（基础数学专业论文）非齐次项为uū4的薛定谔方程柯西问题的局部适定性.pdf

摘要 摘要 本文考虑了以下非齐次项为u f t 4 的s c h r s d i n g e r 方程的柯西问题 魂一i a u = u f t 4 ， u ( x ，0 ) = u o 娥( r ) ， ( t ，z ) r + r ， 其中空间厨( 冗) 的范数定义为 i l u ol l 廊：= 8 嘞( 刚l ；7 利用由a x e lg r i j n r o c k 引入的推广的b o u r g a i n 空间x 8 6 r 以及关于非齐次项 乱面4 的多线性估计，我们证明了当1 0 ，以上柯西问题有唯一解钆k 6 ( 6 ) ，解属于空间g ( ( 一5 ，6 ) ，蟛) ， 并且对任意的0 品 6 ，映射厂：厨_ k 6 ( 品) ，u o _ 钆是局部l i p s c h i t z 连续 的。 关键词局部适定性f o u r i e r 限制范数多线性估计 a b s t r a c t i i a b s t r a c t t h ec a u c h yp r o b l e mf o rt h e s c h r s d i n g e re q u a t i o n u t i a u = 乱铲，u ( x ，0 ) = u o ，z r i sc o n s i d e r e di nt h i sp a p e rf o rd a t au o i nt h es p a c e h ；( 冗) d e f i n e db yt h en o r m u 0 1 1 癣：= 8 谝( 钏l ；7 m a k i n gu s eo fa na p p r o p r i a t ev a r i a n to ft h eb o u r g a i ns p a c ex s r , bi n t r o d u c e db y a x e lg r 西n r o c ka n dt h em u l t i l i n e a re s t i m a t ef o rt h e 钆面4 ，w ep r o v et h a tf o r1 0a n d au n i q u es o l u t i o n 珏翟6 ( 6 ) o ft h e c a u c h yp r o b l e mm e n t i o n e da b o v e t h i ss o l u t i o nb e l o n g st og ( ( 一6 ，6 ) ，域) ，a n dt h e m a p p i n gf ：厨_ 磁6 ( 南) ，钆o _ “i sl o c a l l yl i p s c h i t z c o n t i n u o u sf o ra n y0 品 o ，以上柯西问题有唯一解乱k 6 ( 6 ) ， 解属于空间g ( ( 一5 ，6 ) ，厨) ，且对任意的品( o ，6 ) ，解对初值：让o _ 让，厨_ k 6 ( 5 0 ) 是局部l i p s c h i t z 连续的。 第二章预备知识 4 第二章预备知识 2 1 霹6 - 空间的基本性质 对8 ，b r ，f s ，记 露f ：= 巧1 ( ) 3 r ， 砖，：= 巧1 ( 丁) 6 r ， 人6 厂：= 刀( 一) 厂 可验证a b f ：f - 1 ( 7 一矽( ) ) 6 f 厂。定义空间磊为s c h w a r z 空间s 关于范数 i l f l l 、a = ( 肚d 丁( ) ( 丁) i 船，丁) i 一) 专 的完备空间。 引理2 1 对f s ，有等式 i i f l l k 。= l i v e ( ) f l l 磊b ， ( 2 1 ) 怫列硌舶= i i l i x ：, 。， ( 2 2 ) i 妒州k w = i l f l l x ；, 。 ( 2 3 ) 证明f ( 一) ，( ，丁) = f ，( 毒，7 - q - 咖( ) ) ， ( 一) 州磊 倒礁) 8 r b ) l 诵玳r ) 专 - d d 丁恁) 8 一( 丁一驴( ) ) 打7 i ，( ，丁) l 一) 专 f l l x ：。 等式( 2 2 ) ( 2 3 ) 可由定义容易证明，从略。 口 由露占口，：，舻a 一芦，= ，知嚣，胪的像分别在h 以6 ，x 量6 一p 中稠密，算 子可扩张到整个空间，于是可得如下推论： 第二章预备知识 5 推论2 2 映射 胪：墨6 ( ) jk 6 一p ( ) 乃：k 6 ( ) jx l ( 咖) 是等距同构的。 引理2 3 令( ，) 表示l ：。的内积，若定义映射 圣：x 二，一6 _ ( k 6 ) 7 ，g _ 圣( 夕) 为 西( 夕) 门：= ( 露a 6 ，j 2 8 a 一6 夕) ，f 霹6 则圣是等距同构的，因此相对于l ：。内积，k 6 的对偶空间( k 6 ) 7 可同构于 x 二_ 6 。 证明对f ) 曙6 ( 咖) ，g x 二，一6 ( ) ， 圣( 夕) 川= i ( 瑶人6 ，石8 a 山夕) i i i j ：a 6 f l l 瑶l l j i 8 a 一6 夕峻 = i l f l l x 。r ，i l g l l x t ；_ 山 因此西( 9 ) ( k b ( ) ) 7 ，且i i 西( g ) l l i l g l l x = 山( 咖) 由推论2 2 | | 西( 夕) l l =s u pi ( j ：a b f ，j ；8 a 一6 夕) i = s u pl ( h ，l 7 i 8 a 一6 9 ) i l y l l x ；, 6 s 1 磊1 = i i 8 a 6 夕嵫2i l g l l x ： ，“ 下面只需证明圣是映上的。假使y 是一个磁6 ( ) 上的有界线形泛函，则 z = y 。矗s a - 6 是l 一= t 上的有界线形泛函，由l p 空间的自反性，存在互露， 使得z 仂= ( ，互) 对所有的，露都成立。令g = 以a 6 亘疋_ 6 ( ) 则 可 门= 垂( 夕) 【，】对所有的f k 6 。 口 更一般的共轭性质可参见 2 1 】定理3 6 。 第二章预备知识6 引理2 4 对s r ，与相函数无关有以下成立( 相似结论见 2 2 】引理2 1 ) x s 6 , - ( 咖) cg ( 冗，珥) 霹6 ( ) cl f f ( r ，h r ) i l f l l x ：, 。( 毋) c l l f l l l ，( 丑，厨) i l f l l x x , 。( 咖) c l l f l l l ( r ，厨) 证明不失一般性，我们假设8 = 0 先证( 2 4 ) 式，对v f x 0 6 r ， v 6 兰 v 2 7 ，p 三一兰， 怕 1 ，6 妄，( ，( 7 - ) 一打d 7 - ) 。o ，可以得到 i l f l l 训囝c ( i r f ( 毒，7 - ”o ) 打必) kc 碌 i i f l i l 尹( r ，砬) = i iu 毋( ) f l l l ( 兄霹， c i i u 妒( 一。) 刑氟2c 珏。( 妒) 连续性可由s 在k 6 ( ) 中稠密得到。 再证( 2 5 ) 式，对v f 瑶b ，由m i n k o w s k i 不等式 l 融砬) = i ll i f f ( , ，t ) l l l 刘l ；) i ii i f f ( , ，t ) l l l rl l 二；， 再由y o u n g 不等式 i i b 厂( ，t ) l ll 。i i f f ( ，- ) 1 1 l ， = ( i f f ( ，7 - ) i p ，( 7 - ) 妇7 ( 7 - ) 一印7 d ，7 - ) a i i f f ( ，丁) ( 丁) 6 i i l r ，i i ( r ) 山怯 ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 第二章预备知识 7 其中i 1 = 歹1 一专= 吾一； b ，有l l ( 丁) 一b l l l a b o 一石1 证明对v f 碹 6 1 ， i i 厂l i x ：o 。 = i l ( 7 - 一( ) ) 6 0 ( ) 印f 厂( ，7 - ) i | ，6 6 0 ，”0u ，f = l l ( 丁一咖( ) ) 6 ，( ) 8 - f ，( ，丁) ( 丁一( ) ) b o - b l ( 荨) 8 0 - - 8 1i l l ：6 1 1 丁一砂( ) ) 6 1 ( ) 8 1 f ，( ，丁) i | l ；i i ( r 一( ) ) 6 。一6 1 ( ) 8 。一8 1 | i l ；， 最后一步用到了h s d e r 不等式。 注意百1 = 巧1 一百1 = 石1 一石1 礼， 一矽( ) ) b o - b l ( ) $ 0 - - s l 忸， c x ) 由此得 1 1 1 1 1 x ：o ，的c l l ( 丁一( ) ) 6 1 ( 毒) 8 1 f ，( ，丁) l l l 暮5c i i ，| l x 嚣净， 口 注：特别的当n = 1 时有 x k 沁c 瑶， ( 2 8 ) 其中是任意小的正数。 2 2 线性估计 我们利用切断函数矽曙( r ) ，设它有如下性质： t ) s 叼矽( 砂) c ( - 2 ，2 ) 说) 妒卜1 ，1 尸1 i i i ) 矽( t ) = 妒( 一亡) ，矽 ) 0 。 对0 6 1 ，定义咖( 亡) ：= 矽( ；) 。 第二章预备知识 8 对齐次线性方程解的估计可由i i 刘x 王。2i i u , ( 一) 刘j 嚷( 见式( 2 1 ) ) 直接得 到 l l c u 毋u 。l l x ；, 。2l l c u 。j | 瓦2i i 砂| i 露l l 札o | i 蔚2c , l l u 。| l 厨 ( 2 9 ) 而对于非齐次线性方程 的解 有如下估计 侥钆一i a u = f ju ( o ) = 0 乱( 亡) = o 。( 亡一亡7 ) f ( 亡7 ) 出7 = ：+ r f ( 亡) ， 引理2 6 ( 非齐次线性方程估计) 侣激1 _ l i i i = 咖 ( i 7 - ) _ 。e x p ( i t t ) 鸯( v ) d 7 第二章预备知识9 对于第一部分，因为1 b 0 b 7 ， 忪峻1 圳露缸。i 丁i 执丁凇丁， 而 5 1 _ 七( 丁) _ 6 ) 1 9 0 - ) l d r j i r l 5 1 面1 + 6 7 i l g l l 筇 最后，对i i i 中的被积函数j ，有j = c 丁一1 ) ( 1 ，于是有 i ij i l 每2 r | 6 。( 丁) 一1 一一( 丁) 一1 0 ( 丁) | 一d 丁 cs u p 6 。卜) 一例务， 1 7 - i b z 第二章预备知识l o 对满足b 一6 ，1 的所有6 ，b 7 r 成立，有i i j l l 廓；c ( 多l + b l - b i l g l l 蓐。对如j 作 f o u r i e r 变换，我们有 所以有 ( 丁) 6 i i 两( 刊l ( r ) 6 t i 菇( n ) 了( 丁刊 c 磊( 彬( r n ) j d n + 抚i 磊( 刮( 丁一科l 了( 丁一刮， 慨j i l 俞；i i ( i t l 6 网) ，ci j i l l l + 磊i 木( ( 丁) 6 i j l ) l l l ：， 丁1 6 l 矽6 l ；i i j i l l ；，+ i i 矽6 i i 珥jj j i i 霹 c ( 6 。6 i i j l l 霹+ i i 列露) 6 l + b l - b 筇 ( 2 1 0 ) 式得证。若g 是关于时间和空间变量的函数，对固定的 弦) 舶i 西( i r 7 打硝r i ( 1 + b i - b 卜) 舶觚丁) 丁， 乘上( ) 一8 ，再关于变量积分，就得到 i i k 夕i l 乞c 6 r ( 1 + b l - b ) 圳惫， 对夕( 亡) = 玩( 一t ) f ( t ) 应用上式，就得到结论。 口 第三章主要结果的证明 第三章主要结果的证明 这一节我们给出本文主要结果的证明。首先不加证明的给出 2 0 】中的两个结 果( 2 0 中的引理2 1 ，推论2 6 ) 。 引理3 1 设1 q 7 1 ，2 p ，且；1 + j = 丢+ 去，则对u e i t o ：u o ，u = e - u o 墨v o ，有 慷( u v ) l l 霭( 鼋) c l l u o 峪i 矛 其中i 是阶为一1 的r i e s z 势算子， 1 1 1 1 1 魂( 鼋) = ( ( j ，( ，丁) p 打) 多必) 7 ，石1 + 专= 刍+ ；= 1 引理3 2 若p ，q 1 ，假设p 7 q 或p = q ，则对u = e i t a 莹u o ，u = e - i t o ! v o ，w = e i t o ! w o ，有 1 u v w l l 露( 磅) c i i 珏o i i 露i 卜o | j 露i i 伽o i i 霭 引理3 3 对满足引理3 1 条件的p ，口，r l 2 ，及b i 丢，有 岍( 乱乃) 峨鼋) c 碌，碲： 成立。 证明设u 俅) = 尻( u ，v t ( 亡) = f t ( 一) 面，尻表示对时间变量的f o u r i e r 变换，则有 u ( t ) = ( t ) ( - t ) u ( t ) = c ( 亡) c i t r ( e ( 一) 乱) ( 7 - ) d 丁 = c e 乱r ( 亡) 钆”) 扛 同样 ( 一亡) ( 亡) 亏( 亡) c ( 一t ) e 乱7 ( r ( ) 面) ( 丁) d t ， ， c e i t r u 咖( 一t ) v 7t ) d t ，石1 ( 札( 亡) 面( 亡) ) 第三章主要结果的证明1 2 = ，；( c n 呲) u ) 抚他( 卅以死) d 吃) = c ，j 1 ( e i t ( t 1 b t 2 ) u ) ( 卅以死) ) 机奶 由m i n k o w s k i 不等式和引理3 1 可得 而 幡( 钍酬西( 霹) c 1 1 ，( e i t ( r 1 + r 2 ) ( 亡) 乱7 ( n ) ( 一亡) 钉7 ( 死) ) l l n ( 露) d n d 吃 c 肛；( ( 亡) u 7 ( n ) ( 一亡) u 7 ( 丁2 ) ) l i 西( 鼋) d t 。d 7 2 c ( n ) f l ai l 以训i 西如d 见 c 1 1 乱饥川枣d n ( 训i 辱饥 u h ) 峪如 = ( n ) 山1 ( 科1 i i 以刮i 历抚 ( ( n ) - b ：，d t l ) 寿( ( n ) h 嵋i i 乱7 ( n 川每d n ) 者 由b 1 石1 ，知( 一r ( n ) _ 6 ，r ，d n ) 百1 1 时，有 其中e 是任意正数。 伽仍i i f , 如i l u l l x ；，l + ci i u 恢l + ei l w l l x ；， 引理3 54 , - 2 r 1 ，s 昙，1 6 三，6 ， 0 ，有 t = 1t = 1 5 ( 泸c ( 鼢们 i = 1 nn 假设对s = 弓我们证明了该定理，对某s o 丢 u l u 一2 u 一3 祝4 酬，6 ，2 i i j 8 。一言( 乱1 百2 面3 面4 面5 ) i k c i i j 8 。一可2 札1 j 8 。一i 2 祝2 j 8 。一虿2 面3 j 8 。一百4 j 8 。一i i x ；。， 55 c i ii 1 9 8 。一；u t i i x 抽= c i l u i l l 扣 对s 0 ；定理也成立。因此我们只需对s = 詈证明该定理。 其中 u 1 面2 面3 面4 诹i i x i i i 钆1 面2 面3 面4 面5i i x ；, o = l lj i ( 钆1 雹2 面3 面4 面5 ) i i 瑶 = i i ；舯札( 鼠n ) 5 f 砚( 已，训k i - - - - 2 d v = l 名，矗产名，n 诞，抚尥奶焰炳螈如 不失一般性，可以假设他) 幅) 幅) ) ，并且记厂5 夕表示i ，i c 引。 下面分三种情形来讨论 r x u 。甜 c ；，6 ，( b 一 1 ，1 ) ，使得估计 i i n ( u ) l l x ：, 。，c ( 1 l u l l x ；, 。) l l u l l x ；, 。， ( 3 4 ) l i ( u ) 一n ( v ) l l x ：, 矿c ( 1 l u l l x ：, 。- i - - i l v l l x ：, 。) i i u 一秒i l k 。 ( 3 5 ) 成立，其中c 是一个耐一财的非减函数。 证明由引理3 5 i n ( u ) l l x ：, 。，= l 俩4 l l x 王。，c l l u i i k 。，( i m i x ：, 。，) 4 i i u i i x 王。， 第三章主要结果的证明1 6 i i n ( u ) 一n ( v ) l l x ：, 。，= i i 乱雹4 一秒硎墨。， =i i 乱面4 一 面4 - i - v f i 4 一”雷面3 + u 雷面3 一秒雷2 面2 + 矛2 面2 一u 移3 面 + 舻面一 矿i i x ：。， i i ( u u ) 舀4 l f x 三。，+ i i v ( 面一移) 面3 i i k 。，+ l | 秒面( 面一面) 面2 l l x ；。， + i h 面2 ( 面一面) 面i i 叠。，+ i i u 云3 ( 面一o ) l l x ：, 矿 c | | 乱1 1 支暑。i l u 一钉i i k 。+ i i 乱ij 耘。i i v l l x ：, 。i l u v l l x ：, 。+ i l u l l 麦- ：, 。i i 钞1 1 支王。 i i u u i i k 。- i - i l u l l x 互。i i 口1 1 支量。i l u v l l x ：, 。+ i i v l l 支量。i l u v l l x ：, 。 c ( 1 l u l l x ：, 。+ i l v l l x 量。) 4 i i u v l l x = 。 其中c ( t 1 = t 4 。 定理1 1 ( 局部适定性定理) 考虑以下s c h r s d i n g e r 方程的柯西问题 侥“一i a u = u f z 4 ，u ( x ，o ) = u o 厨 口 对s ；，r ( 1 ，2 ，存在6 = j ( i i 咖| i 俞) 0 ，以上柯西问题有唯一解u 墨6 ( 6 ) ， 解属于空间g ( ( 一6 ，6 ) ，谚) ，且对任意的品( o ，6 ) ，解对初值：u o _ u ，厨_ k 6 ( 5 0 ) 是局部l i p s c h i t z 连续的。 证明我们要求的解钆g ( ( 一6 ，6 ) ，厨) ，且满足积分方程 u ( t ) = a u ( t ) = ( t ) u o + u + r ( 乱) ( t ) ，t ( 一6 ，6 ) ( 3 6 ) 其中n ( u ) = u 面4 。 i ) 存在性：对u k b ( 占) ，对应着扩张包x 量b ，则a u 对应的扩张为 八- u ( t ) = 妒( 亡) ( 亡) 咖+ 咖( 亡) + n n ( f t ) ( t ) 这样 | | au l i x ：, 。( 6 ) i i 矽( t ) u 妒( t ) u o l l x ；, 。+ i i 咖( 亡) + r ( 面) ( 圳k 。 利用式( 2 9 ) ，引理2 6 ，式( 3 4 ) ，有 | i a 饥| i k 。( 6 ) c l l u o l l 廊+ c 5 1 一w c ( 1 l 面l l x = 。) l l 面l l x = 。 不等式对u k 6 ( 6 ) 所有的扩张都成立，所以 l l u l l x ：, 。( 6 ) c l l u o l l 霹+ c 5 1 6 + 6 7 c ( j i 扎| | 墨。( 5 ) ) l l u l l x ：, 。( 6 ) 第三章主要结果的证明 1 7 同样，由式( 2 9 ) ，引理2 6 ，式( 3 5 ) ，对u ，v x s - 6 r ( 6 ) | | au 一 v l l x ：, 。( j ) c ( ，l - b + b i c ( 1 l u l l x ：, 。( 6 ) + i l v l l x ：, 。( 6 ) ) l l u v l l x ：, 。( 6 ) 定义 b 。= u k 6 ( 6 ) ：i m i x ：, 。( 6 ) r - 若取r = 2 v l l u o l l 蔚，6 足够小，使得茚1 - b + b i c ( 2 r ) 互1 ，则a 把b 。映到自身，且 | | 八钆一 v l l x ：, 。( 6 ) 甜1 _ 6 + c ( 2 r ) i l u uj i k 。( 6 ) 专i i u 一训i 墨。( 6 ) 映射a 是一个压缩映射。由压缩映射原理，存在解u b 。，使得a u = u 。 i i ) 对b ；1 ，所求解的持久性由嵌入磁6cg ( r ，埠) 见式( 2 4 ) 得到。 i i i ) 唯一性：假设扎，u 鼍6 ( 6 ) 是式( 3 6 ) 两个不同的解，不妨设在t 0 ，5 ) 上 钆，u 不相同。定义t o ：= i n f t 0 ，j ) ：“( 芒) 钞( 亡) ) ，因为钆，钞g ( ( - 5 ，6 ) ，职) ， 定义有意义，并且u ( t o ) = u ( ) ，对6 0 ( 0 ，万一t o ) 和t ( 一如，如) ，我们定义 钆1 ( 亡) = u ( t + t o ) ，v l ( t ) = 秽( 亡+ 亡o ) 则u l ，v l x s r 6 ( 如) ，且 u l ( t ) 一v l ( t ) = + r n ( u 1 ) ( t ) 一+ r n ( v 1 ) ( t ) = a u l ( t ) 一八u 1 ( 亡) 这样 i i 仳1 一v a l l x ：, 。( 而) c 酩一6 + c ( 1 l 仳1 i i 曩。( 如) + i l v l l l x ：, 。( 6 0 ) ) 1 1 u l v l l l x z , 。( 南) 对5 0 充分小，可得c 酩- 6 w c ( 1 l u l l l x ：, 。( 6 0 ) + i i v l l l x ：, 。( 如) ) 1 ，由此得l i u l 一 v ll l x ：。( 而) = ，即仳( 亡+= 移( 亡+，对任意的 ( 一， 这与 的选择,0 to)to)t 5 06 0 ) t 矛盾。所以u = v x s 6 r ( 6 ) 。 i v ) 连续依赖性：令0 品 6 ，e 足够小，使得c 品- 6 + 6 7 c ( 2 ( r + e ) ) 互1 ，则 对v 0 ，谚，满足i i 钆。一v o l l 霹麦，i i 乱。一口钏蔚麦，由i ) 存在唯一的解 可，霹6 ( 6 0 ) ，满足u ( o ) = v o ，v i ( o ) = 硝，由i ) 部分的对u o 证明存在解同样的 方法可得i i v l l x 三。( 6 ) r + e ，| | k 。( 占) r + e ，由此我们得 l i v v l i l x 蚰r ( 如) sl la 口一a v ，l l x 王6 ( 南) c l l v o v ；l l a + c 6 1 一蚪y c ( 1 l v l l x ：, 。( 如) + i i u ，x 量。( 6 0 ) ) l l v v p i i 碍。( 如) c l l v o u 圳廊+ c 6 1 - 6 + c ( 2 ( r + e ) ) i i u u ，l i x ； 6 ( 6 。) c j i 伽一嵋i i 砬+ 吉1 1 秒一v t l i k 。( 6 。) 第三章主要结果的证明1 8 所以 定理得证。 移一秒i i x ：, 。( 而) 2 c l l v o 一j i 廊 参考文献 1 9 一 参考文献 【1 t c f l z e n a v e ，a h a r a u x a n i n t r o d u c t i o nt o s e m i l i n e a r e v o l u t i o n e q u a - t i o n s l u n d o n ：o x f o r d 。1 9 9 8 2 】j b o u r g a i n f o u r i e rt r a n s f o r mr e s t r i c t i o np h e n o m e n af o rc e r t a i nl a t t i c es u b s e t sa n da p p l i c a - t i o n st on o n l i n e a r e v o l u t i o ne q u t i o n g a f a ，1 9 9 3 ，3 ：1 0 7 1 5 6a n d2 0 9 2 6 2 3 j b o u r g a i n e x p o n e n t i a ls u m sa n dn o n l i n e a rs c h r s d i n g e re q u t i o n s g a f a ，1 9 9 3 ，3 ：1 5 7 1 7 8 4 】j b o u r g a i n o n t h e c a u c h yp r o b l e m f o r t h e k a d o m s t e v p e t v i a s h v i l i e q u a t i o n g a f a ，1 9 9 3 ，3 ：3 1 5 3 4 1 5 j b o u r g a i n jc o l l i a n d e r o nw e l l p o s e d n e s so ft h ez a k h a r o vs y s t e m i n t e m a t i o n a lm a m e m a t i c s r e s e a r c hn o t i c e s ，1 9 9 6 ，li ：5 1 5 5 4 6 【6 】c k e n i g ，g p o n c e ，l v e g a t h ec a u c h y p r o b l e mf o rt h ek o r t e w e g d e v r i e se q u t i o ni ns o b o l e v s p a c eo fn e g e t i v ei n d i c e s d u k em a t h j ，1 9 9 3 ，7 1 ：1 2 1 7 】s k l a i n e r m a n ，m m a c h e d o n s m o o t h i n ge s t i m a t e s f o rn u l lf o r m sa n da p p l i c a t i o n s d u k e m a t h j ，1 9 9 5 ，、，0 1 8 1 ：9 9 1 3 3 8 】l g i n i b r e l e p r o b l s m ed ec a u c h yp o u rd e se d ps e m i 1 i n 6 a i r e sp 6 r i o d i q u e se l lv a r i a b l e s d e s p a c e ( d a p r 色s ) ，a s t 6 r i s q u e ，1 9 9 6 ，2 3 7 ：1 6 3 1 8 7 9 c k e n i g ，g p o n c e ，l v e g a q u a d r a t i c f o r m sf o rt h e1 - d s e m i l i n e a r s c h r s d i n g e r e q u t i o n s t r a n s a c t i o n so ft h ea m s ，l9 9 6 ，3 8 4 ：3 3 2 3 3 3 5 3 【1 0 】g s t a f ! f i l a n j q u a d 础c f o r m sf o ra 2 - ds e m i l i n e a r s c h r s d i n g e re q u t i o n d u k e m a t h j 19 9 7 ，8 6 ：7 9 10 7 1l 】j c o l l i a n d e r , j d e l o r t ，c k e n i g ，e c t b i l i n e a re s t i m a t e sa n da p p l i c a t i o n st o2 dn l s s a c t i o n o ft h ea m s ，2 0 0 1 ，3 5 3 ：3 3 0 7 3 3 2 5 1 2 t t a o m u l t i l i n e a rw e i g h t e dc o n v o l u t i o no fl 2f u n c t i o na n da p p l i c a t i o n st on o n l i n e a rd i s d e r - s l v ee q u a t i o n s p r e p r i n t ，2 0 0 0 ，a r x i v ：m a t h a p 0 0 0 5 0 0 1 13 】a g r f i n r o c k o nt h ec a u c h y a n dp e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o r ac e n a i nc l a s so f d e r i v a t i v en o n l i n e a rs c h r s d i n g e re q u t i o n s p r e p r i n t ，2 0 0 0 ，a r x i v ：m a t h a p 0 0 0 6 19 5 【l4 a g r o n r o c k s o m el o c a lw e l l p o s e d n e s sr e s u l t s 三2 p r e p r i n t ，2 0 0 1 ，a r x i v ：m a t h a p 0 0 111 5 7 【15 】a g r d n r o c k ab i l i n e a r a i r y e s t i m a t e 3 p r e p r i n t ，2 0 0 1 ，a r x i v ：m a t h a p 0 10 818 4 f o rn o n l i n e a rs c h r s d i n g e re q u t i o n sb e l o w w i t h a p p l i c a t i o n t o g k d v - 参考文献 2 0 【16 t c a z e n a v e ，e b w e i s s l e r t h ec a u c h y p r o b l e mf o rt h ec r i t i c a ln o n l i n e a rs c h r 6 d i n g e re q u t i o n i