（基础数学专业论文）拓扑量子场论和量子群简介.pdf

南开大学学位论文使用授权书 根据南开大学关于研究生学位论文收藏和利用管理办法，我校的博士、硕士学位获 得者均须向南开大学提交本人的学位论文纸质本及相应电子版。 本人完全了解南开大学有关研究生学位论文收藏和利用的管理规定。南开大学拥有在 著作权法规定范围内的学位论文使用权；即：( 1 ) 学位获得者必须按规定提交学位论文( 包 括纸质印刷本及电子版) ，学校可以采用影印、缩印或其他复制手段保存研究生学位论文， 并编入南开大学博硕士学位论文全文数据库；( 2 ) 为教学和科研目的，学校可以将公开 的学位论文作为资料在图书馆等场所提供校内师生阅读，在校园网上提供论文目录检索、文 摘以及论文全文浏览、下载等免费信息服务：( 3 ) 根据教育部有关规定，南开大学向教育部 指定单位提交公开的学位论文：( 4 ) 学位论文作者授权学校向中国科技信息研究所和中国学 术期刊( 光盘) 电子出版社提交规定范围的学位论文及其电子版并收入相应学位论文数据库， 通过其相关网站对外进行信息服务。同时本人保留在其他媒体发表论文的权利。 非公开学位论文，保密期限内不向外提交和提供服务，解密后提交和服务同公开论文。 论文电子版提交至校图书馆网站：h t t p ：2 0 2 1 1 3 2 0 1 6 1 ：8 0 0 1 i n d e x h t m 。 本人承诺：本人的学位论文是在南开大学学习期间创作完成的作品，并已通过论文答辩； 提交的学位论文电子版与纸质本论文的内容一致，如因不同造成不良后果由本人自负。 本人同意遵守上述规定。本授权书签署一式两份，由研究生院和图书馆留存。 作者暨授权人签字： 肖：盘查 2 0 1 0 年6 月6 日 南开大学研究生学位论文作者信息 论文题目 拓扑量子场论和量子群简介 姓名 肖心立i 学号l 2 1 2 0 0 7 0 0 0 7 j 答辩1 3 期l 2 0 1 0 年5 月2 9 日 论文类别博士口学历硕士一硕士专业学位口高校教师口同等学力硕士口 院系所 陈省身数学研究所专业l基础数学 联系电话 1 3 8 0 2 1 0 4 6 9 5 f e m a i l a n d r e w a a m a i l n a n k a i e d u c n 通信地址( 邮编) ：陈省身数学研究所6 1 l ，3 0 0 0 7 1 备注： i 是否批准为非公开论文l 否 注：本授权书适用我校授予的所有博士、硕士的学位论文。由作者填写( 一式两份) 签字后交校图书 馆，非公开学位论文须附南开大学研究生申请非公开学位论文审批表。 。擎徘审茸拱珥隶拦哥非戥申鬲草地毒￥拦阜翔澎革歌爵毒拦妤非勘 锆圈罂蕈詈毒焉( 料丝￥一) 皇斡晕勤甲。萃礤珥毒驹千班、千斟晕坷明士戮辫椠茸买锋珥斟宰：千! 曼 i 茸观拄哥非紧裂撙显著i ：嚣号 i l o o o g i1 9 缯g 抱赤壕舒昆涮：( 嘴卿) 弭可i 手身娶 u o n p a 弘叩b u i ! e i i i 明瓜瓠p i i bfu 仰i s 6 帅oi 乙0 8 i 娶审显独 杀壕腿霉 l 不牟 鳕延擅杀臻孑彰潮鳕显翱 口千逊华杀金刨口蛳辚辫掣口百杂环牟千进一千迹笪杀口千斟腊椠茸拱 目6 z 皆9 南o i o zi 睁白挺嚣l 0 0 0 0 0 乙i 乙 i 鲁杀l 覃叼，泉 矽髯 影观摇士喜咄歌辫士兽性辨目鹭茸砚 冒署晕勘萃拱珥毒鬲革扭毒￥拦掣 甘9 日9 匆0 i o z 下固嗅 ：专焉y 砰弭磊第勤 。晕禺勘皓囤哇剽雨錾拉甲船鲤￥一苦焉锋砰群章。覃辞娶丁皋瓤晕四y 卓 。百目y 卓甲酱g 司业搿饕到业圈蹲琏一露掣朝茸拱卓驺拼写裂士申茸拱砑杀朝莓蕾 。挺嚣茸砚骚娶昼冀留勤朝裂毕勤晤刨酶庄嘉嘉￥拦掣翠瞽茸观码杀朝y 卓：祟凄y 卓 。m 珥x o p m j l 0 0 8 ：1 9 1 睨i i e o e ：d 竹q 。鞭幽勘牛囤辫互蕈瞢硝士串茸观 。茸现拦影刨暂酯瞠萆篱詈毋蟛暂邵谕篱哇莓瞢哲刨业e f j 翻瞬霉骜茸现再嘉拦罾非 。瞠砰朝茸祺擎髯# 聱耐鹭翠目哿y 章轴刨。暂邵冒骂粤檠1 彭扭辚豳￥畔洋骚娶 章群骠茸砚再秦珂醉y 劲箕狲士砷罾暂茸砚码亲朝圈鞋晕群聋蕾穗捌帘士审( 霉粟) 肚瞪半 杀国审瞠鲻琶控冒署辑性国串掣珥秦砰斟岩勒茸拱弭杀( 哥) 2 茸砚再杀辅拦影革群珥责犁群 僻旦撵刨嘉￥甚阜犁群* 单辉旦鞣群诽( ) 2 苗邵冒掣罐丐金臻止、甄衅茸弓茸刁冬疆捅辫 茸、拳觋警目莓拱静誓丁豳囡珥翠罄圃雨蛳掣珥滑瞥缯睥翕勘肆囤翠僻溪紧勤茸观哥嘉朝 妊移徘诵且珥杀鞠目推性瞠赤辚鬃( z ) 2 章群臻茸弓茸砚码杀千渔斟杀￥妊单y 嘴箕 茸观再杀甭延控型哿碍圭滞暂融并疆c j | 粝、由缮茸滥1 厢且辫嘉( 绑士申谣卓睹目雪狮辨 母) 茸识码杀革瞢犁群辫酵呀岩蛰雏再杀( i ) ：由砰甘现茸砚再嘉驹早圉馨犁群餮砰勤是 翠晕啡杀￥妊单。犁群砬岛明甘胖唑鞋劲茸砚再素甭距抱* 阜嘉￥拦卑姆上弓毕y 宰 。狲士胃珂畔涩章箩狮茸拱码杀朝y 章莓群嘉￥拦掣刨彭解梁舒 罪珥嘉千蛰、千斟朝蹲罐翼哗醯基茸唑哇嚣劲茸拱母亲雨延搬士￥嘉￥妊阜 群群 斗碑群甘科茸殃翦毒毒￥妊掣 入7 1 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作所 取得的研究成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包 含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所 涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 学位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名： 肖：垒童2 0 1 0 年6 月6 日 非公开学位论文标注说明 根据南开大学有关规定，非公开学位论文须经指导教师同意、作者本人申 请和相关部门批准方能标注。未经批准的均为公开学位论文，公开学位论文本 说明为空白。 论文题目 申请密级 口限制( 2 年)口秘密( 1 0 年)口机密( 2 0 年) 保密期限 2 0 年月日至2 0年月日 审批表编号 批准日期2 0 年月 日 限制2 年( 最长2 年，可少于2 年) 秘密1 0 年( 最长5 年，可少于5 年) 机密2 0 年( 最长1 0 年，可少于1 0 年) 中文摘要 中文摘要 拓扑量子场论和量子群都是上世纪八十年代中后期出现的新兴方向。他们 均产生于物理学家和数学物理学家对量子物理的研究。本文从拓扑量子场论的 角度对这两个方向进行简介。本文的第一部分( 第二章到第六章) 介绍了拓扑量 子场论的基本概念及其应用。第二部分( 第七章和第八章) 描述了一个由量子群 产生的拓扑量子场论的例子，并通过这个例子简单地介绍了量子群的基础知识。 特别地，作者用完全范畴的语言重新描述了霍普夫代数的双构造过程，并用这 个方法给量子群的双构造建立了一个严格的数学基础。 关键词：拓扑量子场论；扭结不变量；模张量范畴；量子群 a b s t r a c t a b s t r a c t t o p o l o g i c a lq u a n t u mf i e l dt h e o r ya n dq u a n t u mg r o u p sa r en e ws u b j e c t sw h i c h w e r ed e v e l o p e di nt h el a t e19 8 0 s t h e yb o t hc a m ef r o mt h es t u d yo nq u a n t u mp h y s i c s b yp h y s i c i s t sa n dm a t h e m a t i c a lp h y s i c i s t s t h i st h e s i si sa r e v i e wo ft h e s et w os u b j e c t s f r o mt h ep o i n to fv i e wo ft o p o l o g i c a lq u a n t u mf i e l dt h e o r y t h ef i r s tp a r to ft h i st h e s i 。s ( c h a p t e r2 6 ) i n t r o d u c e st h eb a s i cc o n c e p t so ft o p o l o g i c a lq u a n t u mf i e l dt h e o r ya 出 i t sa p p l i c a t i o n s t h es e c o n dp a r t ( c h a p t e r7 8 ) d e s c r i b e sa ne x a m p l eo ft o p o l o g i - c a lq u a n t u mf i e l dt h e o r yp r o v i d e db yq u a n t u m 纩o u p s ，a n di n t r o d u c e st h er u d i m e n t s o fq u a n t u mg r o u p st h r o u g ht h ee x a m p l e s p e c i a l l y , t h ea u t h o ru s e sp u r ec a t e g o r i c a l n o t a t i o n st or e w r i t et h ed o u b l ec o n s t r u c t i o n so fh o p ea l g e b r a s ，a n du s e st h i sm e t h o dt o g i v ear i g o r o u sf o u n d a t i o no fd o u b l ec o n s t r u c t i o n so fq u a n t u mg r o u p s k e yw o r d s ：t o p o l o g i c a lq u a n t u mf i e l dt h e o r y ；k n o ti n v a r i a n t s ；m o d u l a rt e n s ( ? r c a t e g o r y ；q u a n t u mg r o u p s 1 i n t r o d u c t i o n ； 2a b e f i a nc a t e g o r i e s 3t h el a n g u a g eo fm o n o i d a lc a t e g o r i e s 3 1m o n o i d a lc a t e g o r i e s 3 2b r a i d e dm o n o i d a lc a t e g o r i e s 3 3 r i g i dc a t e g o r i e s 。 3 4 r i b b o n # a t e g o r i e s 3 5 g r a p h i c a lc a l c u l u s 4r i b b o ni n v a r i a n t 4 ir i b b o ng r a p hc a t e g o r y - 4 2 c o l o r e dr i b b o nc a t e g o r y 5m o d u l a rt e n s o rc a t e g o r y 5 1 k l i n e a rm o n o i d a lc a t e g o r y 5 2 s e m i s i m p l er i b b o nc a t e g o r y 5 3 f u s i o nr i b b o nc a t e g o r y - j 5 4m o d u l a rt e n s o rc a t e g o r i e s 6 t o p o l o g i c a lq u a n t u mf i e l dt h e o r y 6 1a x i o m s 6 2 a t i y a h so r i g i n a ld e f i n i t i o n - 6 3 p h y s i c a lm e a n i n g 6 4 c l a s s i f i c a t i o n s 6 53 dm a n i f o l di n v a r i a n t s m 1 5 9 9陀埒塔场 勉勉巧 打卯勰力驺 孙鲐剪钔甜 7 1 3 p o i s s o n h o p fa l g e b r a sa n dc o p o i s s o n h o p fa l g e b r a s 7 2 q u a n t i z a t i o no f l i eb i a l g e b r a s - 7 2 1 q u a n t i z a t i o n - 7 2 2 u n i q u e n e s s 7 2 3e x i s t e r l c e 7 3 q u ea l g e b r a si ng e n e r i cc a s e sa n dp b wb a s i s j 7 4q u ed u a l sa n dd o u b l ec o n s t r u c t i o n 7 4 1n ed u a lo f w ( g ) 7 4 2h f o r m a lg r o u p s 7 4 3o u ed u a l 。 7 4 4d o u b l ec o n s t r u c t i o no f q u ea l g e b r a s 7 5 鼬b b o ne l e m e n t s 7 6 s 0 e c i a l i z a t i o n s 7 6 1r a t i o n a lf o r m s 。j 7 6 2 i n t e g r a lf o r m s 8 e x a m p l e s ：t h eq u a n t i z e d u n i v e r s a la l g e b r ao fs h ( c ) 8 1 u h ( 5 1 2 ( c ) ) ：t h eg e n e r i cc a s e 8 1 1s t r u c t u r e s 8 1 2 r e p r e s e n t a t i o n s 8 2 q - a 5 h ) ：t h ec a s eo ft h er o o to fu n i t y 。 8 2 1 s t r u c t u r e s 。 8 2 2 r e p r e s e n t a t i o n s - 8 2 3m o d u l a rt e n s o rc a t e g o r y 9s o m eo t h e ri m p o r t a n tt o p i c sa n dc o n c l u s i o n s at h el a n g u a g eo fh o p fa l g e b r a si nm o n o i d a lc a t e g o r y a 1 b i a l g e b r a s 。- - a 2 a 3 a 4 a 5 e l e m e n t s ” q u a s i t r i a n g u l a rb i a l g e b r a s h o p fa l g e b r a s q u a s i t r i a n g u l a rh o p fa l g e b r a s i v 6 7 7 8 8 9 2 2 3 3 4 5 5 5 6 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 鼹鼹铝甜“卯田 n 乃乃 他鸺 c 1 3 m h l m o d c 2 t o p o l o g i c a la l g e b r a s c 2 1a ni m p o r t a n te l e m e n t c 3 t o p o l o g i c a lg e n e r a t o r sa n d r e l a t i o n s db e f o r m a t i o no fa l g e b r a s d 1d e f o r m a t i o no fa s s o c i a t i v ea l g e b r a s d 2 q u a s i h o p fa l g e b r a a n di t sr e l a t i o nt od e f o r m a t i o nt h e o r y eq n u m b e r s e 1t h ei n d e t e r m i n a n tc a s e e 2t h ec a s eo f t h er o o to f u n i t y b i b l i o g r a p h y v 黔虬 虼s 粥 鳄眄 眵 c h a p t e r 1 i n t r o d u c t i o n t h i si sas u r v e yo nt h et o p o l o g i c a lq u a n t u mf i e l dt h e o r yf f q f tf o rs h o r t ) a n dq u a n t u m g r o u p s t h et o p i cr a n g e sw i d e l y s ot h i st h e s i so n l yc o n c e n t r a t e so nt h ei d e a so fc o m p u t - i n gt o p o l o g i c a li n v a r i a n t sf r o mt q f t sa n dt h ee x a m p l e sp r o v i d e db yq u a n t u mg r o u p s q u a n t u mf i e l dt h e o r y ( q f tf o rs h o r t ) i so n eo ft h em o s ts u c c e s s f u lp h y s i c a lm o d e l s i nt h e2 0 t hc e n t u r y i tc a l lc o m p u t em a n yq u a n t i t i e si nt h eq u a n t u mw o r l dw h i c hs a t i s f ya n e x t r e m e l yh i g hp r e c i s i o n h o w e v e r , a tt h eb a c ko ft h es g c c c s s ，q u a n t u mf i e l dt h e o r yi sn o t m a t h e m a t i c a l l yr i g o r o u s f o re x a m p l e ，f e y n m a np a t hi n t e g r a l ，t h em a i nt o o lo fq u a n t u m f i e l dt h e o r y , i sd e f i n e do i la ni n f i n i t e - d i m e n s i o n a lv e c t o rs p a c e ，b u tt h em e a s u r eo ns u c ha s p a c ei sn o tv e r i f i e dt oe x i s ts of a r t h e r e f o r e ，f r o mt h ev e r yb e g i n n i n g ，m a n yp h y s i c i s t s a n dm a t h e m a t i c i a n sw e r ed e v o t e dt ob u i l d i n gar i g o r o u sf o u n d a t i o nf o rq u a n t u mf i e l d t h e o r y , b u t ，t h e r ei sn o ta b e s t ”s o l u t i o nt ot h ep r o b l e ms of a r f u n c t o r i a lq u a n t u mf i e l dt h e o r y ( f q f tf o rs h o r t ) ，w h i c hi sv e r ya c t i v er e c e n ty e a r s ，i s o n eo ft h e s ea p p r o a c h e s i ti sb a s e do na r g u m e n t su s i n gt h ep a t hi n t e g r a l i nt h ep h y s i c a l l i t e r a t u r e sp a t hi n t e g r a ! i sg e n e r a l l ya s s u m e dt os a t i s f yah a n d f u lo fp r o p e r t i e s ，n o t a b l yt h e s e w i n gl a w s ：t h a tt h ep a t hi n t e g r a lo v e ra d o m a i n w h i c hd e c o m p o s e si n t os u b d o m a i n s 1a n d 2i st h es a m ea st h ep a t hi n t e g r a lo v e r lc o m p o s e dw i t ht h a to v e r 砀a t i y a h i n 【5 】s t a t e dt h a tt h i sp r o p e r t yc a l lb et a k e na st h ed e f i n i n gp r o p e r t yo ft h ep a t hi n t e g r a l ， t h e r e b yc i r c u m v e n t i n gt h ep r o b l e mo fc o n s t r u c t i n gi ta sa na c t u a li n t e g r a l t oa x i o m a t i z e t h ei d e a ，w em e e tt h ed e f i n i t i o nt h a taf q f ti saf u n c t o rf r o mas u i t a b l ec a t e g o r yw h o s e m o r p h i s m sa l ec o b o r d i s m st oac a t e g o r yo fv e c t o rs p a c e s 舭t h a tt h ef u n c t o r i a l i t y f o l l o w si m m e d i a t e l yf r o mt h es e w i n gp r o p e r t y t h e r e f o r e ，i nt h i sw a y , t oc o n s t r u c ta f q f t i si n d e e dt oc o n s t r u c ta p a t hi n t e g r a l s e ef o re x a m p l e 6 6 】【1 0 】【7 】a n d 【5 4 】a n d t h er e f e r e n c e st h e r e i n i nm a t h e m a t i c s ，w i u e ni n 6 7 】s h o w e dh o wt ou s em o r s et h e o r yt oc o m p u t et h ed e r h a mc o h o m o l o g yo fa c o m p a c tm a n i f o l d ，a n dg a v ean e wi n t e r p r e t a t i o no fm o r s et h e o r y a n d m a d e i tf i ti n t ot h ef r a m eo ff u n c t o r i a lq u a n t u mf i e l dt h e o r y h ea n da t i y a hw e n ta l o n gt h el i n e a n df i n a l l ye s t a b l i s h e dan e wt h e o r y - - - t o p o l o g i c a lq u a n t u mf i e l dt h e o r y ：t ou s eq u a n t u m f i e l dt h e o r yt oc o m p u t et o p o l o g i c a li n v a r i a n t s i n19 8 7 a t i y a hc o n j e c t u r e dt h a tf i o e r s n e wh o m o l o g yg r o u p sa r et h es t a t es p a c eo faq u a n t u mf i e l dt h e o r y , a n dt h ec o n j e c t u r e c a nu n i f yt h et h e o r yo fg r o m o v w i t t e ni n v a r i a n t s ( w h i c hw a sn o tk n o w na tt h a tt i m e ) a n d d o n a l d s o ni n v a r i a n t s h ec o n j e c t u r e dt h ee x i s t e n c eo ft w oc o r r e s p o n d i n gq u a n t u mf i e l d t h e o r i e s i n1 9 8 9 ，w i t t e na t t e m p t e dt og e tj o n e sp o l y n o m i a l sb yu s i n ga3 dt q f rw h o s e s t a t es p a c ei st h ef i n i t ed i m e n s i o n a ls p a c eo fc o n f o r m a lb l o c k so fa2 dw z w t h e o r y a n dw h o s el a g r a n g i a ni st h ec h e m s i m o n sf u n c t i o n a l a f t e rt h a t ，t h et h e o r yd e v e l o p e d e n e r g e t i c a l l y s e e 【6 8 】f o rd e t a i l sa n d 【6 9 】f o rm o r eh i s t o r i e s m a n ym a t h e m a t i c i a n sa n dp h y s i c i s t st h e nc a r r i et ot h ef i e l da n dm a d ep r o g r e s s t h e i r e f f o r t sw e r cd i v i d e di n t ot w o p a r t s ：t of i n dap r o p e rw a y t od e f i n eaq f ta n dt ou s et h ed e f i n e dq f rt oc o m p u t e t o p o l o g i c a li n v a r i a n t s m o s to ft h e m a t e r i a l sr e v i e w e di nt h i st h e s i s f o l l o wt h ed e f i n i t i o no fa t i y a h ，a n df o c u so nt h ec o n s t r u c t i o no ft o p o l o g i c a li n v a r i a n t s t h em o s tr e m a r k a b l ef i g u r e si nt h es t a g ei sr e s h e t i k i na n dt u r a e v , w h oc o n s t r u c t e dt h e s o - c a l l e dr e s h e t i k i n - t l r a e vi n v a r i a n t sa n dc o n n e c t e dt h ec o n s t r u c t i o nt ot q 兀 5 9 5 8 s e ea l s o 【6 4 t h e s ew o r k sf o r mt h eb a s i cf r a m eo ft h i st h e s i s a n o t h e rt o p i ci nt h i st h e s i si sq u a n t u mg r o u p s ，e s p e c i a l l yq u a n t i z e du n i v e r s a le n v e l o p i n ga l g e b r a s q u a n t u mg r o u p sf i r s ta p p e a r e da m o n gt h es t u d yo fi n t e g r a b l es y s t e m s b yl e n i n g r a ds c h 0 0 1 i tw a sr e a u z e di n d e p e n d e n t l yb yd r i n f e l da n dj i m b oa r o u n d1 9 8 5 t h a tt h e s ea l g e b r a sa r eh o p fa l g e b r a s ，w h i c h ，i nm a n yc a s e s ，a r ed e f o r m a t i o n so fu n i v e r s a l e n v e l o p i n ga l g e b r a so fl i ea l g e b r a s t h et h e o r yg r e wv i g o r o u s l ya f t e rd r i n f e l d si c m t a l ka b o u ti ti n1 9 8 6 【1 4 i ns o m es e n s e ，q u a n t u mg r o u p si sag e n e r a l i z a t i o no fl i et h e o r y i tn a t u r a l l ya r i s e si n m a n yp h y s i c a lp r o b l e m s o n eo ft h em a i nm e c h a n i s m st h r o u g hw h i c hq u a n t u mg r o u p s a p p e a ri np h y s i c si st h es a m ea sf o ru s u a ll i eg r o u p s ：i fah a m i l t o n i a no faq u a n t u m s y s t e mh a sa l i eg r o u ps y m m e t r yt h e nt h i sh e l p st of i n di t se i g e n v a l u e sa n de i g e n v e c t o r s b e c a u s ei t se i g e n s p a c e sa r er e p r e s e n t a t i o n so ft h i sg r o u p i ta l s oa p p e a r si nm a n yp h y s i c a l m o d e l s ，l i k es t a t i s t i c a lm e c h a n i c s ，q u a n t u mi n t e g r a b l es y s t e m sa n ds oo n 4 6 】 t h er o l eo f q u a n t u mg r o u p si nt h i ss u r v e yi st h a tq u a n t u mg r o u p sp r o v i d eag r o u po f e x a m p l e so fm o d u l a rt e n s o rc a t e g o r yw h i c ha r eu s e f u li nt h ec o n s t r u c t i o no f3 dt q f t b r i e f l y , t h er e p r e s e n t a t i o n so far i b b o ng i v er i s et oak - l i n e a rr i b b o nc a t e g o r y t h e n s i n c eaq u a n t i z e du n i v e r s a le n v e l o p i n ga l g e b r a ( q l r ea l g e b r af o rs h o r t ) i ss u c har i b b o n a l g e b r a , w ec a ng e tl o t so fe x a m p l e so fk l i n e a rr i b b o nc a t e g o r i e s f u r t h e r m o r e ，aq u e a l g e b r ai sad e f o r m a t i o no fa l lu n i v e r s a le n v e l o p i n ga l g e b r a o fal i ea l g e b r aa n di tc a nb e 2 s p e c i a l i z e db ya s s i g n i n gt h ed e f o r m a t i o n 白a r a m e d e rt os o m ec o m p l e xn u m b e r w ew o u l d g e tam o d u l a rt e n s o rc a t e g o r yi fw ep i c ks o m es p e c i a lo b j e c t sa n dm o r p h i s m sf r o mt h e c a t e g o r yo fr e p r e s e n t a t i o n so ft h es p e c i a l i z e dq u ea l g e b r a t h i sp r o c e s sw a ss t u d i e d w e l lb ym a n yp e o p l e ，i n c l u d i n gl u s z t i g 【4 8 4 9 5 0 51 ，a n d e r s e na n dp a r a d o w s k i 【3 】， a n d e r s e n , p o l oa n dw e n 【4 】a n dm a n yo t h e r s h e r ew et a l km o r ea b o u tc a t e g o r i e s c a t e g o r i e sw e r ed i s c o v e r e db ye i l e n b e r ga n d m a cl a n e 【1 9 2 0 】i nt h e i rs t u d yo fl i m i t sf o ru n i v e r s a lc o e 衔c i e n tt h e o r e m si nc e c hc o - h o m o l o g yi no r d e r t os t a t et h ei d e ao fn a t u r a lt r a n s f o r m a t i o np r e c i s e l y t h e r e f o r ec a t e g o r y t h e o r yw a sj u s tal a n g u a g ea tt h et i m ea n ds oi tw a sa l s ot h o u g h t o f “a b s t r a c tn o n s e n s e ”i t d e v e l o p e dr a p i d l ya f t e rg r o t h e n d i e c kw i d e l yu s e dc a t e g o r i e st of o r m u l a t eh i sh u g et h e o 。 d e so fa l g e b r a i cg e o m e t r y i ti sv e r yc o n v e n i e n tt ot i l i l l l ( i nc a t e g o r yi nt h e s et h e o r i e st h a t c a t e g o r yt h e o r yb e c o m e sat o o lt oa s s i s tr e s e a r c h h o w e v e r , w i t ht h ed e v e l o p m e n t o ft h e t h e o r yr e v i e w e di nt h i ss u r v e y , c a t e g o r y b e c o m e sa no b j e c ti nt h es t u d y i nm a n yp h y s i c a l m o d e l s ，o n ec a nc o n s t r u c ts o m ec a t e g o r i e sa n dc a l c u l a t ep h y s i c a lc o n s t a n t su s i n gt h ed a t a o ft h ec a t e g o r i e s t h ep h e n o m e n o ni sj u s ts i m i l a rt ow h a th a p p e n e dt oa b s