds oo n ，t h e y a r ea l ls p e c i a lc a s o ft r i e h e l - l i z o r k i ns p a c e s ，i fa na s a e r t l o ni sv a f l do nb e s o v s p a c e sa n dt r i e h e l - l i z o r k i ns p a c e s ，i ti sa l s ov a l l do no t h e rs p a c e s o nt h eo t h e rh a n d ，t h es t u d yo fp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n so f t e nd e p e n d so nt h ee s t i m a t eo fm a n yo p e r a t o r so nb ws p a c e sa n dt r i e b e l - l i z o r k i n s p a c e s i nbw o r d ，i ti sd e 睫韶a r yt os t u d yt h ed e c o m p o s i t i o no fb 氆哪s p a c e sa n dt t i e h e l - l i z o r k i n s p a c e s t h e r ek r ef o u rp a r t si nt h i sa r t i c l e i nt h ef i r s tp a r t ，t h ea u t h o rd e f i n e dt h em o l e c u l a ro fb e s o v s p a c e so l ld o m m sa n dd i s c u s s e dt h em o l e c u l a rd e c o m p o s i t i o no ft h e s eb o s o vs p a c e s i nt h es e c o n d p a r t ，t h ea u t h o rp r o v e dat ( 1 ) t y p et h e o r e m t h i si n d i c a t e st h a tc a l d e r o n - z y g r o u n do p 口b t o ma l e b o u n d e di nt h ei n t e r i o ro ft h e s eb e s o vs p a c e s i nt h et h i r dp a r t ，t h ea u t h o rd e f i n e ds o m et r i e b d - l i z o r l d ns p a c e so i ld o m a i n sa n dp r o v e dt h a tt h e r ee x i s tt h ea t o m i ca n dm o l e c u l a rd e c o m p e s i t i o no n t h e s et r i e b e l - l i z o r k i ns p a c e s a c c o r d i n g l y , t h ea u t h o rg o tt h ec m d e r 6 n - z y g r o u n do p e r a t o r sa s ea l s o b o u n d e di nt h ei n t e r i o ro ft h e s et r i e b e l l i z o r k i ns p a c e s i nt h el a s tp a r t ，t h ea u t h o rd i s c u s s e dt h e i n t e r p o l a t i o no ft h e s eb e s o vs p a c e sa n dt r i e b e l l i z o r k i ns p a c e s l ip e n g t a o ( f a n d m e n t a lm a t h e m a t i c s ) t u t o r ：p r o f e s s o r z h a ok a l k e y w o r d s b e s o vs p a c e sa n dt r i e h e l l i z o r k i ns p a c e s ；c a l d e r 6 n z y g m u n do p e r a t o r s ；a t o m i cd e - c o m p o s i t i o n ；m o l e c u l a rd e c o m p o s i t i o n ；i n t e r p o l a t i o nt h e r o e m 引言 引言 函数空间的分解在调和分析中起到了重要的作用把复杂的函数空问分解为简 单函数的线性组合是函数空间分解的方向和目标。正是有了这样的分解，才使得对函 数空间有了更进一步的理解h a r d y 空间的原予分解和分子分解是相继完成的，类似 的许多函数空间的原子和分子分解是相伴而行的，但一般分子分解要滞后于原予分 解由于原子具有紧支条件，受到许多的限制因此，寻找合适的非紧支性的分子分 解就是非常有必要的工作并且分子分解对算子在这类空间上有界性的研究问题上 起到了很重要的作用，有了原子分解和分子分解，许多算子的有界性的问题得到了较 简单的解决和表示，这也是许多调和分析专家关注函数空间分解的个重要原因 在目前的众多函数空间中，对于b e s o v 空间和t r i e b e l - l i z o r k i n 空间的研究比较多， 其原因有两个方面t 一方面很多常见的空间，侵l 如h a r d y 空间，位势空间，。以及在 偏微分方程的研究上起重要作用的s o b o l e v 空间等等，都是这两种空间的特殊形式 事实上，对a = o ，g = 2 ，表达式( i 协+ f 1 2 ) j 正是经典的l i t t l e w o o d - p a l e y 的g 函数的 j e z 离散形式所以，调和分析中的很多关于函数空间的问题都优先考虑其在s e s o v 空间 和t r i e b e l - l i z o r k i n 空间上是否成立，因为一旦在这两类空间上相关的问题得到解决， 那么在其他一些经典的空间上同样成立， 一般来讲，目前对于 k t o v 空问群。和n i e b e l l i z o r k i n 空间露，。的研究主要集中 在两个方面 ( 一) 讨论对函数空间进行刻画 e m s t e i n 在 4 】中给出了用p o s s i o n 积分处理b e s o v 空间瑶a 的详述，具体的讲， 是得到如下定义的函数空间a 0 t ，其范数定义为： ，口， i p + ( ( 9 “。i i 云u ( z ，”) 。) 在文献1 4 】中，还给出了b e s o v 空间的其他等价的定义 而系统的利用l i t t l e w o o d - p a l e y 理论分解整理b e s o v 空间联t 口和t r i e b e l - l i z o r k i n 空间 g t e 数理论属于j p e e t r e ，例如健在【5 1 中，得到了如下定义的b e s w 空间 定义m ( r “) ； “$ ) = 慨( z ) 器o ，竹( z ) s ( 胛) ，j = 0 ，1 ，2 ，满足 s u p p _ p o ( x ) c 如：h 2 ) ；s u p p _ ，o # ( x ) c 扛：2 川+ 1 ) ，且对于多重指标a ，存在 2引言 个正数以，使得2 j l 。j | 伊”( z ) f ，z r n , j = 0 ，l 蜘( z ) = 1 = 0 则( 1 ) 若p 0 ，定义b e s o v 空间的范数为 | 1 ，( 曲，群，。1 l = 1 l 。f 一1 ”( 。) f ( ，) ：t 。( 1 p ( r ”) ) = ( 1 1 2 ，。f 一1 q ( z ) f ( 川i ；) ： j = o ( 2 ) 若p 0 ，定义t r i e b e l - l i z o r k i n 空间的范数为 i l f ( z ) ，g ，4 0 = 1 1 2 p f 一1 ( 。) f ( ，) ：p ( j 矿：k ) i f ；o ( j 2 f 一1 竹( z ) f ( 川4 ) 朝p m f r a z i e r 和b j a w e r t h 在m 1 0 】，【l l 】中给出了b e f k ) v 空间群，口和t r i e b e l - l i z o r k i n 空间 咒，a 的原予分解和分子分解，即以下两个定理 定理a 设一o o s ，0 p o o ，0 口 o o ，域t 一的充分必要条件是：存在原 子列 叼) 和序列 叼) ，其中指标集q 表示r n 中全体二进方体， s o 是复数， 叼 支于2 口的o ，。) 原子，使得，= 8 0 a q ，且有 ( m ) ) 口础， ”zl q = 2 一” 定理b 设一。 5 ，0 ， o o ，0 q 。，f 碍，口的充分必要条件是t 存在原 子列 n 。) 和序列( s 口) ，其中指标集q 表示r “中全体二进方体， s 口是复数，f n o 支于2 q 的o ，s ) 原子，使得f = a 。n q ，且有 z l o 。l 一。 舭( 蚓l o 卜一j 。) 4 m ， 名i q = 2 一v 以上原予分解和分子分解的结果是对于齐次b e s o v 空间和t r i e b e l - l i z o r k i n 空间而 育的，对于非齐次的b e s o v 空间和t r i e b e l - l i z o r k i n 空间仍然有类似于上述两个定理的 相应定理成立 原子分解和分子分解的用途之一是将c a l d e t d n - z y g m u n d 算子的l ：有界性的结论， 即所谓的t ( 1 ) 定理，运用到b e s o v 空间和t d e b e l - l i z o r k l n 空间上，证明c a l d e r d n - z y g m u n d 算子在上述两类空间上是有界的 ( 二) 众所周知，可微函数空间的发展与它在偏微分方程中的应用是紧密联系在一 起的，从某种意义上讲，在ncr r i 的一般可微函数空问比酽上的可微函数空间的应 用更广泛例如，椭圆型方程边值问题的研究，发展型方程初值问题的研究等都是在 引言 3 n 上的可微函数空间中进行的所以，有必要讨论这一类函数空间的刻画以及算子在 其上的有界性问题 桂易清。陆善镇，杨大春在【1 2 】中讨论了一类区域上的b e s o v 空间或，的原子分 解，并用这分解讨论了l a p l a c e 算子在这一b e s o v 空间秘，的有界性问题对于一般 的区域上的b e $ o v 空间，王衡庚，贾厚玉在文献 1 】1 中定义了某类在边界上消失的非齐 次b e s o v 空间，证明了在这类b e s o v 空间上存在原子分解同时，作者还讨论了关于 这一函数空间的限制定理 本文可以看作是1 研究的继续，首先证明了在这类b e s o v 空间上存在分子分解， 并证明了一个关于c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子的t ( 1 ) 蛩的定理接下来本文定义了与这类 b e s o v 空间相对应的t l i e b e l - l i z o r k i n 空间，给出了原子和分子的定义，并分别证明了在 这类t r i e b e l - l i z o r k i n 空间存在原子分解和分子分解关于c a l d e r d n - z y g m u n d 算子在这类 t r i e b e l - l i z o r k i n 空间上的有界性的t ( 1 ) 型定理也可以类似得到本文最后讨论了这两 类空间上的插值问题 4 第一章 区域上b e s o v 空间的分子分解 第一章区域上b e s o v 空间的分子分解 第一节相关概念及预备知识 在俨上，记d = c 酽( 舻) ，d 表示d 的对偶；同样在区域上记d ( n ) = c 矿( n d ，( n ) 表示d ( n ) 的对偶空间，区域上p 的定义与通常一样令s 是实数，约定s + ；m 一 s ，o ) ， i s 】表示不超过s 的最大整数文中出现的q ，除特别声明都表示边平行于舻上坐标 轴的二进方体，约定，b 表示方体的中心与边长 为了方便，把几个后面有用的条件叙述如下 ( 1 1 ) 称g 有l 。阶消失矩，如果对所有的多重指标h l 9 ，有几( z ) 扩d x = o b e s o v 空间的定义依赖于满足下述条件的函数族 竹) r 10 蔓_ p o l ，满足伽= l ，若i = js0 0 0 1 ；啪= o ，若h 0 0 0 2 ( 1 2 ) ，驴o ( z ) 如；1 l ll p ( f 司+ 1 ) + ，其中妒( z ) = 咖( z ) 2 一”。印( ；) ( 1 3 ) 函数族 奶 定义为：n ( z ) = ( p 。( z ) 一2 n 咖( 2 。) ) 2 一，( z ) 此处的下角标2 - j 表示对函 数妒作伸缩变换帆；一”妒( ) 时，取扣2 一，即叻：沙妒( 掣z ) 同口上的情况类似。对区域n 进行分层，不妨假定w 为区域n 的w h i t n e y 型二 进分解，则有 w o = f q ：0 7 w , q c o ，b = 1 ) ；= o ：q 彬幻= 2 一) ，( 七1 ) ； n k = u q 这样，就可以定义一组特征函数如下：对每一个口w ， 拍2 茅2 聂茹；魏2 驴k - 1 定义1 令s r ，0 p ，qs o o 取函数咖d 满足条件( 1 2 ) ，协如( 1 3 ) 所定义区 域上的b e s o v 空间定义为 b ；：3 ( n ) 2 ，d 忡) ：1 1 ，| i ：o 。 第一节相关概念及预备知识5 其中 a 0 l i f l i b ：, 3 ( n ) = ( ( 2 j 。l | ( ，霸) + 竹。) j + ( ( 分。i i ( x j ) + 酉。) j = lj = l ( 2 ) b e s ( r r 空间的分子分解利用了区域n 上的c m d “6 n 再生公式，这里把它叙述成下 面的引理( 见f l 】1 等) 引理1 对任意，d ( n ) ，和s r ，存在着满足( 1 2 ) 和( 1 3 ) 的函数族 竹) ， 使得 ，= ，船= ( ，石) + + ( ，) t 西 ( 3 ) 在文献【1 】1 中，作者利用该引理得到了原子分解如下 定义2 对于每一个满足2 q c n 的二进方体0 ，函数叼( z ) d ( f 1 ) ，满足s u p p a 0 ( z ) c 1 0 4 q ，并且对所有的多重指标7 刁，有i d v a q ( a ) l ! q l ；1 一，此类原予被称为关于q 的( n ，n ) 原子，如果 ( b ) 当2 0 c n ，函数a q 满足：( i ) s u p p a q ( x ) c 1 0 3 0 ，( i i ) a 。的消失矩工。，即对 于所有的多重指标a ，k 。，卜。a q ( x ) d z = 0 ，称这样的叼为一个内部原子 j ( b ) 当6 ( 0 ，o n ) zl o 1 ，函数a q 没有消失矩，称其为个边界原子 定理c ( p d 设s r ，0 p ，口so 。，n = m “( 【n ( ；一1 ) + 一司，一1 ) ，那么，鲜；的充要 条件是存在序列s = s o 满足 ( ( ( i q i 一：一 + 蚓) 9 ) ；) o o 以及光滑原子序列n 口，使得 ( ) ，；s q a q ； j 。0q e w l , ( i i ) l i l l s ；：z ( ( ( i q i ：一 + i s q l ) ，) ；) 下面引入分子的概念 定义3 函数m 称为内部分子，如果0 满足2 q c n ，而且存在k z 御舻 使得- ( 2 1 )i a l ”l ( ) 1 曼c 0 2 。( ”2 + i y 1 ) ( 1 + 2 。i z z o i ) f m ，0 曼i y l 茎k ，其中k ( 【s 】4 - 1 ) + ， ， ( 2 2 ) m ( z ) 出= 0 对满足0 川n 所有的多重指标1 成立；其中m 充分大，例如m n + l o n 6 第一章区域上b e s o v 空间的分子分解 n m a x ( ! n ( ：一1 ) + 一8 ，一1 ) 当2 口n o n 也且不需要消失矩条件时，称m ( z ) 为一个边界分子 第二节定理的叙述与证明 7 第二节定理的叙述与证明 有了分子的概念，这里得到b e s o v 空f 田的分子分解如下 定理2 设s r 0 p ，q o o ，n = m a x 伽( 一1 ) + 一目，一1 ) ，若，= s q m q j = 0 0 e h 飞 其中m 。是定义2 所定义的分子，s = s q 为常数序列则，睇：3 ( n ) ，且 日；，- g ( i o l 一：一j + 蚓9 ) ；) q e w h 引理2 设协满足条件( 1 2 ) 和( 1 3 ) ，= ( 【司+ 1 ) + ，则 当k j 时， 当k 时 i 仍+ m 口( z ) 1 g 2 警2 一( 一j ) ( + 1 + “) ( 1 + 2 ，忙一。o d n + i + n 一 f( 5 ) 竹+ m 口( z ) l g 2 挚2 一。一) k ( 1 + 2 k 陋一$ o i ) + l + n m( 6 ) 引理的证明类似于【2 】中引理( 1 1 0 ) 的证明( p 3 1 7 ) ，只要注意到妒c 矿( n ) ，则令 壬( z ) = 1 口l s ；u 。p + ，。s u 。p 。i ! ! 竺! ：! ；i ! ! ! 二二! ! ! l1 芦l = + 1 o 5 ( 1卢l 完全可以得到证明，这里略去细节 定理2 的证明先看0 ps 1 的情形 ( ( 2 扣i i ( ，奶) + 协，) 。) j = ( ( 2 。( s 。m 。妨) + 竹陆) a ) j ，= 1，= 10 茎g ( ( i k 叼m q 而) + 协b ) 。) + g ( ( 。( 叼m 口奶) + 协峙) a ) = + 如 对如，由于此时j 口 j ，所以由引理2 的( 5 ) 式，得 2 茎g ( ( 。i i i s q i i q r _ j 2 一+ “+ 1 ( 1 + 2 i z 一。0 1 ) + 1 + “一m 地印i i p ) 4 ) j = 1 q ：i q ：2 一 = g ( ( 2 j 。i i i 奶1 1 口一一 2 u 一) ( + 叶1 ( 1 + k z 0 1 ) + 1 + “一射x 2 。，p ) 4 ) j = l 0 ：i 口 2 一 这里i 而i = i 。口旧l _ 二一+ ，= 2 1 - 0 8第一章区域上b 髂a v 空问的分子分解 由, _ i e n s e n 不等式有 2 j 。1 1 i s b l l q l 詈一；2 u 一”“+ ”+ ”( 1 + 掣k 一。o i ) ”+ 1 + “一州x 2 q , i i p q ：i v i 2 一j 翎叮口q ：毛一，旧| | 刽 圯。“”q 埘陋咱| ) 1 + ”1 【。点一，引 却地o “肿”咖2 抑厶1 + 咖咱i ) w “h 枷 口：i 口( 2 一， g 【i 而i i q l 9 苎一j 1 2 。一 + 1 + “) 1 2 口1 分叩 最后一个不等式是因为( 1 + l z 一知i ) ”+ 1 一”冲茎1 又 所以 i 而一。瞄一, ，1 - 2 ( j 一”+ 1 “如1 2 q 垆， l 口 2 一j 玉c 1 而p 2 ( j 一) “p ( 告一；+ 丝等虹) l o 2 一， c o = g ( ( i i 而i 口i 羔一；2 恤一j ) 耳( 1 + 2 。i x 一$ o i ) + 1 + “。f x 2 口b r ) j j = 1 0 ：l 口2 一j 第二节定理的叙述与证明9 而 2 j 5 i i 哂i q l 舌一；2 仆一计“( 1 + 2 k i z z 0 1 ) + 1 + ”一m x 2 0 i i p l o 2 一 圳叮“，醐一嘞沪啉( 1 + 2 p 粕i ) n + i + n - - m x 2 q 俐 翊。【z 口善，m 刮售。冲2 。叫肛( 1 + 2 一一蚓) ( + ”州训j = ( i 面h 刽( 二一1 ) p 2 ( 9 耳1 2 q 1 2 ”) 所以，注意到此时j k ，又s k 1 的情形分别讨论q 1 和q 1 时有 ( ( 。f f ( ，薪) + 妨f j ，) - ) j = ( ( f i ( 叼m 口) 蔚+ 吩阽) 。) j = lj = l k 茎( ( 。i i ( s 。m 。蔚) + 协+ i i ( s 。m q 蔚) + ”峙) 。) j j = l i u _ 2 一jl o 1 的证明。关键在于分剐对k j 和k 曼j 两种情况， 讨论0 ( 叼m 。再) + ”i i ，的大小 口= 2 一k 当k j 时，取s 为边长是2 一的二进方体，令略= 2 - k l 为该方体左下端点， 叼= 2 一。m ，j ，m 扩，注意到女s 由引理2 的( 6 ) 式，以及离散型的y o u n g 不等式 1 0 第一章区域上b e s o v 空间的分子分解 l i s + r l l 一一i i r i i l l 有如下估计 m = i i ( 衄m 口蔚) + 协峥 q = 2 一_ = i ( 叼m q 两) + 竹l ，d x i s = 2 一- j 6l 口2 一- 茎g 止【 s q 2 峄2 廿咄( 1 + 2 k z 一。旷1 卅”】出 l s 。2 一 。t q = 2 一- s o 2 - k i s q 2 垮2 一。“”( 1 + 2 i z s z q ) n q - 1 + ” i s = 2 一l o = 2 一k s g 2 - k i 丽l l 口1 二一；2 一u 一) ”( 1 + 2 l z s z q i ) “+ 1 + “一”】9 i s = 2 一f o j 2 一 这里，仍令i 硒1 = 1 8 。i i q i , 1 卜n - ，为方便起见，令& = 5 m ，s ：s l ，而且因为m 1 0 。一l 所以 + 1 + n m 曼一9 n l 一n 一1 m 兰g 1 7 q i i q i 暑2 一一茁( 1 + 2 。1 2 一j 一2 一。m i ) “+ 1 + 一m p i s = 2 一ki q = 2 一 s c 2 - k a p 2 。o “) ”，( l 萄l ( 1 + l m l z “m e z ” c 2 - k s p 2 州。k p ( i 磊l p ) ( ( 1 + - n - ) p m z “l z ” 玉c 2 - k s 9 2 - u 一) ”( i 东i p ) m e z n 当 j 时，由引理2 的( 5 ) 式，类似的，可以得到如下估计 l ；i i ( 。口m 。劝，吩i j ： i q = 2 一- c 上【l s q l 2 争2 m 卅( ”“”( 1 + 2 k z 口旷1 卅”】9 如 i s = 2 一- 。i q = 2 一。 茎c 2 一h 【l s 口1 2 孥2 一( 。一，) ( + 1 + “( 1 + 2 i z s z 。i ) n + 1 + 一m l p l s 皇2 一l 口2 2 一 g 【l 硒l i q l 量2 一( 。一- 0 ( + 1 + “( 1 + 2 i z s z q i ) n + l + ”。m j i s = 2 一q = 2 一。 s c 2 - 。s p 2 一卜。”1 + ”玲2 一州”( l 菇l ) m z 。 在以上的讨论中，得到了如下两个结果，记为( 9 ) 和( 1 0 ) 第= 节定理的叙述与证明 当 j 时， i i ( s 口m 口蔚) + 刚；sc 2 4 ”2 一。一时1 + ”押2 叫“”( i 东1 9 ) 1 0 2 2 一 m 暑“ 当 j 时， i i ( s 。m 口再) + 仍旧c 2 - k s p 2 一。“”( j 鬲1 9 ) l q = 2 一- m z ” 以下分别对口 1 和口 1 时。由y o u l i g 不等式以及( 9 ) 、( 1 0 ) 的结果得 ( ( 驴咐劝刚，) 。) j = l o o ( ( 驴怖。m 。西) ，刚，) 4 ) ； j f f i l l o 2 一j + ( ( 5 1 1 ( s 口m 。蔚) 协) 9 ) j = ll o 2 一， i q = 2 一。 g ( 2 - ( k - - j ) ( n + j ) ) ( ( i s q i 9 ) ) j ( i i ) 当g 1 时，由j e n s e n 不等式以及( 9 ) 、( 1 0 ) 的结果得 ( 2 ”i ic f 蔚) ￥ j l l p ) 。 j = i 。 ( 沙忡。m q 焉) t 圳，) 4 + ( 2 ，。口m 。蔚) 刚，严 ，2 l 1 ) - 2 一j j = l l 口( 2 一， o o s c ( 2 一”( 蚓9 ) ) 4 + g ( 2 州叫”一1 ( i 叼睁) 。 叼 秽皿 4 删 芦 m 柑 叼 声 埘 g 一 1 2 第一章区域上b e s o v 空问的分子分解 sg 2 - ( k - j ) ( n + 5 ) 。( 蚓9 ) ；+ 。2 - ( j “) ( k - o - 1 ) q ( e 蚓) j = li q 2 一 l 口= 2 一 j = ll 口2 一，l q = 2 一 5 口( i s q l ，) ； j = l q = 2 一 由( 7 ) 、( 8 ) 、( 1 1 ) 、( 1 2 ) 式知定理2 的结论对内部分子成立 对于边界的情况，与引理2 的讨论一样，可以得到边界分子的估计如下 当女sj 时 i ( m q x f ) 十两0 ) j 时 i ( m q x j ) 两( z ) | 2 峄( 1 + 2 k 一卸i ) ”+ 1 + 一 f 按照上面的方法，可以类似的得到 曲 ( ( 掣4 再) + 。, j i i ，) t ) 5g ( ( i s q l 9 ) 5 ) j = l，2 lf 0 2 2 一。 这就完成了定理的证明 ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) 第一节相关概念及定理的叙述1 3 第二章b e s o v 空间的t ( 1 ) 型定理 第一节相关概念及定理的叙述 在建立了区域b e s o v 空间的分子分解以后，我们可以得到一个关于c a l d e r s n - z y g m u n d 算子在区域b e s o v 空间上的有界性定理 定义4 称算予t 为个区域上的c m d e r 6 n - z y g m u n d 算子，如果它的分布核k ( 毛) 满足以下条件 ( 3 1 ) 存在常数c ，使得i ( z ，) l 茎c 1 一引一n ( 3 2 ) 存在7 ( 0 ，1 】和常数c ，使得； i k ( 一y ) 一面扛，掣) j g 陋一一h $ 一”r - “一， $ 一簟l 2 b 一一l i k ( z ，们一k 扛，矿) i g l ”一矿p 协一引一1 ，l z 一褂l 2 旧一矿1 我们将这样的算子t 记为t c z k ( 7 ) 定理3 设1 p ，口 ，若t c z k ( 1 ) ，且t ( 1 ) = 0 ，t + ( 1 ) = 0 ，如果d ( z ) 是 蛾一( o ) 的一个内部原予，那么t a ( x ) 是一个内部分子 证明定理3 需要以下引理： 引理3 ( f 2 】，p 3 唧在定理2 的条件下，存在仅依赖于算子r 与空间维数n 的常数 c ，使对任意的妒d ( 俨) ，它支于一个半径为t 的球鼠上，有t ( 妒) l * ( r “) ，且 0t ( 妒) i i 。sc ( i i 妒l i 。+ t i lv 妒0 。) 引理4 ( 【2 】，p 4 0 5 ) 设t 满足引理3 的条件，p d ，z ，z z 舻，z 1 z 2 ，令 t ( z ) = 如( i 筹备) ，q = 1 - e ，其中，当吲s 1 0 时，岛( ) 一l ；当l 工| 2 1 1 时，如( ) = o ； 则 t ( 0 2 ) 一t ( 妒) ( 1 ) =，【k ( x 2 ，v ) 一( z 1 ，f ) 】( “9 ) 一“z 1 ) ) 口( 9 ) 由 j n ， 一fk 0 l ，) 妇( v ) 一l p ( z 1 ) 】f ( 曲4 1 1 j 2 1 ， 一k ( x 2 ，) 妒( ) 一l p ( z 2 ) 】f ( 口) d v j ，簪2 2 + 陋( # ：) 一妒( z - ) 】t ( 。2 ) 1 4 第二章b e i d o v 空阿的t ( 1 ) 型定理 第二节定理的证明 定理3 的证明设n = n 口是一个光滑原子，其支集为1 , 0 4 q 点是原点现在光滑原子定义中的n = 0 首先证明 1 t a q l g 1 0 1 亍( 1 十2 。l z x q i ) 一1 其中l 。= 2 “是q 的边长，c 不依赖于。的选择 先看当6 诉2 一t 时，于是由消失条件知 不妨假设q 左下端 ( 1 5 ) t ( 州z ) ；上k ( q ，) n ( ) 由= 上畔( 。，”) 一( q 0 ) 】n ( 们由 因为川2 徊，所以i z 一训一l y l 4 何2 一2 1 y l ，由的光滑条件得 i t s ( 蚓g 乜徊一。苦铬i j 删由 l 训曼2 、，元2 一p 一驯一 e 南丘陋痂p i1 7 ) l a y ( 1 6 ) sg i q i 芋( 2 。) 一1 其中，第二个不等式用到事实t 因为k 一训2 1 y l ，l y l 2 徊一，所以3 ms6 j - 2 一s l z i ，j 训s 粤，因而就有i z v l i z l l y l l z i 再看当h 6 、，记一k 时，由引理3 及。的大小条件可知 l l t a l l 。c ( 1 l a l l 。+ 2 一l l w l l 。) 5c i q i 寻 从而由( 1 6 ) 、( 1 7 ) 知( 1 5 ) 式得证 下面证明t ( 曲满足光滑条件显然只需证明 i t a ( z 1 ) 一t a ( z 2 ) lsc l q i t 一( 2 i x l 一z 2 i ) 1 ( 1 + 2 i z l l ) 一1 + ( 1 + 2 k 1 。2 1 ) 一1 ) 当i ，一z 州2 “时，有 i t a 扛1 ) 一t a 0 2 ) isi t n 轴1 ) l + i t a ( w 2 ) i c i q i ：争 ( 1 + 2 i x l l ) 一1 + ( 1 + 2 j z 2 i ) - - n - - 1 ) c l q l ：d ( 2 l z l z 2 1 r f ( 1 + 2 i z l1 ) 一，+ ( 1 + 2 。i z 2 i ) - - - ，) 此即( 1 8 ) 式成立 ” 培 均 第二节寇理的证明1 5 现设l z ，一z 2 i 2 x l 一